高中数学圆锥曲线压轴题集锦2

高中数学圆锥曲线压轴题集锦2

一．解答题（共60小题）

1．如图，F1（﹣c，0），F2（c，0）分别是双曲线C：=1（a，b＞0）的左，右焦点，过点F2作x轴的垂线交双曲线的上半部分于点P，过点F1作直线PF1的垂线交直线l：x=﹣

于点Q．

（1）若点P的坐标为（4，6），求双曲线C的方程及点P处的切线方程；

（2）证明：直线PQ与双曲线C只有一个交点；

（3）若过l：x=﹣上任一点M作双曲线C：=1（a，b＞0）的两条切线，切点分别为T1，T2，问：直线T1T2是否过定点，若过定点，请求出该定点；否则，请说明理由．

2．已知曲线C1：+=1（a＞b＞0，x≥0）和曲线C2：x2+y2=r2（x≥0）都过点A（0，﹣1），且曲线C1所在的圆锥曲线的离心率为

（1）求曲线C1，C2的方程

（2）设点B，C分别在曲线C1，C2上，k1，k2分别为直线AB，AC的斜率，当k2=4k1时，

①直线BC是否经过定点？请说明理由

②设E（0，1），求||•||的最大值．

3．已知B（﹣1，0），C（1，0），P是平面上一动点，且满足||•||=•．

（1）求点P（x，y）的轨迹C对应的方程．

（2）如果点A（m，2）在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD和AE，且AD⊥AE，问直线DE是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由．

4．已知F1、F2为椭圆C：的左，右焦点，M为椭圆上的动点，且•

的最大值为1，最小值为﹣2．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M，N两点，A为椭圆的左顶点．试

判断∠MAN是否为直角，并说明理由．

5．已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点F1，F2关于直线x+y﹣2=0的对称点是

圆C的一条直径的两个端点．

（Ⅰ）求圆C的方程；

（Ⅱ）设过点F2的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a，b．当ab最大时，求直线l 的方程．

6．过抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点F作斜率率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1+k2=2．l1与E交于点A，B，l2与E交于C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在直线记为l．

（Ⅰ）若k1＞0，k2＞0，证明：；

（Ⅱ）若点M到直线l的距离的最小值为，求抛物线E的方程．

7．如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4．

（1）求椭圆C的方程；

（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，

PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．

8．已知动圆过定点A（4，0），且在y轴上截得的弦MN的长为8．

（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C的方程；

（Ⅱ）已知点B（﹣1，0），设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线过定点．

9．平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：（a＞b＞0）右焦点的直线x+y﹣=0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为．

（Ⅰ）求M的方程

（Ⅱ）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．

10．已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直

线y=2与C的两个交点间的距离为．

（I）求a，b；

（II）设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且|AF1|=|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列．

11．如图，已知双曲线C1：，曲线C2：|y|=|x|+1，P是平面内一点，若存在过点P 的直线与C1，C2都有公共点，则称P为“C1﹣C2型点”

（1）在正确证明C1的左焦点是“C1﹣C2型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；

（2）设直线y=kx与C2有公共点，求证|k|＞1，进而证明原点不是“C1﹣C2型点”；

（3）求证：圆x2+y2=内的点都不是“C1﹣C2型点”

12．如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n（m＞n），过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D，记，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2．

（Ⅰ）当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，求λ的值；

（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2？并说明理由．

13．已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），且椭圆C经过点．

（Ⅰ）求椭圆C的离心率：

（Ⅱ）设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且，求点Q的轨迹方程．

14．椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率，a+b=3．

（1）求椭圆C的方程；

（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m﹣k为定值．

15．已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为，准线为l，点P（x0，y0）（y0＞p）为

抛物线C上的一点，且△FOP的外接圆圆心到准线的距离为．

（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）若圆F的方程为x2+（y﹣1）2=1，过点P作圆F的2条切线分别交x轴于点M，N，求△PMN面积的最小值及此事y0的值．

16．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为B（0，﹣1），且其右焦点到直线的距离为3．

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在斜率为k（k≠0），且过定点的直线l，使l与椭圆交于两个不同的点M、N，且|BM|=|BN|？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

17．已知直线L：y=x+1与曲线C：交于不同的两点A、B，O为坐标原点．

（1）若|OA|=|OB|，试探究在曲线C上仅存在几个点到直线L的距离恰为？并说明理由；

（2）若OA⊥OB，且a＞b，，试求曲线C的离心率e的取值范围．18．设抛物线（m＞0）的准线与x轴交于F1，焦点为F2；以F1、F2为焦点，离心率的椭圆C2与抛物线C1的一个交点为P．

（1）当m=1时，直线l经过椭圆C2的右焦点F2，与抛物线C1交于A1、A2，如果弦长|A1A2|等于三角形PF1F2的周长，求直线l的斜率．

（2）求最小实数m，使得三角形PF1F2的边长是自然数．