概率论与数理统计练习册(理工类) - 第5,6章答案

答；收入至少400元的概率几乎为0.
(2)设出售1.2元的蛋糕数量为Y，则Y ~ B(300, 0.2), E(Y ) = 60, D(Y ) = 48.
P{Y

60}
=
Y P{
− 60

0}
=
(0)
=
0.5
48
答：售出价格为1.2元的蛋糕多于60只的概率0.5.
28
一、选择题：
概率论与数理统计练习题
x} = (x)
n→
n
n
Xi −n
(C) lim P{ i=1
x} = (x)
n→
n
n
Xi −
(D) lim P{ i=1
x} = (x)
n→
n
二、填空题：
224
1．对于随机变量 X，仅知其 E( X ) = 3，D( X ) = 1 ，则可知 P{| X − 3 | 3} 225
一、选择题：
概率论与数理统计练习题
系
专业
班 姓名
学号
第五章 大数定律与中心极限定理
1．设 n 是 n 次重复试验中事件 A 出现的次数，p 是事件 A 在每次试验中出现的概率，则对任意
的

0
均有
lim
P

n
−
p



n→ n

[A ]
(A) = 0
(B) = 1
(C) 0
(D) 不存在
系
专业
班 姓名
学号
第六章 数理统计的基本知识
§6.1 总体、样本与统计量、§6.2 抽样分布
1．设 X1, X 2 , X 3 是取自总 X 体的样本，a 是一个未知参数，下述哪个样本函数是统计量[ B ]
(A) X1 + aX 2 + X 3
(B) X1 X 3
(C) aX1 X 2 X 3
(D)
解：(1)随机变量X i表示第i个数的舍入误差，则E( X i ) = 0, D( X i ) = 1 / 12.
1500
P{| X i | 15} = P{|
i =1
1500
Xi
i =1
|
1500 1 12
15 1.34} 2(1 − (1.34)) = 0.1802 1500 1
12
若将1500个数相加，误差总和的绝对值超过15的概率为0.1802
n
n
Xi
(2)P{| i=1 X i | 10} = P{| i=1 n |
10 } 2(10 12 ) −1 0.9
n
n
12 12
(10 12 ) = 0.95,即10 12 =1.65， n = 441
2. 设总体 X 服从参数为 2 的指数分布， X1, X2, , X n ,
n → 时，Y
=
1 n
n i =1
X
2 i
依概率收敛于
1 2
是来自总体 X 的简单随机样本，则当
(考研题 2003)。
3．设总体 X ~ N (, 2 ) ，X1, X 2 ,
, X n 为其样本，记 X
=
1 n
n i =1
Xi
，S 2
=
1 n −1
n i =1
(Xi
−
X )2 ，
则Y = n( X − ) / S 服从的分布是
T (n −1)分布
。
29
三、计算题：
1. 设 X1, , X n 为来自总体 N (, 2 ) 的简单随机样本，T 为它们的样本二阶原点矩，求 ET 。
解：ET
2
)


=
n
1 −
1
E

n i =1
X i2
− 2X
n i =1
Xi
+
n i =1
X
2

=

n
1 −
1
E

n i =1
X i2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
−
nX
2


=
1 (2n − 2)
n −1
=
2
3. 总体 N (, 2 ) ，在该总体中抽取一个容量为 n = 16 的样本 ( X1, X 2 , X16 ) ，求：
=
E

1 n
n i =1
X
2 i

=

1 n
n i =1
E
(
X
2 i
)
=
1 n
n
[D(Xi) + E(Xi)2] =
i =1
1 n
n
( 2
i =1
+ 2) = 2
+ 2
2.
设总体 X
的概率密度为
f (x) =
1 2
e−|x|
，
X1,
, X n 为总体 X 的简单随机样本，求样本方差的
。
25
*2．设总体 X 服从参数为 2 的指数分布， X1, X2, , X n , 是来自总体 X 的简单随机样本，则当
n → 时，Y
=
1 n
n i =1
X
2 i
依概率收敛于
1 2
(考研题 2003)。
27
三、计算题：
1．计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数，设所有舍入误差是独立的且在 (−0.5,0.5) 上服从均匀分布。 问：（1）若将 1500 个数相加，误差总和的绝对值超过 15 的概 率是多少？（2）最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于 10 的概率不小于 0.90 ？
均值 ES 2 。
解：E( X ) = 0, E( X 2 ) = 2, D( X ) = 2,则
2 E( X ) = 0, D( X ) = .
n
E(S 2 )
=
E

1 n −1
n i =1
(Xi
−
X
)2

=
1 n −1
E

n i =1
( X i2
−
2 XX i
+
X
解：(1)设随机变量X i为出售一只蛋糕的收入，则E( X i ) = 1.29, D( X i ) = 0.0489.
300
300
X i − 300 1.29
P{
i =1
Xi

400} =
P{
i =1
300 0.0489

400 − 387 3.39} = 1 − (3.39)=0. 300 0.0489
（1）
P

2
2

1 n
n i =1
(Xi
− )2

2
2

；（2）
P

2

2

1 n
n i =1
(Xi
−
X )2

2
2

。

解：
1 2
n
(Xi − )2
i =1
~ 2 (16)
2
P{ 2

1 n
n
(Xi − )2
i =1
2 2} = P{8 1 2
2. 设 X1, X2, , X n , 为独立同分布的随机变量列，且均服从参数为 ( 1)的指数分布，记
(x) 为正态分布函数，则 (考研题 2005)
[C ]
n
X i − n
(A) lim P{ i=1
x} = (x)
n→
n
n
X i − n
(B) lim P{ i=1
n
(Xi − )2
i =1
32} = 0.95 − 0.01 = 0.94
(n −1)S 2
2
~
2 (n −1), 其中S 2
=
1 n −1
n
(Xi
i =1
−
X )2
1
P{8 2
n
(Xi
i =1
− X )2
32} = 0.92 − 0.005 = 0.915
30
[C]
(A) X +Y 服从正态分布
(B) X 2 + Y 2 服从 2 分布
(C) X 2和Y 2 服从 2 分布
二、填空题：
(D) X 2 / Y 2 服从 F 分布

−
ne
n

i=1
xi
,
xi 0
1．设 X1, X2, , X n , 是来自指数总体 E( ) 的样本，则 ( X1, , X n ) 的联合密度 0, otherwise。
n
n
最多可有441个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90
2. 一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一个随
机变量，它取 1 元、1.2 元、1.5 元各个值的概率分别为 0.3、0.2、0.5。某天售出 300 只蛋糕。
（1）求收入至少 400 元的概率； （2）求售出价格为 1.2 元的蛋糕多于 60 只的概率。
1 3
3 i =1
(Xi
− a)2
2. 设 X1, X2,
, Xn,
是来自正态总体
N (,
2)
的样本，则
20 i =1