用圆的几何性质解题
借助几何性质解决圆中的最值问题
类型四 利用“数形结合方法”解决直线与圆的问题
例4 已知圆C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)为圆C上任一点. (1)求xy－－21的最大、最小值； 解 法一 设 k＝xy－－21， 则 y－2＝kx－k，即 kx－y＋2－k＝0. ∵P(x，y)为圆 C 上任一点， ∴圆心(－2，0)到直线 kx－y＋2－k＝0 的距离 d＝|－2k1＋＋2k－2 k|＝|21－＋3kk2|≤1，
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∴3t＋＋1t＝－12.∴t＝－73， ∵CA＝ 1＋4＝ 5， ∴直线 l 被圆 C 截得的弦长的最小值为 2 9－5＝4.
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思维升华
当直线与圆相交时，弦长最短，需使弦心距最大，然后根据垂径定理由垂直 得中点，进而利用弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾 股定理解决问题.
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借助几何性质解决圆中的最值问题
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高中数学中，在研究圆的相关问题时，最值问题又是研究的重点和热点，现把 常见的与圆相关的最值问题总结如下.希望对学生有些启发.
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类型一 “圆上一点到直线距离的最值”问题
例 1 已知圆 C 经过(2，5)，(－2，1)两点，并且圆心 C 在直线 y＝21x 上. (1)求圆 C 的方程； 解 点(2，5)与点(－2，1)连线的中点为(0，3)，中垂线方程为 y＝－x＋3，
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即|2－3k|≤ 1＋k2， 平方得 8k2－12k＋3≤0， 解得3－4 3≤k≤3＋4 3， 故xy－－21的最大值为3＋4 3，最小值为3－4 3；
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(2)求x－2y的最大、最小值.
解 设b＝x－2y，即x－2y－b＝0. ∵P(x，y)为圆C上任一点， ∴圆心(－2，0)到直线的距离 d＝ 12|＋－（2－－b2| ）2＝|b＋52|≤1，即|b＋2|≤ 5， 则－2－ 5≤b≤ 5－2，
与圆有关的最值(范围)问题
xx与圆有关的最值（范围）问题圆是数学中优美的图形，具有丰富的性质．由于其图形的对称性和完美性，很多与圆有关的最值问题都可以运用圆的图形性质，利用数形结合求解．当然，根据《教学要求》的说明，“平面解析几何的重要内容，教学重点是让学生从中感受运用代数方法处理几何问题的思想”，因此在此类问题的求解中，有时也会用到函数思想和基本不等式思想等．本文将就与圆的最值问题有关的题目进行归纳总结,希望能为学生在处理此类问题时提供帮助． 类型一：圆上一点到直线距离的最值问题应转化为圆心到直线的距离加半径，减半径例1 已知P 为直线y=x +1上任一点，Q 为圆C ：22(3)1x y -+=上任一点,则PQ 的最小值为 。
【分析】：这是求解“圆上一动点到直线距离”的常见考题,可以通过平面几何的知识得“圆心到直线的距离减半径”即为最短距离，这一结论在解题时可直接应用．解：如图1，圆心C到直线y=x +1的距离d =圆半径1r =，故1PQ PC r ≥-=变题1：已知A （0,1），B （2,3）,Q 为圆C 22(3)1x y -+=上任一点，则QABS的最小值为 。
【分析】本题要求QABS的最大值，因为线段AB 为定长，由三角形面积公式可知，只需求“Q 到AB l 的最小值"，因此问题转化为“圆上一动点到直线的最小距离”，即例1． 解:如图2，设Q h 为Q 到AB l 的距离，则11)42QABQ Q SAB h =⋅===+图1 图2变题2：由直线y=x +1上一点向圆C :22(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为 【分析】一般地，当直线和圆相切时，应连接圆心和切点,构造直销三角形进行求解．因为222PA PC r =-，故即求PC 的最小值，即例1．解：如图3，22221PA PC r PC =-=-，∵min PC=∴min PA变题3：已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：22(3)1x y -+=的切线PA ，PB ，A 、B 为切点,则当PC= 时，APB ∠最大．【分析】APB APC ∠=∠，故即求角APC ∠的最大值，利用其正弦值即可转化为求PC 的最小值，即例1．解：如图4，∵APB APC ∠=∠，1sin APC PC∠=,∵min PC =,∴PC =APC ∠最大，即APB ∠最大．图3 图4变题4：已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：22(3)1x y -+=的切线PA ，PB,A 、B 为切点，则四边形PACB 面积的最小值为 .【分析】将四边形面积转化为两个全等的三角形的面积，从而转化为PA 的最小值，问题又转化为求切线段的最小值问题．解：如图4，1222PAC PAB PAB S S S S PA AC PA ∆∆∆=+==⨯⋅⋅=四边形PACB ，由变式2可知，min PA =PACB【解题回顾】在上面例1及几个变试题的解题过程中，我们可以总结一句“万变不离其宗”，一般地，求“圆上一动点到直线距离”的常见考题，可以通过平面几何的知识得“圆心到直线的距离减半径”即为最短距离，“圆心到直线的距离加半径”即为最大距离，这一结论在解题时可直接应用．另:和切线段有关的问题常利用“连接圆心和切点,构造直销三角形“进行求解．也即将“ 两个动点的问题转化为一个动点的问题”．如下例．例2已知圆C:222430x y x y ++-+=，从圆C 外一点11(,)P x y 向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有PM=PO ,求使得PM 取得最小值的点P 坐标．【分析】本题中，由于点P 和点M 均在动，故直接做很难求解．联系到PM 是切线段，因此可利用222PM PC r =-将条件PM=PO 转化为只含有一个变量P 的式子即可求解．解：由题意，令(,)P x y ，∵222PM PC =-，∴222PC PO -=，即2222(1)(2)2x y x y ++--=+,化简得：2430x y -+=．∵PM=PO ，∴即求直线2430x y -+=到原点O （0，0)的最小距离．d==PMx类型二：利用圆的参数方程转化为三角函数求最值例3若实数x 、y 满足22240x y x y ++-=，求x-2y 的最大值．【分析】本题是典型的用圆的参数方程解决的题型，利用圆的参数方程将所求式转化为三角函数求最值，利用辅助角公式即得最大值．解：22(1)(2)5x y ++-=，令1()2x R y θθθ⎧=-+⎪∈⎨=+⎪⎩，则255cos()5x y θθθϕ-=-+-=+-(其中cos ϕϕ==) ∴当cos()1θϕ+=时，max (2)550x y -=-=，故x —2y 的最大值为0．【解题回顾】和圆有关的一次式的求解，利用圆的参数方程可以比较方便的求到最值．类型三:抓住所求式的几何意义转化为线性规划问题求最值若所求式子具有较明显的几何意义,值．比如例2，除了用圆的参数方程求解,这类题通常转化为直线方程的纵截距求解． 解法二：令2x y z -=,则1122y x z =-,由题意，当直线的纵截距最小时,z 最大，此时直线和圆相切，故圆心到直线的距离d ==故010z =-或，由题意，max 0z =，即x-2y 的最大值为0．除了转化为直线的截距求解，还有一些式子具有明显的几何意义，比如斜率、两点间距离、点到直线的距离等．比如在上例中，改为求12y x --，22(2)(1)x y -+-，1x y --的取值范围,则可以分别用如下方法求解： 对12y x --，转化为圆上任意一点P 到点(2,1)A 连线斜率的最大值,可设过点(2,1)A 的直线为1(2)y k x -=-，直线和圆相切时，即圆心到直线的距离d ==，可得122k =-或,故1[2,)(,2k ∈+∞⋃-∞-．对22(2)(1)x y -+-,转化为圆上任意一点P 到点(2,1)A 距离的平方的取值范围,由例1易得[PA CA CA ∈+，即222(2)(1)[50PA x y =-+-∈-+对1x y --，联想到点到直线的距离公式中有类似的元素．可将问题转化为圆上任意一点P 到直线10x y --=的距离的问题，易得，圆心到直线的距离为P （x ，y）到直线10x y--=,即1[4x y--∈.【解题回顾】当所求式子含有明显的几何意义时，注意联系线性规划，用线性规划的思路求解可将问题简单化和直观化．类型四：向函数问题转化平面解析几何的重要内容，教学重点是让学生从中感受运用代数方法处理几何问题的思想．有些问题，单纯利用圆的几何性质无法求解．此时应考虑如何利用代数思想将问题转化为函数问题．例4(2010年高考全国卷I理科11）已知圆O：221x y+=，P A、PB为该圆的两条切线,A、B为两切点，则PA PB⋅的最小值为【分析】本题中,由于A、B都是动点，故将PA PB⋅转化为坐标形式较难求解．此时考虑到向量数量积的定义，令2APBα∠=，cos2PA PB PA PBα⋅=，而切线段PA=PB也可用α表示,故所求式可转化为关于α的三角函数求解．解:令2((0,))2APBπαα∠=∈，cos2PA PB PA PBα⋅=，1tanPA PBα==，∴222222cos2cos cos2(1sin)(12sin)tan sin sinPA PBαααααααα⋅--⋅===，令2sin(0)t tα=>，则(1)(12)1233t tPA PB tt t--⋅==+-≥（当且仅当2t=2sin2α=时取等号）【解题回顾】本题以向量定义为载体，巧妙地利用了设角为变量，将与圆有关的问题转化为三角函数的问题求解．将几何问题代数化，利用函数思想求解．同时运用了换元思想，基本不等式思想等解题方法，是一道综合题．类型五：向基本不等式问题转化例5已知圆C：22+24x y+=（），过点(1,0)A-做两条互相垂直的直线12l l、，1l交圆C 与E、F两点，2l交圆C与G、H两点，（1）EF+GH的最大值．(2）求四边形EGFH面积的最大值．【分析】由于EF和GH都是圆的弦长，因此可利用222=+半径半弦长弦心距将EF+GH转化，用基本不等式的相关知识点．解:（1）令圆心C 到弦EF 的距离为1d ，到弦GH 的距离为2d ,则EF +GH =，又222121d d CA +==,2≤==(当且仅当122d d ==取等号)故EF +GH ≤=（2)∵EF GH ⊥，∴22128()12722d d S EF GH -+=⋅=≤⋅=四边形EFGH(当且仅当122d d ==取等号）【解题回顾】本题(1）是利用2a b +≤（2)2a b +．基本不等式是求最值的基本方法．在利用基本不等式求最值时应注意如何构造“定量”．由于圆的对称性，在与圆有关的最值问题中,应把握两个“思想"：几何思想和代数思想．所谓几何思想，即利用圆心,将最值问题转化为与圆心有关的问题．所谓代数思想,即利用圆的参数方程．同时，由于最值问题从代数意义上讲和函数的最值联系紧密，因此在解题过程中灵活的应用函数、不等式等代数思想使问题代数化、简单化也是需要注意的．。
妙用圆的几何性质速解题
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初 中已经研 究过．高 中学 习解析 几何 离 不开 平 面
几 何知识 ， 尤其 是 圆的很 多几何 性质． 若在 解决 相 关 问题时善 于灵 活 运 用 圆 的几 何 性 质 ， 仅 可 为 不 顺利 得 出解 题 思 路 扫 除 障碍 、 平道 路 。而且 可 铺
Ｂ
大 大简 化计 算 过 程 ， 高解 题 速 度 ，增 强 求 简 意 提
所 ＿ ｎ Ｏ一 以Ｐ ｔ Ａ 。ａ Ｐ Ｚ
故 所求 直线 方程 为 一 ．
一， 譬
４ ，Ｐ 是 圆的 弦． 直线 ＡＰ与 ＡＱ 倾斜 角互 补 ， ） Ｑ 若
求证 ： 直线 Ｐ 的斜 率 为定值 ． Ｑ 解 ：如 图 ４ 作 ＡＡ ， 上 ｚ轴 交 Ｏｏ 于 Ａ ， 则
解设 （ ’ （， ： 一 Ｉ ， 碚一蒜 ）
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横坐标 的取值 范 围． 解： 如图 ３ 以 ０为 圆 心 ，Ｏ ， Ｆ，的长 为 半径 作
圆 Ｙ一 ，椭 等十 ｚ一 。 ５与 圆 等一ｌ 立 解 两 卜 联 ，得 曲
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１ ３ 圆 内 角 大 于 圆周 角． ．
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例 ２ 如 图 ｌ 设 Ａ、 ， Ｂ为 抛物线 Ｙ 。一 ４ 上 如
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线 交点 的横坐标 分别 为 一 ， ．
圆的最值问题解题技巧
圆的最值问题在数学中是一个非常重要且常见的问题。
解决这类问题需要掌握一些技巧和方法。
本文将介绍一些解决圆的最值问题的技巧，并提供一些实例以便更好地理解这些技巧。
一、理解圆的基本概念在解决圆的最值问题之前，我们首先要对圆的基本概念有一个清晰的理解。
圆是由平面上距离一个固定点距离相等的所有点组成的集合。
圆心是这个固定点，半径是连接圆心与圆上任意一点的线段的长度。
二、圆的最值问题的分类圆的最值问题可以分为两类：圆的周长最值问题和圆的面积最值问题。
1. 圆的周长最值问题圆的周长是围绕圆的边界走一圈所经过的路径长度。
当半径给定时，圆的周长最大值出现在圆的直径上，最小值出现在圆的半径为零的点上。
2. 圆的面积最值问题圆的面积是圆内部的区域的大小。
当圆的半径给定时，圆的面积最大值出现在半径最大的圆上，最小值出现在半径为零的点上。
三、解决圆的最值问题的技巧解决圆的最值问题需要使用一些数学工具和技巧。
下面列举一些常用的技巧：1. 构造函数对于圆的最值问题，可以通过构造一个函数来描述圆的特性。
例如，对于圆的周长最值问题，可以构造一个函数表示周长与半径之间的关系。
通过求导或者应用相关的数学方法，可以找到函数的最值点。
2. 应用不等式在解决圆的最值问题时，可以应用一些不等式来限制变量的取值范围。
例如，当半径为正数时，圆的面积大于等于零。
通过应用这个不等式，可以得到一些限制条件，帮助解决最值问题。
3. 应用几何性质圆的最值问题可以利用圆的几何性质进行求解。
例如，圆的周长与直径之间有一个定理，即周长等于直径乘以π。
通过应用这个几何性质，可以得到一些等式或者关系，帮助求解最值问题。
四、实例分析为了更好地理解解决圆的最值问题的技巧，以下提供两个实例进行分析。
实例1：求半径为r的圆的面积的最大值。
解析：根据圆的面积公式，可以得到圆的面积A等于π乘以半径的平方。
因此，问题可以转化为求函数A=πr^2的最大值。
通过求导，可以得到函数A'=2πr。
圆的几何性质应用举例
圆的几何性质应用举例圆是几何中的重要概念，它具有许多独特的性质和特点，在实际生活中应用广泛。
下面将介绍一些圆的几何性质在生活和工作中的应用举例。
1. 圆的周长和面积圆的周长和面积是圆的基本性质，它们在日常生活中应用广泛。
例如，在建筑工程中，设计师需要计算建筑物的面积和周长，以便确定建筑物的大小和形状。
此外，圆的周长和面积也常常用于计算圆形物品的位置和大小，例如汽车轮胎、饼干、蛋糕等。
2. 圆的切线和切点圆的切线和切点是圆的重要性质，它们在日常生活中也应用广泛。
例如，在道路交通管理中，当一辆车进入一个拐角时，车轮会产生切线和切点，这些信息可以通过路标和交通信号灯来传达给驾驶员，以便他们减速和转弯。
此外，在电磁学中，圆形天线和接收器的切线和切点也被广泛地应用于无线电通信和雷达系统。
3. 圆的直径和半径圆的直径和半径也是圆的基本性质，它们在日常生活中应用广泛。
例如，在航空航天工业中，设计师需要计算飞机引擎的半径和直径，以便确定引擎的尺寸和性能。
此外，在制造业中，设计师需要考虑圆形机械零件的半径和直径，以便进行精确的制造和加工。
圆的切圆和切线是圆的一些特殊性质，它们在实际生活中也经常应用。
例如，在医学中，设计师需要设计圆形假体和医疗设备，以便更好地适应人体的形状。
此外，在工业设计和汽车设计中，圆形的切线和切圆也被广泛地应用于物品的设计和制造，以便更好地适应不同的使用环境和需求。
总之，圆的几何性质是生活和工作中不可或缺的一部分，无论是在建筑、航空航天、制造业还是医学、地理学等领域，都有着广泛的应用。
因此，我们必须认真学习和应用这些几何知识，以便更好地理解和应用它们。
圆的几何性质应用举例
圆的几何性质应用举例圆的几何性质是几何学中非常重要的内容之一，它包括圆的定义、圆的周长和面积公式、弧长和扇形面积公式等。
下面我们将通过一些具体的例子来介绍圆的几何性质的应用。
1. 圆的周长和面积计算：- 例1：某个花坛的形状是一个圆形，半径为10米。
现在需要在花坛周围铺设石板，每块石板的边长为1米。
问需要多少块石板？解：我们计算出花坛的周长，即2πr=2×π×10=62.8米。
然后，计算出石板的个数，即62.8÷1=62.8块。
所以，需要62.8块石板。
2. 弧长和扇形面积计算：- 例2：某个游乐园的摩天轮半径为20米，现在有一条长为30米的钢索绕着摩天轮一圈，问这条钢索占到了摩天轮的多少弧长和多少扇形面积？解：我们计算出摩天轮的周长，即2πr=2×π×20=125.6米。
然后，计算钢索占到的弧长，即30÷125.6×2π×20≈15.1米。
计算钢索占到的扇形面积，即(15.1÷125.6)×π×20²≈152平方米。
3. 圆的切线和法线：- 例3：某个池塘中有一个水泡，水泡的表面与水面接触的地方是一个圆形，半径为5厘米。
现在有一只苍蝇在水泡上方的空中飞行，它的目标是刚好从水泡的表面飞过。
问苍蝇应该选择垂直于水泡的哪个方向飞行？解：根据圆的性质，切线和半径垂直。
所以苍蝇应该选择垂直于水泡表面的方向飞行，即垂直于半径的方向。
4. 圆的相交关系：- 例4：某个城市的地图上有两个广场，一个圆形，半径为1000米；另一个也是圆形，半径为500米。
两个广场的圆心之间的距离为1500米。
现在有一个园区的规划，需要在两个广场之间修建一条步行道，这条步行道直线距离不超过500米。
问是否可以直接在两个广场之间修建步行道？解：我们计算出两个广场之间的实际距离，即1500-1000-500=0米。
由于实际距离为0米，所以两个广场实际上是相切的。
圆的几何性质应用举例
圆的几何性质应用举例圆是我们生活中常见的几何形状之一，它具有许多独特的几何性质，而这些性质在我们的日常生活中有着广泛的应用。
本文将通过几个具体的例子，介绍圆的几何性质在我们生活中的应用。
我们来谈谈圆的周长和面积。
圆的周长公式是C=2πr，其中r是圆的半径，而面积公式是S=πr^2。
在生活中，这两个公式可以应用在很多场景中。
我们在做披萨的时候，就需要考虑披萨的大小和价格。
假设我们要制作一个直径为30厘米的披萨，那么它的周长就是30π厘米，面积就是(30/2)^2π=225π平方厘米。
这样一来，我们就可以根据披萨的大小来确定价格，同时也可以控制制作出来的披萨的大小和厚度。
圆的直径、弦和切线也是圆的重要性质。
圆的直径是一个连接圆周上两点的线段，它恰好等于圆周长的两倍。
而弦是圆内部的一条线段，它的两个端点都在圆周上。
切线是与圆相切并且在切点处垂直于半径的直线。
在实际应用中，这些性质也有着广泛的应用。
我们在修建桥梁或者公路的时候，就需要考虑到弧形的设计。
在桥梁的设计中，工程师需要精确计算桥梁的弧度和曲线，以确保桥梁的稳定和安全。
在公路的设计和修建中，也需要考虑到弧线的设计，以确保车辆在行驶过程中的稳定性和安全性。
这就需要利用圆的直径、弦和切线的几何性质来进行计算和设计。
圆的相似性也是其重要的几何性质之一。
如果两个圆或者圆与某个几何图形相似，那么它们的形状和结构都是相似的。
在生活中，这个性质也有很多应用。
在地图制作中，两个不同比例尺的地图可能描绘了同一个区域，但它们的比例是不同的。
这时，我们就可以利用圆的相似性来对地图进行比例缩放。
通过计算不同比例尺地图上相同区域的圆的相似性，就可以确定它们之间的比例关系，从而实现地图的比例缩放和变换。
圆的角度和弧度也是圆的重要性质之一。
圆的一周总共有360度，这是我们常见的角度单位。
而弧度则是一个圆的周长等于半径的情况下，所对应的角度。
在实际应用中，圆的角度和弧度也有很多应用。
与圆有关的综合问题
与圆有关的综合问题题型一：与圆有关的轨迹问题[典例] 已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PB Q ＝90°，求线段P Q 中点的轨迹方程．[解] (1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )． 因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2＝4. 故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设P Q 的中点为N (x ，y )． 在Rt △PB Q 中，|PN |＝|BN |.设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥P Q ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， 所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段P Q 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0. [方法技巧] 求与圆有关的轨迹问题的4种方法[针对训练]1．(2019·厦门双十中学月考)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任意一点连接的线段的中点的轨迹方程为( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析：选A 设中点为A (x ，y )，圆上任意一点为B (x ′，y ′)，由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＋4＝2x ，y ′－2＝2y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x －4，y ′＝2y ＋2，故(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得，(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，故选A.2．已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点． (1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0，4)，半径为4. 设M (x ，y )，则CM ―→＝(x ，y －4)，MP ―→＝(2－x,2－y )． 由题设知CM ―→·MP ―→＝0， 故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2. 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆． 由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上． 又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，故l 的方程为x ＋3y －8＝0.又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105，所以|PM |＝4105，S △POM ＝12×4105×4105＝165，故△POM 的面积为165.题型二：与圆有关的最值或范围问题[例1] (2019·兰州高三诊断)已知圆C ：(x －1)2＋(y －4)2＝10和点M (5，t )，若圆C 上存在两点A ，B 使得MA ⊥MB ，则实数t 的取值范围是( ) A ．[－2,6] B ．[－3,5] C ．[2,6]D ．[3,5][解析] 法一：当MA ，MB 是圆C 的切线时，∠AMB 取得最大值．若圆C 上存在两点A ，B 使得MA ⊥MB ，则MA ，MB 是圆C 的切线时，∠AMB ≥90°，∠AMC ≥45°，且∠AMC ＜90°，如图，所以|MC |＝(5－1)2＋(t －4)2≤10sin 45°＝20，所以16＋(t －4)2≤20，所以2≤t ≤6，故选C.法二：由于点M (5，t )是直线x ＝5上的点，圆心的纵坐标为4，所以实数t 的取值范围一定关于t ＝4对称，故排除选项A 、B.当t ＝2时，|CM |＝25，若MA ，MB 为圆C 的切线，则sin ∠CMA ＝sin ∠CMB ＝1025＝22，所以∠CMA ＝∠CMB ＝45°，即MA ⊥MB ，所以t ＝2时符合题意，故排除选项D.选C. [答案] C[例2] 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.求： (1)yx 的最大值和最小值； (2)y －x 的最大值和最小值； (3)x 2＋y 2的最大值和最小值．[解] 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆． (1)yx 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3.所以yx 的最大值为3，最小值为－ 3.(2)y －x 可看成是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距．当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2±6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6. (3)x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方．由平面几何知识知，x 2＋y 2在原点和圆心的连线与圆的两个交点处分别取得最小值，最大值． 因为圆心到原点的距离为(2－0)2＋(0－0)2＝2， 所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43， 最小值是(2－3)2＝7－4 3.[方法技巧]与圆有关最值问题的求解策略处理与圆有关的最值问题时，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．与圆有关的最值问题，常见类型及解题思路如下：[针对训练]1．(2019·新余一中月考)直线x ＋y ＋t ＝0与圆x 2＋y 2＝2相交于M ，N 两点，已知O 是坐标原点，若|OM ―→＋ON ―→|≤|MN ―→|，则实数t 的取值范围是________． 解析：由|OM ―→＋ON ―→|≤|MN ―→|＝|ON ―→－OM ―→|， 两边平方，得OM ―→·ON ―→≤0， 所以圆心到直线的距离d ＝|t |2≤22×2＝1， 解得－2≤t ≤2，故实数t 的取值范围是[－2， 2 ]． 答案：[－2， 2 ]2．已知点P (x ，y )在圆x 2＋(y －1)2＝1上运动，则y －1x －2的最大值与最小值分别为________．解析：设y －1x －2＝k ，则k 表示点P (x ，y )与点A (2,1)连线的斜率．当直线PA 与圆相切时，k 取得最大值与最小值．设过(2,1)的直线方程为y －1＝k (x －2)，即kx －y ＋1－2k ＝0. 由|2k |k 2＋1＝1，解得k ＝±33.答案：33，－333．(2019·大庆诊断考试)过动点P 作圆：(x －3)2＋(y －4)2＝1的切线P Q ，其中Q 为切点，若|P Q |＝|PO |(O 为坐标原点)，则|P Q |的最小值是________．解析：由题可知圆(x －3)2＋(y －4)2＝1的圆心N (3,4)．设点P 的坐标为(m ，n )，则|PN |2＝|P Q |2＋|N Q |2＝|P Q |2＋1，又|P Q |＝|PO |，所以|PN |2＝|PO |2＋1，即(m －3)2＋(n －4)2＝m 2＋n 2＋1，化简得3m ＋4n ＝12，即点P 在直线3x ＋4y ＝12上，则|P Q |的最小值为点O 到直线3x ＋4y ＝12的距离，点O 到直线3x ＋4y ＝12的距离d ＝125，故|P Q |的最小值是125.答案：125[课时跟踪检测]1．(2019·莆田模拟)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，若A ，B 是圆O 上的不同两点，以AB 为边作等边△ABC ，则|OC |的最大值是( ) A.2＋62B. 3 C ．2D.3＋1解析：选C 如图所示，连接OA ，OB 和OC . ∵OA ＝OB ，AC ＝BC ，OC ＝OC ，∴△OAC ≌△OBC ，∴∠ACO ＝∠BCO ＝30°， 在△OAC 中，由正弦定理得OA sin 30°＝OCsin ∠OAC ，∴OC ＝2sin ∠OAC ≤2，故|OC |的最大值为2，故选C.2．已知圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0只有一条公切线，若a ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b 2的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．9解析：选D 圆C 1的标准方程为(x ＋2a )2＋y 2＝4，其圆心为(－2a,0)，半径为2；圆C 2的标准方程为x 2＋(y －b )2＝1，其圆心为(0，b )，半径为1.因为圆C 1和圆C 2只有一条公切线，所以圆C 1与圆C 2相内切，所以(－2a －0)2＋(0－b )2＝2－1，得4a 2＋b 2＝1，所以1a 2＋1b 2＝⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2(4a 2＋b 2)＝5＋b 2a 2＋4a 2b2≥5＋2b 2a 2·4a 2b 2＝9，当且仅当b 2a 2＝4a 2b 2，且4a 2＋b 2＝1，即a 2＝16，b 2＝13时等号成立．所以1a 2＋1b2的最小值为9.3．(2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→，则λ＋μ的最大值为( ) A ．3 B ．2 2 C. 5D ．2解析：选A 以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,2)，D (0,2)，可得直线BD 的方程为2x ＋y －2＝0，点C 到直线BD 的距离为222＋12＝25，所以圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝45.因为P 在圆C 上，所以P ⎝⎛⎭⎫1＋255cos θ，2＋255sin θ.又AB ―→＝(1,0)，AD ―→＝(0,2)，AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→＝(λ，2μ)，所以⎩⎨⎧1＋255cos θ＝λ，2＋255sin θ＝2μ，λ＋μ＝2＋255cos θ＋55sin θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3(其中tan φ＝2)，当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.4．(2019·拉萨联考)已知点P 在圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋4＝0上运动，则点P 到直线l ：x －2y －5＝0的距离的最小值是( ) A ．4 B. 5 C.5＋1 D.5－1解析：选D 圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋4＝0化为(x －2)2＋(y －1)2＝1，圆心C (2,1)，半径为1，圆心到直线l 的距离为|2－2－5|12＋22＝5，则圆上一动点P 到直线l 的距离的最小值是5－1.故选D. 5．(2019·赣州模拟)已知动点A (x A ，y A )在直线l ：y ＝6－x 上，动点B 在圆C ：x 2＋y 2－2x －2y －2＝0上，若∠CAB ＝30°，则x A 的最大值为( ) A ．2 B ．4 C ．5D ．6解析：选C 由题意可知，当AB 是圆的切线时，∠ACB 最大，此时|CA |＝4.点A 的坐标满足(x －1)2＋(y －1)2＝16，与y ＝6－x 联立，解得x ＝5或x ＝1，∴点A 的横坐标的最大值为5.故选C.6．(2018·北京高考)在平面直角坐标系中，记d 为点P (cos θ，sin θ)到直线x －my －2＝0的距离．当θ，m 变化时，d 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 由题知点P (cos θ，sin θ)是单位圆x 2＋y 2＝1上的动点，所以点P 到直线x －my －2＝0的距离可转化为单位圆上的点到直线的距离．又直线x －my －2＝0恒过点(2,0)，所以当m 变化时，圆心(0,0)到直线x －my －2＝0的距离d ＝21＋m 2的最大值为2，所以点P 到直线x －my －2＝0的距离的最大值为3，即d 的最大值为3.7．(2019·安徽皖西联考)已知P 是椭圆x 216＋y 27＝1上的一点，Q ，R 分别是圆(x －3)2＋y 2＝14和(x ＋3)2＋y 2＝14上的点，则|P Q |＋|PR |的最小值是________．解析：设两圆圆心分别为M ，N ，则M ，N 为椭圆的两个焦点， 因此|P Q |＋|PR |≥|PM |－12＋|PN |－12＝2a －1＝2×4－1＝7，即|P Q |＋|PR |的最小值是7. 答案：78．(2019·安阳一模)在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，－3)，若圆C ：(x －a )2＋(y －a ＋2)2＝1上存在一点M 满足|MA |＝2|MO |，则实数a 的取值范围是________．解析：设满足|MA |＝2|MO |的点的坐标为M (x ，y )，由题意得x 2＋(y ＋3)2＝2x 2＋y 2， 整理得x 2＋(y －1)2＝4，即所有满足题意的点M 组成的轨迹方程是一个圆，原问题转化为圆x 2＋(y －1)2＝4与圆C ：(x －a )2＋(y －a ＋2)2＝1有交点，据此可得关于实数a 的不等式组⎩⎨⎧a 2＋(a －3)2≥1，a 2＋(a －3)2≤3，解得0≤a ≤3， 综上可得，实数a 的取值范围是[0,3]． 答案：[0,3]9．(2019·唐山调研)已知点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足|PA |＝2|PB |. (1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|Q M |的最小值． 解：(1)设点P 的坐标为(x ，y )，则(x ＋3)2＋y 2＝2(x －3)2＋y 2. 化简可得(x －5)2＋y 2＝16，故此曲线方程为(x －5)2＋y 2＝16. (2)曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图所示．由题知直线l 2与圆C 相切，连接C Q ，CM ， 则|Q M |＝|C Q |2－|CM |2＝|C Q |2－16，当C Q ⊥l 1时，|C Q |取得最小值，|Q M |取得最小值，此时|C Q |＝|5＋3|2＝42，故|Q M |的最小值为32－16＝4.10．(2019·广州一测)已知定点M (1,0)和N (2,0)，动点P 满足|PN |＝2|PM |. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)若A ，B 为(1)中轨迹C 上两个不同的点，O 为坐标原点．设直线OA ，OB ，AB 的斜率分别为k 1，k 2，k . 当k 1k 2＝3时，求k 的取值范围． 解：(1)设动点P 的坐标为(x ，y )， 因为M (1,0)，N (2,0)，|PN |＝2|PM |， 所以(x －2)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2. 整理得，x 2＋y 2＝2.所以动点P 的轨迹C 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋b .由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝2，y ＝kx ＋b消去y ，整理得(1＋k 2)x 2＋2bkx ＋b 2－2＝0.(*) 由Δ＝(2bk )2－4(1＋k 2)(b 2－2)＞0，得b 2＜2＋2k 2.① 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－2bk 1＋k 2，x 1x 2＝b 2－21＋k 2.②由k 1·k 2＝y 1x 1·y 2x 2＝kx 1＋b x 1·kx 2＋bx 2＝3，得(kx 1＋b )(kx 2＋b )＝3x 1x 2， 即(k 2－3)x 1x 2＋bk (x 1＋x 2)＋b 2＝0.③ 将②代入③，整理得b 2＝3－k 2.④由④得b 2＝3－k 2≥0，解得－3≤k ≤ 3.⑤ 由①和④，解得k ＜－33或k ＞33.⑥ 要使k 1，k 2，k 有意义，则x 1≠0，x 2≠0，所以0不是方程(*)的根，所以b 2－2≠0，即k ≠1且k ≠－1.⑦ 由⑤⑥⑦，得k 的取值范围为[－3，－1)∪⎝⎛⎭⎫－1，－33∪⎝⎛⎭⎫33，1∪(1, 3 ]．。
圆的方程 知识点+例题+练习
教学过程1．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式，定参数”是求圆的方程的基本方法，即根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数，同时注意利用几何法求圆的方程时，要充分利用圆的性质．2．解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算．3．求圆的方程时，一般考虑待定系数法，但如果能借助圆的一些几何性质进行解题，不仅能使解题思路简化，而且还能减少计算量．如弦长问题，可借助垂径定理构造直角三角形，利用勾股定理解题．课堂巩固一、填空题1．(2014·南京模拟)已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是________．2．若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，那么直线x＋ay＋b＝0一定不经过第________象限．3．(2014·银川模拟)圆心在y轴上且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是________．4．两条直线y＝x＋2a，y＝2x＋a的交点P在圆(x－1)2＋(y－1)2＝4的内部，则实数a的取值范围是________．5．(2014·东营模拟)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是________．6．已知点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是________．7．(2014·南京调研)已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上各点到l的距离的最小值为______．8．若圆x2＋(y－1)2＝1上任意一点(x，y)都使不等式x＋y＋m≥0恒成立，则实数m的取值范围是________．教学效果分析。
圆的几何性质应用举例
圆的几何性质应用举例圆是几何形体中的基本图形之一，具有许多特殊的性质和应用。
下面是一些圆的几何性质的应用举例。
1. 制作轮胎：轮胎是由圆形的胎体和扁平的轮辋组成的，胎体是通过一种特殊的橡胶材料制成的，具有弹性和耐磨性。
圆形的胎体能够提供良好的支撑和保持车辆的平衡性。
2. 水井井口的围护结构：在井口周围建立一个圆形的混凝土或砖石结构，可以提供稳定的支撑，防止井口坍塌和保护水源的安全。
3. 车辆转弯半径的计算：在道路设计中，需要根据车辆的尺寸和转弯性能来计算合适的转弯半径。
通过圆的几何性质，可以计算出最小的转弯半径，确保车辆能够安全地转弯。
4. 广场和花坛的设计：在城市规划和景观设计中，常常会使用圆形的广场和花坛来提供良好的视觉效果和空间布局。
5. 球形容器的设计：例如酒杯、玻璃瓶等容器常常采用圆形，并通过调整圆的半径和高度来设计出合适的容量和外观。
6. 汽车的转向系统：汽车的转向系统是通过圆形的转向齿轮和转向机构来实现的，通过旋转转向轮，可以改变车轮的方向并使车辆转向。
7. 电动机的转子设计：许多电动机的转子采用圆形的设计，通过电流和磁场的相互作用，使转子以旋转的方式转动，实现电机的工作。
8. 圆环的设计：圆环是一种常见的装饰物和首饰，可以根据个人喜好和需求，选择不同材质和大小的圆环进行设计。
9. 建筑结构的设计：在建筑结构中，圆形的柱子、圆形的窗户和圆形的拱门等设计，可以提供良好的支撑和审美效果。
10. 蛋糕和饼干的设计：许多蛋糕和饼干都采用圆形的设计，通过改变直径和高度，可以制作出不同口味和形状的蛋糕和饼干。
圆的几何性质在各个领域都有广泛的应用。
无论是在工程设计、城市规划还是生活中的日常用品设计中，我们都能看到圆形的存在和应用。
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用圆的几何性质解题
圆是一个特殊的图形,它有许多重要的性质.在涉及到圆的有关问题时，若能抓住题设中圆的图形特征和数量关系，充分利用圆的有关几何性质，常常可得到简捷的解法.现举例说明如下：
性质1 “圆的弦的垂直平分线必过圆心”
例1 过点),(),,(1111--B A 且圆心在直线02=-+y x 上的圆的方程是 .
（01年全国高考题）
分析：∵线段AB 为所求圆的弦，由性质1知，点C 为AB 的垂直平分线与已知直线的交点，
联立两直线方程组成方程组，解得),(11C .∴所求圆的方程为.)()(41122=-+-y x
例2 设圆过双曲线116
92
2=-y x 的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 .（98年
全国高考题）
分析：由图形的对称性，不妨设圆心在右支上. 如图1，由条件知，
线段AF 1为⊙C 的弦，根据性质1，可得AF 1的垂直平分线直
线CD 段，由题设知A 、
F 1的横坐标分别为3、5，∴圆心C 的
横坐标为4
，故圆心C 的纵坐标为±437，∴圆心C 到双曲线的中心的距离为42+(±437)2 = 163
. 点评：以上两例的关键在于确定圆的圆心。
根据题设已知圆的弦，由性质1，得圆心必在此
弦的垂直平分线上.
性质2 “圆中90°的圆周角所对的弦是直径”
例3 设直线3x +4y +m =0与圆C 1：x 2+y 2+x -2y =0相交于点P 、Q 两点，当m 为何值时，OP ⊥OQ ？
分析：如图2，因圆C 1：x 2+y 2+x -2y =0过原点，则∠POQ 是圆C 1的
圆周角，且为直角.由性质2，可知PQ 为⊙C 1的直径，即直线3x +4y +m =0过⊙C 1的圆心C 1（- 12 ，1） 即3×(- 12)+4×1+m =0 ∴m = - 52
. 点评：处理直线与圆的位置关系常用△法或几何法.本例由于直线与圆的交点和原点的连线互相垂直,且原点在圆上,由性质2,知PQ 为直径,从而得以上解法.
性质3 “圆中同一条弦所对的圆周角小于它所对的圆角”
例4 椭圆14
92
2=+y x 的焦点为F 1、F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 横坐标的取值围是 .（00年全国高考题） 分析：以F 1F 2为直径作圆：522=+y x ,与椭圆14922=+y x 联立， 解得A 、B 两点的横坐标分别为 - 3 5 5，3 5 5.由性质2，知点P 在椭圆的AB 或CD 弧线（在辅助圆）上时，∠F 1PF 2为钝角
(如图3)，故点P 的横坐标的取值围是（- 3 5 5，3 5 5
）. 点评：本题看似与圆无关,但通过构作辅助圆,并利用其几何性质,让问题变得直观明了,便于图1 图2 图3
求解.
性质4“圆的弦心距垂直平分弦”
性质5“圆心角的度数等于它所对弧的度数”
性质6“弦心距、半弦、半径三者构成直角三角形”
例5 设圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长之比为3︰1；③
圆心到直线l ：x-2y =0的距离为 5 5
，求该圆的方程.（97年全国高考题） 分析：如图4，设圆M 满足条件，它在y 轴、x 轴上截得的弦分别为AB 、CD ，设圆心M 的坐
标为（a ,b ），半径为r ，则点M 到x 轴、y 轴的距离分别为|b |、|a |，作MN ⊥y 轴于N ，连AM ，由性质4，知N 为AB 的中点 ，由条件①，
在R t△AMN 中，有：r 2 = a 2+1 （1） 由条件②知，⊙M 被x 轴截得的劣弧度数为90°， 由性质5，知∠CMD =90°，由性质6,得 r 2=2b 2 (2) 又由条件③得，|a -2b|5
= 5 5 (3) 解(1) (2) (3)得 ⎩⎨⎧a= -1b = -1或⎩⎨⎧a= 1b = 1
，于是r 2=2b 2=2 故所求圆的方程为：(x+1)2+(y +1)2 =2或(x -1)2+(y -1)2 =2.
点评：由以上几例可以看出，在解决圆的有关问题时，只要充分挖
掘圆的几何性质，再将几何条件代数化，既可以迅速获得解题途径，又可以减少解析几何的运算量.
图4。