第二章__连续系统的时域分析习题解答
《信号与系统》考研试题解答第二章连续系统的时域分析
X2.1 (东南大学2002年考研题)一线性时不变连续时间系统，其在某激励信号作用下的自由响应为(e-3t+e-t) (t)，强迫响应为(1-e-2t) (t)，则下面的说法正确的是______________(A)该系统一定是二阶系统(B)该系统一定是稳定系统(C)零输入响应中一定包含(e-3t+e-t) (t)(D )零状态响应中一定包含(1-e-2t) (t)X2.2(西安电子科技大学2005年考研题)信号f1(t)和f2(t)如图X2.2所示,f=f1(t)* f2(t)，则f(-1)等于__________图X2.2X2.3 (西女电子科技大学2005年考研题)下列等式不成立的是(A) f1(t t。
)* f2(t t°) 锂) * f2(t)(B)-J—f1(t)* f2(t) dtd f1(t)dt-J* — f2(t) dt 2(C) f(t)* (t) f (t)(D) f(t)* (t) f (t)答案：X2.1[D] , X2.2[C], X2.3[B]、判断与填空题T2.1 (北京航空航天大学2001年考研题)判断下列说法是否正确，正确的打错误的打“X” 。
(1 )若y(t) f(t)*h(t)，则y(2t) 2f(2t)*h(2t)。
[](2)如果x(t)和y(t)均为奇函数，贝U x(t)*y(t)为偶函数。
[](3)卷积的方法只适用于线性时不变系统的分析。
[](4 )若y(t) f(t)*h(t)，则y( t) f( t)*h( t)。
[](5)两个LTI系统级联，其总的输入输出关系与它们在级联中的次序没有关系。
[]第二章、单项选择题连续系统的时域分析(C) 1.5 ( D)-0.5(A)T2.2 (华中科技大学2004年考研题)判断下列叙述或公式的正误，正确的在方括号中打“/，错误的在方括号中打“X”。
(1)线性常系数微分方程表示的系统，其输出响应是由微分方程的特解和齐次解组成，或由零输入响应和零状态响应所组成。
郑君里《信号与系统》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第2章 连续时间系统的时域分析【圣才
Ri(t) v1(t) e(t)
Ri(t)
1 C
t
i(
)d
v1 (t )
e(t)
vo (t) v1(t)
消元可得微分方程：
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1
台
C
d
dt
vo (t)
1 R
vo (t)
R
e(t)
2-2 图 2-2-2 所示为理想火箭推动器模型。火箭质量为 m1，荷载舱质量为 m2，两 者中间用刚度系数为 k 的弹簧相连接。火箭和荷载舱各自受到摩擦力的作用，摩擦系数分 别为 f1 和 f2。求火箭推进力 e（t）与荷载舱运动速度 v2（t）之间的微分方程表示。
M
di1 (t ) dt
Ri2 (t)
0
化简方程组可得微分方程：
(L2
M
2
)
d4 dt 4
vo
(t)
2RL
d3 dt 3
vo
(t)
2L C
R2
d2 dt 2
vo
(t)
2R C
d dt
vo
(t)
1 C2
vo
(t)
MR
d2 dt 2
e(t)
（3）由图 2-2-1（c）所示列写电路方程，得：
C
dv1 (t ) dt
b．自由响应由两部分组成，其中，一部分由起始状态决定，另一部分由激励信号决 定，二者都与系统的自身参数有关；当系统 0－状态为零，则零输入响应为零，但自由响应 可以不为零。
c．零输入响应在 0－时刻到 0＋时刻不跳变，此时刻若发生跳变，可能为零状态响应分 量。
信号与系统分析第二章 连续时间系统的时域分析
第二章 连续时间系统的时域分析
2.1.1
对系统进行分析时, 首先要建立系统的数学模型。 对于电的系统, 只要利用理想的电路元件, 根据基尔霍 夫定律, 就可以列出一个或一组描述电路特征的线性 微分方程。 现举例来说明微分方程的建立方法。
第二章 连续时间系统的时域分析
例2.1 图2.1所示为RLC串联电路, 求电路中电流i(t) 与激励e(t)之间的关系。
第二章 连续时间系统的时域分析
(3)
y(t) C 1 e t C 2 e 6 t5 2c 0 1o 2 t)s 5 3 (s0i2 n t) (
D(p)y(t)=N(p)f(t)
y(t) N(p) f (t) D(P)
式(2.15)中的 N ( p ) 定义为转移算子, 用H(p)表示,
D (P)
(2.14) (2.15)
H (p ) N D ( (P p ) ) b a m n p p m n a b n m 1 1 p p n m 1 1 a b 1 1 p p a b 0 0 (2.16)
t0
解 (1) 齐次解。 由例2.4 yh (t)=C1e-t+C2e-6t
第二章 连续时间系统的时域分析
(2) 特解。 查表2.2, yp(t)=B1cos (2t)+B2sin(2t)
－14B1+2B2－6=0 2B1+14B2=0
于是,
B15201,
B2530
yp(t)5 20 c 1o2ts) (530 si2 nt)(
第二章 连续时间系统的时域分析
3. 用算子符号表示微分方程, 不仅书写简便, 而且在建 立系统的数学模型时也很方便。 把电路中的基本元件R、 L、 C的伏安关系用微分算子形式来表示, 可以得到相应 的算子模型, 如表2.1所示。
信号与系统王明泉版本~第二章习题解答
第2章 线性时不变连续系统的时域分析2.1 学习要求（1）会建立描述系统激励与响应关系的微分方程；（2）深刻理解系统的完全响应可分解为：零输入响应与零状态响应，自由响应与强迫响应，瞬态响应与稳态响应；（3）深刻理解系统的零输入线性与零状态线性，并根据关系求解相关的响应； （4）会根据系统微分方程和初始条件求解上述几种响应； （5）深刻理解单位冲激响应的意义，并会求解；（6）深刻理解系统起始状态与初始状态的区别，会根据系统微分方程和输入判断0时刻的跳变情况； （7）理解卷积运算在信号与系统中的物理意义和运算规律，会计算信号的卷积。
； 2.2 本章重点（1）系统（电子、机械）数学模型（微分方程）的建立； （2）用时域经典法求系统的响应； （3）系统的单位冲激响应及其求解；（4）卷积的定义、性质及运算，特别是()t δ函数形式与其它信号的卷积； （5）利用零输入线性与零状态线性，求解系统的响应。
2.3 本章的知识结构2.4 本章的内容摘要2.4.1系统微分方程的建立电阻：)(1)(t v Rt i R R =电感：dtt di L t v L L )()(= )(d )(1)(0t i v Lt i L tL L +=⎰∞-ττ 电容：dtt dv C t i C C )()(= ⎰+=tt L C C t i i Ct v 0)(d )(1)(0ττ 2.4.2 系统微分方程的求解 齐次解和特解。
齐次解为满足齐次方程t n t t h e c e c e c t y 32121)(λλλ+⋅⋅⋅++=当特征根有重根时，如1λ有k 重根，则响应于1λ的重根部分将有k 项，形如t k t k t k t k h e c te c e t c e t c t y 111112211)(λλλλ++⋅⋅⋅++=--- 当特征根有一对单复根，即bi a +=2,1λ，则微分方程的齐次解bt e c bt e c t y at at h sin cos )(21+= 当特征根有一对m 重复根，即共有m 重ib a ±=2,1λ的复根，则微分方程的齐次解bt e t c bt te c bt c t y at m m at h cos cos cos )(121-+⋅⋅⋅++= bt e t d bt te d bt e d at m m at at sin sin sin 121-+⋅⋅⋅+++ 特解的函数形式与激励函数的形式有关。
《信号与系统》第二章作业题答案
第二章 连续时间系统的时域分析1．与()t δ相等的表达式为：A ．1()4t δ B ．2(2)t δ C ．(2)t δ D ．1(2)2t δ解：由()t δ函数的性质1()()t t δαδα=可得，选B2．()j tet dt ωδ∞--∞'=⎰。
解：运用性质0()()()(0)t f t t dt f t f δ∞=-∞'''=-≡-⎰，得到()()j tet dt j j ωδωω∞--∞'=--=⎰。
3．两个线性时不变系统的级联，其总的输入-输出关系与它们在级联中的次序没有关系。
（正确）解：以冲击响应为例。
因为级联时，系统总的冲击响应等于各子系统冲击响应的卷积，而卷积与顺序没有关系，所以冲击响应与子系统顺序没有关系。
4．若()()()y t x t h t =*，则()()()y t x t h t -=-*-。
（错误）解：由()()()y t x h t d τττ∞-∞=-⎰，得()()()y t x h t d τττ∞-∞-=--⎰。
而()()()()()x t h t x h t d y t τττ∞-∞-*-=--+≠-⎰5．已知(21)f t -+波形如图所示，试画出()f t 的波形。
解：根据1反2展36．用图解法求图中信号的卷积()()()t f t f t f 21*=。
（03北邮A,8分）解：当10t -<时，即1t <时，由图1所示，12()()*()0f t f t f t ==图1当1020t t ->⎧⎨-<⎩时，即12t <<时，由图2所示，11201()()*()sin()[cos()1]t f t f t f t d t πττππ-===+⎰图2当1220t t -<⎧⎨->⎩时，即23t <<时，由图3所示，11222()()*()sin()cos()t t f t f t f t d t πττππ--===⎰图3当1222t t ->⎧⎨-<⎩时，即34t <<时，由图4所示，21221()()*()sin()[cos()1]t f t f t f t d t πττππ-===-⎰图4当4t >时，如图5所示，12()()*()0f t f t f t ==图57．如图所示系统由几个子系统组成，各子系统的冲激响应为)()(1t u t h =，)1()(2-=t t h δ，)()(3t t h δ-=，试求此系统的冲激响应)(t h ；若以()()t u e t e t -=作为激励信号，用时域卷积法求系统的零状态响应。
考研专业课郑君里版《信号与系统》第二章补充习题——附带答案详解
第二章 连续时间系统的时域分析1．已知连续时间信号1()e ()t f t u t -=和2()e ()t f t u t =-，求卷积积分12()()()f t f t f t =*，并画出()f t 的波形图。
解：1212()()()()()f t f t f t f t f d τττ∞-∞=*=-⎰反褶1()f τ得1()f τ-，右移t 得11[()]()f t f t ττ--=-，作出2()f τ图形及不同t 取值的1()f t τ-图形，由此可得：当0t ≤时，21()e e ee e 2ttt tt f t d d τττττ---∞-∞===⎰⎰当0t ≥时，0021()e e e e e 2t t t f t d d τττττ----∞-∞===⎰⎰综上，||111()e ()e ()e 222t t t f t u t u t --=-+=()f t 是个双边指数函数。
讨论：当1()f t 、2()f t 为普通函数（不含有()t δ、()t δ'等）时，卷积结果()f t 是一个连续函数，且()f t 非零取值区间的左边界为1()f t 、2()f t 左边界之和，右边界为1()f t 、2()f t 右边界之和，也就是说，()f t 的时宽为1()f t 、2()f t 时宽之和。
τttt2．计算题图2（a ）所示函数)(1t f 和)(2t f 的卷积积分)()()(21t f t f t f *=，并画出)(t f 的图形。
解法一：图解法1212()()()()()f t f t f t f t f d τττ∞-∞=*=-⎰其中1()f t τ-的波形见题图2(b)，由此可得： 当10t +≤，即1t ≤-时，()0f t = 当011t ≤+≤，即10t -≤≤时，120()2(1)t f t d t ττ+==+⎰当11t +≥但10t -≤，即01t ≤≤时，1()21f t d ττ==⎰当011t ≤-≤，即12t ≤≤时，121()21(1)t f t d t ττ-==--⎰当11t -≥，即2t ≥时，()0f t =综上，220,1,2(1),10()1,011(1),12t t t t f t t t t ≤-≥⎧⎪+-≤≤⎪=⎨≤≤⎪⎪--≤≤⎩ ()f t 波形见题图2(c)。
信号与系统第二章连续系统的时域分析
解：齐次解同上。由于f(t)=e–2t，其指数与特征根之 一相重。故其特解可设为yp(t) = (P1t + P0)e–2t 代入微分方程可得P1e-2t = e–2t 所以P1= 1 但P0不能求得。全解为
) (t)
2.若描述系统的微分方程为：
y(n)(t)+a n-1 y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)= bmf(m)(t)+bm-1f (m-1)(t)+… +b1f(1)(t)+b0f(t)
可根据LTI系统的线性性质和微积分特性
求出阶跃响应。
三、冲激响应和阶跃响应的关系
(t) d (t)
其经典解： y(t)(完全解) = yh(t)(齐次解) + yp(t)(特解） 齐次解是齐次微分方程： y(n) (t) +an-1y(n-1) (t) +…+ a1y(1)(t)+a0y(t)=0的解。 齐次解yh(t)的函数形式由上述微分方程的特 征根确定。特解的函数形式与激励有关。
例（p40）描述某系统的微分方程为： y”(t) + 5y’(t) + 6y(t) = f(t)，求：
dt
t
(t) (x)dx
h(t) dg(t) dt
t
g(t) h(x)dx
例2.2-3 如图所示的LTI系统，求其阶跃响应
x’(t)
f(t)
x’’(t)
+
-
-
3
2
1
x(t)
－
y(t)
2+
信号与系统 第二章习题 王老师经典解法(青岛大学)小白发布
2-16 已知 f1 (t ) =
画出下列各卷积的波形。 （1） s1 (t ) = f1 (t ) ∗ f 2 (t ) ； （2） s2 (t ) = f1 (t ) ∗ f 2 (t ) ∗ f 2 (t ) ； （3） s3 (t ) = f1 (t ) ∗ f 3 (t ) 。
2-17 求题图 2-17 所示电路在 e(t ) = (1 + 2e
第二章
连续时间系统的时域分析
2-1 电路如题图 2-1 所示，列写求 vo (t ) 的微分 方程。
L1 1H R1 2Ω + e(t) i 1 (t )
R2 1Ω + L2 2H 题图 2-1
C
1F
i 2 (t )
vo(t)
2-2 电路如题图 2-2 所示， 列写求 i2 (t ) 的微分方 程。
题图 2-18
−2 t
− 1)U (t ) ， 试利用卷积的性质求题
1 0 -1
e2(t)=tU(t) 1 t 0
e3(t)
t 0 1
2-19 一线性时不变的连续时间系统，其初始状态一定，当输入 e1 (t ) = δ (t ) 时，其全响应
r1 (t ) = −3e − tU (t ) ； 当 输 入 e2 (t ) = U (t ) 时 ， 其 全 响 应 r2 (t ) = (1 − 5e − t )U (t ) 。 求 当 输 入 e(t ) = tU (t ) 时的全响应。
2-14 计算卷积 f (t ) = f 1 (t ) ∗ f 2 (t ) ，其中 f1 (t ) = sgn(t − 1) ， f 2 (t ) = e 2-15 求下列卷积 （1） f1 (t ) = e
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ii )求零输入响应ux(t)：
2-20已知某系统的微分方程为 ，当激励
= 时，系统的全响应 ;试求零输入
响应yx(t)与零状态响应yf(t)、自由响应与强迫响应、暂态响应与稳态响应。
解：
解：
2-7已知三个连续系统的传输算子H(p)分别为：
试求各系统的单位冲激响应h(t)。
解：
2-8求图题2-8所示各电路中关于u(t)的冲激响应h(t)。
解：(a)
2-9求图题2-9所示各电路关于u(t)的冲激响应h(t)与阶跃响应g(t)。
解：
2-10如图题2-10所示系统，已知两个子系统的冲激响应分别为h1(t)(t1)，h2(t)(t)，试求整个系统的冲激响应h(t)。
解：
2-16图题2-16表示一个LTI系统的输入-输出关系。试求出该系统的冲激响应。
解：
2-17已知某系统的微分方程为 ，0-初始条件 ，试求：
(1)系统的零输入响应yx(t)；
(2)激励f(t)(t)时，系统的零状态响应yf(t)和全响应y(t)；
(3)激励f(t)e3t(t)时，系统的零状态响应yf(t)和全响应y(t)。
解：(1)算子方程为：
2-18图题2-18所示的系统，求当激励f(t)et(t)时，系统的零状态响应。
解：(a)令f(t) =(t)，则y(t) =h(t)，
(b)令f(t) =(t)，则y(t) =h(t)，
2-19图题2-19所示电路，t< 0时S在位置a且电路已达稳态；t=0时将S从a板到b,求t> 0时的零输入响应ux(t)、零状态响应uf(t)和全响应u(t)。
解：求和号后的冲激响应为 ，于是整个系统的冲激响应为：
2-11各信号波形如题图2-11所示，试计算下列卷积，并画出其波形。
解：
2-12求下列各组信号的卷积积分。
解：
2-13求图示各组波形的卷积积分y(t)=f1(t)*f2(t)。
解：
2-14已知 ，求f(t)。
解：微分： ；
再微分： .
2-15某LTI系统的激励f(t)和冲激响应h形。
试求系统的零输入响应yx(t)(t0)。
解：
2-5已知图题2-5各电路零输入响应分别为：
求u(0-)、i(0-)。
解：
2-6图题2-6所示各电路：
(a)已知i(0-) = 0，u(0-) = 5V，求ux(t)；
(b)已知u(0-) = 4V，i(0-) = 0，求ix(t)；
(c)已知i(0-) = 0，u(0-) = 3V，求ux(t) .
第二章
2-1图题2-1所示各电路中，激励为f(t)，响应为i0(t)和u0(t)。试列写各响应关于激励微分算子方程。
解：
2-2求图题2-1各电路中响应i0(t)和u0(t)对激励f(t)的传输算子H(p)。
解：
2-3给定如下传输算子H(p)，试写出它们对应的微分方程。
解：
2-4已知连续系统的输入输出算子方程及0–初始条件为：