线性代数期末考试复习资料

推论1 :行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以
提到行列式符号的外面。
推论2：如果行列式D有一行（列）的元素全为零，则D=0 推论3：如果行列式D有两行（列）的元素成比例，则D=0 推论4：
设A为n阶方阵，则 A n A 。
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行的运算
row
列的运算
column

交换i, j两行
a11
特殊 行列式 的计算
a11 a nn a11 a1n a n1
a nn
a11 a 22 a nn
a n1
a1n a n1
a n1

a 1n
a11
a 1n
a nn a n1
n( n1) ( 1) 2 a
1n a 2,n1 a n1
ri rj
k ri
变号
数乘第 i 行
数乘第 i行 加到第 j 行 交换i, j两列 数乘第 i 列 数乘第 i 列 加到第 j 列
K倍
等值
r j kri
ci c j
k ci
变号
K倍
等值
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c j kci
定理1.7
设 A 是n 阶矩阵，
*
A AA A A A
*
*
为其转置伴随矩阵，则有
A﹡重要公式
AA A A
A21 A22 A2 n
*
*

A
I
AA

A 0 A 0 0 A
An1 An 2 Ann
例如乘积阵的第2行元素分别为
A I.
“”

2. A1 ) A
A 可逆， 且AA A I A 0 . 否则 , 若 A 0 AA O A AA ( A ) 1 O
A O , 这 与A 可 逆 矛 盾 . A可逆.
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线性相关的一些命题(定理2.3部分蕴涵其中) 1. 含有零向量的向量组，总是线性相关的。
k1 , k2 , , kr 使 k11 k22 krr 0
1 , 2 ,, m
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• 定理2.3 (1)线性相关向量组添加向量后仍 然线性相关; • (2)线性无关向量组的子向量组必线性无关; • (3)线性无关向量组中的每个向量扩大同样 的维数,得到的新向量组仍然线性无关.
全为零时， k11 k22 knn O 才成立，则称向量组
1，2， ，n 线性无关。
●显然：含有零向量的向量组是线性相关的。
因为
1 O 0 1 0 2 0 n O
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●两个向量线性相关的充要条件是对应分量成比例。
小结：
（1） 向量组
A (A ) A
A
I, n1 n 2 1 1 1 且( A ) A , ( A ) A ( A ) A A .
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n 1
A 又 A可逆， A 可逆，

n1
,
定理1.9
定义
分块对角矩阵
设A为n阶方阵，若A的分块矩阵只有在主对角线 上有非零子块，其余子块都是零距阵，且非零子 块都是方阵，即
a 11 a 21 a n1 a 12 a 22 a n2
A21 An1 A22 An 2 A2 n Ann
a 1n A11 a 2 n A12 A a nn 1n
用矩阵的初等行变换来解线性方程组，实际上，将矩阵的初 等行变换对比行列式的性质，有：矩阵的初等行变换并不改 变矩阵的秩，因此，可以将矩阵先化成行阶梯型矩阵，就可较 快求出矩阵的秩。
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； 说明：1） 其中 表示对所有n阶排列求和，共有n！项
j1 jn
）； 2） 对应于方阵A的行列式记为 A 或det（A
1 , 2 ,, n
线性相关
齐次线性方程组
x11 x22 xnn 0
（2） 向量组
有非零解
1 , 2 ,, n
线性无关
齐次线性方程组
x11 x22 xnn 0
只有零解
(3) 向量 可由向量组 1 , 2 ,, n 线性表示 线性方程组
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定理1.8 n 阶方阵A 可逆的充要条件是 A 0. 且A 1 A A 证 “”
1
由A可逆知AA
AA
1
1
1
I , 两边取行列式，
I 1 A 0， A
AA A A A I
1
A 1 A
1
1 A
A A
“”
由 A 0,
1 1 1 1 A( A ) ( A ) A I A A A A A
（2）若 Ai 0(i 1, 2,, s), 则 A 0, 并有
A11 O 1 A O O 1 A2 O O O -1 As
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伴随矩阵的性质：
1.
A 可 逆 A可 逆, 且( A )
1

1
A A n 2 n1 5. ( A ) A A 4. (kA) k A 证1. “” 由A可逆知A 0, 由伴随阵重要公式知, A A ,I ( A ) 1 1 A; AA A I A A 1 1 1 1 1 又A ( A ) A I ( A ) A A ( A) 1 3.
A1 O A O
O A2 O
O A1 O As
A2
As
()
其中 Ai (i 1,2,, s) 都是方阵，称A为分块对角矩阵
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定理1.9 (1)
A A1 A2 As
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向量组的等价 如果向量组A 可由向量组B线性表示，且B 可由A线性表示，则称A与B等价。
（1）
a1 j a2 j ( j 1, 2, , n) 若记 j a j 即为系数矩阵的第 j 列 mj
则方程组有向量形式
x11 x22 xnn b
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2.2 向量的线性关系
定义2.4
一组数 k1 , k2 ,, kn ，使得 k11 k22 knn 成立， 设有同维向量 1 , 2 ,, n , ，如果存在
x11 x22 xnn 有解
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●向量组的线性相关性的几个性质定理
1、单个非零向量是线性无关的。 2、两个向量线性相关的充分必要条件是对应分量成比例。 3、增加向量，不改变向量组线性相关；减少向量，不改变 向量组线性无关。即部分相关，则整体相关；整体无关， 则部分无关。 4、增加分量，不改变向量组线性无关；减少分量，不改变向 量组线性相关。即低维无关，则高维无关；高维相关，则 低维相关。
设存在不全为零
k11 k22 krr 0 r 1 0 m 0
推论： 线性无关向量组的部分向量组，仍是线性 无关的。
反证法： 设线性无关向量组 1 , 2 ,, m，部分向量组 S线性相关。由此部分向量组S扩充，得到 由命题3，1 , 2 ,, m 线性相关,矛盾。
若 A 0, AA A I , A A A .
n 1


1
A A A
又 A
1
A

1
,

A A
A

n1
(2,伴随阵性质.) 设A可 逆 ， 证 明 ( A ) A n 2 A . 证 由伴随阵重要公式知, A ( A ) A I , 而
则称向量 可由向量组
判断向量 能否由向量组 1， 2 线性表示？如果可以，求出 表达式。 小结： 解 设 k11 k22
是向量组 1 （， 1 2， 1 ），2 （2,3,6）, =（5,8,13）， 例2 设
1 , 2 ,, n 线性表示，或称向量 1 , 2 ,, n 的线性组合。
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性质1.8 行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一 数 k， 等于用数 k 乘此行列式 。
a11 D ai1 an1 a12 ai 2 an 2 a1n ain ann a11 D1 kai1 an1 a12 kai 2 an 2 a1n kain k D ann
1
2
3
4
5
●线性方程组的向量表达式
线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
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推论2.1 任意m(m>n)个n维向量线性相关.
（注：由于没有m阶子式，故R(A)<m）
推论2.2 m个n维向量线性无关的充要条件是由它们组成 的m n矩阵的秩为m(m n).
推论2.3 n 个n维向量线性无关（相关）的充要条件 是由它们组成的矩阵行列式不等于0(等于0).
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如果向量组1 , 2 s中的每一个向量都可以 由向量组1 , 2 , r 线性表示,则称向量组1 ,
A可逆 A 0 A非奇异
牢 记 这 个 定 理
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(1,伴随阵性质.) 证 明 A A 证 若 A 0, 则 A 0 .

n 1
否 则, 若 A 0 1 1 ( A ) 1 A AA A I(A ) O A (A ) I A O Aij O A O , 与 A 0矛 盾 。