线性代数复习资料

第一部分、复习纲要
1、行列式：掌握行列式的计算：①利用行列式的性质②按行（列）展开③利用已知特征值．
2、矩阵及其运算：熟练掌握矩阵的运算（线性运算及矩阵乘法），会用伴随矩阵求逆阵，知道矩阵分块的运算律．
3、矩阵的初等变换与线性方程组：熟练掌握用矩阵的初等行变换把矩阵化成行阶梯形和行最简形；掌握用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵的方法（包括求B A 1-）；熟练掌握用矩阵的初等变换求解线性方程组的方法；会讨论带参数的方程组的解的情况．
4、向量组的线性相关性：熟悉一个向量能由一个向量组线性表示这一概念与线性方程组的联系；知道两向量组等价的概念；熟悉向量驵线性相关、线性无关的概念与齐次线性方程组的联系；会用初等变换求向量组的秩和最大无关组；掌握齐次方程组的秩与解空间的维数之间的关系，熟悉基础解系的求法；会求向量组生成的向量空间的维数，会求从旧基到新基的过渡矩阵及向量的一个基下的坐标．
5、相似矩阵及二次型：了解内积、长度、正交、规范正交基、正交阵、特征值与特征向量的概念；掌握特征值与特征向量的求法，熟悉特征值的性质；知道矩阵相似、合同的概念及性质，熟悉二次型及其矩阵表示，掌握用正交变换把二次型化为标准型的方法；知道对称阵的性质、可对角化的条件，二次型的正定性及判别法等．
第二部分、典型题型
一、填空题
1、设4阶矩阵A 的秩()2R A =，S 是齐次线性方程组0Ax =的解空间，则S 的维数为__2_____，A 的伴随矩阵*
A 的秩是______0_______．
2、 已知3阶方阵A 的特征值为1，2，-3，则A 的迹t r A =___0_____，det A =___-6_____，
*|32|A A E ++=_____25________，
3、n 阶矩阵A 可对角化的充分必要条件是_____A 有n 个线性无关的特征向量_________________.
对称阵A 为正定的充分必要条件是________ A 合同于单位矩阵E
__________.
4、向量组123451122102151,,,,.2031311041ααααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
它的秩是__3_______，一个最大无关组是
_____321,,ααα_______________________．
5、 实二次型222
12312133924f x x x x x x x =++-+的秩r = ，
正惯性指数p = ，它是 定的． 6、设1
2002
50000250
038
A ⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则||A = 1 ，1A -= ⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛----23005
800001200
25 ． 7、设n 元线性方程组Ax b =的系数矩阵A 的秩为r ，若此方程组有解，则当 r =n 时，方程组
有惟一解；当 r <n 时方程组有无穷多解． 8、矩阵00A C B ⎛⎫=
⎪⎝⎭的伴随矩阵*
C =___⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛A B 0
0___________． 9、向量123α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，321β⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，矩阵T A αβ=，则6A =___A 5
10___________．
10、设A 为n 阶矩阵（n ≥2）,*
A 为A 的伴随阵，则当()R A n =时，)
(*A R = n ___；当()1R A n =-
时，)(*A R ＝ _1 _ ；当()1R A n <- 时，)(*A R = 0 ．
11、设3阶矩阵A 的特征值为2,1,3-，*2B E A =-（其中*
A 是A 的伴随矩阵），则
B 的行列式
||B =__-385____．
12、设12243311A t
-⎛⎫
⎪
=- ⎪ ⎪-⎝⎭
，并且A 的列向量组线性相关，则t = 3 ． 13、已知4维列向量组123451122102151,,,,.2031311041ααααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
所生成的向量空间为V ，则V
的维数dim V = _3____．
二、解答题
1、设3
112
5134
201115
3
3
D ---=
---，D 的(,)i j 元的代数余子式记作ij A ，求31323334322A A A A +-+． 2、计算n 阶行列式
12121
2
333
n
n n n x x x x x x D x x x ++=
+
4、设112201102P ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，500010005-⎛⎫ ⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭，并且AP P =Λ,求100
A ．
5、设202010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 200010002⎛⎫ ⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭
，并且AP P =Λ，求100
A ．
6、非齐次线性方程组123123212322,
2,2.
x x x x x x x x x λλ-++=-⎧⎪
-+=⎨⎪+-=⎩当λ取何值时有解？并求出它的通解．
7、非齐次线性方程组1312312
3,421,642 3.
x x x x x x x x λλλ+=⎧
⎪
++=+⎨⎪++=+⎩当λ取何值时有解？并求出它的通解．
8、设方阵A 满足：2
20A A E --=，证明A 及2A E +都可逆，并求1
A -及1
(2)A E -+
9、设n 阶矩阵A 和B 满足AB A B =+，
（i ）证明A E -为可逆矩阵；（ii ）若350120002A ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，求B ．
10、已知向量
11010α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，2222a α⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
，
，33111α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，416b β⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， （a ）问a ，b 取何值时，β不能由向量组123,,ααα线性表示？
（b ）问a ，b 取何值时，β能由向量组123,,ααα线性表示？并且写出其一般表示式．
、D 、之和的值求第四行各元素余子式设行列式
223500702222
04033--=
11、求向量组1133α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2121α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3112α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，4213α⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
的一个最大无关组与秩，并把其余向量用最
大无关组线性表示．
12、已知二次型为 222
123232334f x x x x x =+++
(1)写出二次型f 的矩阵表达式；
(2)求一个正交变换x Py =，把二次型f 化为标准形，并写出该标准形．
．、ax x x x b x x a x x x x x x x x b a 、通解并在有无穷多解时求其无解或有无穷多解
有惟一解线性方程组为何值时问?.
123,2)3(,122,
0,,1343214324324
321⎪
⎪⎩⎪⎪
⎨
⎧-=+++=--+-=++=+++．
AP P P ，a a A 、Λ=Λ⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=-1,,6002802214使并求可逆矩阵的值试求常数相似于对角阵若矩阵。