吉珠线性代数期末考复习讲义
线性代数总复习讲义
线性代数总复习
r(A) r(A,b)无解
r(A)=r(A,b)=n 有唯一解
克拉默法则， xj
Dj D
Ax=b
b=0 b≠0
d1 d 2 d n T 初等变换，
齐次方程的基础解系
r(A)=r(A,b)<n 有无穷多解
非齐次方程的一个特解
非齐次方程的通解
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0 1 1
1 1 0 0 0 0
r3 r2 r4 3r1
0 1 1 2 r4 r3 0 0 0 0 2 4 2 2
0 1 1
1 ( 1) ( 2) ( 2) 4
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线性代数总复习
(2) 利用行列式展开计算
定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素 与其对应的代数余子式乘积之和，即
r2 5r3
32 2 1 0 10 1 3 r2 （ 2） 3 5 3 5 1 A 1 3 3 . 0 0 2 2 2 r3 （ 1） 2 11 1 0 0 11 1
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线性代数总复习
r1 r2
r3 r2
r1 2r3
1 0 2 1 1 0 r 2r 3 1 0 2 5 2 1 0 0 0 1 1 1 1 r2 5r3 1 0 0 1 3 2 r 2 （ 2） 0 2 0 3 6 5 （ 1） 0 0 1 1 1 1 r3
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线性代数总复习
2、n阶行列式的计算 (1) 利用行列式的性质计算 （化为三角形） 性质1 行列式与它的转置行列式相等.
吉林省考研数学复习资料线性代数重点概念详解
吉林省考研数学复习资料线性代数重点概念详解一、线性代数基本概念线性代数是数学的一个重要分支，研究向量空间及其线性变换以及矩阵和行列式等代数结构。
在数学的应用领域中，线性代数也被广泛运用于解决实际问题。
1. 向量及其运算向量是线性代数的基本元素，它具有大小和方向两个特征。
向量之间可以进行加法和数乘运算。
2. 行列式的定义与性质行列式是一个矩形数组，由元素构成。
它具有许多重要的性质，如行列式的性质与元素的交换顺序无关、行列式的性质与行列式相似性质等。
3. 矩阵及其运算矩阵是数的矩形排列，它是线性代数研究的重要工具。
矩阵之间可以进行加法、数乘和乘法运算。
4. 线性方程组与矩阵的关系线性方程组是线性代数的一个重要研究对象，它可以用矩阵的形式表示。
通过矩阵的运算，可以解决线性方程组的求解问题。
二、线性代数常用定理与方法在线性代数的学习中，掌握一些常用的定理和方法可以帮助我们更好地理解和解决问题。
1. 基本定理线性代数中的基本定理有行列式的性质、向量的线性相关与线性无关性质等。
2. 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量是线性代数中非常重要的概念。
通过求解特征值和特征向量，可以得到矩阵的一些重要性质。
3. 线性变换线性变换是线性代数的核心内容之一，它是指由一个向量空间到另一个向量空间的映射，保持向量空间的线性运算。
4. 线性代数的应用线性代数在数学的各个领域都有广泛的应用，如图像处理、机器学习、密码学等。
掌握线性代数的一些基本概念和定理，可以帮助我们在实际问题中运用线性代数的知识。
三、线性代数的拓展知识在学习线性代数的过程中，可以进一步拓展相关知识，从而深化对线性代数的理解。
1. 向量空间的正交性与正交变换正交性是向量空间中一个重要的性质，它可以用于解决一些特殊问题。
正交变换是一种保持向量内积关系不变的线性变换。
2. 广义逆矩阵与线性最小二乘法广义逆矩阵是矩阵的一种扩展，它可以解决矩阵不可逆的情况下的求逆问题。
线性代数期末复习课件(超全)
x 0 k11 k22 knr nr , k1, k2， , knr R.
线性方程组解的结构
例
求
x1 2x2 4x3 3x4 1, 3x1 5x2 6x3 4x4 0,
的所有解.
4x1 5x2 2x3 3x4 －5.
,
b22
,
,
b2nr
,
xr br1 br2 brnr
线性方程组解的结构
b11
b12
1
r r 1
n
r 1
b21
br1
1 0
0
r2
b22
br
2
0 1
0
b1nr
b2nr
r 2
（II）向
量组（1）中每个向量都可由向量组（2）线性表示.
(即再添加任何一个向量都线性相关)
则称向量组（2）为（1）的一个极大线性无关组.
定义 一个向量组中，它的极大无关组所含向量 个数称为向量组的秩.
推论 两个等价的向量组有相同的秩.
向量组的秩
向量组的秩与矩阵的秩之间的关系：
向量组与矩
a11
Amn
线性相关性.
1 7 0 3 2
1
所以
A
4
0 0 0
3
0
0
2 3
1
0 1 0
1
1
0
1
3
2
1
0
0
3
0
0 0
0
1 0 0
0
2 3
1 3
01 3
1 3
11
0
0 0 0
线性组合系
线性代数期末复习知识点资料整理总结
行列式1.行列式的性质性质1行列式与它的转置行列式相等TD D =.性质2互换行列式的两行（列），行列式变号.推论1如果行列式有两行（列）的对应元素完全相同，则此行列式的值为零.性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式.如111213111213212223212223313233313233a a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a =推论2如果行列式中有两行（列）元素成比例，则此行列式的值为零．性质4若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则这个行列式等于两个行列式之和.如111213111213111213212122222323212223212223313233313233313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''''''+++=+性质5把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变.如111213111213212223212223313233311132123313a a a a a a a a a a a a a a a a ka a ka a ka =+++例1已知，那么（）A.-24B.-12C.-6D.12答案B解析2.余子式与代数余子式在n 阶行列式中，把元素ij a 所在的第i 行和第j 列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素ij a 的余子式，记作ij M ，i jij ij A (1)M +=-叫做元素ij a 的代数余子式．3.行列式按行（列）展开法则定理1行列式的值等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即1122i i i i in in D a A a A a A =+++ 或 1122j j j j nj njD a A a A a A =+++ ()1,2,,;1,2i n j n ==定理2行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即12120,j j i i jn i n a A a A a A +++= 或,11220.j j j j nj nj a A a A a A i j +++=≠ ()1,2,,;1,2i n j n == 例.设3阶矩阵()ij A a =的行列式12A =,ij A 为ij a 的代数余子式.那么313132323333a A a A a A ++=___12____;213122322333a A a A a A ++=___0___.4.行列式的计算（1）二阶行列式1112112212212122a a a a a a a a =-（3）对角行列式1212n nλλλλλλ=，n(m 1)21212nn(1)λλλλλλ-=- （4）三角行列式1111121n 2122222n1122nnn1n2nnnna a a a a a a a a a a a a a a ==（5）消元法：利用行列式的性质，将行列式化成三角行列式，从而求出行列式的值.（6）降阶法：利用行列式的性质，化某行（列）(一般选择有0元素的行或列)只有一个非零元素，再按该行（列）展开，通过降低行列式的阶数求出行列式的值.（7）加边法：行列式每行（列）所有元素的和相等，将各行（列）元素加到第一列（行），再提出公因式，进而求出行列式的值.例：思路：将有0的第三行化为只有一个非0元素33=1，按该行展开,D=3333,不用忘记B 。
线性代数期末总复习(PPT)
A+B = ( aij + bij) A与B同型 kA= ( kaij ) 运 算 AB = C 其中 cij aik bkj , Am s , Bsn ,C mn
k 1 n
AT: AT 的第 i 行是 A 的第 i 列.
|A|= detA , A必须是方阵.
三、重要公式、法则。
1、矩阵的加法与数乘
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) A+B=B+A; (A + B ) + C = A + ( B + C ); A + O = O + A = A; A + (－A) = O; k(lA) = (kl)A ; (k+l)A = kA+ lA ; k( A + B )= kA + kB ; 1A = A, OA = O 。 (2) A ( B + C ) = AB + AC; ( A + B ) C = AC + BC; (4) AO =OA = O.
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn 的系数行列式D ≠0 ， 原方程组有惟一解 Dn D1 D2 x1 , x2 , xn = . D D D 其中Dj ( j = 1,2,…,n )是把系数行列式D 中的第j 列的元素用 方程组的常数项替换后得到的n阶行列式。
n
i j i j i j i j
●定义法
●递推法
计 算
●加边法
《线代复习终极资料》课件
3
基和维数
了解向量空间的基的概念，并掌握计算向量空间维数的方法。
特征值与特征向量
特征值和特征向量
学习特征值和特征向量的定义和 性质，了解它们在线性代数中的 重要应用。
对角化
掌握对角化的概念和判定条件， 学习对角化的方法。
特征向量的应用
了解特征向量在几何变换和线性 代数中的应用。
线性变换
1 线性变换的定义
分享一些复习线性代数的有效方法和技巧，帮助您更高效地复习。
矩阵与运算
矩阵定义
矩阵乘法
逆矩阵
回顾矩阵的定义和基本性质，理 解矩阵在线性代数中的重要作用。
掌握矩阵乘法的运算规则和性质， 能够进行矩阵的乘法计算。
学习逆矩阵的定义和求解方法， 掌握逆程组
消元法
通过行变换将线性方程组转化为简化的行阶梯形。
高斯-约当消元法
了解高斯-约当消元法的算法步骤，能够通过此 方法求解线性方程组。
向量空间与线性相关
回顾向量空间的定义，了解线性相关和线性无关 的概念。
齐次线性方程组
学习齐次线性方程组的性质和求解方法。
向量空间
1
向量空间的定义
理解向量空间的基本定义和性质。
2
子空间
学习子空间的概念，掌握判定子空间的条件。
回顾线性变换的定义和性质。
2 线性变换的矩阵表示
学习线性变换的矩阵表示和计算方法。
3 线性变换的特征值和特征向量
了解线性变换的特征值和特征向量，及其在 几何变换中的应用。
4 线性变换的复合与逆
掌握线性变换的复合和逆变换的概念和性质。
矩阵的变换与相似性
相似矩阵的定义 对角化与相似
矩阵的谱定理
学习相似矩阵的定义，了解相似矩阵的性质。
《线性代数》部分讲义（Word版）
《线性代数》部分讲义（Word版）GCT 线性代数辅导第一讲行列式一. 行列式的定义● 一阶行列式定义为1111a a =● 二阶行列式定义为2112221122211211a a a a a a a a -=● 在n 阶行列式中，划去元素ij a 所在的第i 行第j 列，剩余元素构成1-n 阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记作ij M ．● 令ij j i ij M A +-=)1(，称ij A 为ij a 的代数余子式．●n 阶行列式定义为n n nnn n nn A a A a A a a a a a a a a a a 1112121111212222111211+++=．二. 行列式的性质1.行列式中行列互换，其值不变．=333231232221131211a a a a a a a a a 332313322212312111a a a a a a a a a 2.行列式中两行对换，其值变号．=333231232221131211a a a a a a a a a –333231131211232221a a a a a a a a a 3.行列式中如果某行元素有公因子，可以将公因子提到行列式外．=333231232221131211a a a ka ka ka a a a 333231232221131211a a a a a a a a a k4.行列式中如果有一行每个元素都由两个数之和组成，行列式可以拆成两个行列式的和．=+++333231232322222121131211a a a b a b a b a a a a +333231232221131211a a a a a a a a a 333231232221131211a a a b b b a a a 由以上四条性质，还能推出下面几条性质5.行列式中如果有两行元素对应相等，则行列式的值为０．6.行列式中如果有两行元素对应成比例，则行列式的值为０．7.行列式中如果有一行元素全为０，则行列式的值为０．8.行列式中某行元素的k 倍加到另一行，其值不变．=333231232221131211a a a a a a a a a 133312321131232221131211ka a ka a ka a a a a a a a +++三.n 阶行列式展开性质nnn n nn a a a a a a a a a D212222111211= 等于它的任意一行的各元素与其对应代数余子式的乘积的和，即in in i i i i A a A a A a D +++= 2211 n i ,,2,1 = ● 按列展开定理nj nj j j j j A a A a A a D +++= 2211 n j ,,2,1 =●n 阶行列式D 的某一行的各元素与另一行对应元素的代数余子式的乘积的和等于零．即02211=+++jn in j i j i A a A a A a j i ≠ ● 按列展开的性质02211=+++nj ni j i j i A a A a A a j i ≠四.特殊行列式●nn nna a a a a a22112211=;()11212)1(11211n n n n n n n na a a a a a ----=● 上（下）三角行列式和上面的对角行列式的结果相同.五.计算行列式● 消零降阶法.● 消为特殊行列式（上（下）三角行列式或和对角行列式）..典型习题1. =3D xx x 121332=（）。
线性代数考试复习提纲、知识点、例题PDF.pdf
（1） 扩充法
（2） 子式法
1
2
...
m
mn
(1,2
,...,m
) n m
最高阶非 0 子式的阶数就是矩阵的秩，也就是这个向量组
的秩，并且这个子式的行（列）对应的原向量组的向量就
是这个向量组的一个极大无关组。
（3）初等变换法 同法二构成矩阵，对矩阵进行初等变换。
例 9、设向量组
（1） 1,...,t 线性无关， （2） AX = 0 的每一个解都可以由1,...,t 线性表示。 则1,...,t 叫做 AX = 0 的基础解系。 定理 1、设 Amn ，齐次线性方程组 AX = 0 ，若 r(A) = r n ，则该方程组
的基础解系一定存在，且每一个基础解系中所含解向量的个
2x − y + z = 0
例
7、已知线性方程组
−2x1x−1 +2
x2 x2
+ +
x3 x3
= =
−2
，问当
为何值时，它有唯一
x1 + x2 − 2x3 = 2
解，无解，无穷多解，并在有无穷多解时求解。
五、向量组的线性相关性
1,2,...,s 线性相关 1,2,...,s (s 2) 中至少存在一个向量能由其余 向量线性表示。
=s2,...,n 线性相关
1,2 , ...,n
= 0或 2
...
=0。
n
1
n 个 n 维向量1,2,...,n 线性无关
1,2 , ...,n
0或 2
...
0。
n
例 8、已知向量组1 = (t,2,1) ，2 = (2,t,0) ，3 = (1,−1,1) ，
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(1)
( p1 p2 pn )
a1 p1 a 2 p2 a np n
三 余子式，代数余子式的概念
3
三 行列式的性质 计算行列式的理论依据。 四 展开定理
a i1 A j 1 a i 2 A j 2 a in A jn
D, i j 0, i j
11
二 向量组线性相关性的概念与原理
1.线性相关和线性无关的定义 2.线性组合或线性表示的定义 3.判断 1 , 2 ,, s 是否线性相关的方法： 行 （1,2 ,,s） （1, 2 ,, s） （1） 最简梯矩阵 （2）若 1 , 2 ,, s 线性相关（无关），则 1 , 2 ,, s 也 线性相关（无关）。 4.向量组线性相关性的若干结论；定理1-4及其推论。例如： ⑴包含零向量的向量组线性相关； ⑵线性无关向量组的扩展组线性无关； ⑶分量对应成比例的两个向量线性相关；
21
三 正定二次型与正定阵 1.概念：P150和P157. 2.判定方法： （1）P151定理1. （2）P150定义1.
22
a1s A1t a 2 s A2 t a ns Ant
D , s t 0, s t
4
五 方阵的行列式
设A,B是阶n方阵，k为实数，则有下列结论：
| kA | k | A |
n
| A || A |
n 1
| AB || A | | B |
5
六 行列式的计算 计算依据： 1.行列式性质
1 2 n 11 22 nn tr ( A)
12 n | A |
16
二 相似矩阵
1.定义 2.性质
三 方阵可对角化的条件：
17
四 一般矩阵 A 对角化的方法: (1)求出 A 的全部特征根和全部线性无关的 特征向量。 (2)以全部线性无关特征向量为列向量构造 可逆矩阵 P ,以全部特征值为主对角元构造对 角阵 ，则
2.展开定理
注意事项： 要在审题方面多花工夫，根据行列式元素 的规律确定计算方法，切忌拿到题匆匆忙忙 地盲目计算。
6
第二讲 矩阵
一 矩阵的概念
矩阵的概念，以及三角矩阵，对角矩阵，数量矩阵， 单位矩阵，对称矩阵 AT A ，反对称阵 AT A ，正 交矩阵 AT A E ，伴随矩阵，分块矩阵等特殊矩阵的概 念。 相关结论： 1.对称矩阵的行列式等于其转置矩阵的行列式。 2.奇数阶反对称矩阵的行列式为零。
19
第六讲
一 二次型
1.二次型与其系数矩阵:P153 2.线性变换：P154
二次型
20
二 化二次型为标准形的方法
1.找到正交矩阵 P 和对角阵 ，使得
P 1 AP PT AP
T 2.令正交变换 X PY ，则二次型 f ( X ) X AX 在此变换 下化为标准型
2 2 f (Y ) Y T Y 1 y12 2 y2 n yn
13
第四讲 线性方程组
一 线性方程组的解的判定
1.对于齐次方程组 Amn X n1 0 ，有 n 时，方程组仅有零解。 当 R( Amn） n 时，方程组有非零解。 当 R( Amn） 2.对于非齐次方程组 Amn X n1 b ，有 R( Ab) 时，方程组有解。 当 R( A） R( Ab) 时，方程组无解。 当 R( A）
1.初等变换（三类） 2.初等矩阵（三类） 3.初等矩阵与初等变换之间的关系
10
第三讲
向量组
一 若干概念 1.n维行向量， n维列向量。 T 2.向量内积: a1b1 a2b2 anbn 3.向量长度: | | T a12 a22 an2 4.向量正交: T 0 5.正交向量组和规范正交向量组 6.Schmidt正交化方法：P140
12
三 向量组的极大无关组和秩
1.极大无关组和秩的概念 2.求极大无关组和秩的方法： 行 （ , , , ） （1, 2 ,, s） 最简梯矩阵 1 2 s （ 1） （2）1 , 2 ,, s 的极大无关组所对应的1 , 2 ,, s 的部分组即为 1 , 2 ,, s 的极大无关组。 （3）极大无关组所包含的向量个数即为向量组 的秩。
7
二 矩阵的运算
加法，减法，数乘，乘法，转置
三 运算律：重点记忆以下算律
1. AB BA
A2 B2 ( A B)(A B）
n （AB） An B n
2 （A B） A2 2 AB B 2
2. AB 0不能推出A 0或B 0
T T T ( AB ) B A 3.
P 1 AP
18
五 实对称矩阵的对角化方法
(1)求出 A 的全部特征根和全部线性无关的特 征向量。 (2)把特征向量分别规范正交化。 (3)以全部规范正交化过的线性无关特征向量 为列向量构造正交矩阵 P ,以全部特征值为主对 ，则 角元构造对角阵
P 1 AP PT AP
线性代数复习讲义
吉林大学珠海学院
1
考试题型
1. 2. 3. 4. 选择题 填空题 计算题 证明题 5*3分 =15分 5*3分 =15分 4*15分=60分 1*10分=10分
第一讲 行列式
一 排列与逆序数 n 级排列，逆序，逆序数的概念；
二 行列式概念
定义
a11 a 21 a n1 a12 a 22 an 2 a1n a2n a nn
14
二 线性方程组解的性质
三 线性方程组解的结构
15
第五讲 方阵的对角化
一 矩阵的特征值和特征向量
1.特征值和特征向量的定义 2.特征值和特征向量的求法： （1）解特征方程 | E A | 0 ，得到 A 的全部特征根。 （2）解方程组 (i E A) X 0，得到其基础解系，即为 A 的属于 i 的线性无关特征向量，而它们的线性组合 即为 A 的属于 i 的全部特征向量。 3.结论：设 A (aij )nn ，1 , 2 ,, n为其特征根，则
8
四 逆矩阵
1.定义 1 1 1 ( AB ) B A 2.性质 3.计算方法： 行初等变换 （E A1） （1）初等变换法: ( A E) （2）公式法: A 1 1 A
| A|
（3）定义法:对于矩阵A,寻找矩阵B,使得 AB=E或BA=E
9
五 矩阵的初等变换与初等矩阵