(甘志国)蒙日圆及其证明
蒙日圆及其证明
蒙日圆及其证明高考题 (2014年高考广东卷文科、理科第20题)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为，离心率为3．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点00(,)P x y 为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．答案：(1)22194x y +=；(2)2213x y +=．这道高考题的背景就是蒙日圆.普通高中课程标准实验教科书《数学2·必修·A 版》(人民教育出版社，2007年第3版，2014年第8次印刷)第22页对画法几何的创始人蒙日(G.Monge ，1745-1818)作了介绍.以上高考题第(2)问的一般情形是定理 1 曲线1:2222=+Γb y a x 的两条互相垂直的切线的交点P 的轨迹是圆2222b a y x +=+.定理1的结论中的圆就是蒙日圆.先给出定理1的两种解析几何证法：定理1的证法1 当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P 的坐标是),(b a ±，或),(b a -±.当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P 的坐标是,)(,(000a x y x ±≠且)0b y ±≠，所以可设曲线Γ的过点P 的切线方程是)0)((00≠-=-k x x k y y .由⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+)(1002222x x k y y b y a x ，得 0)()(2)(2220020022222=--+--+b a y kx a x y kx ka x b k a由其判别式的值为0，得)0(02)(22022*******≠-=++--a x b y k y x k a x因为PB PA k k ,是这个关于k 的一元二次方程的两个根，所以220220ax b y k k PBPA -+=⋅由此，得2220201b a y x k k PB PA +=+⇔-=⋅进而可得欲证成立.定理1的证法2 当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P 的坐标是),(b a ±，或),(b a -±.当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P 的坐标是,)(,(000a x y x ±≠且)0b y ±≠，所以可设两个切点分别是)0)(,(),,(21212211≠y y x x y x B y x A .得直线1:2020=+b y y a x x AB ，切线1:,1:22222121=+=+byy a x x PB b y y a x x PA .所以：2121221121421422221212,x x y y x y x y k k y y a x x b y a x b y a x b k k OB OA PBPA =⋅==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= PBPA OBOA k k a b k k 44= 因为点)2,1)(,(=i y x i i 既在曲线1:2222=+Γb y a x 上又在直线1:2020=+by y a x x AB 上，所以220202222⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+b y y a x x b y a x i i 0)(2)(2204002222204=-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x b x y y x b a xy b y a iiii所以 PBPA OBOA k k a b b y a a x b x x y y k k 44220422042121)()(=--==220220ax b y k k PBPA --= 由此，可得222020b a y x PB PA +=+⇔⊥进而可得欲证成立.再给出该定理的两种平面几何证法，但须先给出四个引理.引理1 (椭圆的光学性质，见普通高中课程标准实验教科书《数学·选修2-1·A 版》(人民教育出版社，2007年第2版，2014年第1次印刷)第76页)从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上(如图1所示).图1证明 如图2所示，设P 为椭圆Γ(其左、右焦点分别是21,F F )上任意给定的点，过点P 作21PF F ∠的外角平分线所在的直线)43(∠=∠l .先证明l 和Γ相切于点P ，只要证明l上异于P 的点P '都在椭圆Γ的外部，即证2121PF PF F P F P +>'+'：图2在直线1PF 上选取点F '，使2PF F P ='，得F P P ''∆≌2PF P '∆，所以2F P F P '=''，还得2111121PF PF F P P F F F F P F P F P F P +='+='>''+'='+'再过点P 作21PF F ∠的平分线(12)PA ∠=∠，易得l PA ⊥，入射角等于反射角，这就证得了引理1成立.引理2 过椭圆Γ(其中心是点O ，长半轴长是a )的任一焦点F 作椭圆Γ的任意切线l 的垂线，设垂足是H ，则a OH =.证明 如图3所示，设点F F ,'分别是椭圆Γ的左、右焦点，A 是椭圆Γ的切线l 上的切点，又设直线A F FH ',交于点B .图3由引理1，得B A H F lA FAH ∠='∠=∠(即反射角与入射角的余角相等)，进而可得FAH ∆≌BAH ∆，所以点H 是FB 的中点，得OH 是F BF '∆的中位线.又AB AF =，所以a AF A F AB A F OH =+'=+'=)(21)(21.引理3 平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和. 证明 由余弦定理可证(这里略去过程).引理4 设点P 是矩形ABCD 所在平面上一点，则2222PD PB PC PA +=+.证明 如图4所示，设矩形ABCD 的中心是点O ．图4由引理3，可得22222222)(2)(2PD PB OP OB OP OA PC PA +=+=+=+即欲证成立．注 把引理4推广到空间，得到的结论就是：底面是矩形的四棱锥相对侧棱长的平方和相等．定理1的证法3 可不妨设0,0>>b a .当b a =时，易证成立.下面只证明b a >的情形.如图5所示.设椭圆的中心是点O ，左、右焦点分别是21,F F ，焦距是c 2，过动点P 的两条切线分别是PN PM ,.图5连结OP ，作PN OH PM OG ⊥⊥,，垂足分别是H G ,.过点1F 作PM D F ⊥1，垂足为D ，由引理2得a OD =.再作OG K F ⊥1于K .记θ=∠K OF 1，得θcos 1c K F DG ==. 由Rt ODG ∆，得θ222222cos c a DG OD OG -=-=.又作OH L F PN E F ⊥⊥22,，垂足分别为L E ,.在Rt OEH ∆中，同理可得θ222222sin c a HE OE OH -=-=.(1)若PN PM ⊥，得矩形OGPH ，所以22222222222)sin ()cos (b a c a c a OH OG OP +=-+-=+=θθ(2)若222b a OP +=，得222222222)sin ()cos (OH OG c a c a OP +=-+-=θθ由PM OG ⊥，得222GP OG OP +=，所以OH GP =.同理，有HP OG =，所以四边形OGPH 是平行四边形，进而得四边形OGPH 是矩形，所以PN PM ⊥.由(1),(2)得点P 的轨迹方程是2222b a y x +=+.定理1的证法4 可不妨设0,0>>b a .当b a =时，易证成立.下面只证明b a >的情形. 如图6所示.设椭圆的中心是点O ，左、右焦点分别是21,F F ，焦距是c 2，过动点P 的两条切线分别是PB PA ,，两切点分别为B A ,.分别作右焦点2F 关于切线PB PA ,的对称点N M ,，由椭圆的光学性质可得三点M A F ,,1共线(用反射角与入射角的余角相等).同理，可得三点N B F ,,1共线.图6由椭圆的定义，得a BF BF NF a AF AF MF 2,2211211=+==+=，所以11NF MF =.由O 是21F F 的中点，及平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和，可得)(2)(2222222221221OP c OP OF PF PF PM PF +=+=+=+ (1)若PB PA ⊥，得︒=∠+∠=∠+∠180)(22211BPF APF NPF MPF ，即三点N P M ,,共线.又PN PF PM ==2，所以MN PF ⊥1，进而得)(2422221212OP c PM PF MF a +=+==222b a OP +=(2)若222b a OP +=，得212222222214)(2)(2MF a b a c OP c PM PF ==++=+=+所以PM PF ⊥1.同理，可得PN PF ⊥1.所以三点N P M ,,共线. 得︒=∠+∠=∠+∠=∠90)(212222NPF MPF BPF APF APB ，即PB PA ⊥. 由(1),(2)得点P 的轨迹方程是2222b a y x +=+.定理1的证法5 (该证法只能证得纯粹性)可不妨设0,0>>b a .当b a =时，易证成立.下面只证明b a >的情形.如图7所示，设椭圆的中心是点O ，左、右焦点分别是21,F F ，焦距是c 2，过动点P 的两条切线分别是PB PA ,，切点分别是B A ,.设点1F 关于直线PB PA ,的对称点分别为''21,F F ，直线'11F F 与切线PA 交于点G ，直线'21F F 与切线PB 交于点H .图7得1211,BF BF AF AF ='='，再由椭圆的定义，得a F F F F 22221='='，所以a OH OG ==. 因为四边形H PGF 1为矩形，所以由引理4得2222212a OH OG OP OF =+=+，所以222b a OP +=，得点P 的轨迹方程是2222b a y x +=+.读者还可用解析几何的方法证得以下结论：定理 2 (1)双曲线)0(12222>>=-b a b y a x 的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆2222b a y x -=+；(2)抛物线px y 22=的两条互相垂直的切线的交点是该抛物线的准线.定理 3 (1)椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两条斜率之积是22a b -的切线交点的轨迹方程是22222=+by a x ；(2)双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条斜率之积是22a b 的切线交点的轨迹方程是22222=-b y a x . 定理4 过椭圆)0(22222>>=+b a b y a x 上任一点),(00y x P 作椭圆12222=+by a x 的两条切线，则(1)当a x ±=0时，所作的两条切线互相垂直；(2)当a x ±≠0时，所作的两条切线斜率之积是22ab -.定理5 (1)椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两条斜率之积是)0(≠λλ的切线交点的轨迹Γ是：①当1-=λ时，Γ即圆2222b a y x +=+(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±)；②当0<λ且1-≠λ时，Γ即椭圆1222222=-+-ab y b a x λλ(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±)；③当22a b -=λ时，Γ即两条直线x aby ±=在椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 外的部分(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±)；④当220a b <<λ时，Γ即双曲线1222222=---a b x a b y λλ在椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 外的部分(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±)；⑤当22ab >λ时，Γ即双曲线1222222=---b a y b a x λλ在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 外的部分(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±).(2)双曲线)0(12222>>=-b a by a x 的两条斜率之积是)0(≠λλ的切线交点的轨迹Γ是：①当1-=λ时，Γ即圆2222b a y x -=+； ②当0>λ时，Γ即双曲线1222222=+-+b a y b a x λλ； ③当1-<λ或221ab -<<-λ时，Γ即椭圆1222222=--++ba yb a x λλ； ④当022<<-λab 时，Γ不存在.(3)抛物线px y 22=的两条斜率之积是)0(≠λλ的切线交点的轨迹Γ是：①当0<λ时，Γ即直线λ2p x =； ②当0>λ时，Γ的方程为⎪⎭⎫⎝⎛>=λλp y p x 2. 例 (北京市海淀区2015届高三第一学期期末文科数学练习第14题)已知22:1O x y +=. 若直线2y kx =+上总存在点P ，使得过点P 的O 的两条切线互相垂直，则实数k 的取值范围是_________. 解 (,1][1,)-∞-+∞.在图8中，若小圆(其圆心为点O ，半径为r )的过点A 的两条切线AD AB ,互相垂直(切点分别为F E ,)，得正方形AEOF ，所以r OE OA 22==，即点A 的轨迹是以点O 为圆心，r 2为半径的圆.图8由此结论可得：在本题中，点P 在圆222x y +=上.所以本题的题意即直线2y kx =+与圆222x y +=有公共点，进而可得答案.注 本题的一般情形就是蒙日圆.。
循环小数的一个猜想的证明
循环小数的一个猜想的证明
甘志国
【期刊名称】《中学数学月刊》
【年(卷),期】2004(000)001
【摘要】@@ <中学生数学>2000年第8期刊登了湖南肖乐农的文章<循环小数的一个猜想>,文末的猜想可用符号表述为(原猜想中的"q是质数"可放宽):
【总页数】1页(P26-26)
【作者】甘志国
【作者单位】湖北省竹溪县一中,442300
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.非传统数论研究——费尔马猜想、PRC猜想、哥德巴赫猜想、斋藤慎二猜想等四个猜想的同时证明 [J], 李英杰
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2024版高考数学一轮复习专题基础练专题八平面解析几何视野拓展4蒙日圆及阿基米德三角形的应用作业课件
应用专练
3.
2 2
[2023江苏苏州部分学校联考]已知双曲线C: 4 -2 =1(b>0),若直线l:x+y+2=0上存在一点P满足:过点P能向双曲线
C引两条互相垂直的切线,则双曲线C的离心率的取值范围是
.
答案
6
3.(1, 2 ] 通解
应用专练
秒杀解
由蒙日圆的定义可得点P在圆x2+y2=4上,又点P在圆M:(x-3)2+(y-4)2=r2(r>0)上,所以两圆有公共点,
所以|2-r|≤ (3−0) 2 +(4−0) 2 ≤2+r,解得3≤r≤7,故选B.
应用专练
2.
2 2
5
[2022江苏南京模拟]已知椭圆C: +2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为 5 ,其蒙日圆方程为x2+y2=
1
12 1
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,所以y'=2,则抛物线在点A处的切线斜率为 2 ,在点A处的切线方程为y- 4 = 2 (x-x1),即y= 2 x- 4 ,
4
因为x2=4y,即y=
2
(技巧点拨:因为抛物线方程为x2=4y,即y=
2
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,所以想到利用导数的几何意义求切线方程)
2 22
同理得抛物线在点B处的切线方程为y= x- ,
视野拓展4
蒙日圆及阿基米德三角形的应用
知识延展
发散思维，培素养
知识延展
1.蒙日圆
如图(以椭圆为例),椭圆的两条切线互相垂直,则两条切线的交点位于以椭圆的中心为圆心的圆上,称该圆为蒙日圆,
高中数学蒙日圆及其证明
蒙日圆及其证明高考题 (2014年高考广东卷文科、理科第20题)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为，离心率为3． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点00(,)P x y 为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．答案：(1)22194x y +=；(2)2213x y +=．定理 1 曲线1:2222=+Γb y a x 的两条互相垂直的切线的交点P 的轨迹是圆2222b a y x +=+.定理1的结论中的圆就是蒙日圆. 先给出定理1的两种解析几何证法：定理1的证法1 当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P 的坐标是),(b a ±，或),(b a -±.当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P 的坐标是,)(,(000a x y x ±≠且)0b y ±≠，所以可设曲线Γ的过点P 的切线方程是)0)((00≠-=-k x x k y y .由⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+)(1002222x x k y y b y a x ，得 0)()(2)(2220020022222=--+--+b a y kx a x y kx ka x b k a由其判别式的值为0，得)0(02)(22022*******≠-=++--a x b y k y x k a x因为PB PA k k ,是这个关于k 的一元二次方程的两个根，所以220220a x b y k k PBPA -+=⋅ 由此，得2220201b a y x k k PB PA +=+⇔-=⋅进而可得欲证成立.定理1的证法2 当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P 的坐标是),(b a ±，或),(b a -±.当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P 的坐标是,)(,(000a x y x ±≠且)0b y ±≠，所以可设两个切点分别是)0)(,(),,(21212211≠y y x x y x B y x A .得直线1:2020=+b y y a x x AB ，切线1:,1:22222121=+=+byy a x x PB b y y a x x PA .所以： 2121221121421422221212,x x y y x y x y k k y y a x x b y a x b y a x b k k OB OA PBPA =⋅==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= PBPA OBOA k k a b k k 44= 因为点)2,1)(,(=i y x i i 既在曲线1:2222=+Γb y a x 上又在直线1:2020=+by y a x x AB 上，所以220202222⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+b y y a x x b y a x i i 0)(2)(2204002222204=-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x b x y y x b a xy b y a iiii 所以 PBPA OBOA k k a b b y a a x b x x y y k k 44220422042121)()(=--==220220ax b y k k PBPA --= 由此，可得222020b a y x PB PA +=+⇔⊥进而可得欲证成立.再给出该定理的两种平面几何证法，但须先给出四个引理.引理1 (椭圆的光学性质，见普通高中课程标准实验教科书《数学·选修2-1·A 版》(人民教育出版社，2007年第2版，2014年第1次印刷)第76页)从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上(如图1所示).图1证明 如图2所示，设P 为椭圆Γ(其左、右焦点分别是21,F F )上任意给定的点，过点P 作21PF F ∠的外角平分线所在的直线)43(∠=∠l .先证明l 和Γ相切于点P ，只要证明l上异于P 的点P '都在椭圆Γ的外部，即证2121PF PF F P F P +>'+'：图2在直线1PF 上选取点F '，使2PF F P ='，得F P P ''∆≌2PF P '∆，所以2F P F P '=''，还得2111121PF PF F P P F F F F P F P F P F P +='+='>''+'='+'再过点P 作21PF F ∠的平分线(12)PA ∠=∠，易得l PA ⊥，入射角等于反射角，这就证得了引理1成立.引理2 过椭圆Γ(其中心是点O ，长半轴长是a )的任一焦点F 作椭圆Γ的任意切线l 的垂线，设垂足是H ，则a OH =.证明 如图3所示，设点F F ,'分别是椭圆Γ的左、右焦点，A 是椭圆Γ的切线l 上的切点，又设直线A F FH ',交于点B .图3由引理1，得BAH F lA FAH ∠='∠=∠(即反射角与入射角的余角相等)，进而可得FAH ∆≌BAH ∆，所以点H 是FB 的中点，得OH 是F BF '∆的中位线.又AB AF =，所以a AF A F AB A F OH =+'=+'=)(21)(21.引理3 平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和. 证明 由余弦定理可证(这里略去过程).引理4 设点P 是矩形ABCD 所在平面上一点，则2222PD PB PC PA +=+. 证明 如图4所示，设矩形ABCD 的中心是点O ．图4由引理3，可得22222222)(2)(2PD PB OP OB OP OA PC PA +=+=+=+即欲证成立．注 把引理4推广到空间，得到的结论就是：底面是矩形的四棱锥相对侧棱长的平方和相等．定理1的证法3 可不妨设0,0>>b a .当b a =时，易证成立.下面只证明b a >的情形. 如图5所示.设椭圆的中心是点O ，左、右焦点分别是21,F F ，焦距是c 2，过动点P 的两条切线分别是PN PM ,.图5连结OP ，作PN OH PM OG ⊥⊥,，垂足分别是H G ,.过点1F 作PM D F ⊥1，垂足为D ，由引理2得a OD =.再作OG K F ⊥1于K .记θ=∠K OF 1，得θcos 1c K F DG ==. 由Rt ODG ∆，得θ222222cos c a DG OD OG -=-=.又作OH L F PN E F ⊥⊥22,，垂足分别为L E ,.在Rt OEH ∆中，同理可得θ222222sin c a HE OE OH -=-=.(1)若PN PM ⊥，得矩形OGPH ，所以22222222222)sin ()cos (b a c a c a OH OG OP +=-+-=+=θθ(2)若222b a OP +=，得222222222)sin ()cos (OH OG c a c a OP +=-+-=θθ由PM OG ⊥，得222GP OG OP +=，所以OH GP =.同理，有HP OG =，所以四边形OGPH 是平行四边形，进而得四边形OGPH 是矩形，所以PN PM ⊥.由(1),(2)得点P 的轨迹方程是2222b a y x +=+.定理1的证法4 可不妨设0,0>>b a .当b a =时，易证成立.下面只证明b a >的情形. 如图6所示.设椭圆的中心是点O ，左、右焦点分别是21,F F ，焦距是c 2，过动点P 的两条切线分别是PB PA ,，两切点分别为B A ,.分别作右焦点2F 关于切线PB PA ,的对称点N M ,，由椭圆的光学性质可得三点M A F ,,1共线(用反射角与入射角的余角相等).同理，可得三点N B F ,,1共线.图6由椭圆的定义，得a BF BF NF a AF AF MF 2,2211211=+==+=，所以11NF MF =.由O 是21F F 的中点，及平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和，可得)(2)(2222222221221OP c OP OF PF PF PM PF +=+=+=+ (1)若PB PA ⊥，得︒=∠+∠=∠+∠180)(22211BPF APF NPF MPF ，即三点N P M ,,共线.又PN PF PM ==2，所以MN PF ⊥1，进而得)(2422221212OP c PM PF MF a +=+==222b a OP +=(2)若222b a OP +=，得212222222214)(2)(2MF a b a c OP c PM PF ==++=+=+所以PM PF ⊥1.同理，可得PN PF ⊥1.所以三点N P M ,,共线.得︒=∠+∠=∠+∠=∠90)(212222NPF MPF BPF APF APB ，即PB PA ⊥. 由(1),(2)得点P 的轨迹方程是2222b a y x +=+.定理1的证法5 (该证法只能证得纯粹性)可不妨设0,0>>b a .当b a =时，易证成立.下面只证明b a >的情形.如图7所示，设椭圆的中心是点O ，左、右焦点分别是21,F F ，焦距是c 2，过动点P 的两条切线分别是PB PA ,，切点分别是B A ,.设点1F 关于直线PB PA ,的对称点分别为''21,F F ，直线'11F F 与切线PA 交于点G ，直线'21F F 与切线PB 交于点H .图7得1211,BF BF AF AF ='='，再由椭圆的定义，得a F F F F 22221='='，所以a OH OG ==. 因为四边形H PGF 1为矩形，所以由引理4得2222212a OH OG OP OF =+=+，所以222b a OP +=，得点P 的轨迹方程是2222b a y x +=+.读者还可用解析几何的方法证得以下结论：定理 2 (1)双曲线)0(12222>>=-b a b y a x 的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆2222b a y x -=+；(2)抛物线px y 22=的两条互相垂直的切线的交点是该抛物线的准线.定理 3 (1)椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两条斜率之积是22a b -的切线交点的轨迹方程是22222=+by a x ；(2)双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条斜率之积是22a b 的切线交点的轨迹方程是22222=-b y a x . 定理4 过椭圆)0(22222>>=+b a b y a x 上任一点),(00y x P 作椭圆12222=+by a x 的两条切线，则(1)当a x ±=0时，所作的两条切线互相垂直；(2)当a x ±≠0时，所作的两条切线斜率之积是22ab -.定理5 (1)椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两条斜率之积是)0(≠λλ的切线交点的轨迹Γ是：①当1-=λ时，Γ即圆2222b a y x +=+(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±)；②当0<λ且1-≠λ时，Γ即椭圆1222222=-+-a b y b a x λλ(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±)；③当22a b -=λ时，Γ即两条直线x aby ±=在椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 外的部分(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±)；④当220a b <<λ时，Γ即双曲线1222222=---a b x a b y λλ在椭圆)0(12222>>=+b a b y a x外的部分(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±)；⑤当22ab >λ时，Γ即双曲线1222222=---b a y b a x λλ在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 外的部分(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±).(2)双曲线)0(12222>>=-b a by a x 的两条斜率之积是)0(≠λλ的切线交点的轨迹Γ是：①当1-=λ时，Γ即圆2222b a y x -=+； ②当0>λ时，Γ即双曲线1222222=+-+b a y b a x λλ； ③当1-<λ或221ab -<<-λ时，Γ即椭圆1222222=--++ba yb a x λλ； ④当022<<-λab 时，Γ不存在.(3)抛物线px y 22=的两条斜率之积是)0(≠λλ的切线交点的轨迹Γ是：①当0<λ时，Γ即直线λ2p x =； ②当0>λ时，Γ的方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛>=λλp y p x 2. 例 (北京市海淀区2015届高三第一学期期末文科数学练习第14题)已知22:1O x y +=. 若直线2y kx =+上总存在点P ，使得过点P 的O 的两条切线互相垂直，则实数k 的取值范围是_________.解 (,1][1,)-∞-+∞.在图8中，若小圆(其圆心为点O ，半径为r )的过点A 的两条切线AD AB ,互相垂直(切点分别为F E ,)，得正方形AEOF ，所以r OE OA 22==，即点A 的轨迹是以点O 为圆心，r 2为半径的圆.图8由此结论可得：在本题中，点P 在圆222x y +=上.所以本题的题意即直线2y kx =+与圆222x y +=有公共点，进而可得答案.注 本题的一般情形就是蒙日圆.。
(甘志国)分割区间来解题,也是一种好方法!
分割区间来解题，也是一种好方法！甘志国(该文已发表 数学通讯，2012(4上)：28-29)高考题1 (2010·福建·理·15)已知定义域为),0(+∞的函数)(x f 满足：(1)对任意),0(+∞∈x ，恒有)(2)2(x f x f =成立；(2)当]2,1(∈x 时，x x f -=2)(.给出如下结论：①对任意∈m Z ，有0)2(=m f ； ②函数)(x f 的值域为),0[+∞； ③存在∈n Z ，使得9)12(=+n f ；④“函数)(x f 在区间(,)a b 上单调递减”的充要条件是“存在∈k Z ，使得1(,)(2,2)k k a b +⊆”.其中所有正确结论的序号是 .(答案：①②④)分析 由条件(2)知当]2,1(∈x 时函数)(x f 的解析式已知：再由条件(1)知当]2,2(2∈x 时函数)(x f 的解析式可求出，再由条件(1)知当]2,2(32∈x 时函数)(x f 的解析式也可求出，…，当∈∈+k x k k](2,2(1N )时函数)(x f 的解析式均可求出；再由条件(1)知当⎥⎦⎤ ⎝⎛∈1,21x 时函数)(x f 的解析式可求出，再由条件(1)知当⎥⎦⎤⎝⎛∈21,212x 时函数)(x f 的解析式也可求出，…，当∈⎥⎦⎤⎝⎛∈+l x l l (21,211N )时函数)(x f 的解析式均可求出.所以，对任意),0(+∞∈x ，函数)(x f 的解析式均可求出.进而可判断四个选项的真假.解 可把区间),0(+∞分割成：⋃⋃⋃⋃⋃⋃⎥⎦⎤⎝⎛⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛⋃⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛⋃=+∞++]2,2(]2,2(]2,2(]2,1(1,2121,2121,21),0(132221k k l l也可记作]2,2(),0(1+∈=+∞k k Zk由条件(1)得)2(21)(x f x f =，所以 ∈==⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛--k x f x f x f x f k k k k )((212212212221 Z )∈⎪⎭⎫⎝⎛=k xf x f kk (22)(Z 0,>x ) 当∈∈+k x k k ](2,2(1Z )时，]2,1(2∈k x，所以再由条件(2)得 x x x f k k k -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+12222)(即x x f k -=+12)((∈∈+k x k k ](2,2(1Z ))这就是函数)(x f 在),0(+∞上的解析式(是分段函数的形式). 下面由此解析式来判断所给选项哪些是正确的？在解析式中选∈-==+m m k x k ,1(21Z )，立得选项①正确.由解析式得，当∈∈+k x k k ](2,2(1Z )时)2,0[)(k x f ∈，所以函数)(x f 的值域是),0[)2,0[+∞=∈k Zk ，即选项②正确.在解析式中选∈=n n k (Z )后可令12+=n x ，得12)12(-=+n n f .若9)12(=+n f ，得10log 2=n ，这与∈n Z 矛盾！所以选项③错误.由求得的解析式知，选项④正确.高考题1的变式1 已知定义域为),0(+∞的函数)(x f 满足：(1)对任意),0(+∞∈x ，恒有a a x af ax f ,1)(()(>=是常数)成立；(2)当],1(a x ∈时，)()(x x f ϕ=(当],1(a x ∈时，)(x ϕ是已知的函数).请求出函数)(x f 的解析式.解 可把区间),0(+∞分割成：],(),0(1Z+∈=+∞k kk aa .由条件(1)得)(1)(ax f ax f =，所以 ∈==⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛--k x f a a x f a a x f a a x f kk k k )((111221 Z ) ∈⎪⎭⎫⎝⎛=k a x f a x f k k ()(Z 0,>x )当∈∈+k aa x k k ](,(1Z )时，],1(a axk ∈，所以再由条件(2)得⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=kk a xa x f ϕ)((∈∈+k a a x k k ](,(1Z )) 这就是此时函数)(x f 在),0(+∞上的解析式(是分段函数的形式).高考题1的变式2 已知定义域为),0(+∞的函数)(x f 满足：(1)对任意),0(+∞∈x ，恒有b b x bf bx f ,10)(()(<<=是常数)成立；(2)当⎥⎦⎤ ⎝⎛∈bx 1,1时，)()(x x f ϕ=(当⎥⎦⎤⎝⎛∈b x 1,1时，)(x ϕ是已知的函数).请求出函数)(x f 的解析式.解 在高考题1的变式1中令ba 1=后，立得本题的答案是：kk b x b x f )()(ϕ=(∈⎥⎦⎤⎝⎛∈+k b b x k k(1,11Z ))(是分段函数的形式). 高考题 2 (200·湖北·理·22)已知不等式][log 21131212n n >+++ ，其中n 为大于2的整数，][log 2n 表示不超过n 2log 的最大整数.设数列{}n a 的各项为正，且满足,4,3,2,),0(111=+≤>=--n a n na a b b a n n n .(1)证明： ,5,4,3,][log 222=+<n n b ba n ；(2)猜测数列{}n a 是否有极限？如果有，写出极限的值(不必证明)； (3)试确定一个正整数N ，使得当N n >时，对于任意的0>b ，都有51<n a . 此题显然是以高等数学中的调和级数为背景的，出题者为了降低这道压轴题的难度而给出了题目开头的那个已知不等式.下面来证明这个不等式：全体正整数集N *可分割成N * ⋃⋃⋃⋃=+Z 1Z 21Z 1)2,2[)2,2[)2,2[k k这里∈+k k k()2,2[Z 1N )表示区间)2,2[1+k k 中的整数组成的集合.所以，对于任意的∈n N *，总存在∈k N ，使122+<≤k kn ，得1log 2+<≤k n k ，即k n =][log 2.当3≥n 时，有∈k N*，且k n 21312113121+++≥+++ ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=--k k k 212211218171615141312111 ][log 21212212212212121232n k k k ==⋅+++⋅+⋅+>- 分割区间来解题，也是一种好方法！。
探究一道课本习题的一般情形
探究一道课本习题的一般情形
甘志国
【期刊名称】《新高考（高二数学）》
【年(卷),期】2017(000)007
【摘要】定理若α，β，α＋β∈[0，π），则cosα＋cosβ〉0．证明由题设可得0≤α〈π-β≤π，再由f（x）=cosx（0〈x〈π）是减函数，得f（α）〉f（π-β）,即cosα〉-cosβ,cosα＋cosβ〉0.
【总页数】2页(P60-61)
【作者】甘志国
【作者单位】北京市丰台二中
【正文语种】中文
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——一道课本习题的变式与探究
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(甘志国)这道经典题目的结论和解答都是错误的
这道经典题目的结论和解答都是错误的！——判断两个增函数(减函数)图象的公共点个数时要慎重甘志国(该文已发表 数学教学2010(7)：23-24，封底)苏州市2009—2010学年度高一(必修1+必修4)上学期期末统考测试题第11题是如下一道选择题：若方程0(log 2sin >=a x xa π且)1≠a 恰有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是( )A.φB.)9,5(C.⎪⎭⎫ ⎝⎛31,71 D.)9,5(31,71⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛ 参考答案是D(没有解答过程)，笔者猜测这道经典题目的传统解法是这样的： 解 当10<<a 时，可以画出函数)0(2sin >=x xy π与x y a log =的图象(草图)如图1所示，此时“方程x xa log 2sin=π恰有三个不相等的实数根”即“这两个函数的图象恰有三个不同的交点”，得⎪⎩⎪⎨⎧-<-><<,17log 13log 10aa a 即3171<<a ；当1>a 时，可以画出函数)0(2sin >=x xy π与x y a log =的图象(草图)如图2所示，此时得⎪⎩⎪⎨⎧><>,19log 15log 1aa a 即95<<a .所以所求a 的取值范围是)9,5(31,71⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛，选D.图1图2下面对以上解答提出异议.有以下结论成立：结论1 增函数)(x f 与减函数)(x g 的图象公共点个数只能是0或1(因为两者公共点的个数即方程0)()(=-x g x f 解的个数，而)()(x g x f -是增函数).结论2 增函数)(x f 与增函数)(x g 的图象公共点个数可以是任意自然数，并且也可以是无数个(比如两个增函数)0(sin 3>+=x x y x 与)0(3>=x y x 的图象公共点个数即方程0sin =x 解的个数，是无数个).结论3 减函数)(x f 与减函数)(x g 的图象公共点个数可以是任意自然数，并且也可以是无数个(由结论2可得).若用草图1来解答本题中10<<a 的情形，还须证明当3171<<a 时下面四点均成立(而以上解答认为它们是显然成立的)：(1)在]1,0(∈x 时两者有唯一公共点；(2)在]3,1(∈x 时两者有唯一公共点；(3)在]5,3(∈x 时两者有唯一公共点；(4)在]7,5(∈x 时均有)()(x g x f >.由结论1及连续函数的性质(根的存在定理)可证得(1)、(3)两点均成立.怎么证明(2)、(4)呢？虽说可以验证当7,5=x 时均有)()(x g x f >，但不能说在]7,5(∈x 时均有)()(x g x f >(如图3).当然，由结论3也可知(2)、(4)两点不是显然的事实.下面来试着证明这两点. 图3要证明(4)，可以只证明)7,6(∈x 时)(x f 比)(x g 下降的速度快，即证)()(x g x f '<'，这种证法即先证0])()([<'-x g x f ，再得出)()(x g x f -是)7,6(上的减函数，所以0)7()7()()(>->-g f x g x f .但这条路行不通，因为2cos20])()([xxx g x f ππ⇔<'-3ln 12cos 2ln 1min-≤⇔⎪⎭⎫ ⎝⎛<x x a ππ，而最后一式在)7,6(∈x 时不可能恒成立：3ln 102cos2lim 7->=-→xxx ππ.为什么会产生此种情形呢？仔细观察图1可得，当自变量x 在7的左侧无限接近于7时)(x f 下降的速度接近于0，)(x g 下降的速度大于0，所以此时0])()([>'-x g x f .欲证明(4)，只需证明⎪⎭⎫ ⎝⎛∈∈31,71),7,6(a x 时，axx xa ln ln log 2sin=>π，即证2sin ln ln x x a π>，等价于)76(0log 2sin )(,2sinln 7ln 7<<>+=>-∆x x xx f x x ππ恒成立.可以用几何画板作出函数)(x f 的图象如图4所示，由此可以看出0)96.6(<f (事实上，用计算器可算出0009717.0)96.6(-≈f )，由此说明欲证的(4)不可能成立.可以再用几何画板作出函数⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=--3171log 2sin)(94591.194591.1e x xx u e π的图象如图5所示，由此可以看出0)96.6(<u (事实上，用计算器可算出0009716.0)96.6(-≈u )，由此也直接说明结论(4)不成立.图4图5若用草图2来解答本题中1>a 的情形，还必须证明当95<<a 且)9,8(∈x 时均有2sinlog xx a π>.这也是不成立的：可用几何画板作出函数()952sinlog )(197224577.2197224577.2<<-=exx x u e π的图象如图6所示，由此可以看出0)965.8(<u (事实上，用计算器可算出000262456.0)965.8(-≈u ).图6虽然笔者已经发现以上一道经典题目的结论及解法均是错误的，但如何求解，笔者认为难度甚大，不知由以下思路能否求解：当10<<a 时，如图1，设1a a =时曲线)76(2sin <<=x xy π与)76(log <<=x x y a 相切，设切点为)log ,(111x x a ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<<=)10(ln 12cos 2)76(log 2sin 11111111a a x x x x x a πππ ① 须由此方程组求出1a ，猜测此时所求a 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛31,1a . 当1>a 时，如图2，设2a a =时曲线)98(2sin <<=x xy π与)98(log <<=x x y a 相切，设切点为)log ,(222x x a ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<<=)1(ln 12cos 2)98(log 2sin 22222222a a x x x x x a πππ ② 须由此方程组求出2a ，猜测此时所求a 的取值范围是),5(2a .所以猜测该题的答案是),5(31,21a a ⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛，其中21,a a 分别由①、②确定.我们要牢记华罗庚(1910~1985)先生说过的箴言“数缺形时少直观,形少数时难入微.数形结合千般好,数形分离万事休”，通过画草图(受画图工具的限制不可能画出精细准确的图形)来解题时，一定要注意“形缺数时难入微”，并且要注意图形所反映的特性.判断两个增函数(减函数)图象的公共点个数时要慎重，编拟这样的题时更要慎之又慎，谨防超纲而难以严谨作答.问题1 求正弦曲线与对数曲线0(log >=a x y a 且)1≠a 的公共点个数)(a g . 问题2 求曲线x y αsin =与对数曲线0(log >=a x y a 且)1≠a 的公共点个数),(a h α.。
高考数学圆锥曲线深度拓展 蒙日圆及其证明
高考数学圆锥曲线深度拓展：蒙日圆及其证明一、引言在高考数学中，圆锥曲线是一个重要的知识点，它不仅在解析几何中有广泛应用，还在物理、天文等领域有所涉及。
蒙日圆，作为圆锥曲线的一种特殊形态，具有独特的性质和证明方法。
本文旨在探讨蒙日圆及其证明的深度拓展。
二、蒙日圆的基本性质蒙日圆，也被称为极坐标圆或椭圆的垂直平分线投影圆，其独特性质在于它与原始椭圆的关系。
在椭圆上任取一点P，作PP1垂直于长轴，作PP2垂直于短轴，则P1P2的垂直平分线与原始椭圆相切于点P。
这个性质表明，对于椭圆上的任意一点，其关于长轴和短轴的垂足与原点的连线段的垂直平分线，都与椭圆相切于该点。
三、蒙日圆的证明对于蒙日圆的证明，我们可以采用以下步骤：1、在椭圆上任取一点P，以点P为圆心，作一圆与椭圆相切。
这个圆的半径可以由点P到椭圆中心的距离决定。
2、根据几何性质，我们可以知道这个圆与椭圆的切点在椭圆的长轴和短轴的垂直平分线上。
3、由于这个圆是以点P为圆心，因此点P关于长轴和短轴的垂足与原点的连线段的垂直平分线必然经过这个圆心。
这就意味着这个垂直平分线与椭圆相切于点P。
4、因此，我们证明了在椭圆上任意一点都有一条过该点的直线与椭圆相切。
也就是说，我们找到了一个与椭圆相切的圆，即蒙日圆。
四、结论通过以上分析，我们证明了蒙日圆的存在及其性质。
这个知识点不仅在高考数学中具有重要作用，也是解析几何中的一个重要知识点。
希望通过本文的探讨，能够帮助同学们更深入地理解和掌握这一部分的知识。
蒙日圆以及应用蒙日圆是一种特殊的几何图形，它由法国数学家加斯帕德·蒙日（Gaspard Monge）发现并以其名字命名。
蒙日圆在几何、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍蒙日圆的定义、性质以及应用。
一、蒙日圆的定义蒙日圆也被称为“最小圆”或“极圆”，它是指在平面上，一个集合内所有点均在该集合的凸包内的最小圆。
也就是说，蒙日圆内包含着集合内的所有点，且其半径最小。
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蒙日圆及其证明甘志国（已发表于河北理科教学研究，2015（5） : 11-13）2 2高考题（2014年高考广东卷文科、理科第20题）已知椭圆C :笃•打=1（a ■ b ■ 0）的a b一个焦点为（-5,0），离心率为〈.3（1）求椭圆C的标准方程；⑵若动点P（x0,y°）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.2 2答案：⑴、.丄1 ；⑵x2 y2=13 •9 4这道高考题的背景就是蒙日圆•普通高中课程标准实验教科书《数学 2 •必修• A版》（人民教育出版社，2007年第3 版，2014年第8次印刷）第22页对画法几何的创始人蒙日（G.Monge, 1745-1818）作了介绍• 以上高考题第（2）问的一般情形是2 2定理1 曲线］:电•电=1的两条互相垂直的切线的交点P的轨迹是圆 a bx2 y2 =a2 b2.定理1的结论中的圆就是蒙日圆.先给出定理1的两种解析几何证法：定理1的证法1当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P的坐标是（_a, b），或（_a,-b）.当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点 P的坐标是（人，齐）（召址二a,且y。
= _b）,所以可设曲线】的过点 P的切线方程是y -y° =k(x -x°)(k =0).“ 2 2由＜a2 b2，得y —y。
=k(x —x。
)(a2k2 b2)x2—2ka2(kx0—y0)x a2(k\ —y0)2-a2b2 = 0由其判别式的值为0，得%2-a2)k2 -2x0y°k y^ b2 = 0(x°2 - = 0)因为k PA,k PB是这个关于k的一元二次方程的两个根，所以k PA k PBy °2b 2~2 2x 0 —a由此，得k PA k PB = -1x 02 y 02二 a 2 b 2进而可得欲证成立•定理1的证法2点P 的坐标是（_a, b ）,当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为或（二a,_b ）. 0时，可得当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为 0时，可设点 P 的坐标是（X o ,y °）（x 。
北二a,且 y 。
rb ），所以可设两个切点分别是 A （^,yj, B^, = 0）.得直线AB ：竽.•缪=1，切线PA :a bxx+*=1,PB: 2 .2 a ba榔忙1 •所以: 所以k PA k PB -b 2x j-2~b 2x 2~2~I a % 人 a y 2 丿 a ym4b竺k kb 4~4k oA k oBak PA k PB2 2因为点（X, yj （i =1,2）既在曲线丨：冷•占=1上又在直线a b2 22L 吐 a 2 b 2Xix 2 ^x 2上，所以-a 2) =0gB 工 x 1x 2 .4,22、b (X 0 -a )b 4 4a4,2,2a (y ° -b )k PA k PBk PA k PB2 .2y ° -b 2-a2XoPA_ PB =2 2 2y 。
a b2-1 • A 版》由此，可得 进而可得欲证成立.再给出该定理的两种平面几何证法，但须先给出四个引理 引理1 （椭圆的光学性质，见普通高中课程标准实验教科书《数学•选修（人民教育出版社，2007年第2版，2014年第1次印刷）第76页）从椭圆的一个焦点发出的光 线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上（如图1所示）.422a (y ob )C 2.22a b x °y °P 作.£PF 2的外角平分线所在的直线 证明 如图2所示，设P 为椭圆丨（其左、右焦点分别是 F I ,F 2）上任意给定的点，过点1（. 3=/4）.先证明丨和丨相切于点P ，只要证明IPF ^--|PF ^ |PF i |—|PF | |E F | |F i P • PF | |PF iPF 2再过点P 作.F i PF ?的平分线PA （. 1二.2），易得PA _ I ，入射角等于反射角，这就 证得了引理1成立•引理2过椭圆'（其中心是点0,长半轴长是a ）的任一焦点F 作椭圆-的任意切线I 的 垂线，设垂足是 H ，则0H 二a.证明 如图3所示，设点F ；F 分别是椭圆-的左、右焦点， A 是椭圆丨的切线I 上的 切点，又设直线 FH,FA 交于点B .图1得PF |[PF ?，还由引理1，得乙FAH Z lA^ ：ZBH （即反射角与入射角的余角相等），进而可得厶FAH 也BAH，所以点 H是FB的中点，得 0H是.BFF的中位线•又AF| | AB，所以1 10H 匕（FA AB）匕（FA AF）=a.引理3平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和证明由余弦定理可证（这里略去过程）.引理4设点P是矩形ABCD所在平面上一点，贝U PA2亠PC? - PB2亠PD2•证明如图4所示，设矩形ABCD的中心是点0 .由引理3，可得2 2 2 2 2222PA PC =2（0A 0P）=2（0B OP ）二PB PD即欲证成立.注把引理4推广到空间，得到的结论就是：底面是矩形的四棱锥相对侧棱长的平方和相等.定理1的证法3可不妨设a 0,b 0 •当 a =b时，易证成立•下面只证明a b的情形•如图5所示•设椭圆的中心是点 0,左、右焦点分别是 F I,F2，焦距是2c，过动点P的两条切线分别是 PM,PN .图5连结OP ,作OG _PM,OH _PN ,垂足分别是G,H •过点F i作FQ_PM ,垂足为D , 由引理2得OD二a .再作 F i K _0G 于K •记.OF i K - V,得 DG 二 F’K 二ccosr .2 2 2由 RtZi ODG，得 OG =OD - DG =a2—c2cos2日.又作F?E —PN’F Q L _0H ,垂足分别为E,L .在 Rt OEH中，同理可得OH| |OE||HE =a2-C2si nJ.(1)若PM _ PN，得矩形OGPH，所以OP| |OG|--|OH=(a2 -c2 cos2 r) (a2—c2si nJ) =a2 b22o2⑵若OP =a +b，得OP2 =(a2 -c2 co$ 日)+(a2 -c2sin2。
)= OG2+ OHo o o由OG 丄PM，得OP =|0G +GP ，所以GP = OH同理，有OG = HP，所以四边形OGPH是平行四边形，进而得四边形OGPH是矩形，所以PM _ PN .由(1),(2)得点P的轨迹方程是x2- y2=a2 b2.定理1的证法4 可不妨设a 0,b 0 .当 a二b时，易证成立.下面只证明a b的情形.如图6所示.设椭圆的中心是点 0,左、右焦点分别是F1,F2，焦距是2c，过动点P的两条切线分别是PA,PB，两切点分别为A, B .及平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和，可得PF 1 2+PM2PF 1 2+ PF 22=2(OF 』2+|Op2)=2(c2+|Op2)分别作右焦点 F 2关于切线 PA, PB 的对称点 M , N ，由椭圆的光学性质可得三点F 1, A, M 共线（用反射角与入射角的余角相等 ）•同理，可得三点B, N 共线.MF^|NF 1.(1)若 PA _ PB ，得 MPF 「 NPF j =2(. APF 2 BPF 2) =180 ，即三点 M , P,N共线.又PM| =|PF 2=|PN ，所以PF 1丄MN ，进而得2 2 2 24a^|MF 1 =|PF , + PM =2(c 2+ OP)OP|2 =a 2 +b 22 2 2⑵若OP =a2+b 2，得PF 「+ PM|2=2(c 2+OP 2) =2(c 2+a 2+b 2)=4a 2= MF 12所以PR _ PM=2a ，所以由0是F 1F 2的中点,同理，可得PF— PN .所以三点M, P,N共线.1得.APB r/APF? BPF2( MPF2NPF2) =90，即PA_ PB.2由(1),(2)得点P的轨迹方程是x2 y^a2 b2.定理1的证法5 (该证法只能证得纯粹性)可不妨设a .0,b .0 .当a =b时，易证成立.下面只证明a .b的情形.如图7所示，设椭圆的中心是点 O,左、右焦点分别是 F i, F2，焦距是2c，过动点P的两条切线分别是 PA,PB，切点分别是 A, B .设点F1关于直线PA, PB的对称点分别为 F1 ,F2，直线Ff 与切线PA交于点G，直线F1F2与切线PB交于点H .得 AF^|AF1, BF^|BF1，再由椭圆的定义，得 F1 F2= F2 F2 =2a，所以 OG| = OH| =a.2 2 2 2因为四边形PGF’H为矩形，所以由引理4得OF」+0P =OG +OH| =2a2，所以OP -a2b2，得点P的轨迹方程是x2 y2 =a2 b2.读者还可用解析几何的方法证得以下结论：2 2定理2 (1)双曲线笃-乂y "(a b 0)的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆a b2 2 2 . 2x y a -b ；2(2)抛物线y =2px的两条互相垂直的切线的交点是该抛物线的准线2 2 2定理3 (1)椭圆务■占=1(a b 0)的两条斜率之积是-—的切线交点的轨迹方a b a⑵双曲线2 2 十. 定理4过椭圆 2廿1(a b 0)外y 2—-y- =1（a 0,b . 0）的两条斜率之积是 —的切线交点的轨迹方程是 b a2 2 2 2务 每=2（a b ■ 0）上任一点P （x 。
，y 。
）作椭圆 笃•爲=1的两条 a ba b(_a, b),( -a,-b))；要去掉四个点（_a,b ）, （_a,-b ））；外的部分（但要去掉四个点（_a,b ）, （_a,-b ））;-b 2X2⑤当2时，-即双曲线——a2ba -b a -一2 2程是二耸=2 ；a b切线，则⑴当X 。
二a 时，所作的两条切线互相垂直;⑵当X o -二a 时，所作的两条切线斜率之积是b 2~ .a定理5 （1）椭圆=1（a b 0）的两条斜率之积是‘（■ = 0）的切线交点的轨迹2即椭圆 X 2b a -+—— b 22y n 2- 1a=1（但要去掉四个点b2③当’--飞时，】即两条直线ab y 二 -X 在椭圆a2 X ~2 a 2丄 b 2=d （a b 0）外的部分（但b 2④当0 ：；■：：：与时，丨即双曲线a2yb a2 21在椭圆笃工 b 2a ax 2b 2=1(a b 0)①当②当③当■叮一1 或-1 :::■b2-y时，丨即椭圆a2x2 b2a2丄1 -/-a - - b的部分（但要去掉四个点（_a,b）,（_a,_b））.2 2⑵双曲线笃y2=1（a b . 0）的两条斜率之积是（=0）的切线交点的轨迹:是:a b——-1时，丨即圆x2• y2二a2—b2；2 20时，〕即双曲线x2 _—y- =1 ；2 b ha2+b2a2⑶抛物线y = 2 px的两条斜率之积是④当b2-■ ::: 0时，】不存在. a■ （■ = 0）的切线交点的轨迹-是:（北京市海淀区2015届高三第一学期期末文科数学练习第14题）已知. 2 2l_O:x +y =1 •若直线y=kx+2上总存在点P ，使得过点P 的LI O 的两条切线互相垂直，则实数k 的取值范围是解 （一心,-1卩［1「在图8中，若小圆（其圆心为点O ,半径为r ）的过点A 的两条切线AB, AD 互相垂直（切点分别为E, F ），得正方形 AEOF ，所以OA = J2|OE = J2r ， 即点A 的轨迹是以点 O 为圆心，＜2r 为半径的圆①当②当■ 0时，丨的方程为x = P图82 2由此结论可得：在本题中，点P在圆x y = 2上•所以本题的题意即直线y=kx，2与,__ 2 2圆x y =2有公共点，进而可得答案。