2013.9.17静力学第三章力系的平衡(先平面后空间)

物系平衡问题求解
示例
例1、结构、载荷如图所示。求A处的约束反力。
m qa
2
q
C
A
a
MA
a
2
a
对于AC有： F 2qa 解法一：受力如图所 示 F 0 FAX FCX 0 X 0 45 FY 0 FAY qa FCY 0 B a m 0
m qa q
FAX
A
FAY
E
A
F
B
解：首先整体受力分析
D
M
C
0
FAX DC FAY AD F EC 0
4 3 4 FAX FAY F 0 5 5 5
D
E
A
C
F
B
A
FX 0
D
FAX
FDY
FAY
C
B
FAX
FNC
x
FAY
FDX
FBC
FAX
4 FAY AD FBC DB 0 5 34 12 16 F FAY F FAY F 25 25 15
第三章
力系的平衡
目 录
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 平面力系的平衡条件及平衡方程 平面力系平衡问题求解 平面桁架 空间力系的平衡条件及平衡方程 空间力系平衡问题求解
3.1 平面力系的平衡条件及平衡方程
（一） 平面任意力系的平衡条件及平衡方程
（二） 平面平行力系的平衡条件及平衡方程 （三） 平面汇交力系的平衡条件及平衡方程
C
物系平衡问题求解
解法二：受力如图所示
m qa
2
示例
q
C
F 2qa
45
0
A
a
2
a
a
m qa MA
FAX
q
C
a F
B
A
FAY
450 B F NB
F 0 F 2qa F 0 F m 0
X Y A
对于整体AB有：
AX
qa 0
AY
2qa qa FNB 0
所有的未知量由静力学平衡方程不能加以确定的问题。 即未知量的个数多于可列独立静力学平衡方程数的问题。
平面一般力系 静定与超静定
A
A
B B
A
B
静定问题
C
A
B
A
B
A
C
B
超静定问题
（三）物系平衡问题求解
物体系统的平衡
物体系统中每个物体都平衡。
整 体 平 衡
局 部 平 衡
解题关键：合理选取研究对象； 正确画出受力图； 尽量一个方程解一个未知量； 力求解题方法最简！
A
a
q
a
C
a
0
a
450 B
对于BC有：
F 2qa
1 2 qa qa 2 2F NB a 0 2
对于整体AB有：
m
C
0
FCX FCY C
45
F NB
2
B
F 2qa
m qa MA
q
C
FAX
A
FAY
450 B F NB
MA m 4qa 3qa 4FNB a 0
（一）简单平衡问题求解 ——平衡问题解题步骤 （二）静定与静不定问题 （三）物系平衡问题求解 （四）简单平面桁架—杆内力计算
（一）简单平衡问题求解 平衡问题解题步骤：
（1）选取研究对象； （2）画受力图； （3）列平衡方程求解.
简单平衡问题求解 示例
例１ 结构载荷如图示，求A、B两处的约束反力。 解：作受力图
FX
0
MA FAX A FAY C
m=qa2 B
450
M
A
0
1 2 2 MA m qa a F 2a 0 2 3 2
FAX qa
FAY qa
3
MA qa 2
4
简单平衡问题求解
例 题 1
示例
图示结构 ，若 FP 和 l 已知， 确定四种 情形下A、B处的约束力
FAX
A
FAY
F3
F2
F1
P
D
讨论：求解桁架杆内力
基本要点： （1）一般先由整体平衡求支座反力； （2）节点法所取未知杆一般不能超过２根； （3）截面法所截未知杆一般不能超过３根； （4）杆件的未知内力一般假设受拉为正。 （5）注意零力杆（零杆）的判断！
桁架中零杆的判断—三种情形：
1
（1）
F1 F2 0
（4）计算中一般假设各杆受力为受拉。
节点
求解桁架杆内力方法
基本方法：（1）节点法；
（2）截面法。
问题本质：力系平衡问题！
求解桁架杆内力的方法——节点法
例1：
C
解：整体平衡 F1 FX 0 FAX 0 A F2 F F P 0 F 0 AY NB Y FAX F AY 2 F a Pa 0 mA 0 NB
节点
理想桁架的基本假设：
（1）组成桁架的杆均为直杆。 （2）杆件彼此在两端用铰光滑链连接。 （3）所有载荷均作用在节点上，且在 桁架的平面内。 （4）杆件的重量不计，或平均分配在 两端的节点上。
节点
桁架的受力特点：
（1）所有杆均为二力杆； （2）所有节点均受汇交力系作用；
（3） 规定杆的内力受拉为正、受压为负；
M A ( F ) 0 M B ( F ) 0 M (F ) 0 C
标准式
二矩式
三矩式
注意：各种方程形式的附加条件
（二）平面平行力系的平衡条件及平衡方程

Fy 0
M O (F ) 0

M
A
(F ) 0
M B (F ) 0
一矩式
二矩式
注意：各种方程形式的附加条件
要求：且方法最简。
注意：受力图正确； 滑轮处理； 销钉处理； 解题方法。
物系平衡问题求解
示例
例4：AB、AC、AD、BC四杆连接如图。在水平杆AB上作用力P。 试证明不论力P作用在AB杆上何处，杆AC总受到大小为P的压力。
A
P
分析：实质为计算题
B
a
E D
关键：合理选取研究对象； 正确画出受力图； 注意解题方法简捷。 （取研； 列方程）
MB 0
较简单 )
FAX 20.7N
FAY 53N
FNB 67.7N
简单平衡问题求解 示例
例2 结构载荷如图示，求A处的约束反力。(注意分布力) q 解：作受力图
F 2qa
450
m=qa2 a
A
C q
a
B
F 2qa
2 FAX F 0 2 1 2 F 0 Y FAY 2 qa 2 F 0
（四） 平面力偶系的平衡条件及平衡方程
（一） 平面任意力系的平衡条件及平衡方程
平面一般力系平衡的充分必要条件：
FR 0 , 且： MO 0
FX 0 FY 0 M (F ) 0 O
FX 0 M A ( F ) 0 M (F ) 0 B
1 1 FY 0 2 F1 F3 2 F4 0
F2
F3 F3
F4
D F5
P
求解桁架杆内力的方法——截面法
例2.各杆长度均为ａ， 求指定杆的内力。
解：整体平衡
FX 0 FY 0 m 0
FAX 0 FAY FBY 3P 0 4FNB a Pa 4Pa 0 A 取ｍ－ｍ截面平衡
MA m 4qa 2 3qa 2 4FNB a 0
q
FCX FCY C
F 2qa 对于BC有：
450 B F NB
m
1 2 qa qa 2 2F NB a 0 2
C
0
物系平衡问题求解
m qa
2
示例
例1、结构、载荷如图所示。求A处的约束反力。
q
F 2qa 解三：受力如图所示。
M
再对AB杆
D
0
物系平衡问题求解
示例
例2、图示结构受F力作用，C端搁在光滑的斜面上。已知：AD=1.6 m，BD=0.9m，CD=1.2m，ED=1.2m，AC=2m。若AB水平，CE铅 垂，求BC杆的内力及支座A的约束反力。
E
A
F
B
D
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
问题：若要求一个方程 解一个未知量； 且方法最简， 如何？
C
b
物系平衡问题求解
解：AC为二力杆；
（一）取整体;
A FA A
FAX FAY
示例
P P
E
B
FB
（二）取AB杆；
（三）取AB +AD杆
FA
A
B
FB
FEX
C
FC
FEY
D
FND
物系平衡问题求解
示例
例5：如图，三根等长无重刚杆，两两铰于中点B、D、F。欲求 铰链D 的约束力，试确定最佳解题方案。
最佳解题方案： 方程最少；方法最简； 一个方程解一未知量；
物系平衡问题求解
示例
例6：滑轮G重Q，物重P，尺寸如图。试用最简方法求杆 CD所受的力。
物系平衡问题求解
示例
习题讨论
习题讨论
习题讨论
习题讨论
习题讨论
习题讨论
习题讨论
习题讨论
习题讨论
习题讨论
习题讨论
3.3
简单平面桁架—杆内力计算
桁架：由许多直杆彼此在两端用铰链 连接（或铆接、焊接）而成的 几何形状不变的结构。
A 1m F1=100N
450
F2=50N
C
F3=50N
B 1m F2 C
2m F1
F3
A FAX FAY
450
B FNB
简单平衡问题求解 示例
列平衡方程：
Fx 0
M
A
2 FAx F1 F3 0 2
0
2 F1 3F2 4FNB F3 0 2
2 4 FAy F1 3 F2 F3 0 2 2 F1 F2 FNB 0 ( 或： Fy 0 FAy 2
l
l
A C
第一种情形
l
B
FP
第二种情形
l l
A C B
l
M=FP l
简单平衡问题求解
示例
l l
A B
l
FP
D 第四种情形
C
第三种情形
l l
A C B
l
D
M=FP l
（二）静定与静不定问题
静定问题：
所有的未知量均可由静力学平衡方程加以确定的问题。 即未知量的个数等于可列独立的静力学平衡方程数。
静不定问题（超静定问题）：
30
0
A 300
a
D
P
１
a
B
取节点Ａ平衡 3 F F1 F2 0 FX 0 AX
C
FY
0 FAY
C
３ ４
取节点Ｃ平衡 FX 0 F1 F4 0
B
FNB
12 F1 0 2
F1
FAX
A 300 ２ FAY
D
300
５
P
取节点D平衡 FX 0 F2 F5 0
方法一：改变A处的受力画法即可。 方法二：先整体，再取EDC杆（带C销钉），最后取整体。
力系平衡解题—总结：
总结：合理选取研究对象； 正确画出受力图； 解题方法简捷。
• • 尽量一个方程解一个未知量； 力求解题方法最简！
（体现：合理取研； 列方程）
习题讨论
物系平衡问题求解
示例
例3、结构如图，已知：W=10 kN，AI=IB=2 m，CI=ID=1.5m，杆 和滑轮重量及摩擦不计。求BC杆的内力与AB杆对销钉I的作用力。
2 2
F 0 F F 0 F m 0
X Y A
AX
qa 0
AY
2qa qa FNB 0
物系平衡问题求解
示例
例2、图示结构受F力作用，C端搁在光滑的斜面上。已知：AD=1.6 m，BD=0.9m，CD=1.2m，ED=1.2m，AC=2m。若AB水平，CE铅 垂，求BC杆的内力及支座A的约束反力。
D C
１
P
２
E
FQ
３
A
B
简单平面桁架
例5. 图示为正八边形的一半，试求指定杆的内力。
D C
１
P
２
E
FQ
D
P
F2
A
D C
１
P
２
E
C B F 1
３
F3
FAX
FQ
３
FNB
B
A
FAY
FNB
B
3.4 空间力系的平衡条件及平衡方程
（一） 空间任意力系的平衡条件及平衡方程
（二） 空间平行力系的平衡条件及平衡方程 （三） 空间汇交力系的平衡条件及平衡方程
（三） 平面汇交力系的平衡条件及平衡方程
平面汇交力系平衡的充分必要条件是：
FR 0
平衡方程：


FX 0 FY 0
（四） 平面力偶系的平衡条件及平衡方程
平面力偶系平衡的充分必要条件是：
M 0
平衡方程：
M
i
0
平面各力系的独立平衡方程数
可用于判断问题是否可解。
3.2 平面力系平衡问题求解
１
A
２ ３
P
2P
１ ２ ３
m
3 F2 0 2 B 3 m 0 D Pa 2FAY a 2 F1a 0 3 3 1 3 F a F a Pa F3a 0 mE 0 2 AX 2 AY 2 2
FY 0 FAY P
E
FAX
A
FAY
B
Pm
2P
FNB
C FCX FCY q
FCX FCY C
P
3 2 MA m qa 2FCY a 0 对于BC有： 2 FX 0 FCX qa 0 FCY qa F 2qa F NB 0 Y 0

A
450 B F NB
m
0 1 2 qa qa 2 2F NB a 0 2
A
2
3
3
4 2 A
1
（2）
A
2
1
F3 0
（3） 若F3 0，则：F4 0
平面桁架
例3 判断图示结构的零杆，并求各杆的内力。
P
A
B
平面桁架习题讨论
例4 求图示结构的1、2杆的内力。
平面桁架习题讨论
例5：求图示结构的指FK杆、JO杆的内力。
平面桁架习题讨论
简单平面桁架
例6. 图示为正八边形的一半，试求指定杆的内力。