高中数学蒙日圆及其证明
大招9 蒙日圆及其证明
大招9 蒙日圆及其证明 大招总结定理1曲线2222:1x y a bΓ+=的两条互相垂直的切线的交点P 的轨迹是圆2222x y a b +=+.定理1的结论中的圆就是蒙日圆.证明当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时,可得点P 的坐标是(,)a b ±,或(,)a b ±-.当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时,可设点P 的坐标是()(000,x y x ≠±a ,且)0y b ≠±,所以可设曲线Γ的过点P 的切线方程是()00(0)y y k x x k -=-≠. 由()2222001x y a b y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩,得 ()()()222222222000020a kb x ka kx y x a kx y a b +--+--=由其判别式的值为0,得()()222222200000200xa k x y k yb x a --++=-≠因为,PA PB k k 是这个关于k 的一元二次方程的两个根,所以220220PA PBy b k k x a-⋅=- 由此,得2222001PA PB k k x y a b ⋅=-⇔+=+进而可得欲证成立.定理2（1）双曲线22221(0)x y a b a b -=>>的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆2222x y a b +=-; （2）抛物线22y px =的两条互相垂直的切线的交点是该抛物线的准线.定理3过圆2222x y a b +=+上的动点P 作椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两条切线PA,PB,则.PA PB ⊥证明:设P 点坐标()00x y由()2222001x y a b y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩得()()()222222222000020a k b x ka kx y x a kx y a b +--+--= 由其判别式的值为0, 得()()222222200000200x akx y k y b x a --+-=-≠因为,PA PB k k 是这个关于k 的一元二次方程的两个根,所以220220PA PBy b k k x a-⋅=- 22222200220,1,PA PBy b x y a b k k PA PB x a -+=+⋅==-⊥- 定理4设P 为蒙日圆2222:O x y a b +=+上任一点,过点P 作椭圆22221x y a b+=的两条切线,交椭圆于点A,B,O 为原点,则OP,AB 的斜率乘积为定值22OP AB b k k a⋅=-定理5设P 为蒙日圆2222:O x y a b +=+上任一点,过点P 作椭圆22221x y a b+=的两条切线,切点分别为A,B,O 为原点,则OA,PA 的斜率乘积为定值22OA PA b k k a ⋅=-,且OB,PB 的斜率乘积为定值OB k ⋅22(PB b k a=-垂径定理)定理6过圆2222x y a b +=+上的动点P 作椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两条切线,O 为原点,则PO 平分椭圆的切点弦AB.证明:P 点坐标()00,x y ,直线OP 斜率00OP y k x =由切点弦公式得到AB 方程200022201,AB x x y y b x k a b a y +==-22OP ABb k k a⋅=-,由点差法可知,OP 平分AB,如图M 是中点定理7设P 为蒙日圆2222:O x y a b +=+上任一点,过点P 作椭圆22221x y a b+=的两条切线,切点分别为A,B,延长PA,PB 交伴圆O 于两点C,D,则//CD AB . 证明:由性质2可知,M 为AB 中点.由蒙日圆性质可知,90APB ︒∠=,所以MA MB MP ==. 同理OP OC OD ==.因此有PAM APM CPO PCO ∠=∠=∠=∠, 所以//AB CD .典型例题(例1.)(2020春-安徽月考)已知点P 为直线40ax y +-=上一点,PA,PB 是椭圆222:1(1)x C y a a+=>的两条切线,若恰好存在一点P 使得PA PB ⊥,则椭圆C 的离心率为 解方法1:设(,)P m n ,过点P 的切线方程为()y n k x m -=-,联立222()1y n k x m x y a-=-⎧⎪⎨+=⎪⎩,得()22222212()()10k a x ka n km x a n km ⎡⎤++-+--=⎣⎦, 直线与椭圆相切,()24222224()41()10k a n km a k a n km ⎡⎤∆=--+--=⎣⎦,整理得()2222210am k mnk n -++-=,若切线PA,PB 的斜率均存在,分别设为12,k k ,212221,1n PA PB k k a m-⊥∴⋅==--,即2221m n a +=+, ∴点P 在以(0,0)为圆心,即(0,0)到直线40ax y +-=d ∴==,解得a =1,a a >∴=若切线PA,PB 分别与两坐标轴垂直,则(,1)P a 或(,1)a -或(,1)a -或(,1)a --, 存在点(,1)P a ,将其代入直线40ax y +-=中,解得a =综上所述,a =又1,b c =∴==∴离心率3c e a ===. 故答案为. 方法2:在方法1中,实际上证明了一遍蒙日圆,如果知道结论,可得P 的轨迹2221x y a +=+,且此圆与40ax y +-=相忉.其中(0,0)到直线40ax y +-=的距离d =d ∴==,解得a =1,a a >∴=又1,b c =∴==∴离心率3c e a ===.故答案为. (例2.)(2020春-安徽月考)已知两动点A,B 在椭圆222:1(1)x C y a a+=>上,动点P 在直线3410x y +-0=上,若APB ∠恒为锐角,则椭圆C 的离心率的取值范围为解由结论可知:椭圆2221x y a+=的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是冡日圆2221x y a +=+,若APB ∠恒为锐角,则直线34100x y +-=与圆2221x y a +=+相离,>,又1,1a a >∴<<,.c e a ⎛∴=== ⎝⎭故答案为:⎛ ⎝⎭.例3.已知22:1O x y +=.若直线2y kx =+上总存在点P ,使得过点P 的O 的两条切线互相垂直,则实数k 的取值范围是解(,1][1,-∞-⋃+∞).在下图中,若小圆(其圆心为点O ,半径为r )的过点A 的两条切线AB,AD 互相垂直（切点分别为E,F ）,得正方形AEOF,所以|||OA OE ==,即点A 的轨迹是以点O 为圆心为半径的圆.由此结论可得:在本题中,点P 在圆222x y +=上.所认本题的题意即直线2y kx =+与圆222x y +=有公共点,进而可得答案.例4.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为0),（1）求椭圆C 的标准方程;（2）若动点()00,P x y 为椭圆C 外一点,且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直,求点P 的轨迹方程.解（1）依题意有3,2c a b ===故所求椭圆C 的标准方程为22194x y +=. （2）当两条切线的斜率存在时,设过()00,P x y 点的切线为()00y y k x x -=-. 联立()0022194y y k x x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()()222004918360k xk y kx ++--=判别式()()()222222000018364940x k y kx k y kx ⎡⎤∆=+--+--=⎣⎦,化简得()2200940y kx k ---=,即()2220000924x k x y k y --+-.依题意得201220419y k k x -⋅==--,即220013x y +=(可由222200x y a b +=+直接可得答案) (例5.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为0),点P 为圆22:13M x y +=上任意一点,O 为坐标原点. （I ）求椭圆C 的标准方程;（II ）记线段OP 与椭圆交点为Q ,求|PQ|的取值范围;（III ）设直线l 经过点P 且与椭圆C 相切,l 与圆M 相交于另一点A ,点A 关于原点O 的对称点为B ,试判断直线PB 与椭圆C 的位置关系,并证明你的结论.解（I）由题意可知:c c e a ===,则2223,4a b a c ==-=,∴椭圆的标准方程:22194x y +=; （III ）由题意可知:||||||||PQ OP OQ OQ =-=,设()221111,,194x y Q x y +=, ||OQ ∴===由1[3,3]x ∈-,当10x =时,min ||2OQ =,当13x =±时,max ||3OQ =,||PQ ∴的取值范围2]; （III ）证明:由题意,点B 在圆M 上,且线段AB 为圆M 的直径,所以PA PB ⊥.分3种情况讨论,（1）当直线PA x ⊥轴时,易得直线PA 的方程为3x =±,由题意,得直线PB 的方程为2y =±, 显然直线PB 与椭圆C 相切.（2）同理当直线//PA x 轴时,直线PB 也与椭圆C 相切. （3）当直线PA 与x 轴既不平行也不垂直时,设点()00,P x y ,直线PA 的斜率为k ,则0k ≠,直线PB 的斜率1k-, 所以直线()00:PA y y k x x -=-,直线()001:PB y y x x k-=--, 由()0022194y y k x x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩,消去y ,得()()()220000941892360.k x y kx kx y kx ++-+--=因为直线PA 与椭圆C 相切,所以()()()22210000184949360y kx k k y kx ⎡⎤⎡⎤∆=--+--=⎣⎦⎣⎦, 整理,得()222100001449240x k x y k y ⎡⎤∆=---+-=⎣⎦ 同理,由直线PB 与椭圆C 的方程联立,得()2220000211144924x x y y k k ⎡⎤∆=--++-⎢⎥⎣⎦.（2）因为点P 为圆22:13M x y +=上任意一点,所以220013x y +=,即220013y x =-.代入（1）式,得()()22200009290x k x y k x --+-=, 代入（2）式,得()()()2222200000002214414492492(9x x y k y k x x y k k k⎡⎤⎡∆=--++-=--++-⎣⎦⎣)220x k ⎤⎦, ()()222000021449290x k x y k x k⎡⎤=--+-=⎣⎦. 所以此时直线PB 与椭圆C 相切. 综上,直线PB 与椭圆C 相切. 例6.(2021-安徽模拟)已知圆22:5O x y +=,椭圆2222:1(0)x y a b aΓ+=>>的左,右焦点为12,F F ,过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆和圆所截得弦长分别为1和.（I ）求椭圆的标准方程;（II ）如图P 为圆上任意一点,过P 分别作椭圆两条切线切椭圆于A,B 两点. （i ）若直线PA 的斜率为2,求直线PB 的斜率；（ii ）作PQ AB ⊥于点Q ,求证:12QF QF +是定值.解（I）由题意可得2,21b a ⎧=⎪⎨=⎪⎩解得2,1,a b c ===所以椭圆的方程为2214x y +=.（II ）（I ）设()00,P x y ,切线()00y y k x x -=-,则22005x y +=, 由()220014x y y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩,化简得()()()2220000148440,k x k y kx x y kx ++-+--=,由0∆=得()2220004210x kx y k y -++-=,设切线PA,PB 的斜率分别为12,k k ,则()2200122200111445y y k k x y --===----, 又直线PA 的斜率为2,则直线PB 的斜率为12-. （II ）当切线PA,PB 的斜率都存在时,设()()1122,,,A x y B x y ,切线PA,PB 的方程为(),1,2i i i y y k x x i -=-=, 由（1）得()2224210,1,2,(*)i i i i i x k x y k y i -++-==又A,B 点在椭圆上得,221,1,2,(*)4i i x y i +== 得2202i i i x y k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,即,1,24i i i x k i y =-=,氻线PA,PB 的方程为1,1,24i i x xy y i +==,又过,点P ,则001,1,24i i x xy y i +==,所直线AB 的方程为0014x xy y +=,(可直接代㔹点弦方程)由PQ AB ⊥的直线PQ 的方程为()00004y y y x x x -=-,联立直线AB 方程为0014x xy y +=,解得()()22000000222200004131341,165165Q Q x y y y x x y y x y x y ++====++, 由22005x y +=得,点Q 轨迹方程为2255116x y +=,且焦,点恰为12,F F ,故122QF QF +==,当切线PA,PB 的斜率有一个不存在时,易得12QF QF +=.综上,125QF QF +=. 自我检测1.(2021-全国二模)已知双曲线2221(1)4x y a a -=>上存在一点M ,过点M 向圆221x y +=做两条切线MA,MB,若0MA MB ⋅=,则实数a 的取值范围是(）A.B.C.)+∞D.)+∞ 答案：方法1:双曲线2221(1)4x y a a -=>上存在一点M ,过点M 向圆221x y +=做两条切线MA 、MB,若MA0MB =,可知MAOB 是正方形,MO =,所以a ∈.故选B.方法2:过点M 向圆221x y +=做两条切线MA 、MB,若0,MA MB M ⋅=点轨迹即为蒙日圆222x y +=,且此圆与双曲线2221(1)4x y a a -=>有公共点M ,所以a ∈.故选B2.给定椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>,称圆心在原点O ,C 的“准圆”.已知椭圆C 的一个焦点为F ,其短轴的一个端点到点F （I ）求椭圆C 及其“准圆”的方程（II ）若点A 是椭圆C 的“准圆”与x 轴正半轴的交点,B,D 是椭圆C 上的相异两点,且BD x ⊥轴,求AB AD ⋅的取值范围;（III)在椭圆C 的“准圆”上任取一点(,)P s t ,过点P 作两条直线12,l l ,使得12,l l 与椭圆C 都只有一个公共点,且12,l l 分别与椭圆的“准圆”交于M,N 两点.证明:直线MN 过原点O .答案：（I ）解:由题意知c a ==,解得1b =,∴椭圆C 的方程为2213x y +=,其“准圆”为224x y +=.（II ）解:由题意,设((,),(,),B m n D m n m -<<则有2213m n +=, 又A 点坐标为(2,0),故(2,),(2,)AB m n AD m n =-=--,2222(2)4413m AB AD m n m m ⎛⎫∴⋅=--=-+-- ⎪⎝⎭2244343332m m m ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭,又243[0,732m m ⎛⎫<<∴-∈+ ⎪⎝⎭.AB AD ∴⋅的取值范围是[0,7+. （III ）设(,)P s t ,则224s t +=,当s =,1t =±,则12,l l 其中之一斜率不存在,另一条斜率为0,12l l ∴⊥.当t ≠,设过(,)P s t 且与有一个公共点的直线l 的斜率为k , 则l 的方程为()y t k x s -=-,代人椭圆C 的方程,得:223[()]3x k x s t +-+=,即()222316()3()30k x k t ks x t kt +--+--=,由()222236()4313()30k t ks k t kt ⎡⎤∆=--+--=⎣⎦,得()2223230tkstk t -++-=,其中230t -≠,设12,l l 的斜率分别为12,k k ,则12,k k 分别是上述方程的两个根,12121,k k l l ∴=-∴⊥.综上所述,12l l ⊥,MN ∴是准圆的直径,∴直线MN 过原点O .3.已知A 是圆224x y +=上的一个动点,过点A 作两条直线12,l l ,它们与椭圆2213x y +=都只有一个公共点,且分别交圆于点M,N（1）若(2,0)A -,求直线12,l l 的方程;（2）（1）求证:对于圆上的任意点A ,都有12l l ⊥成立; （2）求AMN 面积的取值范围.答案：(1)解:设直线的方程为(2)y k x =+,代人椭圆2213x y +=,消去y ,可得()222213121230k x k x k +++-=由0∆=,可得210k -=设12,l l 的斜率分别为1212,,1,1k k k k ∴=-= ∴直线12,l l 的方程分别为2,2y x y x =--=+;(2)(1)证明:当直线12,l l 的斜率有一条不存在时,不妨设1l 无斜率1l 与椭圆只有一个公共点,所以其方程为x =当1l的方程为x =,此时1l与圆的交点坐标为1±),所以2l 的方程为1y =(或)121,y l l =-⊥成立,同理可证,当1l的方程为x =,结论成立;当直线12,l l 的斜率都存在时,设点(,)A m n ,且224m n += 设方程为()y k x m n =-+,代人椭圆方程,可得()22136()3()230k xk n km x n km ++-+--=由0∆=化简整理得()2223210mkmnk n -++-=224m n +=()2223230m k mnk m ∴-++-=设12,l l 的斜率分别为121212,,1,k k k k l l ∴=-∴⊥成立 综上,对于圆上的任意点A ,都有12l l ⊥成立; (2)记原点到直线12,l l 的距离分别为12,d d ,22124,d d AMN +=∴面积()()2222222121114444216S d d d d d ==-=--+221[1,3],[12,16]d S ∈∴∈4]S ∴∈.4.过P 点作椭圆两条切线,若椭圆的两条切线互相垂直,设圆心到切点弦的距离为1,d P 到切点弦的距离为2d 证明12d d 之积为常数.答案：证明:如图所示,设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>,那么在椭圆上A,B 两处切线的交点P 在圆2222(\neq )a x y a b x +=+,现设)Pθθ,那么AB 的直线方程为220xb ya a b θθ+-=.原点到切点弦AB 的距离221d =切线交点P 到切点弦AB 的距离是42422d==所以221222a b d d a b=+(常数).5.(2021贵州模拟)已知椭圆22:1,2x C y M +=是圆223x y +=上的任意一点,MA,MB 分别与椭圆切于A,B.求AOB 面积的取值范围.答案：设()()()001122,,,,,M x y A x y B x y ,得1212:1,:122x x x x MA y y MB y y +=+=,且2203x y += 由()()()001122,,,,,M x y A x y B x y ,得010201021,122x x x x y y y y +=+=,从而00:12x xAB y y +=将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立,得 ()22200034440y x x x y +--+=. 所以,20012122200444,33x y x x x x y y -+==++, 因此,)202013y AB y +=+.又原点O 到直线AB的距离d ==所以01||22OABS AB d =⋅=令[1,2]t =,得到21222,2332OABt St t t⎡==⋅∈⎢+⎣⎦+6.(2021河北模拟)设椭圆22154x y +=的两条互相垂直的切线的交点轨迹为C ,曲线C 的两条切线PA,PB 交于点P ,且与C 分别切于A,B 两点,求PA PB ⋅的最小值.答案：设两切线为12,l l(1)当1l x ⊥轴或1//l x 轴时,对应2//l x 轴或2l x ⊥轴,可知(2)P ±; (2)当1l 与x 轴不垂直且不平行时,x ≠设1l 的斜率为k ,则20,k l ≠的斜率为11,l k-的方程为y -()00y k x x =-,联立22154x y +=, 得()()()222000054105200k x y kx kx y k ++-+--=,因为直线与椭圆相切,所以0∆=,得()()()2222000055440y kx k k y kx ⎡⎤--+--=⎣⎦,()220020440k y kx ⎡⎤∴-+--=⎣⎦,()22200005240x k x y k y ∴--+-=,所以k 是方程()22200005240x k x y k y --+-=的一个根, 同理1k-是方程()22200005240x k x y k y --+-=的另一个根, 2020415y k k x -⎛⎫∴⋅-= ⎪-⎝⎭得22009x y +=,其中x ≠所以点P的轨迹方程为229(x y x +=≠, 因为(3,2)P ±±满足上式,综上知:点P 的轨迹方程为229x y +=.设,PM PB x APB θ==∠=,则在AOB 与APB 中应用余弦定理知,2222cos AB OA OB OA OB AOB =+-⋅⋅∠ 222cos PA PB PA PB APB =+-⋅⋅∠,即()3322\38cdo 3233cos 102c s t o x x x x θθ︒+-⋅⋅-=+-⋅,即 29(1cos )1cos x θθ+=-||||cos cos PA PB PA PB APB x x θ⋅=⋅∠=⋅9(1cos )cos 1cos θθθ+=-令1cos (0,2]t θ=-∈,则cos 1t θ=-. ()29329(2)(1)293t t t t PA PB t t t t -+--⎛⎫⋅===⋅+ ⎪-⎝⎭9233)t ⎛⎫⋅⋅=⎪ ⎪⎝⎭且仅当2t t=,即t =时,PA PB ⋅取得最小3).7.(衡水中学模拟)如图,在平面直角坐标系xOy,设点()00,M x y 是椭圆22:12412x y C +=上一点,从原点O 向圆()()22008M x x y y -+-=作两条切线分别与椭圆C 交于点P,Q .（1）若M 点在第一象限,且直线OP,OQ 互相垂直,求圆M 的方程; （2）若直线OP,OQ 的斜率存在,分别记为12,k k .求12k k ⋅的值;（3）试问22||||OP OQ +是否为定值?若是求出该定值;若不是,说明理由.答案：(1)由圆M的方程知圆M的半径r=因为直线OP,OQ互相垂直,且和圆M相切,所以||4OM==,即220016x y+=又点R在椭圆C上,所以2212412x y+=联立(1)(2),解得0xy⎧=⎪⎨=⎪⎩,所以,所求圆M的方程为22((8x y-+-=.(2)因为直线1:OP y k x=和2:OQ y k x=都与圆R相切,(3)==化简得212288yk kx-⋅=-,因为点()00,R x y在椭圆C上,所以2212412x y+=,即22001122y x=-,所以2122141282xk kx-⋅==--(3)(1)当直线OP,OQ不落在坐标轴上时,设()()1122,,,P x y Q x y,由(2)知12210k k+=,所以121221y yx x=,故2222121214y y x x=,因为()()1122,,,P x y Q x y,在椭圆C上,所以222211221,124122412x y x y+=+=即222211221112,1222y x y x=-=-,所以222212121111212224x x x x⎛⎫⎛⎫--=⎪⎪⎝⎭⎝⎭;整理得221224x x+=,所以222212121112121222y y x x⎛⎫⎛⎫+=-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以2222221122241236OP OQ x y x y+=+++=+=.(2)当直线OP,OQ 落在坐标轴上时,显然有2236OP OQ +=.综上:2236OP OQ +=结论：设点()00,M x y 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上任意一点,从原点O 向圆()20:(M x x y -+-)222022a b y a b=+作两条切线分别与椭圆C 交于点P 、Q,直线OP,OQ 的斜率分别记为12,k k .8.(2021年甘肃省张掖市肃南一中高考数学模拟)已知椭圆22122:1(0)y x C a b a b+=>>的离心率e =且经过点⎛ ⎝⎭,抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点F 与椭圆1C 的一个焦点重合. （I ）过F 的直线与抛物线2C 交于M,N 两点,过M,N 分别作抛物线2C 的切线12,l l ,求直线12,l l 的交点Q 的轨迹方程;（II)从圆22:5O x y +=上任意一点P 作椭圆1C 的两条切线,切点为A,B,证明:AOB ∠为定值,并求出这个定值.答案：（I ）设椭圆的半焦距为c ,则c a =,即a =,则b =,椭圆方程为2222132y x c c +=,将点⎛ ⎝⎭的坐标代人得21c =,故所求的椭圆方程为22132y x +=焦点坐标(0,1)± 故抛物线方程为24x y =.设直线()()1122:1,,,MN y kx M x y N x y =+, 代人抛物线方程得2440x kx --=, 则12124,4x x k x x +==-,由于214y x =,所以12y x '=, 故直线1l 的斜率为111,2x l 的方程为 ()22111111111, ?´ 2224y x x x x y x x x -=-=-同理2l 的方程为2221124y x x x =-,令22112211112424x x x x x x -=-,即 ()()()12121212x x x x x x x -=-+,显然12x x ≠,()1212x x x =+,即点Q 的横坐标是()1212x x +,点Q 的纵坐标是()221111*********124244y x x x x x x x x x =-=+-==-即点(2,1)Q k -,故点Q 的轨迹方程是1y =-.(阿基米德三角形)（II ）证明：(1)当两切线的之一的斜率不存在时,根据对称性,设点P 在第一象限,则此时P ,代人圆的方程得P此时两条切线方程分别为x y ==此时2APB π∠=若APB ∠的大小为定值,则这个定值只能是2π. (2)当两条切线的斜率都存在时,即x ≠, 设()00,P x y ,切线的斜率为k , 则切线方程为()00y y k x x -=-, 与椭圆方程联立消元得()()()2220000324260k xk y kx kx y ++-+--=.由于直线()00y y k x x -=-是椭圆的切线,故()()()222200016432260ky kx k kx y ⎡⎤∆=--+--=⎣⎦,整理得()22200002230x k x y k y -++-=.切线PA,PB 的斜率12,k k 是上述方程的两个实根,故2012232y k k x -=--, 点P 在圆225x y +=上,故220032y x -=-,所以121k k =-,所以2APB π∠=综上可知:APB ∠的大小为定值2π,得证.。
蒙日圆及其证明
蒙日圆及其证明高考题 (2014年高考广东卷文科、理科第20题)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为，离心率为3．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点00(,)P x y 为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．答案：(1)22194x y +=；(2)2213x y +=．这道高考题的背景就是蒙日圆.普通高中课程标准实验教科书《数学2·必修·A 版》(人民教育出版社，2007年第3版，2014年第8次印刷)第22页对画法几何的创始人蒙日(G.Monge ，1745-1818)作了介绍.以上高考题第(2)问的一般情形是定理 1 曲线1:2222=+Γb y a x 的两条互相垂直的切线的交点P 的轨迹是圆2222b a y x +=+.定理1的结论中的圆就是蒙日圆.先给出定理1的两种解析几何证法：定理1的证法1 当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P 的坐标是),(b a ±，或),(b a -±.当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P 的坐标是,)(,(000a x y x ±≠且)0b y ±≠，所以可设曲线Γ的过点P 的切线方程是)0)((00≠-=-k x x k y y .由⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+)(1002222x x k y y b y a x ，得 0)()(2)(2220020022222=--+--+b a y kx a x y kx ka x b k a由其判别式的值为0，得)0(02)(22022*******≠-=++--a x b y k y x k a x因为PB PA k k ,是这个关于k 的一元二次方程的两个根，所以220220ax b y k k PBPA -+=⋅由此，得2220201b a y x k k PB PA +=+⇔-=⋅进而可得欲证成立.定理1的证法2 当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P 的坐标是),(b a ±，或),(b a -±.当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P 的坐标是,)(,(000a x y x ±≠且)0b y ±≠，所以可设两个切点分别是)0)(,(),,(21212211≠y y x x y x B y x A .得直线1:2020=+b y y a x x AB ，切线1:,1:22222121=+=+byy a x x PB b y y a x x PA .所以：2121221121421422221212,x x y y x y x y k k y y a x x b y a x b y a x b k k OB OA PBPA =⋅==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= PBPA OBOA k k a b k k 44= 因为点)2,1)(,(=i y x i i 既在曲线1:2222=+Γb y a x 上又在直线1:2020=+by y a x x AB 上，所以220202222⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+b y y a x x b y a x i i 0)(2)(2204002222204=-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x b x y y x b a xy b y a iiii所以 PBPA OBOA k k a b b y a a x b x x y y k k 44220422042121)()(=--==220220ax b y k k PBPA --= 由此，可得222020b a y x PB PA +=+⇔⊥进而可得欲证成立.再给出该定理的两种平面几何证法，但须先给出四个引理.引理1 (椭圆的光学性质，见普通高中课程标准实验教科书《数学·选修2-1·A 版》(人民教育出版社，2007年第2版，2014年第1次印刷)第76页)从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上(如图1所示).图1证明 如图2所示，设P 为椭圆Γ(其左、右焦点分别是21,F F )上任意给定的点，过点P 作21PF F ∠的外角平分线所在的直线)43(∠=∠l .先证明l 和Γ相切于点P ，只要证明l上异于P 的点P '都在椭圆Γ的外部，即证2121PF PF F P F P +>'+'：图2在直线1PF 上选取点F '，使2PF F P ='，得F P P ''∆≌2PF P '∆，所以2F P F P '=''，还得2111121PF PF F P P F F F F P F P F P F P +='+='>''+'='+'再过点P 作21PF F ∠的平分线(12)PA ∠=∠，易得l PA ⊥，入射角等于反射角，这就证得了引理1成立.引理2 过椭圆Γ(其中心是点O ，长半轴长是a )的任一焦点F 作椭圆Γ的任意切线l 的垂线，设垂足是H ，则a OH =.证明 如图3所示，设点F F ,'分别是椭圆Γ的左、右焦点，A 是椭圆Γ的切线l 上的切点，又设直线A F FH ',交于点B .图3由引理1，得B A H F lA FAH ∠='∠=∠(即反射角与入射角的余角相等)，进而可得FAH ∆≌BAH ∆，所以点H 是FB 的中点，得OH 是F BF '∆的中位线.又AB AF =，所以a AF A F AB A F OH =+'=+'=)(21)(21.引理3 平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和. 证明 由余弦定理可证(这里略去过程).引理4 设点P 是矩形ABCD 所在平面上一点，则2222PD PB PC PA +=+.证明 如图4所示，设矩形ABCD 的中心是点O ．图4由引理3，可得22222222)(2)(2PD PB OP OB OP OA PC PA +=+=+=+即欲证成立．注 把引理4推广到空间，得到的结论就是：底面是矩形的四棱锥相对侧棱长的平方和相等．定理1的证法3 可不妨设0,0>>b a .当b a =时，易证成立.下面只证明b a >的情形.如图5所示.设椭圆的中心是点O ，左、右焦点分别是21,F F ，焦距是c 2，过动点P 的两条切线分别是PN PM ,.图5连结OP ，作PN OH PM OG ⊥⊥,，垂足分别是H G ,.过点1F 作PM D F ⊥1，垂足为D ，由引理2得a OD =.再作OG K F ⊥1于K .记θ=∠K OF 1，得θcos 1c K F DG ==. 由Rt ODG ∆，得θ222222cos c a DG OD OG -=-=.又作OH L F PN E F ⊥⊥22,，垂足分别为L E ,.在Rt OEH ∆中，同理可得θ222222sin c a HE OE OH -=-=.(1)若PN PM ⊥，得矩形OGPH ，所以22222222222)sin ()cos (b a c a c a OH OG OP +=-+-=+=θθ(2)若222b a OP +=，得222222222)sin ()cos (OH OG c a c a OP +=-+-=θθ由PM OG ⊥，得222GP OG OP +=，所以OH GP =.同理，有HP OG =，所以四边形OGPH 是平行四边形，进而得四边形OGPH 是矩形，所以PN PM ⊥.由(1),(2)得点P 的轨迹方程是2222b a y x +=+.定理1的证法4 可不妨设0,0>>b a .当b a =时，易证成立.下面只证明b a >的情形. 如图6所示.设椭圆的中心是点O ，左、右焦点分别是21,F F ，焦距是c 2，过动点P 的两条切线分别是PB PA ,，两切点分别为B A ,.分别作右焦点2F 关于切线PB PA ,的对称点N M ,，由椭圆的光学性质可得三点M A F ,,1共线(用反射角与入射角的余角相等).同理，可得三点N B F ,,1共线.图6由椭圆的定义，得a BF BF NF a AF AF MF 2,2211211=+==+=，所以11NF MF =.由O 是21F F 的中点，及平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和，可得)(2)(2222222221221OP c OP OF PF PF PM PF +=+=+=+ (1)若PB PA ⊥，得︒=∠+∠=∠+∠180)(22211BPF APF NPF MPF ，即三点N P M ,,共线.又PN PF PM ==2，所以MN PF ⊥1，进而得)(2422221212OP c PM PF MF a +=+==222b a OP +=(2)若222b a OP +=，得212222222214)(2)(2MF a b a c OP c PM PF ==++=+=+所以PM PF ⊥1.同理，可得PN PF ⊥1.所以三点N P M ,,共线. 得︒=∠+∠=∠+∠=∠90)(212222NPF MPF BPF APF APB ，即PB PA ⊥. 由(1),(2)得点P 的轨迹方程是2222b a y x +=+.定理1的证法5 (该证法只能证得纯粹性)可不妨设0,0>>b a .当b a =时，易证成立.下面只证明b a >的情形.如图7所示，设椭圆的中心是点O ，左、右焦点分别是21,F F ，焦距是c 2，过动点P 的两条切线分别是PB PA ,，切点分别是B A ,.设点1F 关于直线PB PA ,的对称点分别为''21,F F ，直线'11F F 与切线PA 交于点G ，直线'21F F 与切线PB 交于点H .图7得1211,BF BF AF AF ='='，再由椭圆的定义，得a F F F F 22221='='，所以a OH OG ==. 因为四边形H PGF 1为矩形，所以由引理4得2222212a OH OG OP OF =+=+，所以222b a OP +=，得点P 的轨迹方程是2222b a y x +=+.读者还可用解析几何的方法证得以下结论：定理 2 (1)双曲线)0(12222>>=-b a b y a x 的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆2222b a y x -=+；(2)抛物线px y 22=的两条互相垂直的切线的交点是该抛物线的准线.定理 3 (1)椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两条斜率之积是22a b -的切线交点的轨迹方程是22222=+by a x ；(2)双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条斜率之积是22a b 的切线交点的轨迹方程是22222=-b y a x . 定理4 过椭圆)0(22222>>=+b a b y a x 上任一点),(00y x P 作椭圆12222=+by a x 的两条切线，则(1)当a x ±=0时，所作的两条切线互相垂直；(2)当a x ±≠0时，所作的两条切线斜率之积是22ab -.定理5 (1)椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两条斜率之积是)0(≠λλ的切线交点的轨迹Γ是：①当1-=λ时，Γ即圆2222b a y x +=+(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±)；②当0<λ且1-≠λ时，Γ即椭圆1222222=-+-ab y b a x λλ(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±)；③当22a b -=λ时，Γ即两条直线x aby ±=在椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 外的部分(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±)；④当220a b <<λ时，Γ即双曲线1222222=---a b x a b y λλ在椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 外的部分(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±)；⑤当22ab >λ时，Γ即双曲线1222222=---b a y b a x λλ在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 外的部分(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±).(2)双曲线)0(12222>>=-b a by a x 的两条斜率之积是)0(≠λλ的切线交点的轨迹Γ是：①当1-=λ时，Γ即圆2222b a y x -=+； ②当0>λ时，Γ即双曲线1222222=+-+b a y b a x λλ； ③当1-<λ或221ab -<<-λ时，Γ即椭圆1222222=--++ba yb a x λλ； ④当022<<-λab 时，Γ不存在.(3)抛物线px y 22=的两条斜率之积是)0(≠λλ的切线交点的轨迹Γ是：①当0<λ时，Γ即直线λ2p x =； ②当0>λ时，Γ的方程为⎪⎭⎫⎝⎛>=λλp y p x 2. 例 (北京市海淀区2015届高三第一学期期末文科数学练习第14题)已知22:1O x y +=. 若直线2y kx =+上总存在点P ，使得过点P 的O 的两条切线互相垂直，则实数k 的取值范围是_________. 解 (,1][1,)-∞-+∞.在图8中，若小圆(其圆心为点O ，半径为r )的过点A 的两条切线AD AB ,互相垂直(切点分别为F E ,)，得正方形AEOF ，所以r OE OA 22==，即点A 的轨迹是以点O 为圆心，r 2为半径的圆.图8由此结论可得：在本题中，点P 在圆222x y +=上.所以本题的题意即直线2y kx =+与圆222x y +=有公共点，进而可得答案.注 本题的一般情形就是蒙日圆.。
蒙日圆的定义与方程及结论
蒙日圆的定义与方程及结论
蒙日圆是指当月球位于地球和太阳之间时，在地球上出现的一个光环形状的天文现象。
蒙日圆也称为月蚀。
蒙日圆的方程可以表示为：(x-a)^2 + y^2 = R^2
其中，(x, y)是二维平面上的坐标点，(a, 0)是太阳在坐标系上的位置，R是月球的半径。
蒙日圆的结论包括以下几点：
1. 蒙日圆只会在月亮处于满月状态时出现，此时地球、月球和太阳处于一条直线上。
2. 在地球上观测蒙日圆时，看到的月球表面只能看到太阳照射到的一部分，而看不到阴暗的一部分。
3. 蒙日圆的大小和形状取决于月球和太阳的相对位置和距离，月球和太阳距离越近，蒙日圆越大。
4. 蒙日圆的出现时间和持续时间不固定，根据月球和太阳的位置变化而有所不同。
5. 蒙日圆只能在月食时才能观测到，而月食并不是每个满月都会发生，因为月球的轨道倾角和月球与地球、太阳之间的距离也会有一定变化。
圆锥曲线专题：蒙日圆在高考及模拟中的应用
蒙日圆结论的证明
（点评：消元，整式化）
（点评：①增强主元意识；②按照主元降幂排列；③按层次分别找准主元的二次项、一次项的系数及常数项；④若与主元无关，则视为常数项，不必展开；⑤按照先正后负顺序排列）
（点评：公因式化简（公因式4a2），能相约，则必相约（先约去4a2）
（点评：暂时不展开(n−mk)2，因为可以相消）
（点评：(n−mk)2为整体，则为两个含有两项的多项式乘法展开，可相消）
（点评：先约去b2）
（点评：主元为斜率k，按照斜率k降幂排列）
一、什么是蒙日圆
在椭圆(双曲线)中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆(双曲线)的中心，半径等于长半轴（实半轴）与短半轴（虛半轴）平方和（差）的算术平方根，这个圆叫蒙日圆。
蒙日圆的证明方法
蒙日圆的证明方法一、蒙日圆的定义及性质蒙日圆（Monge"s Circle）又称作蒙日环，是由法国数学家蒙日于18世纪提出的一个几何概念。
它是指平面上到一个固定点距离之和等于常数的点的轨迹。
蒙日圆具有以下性质：1.蒙日圆上的任意一点，到圆心的距离之和等于常数；2.蒙日圆上的任意两点，连线的中垂线均经过圆心；3.蒙日圆的直径是两焦点距离的一半；4.蒙日圆的半径与面积之间存在一定的关系。
二、蒙日圆的证明方法概述蒙日圆的证明方法主要有三种：1.直接证明法：通过构造垂径定理、切线长定理等几何关系，直接证明蒙日圆的性质。
2.间接证明法：利用向量、矩阵等数学工具，结合蒙日圆的性质，间接证明蒙日圆的存在和唯一性。
3.极小化方法：将蒙日圆的构造问题转化为求解极小化问题，利用微积分理论求解得到蒙日圆的方程。
三、蒙日圆证明实例分析以下以直接证明法为例，简要分析蒙日圆的证明过程。
设点A、B在平面上，AB=2a，点P在蒙日圆上，PA+PB=2c（c>a）。
作PA的中点M，连接MB，则MB为直径。
由于MA=MB=c-a，可得PA=2c-2a。
在直角三角形PAB中，根据勾股定理，有PA^2+PB^2=AB^2，即（2c-2a）^2+(2c-2a)^2=4a^2。
化简得4c^2-8ac+4a^2=4a^2，从而c^2-2ac=0，即c(c-2a)=0。
因为c>a，所以c=2a，即蒙日圆的直径为2a。
四、蒙日圆证明在数学中的应用蒙日圆证明在数学中有着广泛的应用，如在解析几何、微积分、拓扑学等领域。
通过蒙日圆的证明，可以更好地理解圆、椭圆、双曲线等二次曲线的性质，为后续研究打下基础。
五、结论与展望蒙日圆作为数学中一个重要的概念，其证明方法多种多样。
在实际应用中，可以根据问题特点选择合适的证明方法。
高考数学圆锥曲线深度拓展 蒙日圆及其证明
高考数学圆锥曲线深度拓展：蒙日圆及其证明一、引言在高考数学中，圆锥曲线是一个重要的知识点，它不仅在解析几何中有广泛应用，还在物理、天文等领域有所涉及。
蒙日圆，作为圆锥曲线的一种特殊形态，具有独特的性质和证明方法。
本文旨在探讨蒙日圆及其证明的深度拓展。
二、蒙日圆的基本性质蒙日圆，也被称为极坐标圆或椭圆的垂直平分线投影圆，其独特性质在于它与原始椭圆的关系。
在椭圆上任取一点P，作PP1垂直于长轴，作PP2垂直于短轴，则P1P2的垂直平分线与原始椭圆相切于点P。
这个性质表明，对于椭圆上的任意一点，其关于长轴和短轴的垂足与原点的连线段的垂直平分线，都与椭圆相切于该点。
三、蒙日圆的证明对于蒙日圆的证明，我们可以采用以下步骤：1、在椭圆上任取一点P，以点P为圆心，作一圆与椭圆相切。
这个圆的半径可以由点P到椭圆中心的距离决定。
2、根据几何性质，我们可以知道这个圆与椭圆的切点在椭圆的长轴和短轴的垂直平分线上。
3、由于这个圆是以点P为圆心，因此点P关于长轴和短轴的垂足与原点的连线段的垂直平分线必然经过这个圆心。
这就意味着这个垂直平分线与椭圆相切于点P。
4、因此，我们证明了在椭圆上任意一点都有一条过该点的直线与椭圆相切。
也就是说，我们找到了一个与椭圆相切的圆，即蒙日圆。
四、结论通过以上分析，我们证明了蒙日圆的存在及其性质。
这个知识点不仅在高考数学中具有重要作用，也是解析几何中的一个重要知识点。
希望通过本文的探讨，能够帮助同学们更深入地理解和掌握这一部分的知识。
蒙日圆以及应用蒙日圆是一种特殊的几何图形，它由法国数学家加斯帕德·蒙日（Gaspard Monge）发现并以其名字命名。
蒙日圆在几何、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍蒙日圆的定义、性质以及应用。
一、蒙日圆的定义蒙日圆也被称为“最小圆”或“极圆”，它是指在平面上，一个集合内所有点均在该集合的凸包内的最小圆。
也就是说，蒙日圆内包含着集合内的所有点，且其半径最小。
(甘志国)蒙日圆及其证明
蒙日圆及其证明甘志国（已发表于河北理科教学研究，2015（5） : 11-13）2 2高考题（2014年高考广东卷文科、理科第20题）已知椭圆C :笃•打=1（a ■ b ■ 0）的a b一个焦点为（-5,0），离心率为〈.3（1）求椭圆C的标准方程；⑵若动点P（x0,y°）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.2 2答案：⑴、.丄1 ；⑵x2 y2=13 •9 4这道高考题的背景就是蒙日圆•普通高中课程标准实验教科书《数学 2 •必修• A版》（人民教育出版社，2007年第3 版，2014年第8次印刷）第22页对画法几何的创始人蒙日（G.Monge, 1745-1818）作了介绍• 以上高考题第（2）问的一般情形是2 2定理1 曲线］:电•电=1的两条互相垂直的切线的交点P的轨迹是圆 a bx2 y2 =a2 b2.定理1的结论中的圆就是蒙日圆.先给出定理1的两种解析几何证法：定理1的证法1当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P的坐标是（_a, b），或（_a,-b）.当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点 P的坐标是（人，齐）（召址二a,且y。
= _b）,所以可设曲线】的过点 P的切线方程是y -y° =k(x -x°)(k =0).“ 2 2由＜a2 b2，得y —y。
=k(x —x。
)(a2k2 b2)x2—2ka2(kx0—y0)x a2(k\ —y0)2-a2b2 = 0由其判别式的值为0，得%2-a2)k2 -2x0y°k y^ b2 = 0(x°2 - = 0)因为k PA,k PB是这个关于k的一元二次方程的两个根，所以k PA k PBy °2b 2~2 2x 0 —a由此，得k PA k PB = -1x 02 y 02二 a 2 b 2进而可得欲证成立•定理1的证法2点P 的坐标是（_a, b ）,当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为或（二a,_b ）. 0时，可得当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为 0时，可设点 P 的坐标是（X o ,y °）（x 。
专题2 蒙日圆 微点1 蒙日圆的定义、证明及其几何性质
专题2 蒙日圆 微点1 蒙日圆的定义、证明及其几何性质专题2 蒙日圆微点1 蒙日圆的定义、证明及其几何性质 【微点综述】蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆、双曲线两条相互垂直的切线交点的轨迹是圆，所以这个圆又被叫做“蒙日圆”．本微点主要介绍蒙日圆的定义、证明及其几何性质． 1．人物简介加斯帕尔·蒙日（Gaspard Monge ，1746～1818），法国数学家、化学家和物理学家．生于博恩的平民人家．蒙日的一生励志又传奇，蒙日出身贫寒，但他自幼聪颖好学，自强不息，少年时在家乡一所天主教开设的学校学习，后转学里昂，14岁时就能造出消防用的灭火机，16岁毕业，留校任物理学教师．接着被推荐到梅济耶尔皇家军事工程学院学习，年仅22岁就初创“画法几何学”，23岁时任该校教师．26岁时被巴黎科学院选为通讯研究员．29岁时任皇家军事工程学院“皇家数学和物理学教授”．34岁时当选为科学院的几何学副研究员．38岁时被任命为法国海军学员的主考官．46岁时任海军部长8个月．51岁时任法国著名的综合工科学校校长．72岁在巴黎逝世．蒙日所处的时代，人们在设计工程时由于计算失误而导致工程不符合要求，只好把已建成的工事拆毁重建，而蒙日的画法几何方法就轻而易举解决了这类问题，不止如此，他的“画法几何学”还推动了空间解析几何学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础，引导了纯粹几何学在19世纪的复兴．此外，他在物理学、化学、冶金学、机械学方面也取得了卓越的成就．蒙日是19世纪著名的几何学家，他创立了画法几何学，推动了空间解析几何学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础，创立了偏微分方程的特征理论，引导了纯粹几何学在19世纪的复兴．此外，他在物理学、化学、冶金学、机械学方面也取得了卓越的成就．他的《大炮制造工艺》在机械制造界影响颇大．主要著作有：《曲面的解析式》（1755）、《静力学引论》（1788）、《画法几何学》（1798）、《代数在几何学中的应用》（1802）、《分析在几何学中的应用》（1805）等． 2．蒙日圆定义及其证明 先来看一道高考题：例1．（2014年高考广东理20）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点为)0，（I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）若动点()00,P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．【解析】（I ）可知c =222,3,954c e a b a c a ===∴==-=-=，故椭圆C 的标准方程为22194x y +=．（II ）设两切线为12,l l ，①当1l x ⊥轴或1l //x 轴时，对应2l //x 轴或2l x ⊥轴，可知()3,2P ±或()3,2P ±． ①当1l 与x 轴不垂直且不平行时，03x ≠±，设1l 的斜率为k ，则20,k l ≠的斜率为1k-，1l 的方程为()00y y k x x -=-，联立22194x y +=，得()()()22200009418940kx k y kx x y kx ⎡⎤++-+--=⎣⎦，①直线与椭圆相切，①Δ0=，得()()()()()()22222200000018364940,44940k y kx y kx k y kx k ⎡⎤----+=∴--+=⎣⎦，整理得 ()22200009240xk x y k y --+-=（*），k ∴是方程（*）的一个根，同理1k-是方程（*）的另一个根，其中03x ≠±，∴点P 的轨迹方程为()22133x y x +=≠±，又()3,2P ±或()3,2P ±满足上式．综上知：点P 的轨迹方程为2213x y +=．【点评】本题以椭圆为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系以及动点的轨迹方程，将直线与二次曲线的公共点的个数利用∆的符号来进行转化，计算量较大，从中也涉及了方程思想的灵活应用．例1中的圆是蒙日的画法几何学中有一个有趣的结论（可以形象的称为筷子夹定理）： 【定理1】在椭圆上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆长半轴短半轴平方和的几何平方根，这个圆叫蒙日圆，如图1．如图1，设椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，则椭圆两条互相垂直的切线,PA PB 交点P 的轨迹是蒙日圆：2222x y a b +=+．证明：证法一（解析法+韦达定理）：①当题设中的两条互相垂直的切线,PA PB 斜率均存在且不为0时，可设()00,P x y （0x a ≠±且0y b ≠±），过P 的椭圆的切线方程为()()000y y k x x k -=-≠，由()002222,1,y y k x x x y a b ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩得()()()222222222000020a kb x ka kx y x a kx y a b +--+--=，由其判别式值为0，得()()222222200000200x a k x y k y b x a --+-=-≠，,PA PB k k 是这个关于k 的一元二次方程的两个根，220220PA PBy b k k x a -∴⋅=-， 由已知222222000220,1,1,,PA PB y b PA PB k k x y a b x a-⊥∴⋅=-∴=-∴+=+∴-点P 的坐标满足方程2222x y a b +=+．①当题设中的两条互相垂直的切线,PA PB 有斜率不存在或斜率为0时，可得点P 的坐标为(),a b ±或(),a b ±，此时点P 也在圆2222x y a b +=+上．综上所述：椭圆()222210x y a b a b+=>>两条互相垂直的切线,PA PB 交点P 的轨迹是蒙日圆：2222x y a b +=+．证法二（椭圆的切线方程+切点弦方程+点在公共曲线上）：①当题设中的两条互相垂直的切线,PA PB 斜率均存在且不为0时，设()00,P x y （0x a ≠±且0y b ≠±），切点()()()11221122,,,0A x y B x y x y x y ≠，则切线11222222:1,:1x x y y x x y yPA PB a b a b+=+=．()00,P x y 在切线,PA PB 上，1010202022221,1x x y y x x y ya b a b∴+=+=，由两点确定一条直线得直线AB 的方程为00221x x y ya b+=． ()()224412121212224412121212,,PA PBOA OB PA PB OA OB b x b x b x x y y y y b k k k k k k k k a y a y a y y x x x x a ⎛⎫⎛⎫=--==⋅=∴= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()(),1,2i i x y i =即在圆的方程为22221x y a b+=，又在直线AB ：00221x x y y a b +=上，222002222i i x y x x y y a b a b ⎛⎫∴+=+ ⎪⎝⎭，可得()()242222422000020i i i i y y a y b a b x y b x a x x ⎛⎫⎛⎫-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()()()()4224222240001222442242212000,OA OBOA OB b x a b x a y b y y b k k k k x x x a a a y b a y b ---∴===∴⋅=---， 又()()22404220PA PB OA OB PA PB y b b k k k k k k a x a -=∴=-，由已知222222000220,1,1,,PA PB y b PA PB k k x y a b x a-⊥∴⋅=-∴=-∴+=+∴-点P 的坐标满足方程2222x y a b +=+．①当题设中的两条互相垂直的切线,PA PB 有斜率不存在或斜率为0时，可得点P 的坐标为(),a b ±或(),a b ±，此时点P 也在圆2222x y a b +=+上．综上所述：椭圆()222210x y a b a b+=>>两条互相垂直的切线,PA PB 交点P 的轨迹是蒙日圆：2222x y a b +=+．先给出几个引理，然后给出证法三——蒙日圆的几何证法．【引理1】（椭圆的光学性质）从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上（如图2所示）．证明：如图3所示，设P 为椭圆Γ（其左、右焦点分别是12,F F ）上任意给定的点，过点P 作12F PF ∠的外角平分线所在的直线()34l ∠=∠．先证明l 和Γ相切于点P，只要证明l 上异于P 的点P '都在椭圆Γ的外部，即证1212P F P F PF PF +>+''．在直线1PF 上选取点F '，使2PF PF '=，得2ΔΔP PF P PF ≅'''①2ΔP PF '，①2P F P F ='''，可得1211112P F P F P F P F F F F P PF PF PF +=+>=+'''''+'='．再过点P 作12F PF ∠的平分线(12)PA ∠=∠，易得PA l ⊥，入射角等于反射角，这就证得了引理1成立． 【引理2】过椭圆Γ（其中心是点O ，长半轴长是a ）的任一焦点F 作椭圆Γ的任意切线l 的垂线，设垂足是H ，则OH a =．证明：如图4所示，设点,F F '分别是椭圆Γ的左、右焦点，A 是椭圆Γ的切线l 上的切点，又设直线,FH F A '交于点B ．由引理1，得FAH lAF BAH ∠=∠=∠'（即反射角与入射角的余角相等），进而可得ΔFAH ①BAH ∆，①点H 是FB 的中点，得OH 是ΔBFF '的中位线．又AF AB =，①()()1122OH F A AB F A AF a =+=+'='． 【引理3】平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和． 证明：这里略去过程（可用余弦、可作垂线、可用坐标）．【引理4】设点P 是矩形ABCD 所在平面上一点，则2222PA PC PB PD +=+． 证明：如图5所示，设矩形ABCD 的中心是点O ．由引理3，可得()()2222222222PA PC OA OP OB OP PB PD +=+=+=+，即欲证成立．把引理4推广到空间，得到的结论就是：底面是矩形的四棱锥相对侧棱长的平方和相等． 下面给出定理1的证法三．证法三（几何法）：不妨设0,0a b >>．当a b =时，易证成立．下面只证明a b >的情形． 如图6所示．设椭圆的中心是点O ，左、右焦点分别是12,F F ，焦距是2c ，过动点P 的两条切线分别是,PM PN ．连结OP ，作,OG PM OH PN ⊥⊥，垂足分别是,G H ．过点1F 作1F D PM ⊥，垂足为D ，由引理2得OD a =．再作1F K OG ⊥于K ．记1OF K θ∠=，得1cos DG F K c θ==．由Rt ΔODG ，得222222cos OG OD DG a c θ=-=-．又作22,F E PN F L OH ⊥⊥，垂足分别为,E L ．在Rt OEH ∆中，同理可得：222222sin OH OE HE a c θ=-=-．（1）若PM PN ⊥，得矩形OGPH ，①()()22222222222cos sin OP OG OH a c a c a b θθ=+=-+-=+（2）若222OP a b =+，得()()222222222cos sin OP a c a c OG OH θθ=-+-=+，由OG PM ⊥，得222OP OG GP =+，①GP OH =．同理，有OG HP =，①四边形OGPH 是平行四边形，进而得四边形OGPH 是矩形，①PM PN ⊥．由（1）（2）得点P 的轨迹方程是2222x y a b +=+，以上过程中的,a b ，分别是椭圆长半轴、短半轴长． 证法四（高等几何法）：蒙日圆的另一种叙述：中心为O 的椭圆外切矩形ABCD 的外切圆圆心也为O ，作椭圆的两条平行切线分别交圆O 于,,,A D B C ''''，则蒙日圆性质可以表示为A B ''及C D ''与椭圆相切． 证明：,A D B C ''''与椭圆相切且平行，由对称性知四边形A B C D ''''也为矩形．设,,,M N K Q 均为矩形ABCD 与A B C D ''''的边边交点（如图7），B A DA P ''=．逆推：要证A B ''与椭圆相切⇐六边形NDQMKB '的布列安桑定理B QKDMN S '⇐=⇐一对红色三角形笛沙格定理B D '⇐//KQ （KM //DN ，MQ //B N '⇐一对绿色三角形笛沙格逆定理（KQ //BD '//B D '）⇐BB '//PM //D D '123⇐∠=∠=∠（成立）．3．蒙日圆的几何性质：【定理2】过圆2222x y a b +=+上的动点P 作椭圆()222210x y a b a b+=>>的两条切线,PA PB ，则PA PB ⊥．证明：设P 点坐标()00,x y ，由()2222001x y a b y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩，得()()()222222222000020a kb x ka kx y x a kx y a b +--+--=，由其判别式的值为0，得()()222222200000200x a k x y k y b x a --+-=-≠，PA k ，PB k 是这个关于k 的一元二次方程的两个根，220220PA PBy b k k x a -∴⋅=-，222200x y a b +=+，2202201PA PBy b k k x a -⋅==--，PA PB ⊥． 【定理3】设P 为蒙日圆O ：2222x y a b +=+上任一点，过点P 作椭圆22221x y a b +=的两条切线，交椭圆于点,,A B O 为原点，则,OP AB 的斜率乘积为定值22OP ABb k k a⋅=-．【定理4】设P 为蒙日圆O ：2222x y a b +=+上任一点，过点P 作椭圆22221x y a b+=的两条切线，切点分别为,,A B O 为原点，则,OA PA 的斜率乘积为定值22PA OA b k k a ⋅=-，且,OB PB 的斜率乘积为定值22OB PBb k k a⋅=-（垂径定理的推广）．【定理5】过圆2222x y a b +=+上的动点P 作椭圆()222210x y a b a b+=>>的两条切线，O 为原点，则PO 平分椭圆的切点弦AB ．证明：P 点坐标()00,x y ，直线OP 斜率00OP y k x =，由切点弦公式得到AB 方程00221x x y ya b+=，2020ABb x k a y =-，22OP AB b k k a⋅=-，由点差法可知，OP 平分AB ，如图M 是中点．【定理6】设P 为蒙日圆:O 2222x y a b +=+上任一点，过点P 作椭圆()222210x y a b a b+=>>的两条切线，切点分别为,,A B O 为原点，延长PA ，PB 交蒙日圆O 于两点C ，D ，则CD AB ∥．证明：由定理5可知，M 为AB 中点．由蒙日圆性质可知，90APB ∠=︒，①MA MB MP ==，同理OP OC OD ==，因此有PAM APM CPO PCO ∠=∠=∠=∠，①AB CD ∥． 由定理3和定理6可得如下的定理7：【定理7】设P 为蒙日圆:O 2222x y a b +=+上任一点，过点P 作椭圆()222210x y a b a b+=>>的两条切线，交蒙日圆O 于两点C ，D ，则,OP CD 的斜率乘积为定值22OP CDb k k a⋅=-． 【定理8】设P 为蒙日圆2222x y a b +=+上任一点，过点P 作椭圆()222210x y a b a b+=>>的两条切线，切点分别为,,A B O 为原点，则,OA OB 的斜率乘积为定值：44OP CDb k k a⋅=-．【定理9】设P 为蒙日圆2222x y a b +=+上任一点，过点P 作椭圆()222210x y a b a b+=>>的两条切线，切点分别为,,A B O 为原点，则AOB S ∆的最大值为2ab ，AOB S ∆的最小值为2222a b a b+． 【定理10】设P 为蒙日圆2222x y a b +=+上任一点，过点P 作椭圆()222210x y a b a b+=>>的两条切线，切点分别为,A B ，则APB S ∆的最大值为422,APB a S a b ∆+的最小值为422ba b+． 【定理11】设P 为蒙日圆2222x y a b +=+上任一点，过点P 作椭圆()222210x y a b a b+=>>的两条切线，切点分别为,A B ，则椭圆切点弦AB 的中点E 的轨迹方程是()22222222211x y b x a y ab ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭．【定理12】设P 为蒙日圆O ：2222x y a b +=+上任一点，过点P 作椭圆22221x y a b+=的两条切线，交椭圆于点,,A B O 为原点，则,O P 到AB 的距离分别为12,d d ，则12,d d 乘积为定值．证明：如图所示，设)Pθθ，则直线AB的方程为220xb ya a b θθ+-=， 则原点O 到直线AB 的距离为221d =，则点P 到直线AB 的距离为42422d==221222a b d d a b∴=+（定值）．4．蒙日圆的应用例2．（2022吉林·抚松一中高二月考）蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线 的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C ：221(0)2x y a a a+=>+ （a>0）的蒙日圆224x y +=，a=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】A【解析】①椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，找两个特殊点分别为(，)，则两条切线分别是x =y =互垂直，且两条直线的交点为P ，而P 在蒙日圆上，①22+＝4，解得a ＝1，故选A ．【点评】由题意可得椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，设特殊值法，求出两条切线的交点坐标，代入蒙日圆的方程可得a 的值．例3．（2022安徽舒城中学三模）若椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心是椭圆中心，则称这个圆为蒙日圆．若椭圆()2222:144x y C a a +=>的蒙日圆的半径为C 的离心率为___________．【分析】由蒙日圆定义可知(),2P a 在蒙日圆上，由此可根据半径构造方程求得2a ，由此可求得椭圆离心率．【解析】过(),2P a 可作椭圆C 的两条互相垂直的切线x a =和2y =，(),2P a ∴在蒙日圆上，28a =，∴椭圆C 的离心率c e a ===． 【点评】思路点睛：求解圆锥曲线离心率或离心率取值范围问题的基本思路有两种：（1）根据已知条件，求解得到,a c 的值或取值范围，由ce a=求得结果； （2）根据已知的等量关系或不等关系，构造关于,a c 的齐次方程或齐次不等式，配凑出离心率e ，从而得到结果．例4．过椭圆22194x y +=上一点M 作圆222x y +=的两条切线，切点为,A B ，过,A B 的直线与x 轴和y 轴分别交于,P Q ，则POQ △面积的最小值为__________． 【答案】23【分析】设出M 点坐标，根据相切关系分析得到AB 的直线方程，由此表示出,P Q 的坐标并表示出POQ △的面积，再根据M 在椭圆上结合基本不等式求解出面积的最小值． 【解析】设()00,,M x y A 点坐标为()11,x y ，B 点坐标为()22,x y ，①222222,MA OA OM MB OB OM +=+=，①化简可得1010202022x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩，①12,x x 是方程002x x y y +=的两个解，①直线AB 的方程为002x x y y +=，①0022,0,0,P Q x y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且2200194x y +=， ①POQ △的面积00002222x y S x y -⋅-==，且2200001943x y x y =+≥=，①003x y ≤，①00223x y ≥，取等号时0032x y =，即00x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩0022x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩POQ △面积的最小值为23．【点评】结论点睛：和圆的切线有关的结论如下：（1）过圆222x y r +=上一点()00,P x y 作圆的切线，则切线方程为200x x y y r +=；（2）过圆222x y r +=外一点()00,P x y 作圆的切线，切点为,A B ，则直线AB 的方程为200x x y y r +=．例5．已知椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，过椭圆外一点P 可以做出两条切线（如图一），我们形象的称为“筷子夹汤圆”．若P 点在变化过程中，保持两根“筷子”垂直不变，则P 到原点的距离始终为一个定值，即P 的运动轨迹为一个以原点为圆心，半径为定值的一个圆，我们把该圆称为椭圆的“准圆”，试写出该“准圆”的方程是______________．若矩形ABCD 的四条边都与该椭圆相切（如图二），则矩形ABCD 的面积最大值为___________________．【答案】2222x y a b +=+ ()222a b +【分析】根据特殊位置P 点的坐标，求得“准圆”的半径，由此求得准圆方程．根据圆内接矩形的几何性质，求得矩形ABCD 面积的最大值．【解析】由于“准圆”上的点P 到原点的距离始终为一个定值，不妨取(),P a b ，如下图所示．(),P a b ①“准圆” “准圆”的方程为2222x y a b +=+．由于四边形ABCD 是“准圆”的内接矩形，对角线AC 、BD 是“准圆”的直径，①OA OB OC OD ===，①当AC BD ⊥时，矩形ABCD 的面积最大，最大值为()221422OA OB a b ⨯⨯⨯=+．【点评】本小题主要考查新定义圆的概念的理解和运用，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题．例6．（2022江苏·南京十三中高三开学考试）定义椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的“蒙日圆”的方程为2222x y a b +=+，已知椭圆C 的长轴长为4，离心率为12e =．（1）求椭圆C 的标准方程和它的“蒙日圆”E 的方程；（2）过“蒙日圆”E 上的任意一点M 作椭圆C 的一条切线MA ，A 为切点，延长MA 与“蒙日圆”点E 交于点D ，O 为坐标原点，若直线OM ，OD 的斜率存在，且分别设为1k ，2k ，证明：12k k ⋅为定值．【答案】（1）C ：22143x y +=；E ：227x y +=；（2）证明见解析．【分析】（1）由题意可得2,1a c ==，再由222b a c =-可求得23b =，进而可求出椭圆C 的标准方程和它的“蒙日圆”E 的方程；（2）当切线MA 的斜率存在且不为零时，设切线MA 的方程为y kx m =+，然后将直线方程和椭圆方程联立，消去y ，再由判别式等于零，可得2234m k =+，再将直线方程和“蒙日圆”E 的方程联立，消去y ，再利用根与系数的关系可得12221mk x x k -+=+，212271m x x k -=+，然后求12k k 的值，当切线MA 的斜率不存在且为零时，再求解12k k 的值即可【解析】（1）解：由题意知24a =，12c e a ==，1c ∴=，23b ∴= ∴椭圆的方程22143x y +=，∴“蒙日圆”E 的方程为22437x y +=+=，即227x y += （2）证明：当切线MA 的斜率存在且不为零时，设切线MA 的方程为y kx m =+，则由22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()2223484120k x mkx m +++-=，()()2222644344120m k k m ∴∆=-+-=，2234m k ∴=+， 由227y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，消去y 得()2221270k x mkx m +++-=，()()2222244174120m k k m k ∴∆=-+-=+>，设()11,M x y ，()22,D x y ，则12221mk x x k -+=+，212271m x x k -=+，()()1212121212kx m kx m y y k k x x x x ++∴==()22121212k x x km x x m x x +++=222222222272711771m mk k km m m k k k m m k --++-++==--+，2234m k =+，222212227347373474m k k k k k m k -+-∴===--+-， 当切线MA 的斜率不存在且为零时，1234k k =-成立，12k k ∴为定值．【点评】此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置的关系，解题的关键设切线MA 的方程为y kx m =+，先与椭圆方程联立，消去y ，由判别式为0，得2234m k =+，再和“蒙日圆”E 的方程联立，消去y ，再利用根与系数关系和斜率公式化简可得结果． 例7．法国数学家加斯帕尔·蒙日是19世纪著名的几何学家，他创立了画法几何学，推动了空间解析几何学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础．根据他的研究成果，我们定义：给定椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，则称圆心在原点O ，的圆为“椭圆C 的伴随圆”，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为F ，其短轴的一个端点到焦点F（1）求椭圆C 和其“伴随圆”的方程；（2）若点A 是椭圆C 的“伴随圆”与x 轴正半轴的交点，,B D 是椭圆C 上的两相异点，且BD x ⊥轴，求AB AD ⋅的取值范围；（3）在椭圆C 的“伴随圆”上任取一点P ，过点P 作直线1l ､2l ，使得1l ､2l 与椭圆C 都只有一个交点，试判断1l ､2l 是否垂直?并说明理由．【答案】（1）C ：2213x y +=，“伴随圆”方程为224x y +=；（2）[0,7+；（3）垂直，理由见解析．【分析】（1）首先根据题意得到c =a ==1b =，从而得到椭圆C 和其“伴随圆”的方程．（2）首先设(),B m n ，(),D m n -，(m <，得到24332AB AD m ⎛⎫⋅=- ⎪⎝⎭，从而得到AB AD ⋅的取值范围是0,7⎡+⎣．（3）首先设(),P s t ，得到224s t +=，当s =1t =±，易得12l l ⊥，当s ≠设l 的方程为()y t k x s -=-，代入椭圆C 方程可得222(31)6()3()30k x k t ks x t ks ++-+--=，根据Δ0=得到222(3)210s k stk t -++-=，从而得到121k k =-，即可得到答案．【解析】（1）由题意知c =a ==1b =， 故椭圆C 的方程为2213x y +=，其“伴随圆”方程为224x y +=．（2）由题意，可设(),B m n ，(),D m n -，(m <，则有2213m n +=，又A 点坐标为()2,0，故()2,AB m n =-，()2,AD m n =--，故()2222224432441433332m AB AD m n m m m m m ⎛⎫⎛⎫⋅=--=-+--=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又m <<2430,732m ⎛⎫⎡-∈+ ⎪⎣⎝⎭，①AB AD ⋅的取值范围是0,7⎡+⎣． （3）设(,)P s t ，则224s t +=．当s =1t =±，则12,l l 其中之一斜率不存在，另一斜率为0，显然有12l l ⊥．当s ≠(,)P s t 且与椭圆有一个公共点的直线l 的斜率为k ， 则l 的方程为()y t k x s -=-，代入椭圆C 方程可得223[()]3x kx t ks ++-=，即222(31)6()3()30k x k t ks x t ks ++-+--=，由222236()4(31)[3()3]0k t ks k t ks ∆=--+--=，可得222(3)210s k stk t -++-=，其中230s -≠，设12,l l 的斜率分别为12,k k ，则12,k k 是上述方程的两个根，故22122211(4)133t s k k s s---===---，即12l l ⊥．综上可知，对于椭圆C 上的任意点P ，都有12l l ⊥．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，解决本题的关键为分类讨论，设出直线方程()y t k x s -=-，根据直线与椭圆的位置关系得到相应的关系式，从而证明直线垂直． 【针对训练】1．已知双曲线()222114x y a a -=＞上存在一点M ，过点M 向圆221x y +=做两条切线MA 、MB ，若0MA MB ⋅=，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(B ．(C ．)+∞ D ．)+∞2．已知椭圆C ：2212x y +=，M 是圆223x y +=上的任意一点，MA ，MB 分别与椭圆切于A ，B ．求AOB 面积的取值范围．3．设椭圆22154x y +=的两条互相垂直的切线的交点轨迹为C ，曲线C 的两条切线PA 、PB 交于点P ，且与C 分别切于A 、B 两点，求PA PB ⋅的最小值．4．给定椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，称圆心在原点OC 的“准圆”．已知椭圆C 的一个焦点为)F ，其短轴的一个端点到点F(1)求椭圆C 及其“准圆”的方程；(2)若点A 是椭圆C 的“准圆”与x 轴正半轴的交点，B ，D 是椭圆C 上的相异两点，且BD x ⊥轴，求AB AD ⋅的取值范围；(3)在椭圆C 的“准圆”上任取一点(),P s t ，过点P 作两条直线1l ，2l ，使得1l ，2l 与椭圆C 都只有一个公共点，且1l ，2l 分别与椭圆的“准圆”交于M ，N 两点．证明：直线MN 过原点O ．5．已知A 是圆224x y +=上的一个动点，过点A 作两条直线12,l l ，它们与椭圆2213x y +=都只有一个公共点，且分别交圆于点,M N .（①）若()2,0A -，求直线12,l l 的方程；（①）①求证：对于圆上的任意点A ，都有12l l ⊥成立；①求AMN∆面积的取值范围.6．在平面直角坐标系xOy中，已知R（x0，y0）是椭圆C：2212412x y+=（a＞b＞0）上一点，从原点O向圆R：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2＝8作两条切线，分别交P、Q两点．（1）若R点在第一象限，且直线OP①OQ，求圆R的方程；（2）若直线OP、OQ的斜率存在，并记为k1、k2，求k1•k2；（3）试问OP2+OQ2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．参考答案：1．B【解析】利用已知条件，推出a 的关系式，即可求解结果.【详解】双曲线()222114x y a a -=＞上存在一点M ，过点M 向圆221x y +=做两条切线MA 、MB若0MA MB ⋅=，可知MAOB 是正方形，MO =，所以(a ∈. 故选：B.【点睛】本题考查双曲线的简单性质，圆的切线性质的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题. 2．23⎡⎢⎣⎦.【分析】设00(,)M x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，得到,,MA MB AB 的直线方程，与椭圆C 的方程联立，解得弦长AB 的值，利用点到直线的距离公式求解点O 到直线AB的距离，令[]1,2t =，即可求解AOB 面积的取值范围，【详解】解：设00(,)M x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，因为MA 与椭圆切于A ，故221112x y +=，对椭圆求导得2x y y '=-，则切线MA 的斜率为112x k y =-，故切线MA 的方程为：1111()2x y y x x y -=--，整理得1112x x y y +=， 同理，切线MB 的方程为2212x xy y +=， 又点00(,)M x y 为切线MA 与切线MB 的交点，且22003x y +=，故01010*******x x y y x x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，从而直线AB 的方程为：0012x xy y +=， 将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，得()22200034440y x x x y +--+=．①0122043x x x y +=+，21220443y x x y -=+，因此，)2213yABy+==+，又原点O到直线AB的距离d==，①122OABS AB d=⋅=△，令[]1,2t=，得到21222223OABtSt tt⎡==⋅∈⎢+⎣⎦+△．故AOB面积的取值范围为2,32⎡⎢⎣⎦.3．()93.【分析】先根据条件求出C的方程，作图，分析图中的几何关系，设定参数即可求解.【详解】设椭圆的两切线为1l，2l．①当1l x⊥轴或1//l x轴时，对应2//l x轴或2l x⊥轴，可知切点为；①当1l与x轴不垂直且不平行时，x≠1l的斜率为k，则0k≠，2l的斜率为1k-，并设12,l l的交点为00,x y，则1l的方程为()00y y k x x-=-，联立22154x y+=，得：()()()2220000054105200k x y kx kx y k x++-+--=，①直线与椭圆相切，①Δ0=，得()()()2222000055440y kx k k y kx⎡⎤--+--=⎣⎦，①()22200005240x k x y k y--+-=，①k 是方程()22200005240x k x y k y --+-=的一个根，同理1k-是方程()22200005240x k x y k y --+-=的另一个根，①2020415y k k x -⎛⎫⋅-= ⎪-⎝⎭得22009x y +=，其中x ≠①交点的轨迹方程为：(229x y x +=≠，①()2±也满足上式；综上知：轨迹C 方程为229x y +=；设PA PB x == ，APB θ∠=，则在AOB 与APB △中应用余弦定理知， 222222cos 2cos AB OA OB OA OB AOB PA PB PA PB APB =+-⋅⋅∠=+-⋅⋅∠，即()222233233cos 1802cos x x x x θθ+-⋅⋅︒-=+-⋅⋅ ，即()291cos 1cos x θθ+=-，()91cos cos cos cos 1cos PA PB PA PB APB x x θθθθ+⋅=⋅∠=⋅=-，令(]1cos 0,2t θ=-∈，则cos 1t θ=-，()()()2932921293t t t t PA PBt ttt-+--⎛⎫⋅===⋅+- ⎪⎝⎭()9393⎛⎫≥⋅= ⎪ ⎪⎝⎭， 当且仅当2t t=，即t =时，PAPB ⋅取得最小()93； 综上，PA PB ⋅的最小为()93.4．(1)椭圆C的方程为2213x y +=，其“准圆”为224x y +=(2)0,7⎡+⎣(3)证明见解析【分析】（1）根据条件即可求出“准圆”方程； （2）设B ，D 的坐标，根据数量积的定义计算即可；（3）根据切线12,l l 的斜率是否存在分类讨论，再利用判别式和韦达定理即可求解. (1)解：由题意知c =a ==1b =， ①椭圆C 的方程为2213x y +=，其“准圆”为224x y +=；(2)由题意，设(),B m n ，(),D m n -，m <<2213m n +=， 又A 点坐标为()2,0，故()2,AB m n =-，()2,AD m n =--，①()222224413m AB AD m n m m ⎛⎫⋅=--=-+-- ⎪⎝⎭2244343332m m m ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，又m <<①2430,732m ⎛⎫⎡-∈+ ⎪⎣⎝⎭，①AB AD ⋅的取值范围是0,7⎡+⎣； (3)设(),P s t ，则224s t +=，当s =1t =±，则1l ，2l 其中之一斜率不存在，另一条斜率为0，①12l l ⊥； 当3t时，设过(),P s t 且与有一个公共点的直线l 的斜率为k ，则l 的方程为：()y t k x s -=-，代入椭圆C 的方程，得：()2233x k x s t ⎡⎤+-+=⎣⎦，即()()()222316330k x k t ks x t ks -+--++= ， 由()()()222236431330k t ks k t ks ⎡⎤∆=--+--=⎣⎦ ， 得：()2223210s k tsk t -++-= ，将224s t +=代入上式得()2223230s kstk s -++-= ，其中230s -≠ ，设1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，则1k ，2k 分别是上述方程的两个根，①121k k =-， ①12l l ⊥．综上所述，12l l ⊥，①MN 是准圆的直径，①直线MN 过原点O ；综上，椭圆方程为2213x y +=，“准圆”为224x y +=，AB AD ⋅的取值范围是0,7⎡+⎣.5．（①）2,2y x y x =--=+;（①）①证明见解析；①4].【分析】（①）设出直线方程，代入椭圆方程,利用直线与椭圆2213x y +=都只有一个公共点,求出直线的斜率,即可求直线12,l l 的方程；（①）①分类讨论,斜率不存在时成立，斜率存在时，利用判别式等于零可得关于k 的一元二次方程，由韦达定理可得121,k k =-成立，即可证得结论；①记原点到直线12,l l 的距离分别为12,d d ，可得22124d d +=，设AMN ∆面积为S ，可得()2222212144216S d d d ==--+，利用二次函数的性质可求其取值范围.【详解】（①）设直线的方程为()2y k x =+, 代入椭圆2213x y +=，消去y ，可得()222213121230k x k x k +++-=，由0∆=,可得210k -=，设12,l l 的斜率分别为1212,,1,1k k k k ∴=-=， ∴直线12,l l 的方程分别为2,2y x y x =--=+；（①）①证明:当直线12,l l 的斜率有一条不存在时,不妨设1l 无斜率1l 与椭圆只有一个公共点,所以其方程为x =当1l 的方程为x =1l 与圆的交点坐标为)1±，2l ∴的方程为1y =(或1y =-，12l l ⊥成立，同理可证，当1l 的方程为x =; 当直线12,l l 的斜率都存在时,设点(),A m n 且224m n +=，设方程为()y k x m n =-+,代入椭圆方程，可得()22136()3()230k x k n km x n km ++-+--=，由0∆=化简整理得()2223210m k mnk n -++-=， 224m n +=，()2223230m k mnk m ∴-++-=，设12,l l 的斜率分别为12,k k ， 12121,k k l l ∴=-∴⊥成立，综上,对于圆上的任意点A ，都有12l l ⊥成立； ①记原点到直线12,l l 的距离分别为12,d d ， 因为MA NA ⊥，所以MN 是圆的直径，所以122,2MA d NA d ==，222124,d d OA +==AMN ∆面积为12122S MA NA d d =⨯=，()()2222222121114444216S d d d d d ==-=--+， 221[1,3],[12,16]d S ∈∴∈，4]S ∴∈.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系,以及求范围问题,综合性强,难度大. 解决解析几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将解析几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解. 6．（1）（x ﹣2+（y ﹣2＝8；（2）12-；（3）是定值，理由见解析.【解析】（1）根据直线OP ，OQ 互相垂直，且和圆R 相切，得到|OR |r ＝4，即x 02+y 02＝16，再根据点R 在椭圆C 上，即220012412x y +=求解.（2）根据直线OP ：y ＝k 1x 和OQ ：y ＝k 2x 都与圆R 相切，==两边平方可得k 1，k 2为（x 02﹣8）k 2﹣2x 0y 0k +（y 02﹣8）＝0的两根求解.（3）当直线OP ，OQ 不落在坐标轴上时，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），由（2）知2k 1k 2+1＝0，即y 12y 22＝14x 12x 22，再根据P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）在椭圆C 上，得到x 12+x 22进而得到y 12+y 22由两点间距离公式求解.【详解】（1）由圆R 的方程知圆R 的半径r ＝因为直线OP ，OQ 互相垂直，且和圆R 相切， 所以|OR |＝4，即x 02+y 02＝16① 又点R 在椭圆C 上，所以220012412x y +=① 联立①①，解得x 0＝y 0＝所以，所求圆R 的方程为（x ﹣）2+（y ﹣2＝8； （2）因为直线OP ：y ＝k 1x 和OQ ：y ＝k 2x 都与圆R 相切， 所以==两边平方可得k 1，k 2为（x 02﹣8）k 2﹣2x 0y 0k +（y 02﹣8）＝0的两根，可得k 1•k 2＝202088y x --，因为点R （x 0，y 0）在椭圆C 上， 所以220012412x y +=，即y 02＝12﹣12x 02， 所以k 1k 2＝20201428x x --＝﹣12； （3）①当直线OP ，OQ 不落在坐标轴上时， 设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）， 由（2）知2k 1k 2+1＝0， 所以12122y y x x +1＝0，故y 12y 22＝14x 12x 22， 因为P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）在椭圆C 上， 所以221112412x y +=，222212412x y +=， 即y 12＝12﹣12x 12，y 22＝12﹣12x 22， 所以（12﹣12x 12）（12﹣12x 22）＝14x 12x 22， 整理得x 12+x 22＝24，所以y12+y22＝（12﹣12x12）+（12﹣12x22）＝12，所以OP2+OQ2＝x12+y12+x22+y22＝（x12+x22）+（y12+y22）＝36．①当直线OP，OQ落在坐标轴上时，显然有OP2+OQ2＝36．综上可得，OP2+OQ2为定值36．【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，点与椭圆的位置关系以及定值问题，还考查了运算求解的能力，属于较难题.。
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蒙日圆及其证明高考题 (2014年高考广东卷文科、理科第20题)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为，离心率为3． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点00(,)P x y 为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．答案：(1)22194x y +=；(2)2213x y +=．定理 1 曲线1:2222=+Γb y a x 的两条互相垂直的切线的交点P 的轨迹是圆2222b a y x +=+.定理1的结论中的圆就是蒙日圆. 先给出定理1的两种解析几何证法：定理1的证法1 当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P 的坐标是),(b a ±，或),(b a -±.当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P 的坐标是,)(,(000a x y x ±≠且)0b y ±≠，所以可设曲线Γ的过点P 的切线方程是)0)((00≠-=-k x x k y y .由⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+)(1002222x x k y y b y a x ，得 0)()(2)(2220020022222=--+--+b a y kx a x y kx ka x b k a由其判别式的值为0，得)0(02)(22022*******≠-=++--a x b y k y x k a x因为PB PA k k ,是这个关于k 的一元二次方程的两个根，所以220220a x b y k k PBPA -+=⋅ 由此，得2220201b a y x k k PB PA +=+⇔-=⋅进而可得欲证成立.定理1的证法2 当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P 的坐标是),(b a ±，或),(b a -±.当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P 的坐标是,)(,(000a x y x ±≠且)0b y ±≠，所以可设两个切点分别是)0)(,(),,(21212211≠y y x x y x B y x A .得直线1:2020=+b y y a x x AB ，切线1:,1:22222121=+=+byy a x x PB b y y a x x PA .所以： 2121221121421422221212,x x y y x y x y k k y y a x x b y a x b y a x b k k OB OA PBPA =⋅==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= PBPA OBOA k k a b k k 44= 因为点)2,1)(,(=i y x i i 既在曲线1:2222=+Γb y a x 上又在直线1:2020=+by y a x x AB 上，所以220202222⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+b y y a x x b y a x i i 0)(2)(2204002222204=-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x b x y y x b a xy b y a iiii 所以 PBPA OBOA k k a b b y a a x b x x y y k k 44220422042121)()(=--==220220ax b y k k PBPA --= 由此，可得222020b a y x PB PA +=+⇔⊥进而可得欲证成立.再给出该定理的两种平面几何证法，但须先给出四个引理.引理1 (椭圆的光学性质，见普通高中课程标准实验教科书《数学·选修2-1·A 版》(人民教育出版社，2007年第2版，2014年第1次印刷)第76页)从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上(如图1所示).图1证明 如图2所示，设P 为椭圆Γ(其左、右焦点分别是21,F F )上任意给定的点，过点P 作21PF F ∠的外角平分线所在的直线)43(∠=∠l .先证明l 和Γ相切于点P ，只要证明l上异于P 的点P '都在椭圆Γ的外部，即证2121PF PF F P F P +>'+'：图2在直线1PF 上选取点F '，使2PF F P ='，得F P P ''∆≌2PF P '∆，所以2F P F P '=''，还得2111121PF PF F P P F F F F P F P F P F P +='+='>''+'='+'再过点P 作21PF F ∠的平分线(12)PA ∠=∠，易得l PA ⊥，入射角等于反射角，这就证得了引理1成立.引理2 过椭圆Γ(其中心是点O ，长半轴长是a )的任一焦点F 作椭圆Γ的任意切线l 的垂线，设垂足是H ，则a OH =.证明 如图3所示，设点F F ,'分别是椭圆Γ的左、右焦点，A 是椭圆Γ的切线l 上的切点，又设直线A F FH ',交于点B .图3由引理1，得BAH F lA FAH ∠='∠=∠(即反射角与入射角的余角相等)，进而可得FAH ∆≌BAH ∆，所以点H 是FB 的中点，得OH 是F BF '∆的中位线.又AB AF =，所以a AF A F AB A F OH =+'=+'=)(21)(21.引理3 平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和. 证明 由余弦定理可证(这里略去过程).引理4 设点P 是矩形ABCD 所在平面上一点，则2222PD PB PC PA +=+. 证明 如图4所示，设矩形ABCD 的中心是点O ．图4由引理3，可得22222222)(2)(2PD PB OP OB OP OA PC PA +=+=+=+即欲证成立．注 把引理4推广到空间，得到的结论就是：底面是矩形的四棱锥相对侧棱长的平方和相等．定理1的证法3 可不妨设0,0>>b a .当b a =时，易证成立.下面只证明b a >的情形. 如图5所示.设椭圆的中心是点O ，左、右焦点分别是21,F F ，焦距是c 2，过动点P 的两条切线分别是PN PM ,.图5连结OP ，作PN OH PM OG ⊥⊥,，垂足分别是H G ,.过点1F 作PM D F ⊥1，垂足为D ，由引理2得a OD =.再作OG K F ⊥1于K .记θ=∠K OF 1，得θcos 1c K F DG ==. 由Rt ODG ∆，得θ222222cos c a DG OD OG -=-=.又作OH L F PN E F ⊥⊥22,，垂足分别为L E ,.在Rt OEH ∆中，同理可得θ222222sin c a HE OE OH -=-=.(1)若PN PM ⊥，得矩形OGPH ，所以22222222222)sin ()cos (b a c a c a OH OG OP +=-+-=+=θθ(2)若222b a OP +=，得222222222)sin ()cos (OH OG c a c a OP +=-+-=θθ由PM OG ⊥，得222GP OG OP +=，所以OH GP =.同理，有HP OG =，所以四边形OGPH 是平行四边形，进而得四边形OGPH 是矩形，所以PN PM ⊥.由(1),(2)得点P 的轨迹方程是2222b a y x +=+.定理1的证法4 可不妨设0,0>>b a .当b a =时，易证成立.下面只证明b a >的情形. 如图6所示.设椭圆的中心是点O ，左、右焦点分别是21,F F ，焦距是c 2，过动点P 的两条切线分别是PB PA ,，两切点分别为B A ,.分别作右焦点2F 关于切线PB PA ,的对称点N M ,，由椭圆的光学性质可得三点M A F ,,1共线(用反射角与入射角的余角相等).同理，可得三点N B F ,,1共线.图6由椭圆的定义，得a BF BF NF a AF AF MF 2,2211211=+==+=，所以11NF MF =.由O 是21F F 的中点，及平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和，可得)(2)(2222222221221OP c OP OF PF PF PM PF +=+=+=+ (1)若PB PA ⊥，得︒=∠+∠=∠+∠180)(22211BPF APF NPF MPF ，即三点N P M ,,共线.又PN PF PM ==2，所以MN PF ⊥1，进而得)(2422221212OP c PM PF MF a +=+==222b a OP +=(2)若222b a OP +=，得212222222214)(2)(2MF a b a c OP c PM PF ==++=+=+所以PM PF ⊥1.同理，可得PN PF ⊥1.所以三点N P M ,,共线.得︒=∠+∠=∠+∠=∠90)(212222NPF MPF BPF APF APB ，即PB PA ⊥. 由(1),(2)得点P 的轨迹方程是2222b a y x +=+.定理1的证法5 (该证法只能证得纯粹性)可不妨设0,0>>b a .当b a =时，易证成立.下面只证明b a >的情形.如图7所示，设椭圆的中心是点O ，左、右焦点分别是21,F F ，焦距是c 2，过动点P 的两条切线分别是PB PA ,，切点分别是B A ,.设点1F 关于直线PB PA ,的对称点分别为''21,F F ，直线'11F F 与切线PA 交于点G ，直线'21F F 与切线PB 交于点H .图7得1211,BF BF AF AF ='='，再由椭圆的定义，得a F F F F 22221='='，所以a OH OG ==. 因为四边形H PGF 1为矩形，所以由引理4得2222212a OH OG OP OF =+=+，所以222b a OP +=，得点P 的轨迹方程是2222b a y x +=+.读者还可用解析几何的方法证得以下结论：定理 2 (1)双曲线)0(12222>>=-b a b y a x 的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆2222b a y x -=+；(2)抛物线px y 22=的两条互相垂直的切线的交点是该抛物线的准线.定理 3 (1)椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两条斜率之积是22a b -的切线交点的轨迹方程是22222=+by a x ；(2)双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条斜率之积是22a b 的切线交点的轨迹方程是22222=-b y a x . 定理4 过椭圆)0(22222>>=+b a b y a x 上任一点),(00y x P 作椭圆12222=+by a x 的两条切线，则(1)当a x ±=0时，所作的两条切线互相垂直；(2)当a x ±≠0时，所作的两条切线斜率之积是22ab -.定理5 (1)椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两条斜率之积是)0(≠λλ的切线交点的轨迹Γ是：①当1-=λ时，Γ即圆2222b a y x +=+(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±)；②当0<λ且1-≠λ时，Γ即椭圆1222222=-+-a b y b a x λλ(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±)；③当22a b -=λ时，Γ即两条直线x aby ±=在椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 外的部分(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±)；④当220a b <<λ时，Γ即双曲线1222222=---a b x a b y λλ在椭圆)0(12222>>=+b a b y a x外的部分(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±)；⑤当22ab >λ时，Γ即双曲线1222222=---b a y b a x λλ在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 外的部分(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±).(2)双曲线)0(12222>>=-b a by a x 的两条斜率之积是)0(≠λλ的切线交点的轨迹Γ是：①当1-=λ时，Γ即圆2222b a y x -=+； ②当0>λ时，Γ即双曲线1222222=+-+b a y b a x λλ； ③当1-<λ或221ab -<<-λ时，Γ即椭圆1222222=--++ba yb a x λλ； ④当022<<-λab 时，Γ不存在.(3)抛物线px y 22=的两条斜率之积是)0(≠λλ的切线交点的轨迹Γ是：①当0<λ时，Γ即直线λ2p x =； ②当0>λ时，Γ的方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛>=λλp y p x 2. 例 (北京市海淀区2015届高三第一学期期末文科数学练习第14题)已知22:1O x y +=. 若直线2y kx =+上总存在点P ，使得过点P 的O 的两条切线互相垂直，则实数k 的取值范围是_________.解 (,1][1,)-∞-+∞.在图8中，若小圆(其圆心为点O ，半径为r )的过点A 的两条切线AD AB ,互相垂直(切点分别为F E ,)，得正方形AEOF ，所以r OE OA 22==，即点A 的轨迹是以点O 为圆心，r 2为半径的圆.图8由此结论可得：在本题中，点P 在圆222x y +=上.所以本题的题意即直线2y kx =+与圆222x y +=有公共点，进而可得答案.注 本题的一般情形就是蒙日圆.。