高考圆锥曲线压轴题型汇总

高考圆锥曲线压轴题型汇总

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高考圆锥曲线压轴题型总结

直线与圆锥曲线相交，一般采取设而不求，利用韦达定理，在这里我将这个问题分成了三种类型，其中第一种类型的变式比较多。而方程思想，函数思想在这里也用得多，两种思想可以提供简单的思路，简单的说就是只需考虑未知数个数和条件个数,。使用韦达定理时需注意成立的条件。

题型4有关定点，定值问题。将与之无关的参数提取出来，再对其系数进行处理。

（湖北卷）设A 、B 是椭圆

λ=+223y x 上的两点，点N （1，3）是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点.

（Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；

（Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由.

（I ）解法1：依题意，可设直线AB 的方程为

λ=++-=2

23,3)1(y x x k y 代入，整理得 .0)3()3(2)3(222=--+--+λk x k k x k ①

设是方程则212211,),,(),,(x x y x B y x A ①的两个不同的根，

0])3(3)3([422>--+=∆∴k k λ ②

)

3,1(.3)

3(2221N k k k x x 由且+-=

+是线段AB 的中点，得

.3)3(,1222

1+=-∴=+k k k x x

解得k=-1，代入②得，λ>12，即λ的取值范围是（12，+∞）. 于是，直线AB 的方程为.04),1(3=-+--=-y x x y 即 解法2：设则有),,(),,(2211y x B y x A

.0))(())((33,

3212121212

2222121=+-++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+y y y y x x x x y x y x λλ

依题意，

.

)

(3,2

12121y y x x k x x AB ++-

=∴≠

.

04),1(3).

,12(.12313,)3,1(.1,6,2,)3,1(222121=-+--=-+∞∴=+⨯>-==+=+∴y x x y AB N k y y x x AB N AB 即的方程为直线的取值范围是在椭圆内又由从而的中点是λλ

（II ）解法1：.02,13,=---=-∴y x x y CD AB CD 即的方程为直线垂直平分 代入椭圆方程，整理得

.04442=-++λx x ③

是方程

则的中点为又设43004433,),,(),,(),,(x x y x M CD y x D y x C ③的两根，

).

2

3

,21(,2

32,21)(21,10043043-=+=-=+=-=+∴M x y x x x x x 即且

于是由弦长公式可得

).

3(2||)1

(1||432-=-⋅-+=λx x k CD ④

将直线AB 的方程代入椭圆方程得,04=-+y x

.016842=-+-λx x ⑤

同理可得

.)12(2||1||212-=-⋅+=λx x k AB ⑥

.||||.,)12(2)3(2,12CD AB <∴->->λλλ时当

假设在在λ>12，使得A 、B 、C 、D 四点共圆，则CD 必为圆的直径，点M 为圆心.点M 到直线AB 的距离为

.

2232

|

423

21|2|4|00=-+-=-+=y x d ⑦ 于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得

.|2|2321229|2|

||||2

2222CD AB d MB MA =-=-+=+==λλ

故当12>λ时，A 、B 、C 、D 四点均在以M 为圆心，2|

|CD 为半径的圆上.

（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：

A 、

B 、

C 、

D 共圆⇔△ACD 为直角三角形，A 为直角

即|,|||||2

DN CN AN ⋅=⇔ ).2|

|)(2||()2||(

2d CD d CD AB -+= ⑧

由⑥式知，⑧式左边=

.

2

12

-λ

由④和⑦知，⑧式右边=

)22

32)3(2)(2232)3(2(

--+-λλ

,212

2923

-=-

-=

λλ

∴⑧式成立，即A 、B 、C 、D 四点共圆

解法2：由（II ）解法1及12>λ.

,13,-=-∴x y CD AB CD 方程为直线垂直平分 代入椭圆方程，整理得

.04442=-++λx x ③

将直线AB 的方程,04=-+y x 代入椭圆方程，整理得

.016842=-+-λx x ⑤

解③和⑤式可得

.23

1,2122,4,321-±-=-±-

λλx x

不妨设

)23

3,231(),233,231(),12213,12211(-+-+---------+

λλλλλλD C A

∴

)

212

33,23123(

---+-+-+=λλλλCA

)

212

33,23123(

-------+=λλλλDA

计算可得0=⋅DA CA ，∴A 在以CD 为直径的圆上.

又B 为A 关于CD 的对称点，∴A 、B 、C 、D 四点共圆.

（注：也可用勾股定理证明AC ⊥AD ）

【点评】第一问可以作为直线与圆的知识点，第二问就作为函数思想算了，未知数一个嘛。 （06辽宁卷）已知点

11(,)A x y ,22(,)B x y 12(0)

x x ≠是抛物线

2

2(0)y px p =>上的两个动点,O 是坐标原点,向量OA ,OB 满足OA OB OA OB +=-.设圆C 的方程为221212()()0

x y x x x y y y +-+-+=

(I) 证明线段AB 是圆C 的直径;