矩阵理论矩阵的Jordan标准型

反之，设
A( ) c 0 ，则 ( 1 c
A( ) ) A( )
A( ) ( 1
c
A( ) )
En ，
所以 A( ) 是可逆的， A( )1 1 A( ) ，其中 A( ) 是 A( ) 的伴随矩阵．
c
例 3.1 –矩阵
1
A(
)
2
3
3 2 5
4
，
B(
)
3 2
1
2
中，因为 det A() 4 ， det B( ) 3 2 ，所以
的
Jordan
标准形．
J
s
J
i1
Ji
J ik
Baidu Nhomakorabea
i 的代数重数
J iri
mi mi
1
i nik
i 的几何重数 初等因子 ( i )nik 的幂指数.
ri
s
nik mi ，
mi n ，
k 1
i 1
称 Jik 为与初等因子 ( i )nik 对应的 Jordan 子块.
不考虑 Jordan 子块的顺序，Jordan 标准形唯一.
不变因子为:
d1( ) 1 ， d2( )
D2 ( ) D1( )
(
1) ， d3 ( )
D3 ( ) D2 ( )
(
1)2
所以 A( ) 的 Smith 标准形为:
1
(1)
(1)2
以下在复数域内讨论问题.
d1(
)
(
)k11 1
(
2
)k12
( j )k1 j
( s )k1s
di ( ) ( 1 )ki1 ( 2 )ki2 ( j )kij ( s )kis
是它们有相同的初等因子组且秩相等.
需要说明的是仅仅初等因子组相同不能保证它们等价，
例如
1
A(
)
2
( 2)2
2
B(
)
( 2)2
0
尽管它们的初等因子组相同，但因为两者的秩不等，
显然不等价.
为了求 A( ) 的初等因子，只要将 A( ) 化为准对角阵即可，
因为有以下结论：若 矩阵
A1( )
加到第 i 行（列）上．
–矩阵的初等矩阵是指由一个单位矩阵经过一次 –矩阵的初等行（列）变换后所得的方阵．
初等变换和初等矩阵都是可逆的
定理 3.2 对任意一个 mn 型的 –矩阵 A( ) ， 作一次某种初等行（列）变换，相当于给 A( ) 左（右）乘一个相应的 m 阶（ n 阶）初等矩阵．
定理 3.11 方阵 A 与它的 Jordan 标准形相似.
1 2 6 例 3.6 求矩阵 A 1 0 3 的 Jordan 标准形.
1 1 4
解 方法一 首先求的初等因子组
1 2 6
0 1 232
EA 1
3
r 2cr33 ,rc11 r30
1
1
1 1 4
1 1 3
1 0
0
1 0 0
而所有 r 1 阶子式（如果存在的话）全为零，则称
A( ) 的秩为 r ，记为 rankA( ) r ．零矩阵的秩为 0 ． 当 rank( Ann ( ) ) n 时，称 Ann ( ) 为满秩的或非奇异的．
定义 3.1 设有 n 阶 –矩阵 A( ) 、 B( ) ，若可使 A( )B( ) B( )A( ) En
当 A 不满足定理 3.10 时，它肯定不与对角阵相似， 但在与其相似的矩阵中可以找到形式最简单的矩阵， 这就是它的 Jordan 标准形.
定义 3.8 设 i 为 A 的互异特征值，共 s 个． mi 为 i 的代数重数，
ri 为 i 的几何重数.
J1
J
Ji
i 1
J ik
，称
J
为
A
第三章 矩阵的Jordan标准型
矩阵的Jordan标准型不但在矩阵理论与 计算中起着十分重要的作用，而且在控 制理论、系统分析等领域有广泛的应用.
3.1不变因子与初等因子
形如
a11( )
A(
)
a21 (
)
am1
(
)
a12( ) a22( )
am2( )
a1n( )
a2n
(
)
amn
(
)
的 m n 型矩阵称为 –矩阵或多项式矩阵，
成立，则称 A( ) 为可逆的， B( ) 称为 A( ) 的逆矩 阵，记为 A1( ) ． 满秩的 –矩阵不一定可逆．
定理 3.1 n 阶 –矩阵 A( ) 可逆的充要条件是 A( ) 的行列式是一个非零常数．
证明 若 –矩阵 A( ) 可逆，则有 A( )B( ) B( )A( ) En 成立， 对其两边取行列式便有 A( ) B( ) 1 ，由于 A( ) 、 B( ) 都是 的多项式， 所以 A( ) 、 B( ) 都是常数．
若 A( ) 的秩为 r ，则 Dr ( ) 0 ，但 Dr1( ) 0 ，
记
d1( ) D1( )
dk ( )
Dk ( ) , k Dk1( )
2, ..., r
则 di ( )(i 1, , r) 是 r 个首 1 的多项式.
定义 3.4 上式中的 di ( ) (i 1, , r) 称为 A( ) 的不变因子. 其中 r 为 A( ) 的秩. 定理 3.3 里 A( ) 的 Smith 标准形中的 d1( ), , dr ( ) 就是 它的不变因子.
s
其中 m i n，称 mi 为 A 的特征值 i 的代数重数， i1
dimVi ri（ i 的特征向量空间的维数）为 i 的几何重数.
定理 3.9 设 i 为 A 的互异特征值， i 1, 2, ..., s ， mi ， ri 分别为 i 的代数重数与几何重数，则
ri mi
定理 3.10 如果矩阵 A 的每个特征值的代数重数 都等于它的几何重数，则矩阵与对角阵相似.
那么 A( ) C( ) ．
由初等变换与初等矩阵的对应关系可得
A() B() 的充要条件是存在一些 m 阶与 n 阶的初等矩阵， 分别左乘与右乘 A( ) 得到 B( ) .
还可注意到,如果两个 –矩阵等价,则其秩相等;反之则不然. 这也是 –矩阵与数字矩阵的不同之处.例如:
A(
)
0
1 1
1
1
cc 12 cc33 (1)
(1)2
化为 Smith 标准形，其不变因子为 d1( ) 1 ， d2 ( ) ( 1) ， d3 ( ) ( 1)2 .
方法二 用定义计算 根据最大公因式的计算，知行列式因子为
D1( ) 1 D2( ) ( 1) D3 ( ) 2 ( 1)3
dr
(
)
(
)kr1 1
(
2
)kr 2
( j )krj
( s )krs
因为 di1( ) | di ( ) ，所以 k1 j k2 j kij krj ,
如遇 kij 0 ，必有 k1 j ki1 j kij 0 ，
以上 i 1, 2, , r ； j 1, 2, , s .
解 A( ) 虽然是对角形，但对角元素不满足依次相除性，
故不是 Smith 标准形. 方法一 用初等变换
(1)
(1)
A() c 3c 2
r 3( 2) r2
(1)2
(2) 1
(1)
(1)
c 2 ( 2)c3
(1)2 r 2 r3
(1)2
0 1
1
r1r3
r 2r 3(1)
(1)2
c 2c 1,r1 c3 r(3 3)c 1 0 0
1
1 c 3+c 2,r3 +r2, (1) r30
1232
0
1
0
0
(1)2
A 的初等因子组为 ( 1) ， ( 1)2 . 故 A 的 Jordan 标准型为
1 0 0 J 0 1 1
0 0 1
方法二 求特征值 i 及特征子空间的维数 ri dimV i
A( ) 是可逆的， B() 是不可逆的．
–矩阵也有初等变换和初等矩阵．
–矩阵的初等行（列）变换，是指以下三种变换： 1．交换 A( ) 的第 i 行（列）与第 j 行（列）； 2．用非零的数 k 乘以 A( ) 的第 i 行（列）； 3．将 A( ) 的第 j 行（列）乘以一个多项式 ( ) 后，
,
B(
)
1 0
1
的秩相等,但不等价.
定理 3.3 若 rank(A()) r ，则
d1()
d2()
A()D()
dr()
0
0
其中 di ( ) | di1( ) ， i 1, 2, , r 1 (依次相除性)， di ( ) 为首 1 多项式， i 1, 2, , r . D( )为 A( ) 的等价标准形，称为 Smith 标准形.
定理 3.7 A B 的充要条件是 A 、 B 有相同的不变因子. 定理 3.8 A B 的充要条件是 A 、 B 有相同的初等因子组.
定义 3.6 设 i 为 A 的互异特征值， i 1, 2, , s ， 且 A 的特征多项式
det( E A) ( 1 )m1 ( i )mi ( s )ms
1 2
例 3.2
化
A(
)
为
Smith
标准形.
解
1 2 2 2
1 2 A()c 1c 30
1 2
2
1 2 r 3r1 0
0 0
2
1 0 0
1 0 0
c 2( 2 )c10 0 c3()c1
0
2
c 3c 2 0 c3(1) 0
0
0
(1)
推论 1 任一 n 阶可逆 -矩阵均可经过若干次初等 变换化为 n 阶单位矩阵 En .
1 2 6 令 E A 1 3 ( 1)3 0
1 1 4
故 A 的特征值为 1 2 3 1 .
2 2 6 1 1 3
i E A 1 1 3 0 0
0
1 1 3 0 0 0
所以对应于特征值 i 1 有 2 个线性无关的特征向量.
1 0 0 故 A 的 Jordan 标准形为： J 0 1 1
0 1 0 0 例 3.10 设 A 0 0 1 0 ，求 A10 A6 8A .
推论 2 可逆 -矩阵可表示为若干个初等矩阵之积.
定义 3.3 n 阶 -矩阵 A( ) 中所有非零 k 阶子式的 首项系数为 1 的最大公因式称为 A( ) 的 k 阶行列 式因子，记为 Dk ( ) .
由定义知 Dn( ) 即为 A( ) 的行列式的值，显然 Dk ( ) | Dk1( ) (称为依次相除性)， k 1, 2, , n 1 .
A( )
A2( )
Ak ( )
则 A1( ), A2( ), , Ak ( ) 的各个初等因子组的全体即为 A( ) 的全体初等因子组.
3.2 矩阵的Jordan标准形
今后为叙述简约，规定对于数字矩阵 A ，
称 E A的不变因子、初等因子为 A 的
不变因子、初等因子.
定理 3.6 A ~ B E A E B
定义 3.2 设 A() 、 B() 是两个同型的 –矩阵， 如果 A() 可以经过有限次初等变换化为 B() ， 则称 A( ) 与 B( ) 是等价的，记作 A( ) B( ) ．
等价关系具有以下性质：
1．自反性： A( ) A( ) ； 2．对称性：如果 A( ) B( ) ，那么 B( ) A( ) ． 3．传递性：如果 A( ) B( ) 且 B( ) C( ) ，
0 0 1
3.3 Hamilton-Coyle定理
设 A C nn ，其特征多项式为
( ) det( E A) n a1 n1 a2 n2 an1 an
矩阵 A 与() 之间有如下重要的关系.
定理 3.13(Hamilton - Cayley 定理)
设 A C nn ，( ) det( E A) ， 则 ( A) Onn .
定义 3.5 di ( ), i 1, 2, , r 的如上因式分解式中， 所有幂指数不为 0 的因式
( j )kij
( i 1, 2, , r ； j 1, 2, , s )，称为 A( ) 的初等因子. 全体初等因子的集合称为初等因子组.
定理 3.5 n 阶 矩阵 A( ) 、 B( ) 等价的充要条件
定理 3.4 等价的 n 阶 -矩阵有相同的各阶行列式因子及 不变因子. 两个 n 阶 -矩阵等价当且仅当它们有相同的行列式因子 或相同的不变因子.
由此可知 n 阶 -矩阵的 Smith 标准形唯一.
( 1)
例 3.4
设 A( )
，求
A(
)
的
( 1)2
Smith 标准型及不变因子.
其中 aij ( ) (i 1, 2, , m; j 1, 2, , n) 为 的多项式．
–矩阵的相等、加法、数乘和乘法等概念与运算 都与数字矩阵相同，而且有相同的运算规律． 对 n n 的 -方阵可类似定义行列式、子式、余子式、 伴随矩阵等概念．
如果 –矩阵 A( ) 中有一个 r 阶子式 (r 1) 不为零，