平面的几何性质
立体几何与平面几何
立体几何与平面几何几何学是一门研究空间、形状、大小和相对位置的学科。
在几何学中，立体几何和平面几何是两个重要的分支，它们分别研究立体空间和平面空间中的几何性质和关系。
本文将介绍立体几何和平面几何的基本概念及其在现实生活中的应用。
一、立体几何的概念和性质1. 立体几何的定义立体几何是研究三维空间中的几何图形和性质的学科。
立体几何中的基本概念包括点、线、面和体。
在立体几何中，我们可以通过测量、计算和推导来研究空间中的物体。
2. 立体几何的性质在立体几何中，有一些基本性质需要我们了解。
例如，直线是空间中最短的曲线，直线的两点确定一条直线，而三个点不在同一条直线上。
此外，平行线在空间中永远不会相交，而直线与平面只有一个公共点或者没有公共点。
3. 立体几何的应用立体几何的概念和性质在现实生活中有广泛的应用。
例如，在建筑设计中，我们需要使用立体几何的知识来设计和构造建筑物；在计算机图形学中，我们可以利用立体几何的原理来建模和渲染三维图像；在工程测量中，我们需要使用立体几何的方法来计算和测量物体的体积和表面积。
二、平面几何的概念和性质1. 平面几何的定义平面几何是研究二维平面上的几何图形和性质的学科。
平面几何中的基本概念包括点、线和面。
在平面几何中，我们可以通过测量、计算和推导来研究平面上的图形和几何性质。
2. 平面几何的性质在平面几何中，也有一些基本性质需要我们了解。
例如，两条不同直线在平面内最多只有一个公共点，而两条平行线永远不会相交。
此外，平面上的三个点不会共线，而通过一个点在平面内作一条直线有无数个方向。
3. 平面几何的应用平面几何的概念和性质在现实生活中也有广泛的应用。
例如，在地图上测量距离和角度时，我们需要使用平面几何的知识；在家居设计中，我们可以利用平面几何的原理来规划和布局空间；在航空航天领域，我们需要运用平面几何的概念来计算轨道和飞行路径。
结论立体几何和平面几何是几何学的两个重要分支，它们研究了空间和平面中的几何图形和性质。
附录1：平面图形的几何性质new
（3）求整个截面的惯性矩：
§ I - 4 转轴公式 主惯性轴 主惯性矩
一、 惯性矩和惯性积的转轴定理 y1
y
x x1
dA y y1
x1 x
二、截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩
1.主惯性轴和主惯性矩：如坐标旋转到= 0 时；恰好有
则与 0 对应的旋转轴x0 ,y0 称为主惯性轴。即平面图形
则 dA=b dy
C
x
同理
注：对于高度微h平行四边形，对形心 x的主惯性矩同样成立。
b y (a)
C
x
b (b)
§ I - 3 平行移轴公式
一、平行移轴定理：
y
yC
以形心为原点，建立与原坐标轴平行 的坐标轴如图
x
dA
a
C
xC
rb y
x
同理:
注意: C点必须为形心
图形对某坐标轴的惯性矩, 等于它对过形心且平行于该轴的坐 标轴之惯性矩加上图形面积与两轴距离平方和的乘积.
对其惯性积为零的一对坐标轴. 平面图形对主轴之惯性矩为主惯性矩。
2.形心主轴和形心主惯性矩： 主惯性轴过形心时，称其为形心主轴。 平面图形对形心主轴之惯性矩，称为形心主惯性矩.
形心主惯性矩：
若平面图形有两个对称轴,此二轴均为形心主轴; 若平面图形有一个对称轴,则该轴为一形心主轴, 另一形心主轴 过形心, 且与该轴垂直.
y
四、惯性半径
图形对x轴的惯性半径: 图形对y轴的惯性半径:
x dA
y
r
x
例I-2 试计算图示圆截面对于其形心轴（即直径轴） 的惯性矩。
解： y
由于圆截面有极对称性，
平面解析几何
平面解析几何解析几何是数学中的一个分支，通过使用代数方法和几何方法相结合的方式来研究图形和方程的关系。
在解析几何中，平面是一个重要的概念。
本文将对平面在解析几何中的应用进行介绍。
一、平面的定义与性质在解析几何中，平面可以被定义为一个无限大的二维空间，其中的点满足一定的条件。
平面可以用方程或参数方程的形式表示。
平面有一些重要的性质，包括与平面相关的坐标系、平面上的直线、平面的方程等等。
二、平面上的点与直线在平面上，点是最基本的元素。
点在平面上的位置可以用坐标表示。
平面上的直线可以有不同的表示形式，包括斜截式、点斜式、一般式等。
通过点和直线的关系，我们可以研究平面上的几何图形以及它们之间的性质。
三、平面曲线与方程在解析几何中，平面曲线是指在平面上由给定方程或参数方程描述的图形。
常见的平面曲线包括直线、抛物线、椭圆、双曲线等等。
解析几何中，研究平面曲线的方法主要是通过代数方程的分析来获得几何信息。
四、平面的变换在解析几何中，平面的变换是指将平面上的点按照一定规则进行转换的操作。
常见的平面变换包括平移、旋转、镜像、放缩等等。
通过平面变换，我们可以研究平面上的对称性、相似性等几何性质。
五、平面解析几何的应用平面解析几何在实际中有广泛的应用。
它可以用来描述物体在平面上的运动轨迹，例如抛物线可以用来描述抛体的运动。
平面解析几何也常被应用于物理学、工程学、计算机图形学等领域。
例如，在计算机图形学中，平面解析几何可以用来描述二维图形的形状和变换。
六、总结解析几何是数学中的一个重要分支，平面是解析几何的基本概念之一。
通过使用代数方法和几何方法相结合，我们可以研究平面上的点、直线、曲线以及它们之间的关系和性质。
平面解析几何在实际中有广泛的应用，可以用来描述物体的运动轨迹以及在各个领域的应用。
通过学习和应用平面解析几何，我们可以更好地理解和应用数学知识。
附录1 平面图形的几何性质PPT课件
槽钢 工字型
角钢
1
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总体概述
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2
平面图形的几何性质
杆件的和截面是平面图形，它的几何性 质与强度、刚度计算密切相关，必须很好掌 握。拉压中的面积A，扭转中的极惯性矩 都 属于截面图形的几何性质。在附录1中我们I P还 要学到静矩、惯性矩和惯性积。
的，但惯性矩恒为正。 （2）组合截面对某一轴的惯性矩等于各部分对
该轴的惯性矩之代数和。
n
n
Iz
i1
I
zi
Iy
i 1
I
yi
13
例1 试计算图(a)所示矩形截面对于其对称轴
（即形心轴）z 和 y 的惯性矩。
y
解： 取平行于x轴的狭长条，
则 dA=b dy
IzAy2dAh 2h 2by2dyb1h23
A
单位：m 4
o
y
11
惯性矩 z
y A o
图形对z轴的惯性矩
Iz
y2dA
A
dA
z
图形对y轴的惯性矩
y
Iy
z2dA
A
单位：m 4
极惯性矩和对轴惯性矩之间的关系：Ip 2dAIz Iy
A
12
惯性半径
截面图形对y轴的惯性半径：i y
Iy A
截面图形对z轴的惯性半径：iz
Iz A
惯性矩的性质 （1）截面图形对不同坐标轴的惯性矩是不同
a
材料力学平面图形的几何性质
y
c
h
b
z
例 试拟定下图旳形心。
y 10
C2
120
c(19.7;39.7)
C1
80 图（a）
解：1、图形分割及坐标如图（a）
A1 700, z1 45, y1 5
A2 1200, z2 5, y2 60
2、求形心
zc
zi Ai
z 1
A1
z
2
A2
A
A1 A2
z
45 700 51200 19.7(mm) 700 1200
yc
yi Ai y1 A1 y2 A2
A
A1 A2
5 700 601200 39.7(mm)
700 1200
11
§4.3 惯性矩和惯性积 1 惯性矩
I z
y 2 dA
A
I y
z 2 dA
A
量纲：m4、mm4。 惯性矩是对轴而言。 惯性矩旳取值恒为正值。
y
dA A
y
ρ
0
z
z
已知：矩形 b h
12
64 4
24
I yc
I 矩yc
I圆yc
(1.5d )3 2d 12
d 4
64
0.513d 4
Y（对称轴）
d yc O
z1
Z（矩形旳对称轴）
2d
zc
b
25
作业 • 4.2 • 4.7
yz dA
图形对y、z两轴旳惯性积
I yz yzdA A
y z
dA
y z
惯性积则可能为正值，负值， 也可能等于零。
I yz
yzdA
A
平面构成考试题
平面构成考试题考题一：平面几何基本概念和性质平面几何是数学中的一个重要分支，主要研究平面内的几何图形及其基本性质。
在这个考试题中，我们将探讨平面构成考试题中的一些基本概念和性质。
1. 点、线、面的定义在平面几何中，点、线、面是最基本的几何元素。
点是没有长度、宽度和高度的几何对象，用大写字母表示，如A、B、C。
线是由无数个点组成的无限延伸的几何对象，用小写字母表示或者两点之间的符号表示，如AB、CD、EF。
面是由无数个线组成的平坦的几何对象，用大写字母表示，如ABC、DEF。
2. 平面几何性质平面几何中有许多重要的性质，下面介绍几个常见的性质。
(1) 平行线性质：在同一个平面内，如果两条直线分别与第三条直线平行，则这两条直线也是平行的。
(2) 垂直线性质：在同一个平面内，如果两条直线相交，且相交的角为直角，则这两条直线垂直。
(3) 三角形内角和性质：任意一个三角形的三个内角之和等于180度。
(4) 平行四边形性质：对于平行四边形，对角线互相平分，且对角线相交的点是对角线的中点。
考题二：平面几何中的常见图形构成平面几何中有许多常见的图形，它们由特定的几何要素构成，具有一定的特点和性质。
下面我们将讨论一些常见图形的构成和性质。
1. 三角形三角形是由三条线段组成的图形，这三条线段的端点组成了三角形的顶点。
根据三边的长度，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和一般三角形。
2. 正方形正方形是四条边长度相等、四个角都是直角的四边形。
它可以看作一个特殊的矩形和菱形。
3. 圆圆是由一条闭合曲线组成的图形，曲线上的所有点到圆心的距离都相等。
圆由圆心和半径来确定。
4. 长方形长方形是由四条线段组成的图形，其中相对的两条边长度相等，相邻的两条边垂直。
考题三：平面几何的运用平面几何不仅仅是一门学科，还有许多实际应用。
下面我们将讨论一些常见的平面几何应用。
1. 建筑设计在建筑设计中，平面几何被广泛运用。
建筑师使用平面几何的概念和性质来确定建筑物的形状、大小和布局。
材料力学平面图形的几何性质
平面图形的剪切中心和弯曲中心
剪切中心：平面图形中，剪切中心是剪切面上各点剪切应变之和为零的点，与该点距离最近的各 点组成的剪切面称为剪切面。
弯曲中心：平面图形中，弯曲中心是弯曲面上各点弯曲应变之和为零的点，与该点距离最近的各 点组成的弯曲面称为弯曲面。
刚性特性：平面图形在剪切和弯曲变形下，其几何形状和尺寸保持不变的性质称为刚性特性。
剪切中心和弯曲中心在平面图形中的作用：在平面图形中，剪切中心和弯曲中心是确定平面图形 在剪切和弯曲变形下应力和应变分布的关键点，对于分析平面图形的受力特性和稳定性具有重要 意义。
平面图形的抗扭刚度和抗弯刚度
抗扭刚度：表示材料 抵抗扭转变形的能力， 与平面图形的几何形 状和尺寸有关。
抗弯刚度：表示材料 抵抗弯曲变形的能力， 与平面图形的几何形 状、尺寸和材料本身 的弹性模量有关。
计算方法：根据 几何学原理，可 以通过平面图形 的边长、角度等 参数计算面积和
周长
平面图形的形心、质心和重心
形心：平面图形 中所有点组成的 面积的平均位置， 表示图形的几何 中心。
质心：平面图形 中所有点组成的 物质质量的平均 位置，表示图形 的质量中心。
重心：平面图形 中所有点组成的 重力场强度的平 均位置，表示图 形的重力中心。
平面图形稳定性分析的方法：通过力学分析、数学建模、实验测试等方法，对平面图形的稳定性 进行分析。
平面图形稳定性在工程中的应用：广泛应用于桥梁、建筑、机械等领域，以确保结构的稳定性和 安全性。
平面图形失稳的临界力和临界应力
定义：临界力是 指使平面图形失 稳的最小外力， 而临界应力则是 指在该外力作用 下，平面图形达 到失稳状态时的 应力值。
平面图形的动力学特性
平面图形的几何性质
——材料力学教案§A-1 引言不同受力形式下杆件的应力和变形，不仅取决于外力的大小以及杆件的尺寸，而且与杆件截面的几何性质有关。
当研究杆件的应力、变形，以及研究失效问题时，都要涉及到与截面形状和尺寸有关的几何量。
这些几何量包括：形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性短、惯性积、主轴等，统称为“平面图形的几何性质”。
研究上述这些几何性质时，完全不考虑研究对象的物理和力学因素，作为纯几何问题加以处理。
§A-2 静矩、形心及相互关系任意平面几何图形如图A-1所示。
在其上取面积微元dA ，该微元在Oxy 坐标系中的坐标为x 、y 。
定义下列积分：⎰=Ax A y S d ⎰=Ay A y S d （A-1）分别称为图形对于x 轴和y 轴的截面一次矩或静矩，其单位为3m 。
如果将dA 视为垂直于图形平面的力，则ydA 和zdA 分别为dA 对于z 轴和y 轴的力矩；x S 和y S 则分别为dA 对z 轴和y 轴之矩。
图A-1图形的静矩与形心图形几何形状的中心称为形心,若将面积视为垂直于 图形平面的力，则形心即为合力的作用点。
设C x 、C y 为形心坐标，则根据合力之矩定理⎭⎬⎫==C y C x Ax S Ay S (A-2)或⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫====⎰⎰A ydA AS y A xdA A S x A x CAyC (A-3) 这就是图形形心坐标与静矩之间的关系。
根据上述定义可以看出：1.静矩与坐标轴有关，同一平面图形对于不同的坐标轴有不同的静矩。
对某些坐标轴静矩为正；对另外某些坐标轴为负；对于通过形心的坐标轴，图形对其静矩等于零。
2.如果已经计算出静矩，就可以确定形心的位置；反之，如果已知形心位置，则可计算图形的静矩。
实际计算中，对于简单的、规则的图形，其形心位置可以直接判断。
例如矩形、正方形、圆形、正三角形等的形心位置是显而易见的。
对于组合图形，则先将其分解为若干个简单图形(可以直接确定形心位置的图形)；然后由式(A-2)分别计算它们对于给定坐标轴的静矩，并求其代数和；再利用式(A-3),即可得组合图形的形心坐标。
平面法的原理
平面法的原理平面法是空间几何学中的一个重要部分，主要研究在平面上的几何性质和平面图形的一些基本运算。
平面法是直线与点的综合，是研究点线面在空间几何中的关系、性质和运算的一门学科。
平面法的基本原理可以总结为以下几个方面：1. 平面的定义：平面是由无数条平行并在同一平面内的直线组成的，平面没有厚度和长度，只有宽度。
2. 平面的性质：平面具有唯一性、平行性和垂直性。
(1) 唯一性：平面上任意两点之间只有一条直线。
(2) 平行性：在同一个平面上，直线与平面中一条直线平行，则它与平面中的其他直线也平行。
(3) 垂直性：平面上一个点到平面内任意一条直线的垂直距离唯一，直线垂直于平面上的一条直线，则它也垂直于平面上的其他直线。
3. 平面内的点与直线关系：(1) 在平面内，点平行于直线、点在直线上、点垂直于直线，这些关系可以通过几何图形或方程式表示。
(2) 过一个点有无数条直线可以通过，其中一条直线与给定的另一点、一条直线平行或垂直、一条直线可以通过两个给定的点等。
(3) 平面内一条直线可以与另一直线相交于一点、平行于另一直线、重合于另一直线、垂直于另一直线等。
4. 平面内的直线与直线关系：(1) 在平面内，两条直线平行、相交、重合的情况可以通过几何图形或方程式表示。
(2) 两条直线平行等价于两个直角的斜率相等，两条直线相交等价于两个直角的斜率不相等。
(3) 平面内一条直线可以与另一直线分别成为内角和外角，并且内角等于外角补角。
5. 平面内的直线与直线组的关系：(1) 平行直线组：平面内两个或多个直线平行，则直线组为平行直线组。
(2) 周期直线组：平面内两个或多个直线对于某一条直线来说等距离，则直线组为周期直线组。
(3) 交点定位：平面内两个直线相交于一点，则可以通过求交点的方法确定点的位置。
以上就是平面法的一些基本原理。
通过研究平面法，可以帮助我们理解空间几何中的点线面的关系，解决各种平面几何问题。
平面法的应用十分广泛，涉及到物理学、工程学、建筑学等各个领域。
工程力学第四章
Z
C
Z
y
a yC
dA
ZC
y
2
ZC
截面对Z轴的惯性矩为：
I Z y dy ( yC a) dy
2 A A
y
yC
IZ
A
2 yC dA 2a
yC dA a A
2 A
截面对形心轴 ZC轴的惯性矩
由ZC轴通过截面 形心，其值为0
2
O
即：I Z I ZC a A
1400 16
50
（2）由平行移轴公式计算惯性矩
Iy
I I I yc 2
(0.24 0.211)m 0.029 m
4
4
0.86m 1.4m3 a A1 (0.7 0.51)2 1.204 m4 z 12 0.24 m 4 A B a b 3 II II 16 16 I yc I y 0 a 2 A2 0.828m 1.334 m yc 12 1.334 ( 0.05 0.51) 2 1.105m 4 c z d 2 y o 4 0.211m C D 430 860
b3
12 0.02m 0.14m3 (0.08 0.0467 )2 m2 2.8 103 m2 12 7.68 106 m4
z A1
2
20
0 100
II
yC
y
140
z
20
II II I yc I y 0 a 2 A2
C
z b 3 2 A2 z 0 12 100 3 (0.01m)(0.02m) 0.0467 mm2 2.0 103 mm2 12
100
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b
本章小结
一、知识点 1、熟练计算典型形状的静矩和形心 2、熟练计算典型形状的惯性矩、惯性积、
惯性半径 3、掌握平行移轴公式的应用方法 二、重点内容 1、常见形状的二次矩计算 2、平行移轴公式
;
m a x
M n max WP
dA
dSx dAy
y
dS y dAx
S x dS x ydA
x
A
A
Sy dSy xdA
A
A
二、形心：(等厚均质板的质心与形心重合。)
质心： y
xdm
x m m
等厚
ydm 均质
y m m
x d A
y
x
xtdA
A
xtdA A
S
y
tA
A A 等于形心坐标
ytdA
x dA
y
x
§5-3 惯性矩和惯性积的平行移轴定理
一、平行移轴定理：（与转动惯量的平行移轴定理类似）
以形心为原点，建立与原坐标轴平行
y
yC
的坐标轴如图
x
dA
a
bC y
xC x SxCAyC 0
xaxC
yb
yC
I x
y 2dA
A
(
A
yC
b)2
dA
(
A
yC2
2byC
b
2
)dA
I xC2bSxCb2 A
1.5d(2d )3 3d 2 (0.177 d )2[d 4 d 2 (0.5d0.177 d )2 ]0.685 d 4
12
64 4
y
I
yC
I
矩xC
I圆xC
(1.5d )32d 12
d 4
64
0.513
d
4
d
yC
x1
2d
I xCyC0
O
x
xC yC轴便是形心主轴
xC
I I xC、 yC便是形心主惯性矩
一、 惯性矩和惯性积的转轴定理
y
x1xcos ysin
y1
xs
in
yc
os
y1
x x1
dA y y1
x1 x
二、截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩
1.主惯性轴和主惯性矩：坐标旋转到= 0 时；恰好有
I
x0
y0
(
I
x
I 2
y
s
in
2
0
I
x
y
cos2
0
)0
与 0 对应的旋转轴x0 y0 称为主惯性轴；平面图形对主
③求形心位置
x
Sy A
xi Ai A
y
Sx A
yi Ai A
④建立形心坐标系；求：IyC ， IxC ， IxCyC
⑤求形心主轴方向 — 0
tg20
2I xCyC I xC I yC
⑥求形心主惯性矩
I I
xC0 yC0
I
x
C
I 2
y
C
(
I
xC
I 2
yC
)2
I
2 xCyC
例3 在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴。(b=1.5d)
本章主要内容
§5–1 面积矩与形心位置 §5–2 惯性矩、惯性积、极惯性矩 §5–3 惯性矩和惯性积的平行移轴定理 §5–4 惯性矩和惯性积的转轴定理 、
截面的主惯性轴和主惯性矩
§5-1 静矩与形心位置
一、面积（对轴）矩：(与力矩类似)
y
是面积与它到轴的距离之积。
x
m
ax
Nmax A
;
Mn
GI P
A
A
ytdA
S
x
tA A A
累加式:x
y
xi Ai
A (正负面积法公式 ) yi Ai
A
S y Ax Ai xi
Sx Ay Ai yi
例1 试确定下图的形心。
10
y
解 ： 组合图形，用正负面积法解之。
C2
C1(0,0)
1.用正面积法求解，图形分割及坐标
C2(-35,60)
如图(a)
120 10
注意: C点必须为形心
例2 求图示圆对其切线AB的惯性矩。
y
解 ：求解此题有两种方法：
d O
一是按定义直接积分；
x
二是用平行移轴定理等知识求。
A
B
建立形心坐标如图,求图形对形
心轴的惯性矩。
I
x
I
y
IP 2
d 4
64
I
d 4
32
I
x
I
y
圆
2I
x
I
AB
I
x
d
2
Ad 4
64
d
4
4
5d
64
4
§5-4 惯性矩和惯性积的转轴定理、 截面的主惯性轴和主惯性矩
y
d
yC
x1
解： ①建立坐标系如图。
2d
O
x
xC
b
②求形心位置。
x
xi Ai 0 0 AA
y
yi A
Ai
d d 2
2 3d 2
4
d
2
0.177d
4
③ 建立形心坐标系；求：IyC ， IxC ， I xCy
I xC I矩xC I圆xC I矩x A矩 y 2 [I圆x1A圆 (0.5dy)2 ]
C1 80
x
xi
Ai
x 1
A1
x
2
A2
x
A
A1A2
图(a)
3510110 20.3 101108010
y 6010110 34.7 101108010
y
2.用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b)
负面积
C2 C1
C1（0,0） C2（5,5）
x
x
xi
Ai
x 1
A1
x
2
A2
A
A1A2
5(70110) 20.3 1208070110
轴之惯性矩主惯性矩。
tg2
0
2I xCyC I xC I yC
主惯性矩：II
x0 y0
I
x
I 2
y
(
I
x
I 2
y
)
2
I
2 xy
2.形心主轴和形心主惯性矩： 主轴过形心时，称其为形心主轴。平面图形对形心主轴之
惯性矩，称为形心主惯性矩
形心主惯性矩：
3.求截面形心主惯性矩的方法 ①建立坐标系
②计算面积和面积矩
图(b)
§5-2 惯性矩、惯性积、极惯性矩
一、惯性矩：(与转动惯量类似）
是面积与它到轴的距离的平方之积。
Ix dA
二、极惯性矩： A
矩。
是面积对极点的二次
I 2dAIxI y
A
x dA
y
x
三、惯性积：面积与其到两轴距离之积。
Ixy xydA
A
y 如果 x 或 y 是对称轴，则Ixy =0