线性代数复习提纲
线性代数期末复习提纲
★ 线性代数基本内容、方法及要求第一部分 行列式【主要内容】1、行列式的定义、性质、展开定理、及其应用——克莱姆法则2、排列与逆序3、方阵的行列式4、几个重要公式：（1）T A A =； （2）AA 11=-； （3）A k kA n =； （4）1*-=n A A ； （5）B A AB =； （6）B A BA B A ==0**0； （7）⎩⎨⎧≠==∑=j i j i A A a ni ij ij ，，01 ； （8）⎩⎨⎧≠==∑=j i j i A A a n j ij ij ，，01（其中B A ,为n 阶方阵，k 为常数）5、行列式的常见计算方法：（1）利用性质化行列式为上（下）三角形；（2）利用行列式的展开定理降阶；（3）根据行列式的特点借助特殊行列式的值【要求】1、了解行列式的定义，熟记几个特殊行列式的值。
2、掌握排列与逆序的定义，会求一个排列的逆序数。
3、能熟练应用行列式的性质、展开法则准确计算3-5阶行列式的值。
4、会计算简单的n 阶行列式。
5、知道并会用克莱姆法则。
第二部分 矩阵【主要内容】1、矩阵的概念、运算性质、特殊矩阵及其性质。
2、方阵的行列式3、可逆矩阵的定义、性质、求法（公式法、初等变换法、分块对角阵求逆）。
4、n 阶矩阵A 可逆⇔0≠A ⇔A 为非奇异(非退化)的矩阵。
⇔n A R =)(⇔A 为满秩矩阵。
⇔0=AX 只有零解⇔b AX =有唯一解⇔A 的行（列）向量组线性无关 ⇔A 的特征值全不为零。
⇔A 可以经过初等变换化为单位矩阵。
⇔A 可以表示成一系列初等矩阵的乘积。
5、矩阵的初等变换与初等矩阵的定义、性质及其二者之间的关系。
6、矩阵秩的概念及其求法（（1）定义法；（2）初等变换法）。
7、矩阵的分块，分块矩阵的运算：加法，数乘，乘法以及分块矩阵求逆。
【要求】1、 了解矩阵的定义，熟悉几类特殊矩阵（单位矩阵，对角矩阵，上、下三角形矩阵，对称矩阵，可逆矩阵，伴随矩阵，正交矩阵）的特殊性质。
1线性代数复习提纲
1线性代数复习提纲《线性代数》复习提纲第一部分：基本要求（计算方面）四阶行列式的计算；N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；含参数的线性方程组解的情况的讨论；齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）；讨论一个向量能否用和向量组线性表示；讨论或证明向量组的相关性；求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；将无关组正交化、单位化；求方阵的特征值和特征向量；讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；判定二次型或对称矩阵的正定性。
第二部分：基本知识一．矩阵1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；2．矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2）关于乘法的几个结论：①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）；②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|；④|kA|=k^n|A|3．矩阵的秩（1）定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；（2）秩的求法一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。
求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。
4．逆矩阵（1）定义：A、B为n阶方阵，若AB＝BA＝I，称A可逆，B是A的逆矩阵（满足半边也成立）；（2）性质：(AB)^-1=(B^-1)*(A^-1)，(A')^-1=(A^-1)'；(A B 的逆矩阵，你懂的)（注意顺序）（3）可逆的条件：①|A|≠0；②r(A)=n; ③A->I;（4）逆的求解伴随矩阵法A^-1=(1/|A|)A*；(A* A的伴随矩阵~)②初等变换法（A:I）->(施行初等变换)（I:A^-1）5．用逆矩阵求解矩阵方程：AX=B，则X=（A^-1）B；XB=A，则X=B(A^-1)；AXB=C，则X=(A^-1)C(B^-1)二、行列式1．行列式的定义用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。
线性代数(工科)复习提纲
线性代数〔工科〕温习提纲〔06-07〔1〕〕
2006.9
一、测验题型：填空题；单项选择题；解答题；证实题。
二、温习提纲：
1、方阵的行列式，行列式的运算性子，三阶、四阶行列式的盘算；
2、矩阵的运算〔数乘、转置、乘积、代数跟、逆〕；
3、逆矩阵的界说与断定；
4、解矩阵方程；
5、初等方阵与矩阵的初等变更之间的关联；
6、线性相干与线性有关的界说与断定；
7、求向量组的极年夜线性有关组，并将其他向量用它线性表现；
8、齐次线性方程组有非零解的前提，齐次线性方程组解的构造，探讨含参数齐次线性方程组解的状况，并求普通解；
9、方阵的特点值与其行列式之间的关联；
10、方阵A与对角阵类似的前提；
11、化二次型为规范形，并求响应的正交变更；
12、正定二次型的性子与断定。
三、温习题：
P245〔4〕〔5〕〔7〕〔8〕，6〔2〕，9
P491，12，20
P721，2，4〔1〕，14，15
P977，8，9，11，12，14
P1181，2
P1364，11，12。
线性代数总复习大纲及复习题
04-05(2) 线性代数总复习大纲及复习题： 一、 概念1、 行列式的 定义2、 向量组相关与无关的定义3、 对称阵与反对称阵4、 可逆矩阵5、 矩阵的伴随矩阵6、 基与向量的坐标7、 矩阵的特征值与特征向量 8、 正定矩阵 9、 矩阵的迹 10、 矩阵的秩 11、 矩阵的合同 12、 二次型与矩阵13、 齐次线性方程组的基础解系 二、 性质与结论1、 与向量组相关与无关相关的等价结论2、 行列式的性质3、 克莱姆规则（齐次线性方程组有非零解的充要条件）4、 矩阵可逆的充要条件及逆矩阵的性质5、 初等变换与初等矩阵的关系6、A A A A A E **==7、 n 维向量空间坐标变换公式 8、 相似矩阵的性质 9、 合同变换10、 矩阵正定的充要条件11、 线性方程组解的性质与结构定理 三、复习题及参考答案1．若三阶行列式1231122331232226a a a b a b a b a c c c ---=，则 123123123a a ab b bc c c = 12 2．若方程组123123123000tx x x x tx x x x tx ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，则t=⎽⎽⎽⎽1⎽⎽⎽。
3．已知齐次线性方程组32023020x y x y x y z λ+=⎧⎪-=⎨⎪-+=⎩仅有零解，则λ≠ 04．已知三阶行列式D=123312231，则元素12a =2的代数，余子式12A = -1 ；3.若n 阶矩阵A 、B 、C 满足ABC=E （其中E 为n 阶可逆阵），则BCA=E 。
（ 对 ）4.行列式002002316.02342345= （ 对 ） 5.对向量1234,,,αααα，如果其中任意两个向量都线性无关，则1234,,,αααα线性无关。
（ 错 ）6. 如果A 是n 阶矩阵且0A =，则A 的列向量中至少有一个向量是其余各列向量的线性组合。
（ 对 ）7. 向量组s ααα,,,21 线性无关的充分必要条件是其中任一部分向量组都线性无关。
09级线性代数_复习提纲
线性代数复习提纲（09级信管）夯实基础理解概念注重能力把握例题及作业题型第一章行列式注意行列式是个数（er）！行列式是方的！行列式的记号是x xx x！1、二、三阶行列式定义（P2-P3）注意：顺便再看一下克莱姆法则P4，注意克莱姆法则的适用条件。
2、余子式、代数余子式概念，它们之间的关系（P5—6）3、n阶行列式定义（P7）4、行列式按行（列）展开定理（P7定理1.1）注意用该定理计算行列式时的一般原则，哪行（列）零元素多，就按哪行（列）展开5、行列式的性质（P10-14）注意：哪些性质行列式的值不变，哪些性质行列式的值为0，哪些性质行列式的值变了，怎么变的。
6、行列式的一般计算方法（1）直接利用按行（列）展开定里降阶计算（如果行列式中没有0元素多的行或列，该法不经济）（2）利用行列式的性质将行列式化为上（下）三角行列式（就是将矩阵化为行阶梯形的方法，不过注意变换过程中保持行列式的值不变！！）（3）利用行列式的性质将行列式某行（列）只含一个非0元素，再按该行（列）展开（作为手算来说，该法比较经济）建议：看教材P14例1-8，例1-9。
7、看：P21-22定理1.3，定理1.4，推论1.2，推论1.3，例1-14。
第二章矩阵！！！注意，这章是后面各章的基础。
1、矩阵的概念；注意：矩阵是个“数表”；矩阵的记号是中括号或圆括号；不要和行列式混淆，只有方阵才有行列式。
2、矩阵运算：加法，数量乘法，矩阵与矩阵的乘法，矩阵的转置；注意：矩阵进行上述运算的条件，特别是矩阵乘法的条件；矩阵乘法不满足交换律！！！3、可逆矩阵定义(P37)逆矩阵的定义可以结合数中倒数的概念理解。
4、方阵可逆的充要条件，求矩阵的逆矩阵的方法P37—38，定理2.1；定理2.2给出了判断矩阵可逆的充要条件，并给出了一个求逆矩阵的公式。
伴随矩阵的理解及定理2.2的使用可结合例2-8。
5、矩阵的初等变换，几类？（P49）注意：矩阵变换过程中用箭头“→”或“～”，不可以用等号“＝”，因为由前一个矩阵变到下一个已经不相等了。
线性代数
《线性代数》复习提纲~ ~~~ 我上大一的时候怎么没有这么给力的啊！！《线性代数》复习提纲第一部分：基本要求（计算方面）四阶行列式的计算；N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；含参数的线性方程组解的情况的讨论；齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）；讨论一个向量能否用和向量组线性表示；讨论或证明向量组的相关性；求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；将无关组正交化、单位化；求方阵的特征值和特征向量；讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；判定二次型或对称矩阵的正定性。
第二部分：基本知识一、行列式1．行列式的定义用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。
（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；2．行列式的计算一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则；N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。
方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。
特殊情况上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；（2）行列式值为0的几种情况：Ⅰ行列式某行（列）元素全为0；Ⅱ行列式某行（列）的对应元素相同；Ⅲ行列式某行（列）的元素对应成比例；Ⅳ奇数阶的反对称行列式。
二．矩阵1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；2．矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2）关于乘法的几个结论：①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）；②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|；④|kA|=k^n|A|3．矩阵的秩（1）定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；（2）秩的求法一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。
专升本线性代数复习提纲和复习题
线形代数复习提纲（专升本）第一章行列式1.掌握n阶行列式的定义、行列式一般项的表示方法，特别是掌握一般项行列式符号的求解。
2.掌握行列式的重要性质和推论：行列式与其转置行列式的值相等；互换行列式的两行（列），行列式的值变号；如果行列式中有两行（列）对应元素相同，则此行列式的值为零；用数K乘以行列式的每一行（列），等于以数乘此行列式；如果行列式中的某一行（列）的每一个元素都写成两个数的和，则此行列式可以写成两个行列式的和，这两个行列式分别以这两个数为所在行（列）对应位置的元素，其他位置的元素与原行列式相同；把行列式某一行（列）的所有元素同乘以数K后加到另一行（列）对应位置的元素上去，行列式的值不变。
3.掌握代数余子式的概念和性质，并能利用代数余子式将行列式按一行（列）展开。
两条重要性质：n阶行列式的D等于它任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和；n阶行列式D的某一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零。
4.掌握范德蒙德行列式，能利用行列式的性质和行列式按一行（列）展开的定理简化行列式的运算（化三角形法、降阶法）。
第二章矩阵1.掌握矩阵的加减法、数乘、乘法运算的形式、满足的定律，特别注意矩阵的乘法运算（不满足交换律）。
2.掌握转置矩阵的概念和性质；掌握对称矩阵和反对称矩阵判定的充要条件。
3.掌握单位矩阵、零矩阵、数量矩阵、转置矩阵、上、下三角矩阵、可逆矩阵、正交矩阵、伴随矩阵等特殊方阵的定义。
掌握方阵的行列式运算和性质，特别注意│A+B│≠│A│+│B│。
4.掌握可逆矩阵的定义、重要性质、矩阵可逆的充分必要条件（│A│≠0），能熟练利用伴随矩阵求解可逆矩阵。
5.掌握矩阵的初等变换（对换变换、倍乘变换、倍加变换），能利用矩阵初等变化求行阶梯矩阵和矩阵的秩。
掌握初等矩阵、等价矩阵的定义、初等变换的性质（特别是初等变换不改变矩阵的秩这一性质的运用）。
懂得利用初等变换求逆矩阵。
线性代数复习提纲
线性代数复习提纲第一题：以矩阵，行列式运算为主题第二题：矩阵：一、求线性方程组的解，带参数的线性方程组中参数与解的关系（方法与指导：P5例二，例三）二、矩阵的运算（课本P78 33）三、有关矩阵的秩的证明（方法与指导P14例15）行列式一、计算（课本P209 5、6、9）二、Crammer法则（课本P212 12）三、方阵行列式（课本P214 26）第三题：（非）齐次线性方程组，第三章中线性空间试卷2008~2009第二题（高等代数C，A卷）试卷2010~2011第二题（高等代数A，A卷）试卷2010~2011第三题（高等代数A，A卷）试卷2008~2009第三题（高等代数C，A卷）第四题：线性相关及线性表出线性相关（无关）（P84 定义2.1.5）线性表出（P83定理2.1.4 ，P86 定理2.1.1，P87 定理2.1.2）部分相关则整体相关例2.1.4（证明）P84 整体无关则部分无关例2.1.5P85例2.1.7（证明）P95例2.2.6从一组向量中找到极大无关组定义2.1.6向量组的等价（注：本书涉及四种等价关系①相抵②向量组等价③相似④P88 合同）定理2.1.3（证明）：推论：等价的线性无关向量组包含相同个数的向量向量组的秩P90~P91定理及证明向量组的秩与矩阵秩的关系P93定理2.3.3 P94定理2.2.4P101例2.3.5证明非齐次线性方程组解的结构P102~P105全部注：秩的不等式r(AB)≥r(A)+r(B)-nr(A+B)≤r(A)+r(B)r(AB)≤min{r(A),r(B)}r(A m*n)≤min{m,n}第五题：Jordan块及特征值Jordan标准型特征值，初等因子例：2010~2011 线代A第五题课本P250例5.4.5学习指导P186例10第六题：线性变换及其证明概念：课本P120定义3.2.2 P121定义3.2.3P140定义3.4.3 定义3.4.4 例3.4.7P141基变换公式P142定理3.4.2P152定义3.6.6 P155定理3.6.5例题：课本P163 11 学习指导P92例2 P94例3 P96例5第八题：特征值特征向量，相似对角化1、求特征值特征向量课本P218例5.1.32、矩阵相似（相似变换矩阵）：定义性质课本P221 P261 173、矩阵的相似对角化①求矩阵的n次幂课本P223例5.1.6 P261 10②可相似对角化的条件课本P224~P228 课本P262 18、21③相似对角化的方法：四步，见课本P228例5.2.24、实对称矩阵：实对称矩阵的特征值及特征向量①不同特征值，特征向量是正交的（证明P237定理5.3.2）②实对称矩阵可相似对角化的方法课本P240例5.3.1 5.3.2 第九题：二次型化为标准型、二次型定性课本P270配方法例题6.2.2P276 正交变换法例题6.2.6P284 定理6.4.2 例6.4.2P299 习题31。
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线性代数复习提纲第一章行列式本章重点是行列式的计算，对于n阶行列式的定义只需了解其大概的意思。
要注重学会利用行列式的各条性质及按行（列）展开等基本方法来简化行列式的计算，对于计算行列式的技巧毋需作过多的探索。
1、行列式的性质（1）行列式与它的转置行列式相等，即D = D T。
（2）互换行列式的两行（列），行列式变号。
（3）行列式中如有两行（列）相同或成比例，则此行列式为零。
（4）行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式；换句话说，若行列式的某一行（列）的各元素有公因子k，则k可提到行列式记号之外。
（5）把行列式某一行（列）的各元素乘以同一数k，然后加到另一行（列）上，行列式的值不变。
（6）若行列式的某一行（列）的各元素均为两项之和，则此行列式等于两个行列式之和2、行列式的按行（按列）展开（1）代数余子式：把n 阶行列式中i , j 元a .j 所在的 第i 行和第j 列划掉后所剩的n -1阶行列式称为i , j _i + j元3ij 的余子式，记作M ij ;记Aj 二-1 M ij ，则称 Aj 为i , j 元a ij 的代数余子式。
（2）按行（列）展开定理：n 阶行列式等于它的任意一行（列）的各元素与 对应于它们的代数余子式的乘积之和 ，即可按第i 行 展开：D = a i i Ai a i 2A 2 …a^A n , （1 = 1,2,...,n ） 也可按第j 列展开：…a nj A nj , （j = 1,2,..., n ）（3）行列式中任意一行（列）的各元素与另一行的 对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 a i 1 A j 1 a i 2 A j 2…a in A jn = 0, （i = j ）； 或 a 1i A 1 j a 2i A 2 j …a ni A , （i = j ）D3、 克拉默法则：X 厂一L , （i = 1,2,..., n ），其中D j 是D把D 中第i 列元素用方程右端项替代后所得到的行列 式。
D " a 1 j A 1 j a 24、常用的行列式上（下）三角形行列式等于其主对角线上的元素的乘积；特别，（主）对角行列式等于其对角线上各元素的乘积。
学会利用行列式各性质将行列式化为三角形，以方便计算。
第二章矩阵及其运算了解矩阵的加法、数乘、矩阵与矩阵相乘、矩阵的转置和方阵的行列式等概念。
本章重点是要熟练掌握矩阵的线性运算（加法与数乘）、矩阵与矩阵的乘法、矩阵的转置、方阵的行列式及其运算规律；掌握可逆矩阵的概念以及矩阵可逆的充要条件；理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求矩阵的逆阵。
1、矩阵的运算（1）矩阵加法满足A, B, C M mn（a）ABBA（b）（A B）C = A （B C）（2）数乘矩阵满足 / R, A, B M mn（a） A —— A（b） A 二A A（c）A B = A B（3）矩阵与矩阵相乘满足（前面矩阵的列数=后面矩阵的行数）(a) AB C = A BC(b) ABC 二 AB AC(c) A注意:(a) 一般情况下，AB= BA ； AB= BA ，则称 A , 是可交换的。
(b) 即便AB 二0, A , B 可以都不是零矩阵。
(4) 矩阵的转置满足T T(a) A T 二 A(b)/ 、 T T(c) M A)二 > A T(e) A T A 二 0 = AA T 二 0 = A 二 0(5)方阵的幂A k ( k 为正整数，A M n )(a) A k A^ A k 1; A k A kl ( k , l 均为正整数) (b)若方阵A , B 是不可交换的，则 (d) T (AB)T A Tk k;AB A k(6)方阵的行列式(A, B均为方阵)满足(a) A T=|A。
(b) 九=扎n A (c) AB = A B设A M n ，若有B M n ，使得 AB 二BA 二E (单位阵)，则称矩阵A 是可逆的，B 是 A 的逆阵，记作B(2) 方阵A 可逆二 B ，使 BA = E 。
(3)逆阵的性质(4)伴随矩阵：设A MT ，(其中A ij 是A 中仃,j)元的代数余子式 伴随阵的性质：2、逆矩阵 (1 )定义： -1 。
B AB E (a)若A 可逆，则 A _1也可逆，且A '"二A (b)若A 可逆，则A T 也可逆，T -1 _1 T 且 A T 二 A (c)若A 可逆，k- 0 , 则kA 也可逆，且 -1 1 _1 kA A 1 k均可逆，则 (d)若 A,I—1 AB A , 也可逆，且A 的伴随阵A *定义为* *(a) AA - A A= A E⑹若叶0，则A ― A A山1(c)若IA卜0，贝輕A*)=( A** n -1(d)A - AT* * T(e) A T二A3、克拉默法则的矩阵表示若|A卜0 ,则方程组Ax= b有唯一解x = A，b = — A* b。
|A|第三章矩阵的初等变换与线性方程组本章重点是要熟练掌握用初等行变换把矩阵化成行阶梯形和行最简形的方法，并熟练掌握用矩阵初等行变换求解线性方程组的方法。
理解矩阵的秩的概念，并掌握用矩阵初等变换求矩阵的秩的方法。
理解非齐次线性方程组无解、有唯一解或无穷多解的充要条件和齐次线性方程组有非零解的充要条件。
1、定义初等行变换：r「 r j; r i k; r i kr j；初等列变换： &「C j; c i k; c i kC j ；初等变换：A B，即A与B等价，秩相等。
2、矩阵的秩(1)矩阵A的最高阶非零子式的阶数r，称为矩阵A 的秩，记作R A二r。
(2)R A二r= A的最简形含r个非零行二A的标准形F「巴。
I °0丿mn(3)矩阵的秩的性质：(a)° 乞R A m n空min'm, n。
(b)R A T = R A o(c)A[]B= RA=RB o(d)若P,Q可逆，则R PAQ 二R A o3、线性方程组理论(1)n元非齐次线性方程组Ax=b有解的充要条件是RA RA, b，当R A RA, b n时有唯一解；当R A二R A,b n时有无穷多解；无解的充要条件是R A R A, b o(2)n元齐次线性方程组Ax二°有非零解的充要条件是R A n ;只有零解的充要条件是R A二n。
(3 )矩阵方程AX = B有解的充要条件是R A - R A, B 。
第四章向量组的线性相关性在本章学习中，，要特别注意方程语言、矩阵语言、几何语言三者之间的转换，，突出的典型问题是对a，b2,…,b j = a i,a2,…,a m 心i, (B= AK)所作的解释：矩阵语言：B是A与K的乘积矩阵；方程语言：K是矩阵方程AX = B的一个解；几何语言：向量组B能由向量组A线性表示，K是这一表示的系数矩阵。
理解向量组线性组合以及一个向量(或向量组) 能由一个向量组线性表示的概念，特别地，要熟悉这些概念和线性方程组的联系。
理解向量组线性相关和线性无关的概念，并熟悉它们与齐次线性方程组的联系。
理解向量组的最大无关组和向量组的秩的概念，会用矩阵的初等变换求向量组的最大无关组和秩。
本章的另一个重点是理解齐次线性方程组的基础解系的概念，并能熟练地求出基础解系，理解齐次1、n维向量、向量组n个有次序的数印,a?,Ill,a.构成的有序数组称为n维向量，记作a2 丨TI I _ Ia ~: , a ~a1 , a2）…,a nI * Ia na与a T分别称为列向量和行向量，也就是列矩阵和行矩阵。
若干个同维数的列（行）向量所组成的集合叫做向量组。
含有有限个向量的向量组可以构成一个矩阵。
2、线性组合与线性表示（1）向量b能由向量组A:a1,a2,...,a m线性表示=方程组x1a^ x2a2 ^ ... ^ x m a m二b Ax 二b 有解-R a i,a2,...,a m 二R a「a2,...,a m,b （定理1）（2）向量组B ：匕,鸟,...,b能由向量组A:a1,a2,...,a m 线性表示二矩阵方程与非齐次线性方程组通解的构造O（a「a2,..., a m）X r bb,..., b）（AX = B）有解=R A = R A, B （定理2）（3）向量组A与向量组B等价（能相互线性表示）二 RA=RB=RA, B（4）若向量组B能由向量组A线性表示，则R B三R A。
（定理3）3、线性相关与线性无关向量组A:a i,a2,...,a m线性相关二齐次线性方程组x1a< x2a2 ... X m a m = 0 Ax = 0 有非零解二R a i,a2，...,a m :: m （定理4）向量组a i,a2,...,a m m 2线性相关的充要条件是存在某个向量a j V j m，它能由其它m 1个向量线性表示。
4、向量组线性相关性的重要结论（1）向量组a i, a2,..., a s线性相关，则向量组a1,a2,...,a s,a s仆…,a m也线性相关。
（定理5-1）（2）m个n维向量组成的向量组，当m」，即个数大于维数时一定线性相关。
（定理5-2）（3）设向量组A: a1,a2,...,a m线性无关，而向量组a2,...,a m,b线性相关，，则向量b必能由向量组A线性表示，且表示式是唯一的。
（定理5-3 ）5、向量组的最大无关组与向量组的秩（1 ）定义：如果在向量组中能选出r个向量a?,…,a r，满足（a）向量组A o： a n a2,..., a「线性无关；（b）向量组A中任意r+ 1个向量都线性相关，那么称向量组A0是向量组A的一个最大无关组；最大无关组所含向量个数r称为向量组A的秩，记作R A。
只含零向量的向量组没有最大无关组，规定它的秩为0。
（C）上述条件（b）可改为：向量组A中任一向量都能由向量组A0线性表示。
（2）只含有限个向量的向量组A:a,,a2,...,a m构成矩阵A=（a,, a 2，..., a m〉，矩阵A的秩等于向量组A的秩，即R A 二R a,,a2,...,a m二R A。
（定理6）6、齐次线性方程组Ax二0的基础解系与通解设n元齐次线性方程组A m n^ 0的解集为S，则R S r ；解集S的一个最大无关组称为齐次线性方程组的基础解系，其中含R S = n - r个解向量。
设_r为齐次线性方程组的基础解系，则其通n解为X = c,「c2 2C n-r n-r C i, C2,...C n_r R7、非齐次线性方程组Ax二b的通解设非齐次线性方程组 Ax = b 的一个解为*，对 应的齐次线性方程组Ax = 0的基础解系为1, 2,..., n _r ,则非齐次方程组的通解为*x C i 1 C 2 2 …On-r n-r。