(甘志国)蒙日圆及其证明
蒙日圆及其证明
蒙日圆及其证明高考题 (2014年高考广东卷文科、理科第20题)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为，离心率为3．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点00(,)P x y 为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．答案：(1)22194x y +=；(2)2213x y +=．这道高考题的背景就是蒙日圆.普通高中课程标准实验教科书《数学2·必修·A 版》(人民教育出版社，2007年第3版，2014年第8次印刷)第22页对画法几何的创始人蒙日(G.Monge ，1745-1818)作了介绍.以上高考题第(2)问的一般情形是定理 1 曲线1:2222=+Γb y a x 的两条互相垂直的切线的交点P 的轨迹是圆2222b a y x +=+.定理1的结论中的圆就是蒙日圆.先给出定理1的两种解析几何证法：定理1的证法1 当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P 的坐标是),(b a ±，或),(b a -±.当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P 的坐标是,)(,(000a x y x ±≠且)0b y ±≠，所以可设曲线Γ的过点P 的切线方程是)0)((00≠-=-k x x k y y .由⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+)(1002222x x k y y b y a x ，得 0)()(2)(2220020022222=--+--+b a y kx a x y kx ka x b k a由其判别式的值为0，得)0(02)(22022*******≠-=++--a x b y k y x k a x因为PB PA k k ,是这个关于k 的一元二次方程的两个根，所以220220ax b y k k PBPA -+=⋅由此，得2220201b a y x k k PB PA +=+⇔-=⋅进而可得欲证成立.定理1的证法2 当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P 的坐标是),(b a ±，或),(b a -±.当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P 的坐标是,)(,(000a x y x ±≠且)0b y ±≠，所以可设两个切点分别是)0)(,(),,(21212211≠y y x x y x B y x A .得直线1:2020=+b y y a x x AB ，切线1:,1:22222121=+=+byy a x x PB b y y a x x PA .所以：2121221121421422221212,x x y y x y x y k k y y a x x b y a x b y a x b k k OB OA PBPA =⋅==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= PBPA OBOA k k a b k k 44= 因为点)2,1)(,(=i y x i i 既在曲线1:2222=+Γb y a x 上又在直线1:2020=+by y a x x AB 上，所以220202222⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+b y y a x x b y a x i i 0)(2)(2204002222204=-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x b x y y x b a xy b y a iiii所以 PBPA OBOA k k a b b y a a x b x x y y k k 44220422042121)()(=--==220220ax b y k k PBPA --= 由此，可得222020b a y x PB PA +=+⇔⊥进而可得欲证成立.再给出该定理的两种平面几何证法，但须先给出四个引理.引理1 (椭圆的光学性质，见普通高中课程标准实验教科书《数学·选修2-1·A 版》(人民教育出版社，2007年第2版，2014年第1次印刷)第76页)从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上(如图1所示).图1证明 如图2所示，设P 为椭圆Γ(其左、右焦点分别是21,F F )上任意给定的点，过点P 作21PF F ∠的外角平分线所在的直线)43(∠=∠l .先证明l 和Γ相切于点P ，只要证明l上异于P 的点P '都在椭圆Γ的外部，即证2121PF PF F P F P +>'+'：图2在直线1PF 上选取点F '，使2PF F P ='，得F P P ''∆≌2PF P '∆，所以2F P F P '=''，还得2111121PF PF F P P F F F F P F P F P F P +='+='>''+'='+'再过点P 作21PF F ∠的平分线(12)PA ∠=∠，易得l PA ⊥，入射角等于反射角，这就证得了引理1成立.引理2 过椭圆Γ(其中心是点O ，长半轴长是a )的任一焦点F 作椭圆Γ的任意切线l 的垂线，设垂足是H ，则a OH =.证明 如图3所示，设点F F ,'分别是椭圆Γ的左、右焦点，A 是椭圆Γ的切线l 上的切点，又设直线A F FH ',交于点B .图3由引理1，得B A H F lA FAH ∠='∠=∠(即反射角与入射角的余角相等)，进而可得FAH ∆≌BAH ∆，所以点H 是FB 的中点，得OH 是F BF '∆的中位线.又AB AF =，所以a AF A F AB A F OH =+'=+'=)(21)(21.引理3 平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和. 证明 由余弦定理可证(这里略去过程).引理4 设点P 是矩形ABCD 所在平面上一点，则2222PD PB PC PA +=+.证明 如图4所示，设矩形ABCD 的中心是点O ．图4由引理3，可得22222222)(2)(2PD PB OP OB OP OA PC PA +=+=+=+即欲证成立．注 把引理4推广到空间，得到的结论就是：底面是矩形的四棱锥相对侧棱长的平方和相等．定理1的证法3 可不妨设0,0>>b a .当b a =时，易证成立.下面只证明b a >的情形.如图5所示.设椭圆的中心是点O ，左、右焦点分别是21,F F ，焦距是c 2，过动点P 的两条切线分别是PN PM ,.图5连结OP ，作PN OH PM OG ⊥⊥,，垂足分别是H G ,.过点1F 作PM D F ⊥1，垂足为D ，由引理2得a OD =.再作OG K F ⊥1于K .记θ=∠K OF 1，得θcos 1c K F DG ==. 由Rt ODG ∆，得θ222222cos c a DG OD OG -=-=.又作OH L F PN E F ⊥⊥22,，垂足分别为L E ,.在Rt OEH ∆中，同理可得θ222222sin c a HE OE OH -=-=.(1)若PN PM ⊥，得矩形OGPH ，所以22222222222)sin ()cos (b a c a c a OH OG OP +=-+-=+=θθ(2)若222b a OP +=，得222222222)sin ()cos (OH OG c a c a OP +=-+-=θθ由PM OG ⊥，得222GP OG OP +=，所以OH GP =.同理，有HP OG =，所以四边形OGPH 是平行四边形，进而得四边形OGPH 是矩形，所以PN PM ⊥.由(1),(2)得点P 的轨迹方程是2222b a y x +=+.定理1的证法4 可不妨设0,0>>b a .当b a =时，易证成立.下面只证明b a >的情形. 如图6所示.设椭圆的中心是点O ，左、右焦点分别是21,F F ，焦距是c 2，过动点P 的两条切线分别是PB PA ,，两切点分别为B A ,.分别作右焦点2F 关于切线PB PA ,的对称点N M ,，由椭圆的光学性质可得三点M A F ,,1共线(用反射角与入射角的余角相等).同理，可得三点N B F ,,1共线.图6由椭圆的定义，得a BF BF NF a AF AF MF 2,2211211=+==+=，所以11NF MF =.由O 是21F F 的中点，及平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和，可得)(2)(2222222221221OP c OP OF PF PF PM PF +=+=+=+ (1)若PB PA ⊥，得︒=∠+∠=∠+∠180)(22211BPF APF NPF MPF ，即三点N P M ,,共线.又PN PF PM ==2，所以MN PF ⊥1，进而得)(2422221212OP c PM PF MF a +=+==222b a OP +=(2)若222b a OP +=，得212222222214)(2)(2MF a b a c OP c PM PF ==++=+=+所以PM PF ⊥1.同理，可得PN PF ⊥1.所以三点N P M ,,共线. 得︒=∠+∠=∠+∠=∠90)(212222NPF MPF BPF APF APB ，即PB PA ⊥. 由(1),(2)得点P 的轨迹方程是2222b a y x +=+.定理1的证法5 (该证法只能证得纯粹性)可不妨设0,0>>b a .当b a =时，易证成立.下面只证明b a >的情形.如图7所示，设椭圆的中心是点O ，左、右焦点分别是21,F F ，焦距是c 2，过动点P 的两条切线分别是PB PA ,，切点分别是B A ,.设点1F 关于直线PB PA ,的对称点分别为''21,F F ，直线'11F F 与切线PA 交于点G ，直线'21F F 与切线PB 交于点H .图7得1211,BF BF AF AF ='='，再由椭圆的定义，得a F F F F 22221='='，所以a OH OG ==. 因为四边形H PGF 1为矩形，所以由引理4得2222212a OH OG OP OF =+=+，所以222b a OP +=，得点P 的轨迹方程是2222b a y x +=+.读者还可用解析几何的方法证得以下结论：定理 2 (1)双曲线)0(12222>>=-b a b y a x 的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆2222b a y x -=+；(2)抛物线px y 22=的两条互相垂直的切线的交点是该抛物线的准线.定理 3 (1)椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两条斜率之积是22a b -的切线交点的轨迹方程是22222=+by a x ；(2)双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条斜率之积是22a b 的切线交点的轨迹方程是22222=-b y a x . 定理4 过椭圆)0(22222>>=+b a b y a x 上任一点),(00y x P 作椭圆12222=+by a x 的两条切线，则(1)当a x ±=0时，所作的两条切线互相垂直；(2)当a x ±≠0时，所作的两条切线斜率之积是22ab -.定理5 (1)椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两条斜率之积是)0(≠λλ的切线交点的轨迹Γ是：①当1-=λ时，Γ即圆2222b a y x +=+(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±)；②当0<λ且1-≠λ时，Γ即椭圆1222222=-+-ab y b a x λλ(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±)；③当22a b -=λ时，Γ即两条直线x aby ±=在椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 外的部分(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±)；④当220a b <<λ时，Γ即双曲线1222222=---a b x a b y λλ在椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 外的部分(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±)；⑤当22ab >λ时，Γ即双曲线1222222=---b a y b a x λλ在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 外的部分(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±).(2)双曲线)0(12222>>=-b a by a x 的两条斜率之积是)0(≠λλ的切线交点的轨迹Γ是：①当1-=λ时，Γ即圆2222b a y x -=+； ②当0>λ时，Γ即双曲线1222222=+-+b a y b a x λλ； ③当1-<λ或221ab -<<-λ时，Γ即椭圆1222222=--++ba yb a x λλ； ④当022<<-λab 时，Γ不存在.(3)抛物线px y 22=的两条斜率之积是)0(≠λλ的切线交点的轨迹Γ是：①当0<λ时，Γ即直线λ2p x =； ②当0>λ时，Γ的方程为⎪⎭⎫⎝⎛>=λλp y p x 2. 例 (北京市海淀区2015届高三第一学期期末文科数学练习第14题)已知22:1O x y +=. 若直线2y kx =+上总存在点P ，使得过点P 的O 的两条切线互相垂直，则实数k 的取值范围是_________. 解 (,1][1,)-∞-+∞.在图8中，若小圆(其圆心为点O ，半径为r )的过点A 的两条切线AD AB ,互相垂直(切点分别为F E ,)，得正方形AEOF ，所以r OE OA 22==，即点A 的轨迹是以点O 为圆心，r 2为半径的圆.图8由此结论可得：在本题中，点P 在圆222x y +=上.所以本题的题意即直线2y kx =+与圆222x y +=有公共点，进而可得答案.注 本题的一般情形就是蒙日圆.。
循环小数的一个猜想的证明
循环小数的一个猜想的证明
甘志国
【期刊名称】《中学数学月刊》
【年(卷),期】2004(000)001
【摘要】@@ <中学生数学>2000年第8期刊登了湖南肖乐农的文章<循环小数的一个猜想>,文末的猜想可用符号表述为(原猜想中的"q是质数"可放宽):
【总页数】1页(P26-26)
【作者】甘志国
【作者单位】湖北省竹溪县一中,442300
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.非传统数论研究——费尔马猜想、PRC猜想、哥德巴赫猜想、斋藤慎二猜想等四个猜想的同时证明 [J], 李英杰
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2024版高考数学一轮复习专题基础练专题八平面解析几何视野拓展4蒙日圆及阿基米德三角形的应用作业课件
应用专练
3.
2 2
[2023江苏苏州部分学校联考]已知双曲线C: 4 -2 =1(b>0),若直线l:x+y+2=0上存在一点P满足:过点P能向双曲线
C引两条互相垂直的切线,则双曲线C的离心率的取值范围是
.
答案
6
3.(1, 2 ] 通解
应用专练
秒杀解
由蒙日圆的定义可得点P在圆x2+y2=4上,又点P在圆M:(x-3)2+(y-4)2=r2(r>0)上,所以两圆有公共点,
所以|2-r|≤ (3−0) 2 +(4−0) 2 ≤2+r,解得3≤r≤7,故选B.
应用专练
2.
2 2
5
[2022江苏南京模拟]已知椭圆C: +2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为 5 ,其蒙日圆方程为x2+y2=
1
12 1
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,所以y'=2,则抛物线在点A处的切线斜率为 2 ,在点A处的切线方程为y- 4 = 2 (x-x1),即y= 2 x- 4 ,
4
因为x2=4y,即y=
2
(技巧点拨:因为抛物线方程为x2=4y,即y=
2
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,所以想到利用导数的几何意义求切线方程)
2 22
同理得抛物线在点B处的切线方程为y= x- ,
视野拓展4
蒙日圆及阿基米德三角形的应用
知识延展
发散思维，培素养
知识延展
1.蒙日圆
如图(以椭圆为例),椭圆的两条切线互相垂直,则两条切线的交点位于以椭圆的中心为圆心的圆上,称该圆为蒙日圆,
高中数学蒙日圆及其证明
蒙日圆及其证明高考题 (2014年高考广东卷文科、理科第20题)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为，离心率为3． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点00(,)P x y 为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．答案：(1)22194x y +=；(2)2213x y +=．定理 1 曲线1:2222=+Γb y a x 的两条互相垂直的切线的交点P 的轨迹是圆2222b a y x +=+.定理1的结论中的圆就是蒙日圆. 先给出定理1的两种解析几何证法：定理1的证法1 当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P 的坐标是),(b a ±，或),(b a -±.当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P 的坐标是,)(,(000a x y x ±≠且)0b y ±≠，所以可设曲线Γ的过点P 的切线方程是)0)((00≠-=-k x x k y y .由⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+)(1002222x x k y y b y a x ，得 0)()(2)(2220020022222=--+--+b a y kx a x y kx ka x b k a由其判别式的值为0，得)0(02)(22022*******≠-=++--a x b y k y x k a x因为PB PA k k ,是这个关于k 的一元二次方程的两个根，所以220220a x b y k k PBPA -+=⋅ 由此，得2220201b a y x k k PB PA +=+⇔-=⋅进而可得欲证成立.定理1的证法2 当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P 的坐标是),(b a ±，或),(b a -±.当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P 的坐标是,)(,(000a x y x ±≠且)0b y ±≠，所以可设两个切点分别是)0)(,(),,(21212211≠y y x x y x B y x A .得直线1:2020=+b y y a x x AB ，切线1:,1:22222121=+=+byy a x x PB b y y a x x PA .所以： 2121221121421422221212,x x y y x y x y k k y y a x x b y a x b y a x b k k OB OA PBPA =⋅==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= PBPA OBOA k k a b k k 44= 因为点)2,1)(,(=i y x i i 既在曲线1:2222=+Γb y a x 上又在直线1:2020=+by y a x x AB 上，所以220202222⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+b y y a x x b y a x i i 0)(2)(2204002222204=-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x b x y y x b a xy b y a iiii 所以 PBPA OBOA k k a b b y a a x b x x y y k k 44220422042121)()(=--==220220ax b y k k PBPA --= 由此，可得222020b a y x PB PA +=+⇔⊥进而可得欲证成立.再给出该定理的两种平面几何证法，但须先给出四个引理.引理1 (椭圆的光学性质，见普通高中课程标准实验教科书《数学·选修2-1·A 版》(人民教育出版社，2007年第2版，2014年第1次印刷)第76页)从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上(如图1所示).图1证明 如图2所示，设P 为椭圆Γ(其左、右焦点分别是21,F F )上任意给定的点，过点P 作21PF F ∠的外角平分线所在的直线)43(∠=∠l .先证明l 和Γ相切于点P ，只要证明l上异于P 的点P '都在椭圆Γ的外部，即证2121PF PF F P F P +>'+'：图2在直线1PF 上选取点F '，使2PF F P ='，得F P P ''∆≌2PF P '∆，所以2F P F P '=''，还得2111121PF PF F P P F F F F P F P F P F P +='+='>''+'='+'再过点P 作21PF F ∠的平分线(12)PA ∠=∠，易得l PA ⊥，入射角等于反射角，这就证得了引理1成立.引理2 过椭圆Γ(其中心是点O ，长半轴长是a )的任一焦点F 作椭圆Γ的任意切线l 的垂线，设垂足是H ，则a OH =.证明 如图3所示，设点F F ,'分别是椭圆Γ的左、右焦点，A 是椭圆Γ的切线l 上的切点，又设直线A F FH ',交于点B .图3由引理1，得BAH F lA FAH ∠='∠=∠(即反射角与入射角的余角相等)，进而可得FAH ∆≌BAH ∆，所以点H 是FB 的中点，得OH 是F BF '∆的中位线.又AB AF =，所以a AF A F AB A F OH =+'=+'=)(21)(21.引理3 平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和. 证明 由余弦定理可证(这里略去过程).引理4 设点P 是矩形ABCD 所在平面上一点，则2222PD PB PC PA +=+. 证明 如图4所示，设矩形ABCD 的中心是点O ．图4由引理3，可得22222222)(2)(2PD PB OP OB OP OA PC PA +=+=+=+即欲证成立．注 把引理4推广到空间，得到的结论就是：底面是矩形的四棱锥相对侧棱长的平方和相等．定理1的证法3 可不妨设0,0>>b a .当b a =时，易证成立.下面只证明b a >的情形. 如图5所示.设椭圆的中心是点O ，左、右焦点分别是21,F F ，焦距是c 2，过动点P 的两条切线分别是PN PM ,.图5连结OP ，作PN OH PM OG ⊥⊥,，垂足分别是H G ,.过点1F 作PM D F ⊥1，垂足为D ，由引理2得a OD =.再作OG K F ⊥1于K .记θ=∠K OF 1，得θcos 1c K F DG ==. 由Rt ODG ∆，得θ222222cos c a DG OD OG -=-=.又作OH L F PN E F ⊥⊥22,，垂足分别为L E ,.在Rt OEH ∆中，同理可得θ222222sin c a HE OE OH -=-=.(1)若PN PM ⊥，得矩形OGPH ，所以22222222222)sin ()cos (b a c a c a OH OG OP +=-+-=+=θθ(2)若222b a OP +=，得222222222)sin ()cos (OH OG c a c a OP +=-+-=θθ由PM OG ⊥，得222GP OG OP +=，所以OH GP =.同理，有HP OG =，所以四边形OGPH 是平行四边形，进而得四边形OGPH 是矩形，所以PN PM ⊥.由(1),(2)得点P 的轨迹方程是2222b a y x +=+.定理1的证法4 可不妨设0,0>>b a .当b a =时，易证成立.下面只证明b a >的情形. 如图6所示.设椭圆的中心是点O ，左、右焦点分别是21,F F ，焦距是c 2，过动点P 的两条切线分别是PB PA ,，两切点分别为B A ,.分别作右焦点2F 关于切线PB PA ,的对称点N M ,，由椭圆的光学性质可得三点M A F ,,1共线(用反射角与入射角的余角相等).同理，可得三点N B F ,,1共线.图6由椭圆的定义，得a BF BF NF a AF AF MF 2,2211211=+==+=，所以11NF MF =.由O 是21F F 的中点，及平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和，可得)(2)(2222222221221OP c OP OF PF PF PM PF +=+=+=+ (1)若PB PA ⊥，得︒=∠+∠=∠+∠180)(22211BPF APF NPF MPF ，即三点N P M ,,共线.又PN PF PM ==2，所以MN PF ⊥1，进而得)(2422221212OP c PM PF MF a +=+==222b a OP +=(2)若222b a OP +=，得212222222214)(2)(2MF a b a c OP c PM PF ==++=+=+所以PM PF ⊥1.同理，可得PN PF ⊥1.所以三点N P M ,,共线.得︒=∠+∠=∠+∠=∠90)(212222NPF MPF BPF APF APB ，即PB PA ⊥. 由(1),(2)得点P 的轨迹方程是2222b a y x +=+.定理1的证法5 (该证法只能证得纯粹性)可不妨设0,0>>b a .当b a =时，易证成立.下面只证明b a >的情形.如图7所示，设椭圆的中心是点O ，左、右焦点分别是21,F F ，焦距是c 2，过动点P 的两条切线分别是PB PA ,，切点分别是B A ,.设点1F 关于直线PB PA ,的对称点分别为''21,F F ，直线'11F F 与切线PA 交于点G ，直线'21F F 与切线PB 交于点H .图7得1211,BF BF AF AF ='='，再由椭圆的定义，得a F F F F 22221='='，所以a OH OG ==. 因为四边形H PGF 1为矩形，所以由引理4得2222212a OH OG OP OF =+=+，所以222b a OP +=，得点P 的轨迹方程是2222b a y x +=+.读者还可用解析几何的方法证得以下结论：定理 2 (1)双曲线)0(12222>>=-b a b y a x 的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆2222b a y x -=+；(2)抛物线px y 22=的两条互相垂直的切线的交点是该抛物线的准线.定理 3 (1)椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两条斜率之积是22a b -的切线交点的轨迹方程是22222=+by a x ；(2)双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条斜率之积是22a b 的切线交点的轨迹方程是22222=-b y a x . 定理4 过椭圆)0(22222>>=+b a b y a x 上任一点),(00y x P 作椭圆12222=+by a x 的两条切线，则(1)当a x ±=0时，所作的两条切线互相垂直；(2)当a x ±≠0时，所作的两条切线斜率之积是22ab -.定理5 (1)椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两条斜率之积是)0(≠λλ的切线交点的轨迹Γ是：①当1-=λ时，Γ即圆2222b a y x +=+(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±)；②当0<λ且1-≠λ时，Γ即椭圆1222222=-+-a b y b a x λλ(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±)；③当22a b -=λ时，Γ即两条直线x aby ±=在椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 外的部分(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±)；④当220a b <<λ时，Γ即双曲线1222222=---a b x a b y λλ在椭圆)0(12222>>=+b a b y a x外的部分(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±)；⑤当22ab >λ时，Γ即双曲线1222222=---b a y b a x λλ在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 外的部分(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±).(2)双曲线)0(12222>>=-b a by a x 的两条斜率之积是)0(≠λλ的切线交点的轨迹Γ是：①当1-=λ时，Γ即圆2222b a y x -=+； ②当0>λ时，Γ即双曲线1222222=+-+b a y b a x λλ； ③当1-<λ或221ab -<<-λ时，Γ即椭圆1222222=--++ba yb a x λλ； ④当022<<-λab 时，Γ不存在.(3)抛物线px y 22=的两条斜率之积是)0(≠λλ的切线交点的轨迹Γ是：①当0<λ时，Γ即直线λ2p x =； ②当0>λ时，Γ的方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛>=λλp y p x 2. 例 (北京市海淀区2015届高三第一学期期末文科数学练习第14题)已知22:1O x y +=. 若直线2y kx =+上总存在点P ，使得过点P 的O 的两条切线互相垂直，则实数k 的取值范围是_________.解 (,1][1,)-∞-+∞.在图8中，若小圆(其圆心为点O ，半径为r )的过点A 的两条切线AD AB ,互相垂直(切点分别为F E ,)，得正方形AEOF ，所以r OE OA 22==，即点A 的轨迹是以点O 为圆心，r 2为半径的圆.图8由此结论可得：在本题中，点P 在圆222x y +=上.所以本题的题意即直线2y kx =+与圆222x y +=有公共点，进而可得答案.注 本题的一般情形就是蒙日圆.。
高考数学圆锥曲线深度拓展 蒙日圆及其证明
高考数学圆锥曲线深度拓展：蒙日圆及其证明一、引言在高考数学中，圆锥曲线是一个重要的知识点，它不仅在解析几何中有广泛应用，还在物理、天文等领域有所涉及。
蒙日圆，作为圆锥曲线的一种特殊形态，具有独特的性质和证明方法。
本文旨在探讨蒙日圆及其证明的深度拓展。
二、蒙日圆的基本性质蒙日圆，也被称为极坐标圆或椭圆的垂直平分线投影圆，其独特性质在于它与原始椭圆的关系。
在椭圆上任取一点P，作PP1垂直于长轴，作PP2垂直于短轴，则P1P2的垂直平分线与原始椭圆相切于点P。
这个性质表明，对于椭圆上的任意一点，其关于长轴和短轴的垂足与原点的连线段的垂直平分线，都与椭圆相切于该点。
三、蒙日圆的证明对于蒙日圆的证明，我们可以采用以下步骤：1、在椭圆上任取一点P，以点P为圆心，作一圆与椭圆相切。
这个圆的半径可以由点P到椭圆中心的距离决定。
2、根据几何性质，我们可以知道这个圆与椭圆的切点在椭圆的长轴和短轴的垂直平分线上。
3、由于这个圆是以点P为圆心，因此点P关于长轴和短轴的垂足与原点的连线段的垂直平分线必然经过这个圆心。
这就意味着这个垂直平分线与椭圆相切于点P。
4、因此，我们证明了在椭圆上任意一点都有一条过该点的直线与椭圆相切。
也就是说，我们找到了一个与椭圆相切的圆，即蒙日圆。
四、结论通过以上分析，我们证明了蒙日圆的存在及其性质。
这个知识点不仅在高考数学中具有重要作用，也是解析几何中的一个重要知识点。
希望通过本文的探讨，能够帮助同学们更深入地理解和掌握这一部分的知识。
蒙日圆以及应用蒙日圆是一种特殊的几何图形，它由法国数学家加斯帕德·蒙日（Gaspard Monge）发现并以其名字命名。
蒙日圆在几何、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍蒙日圆的定义、性质以及应用。
一、蒙日圆的定义蒙日圆也被称为“最小圆”或“极圆”，它是指在平面上，一个集合内所有点均在该集合的凸包内的最小圆。
也就是说，蒙日圆内包含着集合内的所有点，且其半径最小。
(甘志国)蒙日圆及其证明
蒙日圆及其证明甘志国（已发表于河北理科教学研究，2015（5） : 11-13）2 2高考题（2014年高考广东卷文科、理科第20题）已知椭圆C :笃•打=1（a ■ b ■ 0）的a b一个焦点为（-5,0），离心率为〈.3（1）求椭圆C的标准方程；⑵若动点P（x0,y°）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.2 2答案：⑴、.丄1 ；⑵x2 y2=13 •9 4这道高考题的背景就是蒙日圆•普通高中课程标准实验教科书《数学 2 •必修• A版》（人民教育出版社，2007年第3 版，2014年第8次印刷）第22页对画法几何的创始人蒙日（G.Monge, 1745-1818）作了介绍• 以上高考题第（2）问的一般情形是2 2定理1 曲线］:电•电=1的两条互相垂直的切线的交点P的轨迹是圆 a bx2 y2 =a2 b2.定理1的结论中的圆就是蒙日圆.先给出定理1的两种解析几何证法：定理1的证法1当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P的坐标是（_a, b），或（_a,-b）.当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点 P的坐标是（人，齐）（召址二a,且y。
= _b）,所以可设曲线】的过点 P的切线方程是y -y° =k(x -x°)(k =0).“ 2 2由＜a2 b2，得y —y。
=k(x —x。
)(a2k2 b2)x2—2ka2(kx0—y0)x a2(k\ —y0)2-a2b2 = 0由其判别式的值为0，得%2-a2)k2 -2x0y°k y^ b2 = 0(x°2 - = 0)因为k PA,k PB是这个关于k的一元二次方程的两个根，所以k PA k PBy °2b 2~2 2x 0 —a由此，得k PA k PB = -1x 02 y 02二 a 2 b 2进而可得欲证成立•定理1的证法2点P 的坐标是（_a, b ）,当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为或（二a,_b ）. 0时，可得当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为 0时，可设点 P 的坐标是（X o ,y °）（x 。
例谈“蒙日圆”考查的三个角度
例谈 蒙日圆 考查的三个角度金㊀毅(呼和浩特市第二中学ꎬ内蒙古呼和浩特０１００００)摘㊀要:文章从轨迹㊁斜率和面积三个角度来探究 蒙日圆 ꎬ提出若干结论并给出证明以及分析思路.关键词:蒙日圆ꎻ轨迹ꎻ斜率ꎻ面积ꎻ证明中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)３４－００７６－０４收稿日期:２０２３－０９－０５作者简介:金毅(１９９２－)ꎬ男ꎬ硕士ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教育教学研究.㊀㊀ 蒙日圆 是一种非常重要的几何模型ꎬ在高考和数学竞赛中均有考查.本文从蒙日圆的轨迹方程出发ꎬ给出与蒙日圆有关的数学问题ꎬ以求多方面展示 蒙日圆 的考查特点ꎬ以便我们从不同的角度了解这种轨迹.１ 蒙日圆 与轨迹例１㊀已知椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１ａ>ｂ>０()的右焦点为５ꎬ０()ꎬ离心率为５３.(１)求椭圆的标准方程ꎻ(２)若动点Ｐｘ０ꎬｙ０()为椭圆Ｃ外一点ꎬ且点Ｐ到椭圆Ｃ的两条切线互相垂直ꎬ求点Ｐ的轨迹方程.思考１㊀对例１一般化结论的探讨.结论１㊀椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１ａ>ｂ>０()的两条互相垂直的切线的交点Ｐ的轨迹是圆ｘ２＋ｙ２＝ａ２＋ｂ２.证明㊀当两条切线斜率中有一条不存在时ꎬ可得点Ｐ的坐标分别为ａꎬｂ()ꎬａꎬ－ｂ()ꎬ－ａꎬｂ()ꎬ－ａꎬ－ｂ().设Ｐｓꎬｔ()ꎬ其中ｓʂʃａꎬｔʂʃｂꎬ切点Ａｘ１ꎬｙ１()ꎬＢｘ２ꎬｙ２()ꎬ可得椭圆的两条切线方程为ＡＰ:ｘ１ｘａ２＋ｙ１ｙｂ２＝１ꎬＢＰ:ｘ２ｘａ２＋ｙ２ｙｂ２＝１.根据两条切线垂直ꎬｋＡＰ＝－ｂ２ｘ１ａ２ｙ１ꎬｋＢＰ＝－ｂ２ｘ２ａ２ｙ２ꎬｋＡＰｋＢＰ＝－１ꎬｙ１ｙ２ｘ１ｘ２＝－ｂ４ａ４.同时ꎬ可以得到直线ＡＢ的方程为ｓｘａ２＋ｔｙｂ２＝１.与椭圆方程联立ꎬ得ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝ｓｘａ２＋ｔｙｂ２æèçöø÷２.也即ｂ２－ｔ２ｂ４ｙｘæèçöø÷２－２ｓｔａ２＋ｂ２ ｙｘ＋ａ２－ｓ２ａ４＝０.将ｙｘ整体作为未知数ꎬ可得ｙ１ｙ２ｘ１ｘ２＝(ａ２－ｓ２)/ａ４(ｂ２－ｔ２)/ｂ４＝－ｂ４ａ４.化简ꎬ可得ｓ２＋ｔ２＝ａ２＋ｂ２.结论２㊀双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１ａ>ｂ>０()的两条互相垂直的切线的交点Ｐ的轨迹是圆ｘ２＋ｙ２＝ａ２－ｂ２[１].证明㊀设Ｐｓꎬｔ()ꎬ切点Ａｘ１ꎬｙ１()ꎬＢｘ２ꎬｙ２()ꎬ可得双曲线的两条切线方程为ＡＰ:ｘ１ｘａ２－ｙ１ｙｂ２＝１ꎬＢＰ:ｘ２ｘａ２－ｙ２ｙｂ２＝１.根据结论１的证明ꎬ两条切线垂直可得ｙ１ｙ２ｘ１ｘ２＝－ｂ４ａ４.同时ꎬ可以得到直线ＡＢ的方程为ｓｘａ２－ｔｙｂ２＝１.与双曲线联立ꎬ得ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝ｓｘａ２－ｔｙｂ２æèçöø÷２.也即ｂ２＋ｔ２ｂ４ｙｘæèçöø÷２－２ｓｔａ２＋ｂ２ ｙｘ＋ｓ２－ａ２ａ４＝０.将ｙｘ整体作为未知数ꎬ可得ｙ１ｙ２ｘ１ｘ２＝(ｓ２－ａ２)/ａ４(ｂ２＋ｔ２)/ｂ４＝－ｂ４ａ４.回到例１ꎬ易得椭圆方程为ｘ２９＋ｙ２４＝１ꎬ此时点Ｐ的轨迹方程为ｘ２＋ｙ２＝１３.点评㊀求 蒙日圆 的方程本质上属于解析几何中的轨迹方程问题.从结论１与结论２可以看出ꎬ椭圆与双曲线都存在对应的一个蒙日圆.从方程的形式上看ꎬ两种曲线的蒙日圆方程有较强的相似性.本文的证明方法是基于对斜率的构造ꎬ所以追求方程在未知数上的次数相等ꎬ便于构造斜率.值得一提的是ꎬ在证明结论２的过程中ꎬ两条切线ＡＰꎬＢＰ斜率一直存在ꎬ故不必讨论斜率不存在的情形.２ 蒙日圆 与斜率例２㊀定义椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１ａ>ｂ>０()的 蒙日圆 的方程为ｘ２＋ｙ２＝ａ２＋ｂ２ꎬ已知椭圆的长轴长为４ꎬ离心率为ｅ＝１２.(１)求椭圆Ｃ的标准方程和它的 蒙日圆 Ｅ的方程ꎻ(２)过 蒙日圆 Ｅ上的任意一点Ｍ作椭圆Ｃ的一条切线ＭＡꎬＡ为切点ꎬ延长ＭＡ与 蒙日圆 Ｅ交于点ＤꎬＯ为坐标原点ꎬ若直线ＯＭꎬＯＤ的斜率存在ꎬ且分别设为ｋ１ꎬｋ２ꎬ证明:ｋ１ｋ２为定值.思考２㊀对例２一般化结论的探讨.结论３㊀过蒙日圆Ｅ:ｘ２＋ｙ２＝ａ２＋ｂ２上任意一点Ｍ作椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１ａ>ｂ>０()的一条切线ＭＡꎬＡ为切点ꎬ延长ＭＡ与 蒙日圆 Ｅ交于点ＤꎬＯ为坐标原点ꎬ若直线ＯＭꎬＯＤ的斜率存在ꎬ且分别设为ｋ１ꎬｋ２ꎬ则ｋ１ｋ２为定值－ｂ２ａ２.证明㊀设切点坐标为Ａｓꎬｔ()ꎬ知其满足椭圆方程ꎬ也即ｓ２ａ２＋ｔ２ｂ２＝１.过点Ａ的切线方程为ｓｘａ２＋ｔｙｂ２＝１ꎬ设切线与蒙日圆的两个交点坐标分别为Ｍｘ１ꎬｙ１()ꎬＤｘ２ꎬｙ２().联立蒙日圆方程与切线方程可得ｘ２ａ２＋ｂ２＋ｙ２ａ２＋ｂ２＝ｓｘａ２＋ｔｙｂ２æèçöø÷２.整理可得ｔ２ａ２＋ｂ２()－ｂ４ｂ４ａ２＋ｂ２() ｙｘæèçöø÷２＋２ｓｔａ２ｂ２ ｙｘ＋ｓ２ａ２＋ｂ２()－ａ４ａ４ａ２＋ｂ２()＝０.将ｙｘ整体作为未知数ꎬ可知ꎬｋ１＝ｙ１ｘ１ꎬｋ２＝ｙ２ｘ２分别为该方程的两个根.故有ｋ１ｋ２＝ｙ１ｘ１ ｙ２ｘ２＝[ｓ２(ａ２＋ｂ２)－ａ４]/ａ４(ａ２＋ｂ２)[ｔ２(ａ２＋ｂ２)－ｂ４]/ｂ４(ａ２＋ｂ２)＝ｓ２/ａ２＋ｂ２ｓ２/ａ４－１ｔ２/ｂ２＋ａ２ｔ２/ｂ４－１＝ｂ２ｓ２/ａ４－ｔ２/ｂ２ａ２ｔ２/ｂ４－ｓ２/ａ２＝ｂ２ａ２ｂ２ｓ２－ａ２ｔ２()ｂ２ｓ２＋ａ２ｔ２()ａ２ｔ２－ｂ２ｓ２()ａ２ｔ２＋ｂ２ｓ２()＝－ｂ２ａ２.回到例２ꎬ易得椭圆方程为ｘ２４＋ｙ２３＝１ꎬ根据结论３ꎬ可得ｋ１ｋ２＝－３４.事实上ꎬ根据椭圆本身的特点ꎬ我们可以得到基于结论３的一个推广.结论４㊀在结论３基础上ꎬ当ＯＡꎬＭＡ斜率均存在时ꎬｋ１ｋ２＝ｋＯＡｋＭＡ.证明㊀根据结论３ꎬ只需证明ｋＯＡｋＭＡ＝－ｂ２ａ２.由Ａｓꎬｔ()可知ｋＯＡ＝ｔｓꎬ直线ＭＡ的方程为ｓｘａ２＋ｔｙｂ２＝１ꎬ知ｋＭＡ＝－ｓｂ２ｔａ２ꎬ所以ｋＯＡｋＭＡ＝－ｂ２ａ２成立.类似结论３ꎬ４的情况也在双曲线中成立.结论５㊀过蒙日圆Ｅ:ｘ２＋ｙ２＝ａ２－ｂ２ａ>ｂ>０()上任意一点Ｍ作双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１ａ>ｂ>０()的一条切线ＭＡꎬＡ为切点ꎬ连接直线ＭＡ与 蒙日圆 Ｅ交于点ＤꎬＯ为坐标原点ꎬ若直线ＯＭꎬＯＤ的斜率存在ꎬ且分别设为ｋ１ꎬｋ２ꎬ则ｋ１ｋ２＝ｋＯＡｋＭＡ＝ｂ２ａ２.证明㊀设切点坐标为Ａｓꎬｔ()ꎬ知其满足双曲线方程ꎬ也即ｓ２ａ２－ｔ２ｂ２＝１ꎬ过点Ａ的切线ＭＡ方程为ｓｘａ２－ｔｙｂ２＝１ꎬ设切线与蒙日圆的两个交点坐标分别为Ｍｘ１ꎬｙ１()ꎬＤｘ２ꎬｙ２().联立蒙日圆方程与切线方程可得ｘ２ａ２－ｂ２＋ｙ２ａ２－ｂ２＝ｓｘａ２－ｔｙｂ２æèçöø÷２.整理可得ｔ２ａ２－ｂ２()－ｂ４ｂ４ａ２－ｂ２() ｙｘæèçöø÷２－２ｓｔａ２ｂ２ ｙｘ＋ｓ２ａ２－ｂ２()－ａ４ａ４ａ２－ｂ２()＝０.将ｙｘ整体作为未知数ꎬ可知ꎬｋ１＝ｙ１ｘ１ꎬｋ２＝ｙ２ｘ２分别为该方程的两个根.故有ｋ１ｋ２＝ｙ１ｘ１ ｙ２ｘ２＝[ｓ２(ａ２－ｂ２)－ａ４]/ａ４(ａ２－ｂ２)[ｔ２(ａ２－ｂ２)－ｂ４]/ｂ４(ａ２＋ｂ２)＝ｓ２/ａ２＋ｂ２ｓ２/ａ４－１－ｔ２/ｂ２＋ａ２ｔ２/ｂ４－１＝－ｂ２ｓ２/ａ４＋ｔ２/ｂ２ａ２ｔ２/ｂ４－ｓ２/ａ２＝ｂ２ａ２ａ２ｔ２－ｂ２ｓ２()ａ２ｔ２＋ｂ２ｓ２()ａ２ｔ２－ｂ２ｓ２()ａ２ｔ２＋ｂ２ｓ２()＝ｂ２ａ２.又因为ｋＯＡ＝ｔｓꎬｋＭＡ＝ｓｂ２ｔａ２ꎬ所以ｋＯＡｋＭＡ＝ｂ２ａ２.点评㊀结论３到结论５是与 蒙日圆 有关的斜率定值问题.本文的证明策略仍然是基于在方程联立时齐次化ꎬ构造斜率表达式ꎬ整体处理.从结果来看ꎬ椭圆ｘ２ａ２１＋ｙ２ｂ２１＝１ａ１>ｂ１>０()对应的定值为－ｂ２１ａ２１＝－ａ２１－ｃ２１ａ２１＝ｅ２１－１ꎬ其中ｅ１＝ｃ１ａ１为椭圆的离心率ꎻ双曲线对应的定值为ｂ２２ａ２２＝ｃ２２－ａ２２ａ２２＝ｅ２２－１ꎬ其中ｅ２＝ｃ２ａ２为双曲线的离心率.由此ꎬ我们可以看出这两个结果本质上具备高度的一致性ꎬ均为 对应曲线离心率的平方减去１ .我们知道ꎬ离心率可以反映圆锥曲线的类型和形状.这说明ꎬ蒙日圆的此类几何关系可以从本质上反映曲线的形状特征.３ 蒙日圆 与面积例３㊀定义椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１ａ>ｂ>０()的 蒙日圆 的方程为ｘ２＋ｙ２＝ａ２＋ｂ２ꎬ已知抛物线ｘ２＝４ｙ的焦点是椭圆Ｃ的一个短轴端点ꎬ且椭圆Ｃ的离心率为６３.(１)求椭圆Ｃ的标准方程和它的 蒙日圆 Ｅ的方程ꎻ(２)若斜率为１的直线ｌ与 蒙日圆 Ｅ相交于ＡꎬＢ两点ꎬ且与椭圆Ｃ相切ꎬＯ为坐标原点ꎬ求әＯＡＢ的面积.思考３㊀对例３一般化结论的探讨.结论６㊀椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１ａ>ｂ>０()的蒙日圆 的方程为ｘ２＋ｙ２＝ａ２＋ｂ２ꎬ斜率为ｋ的直线与椭圆相切ꎬ与蒙日圆交于ＡꎬＢ两点ꎬＯ为坐标原点ꎬ则әＡＯＢ的面积为Ｓ＝ａ２＋ｂ２ｋ２()ｂ２＋ａ２ｋ２()ｋ２＋１.证明㊀设直线ＡＢ的方程为ｙ＝ｋｘ＋ｍꎬ与椭圆方程联立ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１ꎬｙ＝ｋｘ＋ｍꎬìîíïïï得ｂ２＋ａ２ｋ２()ｘ２＋２ａ２ｋｍｘ＋ａ２ｍ２－ａ２ｂ２＝０ꎬΔ＝４ａ４ｋ２ｍ２－４(ｂ２＋ａ２ｋ２)(ａ２ｍ２－ａ２ｂ２)＝０ꎬ可得ｍ２＝ｂ２＋ａ２ｋ２.点Ｏ到ＡＢ的距离为ｄ＝｜ｍ｜ｋ２＋１ꎬ根据垂径定理ꎬ我们可计算ＡＢ２＝ａ２＋ｂ２－ｄ２ꎬ所以ＳәＡＯＢ＝１２ＡＢ ｄ＝ｄａ２＋ｂ２－ｄ２＝ｄ２ａ２＋ｂ２－ｄ２()＝ｍ２ｋ２＋１ａ２＋ｂ２－ｍ２ｋ２＋１æèçöø÷＝ａ２＋ｂ２ｋ２()ｂ２＋ａ２ｋ２()ｋ２＋１.回到例３ꎬ易得ａ２＝３ꎬｂ２＝１ꎬ代入结论６ꎬ可得面积为２.类似结论在双曲线中也成立.结论７㊀双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１ａ>ｂ>０()的 蒙日圆 方程为ｘ２＋ｙ２＝ａ２－ｂ２ꎬ斜率为ｋ的直线与双曲线相切ꎬ且满足｜ｋ｜>ｂａꎬ与蒙日圆交于ＡꎬＢ两点ꎬＯ为坐标原点ꎬ则әＡＯＢ的面积为Ｓ＝ａ２ｋ２－ｂ２()ａ２－ｂ２ｋ２()ｋ２＋１.证明㊀设直线方程为ｙ＝ｋｘ＋ｍꎬ与双曲线联立ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１ｙ＝ｋｘ＋ｍìîíïïïꎬ得ａ２ｋ２－ｂ２()ｘ２＋２ａ２ｋｍｘ＋ａ２ｍ２＋ａ２ｂ２＝０.根据｜ｋ｜>ｂａꎬ可知ａ２ｋ２－ｂ２>０ꎬΔ＝４ａ４ｋ２ｍ２＋４ｂ２－ａ２ｋ２()ａ２ｍ２＋ａ２ｂ２()＝０ꎬ可知ｍ２＝ａ２ｋ２－ｂ２.㊀点Ｏ到ＡＢ的距离为ｄ＝｜ｍ｜ｋ２＋１ꎬ根据垂径定理ꎬ我们可计算ＡＢ２＝ａ２－ｂ２－ｄ２ꎬ所以ＳәＡＯＢ＝１２ＡＢ ｄ＝ｄａ２－ｂ２－ｄ２＝ｄ２ａ２－ｂ２－ｄ２()＝ｍ２ｋ２＋１ａ２－ｂ２－ｍ２ｋ２＋１æèçöø÷＝ａ２ｋ２－ｂ２()ａ２－ｂ２ｋ２()ｋ２＋１.点评㊀与蒙日圆有关的面积问题的处理可以与垂径定理㊁勾股定理相结合ꎬ充分利用圆本身的特征解决面积问题ꎬ这样的计算方式会极大减少运算量ꎬ在较短时间内得到准确的结果.从结果中可以看出这类三角形的面积由椭圆和双曲线的参数以及ＡＢ的斜率决定.蒙日圆 是一种重要的几何模型ꎬ我们通过对轨迹㊁斜率㊁面积三个方面的分析ꎬ从不同的角度了解了这种曲线ꎬ增加了对模型的认识.同样的模型ꎬ不同的角度ꎬ可以提出不同的数学问题.不同角度的数学问题可以使几何模型的学习变得更丰富㊁更形象㊁更生动.在不同的数学问题中ꎬ蕴含着不同的处理策略与计算方法ꎬ经过一番学习与讨论ꎬ可以在方法的选择上增加经验ꎬ深刻体会模型本身所体现的数学本质.参考文献:[１]甘志国.蒙日圆及其证明[Ｊ].河北理科教学研究ꎬ２０１５(０５):１１－１３.[责任编辑:李㊀璟]。
蒙日圆定理（解析几何证法）
蒙日圆定理（纯解析几何证法）蒙日圆定理的内容：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，该圆的半径等于椭圆长半轴和短半轴平方和的算术平方根。
如图，设椭圆的方程是22221x y a b+=。
两切线PM 和PN 互相垂直，交于点P 。
求证：点P 在圆2222x y a b +=+上。
证明：若两条切线中有一条平行于x 轴时，则另一条必定平行于y 轴，显然前者通过短轴端点，而后者通过长轴端点，其交点P 的坐标只能是：(),special P a b ±±(1)它必定在圆2222x y a b +=+上。
现考察一般情况，两条切线均不和坐标轴平行。
可设两条切线方程如下： :PM y kx m =+ (2)1:PN y x n k=-+ (3)联立两切线方程(2)和(3)可求出交点P 的坐标为：()222,11n m k nk m P k k -⎛⎫+ ⎪++⎝⎭(4)从而P 点距离椭圆中心O 的距离的平方为：()2222222222111n m k nk m OP k k n k m k -⎡⎤⎡⎤+=+⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦+=+(5)现将PM 的方程代入椭圆方程，消去y ，化简整理得：22222221210k km m x x a b b b ⎛⎫⎛⎫+++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(6)由于PM 是椭圆的切线，故以上关于x 的一元二次方程，其判别式应等于0，化简后可得：()22222211b m m b a k ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(7)对于切线PN ，代入椭圆方程后，消去y ，令判别式等于0，同理可得：()2222221b n k n b a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(8)为方便起见，令：22222,,,,a A b B m M n N k K =====(9)这样(7)和(8)就分别化为了关于M 和N 的一元一次方程，不难解出： M B AK =+(10)AN B K=+(11)将(10)和(11)代入(5)，就得到： 2221NK MOG A B a b K +==+=++(12)证毕。
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图2 在直线上选取点，使，得≌，所以，还得 再过点作的平分线，易得，入射角等于反射角，这就证得了引理1 成立. 引理2 过椭圆(其中心是点O，长半轴长是)的任一焦点F作椭圆的任 意切线的垂线，设垂足是H，则. 证明 如图3所示，设点分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆的切线上 的切点，又设直线交于点.
图3 由引理1，得(即反射角与入射角的余角相等)，进而可得≌，所以点 H是FB的中点，得OH是的中位线.又，所以. 引理3 平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和. 证明 由余弦定理可证(这里略去过程). 引理4 设点是矩形所在平面上一点，则. 证明 如图4所示，设矩形的中心是点．
图4 由引理3，可得 即欲证成立． 注 把引理4推广到空间，得到的结论就是：底面是矩形的四棱锥相 对侧棱长的平方和相等． 定理1的证法3 可不妨设.当时，易证成立.下面只证明的情形. 如图5所示.设椭圆的中心是点O，左、右焦点分别是，焦距是，过 动点P的两条切线分别是.
图5 连结，作，垂足分别是.过点作，垂足为，由引理2得. 再作于.记，得. 由Rt，得. 又作，垂足分别为.在Rt中，同理可得. (1)若，得矩形，所以 (2)若，得 由，得，所以. 同理，有，所以四边形是平行四边形，进而得四边形是矩形，所 以. 由(1),(2)得点P的轨迹方程是. 定理1的证法4 可不妨设.当时，易证成立.下面只证明的情形. 如图6所示.设椭圆的中心是点O，左、右焦点分别是，焦距是，过 动点P的两条切线分别是，两切点分别为. 分别作右焦点关于切线的对称点，由椭圆的光学性质可得三点共线(用 反射角与入射角的余角相等).同理，可得三点共线.
定理1 曲线的两条互相垂直的切线的交点P的轨迹是圆. 定理1的结论中的圆就是蒙日圆. 先给出定理1的两种解析几何证法： 定理1的证法1 当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜 率为0时，可得点P的坐标是，或. 当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设 点P的坐标是且，所以可设曲线的过点P的切线方程是. 由，得 由其判别式的值为0，得 因为是这个关于的一元二次方程的两个根，所以 由此，得 进而可得欲证成立. 定理1的证法2 当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜 率为0时，可得点P的坐标是，或. 当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设 点P的坐标是且，所以可设两个切点分别是.
图6 由椭圆的定义，得，所以. 由是的中点，及平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方 和，可得 (1)若，得，即三点共线. 又，所以，进而得 (2)若，得 所以. 同理，可得.所以三点共线.
得，即. 由(1),(2)得点P的轨迹方程是.
定理1的证法5 (该证法只能证得纯粹性) 可不妨设.当时，易证成立.下面只证明的情形. 如图7所示，设椭圆的中心是点O，左、右焦点分别是，焦距是， 过动点P的两条切线分别是，切点分别是. 设点关于直线的对称点分别为，直线与切线交于点，直线与切线交 于点.
得直线，切线.所以： 因为点既在曲线上又在直线上，所以 所以
由此，可得 进而可得欲证成立.
再给出该定理的两种平面几何证法，但须先给出四个引理. 引理1 (椭圆的光学性质，见普通高中课程标准实验教科书《数学·选 修2-1·A版》(人民教育出版社，2007年第2版，2014年第1次印刷)第76 页)从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭 圆的另一个焦点上(如图1所示).
(1)当时，所作的两条切线互相垂直； (2)当时，所作的两条切线斜率之积是. 定理5 (1)椭圆的两条斜率之积是的切线交点的轨迹是： ①当时，即圆(但要去掉四个点)； ②当且时，即椭圆(但要去掉四个点)； ③当时，即两条直线在椭圆外的部分(但要去掉四个点)； ④当时，即双曲线在椭圆外的部分(但要去掉四个点)； ⑤当时，即双曲线在椭圆外的部分(但要去掉四个点). (2)双曲线的两条斜率之积是的切线交点的轨迹是： ①当时，即圆； ②当时，即双曲线； ③当或时，即椭圆； ④当时，不存在. (3)抛物线的两条斜率之积是的切线交点的轨迹是： ①当时，即直线； ②当时，的方程为. 例 (北京市海淀区2015届高三第一学期期末文科数学练习第14题)已 知. 若直线上总存在点，使得过点的的两条切线互相垂直，则实数的取 值范围是_________. 解 .在图8中，若小圆(其圆心为点，半径为)的过点的两条切线互相垂 直(切点分别为)，得正方形，所以，即点的轨迹是以点为圆心，为半径 的圆.
图8 由此结论可得：在本题中，点在圆上.所以本题的题意即直线与圆 有公共点，进而可得答案. 注 本题的一般情形就是蒙日圆.
图7 得，再由椭圆的定义，得，所以.
因为四边形为矩形，所以由引理4得，所以，得点P的轨迹方程是. 读者还可用解析几何的方法证得以下结论： 定理2 (1)双曲线的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆； (2)抛物线的两条互相垂直的切线的交点是该抛物线的准线. 定理3 (1)椭圆的两条斜率之积是的切线交点的轨迹方程是； (2)双曲线的两条斜率之积是的切线交点的轨迹方程是. 定理4 过椭圆上任一点作椭圆的两条切线，则
蒙日圆及其证明
甘志国(已发表于 河北理科教学研究，2015(5)：11-13)
高考题 (2014，离心率为 ．
(1)求椭圆的标准方程； (2)若动点
为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹
方程． 答案：(1)
；(2) ．
这道高考题的背景就是蒙日圆. 普通高中课程标准实验教科书《数学2·必修·A版》(人民教育出版 社，2007年第3版，2014年第8次印刷)第22页对画法几何的创始人蒙日 (G.Monge，1745-1818)作了介绍.以上高考题第(2)问的一般情形是