2020高考压轴题冲刺——圆锥曲线解析蒙日圆及其证明
大招9 蒙日圆及其证明
大招9 蒙日圆及其证明 大招总结定理1曲线2222:1x y a bΓ+=的两条互相垂直的切线的交点P 的轨迹是圆2222x y a b +=+.定理1的结论中的圆就是蒙日圆.证明当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时,可得点P 的坐标是(,)a b ±,或(,)a b ±-.当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时,可设点P 的坐标是()(000,x y x ≠±a ,且)0y b ≠±,所以可设曲线Γ的过点P 的切线方程是()00(0)y y k x x k -=-≠. 由()2222001x y a b y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩,得 ()()()222222222000020a kb x ka kx y x a kx y a b +--+--=由其判别式的值为0,得()()222222200000200xa k x y k yb x a --++=-≠因为,PA PB k k 是这个关于k 的一元二次方程的两个根,所以220220PA PBy b k k x a-⋅=- 由此,得2222001PA PB k k x y a b ⋅=-⇔+=+进而可得欲证成立.定理2（1）双曲线22221(0)x y a b a b -=>>的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆2222x y a b +=-; （2）抛物线22y px =的两条互相垂直的切线的交点是该抛物线的准线.定理3过圆2222x y a b +=+上的动点P 作椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两条切线PA,PB,则.PA PB ⊥证明:设P 点坐标()00x y由()2222001x y a b y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩得()()()222222222000020a k b x ka kx y x a kx y a b +--+--= 由其判别式的值为0, 得()()222222200000200x akx y k y b x a --+-=-≠因为,PA PB k k 是这个关于k 的一元二次方程的两个根,所以220220PA PBy b k k x a-⋅=- 22222200220,1,PA PBy b x y a b k k PA PB x a -+=+⋅==-⊥- 定理4设P 为蒙日圆2222:O x y a b +=+上任一点,过点P 作椭圆22221x y a b+=的两条切线,交椭圆于点A,B,O 为原点,则OP,AB 的斜率乘积为定值22OP AB b k k a⋅=-定理5设P 为蒙日圆2222:O x y a b +=+上任一点,过点P 作椭圆22221x y a b+=的两条切线,切点分别为A,B,O 为原点,则OA,PA 的斜率乘积为定值22OA PA b k k a ⋅=-,且OB,PB 的斜率乘积为定值OB k ⋅22(PB b k a=-垂径定理)定理6过圆2222x y a b +=+上的动点P 作椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两条切线,O 为原点,则PO 平分椭圆的切点弦AB.证明:P 点坐标()00,x y ,直线OP 斜率00OP y k x =由切点弦公式得到AB 方程200022201,AB x x y y b x k a b a y +==-22OP ABb k k a⋅=-,由点差法可知,OP 平分AB,如图M 是中点定理7设P 为蒙日圆2222:O x y a b +=+上任一点,过点P 作椭圆22221x y a b+=的两条切线,切点分别为A,B,延长PA,PB 交伴圆O 于两点C,D,则//CD AB . 证明:由性质2可知,M 为AB 中点.由蒙日圆性质可知,90APB ︒∠=,所以MA MB MP ==. 同理OP OC OD ==.因此有PAM APM CPO PCO ∠=∠=∠=∠, 所以//AB CD .典型例题(例1.)(2020春-安徽月考)已知点P 为直线40ax y +-=上一点,PA,PB 是椭圆222:1(1)x C y a a+=>的两条切线,若恰好存在一点P 使得PA PB ⊥,则椭圆C 的离心率为 解方法1:设(,)P m n ,过点P 的切线方程为()y n k x m -=-,联立222()1y n k x m x y a-=-⎧⎪⎨+=⎪⎩,得()22222212()()10k a x ka n km x a n km ⎡⎤++-+--=⎣⎦, 直线与椭圆相切,()24222224()41()10k a n km a k a n km ⎡⎤∆=--+--=⎣⎦,整理得()2222210am k mnk n -++-=,若切线PA,PB 的斜率均存在,分别设为12,k k ,212221,1n PA PB k k a m-⊥∴⋅==--,即2221m n a +=+, ∴点P 在以(0,0)为圆心,即(0,0)到直线40ax y +-=d ∴==,解得a =1,a a >∴=若切线PA,PB 分别与两坐标轴垂直,则(,1)P a 或(,1)a -或(,1)a -或(,1)a --, 存在点(,1)P a ,将其代入直线40ax y +-=中,解得a =综上所述,a =又1,b c =∴==∴离心率3c e a ===. 故答案为. 方法2:在方法1中,实际上证明了一遍蒙日圆,如果知道结论,可得P 的轨迹2221x y a +=+,且此圆与40ax y +-=相忉.其中(0,0)到直线40ax y +-=的距离d =d ∴==,解得a =1,a a >∴=又1,b c =∴==∴离心率3c e a ===.故答案为. (例2.)(2020春-安徽月考)已知两动点A,B 在椭圆222:1(1)x C y a a+=>上,动点P 在直线3410x y +-0=上,若APB ∠恒为锐角,则椭圆C 的离心率的取值范围为解由结论可知:椭圆2221x y a+=的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是冡日圆2221x y a +=+,若APB ∠恒为锐角,则直线34100x y +-=与圆2221x y a +=+相离,>,又1,1a a >∴<<,.c e a ⎛∴=== ⎝⎭故答案为:⎛ ⎝⎭.例3.已知22:1O x y +=.若直线2y kx =+上总存在点P ,使得过点P 的O 的两条切线互相垂直,则实数k 的取值范围是解(,1][1,-∞-⋃+∞).在下图中,若小圆(其圆心为点O ,半径为r )的过点A 的两条切线AB,AD 互相垂直（切点分别为E,F ）,得正方形AEOF,所以|||OA OE ==,即点A 的轨迹是以点O 为圆心为半径的圆.由此结论可得:在本题中,点P 在圆222x y +=上.所认本题的题意即直线2y kx =+与圆222x y +=有公共点,进而可得答案.例4.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为0),（1）求椭圆C 的标准方程;（2）若动点()00,P x y 为椭圆C 外一点,且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直,求点P 的轨迹方程.解（1）依题意有3,2c a b ===故所求椭圆C 的标准方程为22194x y +=. （2）当两条切线的斜率存在时,设过()00,P x y 点的切线为()00y y k x x -=-. 联立()0022194y y k x x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()()222004918360k xk y kx ++--=判别式()()()222222000018364940x k y kx k y kx ⎡⎤∆=+--+--=⎣⎦,化简得()2200940y kx k ---=,即()2220000924x k x y k y --+-.依题意得201220419y k k x -⋅==--,即220013x y +=(可由222200x y a b +=+直接可得答案) (例5.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为0),点P 为圆22:13M x y +=上任意一点,O 为坐标原点. （I ）求椭圆C 的标准方程;（II ）记线段OP 与椭圆交点为Q ,求|PQ|的取值范围;（III ）设直线l 经过点P 且与椭圆C 相切,l 与圆M 相交于另一点A ,点A 关于原点O 的对称点为B ,试判断直线PB 与椭圆C 的位置关系,并证明你的结论.解（I）由题意可知:c c e a ===,则2223,4a b a c ==-=,∴椭圆的标准方程:22194x y +=; （III ）由题意可知:||||||||PQ OP OQ OQ =-=,设()221111,,194x y Q x y +=, ||OQ ∴===由1[3,3]x ∈-,当10x =时,min ||2OQ =,当13x =±时,max ||3OQ =,||PQ ∴的取值范围2]; （III ）证明:由题意,点B 在圆M 上,且线段AB 为圆M 的直径,所以PA PB ⊥.分3种情况讨论,（1）当直线PA x ⊥轴时,易得直线PA 的方程为3x =±,由题意,得直线PB 的方程为2y =±, 显然直线PB 与椭圆C 相切.（2）同理当直线//PA x 轴时,直线PB 也与椭圆C 相切. （3）当直线PA 与x 轴既不平行也不垂直时,设点()00,P x y ,直线PA 的斜率为k ,则0k ≠,直线PB 的斜率1k-, 所以直线()00:PA y y k x x -=-,直线()001:PB y y x x k-=--, 由()0022194y y k x x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩,消去y ,得()()()220000941892360.k x y kx kx y kx ++-+--=因为直线PA 与椭圆C 相切,所以()()()22210000184949360y kx k k y kx ⎡⎤⎡⎤∆=--+--=⎣⎦⎣⎦, 整理,得()222100001449240x k x y k y ⎡⎤∆=---+-=⎣⎦ 同理,由直线PB 与椭圆C 的方程联立,得()2220000211144924x x y y k k ⎡⎤∆=--++-⎢⎥⎣⎦.（2）因为点P 为圆22:13M x y +=上任意一点,所以220013x y +=,即220013y x =-.代入（1）式,得()()22200009290x k x y k x --+-=, 代入（2）式,得()()()2222200000002214414492492(9x x y k y k x x y k k k⎡⎤⎡∆=--++-=--++-⎣⎦⎣)220x k ⎤⎦, ()()222000021449290x k x y k x k⎡⎤=--+-=⎣⎦. 所以此时直线PB 与椭圆C 相切. 综上,直线PB 与椭圆C 相切. 例6.(2021-安徽模拟)已知圆22:5O x y +=,椭圆2222:1(0)x y a b aΓ+=>>的左,右焦点为12,F F ,过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆和圆所截得弦长分别为1和.（I ）求椭圆的标准方程;（II ）如图P 为圆上任意一点,过P 分别作椭圆两条切线切椭圆于A,B 两点. （i ）若直线PA 的斜率为2,求直线PB 的斜率；（ii ）作PQ AB ⊥于点Q ,求证:12QF QF +是定值.解（I）由题意可得2,21b a ⎧=⎪⎨=⎪⎩解得2,1,a b c ===所以椭圆的方程为2214x y +=.（II ）（I ）设()00,P x y ,切线()00y y k x x -=-,则22005x y +=, 由()220014x y y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩,化简得()()()2220000148440,k x k y kx x y kx ++-+--=,由0∆=得()2220004210x kx y k y -++-=,设切线PA,PB 的斜率分别为12,k k ,则()2200122200111445y y k k x y --===----, 又直线PA 的斜率为2,则直线PB 的斜率为12-. （II ）当切线PA,PB 的斜率都存在时,设()()1122,,,A x y B x y ,切线PA,PB 的方程为(),1,2i i i y y k x x i -=-=, 由（1）得()2224210,1,2,(*)i i i i i x k x y k y i -++-==又A,B 点在椭圆上得,221,1,2,(*)4i i x y i +== 得2202i i i x y k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,即,1,24i i i x k i y =-=,氻线PA,PB 的方程为1,1,24i i x xy y i +==,又过,点P ,则001,1,24i i x xy y i +==,所直线AB 的方程为0014x xy y +=,(可直接代㔹点弦方程)由PQ AB ⊥的直线PQ 的方程为()00004y y y x x x -=-,联立直线AB 方程为0014x xy y +=,解得()()22000000222200004131341,165165Q Q x y y y x x y y x y x y ++====++, 由22005x y +=得,点Q 轨迹方程为2255116x y +=,且焦,点恰为12,F F ,故122QF QF +==,当切线PA,PB 的斜率有一个不存在时,易得12QF QF +=.综上,125QF QF +=. 自我检测1.(2021-全国二模)已知双曲线2221(1)4x y a a -=>上存在一点M ,过点M 向圆221x y +=做两条切线MA,MB,若0MA MB ⋅=,则实数a 的取值范围是(）A.B.C.)+∞D.)+∞ 答案：方法1:双曲线2221(1)4x y a a -=>上存在一点M ,过点M 向圆221x y +=做两条切线MA 、MB,若MA0MB =,可知MAOB 是正方形,MO =,所以a ∈.故选B.方法2:过点M 向圆221x y +=做两条切线MA 、MB,若0,MA MB M ⋅=点轨迹即为蒙日圆222x y +=,且此圆与双曲线2221(1)4x y a a -=>有公共点M ,所以a ∈.故选B2.给定椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>,称圆心在原点O ,C 的“准圆”.已知椭圆C 的一个焦点为F ,其短轴的一个端点到点F （I ）求椭圆C 及其“准圆”的方程（II ）若点A 是椭圆C 的“准圆”与x 轴正半轴的交点,B,D 是椭圆C 上的相异两点,且BD x ⊥轴,求AB AD ⋅的取值范围;（III)在椭圆C 的“准圆”上任取一点(,)P s t ,过点P 作两条直线12,l l ,使得12,l l 与椭圆C 都只有一个公共点,且12,l l 分别与椭圆的“准圆”交于M,N 两点.证明:直线MN 过原点O .答案：（I ）解:由题意知c a ==,解得1b =,∴椭圆C 的方程为2213x y +=,其“准圆”为224x y +=.（II ）解:由题意,设((,),(,),B m n D m n m -<<则有2213m n +=, 又A 点坐标为(2,0),故(2,),(2,)AB m n AD m n =-=--,2222(2)4413m AB AD m n m m ⎛⎫∴⋅=--=-+-- ⎪⎝⎭2244343332m m m ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭,又243[0,732m m ⎛⎫<<∴-∈+ ⎪⎝⎭.AB AD ∴⋅的取值范围是[0,7+. （III ）设(,)P s t ,则224s t +=,当s =,1t =±,则12,l l 其中之一斜率不存在,另一条斜率为0,12l l ∴⊥.当t ≠,设过(,)P s t 且与有一个公共点的直线l 的斜率为k , 则l 的方程为()y t k x s -=-,代人椭圆C 的方程,得:223[()]3x k x s t +-+=,即()222316()3()30k x k t ks x t kt +--+--=,由()222236()4313()30k t ks k t kt ⎡⎤∆=--+--=⎣⎦,得()2223230tkstk t -++-=,其中230t -≠,设12,l l 的斜率分别为12,k k ,则12,k k 分别是上述方程的两个根,12121,k k l l ∴=-∴⊥.综上所述,12l l ⊥,MN ∴是准圆的直径,∴直线MN 过原点O .3.已知A 是圆224x y +=上的一个动点,过点A 作两条直线12,l l ,它们与椭圆2213x y +=都只有一个公共点,且分别交圆于点M,N（1）若(2,0)A -,求直线12,l l 的方程;（2）（1）求证:对于圆上的任意点A ,都有12l l ⊥成立; （2）求AMN 面积的取值范围.答案：(1)解:设直线的方程为(2)y k x =+,代人椭圆2213x y +=,消去y ,可得()222213121230k x k x k +++-=由0∆=,可得210k -=设12,l l 的斜率分别为1212,,1,1k k k k ∴=-= ∴直线12,l l 的方程分别为2,2y x y x =--=+;(2)(1)证明:当直线12,l l 的斜率有一条不存在时,不妨设1l 无斜率1l 与椭圆只有一个公共点,所以其方程为x =当1l的方程为x =,此时1l与圆的交点坐标为1±),所以2l 的方程为1y =(或)121,y l l =-⊥成立,同理可证,当1l的方程为x =,结论成立;当直线12,l l 的斜率都存在时,设点(,)A m n ,且224m n += 设方程为()y k x m n =-+,代人椭圆方程,可得()22136()3()230k xk n km x n km ++-+--=由0∆=化简整理得()2223210mkmnk n -++-=224m n +=()2223230m k mnk m ∴-++-=设12,l l 的斜率分别为121212,,1,k k k k l l ∴=-∴⊥成立 综上,对于圆上的任意点A ,都有12l l ⊥成立; (2)记原点到直线12,l l 的距离分别为12,d d ,22124,d d AMN +=∴面积()()2222222121114444216S d d d d d ==-=--+221[1,3],[12,16]d S ∈∴∈4]S ∴∈.4.过P 点作椭圆两条切线,若椭圆的两条切线互相垂直,设圆心到切点弦的距离为1,d P 到切点弦的距离为2d 证明12d d 之积为常数.答案：证明:如图所示,设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>,那么在椭圆上A,B 两处切线的交点P 在圆2222(\neq )a x y a b x +=+,现设)Pθθ,那么AB 的直线方程为220xb ya a b θθ+-=.原点到切点弦AB 的距离221d =切线交点P 到切点弦AB 的距离是42422d==所以221222a b d d a b=+(常数).5.(2021贵州模拟)已知椭圆22:1,2x C y M +=是圆223x y +=上的任意一点,MA,MB 分别与椭圆切于A,B.求AOB 面积的取值范围.答案：设()()()001122,,,,,M x y A x y B x y ,得1212:1,:122x x x x MA y y MB y y +=+=,且2203x y += 由()()()001122,,,,,M x y A x y B x y ,得010201021,122x x x x y y y y +=+=,从而00:12x xAB y y +=将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立,得 ()22200034440y x x x y +--+=. 所以,20012122200444,33x y x x x x y y -+==++, 因此,)202013y AB y +=+.又原点O 到直线AB的距离d ==所以01||22OABS AB d =⋅=令[1,2]t =,得到21222,2332OABt St t t⎡==⋅∈⎢+⎣⎦+6.(2021河北模拟)设椭圆22154x y +=的两条互相垂直的切线的交点轨迹为C ,曲线C 的两条切线PA,PB 交于点P ,且与C 分别切于A,B 两点,求PA PB ⋅的最小值.答案：设两切线为12,l l(1)当1l x ⊥轴或1//l x 轴时,对应2//l x 轴或2l x ⊥轴,可知(2)P ±; (2)当1l 与x 轴不垂直且不平行时,x ≠设1l 的斜率为k ,则20,k l ≠的斜率为11,l k-的方程为y -()00y k x x =-,联立22154x y +=, 得()()()222000054105200k x y kx kx y k ++-+--=,因为直线与椭圆相切,所以0∆=,得()()()2222000055440y kx k k y kx ⎡⎤--+--=⎣⎦,()220020440k y kx ⎡⎤∴-+--=⎣⎦,()22200005240x k x y k y ∴--+-=,所以k 是方程()22200005240x k x y k y --+-=的一个根, 同理1k-是方程()22200005240x k x y k y --+-=的另一个根, 2020415y k k x -⎛⎫∴⋅-= ⎪-⎝⎭得22009x y +=,其中x ≠所以点P的轨迹方程为229(x y x +=≠, 因为(3,2)P ±±满足上式,综上知:点P 的轨迹方程为229x y +=.设,PM PB x APB θ==∠=,则在AOB 与APB 中应用余弦定理知,2222cos AB OA OB OA OB AOB =+-⋅⋅∠ 222cos PA PB PA PB APB =+-⋅⋅∠,即()3322\38cdo 3233cos 102c s t o x x x x θθ︒+-⋅⋅-=+-⋅,即 29(1cos )1cos x θθ+=-||||cos cos PA PB PA PB APB x x θ⋅=⋅∠=⋅9(1cos )cos 1cos θθθ+=-令1cos (0,2]t θ=-∈,则cos 1t θ=-. ()29329(2)(1)293t t t t PA PB t t t t -+--⎛⎫⋅===⋅+ ⎪-⎝⎭9233)t ⎛⎫⋅⋅=⎪ ⎪⎝⎭且仅当2t t=,即t =时,PA PB ⋅取得最小3).7.(衡水中学模拟)如图,在平面直角坐标系xOy,设点()00,M x y 是椭圆22:12412x y C +=上一点,从原点O 向圆()()22008M x x y y -+-=作两条切线分别与椭圆C 交于点P,Q .（1）若M 点在第一象限,且直线OP,OQ 互相垂直,求圆M 的方程; （2）若直线OP,OQ 的斜率存在,分别记为12,k k .求12k k ⋅的值;（3）试问22||||OP OQ +是否为定值?若是求出该定值;若不是,说明理由.答案：(1)由圆M的方程知圆M的半径r=因为直线OP,OQ互相垂直,且和圆M相切,所以||4OM==,即220016x y+=又点R在椭圆C上,所以2212412x y+=联立(1)(2),解得0xy⎧=⎪⎨=⎪⎩,所以,所求圆M的方程为22((8x y-+-=.(2)因为直线1:OP y k x=和2:OQ y k x=都与圆R相切,(3)==化简得212288yk kx-⋅=-,因为点()00,R x y在椭圆C上,所以2212412x y+=,即22001122y x=-,所以2122141282xk kx-⋅==--(3)(1)当直线OP,OQ不落在坐标轴上时,设()()1122,,,P x y Q x y,由(2)知12210k k+=,所以121221y yx x=,故2222121214y y x x=,因为()()1122,,,P x y Q x y,在椭圆C上,所以222211221,124122412x y x y+=+=即222211221112,1222y x y x=-=-,所以222212121111212224x x x x⎛⎫⎛⎫--=⎪⎪⎝⎭⎝⎭;整理得221224x x+=,所以222212121112121222y y x x⎛⎫⎛⎫+=-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以2222221122241236OP OQ x y x y+=+++=+=.(2)当直线OP,OQ 落在坐标轴上时,显然有2236OP OQ +=.综上:2236OP OQ +=结论：设点()00,M x y 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上任意一点,从原点O 向圆()20:(M x x y -+-)222022a b y a b=+作两条切线分别与椭圆C 交于点P 、Q,直线OP,OQ 的斜率分别记为12,k k .8.(2021年甘肃省张掖市肃南一中高考数学模拟)已知椭圆22122:1(0)y x C a b a b+=>>的离心率e =且经过点⎛ ⎝⎭,抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点F 与椭圆1C 的一个焦点重合. （I ）过F 的直线与抛物线2C 交于M,N 两点,过M,N 分别作抛物线2C 的切线12,l l ,求直线12,l l 的交点Q 的轨迹方程;（II)从圆22:5O x y +=上任意一点P 作椭圆1C 的两条切线,切点为A,B,证明:AOB ∠为定值,并求出这个定值.答案：（I ）设椭圆的半焦距为c ,则c a =,即a =,则b =,椭圆方程为2222132y x c c +=,将点⎛ ⎝⎭的坐标代人得21c =,故所求的椭圆方程为22132y x +=焦点坐标(0,1)± 故抛物线方程为24x y =.设直线()()1122:1,,,MN y kx M x y N x y =+, 代人抛物线方程得2440x kx --=, 则12124,4x x k x x +==-,由于214y x =,所以12y x '=, 故直线1l 的斜率为111,2x l 的方程为 ()22111111111, ?´ 2224y x x x x y x x x -=-=-同理2l 的方程为2221124y x x x =-,令22112211112424x x x x x x -=-,即 ()()()12121212x x x x x x x -=-+,显然12x x ≠,()1212x x x =+,即点Q 的横坐标是()1212x x +,点Q 的纵坐标是()221111*********124244y x x x x x x x x x =-=+-==-即点(2,1)Q k -,故点Q 的轨迹方程是1y =-.(阿基米德三角形)（II ）证明：(1)当两切线的之一的斜率不存在时,根据对称性,设点P 在第一象限,则此时P ,代人圆的方程得P此时两条切线方程分别为x y ==此时2APB π∠=若APB ∠的大小为定值,则这个定值只能是2π. (2)当两条切线的斜率都存在时,即x ≠, 设()00,P x y ,切线的斜率为k , 则切线方程为()00y y k x x -=-, 与椭圆方程联立消元得()()()2220000324260k xk y kx kx y ++-+--=.由于直线()00y y k x x -=-是椭圆的切线,故()()()222200016432260ky kx k kx y ⎡⎤∆=--+--=⎣⎦,整理得()22200002230x k x y k y -++-=.切线PA,PB 的斜率12,k k 是上述方程的两个实根,故2012232y k k x -=--, 点P 在圆225x y +=上,故220032y x -=-,所以121k k =-,所以2APB π∠=综上可知:APB ∠的大小为定值2π,得证.。
2020高考数学必胜秘诀(八)圆锥曲线
2020高考数学必胜秘诀（八）圆锥曲线――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结八、圆锥曲线1.圆锥曲线的两个定义：〔1〕第一定义中要重视〝括号〞内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的〝绝对值〞与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。
假设2a ＝|F 1F 2|，那么轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，假设2a ﹥|F 1F 2|，那么轨迹不存在。
假设去掉定义中的绝对值那么轨迹仅表示双曲线的一支。
如〔1〕定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足以下条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 A ．421=+PF PF B ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF 〔答：C 〕；〔2〕方程8=表示的曲线是_____〔答：双曲线的左支〕〔2〕第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且〝点点距为分子、点线距为分母〞，其商即是离心率e 。
圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。
如点)0,22(Q 及抛物线42x y =上一动点P 〔x ,y 〕,那么y+|PQ|的最小值是_____〔答：2〕2.圆锥曲线的标准方程〔标准方程是指中心〔顶点〕在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程〕：〔1〕椭圆：焦点在x 轴上时12222=+by a x 〔0a b >>〕⇔{cos sin x a y b ϕϕ==〔参数方程，其中ϕ为参数〕，焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1〔0a b >>〕。
2020高考数学必胜秘诀(八)圆锥曲线
焦点在y 轴上的椭圆，那么 m 的取值范畴是—〔答：(°(谆〕2020高考数学必胜秘诀(八)圆锥曲线――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结八、圆锥曲线1.圆锥曲线的两个定义：〔1〕第一定义中要重视”括号〃内的限制条件 ：椭圆中，与两个定点F ,, F 2的距离的和等于常数 2a ,■ ■ ■J"J- -1-■ ■ ■." ~—- -^-1" ■- ■■■且此常数2a 一定要大于 RF 2，当常数等于FT ?时，轨迹是线段卩汗2，当常数小于FT ?时，无轨迹； 双曲线中，与两定点F 1, F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2I ，定义中的”绝对值'’与2a v |F 1F 2 |不可忽视。
假设2a = |F 1F 2|，那么轨迹是以 F 1, F 2为端点的两条射线， 假设2a > |F 1F 2|，那么轨迹不存在。
假设去掉定义中的绝对值那么轨迹仅表示双曲线的一支。
女口〔 1〕定点F 1( 3,0)也(3,0),在满 足以下 条件的平 面上动点P 的轨迹中 是椭圆的是A . PF j |PF 242 2B • |PF ^ |PF 2| 6C • PF 1PF 2 10 D • PF 1 PF 2 12 〔答：C 〕；_匚2〕.方程J (x 6)2 y 2 J (x 6)2 y 2 8表示的曲线是 _________________〔答：双曲线的左支〕〔2〕第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且”点点距为分子、点线距为分母"，其商即是离心率e 。
圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的 2关系，要善于 运用第二定义对它们进行相互转化。
如点Q(2.. 2,0)及抛物线y — 上一动点P 〔x,y 〕，那4么y+|PQ|的最小值是 ______ 〔答：2〕2.圆锥曲线的标准方程 〔标准方程是指中心〔顶点〕在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程〕1 I I 12 2 2 2(3, 3)U ( -,2)〕；〔2〕假设x, y R ，且3x 2y 6，那么x y 的最大值是 _____________________ , x y 的最小值是—〔答：后2〕、x 2y 2y 2x 2〔2丨双曲线：焦点在x 轴上：—J=1，焦点在 y 轴上： 土—= 1〔 a 0,b 0〕。
高考数学圆锥曲线深度拓展 蒙日圆及其证明
高考数学圆锥曲线深度拓展：蒙日圆及其证明一、引言在高考数学中，圆锥曲线是一个重要的知识点，它不仅在解析几何中有广泛应用，还在物理、天文等领域有所涉及。
蒙日圆，作为圆锥曲线的一种特殊形态，具有独特的性质和证明方法。
本文旨在探讨蒙日圆及其证明的深度拓展。
二、蒙日圆的基本性质蒙日圆，也被称为极坐标圆或椭圆的垂直平分线投影圆，其独特性质在于它与原始椭圆的关系。
在椭圆上任取一点P，作PP1垂直于长轴，作PP2垂直于短轴，则P1P2的垂直平分线与原始椭圆相切于点P。
这个性质表明，对于椭圆上的任意一点，其关于长轴和短轴的垂足与原点的连线段的垂直平分线，都与椭圆相切于该点。
三、蒙日圆的证明对于蒙日圆的证明，我们可以采用以下步骤：1、在椭圆上任取一点P，以点P为圆心，作一圆与椭圆相切。
这个圆的半径可以由点P到椭圆中心的距离决定。
2、根据几何性质，我们可以知道这个圆与椭圆的切点在椭圆的长轴和短轴的垂直平分线上。
3、由于这个圆是以点P为圆心，因此点P关于长轴和短轴的垂足与原点的连线段的垂直平分线必然经过这个圆心。
这就意味着这个垂直平分线与椭圆相切于点P。
4、因此，我们证明了在椭圆上任意一点都有一条过该点的直线与椭圆相切。
也就是说，我们找到了一个与椭圆相切的圆，即蒙日圆。
四、结论通过以上分析，我们证明了蒙日圆的存在及其性质。
这个知识点不仅在高考数学中具有重要作用，也是解析几何中的一个重要知识点。
希望通过本文的探讨，能够帮助同学们更深入地理解和掌握这一部分的知识。
蒙日圆以及应用蒙日圆是一种特殊的几何图形，它由法国数学家加斯帕德·蒙日（Gaspard Monge）发现并以其名字命名。
蒙日圆在几何、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍蒙日圆的定义、性质以及应用。
一、蒙日圆的定义蒙日圆也被称为“最小圆”或“极圆”，它是指在平面上，一个集合内所有点均在该集合的凸包内的最小圆。
也就是说，蒙日圆内包含着集合内的所有点，且其半径最小。
2020新高考数学二轮冲刺圆锥曲线全归纳(压轴题全解析)
MA MB
AB
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
，即
( x,4
2
y)
( x,2)
0
，即
y
1
x2
2
。
4
【例 3】已知抛物线 C ： y2 2x 的焦点为 F ，平行于 x 轴的两条直线 l1,l2 分别交 C 于 A，B 两点，
交 C 的准线于 P，Q 两点． （I）若 F 在线段 AB 上， R 是 PQ 的中点，证明 AR FQ ； （II）若 PQF 的面积是 ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程.
5 轨迹 C 的方程.
解 析 设 M 的 坐 标 为 (x, y) ， P 的 坐 标 为 (x0 , y0 ) ， 因 为 M 为 PD 上 一 点 ， 且
|MD|=
4 5
|PD|，所以
x
y
x0
4 5
y0
x0 y0
x 5 4
y
，又
P (x0 ,
y0 )
若 C 为双曲线,则直线 l 与双曲线的渐近线平行;若 C 为抛物线,则直线 l 与抛物线
A圆
B 椭圆
C 线段
D 一段抛物线
解析
设点
M
(x0
,
y0
),
P(x,
专题2 蒙日圆 微点1 蒙日圆的定义、证明及其几何性质
专题2 蒙日圆 微点1 蒙日圆的定义、证明及其几何性质专题2 蒙日圆微点1 蒙日圆的定义、证明及其几何性质 【微点综述】蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆、双曲线两条相互垂直的切线交点的轨迹是圆，所以这个圆又被叫做“蒙日圆”．本微点主要介绍蒙日圆的定义、证明及其几何性质． 1．人物简介加斯帕尔·蒙日（Gaspard Monge ，1746～1818），法国数学家、化学家和物理学家．生于博恩的平民人家．蒙日的一生励志又传奇，蒙日出身贫寒，但他自幼聪颖好学，自强不息，少年时在家乡一所天主教开设的学校学习，后转学里昂，14岁时就能造出消防用的灭火机，16岁毕业，留校任物理学教师．接着被推荐到梅济耶尔皇家军事工程学院学习，年仅22岁就初创“画法几何学”，23岁时任该校教师．26岁时被巴黎科学院选为通讯研究员．29岁时任皇家军事工程学院“皇家数学和物理学教授”．34岁时当选为科学院的几何学副研究员．38岁时被任命为法国海军学员的主考官．46岁时任海军部长8个月．51岁时任法国著名的综合工科学校校长．72岁在巴黎逝世．蒙日所处的时代，人们在设计工程时由于计算失误而导致工程不符合要求，只好把已建成的工事拆毁重建，而蒙日的画法几何方法就轻而易举解决了这类问题，不止如此，他的“画法几何学”还推动了空间解析几何学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础，引导了纯粹几何学在19世纪的复兴．此外，他在物理学、化学、冶金学、机械学方面也取得了卓越的成就．蒙日是19世纪著名的几何学家，他创立了画法几何学，推动了空间解析几何学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础，创立了偏微分方程的特征理论，引导了纯粹几何学在19世纪的复兴．此外，他在物理学、化学、冶金学、机械学方面也取得了卓越的成就．他的《大炮制造工艺》在机械制造界影响颇大．主要著作有：《曲面的解析式》（1755）、《静力学引论》（1788）、《画法几何学》（1798）、《代数在几何学中的应用》（1802）、《分析在几何学中的应用》（1805）等． 2．蒙日圆定义及其证明 先来看一道高考题：例1．（2014年高考广东理20）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点为)0，（I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）若动点()00,P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．【解析】（I ）可知c =222,3,954c e a b a c a ===∴==-=-=，故椭圆C 的标准方程为22194x y +=．（II ）设两切线为12,l l ，①当1l x ⊥轴或1l //x 轴时，对应2l //x 轴或2l x ⊥轴，可知()3,2P ±或()3,2P ±． ①当1l 与x 轴不垂直且不平行时，03x ≠±，设1l 的斜率为k ，则20,k l ≠的斜率为1k-，1l 的方程为()00y y k x x -=-，联立22194x y +=，得()()()22200009418940kx k y kx x y kx ⎡⎤++-+--=⎣⎦，①直线与椭圆相切，①Δ0=，得()()()()()()22222200000018364940,44940k y kx y kx k y kx k ⎡⎤----+=∴--+=⎣⎦，整理得 ()22200009240xk x y k y --+-=（*），k ∴是方程（*）的一个根，同理1k-是方程（*）的另一个根，其中03x ≠±，∴点P 的轨迹方程为()22133x y x +=≠±，又()3,2P ±或()3,2P ±满足上式．综上知：点P 的轨迹方程为2213x y +=．【点评】本题以椭圆为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系以及动点的轨迹方程，将直线与二次曲线的公共点的个数利用∆的符号来进行转化，计算量较大，从中也涉及了方程思想的灵活应用．例1中的圆是蒙日的画法几何学中有一个有趣的结论（可以形象的称为筷子夹定理）： 【定理1】在椭圆上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆长半轴短半轴平方和的几何平方根，这个圆叫蒙日圆，如图1．如图1，设椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，则椭圆两条互相垂直的切线,PA PB 交点P 的轨迹是蒙日圆：2222x y a b +=+．证明：证法一（解析法+韦达定理）：①当题设中的两条互相垂直的切线,PA PB 斜率均存在且不为0时，可设()00,P x y （0x a ≠±且0y b ≠±），过P 的椭圆的切线方程为()()000y y k x x k -=-≠，由()002222,1,y y k x x x y a b ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩得()()()222222222000020a kb x ka kx y x a kx y a b +--+--=，由其判别式值为0，得()()222222200000200x a k x y k y b x a --+-=-≠，,PA PB k k 是这个关于k 的一元二次方程的两个根，220220PA PBy b k k x a -∴⋅=-， 由已知222222000220,1,1,,PA PB y b PA PB k k x y a b x a-⊥∴⋅=-∴=-∴+=+∴-点P 的坐标满足方程2222x y a b +=+．①当题设中的两条互相垂直的切线,PA PB 有斜率不存在或斜率为0时，可得点P 的坐标为(),a b ±或(),a b ±，此时点P 也在圆2222x y a b +=+上．综上所述：椭圆()222210x y a b a b+=>>两条互相垂直的切线,PA PB 交点P 的轨迹是蒙日圆：2222x y a b +=+．证法二（椭圆的切线方程+切点弦方程+点在公共曲线上）：①当题设中的两条互相垂直的切线,PA PB 斜率均存在且不为0时，设()00,P x y （0x a ≠±且0y b ≠±），切点()()()11221122,,,0A x y B x y x y x y ≠，则切线11222222:1,:1x x y y x x y yPA PB a b a b+=+=．()00,P x y 在切线,PA PB 上，1010202022221,1x x y y x x y ya b a b∴+=+=，由两点确定一条直线得直线AB 的方程为00221x x y ya b+=． ()()224412121212224412121212,,PA PBOA OB PA PB OA OB b x b x b x x y y y y b k k k k k k k k a y a y a y y x x x x a ⎛⎫⎛⎫=--==⋅=∴= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()(),1,2i i x y i =即在圆的方程为22221x y a b+=，又在直线AB ：00221x x y y a b +=上，222002222i i x y x x y y a b a b ⎛⎫∴+=+ ⎪⎝⎭，可得()()242222422000020i i i i y y a y b a b x y b x a x x ⎛⎫⎛⎫-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()()()()4224222240001222442242212000,OA OBOA OB b x a b x a y b y y b k k k k x x x a a a y b a y b ---∴===∴⋅=---， 又()()22404220PA PB OA OB PA PB y b b k k k k k k a x a -=∴=-，由已知222222000220,1,1,,PA PB y b PA PB k k x y a b x a-⊥∴⋅=-∴=-∴+=+∴-点P 的坐标满足方程2222x y a b +=+．①当题设中的两条互相垂直的切线,PA PB 有斜率不存在或斜率为0时，可得点P 的坐标为(),a b ±或(),a b ±，此时点P 也在圆2222x y a b +=+上．综上所述：椭圆()222210x y a b a b+=>>两条互相垂直的切线,PA PB 交点P 的轨迹是蒙日圆：2222x y a b +=+．先给出几个引理，然后给出证法三——蒙日圆的几何证法．【引理1】（椭圆的光学性质）从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上（如图2所示）．证明：如图3所示，设P 为椭圆Γ（其左、右焦点分别是12,F F ）上任意给定的点，过点P 作12F PF ∠的外角平分线所在的直线()34l ∠=∠．先证明l 和Γ相切于点P，只要证明l 上异于P 的点P '都在椭圆Γ的外部，即证1212P F P F PF PF +>+''．在直线1PF 上选取点F '，使2PF PF '=，得2ΔΔP PF P PF ≅'''①2ΔP PF '，①2P F P F ='''，可得1211112P F P F P F P F F F F P PF PF PF +=+>=+'''''+'='．再过点P 作12F PF ∠的平分线(12)PA ∠=∠，易得PA l ⊥，入射角等于反射角，这就证得了引理1成立． 【引理2】过椭圆Γ（其中心是点O ，长半轴长是a ）的任一焦点F 作椭圆Γ的任意切线l 的垂线，设垂足是H ，则OH a =．证明：如图4所示，设点,F F '分别是椭圆Γ的左、右焦点，A 是椭圆Γ的切线l 上的切点，又设直线,FH F A '交于点B ．由引理1，得FAH lAF BAH ∠=∠=∠'（即反射角与入射角的余角相等），进而可得ΔFAH ①BAH ∆，①点H 是FB 的中点，得OH 是ΔBFF '的中位线．又AF AB =，①()()1122OH F A AB F A AF a =+=+'='． 【引理3】平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和． 证明：这里略去过程（可用余弦、可作垂线、可用坐标）．【引理4】设点P 是矩形ABCD 所在平面上一点，则2222PA PC PB PD +=+． 证明：如图5所示，设矩形ABCD 的中心是点O ．由引理3，可得()()2222222222PA PC OA OP OB OP PB PD +=+=+=+，即欲证成立．把引理4推广到空间，得到的结论就是：底面是矩形的四棱锥相对侧棱长的平方和相等． 下面给出定理1的证法三．证法三（几何法）：不妨设0,0a b >>．当a b =时，易证成立．下面只证明a b >的情形． 如图6所示．设椭圆的中心是点O ，左、右焦点分别是12,F F ，焦距是2c ，过动点P 的两条切线分别是,PM PN ．连结OP ，作,OG PM OH PN ⊥⊥，垂足分别是,G H ．过点1F 作1F D PM ⊥，垂足为D ，由引理2得OD a =．再作1F K OG ⊥于K ．记1OF K θ∠=，得1cos DG F K c θ==．由Rt ΔODG ，得222222cos OG OD DG a c θ=-=-．又作22,F E PN F L OH ⊥⊥，垂足分别为,E L ．在Rt OEH ∆中，同理可得：222222sin OH OE HE a c θ=-=-．（1）若PM PN ⊥，得矩形OGPH ，①()()22222222222cos sin OP OG OH a c a c a b θθ=+=-+-=+（2）若222OP a b =+，得()()222222222cos sin OP a c a c OG OH θθ=-+-=+，由OG PM ⊥，得222OP OG GP =+，①GP OH =．同理，有OG HP =，①四边形OGPH 是平行四边形，进而得四边形OGPH 是矩形，①PM PN ⊥．由（1）（2）得点P 的轨迹方程是2222x y a b +=+，以上过程中的,a b ，分别是椭圆长半轴、短半轴长． 证法四（高等几何法）：蒙日圆的另一种叙述：中心为O 的椭圆外切矩形ABCD 的外切圆圆心也为O ，作椭圆的两条平行切线分别交圆O 于,,,A D B C ''''，则蒙日圆性质可以表示为A B ''及C D ''与椭圆相切． 证明：,A D B C ''''与椭圆相切且平行，由对称性知四边形A B C D ''''也为矩形．设,,,M N K Q 均为矩形ABCD 与A B C D ''''的边边交点（如图7），B A DA P ''=．逆推：要证A B ''与椭圆相切⇐六边形NDQMKB '的布列安桑定理B QKDMN S '⇐=⇐一对红色三角形笛沙格定理B D '⇐//KQ （KM //DN ，MQ //B N '⇐一对绿色三角形笛沙格逆定理（KQ //BD '//B D '）⇐BB '//PM //D D '123⇐∠=∠=∠（成立）．3．蒙日圆的几何性质：【定理2】过圆2222x y a b +=+上的动点P 作椭圆()222210x y a b a b+=>>的两条切线,PA PB ，则PA PB ⊥．证明：设P 点坐标()00,x y ，由()2222001x y a b y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩，得()()()222222222000020a kb x ka kx y x a kx y a b +--+--=，由其判别式的值为0，得()()222222200000200x a k x y k y b x a --+-=-≠，PA k ，PB k 是这个关于k 的一元二次方程的两个根，220220PA PBy b k k x a -∴⋅=-，222200x y a b +=+，2202201PA PBy b k k x a -⋅==--，PA PB ⊥． 【定理3】设P 为蒙日圆O ：2222x y a b +=+上任一点，过点P 作椭圆22221x y a b +=的两条切线，交椭圆于点,,A B O 为原点，则,OP AB 的斜率乘积为定值22OP ABb k k a⋅=-．【定理4】设P 为蒙日圆O ：2222x y a b +=+上任一点，过点P 作椭圆22221x y a b+=的两条切线，切点分别为,,A B O 为原点，则,OA PA 的斜率乘积为定值22PA OA b k k a ⋅=-，且,OB PB 的斜率乘积为定值22OB PBb k k a⋅=-（垂径定理的推广）．【定理5】过圆2222x y a b +=+上的动点P 作椭圆()222210x y a b a b+=>>的两条切线，O 为原点，则PO 平分椭圆的切点弦AB ．证明：P 点坐标()00,x y ，直线OP 斜率00OP y k x =，由切点弦公式得到AB 方程00221x x y ya b+=，2020ABb x k a y =-，22OP AB b k k a⋅=-，由点差法可知，OP 平分AB ，如图M 是中点．【定理6】设P 为蒙日圆:O 2222x y a b +=+上任一点，过点P 作椭圆()222210x y a b a b+=>>的两条切线，切点分别为,,A B O 为原点，延长PA ，PB 交蒙日圆O 于两点C ，D ，则CD AB ∥．证明：由定理5可知，M 为AB 中点．由蒙日圆性质可知，90APB ∠=︒，①MA MB MP ==，同理OP OC OD ==，因此有PAM APM CPO PCO ∠=∠=∠=∠，①AB CD ∥． 由定理3和定理6可得如下的定理7：【定理7】设P 为蒙日圆:O 2222x y a b +=+上任一点，过点P 作椭圆()222210x y a b a b+=>>的两条切线，交蒙日圆O 于两点C ，D ，则,OP CD 的斜率乘积为定值22OP CDb k k a⋅=-． 【定理8】设P 为蒙日圆2222x y a b +=+上任一点，过点P 作椭圆()222210x y a b a b+=>>的两条切线，切点分别为,,A B O 为原点，则,OA OB 的斜率乘积为定值：44OP CDb k k a⋅=-．【定理9】设P 为蒙日圆2222x y a b +=+上任一点，过点P 作椭圆()222210x y a b a b+=>>的两条切线，切点分别为,,A B O 为原点，则AOB S ∆的最大值为2ab ，AOB S ∆的最小值为2222a b a b+． 【定理10】设P 为蒙日圆2222x y a b +=+上任一点，过点P 作椭圆()222210x y a b a b+=>>的两条切线，切点分别为,A B ，则APB S ∆的最大值为422,APB a S a b ∆+的最小值为422ba b+． 【定理11】设P 为蒙日圆2222x y a b +=+上任一点，过点P 作椭圆()222210x y a b a b+=>>的两条切线，切点分别为,A B ，则椭圆切点弦AB 的中点E 的轨迹方程是()22222222211x y b x a y ab ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭．【定理12】设P 为蒙日圆O ：2222x y a b +=+上任一点，过点P 作椭圆22221x y a b+=的两条切线，交椭圆于点,,A B O 为原点，则,O P 到AB 的距离分别为12,d d ，则12,d d 乘积为定值．证明：如图所示，设)Pθθ，则直线AB的方程为220xb ya a b θθ+-=， 则原点O 到直线AB 的距离为221d =，则点P 到直线AB 的距离为42422d==221222a b d d a b∴=+（定值）．4．蒙日圆的应用例2．（2022吉林·抚松一中高二月考）蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线 的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C ：221(0)2x y a a a+=>+ （a>0）的蒙日圆224x y +=，a=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】A【解析】①椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，找两个特殊点分别为(，)，则两条切线分别是x =y =互垂直，且两条直线的交点为P ，而P 在蒙日圆上，①22+＝4，解得a ＝1，故选A ．【点评】由题意可得椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，设特殊值法，求出两条切线的交点坐标，代入蒙日圆的方程可得a 的值．例3．（2022安徽舒城中学三模）若椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心是椭圆中心，则称这个圆为蒙日圆．若椭圆()2222:144x y C a a +=>的蒙日圆的半径为C 的离心率为___________．【分析】由蒙日圆定义可知(),2P a 在蒙日圆上，由此可根据半径构造方程求得2a ，由此可求得椭圆离心率．【解析】过(),2P a 可作椭圆C 的两条互相垂直的切线x a =和2y =，(),2P a ∴在蒙日圆上，28a =，∴椭圆C 的离心率c e a ===． 【点评】思路点睛：求解圆锥曲线离心率或离心率取值范围问题的基本思路有两种：（1）根据已知条件，求解得到,a c 的值或取值范围，由ce a=求得结果； （2）根据已知的等量关系或不等关系，构造关于,a c 的齐次方程或齐次不等式，配凑出离心率e ，从而得到结果．例4．过椭圆22194x y +=上一点M 作圆222x y +=的两条切线，切点为,A B ，过,A B 的直线与x 轴和y 轴分别交于,P Q ，则POQ △面积的最小值为__________． 【答案】23【分析】设出M 点坐标，根据相切关系分析得到AB 的直线方程，由此表示出,P Q 的坐标并表示出POQ △的面积，再根据M 在椭圆上结合基本不等式求解出面积的最小值． 【解析】设()00,,M x y A 点坐标为()11,x y ，B 点坐标为()22,x y ，①222222,MA OA OM MB OB OM +=+=，①化简可得1010202022x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩，①12,x x 是方程002x x y y +=的两个解，①直线AB 的方程为002x x y y +=，①0022,0,0,P Q x y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且2200194x y +=， ①POQ △的面积00002222x y S x y -⋅-==，且2200001943x y x y =+≥=，①003x y ≤，①00223x y ≥，取等号时0032x y =，即00x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩0022x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩POQ △面积的最小值为23．【点评】结论点睛：和圆的切线有关的结论如下：（1）过圆222x y r +=上一点()00,P x y 作圆的切线，则切线方程为200x x y y r +=；（2）过圆222x y r +=外一点()00,P x y 作圆的切线，切点为,A B ，则直线AB 的方程为200x x y y r +=．例5．已知椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，过椭圆外一点P 可以做出两条切线（如图一），我们形象的称为“筷子夹汤圆”．若P 点在变化过程中，保持两根“筷子”垂直不变，则P 到原点的距离始终为一个定值，即P 的运动轨迹为一个以原点为圆心，半径为定值的一个圆，我们把该圆称为椭圆的“准圆”，试写出该“准圆”的方程是______________．若矩形ABCD 的四条边都与该椭圆相切（如图二），则矩形ABCD 的面积最大值为___________________．【答案】2222x y a b +=+ ()222a b +【分析】根据特殊位置P 点的坐标，求得“准圆”的半径，由此求得准圆方程．根据圆内接矩形的几何性质，求得矩形ABCD 面积的最大值．【解析】由于“准圆”上的点P 到原点的距离始终为一个定值，不妨取(),P a b ，如下图所示．(),P a b ①“准圆” “准圆”的方程为2222x y a b +=+．由于四边形ABCD 是“准圆”的内接矩形，对角线AC 、BD 是“准圆”的直径，①OA OB OC OD ===，①当AC BD ⊥时，矩形ABCD 的面积最大，最大值为()221422OA OB a b ⨯⨯⨯=+．【点评】本小题主要考查新定义圆的概念的理解和运用，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题．例6．（2022江苏·南京十三中高三开学考试）定义椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的“蒙日圆”的方程为2222x y a b +=+，已知椭圆C 的长轴长为4，离心率为12e =．（1）求椭圆C 的标准方程和它的“蒙日圆”E 的方程；（2）过“蒙日圆”E 上的任意一点M 作椭圆C 的一条切线MA ，A 为切点，延长MA 与“蒙日圆”点E 交于点D ，O 为坐标原点，若直线OM ，OD 的斜率存在，且分别设为1k ，2k ，证明：12k k ⋅为定值．【答案】（1）C ：22143x y +=；E ：227x y +=；（2）证明见解析．【分析】（1）由题意可得2,1a c ==，再由222b a c =-可求得23b =，进而可求出椭圆C 的标准方程和它的“蒙日圆”E 的方程；（2）当切线MA 的斜率存在且不为零时，设切线MA 的方程为y kx m =+，然后将直线方程和椭圆方程联立，消去y ，再由判别式等于零，可得2234m k =+，再将直线方程和“蒙日圆”E 的方程联立，消去y ，再利用根与系数的关系可得12221mk x x k -+=+，212271m x x k -=+，然后求12k k 的值，当切线MA 的斜率不存在且为零时，再求解12k k 的值即可【解析】（1）解：由题意知24a =，12c e a ==，1c ∴=，23b ∴= ∴椭圆的方程22143x y +=，∴“蒙日圆”E 的方程为22437x y +=+=，即227x y += （2）证明：当切线MA 的斜率存在且不为零时，设切线MA 的方程为y kx m =+，则由22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()2223484120k x mkx m +++-=，()()2222644344120m k k m ∴∆=-+-=，2234m k ∴=+， 由227y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，消去y 得()2221270k x mkx m +++-=，()()2222244174120m k k m k ∴∆=-+-=+>，设()11,M x y ，()22,D x y ，则12221mk x x k -+=+，212271m x x k -=+，()()1212121212kx m kx m y y k k x x x x ++∴==()22121212k x x km x x m x x +++=222222222272711771m mk k km m m k k k m m k --++-++==--+，2234m k =+，222212227347373474m k k k k k m k -+-∴===--+-， 当切线MA 的斜率不存在且为零时，1234k k =-成立，12k k ∴为定值．【点评】此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置的关系，解题的关键设切线MA 的方程为y kx m =+，先与椭圆方程联立，消去y ，由判别式为0，得2234m k =+，再和“蒙日圆”E 的方程联立，消去y ，再利用根与系数关系和斜率公式化简可得结果． 例7．法国数学家加斯帕尔·蒙日是19世纪著名的几何学家，他创立了画法几何学，推动了空间解析几何学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础．根据他的研究成果，我们定义：给定椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，则称圆心在原点O ，的圆为“椭圆C 的伴随圆”，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为F ，其短轴的一个端点到焦点F（1）求椭圆C 和其“伴随圆”的方程；（2）若点A 是椭圆C 的“伴随圆”与x 轴正半轴的交点，,B D 是椭圆C 上的两相异点，且BD x ⊥轴，求AB AD ⋅的取值范围；（3）在椭圆C 的“伴随圆”上任取一点P ，过点P 作直线1l ､2l ，使得1l ､2l 与椭圆C 都只有一个交点，试判断1l ､2l 是否垂直?并说明理由．【答案】（1）C ：2213x y +=，“伴随圆”方程为224x y +=；（2）[0,7+；（3）垂直，理由见解析．【分析】（1）首先根据题意得到c =a ==1b =，从而得到椭圆C 和其“伴随圆”的方程．（2）首先设(),B m n ，(),D m n -，(m <，得到24332AB AD m ⎛⎫⋅=- ⎪⎝⎭，从而得到AB AD ⋅的取值范围是0,7⎡+⎣．（3）首先设(),P s t ，得到224s t +=，当s =1t =±，易得12l l ⊥，当s ≠设l 的方程为()y t k x s -=-，代入椭圆C 方程可得222(31)6()3()30k x k t ks x t ks ++-+--=，根据Δ0=得到222(3)210s k stk t -++-=，从而得到121k k =-，即可得到答案．【解析】（1）由题意知c =a ==1b =， 故椭圆C 的方程为2213x y +=，其“伴随圆”方程为224x y +=．（2）由题意，可设(),B m n ，(),D m n -，(m <，则有2213m n +=，又A 点坐标为()2,0，故()2,AB m n =-，()2,AD m n =--，故()2222224432441433332m AB AD m n m m m m m ⎛⎫⎛⎫⋅=--=-+--=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又m <<2430,732m ⎛⎫⎡-∈+ ⎪⎣⎝⎭，①AB AD ⋅的取值范围是0,7⎡+⎣． （3）设(,)P s t ，则224s t +=．当s =1t =±，则12,l l 其中之一斜率不存在，另一斜率为0，显然有12l l ⊥．当s ≠(,)P s t 且与椭圆有一个公共点的直线l 的斜率为k ， 则l 的方程为()y t k x s -=-，代入椭圆C 方程可得223[()]3x kx t ks ++-=，即222(31)6()3()30k x k t ks x t ks ++-+--=，由222236()4(31)[3()3]0k t ks k t ks ∆=--+--=，可得222(3)210s k stk t -++-=，其中230s -≠，设12,l l 的斜率分别为12,k k ，则12,k k 是上述方程的两个根，故22122211(4)133t s k k s s---===---，即12l l ⊥．综上可知，对于椭圆C 上的任意点P ，都有12l l ⊥．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，解决本题的关键为分类讨论，设出直线方程()y t k x s -=-，根据直线与椭圆的位置关系得到相应的关系式，从而证明直线垂直． 【针对训练】1．已知双曲线()222114x y a a -=＞上存在一点M ，过点M 向圆221x y +=做两条切线MA 、MB ，若0MA MB ⋅=，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(B ．(C ．)+∞ D ．)+∞2．已知椭圆C ：2212x y +=，M 是圆223x y +=上的任意一点，MA ，MB 分别与椭圆切于A ，B ．求AOB 面积的取值范围．3．设椭圆22154x y +=的两条互相垂直的切线的交点轨迹为C ，曲线C 的两条切线PA 、PB 交于点P ，且与C 分别切于A 、B 两点，求PA PB ⋅的最小值．4．给定椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，称圆心在原点OC 的“准圆”．已知椭圆C 的一个焦点为)F ，其短轴的一个端点到点F(1)求椭圆C 及其“准圆”的方程；(2)若点A 是椭圆C 的“准圆”与x 轴正半轴的交点，B ，D 是椭圆C 上的相异两点，且BD x ⊥轴，求AB AD ⋅的取值范围；(3)在椭圆C 的“准圆”上任取一点(),P s t ，过点P 作两条直线1l ，2l ，使得1l ，2l 与椭圆C 都只有一个公共点，且1l ，2l 分别与椭圆的“准圆”交于M ，N 两点．证明：直线MN 过原点O ．5．已知A 是圆224x y +=上的一个动点，过点A 作两条直线12,l l ，它们与椭圆2213x y +=都只有一个公共点，且分别交圆于点,M N .（①）若()2,0A -，求直线12,l l 的方程；（①）①求证：对于圆上的任意点A ，都有12l l ⊥成立；①求AMN∆面积的取值范围.6．在平面直角坐标系xOy中，已知R（x0，y0）是椭圆C：2212412x y+=（a＞b＞0）上一点，从原点O向圆R：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2＝8作两条切线，分别交P、Q两点．（1）若R点在第一象限，且直线OP①OQ，求圆R的方程；（2）若直线OP、OQ的斜率存在，并记为k1、k2，求k1•k2；（3）试问OP2+OQ2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．参考答案：1．B【解析】利用已知条件，推出a 的关系式，即可求解结果.【详解】双曲线()222114x y a a -=＞上存在一点M ，过点M 向圆221x y +=做两条切线MA 、MB若0MA MB ⋅=，可知MAOB 是正方形，MO =，所以(a ∈. 故选：B.【点睛】本题考查双曲线的简单性质，圆的切线性质的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题. 2．23⎡⎢⎣⎦.【分析】设00(,)M x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，得到,,MA MB AB 的直线方程，与椭圆C 的方程联立，解得弦长AB 的值，利用点到直线的距离公式求解点O 到直线AB的距离，令[]1,2t =，即可求解AOB 面积的取值范围，【详解】解：设00(,)M x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，因为MA 与椭圆切于A ，故221112x y +=，对椭圆求导得2x y y '=-，则切线MA 的斜率为112x k y =-，故切线MA 的方程为：1111()2x y y x x y -=--，整理得1112x x y y +=， 同理，切线MB 的方程为2212x xy y +=， 又点00(,)M x y 为切线MA 与切线MB 的交点，且22003x y +=，故01010*******x x y y x x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，从而直线AB 的方程为：0012x xy y +=， 将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，得()22200034440y x x x y +--+=．①0122043x x x y +=+，21220443y x x y -=+，因此，)2213yABy+==+，又原点O到直线AB的距离d==，①122OABS AB d=⋅=△，令[]1,2t=，得到21222223OABtSt tt⎡==⋅∈⎢+⎣⎦+△．故AOB面积的取值范围为2,32⎡⎢⎣⎦.3．()93.【分析】先根据条件求出C的方程，作图，分析图中的几何关系，设定参数即可求解.【详解】设椭圆的两切线为1l，2l．①当1l x⊥轴或1//l x轴时，对应2//l x轴或2l x⊥轴，可知切点为；①当1l与x轴不垂直且不平行时，x≠1l的斜率为k，则0k≠，2l的斜率为1k-，并设12,l l的交点为00,x y，则1l的方程为()00y y k x x-=-，联立22154x y+=，得：()()()2220000054105200k x y kx kx y k x++-+--=，①直线与椭圆相切，①Δ0=，得()()()2222000055440y kx k k y kx⎡⎤--+--=⎣⎦，①()22200005240x k x y k y--+-=，①k 是方程()22200005240x k x y k y --+-=的一个根，同理1k-是方程()22200005240x k x y k y --+-=的另一个根，①2020415y k k x -⎛⎫⋅-= ⎪-⎝⎭得22009x y +=，其中x ≠①交点的轨迹方程为：(229x y x +=≠，①()2±也满足上式；综上知：轨迹C 方程为229x y +=；设PA PB x == ，APB θ∠=，则在AOB 与APB △中应用余弦定理知， 222222cos 2cos AB OA OB OA OB AOB PA PB PA PB APB =+-⋅⋅∠=+-⋅⋅∠，即()222233233cos 1802cos x x x x θθ+-⋅⋅︒-=+-⋅⋅ ，即()291cos 1cos x θθ+=-，()91cos cos cos cos 1cos PA PB PA PB APB x x θθθθ+⋅=⋅∠=⋅=-，令(]1cos 0,2t θ=-∈，则cos 1t θ=-，()()()2932921293t t t t PA PBt ttt-+--⎛⎫⋅===⋅+- ⎪⎝⎭()9393⎛⎫≥⋅= ⎪ ⎪⎝⎭， 当且仅当2t t=，即t =时，PAPB ⋅取得最小()93； 综上，PA PB ⋅的最小为()93.4．(1)椭圆C的方程为2213x y +=，其“准圆”为224x y +=(2)0,7⎡+⎣(3)证明见解析【分析】（1）根据条件即可求出“准圆”方程； （2）设B ，D 的坐标，根据数量积的定义计算即可；（3）根据切线12,l l 的斜率是否存在分类讨论，再利用判别式和韦达定理即可求解. (1)解：由题意知c =a ==1b =， ①椭圆C 的方程为2213x y +=，其“准圆”为224x y +=；(2)由题意，设(),B m n ，(),D m n -，m <<2213m n +=， 又A 点坐标为()2,0，故()2,AB m n =-，()2,AD m n =--，①()222224413m AB AD m n m m ⎛⎫⋅=--=-+-- ⎪⎝⎭2244343332m m m ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，又m <<①2430,732m ⎛⎫⎡-∈+ ⎪⎣⎝⎭，①AB AD ⋅的取值范围是0,7⎡+⎣； (3)设(),P s t ，则224s t +=，当s =1t =±，则1l ，2l 其中之一斜率不存在，另一条斜率为0，①12l l ⊥； 当3t时，设过(),P s t 且与有一个公共点的直线l 的斜率为k ，则l 的方程为：()y t k x s -=-，代入椭圆C 的方程，得：()2233x k x s t ⎡⎤+-+=⎣⎦，即()()()222316330k x k t ks x t ks -+--++= ， 由()()()222236431330k t ks k t ks ⎡⎤∆=--+--=⎣⎦ ， 得：()2223210s k tsk t -++-= ，将224s t +=代入上式得()2223230s kstk s -++-= ，其中230s -≠ ，设1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，则1k ，2k 分别是上述方程的两个根，①121k k =-， ①12l l ⊥．综上所述，12l l ⊥，①MN 是准圆的直径，①直线MN 过原点O ；综上，椭圆方程为2213x y +=，“准圆”为224x y +=，AB AD ⋅的取值范围是0,7⎡+⎣.5．（①）2,2y x y x =--=+;（①）①证明见解析；①4].【分析】（①）设出直线方程，代入椭圆方程,利用直线与椭圆2213x y +=都只有一个公共点,求出直线的斜率,即可求直线12,l l 的方程；（①）①分类讨论,斜率不存在时成立，斜率存在时，利用判别式等于零可得关于k 的一元二次方程，由韦达定理可得121,k k =-成立，即可证得结论；①记原点到直线12,l l 的距离分别为12,d d ，可得22124d d +=，设AMN ∆面积为S ，可得()2222212144216S d d d ==--+，利用二次函数的性质可求其取值范围.【详解】（①）设直线的方程为()2y k x =+, 代入椭圆2213x y +=，消去y ，可得()222213121230k x k x k +++-=，由0∆=,可得210k -=，设12,l l 的斜率分别为1212,,1,1k k k k ∴=-=， ∴直线12,l l 的方程分别为2,2y x y x =--=+；（①）①证明:当直线12,l l 的斜率有一条不存在时,不妨设1l 无斜率1l 与椭圆只有一个公共点,所以其方程为x =当1l 的方程为x =1l 与圆的交点坐标为)1±，2l ∴的方程为1y =(或1y =-，12l l ⊥成立，同理可证，当1l 的方程为x =; 当直线12,l l 的斜率都存在时,设点(),A m n 且224m n +=，设方程为()y k x m n =-+,代入椭圆方程，可得()22136()3()230k x k n km x n km ++-+--=，由0∆=化简整理得()2223210m k mnk n -++-=， 224m n +=，()2223230m k mnk m ∴-++-=，设12,l l 的斜率分别为12,k k ， 12121,k k l l ∴=-∴⊥成立，综上,对于圆上的任意点A ，都有12l l ⊥成立； ①记原点到直线12,l l 的距离分别为12,d d ， 因为MA NA ⊥，所以MN 是圆的直径，所以122,2MA d NA d ==，222124,d d OA +==AMN ∆面积为12122S MA NA d d =⨯=，()()2222222121114444216S d d d d d ==-=--+， 221[1,3],[12,16]d S ∈∴∈，4]S ∴∈.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系,以及求范围问题,综合性强,难度大. 解决解析几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将解析几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解. 6．（1）（x ﹣2+（y ﹣2＝8；（2）12-；（3）是定值，理由见解析.【解析】（1）根据直线OP ，OQ 互相垂直，且和圆R 相切，得到|OR |r ＝4，即x 02+y 02＝16，再根据点R 在椭圆C 上，即220012412x y +=求解.（2）根据直线OP ：y ＝k 1x 和OQ ：y ＝k 2x 都与圆R 相切，==两边平方可得k 1，k 2为（x 02﹣8）k 2﹣2x 0y 0k +（y 02﹣8）＝0的两根求解.（3）当直线OP ，OQ 不落在坐标轴上时，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），由（2）知2k 1k 2+1＝0，即y 12y 22＝14x 12x 22，再根据P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）在椭圆C 上，得到x 12+x 22进而得到y 12+y 22由两点间距离公式求解.【详解】（1）由圆R 的方程知圆R 的半径r ＝因为直线OP ，OQ 互相垂直，且和圆R 相切， 所以|OR |＝4，即x 02+y 02＝16① 又点R 在椭圆C 上，所以220012412x y +=① 联立①①，解得x 0＝y 0＝所以，所求圆R 的方程为（x ﹣）2+（y ﹣2＝8； （2）因为直线OP ：y ＝k 1x 和OQ ：y ＝k 2x 都与圆R 相切， 所以==两边平方可得k 1，k 2为（x 02﹣8）k 2﹣2x 0y 0k +（y 02﹣8）＝0的两根，可得k 1•k 2＝202088y x --，因为点R （x 0，y 0）在椭圆C 上， 所以220012412x y +=，即y 02＝12﹣12x 02， 所以k 1k 2＝20201428x x --＝﹣12； （3）①当直线OP ，OQ 不落在坐标轴上时， 设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）， 由（2）知2k 1k 2+1＝0， 所以12122y y x x +1＝0，故y 12y 22＝14x 12x 22， 因为P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）在椭圆C 上， 所以221112412x y +=，222212412x y +=， 即y 12＝12﹣12x 12，y 22＝12﹣12x 22， 所以（12﹣12x 12）（12﹣12x 22）＝14x 12x 22， 整理得x 12+x 22＝24，所以y12+y22＝（12﹣12x12）+（12﹣12x22）＝12，所以OP2+OQ2＝x12+y12+x22+y22＝（x12+x22）+（y12+y22）＝36．①当直线OP，OQ落在坐标轴上时，显然有OP2+OQ2＝36．综上可得，OP2+OQ2为定值36．【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，点与椭圆的位置关系以及定值问题，还考查了运算求解的能力，属于较难题.。
高考秒杀系列之蒙日圆
高考秒杀系列之蒙日圆：1.椭圆1x 2222=+by a 的两条互相垂直的切线交点P 的轨迹：2222x b a y +=+ 2.双曲线1x 2222=-by a 的两条互相垂直的切线交点P 的轨迹：2222x b a y -=+ 3.抛物线px 2y 2=的两条互相垂直的切线交点P 的轨迹为其准线（阿基米德三角形）2020陕西三模理11已知双曲线)1a 1x 2222>=-（by a 上存在一点M ，过点M 向圆1x 22=+y 作两条切线MA,MB ，若0=⋅MB MA 则实数a 的取值范围（ ）A.()2,1B.(]2,1C.[)+∞,2 D.()+∞,2 2020咸阳二诊理12已知椭圆1C :1x 2222=+by a （a>b>0）与圆,43:2222b y x C =+若在椭圆1C 上不存在点P ，使得由点P 所作的圆2C 的两条切线互相垂直，则椭圆1C 的离心率的取值范围（ ） A.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛33,0 B.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22,0 C.⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,22 D.⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,33 2020江西一诊理11蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆，若椭圆C ：)0(1a2x 22>=++a y a 的蒙日圆为4x 22=+y 则实数a=( ) A.1 B.2 C.3 D.42020宁夏三诊理11蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆，若椭圆C ：)0(1a1x 22>=++a y a 的离心率为21则椭圆C:的蒙日圆方程为( )A. 4x 22=+yB. 5x 22=+yC. 7x 22=+yD.9x 22=+y2020安徽六校联考理12已知动点A,B 在椭圆C:)1a 1x 2222>=+（by a 上，动点P 在直线3x+4y-10=0上若∠APB 为锐角则椭圆的离心率的取值范围（ ） A.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛36,0 B.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32,0 C.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛123， D.⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,33 2020汉中二诊理12已知圆O ：1x 22=+y ，若直线y=kx+2上总存在点P ，使得P 点向圆O 作的两条切线互相垂直，则实数k 取值范围（ ）A.(][)∞+⋃-∞-，，11B.()1,0C.()11，- D.⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,21 2020榆林二调理12 已知P 为椭圆1E 1x 2222=+by a ：（a>b>0）上一动点，过P 点作椭圆2E ：λ=+2222x by a （10<<λ）的两条切线PA ，PB ，斜率分别为21,k k ，若21k k •为定值则λ=（ ）A. 21B.42C. 41D.22 2014广东理20已知椭圆C:1x 2222=+by a （a>b>0）的一个焦点为()05，，离心率为35 （1）求椭圆C 的标准方程（2）若动点P ()00,x y 为椭圆C 外一点且点P 到椭圆C 的两条切线互相垂直求点P 的轨迹方程。
2020年高考数学压轴题专题复习： 圆锥曲线的几何性质与应用【解析版】
第三章 解析几何专题 圆锥曲线的几何性质与应用纵观近几年的高考命题，围绕圆锥曲线的几何性质与应用的高考压轴题，逐渐呈现“多样化”，即离心率问题、渐近线问题、圆锥曲线中的三角形问题、求其它曲线的方程问题、与平面向量相结合问题等. 在上述各类压轴题型中，圆锥曲线的离心率的求法是一类常见题型，也是历年高考考查的热点，解题规律更易把握.求解圆锥曲线的离心率的值或取值范围，其关键是建立恰当的等量或不等量关系，以过渡到含有离心率e 的等式或不等式使问题获解．1、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数,,a b c 的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向：（1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a 有关，另一条边为焦距.从而可求解（2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用,,a b c 进行表示，再利用条件列出等式求解2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：（1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求.如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用,,a b c 表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口（2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可 （3）通过一些不等关系得到关于,,a b c 的不等式，进而解出离心率注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：()0,1e ∈，双曲线：()1,+e ∈∞ 本专题通过例题说明各类问题解答规律与方法.【压轴典例】例1. (2016·全国卷Ⅲ)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13 B.12 C.23 D.34【答案】A【解析】本题以椭圆内点线的交错关系为条件，而结论是椭圆的离心率，思考目标自然是要得到a ，b ，c 满足的等量关系，那么方向不外乎两个：坐标关系或几何关系，抓住条件“直线BM 经过OE 的中点”作为突破口适当转化，获得所需等式． 详解：法一：数形结合法如图，设直线BM 与y 轴的交点为N ，且点N 的坐标为(0，m )，根据题意，点N 是OE 的中点，则E (0,2m )，从而直线AE 的方程为x －a ＋y2m ＝1，因此点M 的坐标为－c ，2m (a －c )a.又△OBN ∽△FBM ， 所以|FM ||ON |＝|FB ||OB |，即2m (a －c )a m＝a ＋c a ，解得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率为13. 法二：交点法同法一得直线AE 的方程为x －a ＋y 2m ＝1，直线BN 的方程为x a ＋ym ＝1.又因为直线AE 与直线BN 交于点M ，且PF ⊥x 轴，可设M (－c ，n )．则⎩⎪⎨⎪⎧－c －a ＋n2m ＝1，－c a ＋nm ＝1，消去n ，解得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率为13.法三：三点共线法同法一得直线AE 的方程为x －a ＋y2m ＝1，由题意可知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－c a ，N (0，m )，B (a,0)三点共线，则2m ⎝⎛⎭⎪⎫1－c a －m －c＝m－a ，解得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率为13. 法四：方程法设M (－c ，m )，则直线AM 的方程为y ＝ma －c(x ＋a )，所以E ⎝⎛⎭⎪⎫0，ma a －c .直线BM 的方程为y ＝m－c －a(x －a )，与y 轴交于点⎝⎛⎭⎪⎫0，ma a ＋c ，由题意知，2ma a ＋c ＝ma a －c ，即a ＋c ＝2(a －c )，解得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率为13. 法五：几何法在△AOE 中，MF ∥OE ，所以MF OE ＝a －ca .在△BFM 中，ON ∥MF，所以OE2MF ＝a a ＋c ，即OE MF ＝2aa ＋c .所以MF OE ·OE MF ＝a －c a ·2a a ＋c ＝1，即a ＋c ＝2(a －c )，解得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率为13.例2.（2019·全国高考真题（理））已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =u u u r u u u r ，120F B F B ⋅=u u ur u u u r ，则C 的离心率为____________． 【答案】2. 【解析】分析:通过向量关系得到1F A AB =和1OA F A ⊥，得到1AOB AOF ∠=∠，结合双曲线的渐近线可得21,BOF AOF ∠=∠02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=从而由0tan 603ba==可求离心率. 详解:如图，由1,F A AB =u u u r u u u r得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22//,2.BF OA BF OA =由120F B F B =u u u r u u u u rg ，得121,,F B F B OA F A ⊥⊥则1OB OF =有1AOB AOF ∠=∠，又OA 与OB 都是渐近线，得21,BOF AOF ∠=∠又21BOF AOB AOF π∠+∠+∠=，得02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=．又渐近线OB 的斜率为0tan 603ba==，所以该双曲线的离心率为221()1(3)2c be a a==+=+=． 例3. （2019·浙江高考真题）已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，OF为半径的圆上，则直线PF的斜率是_______. 【答案】15【解析】分析:结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示成圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁.详解:方法1：由题意可知||=|2OF OM|=c=，由中位线定理可得12||4PF OM==，设(,)P x y可得22(2)16x y-+=，联立方程22195x y+=可解得321,22x x=-=（舍），点P在椭圆上且在x轴的上方，求得315,22P⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，所以1521512PFk==方法2：焦半径公式应用解析1：由题意可知|2OF|=|OM|=c=，由中位线定理可得12||4PF OM==，即342p pa ex x-=⇒=-求得315,22P⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，所以1521512PFk==.例4.（2019·全国高考真题（理））设12F F ，为椭圆22:+13620x y C =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________. 【答案】()3,15 【解析】分析:根据椭圆的定义分别求出12MF MF 、，设出M 的坐标，结合三角形面积可求出M 的坐标. 详解:由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===．∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△， 又122201482415,44152MF F S y =⨯⨯-=∴=△，解得015y =， ()2201513620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去）， M \的坐标为()3,15．例5.（2019·全国高考真题（文））设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为（ ） A ．2 B ．3 C ．2 D ．5【答案】A 【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==Q ，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径， A ∴为圆心||2c OA =． ,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a=∴==． 2e ∴=，故选A ．例6.（2018全国卷I ））已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若V OMN 为直角三角形，则|MN |=（ ） A ．32B ．3C ．23D ．4【答案】B 【解析】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到30FON ︒∠=，根据直角三角形的条件，可以确定直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为60︒，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得33(3,3),(,)22M N -，利用两点间距离公式求得MN 的值. 详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为33±，且右焦点为(2,0)F ， 从而得到30FON ︒∠=，所以直线MN 的倾斜角为60︒或120︒， 根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒， 可以得出直线MN 的方程为3(2)y x =-，分别与两条渐近线33y x =和33y x =-联立， 求得33(3,3),(,)22M N -， 所以2233(3)(3)322MN =-++=，故选B. 例7.（2018浙江卷）已知点P (0，1)，椭圆24x +y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足AP uu u r =2PB u u u u r ，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大． 【答案】5 【解析】分析:先根据条件得到A ,B 坐标间的关系，代入椭圆方程解得B 的纵坐标，即得B 的横坐标关于m 的函数关系，最后根据二次函数性质确定最值取法.详解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由2AP PB =u u u r u u u r得1212122,12(1),23,x x y y y y -=-=-∴-=-因为A ,B 在椭圆上,所以22221212,,44x x y m y m +=+=2222222243(23),()4424x x m y m y ∴+-=∴+-=，与22224x y m +=对应相减得222231,(109)444m y x m m +==--+≤，当且仅当5m =时取最大值. 例8. （2019·北京卷）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过；③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是（ ） A .① B.②C.①②D.①②③【答案】C 【解析】分析：将所给方程进行等价变形确定x 的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围. 详解：由得,,,所以可为的整数有0,-1,1,从而曲线恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1),(-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确. 由得,,解得,所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过. 结论②正确.如图所示,易知, 四边形的面积,很明显“心形”区域的面积大于,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.故选C.【压轴训练】1．（2019·天津南开中学高考模拟（理））已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，焦距为()20c c >，抛物线22y cx = 准线交双曲线左支交于,A B 两点，且120AOB ∠=︒，其中O 为原点，则双曲线的离心率e 为（ ） A ．2 B ．12+C ．13+D ．15+【答案】C 【解析】设抛物线22y cx = 准线与横轴的交点为M ,∴M 的坐标为,02c ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 设A 在第二象限，由双曲线的对称性可知: °60MOA ∠=，3tan 2AM MOA AM c OM ∠=⇒=，∴A 的坐标为3(,)22c c -，焦距为2c ， ∴设22221,1a b c a c ==-=-，又ce c a==， 把A 的坐标代入双曲线方程中，得22422223()()22184042331c c e e e e a b --=⇒-+=⇒=+⇒=+， 故本题选C.2．（2019·山东高考模拟（文））如图，点F 是抛物线28y x =的焦点，点A ，B 分别在抛物线28y x =及圆22(2)16x y -+=的实线部分上运动，且AB 始终平行于x 轴，则ABF ∆的周长的取值范围是（ ）A.(2,6)B.(6,8)C.(8,12)D.(10,14)【答案】C 【解析】抛物线的准线2l x =-：，焦点20F （，），由抛物线定义可得2A AF x =+，圆()22216x y -+=的圆心为20（，），半径为4， ∴FAB V 的周长()246A B A B AF AB BF x x x x =++=++-+=+， 由抛物线28y x =及圆()22216x y -+=可得交点的横坐标为2，∴26B x ∈（，），∴()6812B x +∈，，故选 C. 3．（2019·四川棠湖中学高三期末（文））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d += 则双曲线的方程为（ ）A ．22139x y -=B ．22193x y -=C ．221412x y -=D ．221124x y -=【答案】A 【解析】设双曲线的右焦点坐标为(),0F c （c >0），则A B x x c ==，由22221c y a b-=可得：2b y a =±，不妨设：22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，据此可得：22122bc b bc b d c a b --==+，22222bc b bc b d c a b++==+， 则12226bcd d b c+===，则23,9b b ==， 双曲线的离心率：2229112c b e a a a ==+=+=， 据此可得：23a =，则双曲线的方程为22139x y -=.本题选择A 选项.4．（2019·张家口市第四中学高二月考（文））已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为（ ）A.2212x y += B.22132x y +=C.22143x y +=D.22154x y += 【答案】B 【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得32n =． 2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得32n =．2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．5．（2019·天津市新华中学高考模拟（理））设12F F 、分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线与抛物线24y x =的准线围成三角形的面积为（ ）A ．34 B ．35 C ．43D ．53【答案】C 【解析】依题意|PF 2|＝|F 1F 2|，可知三角形PF 2F 1是一个等腰三角形，F 2在直线PF 1的投影是其中点，由勾股定理可知|PF 1|＝22244c a -=4b根据双曲定义可知4b ﹣2c ＝2a ，整理得c ＝2b ﹣a ，代入c 2＝a 2+b 2整理得3b 2﹣4ab ＝0，求得43b a = ∴双曲线渐近线方程为y ＝±43x ，即4x ±3y ＝0， 渐近线与抛物线的准线1x =-的交点坐标为：41,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，41,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 三角形 的面积为：1841233⨯⨯=. 故选：C .6．（2019·吉林高考模拟（理））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若()21210F F F A F A +⋅=u u u u r u u u u r u u u r ，则此双曲线的标准方程可能为（ ） A ．22143x y -= B ．22134x y -= C ．221169x y -= D ．221916x y -=【答案】D 【解析】由()21210F F F A F A +⋅=u u u u r u u u u r u u u r，可知1222F F F A c ==，又2AF 的斜率为247，所以易得217cos 25AF F ∠=-， 在12AF F ∆中，由余弦定理得1165AF c =，由双曲线的定义得16225c c a -=， 所以53c e a ==，则:3:4a b =， 所以此双曲线的标准方程可能为221916x y -=.故选D7．（2019·天津高考模拟（理））设1e ，2e 分别为具有公共焦点1F ，2F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足120PF PF ⋅=u u u r u u u u r ，则221211e e +的值为（ ）A ．12B ．13C ．2D ．不确定【答案】C 【解析】设椭圆、双曲线的长轴长分别为122,2a a ，焦距为2c ，则：12112222PF PF a PF PF a ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得：112212PF a a PF a a ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，由勾股定理可得：()222122PF PF c +=，即：()()22212124a a a a c ++-=，整理可得：222122212112,2a a c e e +=∴+=. 故选：C .8.（2017新课标全国卷Ⅲ文科）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）A.63B.33C.23D.13【答案】A 【解析】以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点()0,0，半径为r a =，圆的方程为222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即222ab d a a b==+，整理可得223a b =，即()2223,a a c=-即2223ac =，从而22223c e a ==，则椭圆的离心率2633c e a ===， 故选A.9．（2019·天津高考模拟（理））己知点A 是抛物线212(0)=>︰y px p C 与双曲线222221(00)-=>>︰，x y a b C a b 的一条渐近线的交点，若点A 到抛物线1C 的准线的距离为p ，则双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．3C ．5D ．2【答案】C 【解析】设()00,A x y ，则02p x p += 00,222p px y p p ⇒==±⋅=± 由双曲线方程可得渐近线方程为：by x a=±若A 为抛物线与b y x a =交点，则,2p A p ⎛⎫⎪⎝⎭，可得2b a = 即：224b a = 22225c a b a ∴=+=5ce a∴== 由对称性可知，A 为抛物线与by x a=-交点时，结论一致 本题正确选项：C10．（2019·天津高考模拟（理））已知12,F F 分别双曲线22233(0)x y a a -=>的左右焦点，是P 抛物线28y ax =与双曲线的一个交点，若1212PF PF += ，则抛物线的准线方程为（ ）A.4x =-B.3x =-C.2x =-D.1x =-【答案】C由题得双曲线的方程为222213x y a a-=，所以222234,2c a a a c a =+=∴=.所以双曲线的右焦点和抛物线的焦点重合.由题得1221212,62PF PF PF a PF PF a⎧+=⎪∴=-⎨+=⎪⎩. 联立双曲线的方程和抛物线的方程得223830,(33ax ax a x x a --=∴=-=舍）或. 由抛物线的定义得6-a=3a-(-2a),所以a=1,所以抛物线的准线方程为x=-2，故选C.11．（2019·天津高考模拟（文））已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的右焦点为(c,0)F ，直线2a x c =与一条渐近线交于点P ，POF ∆的面积为2a (O 为原点），则抛物线22by x a=的准线方程为( ) A ．12y =B ．1x =C ．1x =-D ．2x =【答案】C 【解析】不妨取双曲线的渐近线方程为0bx ay -=，与直线2a x c =联立可得：2a x c aby c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2,a ab P c c ⎛⎫⎪⎝⎭, 由题意可得2122POFab ab S c a c ⨯⨯==△，22,4b b a a∴>=， 抛物线方程为24y x =， 其准线方程为1x =-. 故选：C .12．（2018·全国卷II ）已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为（ ） A ．23 B ．12C ．13D ．14【解析】分析：先根据条件得PF 2=2c,再利用正弦定理得a,c 关系，即得离心率. 详解：因为12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以PF 2=F 1F 2=2c,由AP 斜率为36得，2223112tan ,sin cos 61313PAF PAF PAF ∠=∴∠=∠=，， 由正弦定理得2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠, 所以2112211313==4,π5431211sin()3221313c a c e a c PAF =∴==+-∠⋅-⋅，故选D. 13．（2019·天津高考模拟（理））以双曲线上一点为圆心作圆，该圆与轴相切于的一个焦点，与轴交于两点，若，则双曲线的离心率是（ ）.A.B.C.D.【答案】B 【解析】不妨设点M 位于第一象限，由双曲线的性质可得， 由圆的弦长公式可得：，结合可得， 整理变形可得：，即，双曲线中，故.故选：B .14.（2019·广东佛山一中高二月考（文））在平面直角坐标系xoy 中，双曲线的右支与焦点为F 的抛物线22(0)x py p => 交于,A B 两点，若AF +BF =4OF ，则该双曲线的渐近线方程为【答案】22y x =± 【解析】||||=4222A B A B p p pAF BF y y y y p ++++=⨯⇒+= ， 因为22222222221202x y a y pb y a b a bx py⎧-=⎪⇒-+=⇒⎨⎪=⎩，所以2222A B pb y y p a b a +==⇒=⇒渐近线方程为22y x =±. 15．（2019·广东高考模拟（理））已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为,F O 为坐标原点，点,M N 为抛物线准线上相异的两点，且,M N 两点的纵坐标之积为-4，直线OM ，ON 分别交抛物线于A ，B 两点，若A ，B ，F 三点共线，则p =_______. 【答案】2 【解析】设m 2p M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，n 2p N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，， 则直线OM 的方程为：x 2p y m =-，代入抛物线方程可得：222p y p y m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 解得：2A p y m =-，故A 点坐标为：3222p p m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 同理可得：B 点坐标为：3222p p nn ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 又02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，， ∴32222p p p FA m m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，，32222p p p FB n n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ， 又A ，B ，F 三点共线，∴3232222222p p p p p p mn n m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ∴22221111p p n m m n ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由mn 4=- ∴221144p p m n n m -=---，即211104p m n ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又110m n-≠ ∴2104p -=，0p >∴2p = 故答案为：216.（2018·北京高考真题（理））已知椭圆22221(0)x y M a b a b+=>>：，双曲线22221x y N m n -=：．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________． 【答案】31- 2 【解析】分析：由正六边形性质得渐近线的倾斜角，解得双曲线中22,m n 关系，即得双曲线N 的离心率；由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为3c c +，再根据椭圆定义得32c c a +=，解得椭圆M 的离心率. 详解：由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为3c c +，再根据椭圆定义得32c c a +=，所以椭圆M 的离心率为23 1.13c a ==-+ 双曲线N 的渐近线方程为n y x m =±，由题意得双曲线N 的一条渐近线的倾斜角为222ππtan 333n m ∴==，，222222234 2.m n m m e e m m，++∴===∴= 17.（2019·上海高考模拟）已知F 是抛物线2y x =的焦点，点A 、B 在抛物线上且位于x 轴的两侧，若2OA OB ⋅= （其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是______ 【答案】3 【解析】设直线AB 的方程为x ty m =+，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB 与x 轴的交点为(0,)M m .联立2{x ty m y x=+=，可得20y ty m --=，根据韦达定理可得12y y m ⋅=-. ∵2OA OB ⋅=u u u v u u u v∴12122x x y y +=，即21212()20y y y y ⋅+⋅-=.∴2m =或1m =-（舍），即122y y ⋅=-. ∵点A ，B 位于x 轴的两侧∴不妨令点A 在x 轴的上方，则10y >. ∵1(,0)4F ∴121111119292()22322488ABO AFO S S y y y y y ∆∆+=⨯⨯-+⨯=+≥⨯=，当且仅当143y =时取等号.∴ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是3. 故答案为3.18. （2017全国卷I ）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线于交M 、N 两点，若60MAN ∠=o ，则C 的离心率为__________． 【答案】233【解析】 如图所示，由题意可得|OA|=a ，|AN|=|AM|=b ， ∵∠MAN=60°， ∴|AP|=32b ， ∴|OP|=22223||||4OA PA a b -=-．设双曲线C 的一条渐近线y=bax 的倾斜角为θ，则tan θ=223||2||34b AP OP a b =-． 又tan θ=b a， ∴223234bb a a b =-，解得a 2=3b 2， ∴e=221231133b a +=+=． 答案：233。
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蒙日圆及其证明
甘志国(已发表于
河北理科教学研究，2015(5)：11-13)
高考题(2014年高考广东卷文科、理科第20题)已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的
一个焦点为，离心率为5
3
．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若动点00(,)P x y 为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．
答案：(1)22
194
x y +=；(2)2213x y +=．
这道高考题的背景就是蒙日圆.
普通高中课程标准实验教科书《数学2·必修·A 版》(人民教育出版社，2007年第3版，2014年第8次印刷)第22页对画法几何的创始人蒙日(G.Monge ，1745-1818)作了介绍.以上高考题第(2)问的一般情形是
定理1
曲线1:22
22=+Γb
y a x 的两条互相垂直的切线的交点P 的轨迹是圆
2222b a y x +=+.
定理1的结论中的圆就是蒙日圆.
先给出定理1的两种解析几何证法：
定理1的证法1当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P 的坐标是),(b a ±，或),(b a -±.
当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P 的坐标是,)(,(000a x y x ±≠且)0b y ±≠，所以可设曲线Γ的过点P 的切线方程是
)0)((00≠-=-k x x k y y .
由⎪⎩
⎪⎨⎧-=-=+
)
(10022
22x x k y y b y a x ，得0
)()(2)(2220020022222=--+--+b a y kx a x y kx ka x b k a 由其判别式的值为0，得
)
0(02)(22
022*******≠-=++--a x b y k y x k a x 因为PB PA k k ,是这个关于k 的一元二次方程的两个根，所以
2
2
022
0a x b y k k PB
PA -+=⋅由此，得
2
22
02
01b a y x k k PB PA +=+⇔-=⋅进而可得欲证成立.
定理1的证法2当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P 的坐标是),(b a ±，或),(b a -±.
当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P 的坐标是,)(,(000a x y x ±≠且)0b y ±≠，所以可设两个切点分别是)0)(,(),,(21212211≠y y x x y x B y x A .
得直线1:
2
020=+b y y a x x AB ，切线
1:,1:22222121=+=+b y
y a x x PB b y y a x x PA .所以：212
1221121421422221212,x x y y x y x y k k y y a x x b y a x b y a x b k k OB OA PB
PA =⋅==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=PB
PA OB
OA k k a b k k 44
=
因为点)2,1)(,(=i y x i i 既在曲线1:22
22=+Γb
y a x 上又在直线1:2020=+b y y a x x AB 上，所以
2
202022
22
⎪⎭⎫
⎝⎛+=+b y y a
x x b y a x i i 0)(2)(2
204002
2222
04=-+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x b x y y x b a x
y b y a i
i
i
i 所以
PB
PA OB
OA k k a b b y a a x b x x y y k k 44
2
20422
042121)()(=--==2
2
022
0a x b y k k PB
PA --=由此，可得
2
2202
0b a y x PB PA +=+⇔⊥进而可得欲证成立.
再给出该定理的两种平面几何证法，但须先给出四个引理.
引理1(椭圆的光学性质，见普通高中课程标准实验教科书《数学·选修2-1·A 版》(人民教育出版社，2007年第2版，2014年第1次印刷)第76页)从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上(如图1所示).
图1
证明
如图2所示，设P 为椭圆Γ(其左、右焦点分别是21,F F )上任意给定的点，过点
P 作21PF F ∠的外角平分线所在的直线)43(∠=∠l .先证明l 和Γ相切于点P ，只要证明l
上异于P 的点P '都在椭圆Γ的外部，即证2121PF PF F P F P +>'+'：
图2
在直线1PF 上选取点F '，使2PF F P ='，得F P P ''∆≌2PF P '∆，所以2F P F P '=''，还得
2
111121PF PF F P P F F F F P F P F P F P +='+='>''+'='+'再过点P 作21PF F ∠的平分线(12)PA ∠=∠，易得l PA ⊥，入射角等于反射角，这就证得了引理1成立.
引理2过椭圆Γ(其中心是点O ，长半轴长是a )的任一焦点F 作椭圆Γ的任意切线l 的垂线，设垂足是H ，则a OH =.
证明如图3所示，设点F F ,'分别是椭圆Γ的左、右焦点，A 是椭圆Γ的切线l 上的切点，又设直线A F FH ',交于点B .
图3
由引理1，得BAH F lA FAH ∠='∠=∠(即反射角与入射角的余角相等)，进而可得FAH ∆≌BAH ∆，所以点H 是FB 的中点，得OH 是F BF '∆的中位线.又AB AF =，所以a AF A F AB A F OH =+'=+'=
)(2
1
)(21.引理3平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和.证明由余弦定理可证(这里略去过程).
引理4设点P 是矩形ABCD 所在平面上一点，则2222PD PB PC PA +=+.证明
如图4所示，设矩形ABCD 的中心是点O ．
图4
由引理3，可得
2
2222222)(2)(2PD PB OP OB OP OA PC PA +=+=+=+即欲证成立．
注把引理4推广到空间，得到的结论就是：底面是矩形的四棱锥相对侧棱长的平方和相等．
定理1的证法3可不妨设0,0>>b a .当b a =时，易证成立.下面只证明b a >的情形.
如图5所示.设椭圆的中心是点O ，左、右焦点分别是21,F F ，焦距是c 2，过动点P 的两条切线分别是PN PM ,.
图5
连结OP ，作PN OH PM OG ⊥⊥,，垂足分别是H G ,.过点1F 作PM D F ⊥1，垂足为D ，由引理2得a OD =.
再作OG K F ⊥1于K .记θ=∠K OF 1，得θcos 1c K F DG ==.由Rt ODG ∆，得θ2222
2
2
cos c a DG OD OG -=-=.
又作OH L F PN E F ⊥⊥22,，垂足分别为L E ,.在Rt OEH ∆中，同理可得θ2222
2
2
sin c a HE OE OH -=-=.
(1)若PN PM ⊥，得矩形OGPH ，所以
2
22222222
2
2
)sin ()cos (b a c a c a OH OG OP +=-+-=+=θθ(2)若2
22
b a OP +=，得
2
22222222)sin ()cos (OH
OG c a c a OP +=-+-=θθ由PM OG ⊥，得2
2
2
GP OG OP +=，所以OH GP =.
同理，有HP OG =，所以四边形OGPH 是平行四边形，进而得四边形OGPH 是矩形，所以PN PM ⊥.
由(1),(2)得点P 的轨迹方程是2222b a y x +=+.定理1的证法4
可不妨设0,0>>b a .当b a =时，易证成立.下面只证明b a >的情形.
如图6所示.设椭圆的中心是点O ，左、右焦点分别是21,F F ，焦距是c 2，过动点P 的两条切线分别是PB PA ,，两切点分别为B A ,.。