四川省2020年上学期乐山市乐山外国语学校高一数学期中考试试题
2020年四川省乐山市中考数学试卷及答案
2020年四川省乐山市中考数学试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分． 1．（3分）12的倒数是（ ）A ．−12B ．12C ．﹣2D ．22．（3分）某校在全校学生中举办了一次“交通安全知识”测试，张老师从全校学生的答卷中随机地抽取了部分学生的答卷，将测试成绩按“差”、“中”、“良”、“优”划分为四个等级，并绘制成如图所示的条形统计图．若该校学生共有2000人，则其中成绩为“良”和“优”的总人数估计为（ ）A ．1100B ．1000C ．900D ．1103．（3分）如图，E 是直线CA 上一点，∠FEA ＝40°，射线EB 平分∠CEF ，GE ⊥EF ．则∠GEB ＝（ ）A ．10°B ．20°C ．30°D ．40°4．（3分）数轴上点A 表示的数是﹣3，将点A 在数轴上平移7个单位长度得到点B ．则点B 表示的数是（ ） A ．4B ．﹣4或10C ．﹣10D ．4或﹣105．（3分）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝4，∠BAD ＝120°，O 是对角线BD 的中点，过点O 作OE ⊥CD 于点E ，连结OA ．则四边形AOED 的周长为（ ）A．9+2√3B．9+√3C．7+2√3D．86．（3分）直线y＝kx+b在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式kx+b≤2的解集是（）A．x≤﹣2B．x≤﹣4C．x≥﹣2D．x≥﹣47．（3分）观察下列各方格图中阴影部分所示的图形（每一小方格的边长为1），如果将它们沿方格边线或对角线剪开重新拼接，不能拼成正方形的是（）A．B．C．D．8．（3分）已知3m＝4，32m﹣4n＝2．若9n＝x，则x的值为（）A．8B．4C．2√2D．√29．（3分）在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．如图所示，将△ABC 绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB′C′．则图中阴影部分面积为（）A ．π4B ．π−√32C ．π−√34D ．√32π 10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣x 与双曲线y =kx 交于A 、B 两点，P 是以点C （2，2）为圆心，半径长1的圆上一动点，连结AP ，Q 为AP 的中点．若线段OQ 长度的最大值为2，则k 的值为（ ）A ．−12B ．−32C ．﹣2D ．−14二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分． 11．（3分）用“＞”或“＜”符号填空：﹣7 ﹣9．12．（3分）某小组七位学生的中考体育测试成绩（满分40分）依次为37，40，39，37，40，38，40．则这组数据的中位数是 ．13．（3分）如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图．自动扶梯AB 的倾斜角为30°，在自动扶梯下方地面C 处测得扶梯顶端B 的仰角为60°，A 、C 之间的距离为4m ．则自动扶梯的垂直高度BD ＝ m ．（结果保留根号）14．（3分）已知y ≠0，且x 2﹣3xy ﹣4y 2＝0．则xy 的值是 ．15．（3分）把两个含30°角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点E 为AD 的中点，连结BE 交AC 于点F ．则AF AC= ．16．（3分）我们用符号[x ]表示不大于x 的最大整数．例如：[1.5]＝1，[﹣1.5]＝﹣2．那么： （1）当﹣1＜[x ]≤2时，x 的取值范围是 ；（2）当﹣1≤x ＜2时，函数y ＝x 2﹣2a [x ]+3的图象始终在函数y ＝[x ]+3的图象下方．则实数a 的范围是 ．三、本大题共3个小题，每小题9分，共27分． 17．（9分）计算：|﹣2|﹣2cos60°+（π﹣2020）0． 18．（9分）解二元一次方程组：{2x +y =2，8x +3y =9．19．（9分）如图，E 是矩形ABCD 的边CB 上的一点，AF ⊥DE 于点F ，AB ＝3，AD ＝2，CE ＝1．求DF 的长度．四、本大题共3个小题，每小题10分，共30分． 20．（10分）已知y =2x ，且x ≠y ，求（1x−y+1x+y）÷x 2yx 2−y 2的值． 21．（10分）如图，已知点A （﹣2，﹣2）在双曲线y =kx 上，过点A 的直线与双曲线的另一支交于点B （1，a ）． （1）求直线AB 的解析式；（2）过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，连结AC ，过点C 作CD ⊥AB 于点D ．求线段CD 的长．22．（10分）自新冠肺炎疫情爆发以来，我国人民上下一心，团结一致，基本控制住了疫情．然而，全球新冠肺炎疫情依然严重，境外许多国家的疫情尚在继续蔓延，疫情防控不可松懈．如图是某国截止5月31日新冠病毒感染人数的扇形统计图和折线统计图．根据上面图表信息，回答下列问题：（1）截止5月31日该国新冠肺炎感染总人数累计为万人，扇形统计图中40﹣59岁感染人数对应圆心角的度数为°；（2）请直接在图中补充完整该国新冠肺炎感染人数的折线统计图；（3）在该国所有新冠肺炎感染病例中随机地抽取1人，求该患者年龄为60岁或60岁以上的概率；（4）若该国感染病例中从低到高各年龄段的死亡率依次为1%、2.75%、3.5%、10%、20%，求该国新冠肺炎感染病例的平均死亡率．五、本大题共2个小题，每小题10分，共20分．23．（10分）某汽车运输公司为了满足市场需要，推出商务车和轿车对外租赁业务．下面是乐山到成都两种车型的限载人数和单程租赁价格表：车型每车限载人数（人）租金（元/辆）商务车6300轿车4（1）如果单程租赁2辆商务车和3辆轿车共需付租金1320元，求一辆轿车的单程租金为多少元？（2）某公司准备组织34名职工从乐山赴成都参加业务培训，拟单程租用商务车或轿车前往．在不超载的情况下，怎样设计租车方案才能使所付租金最少？̂上一点，DE⊥AB于点E，24．（10分）如图1，AB是半圆O的直径，AC是一条弦，D是AC交AC于点F，连结BD交AC于点G，且AF＝FG．̂；（1）求证：点D平分AC（2）如图2所示，延长BA至点H，使AH＝AO，连结DH．若点E是线段AO的中点．求证：DH是⊙O的切线．六、本大题共2个小题，第25题12分，第26题13分，共25分．25．（12分）点P是平行四边形ABCD的对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F．点O为AC的中点．（1）如图1，当点P与点O重合时，线段OE和OF的关系是；（2）当点P运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图3，点P在线段OA的延长线上运动，当∠OEF＝30°时，试探究线段CF、AE、OE之间的关系．26．（13分）已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （5，0）两点，C 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，连结BC ，且tan ∠CBD =43，如图所示． （1）求抛物线的解析式；（2）设P 是抛物线的对称轴上的一个动点．①过点P 作x 轴的平行线交线段BC 于点E ，过点E 作EF ⊥PE 交抛物线于点F ，连结FB 、FC ，求△BCF 的面积的最大值； ②连结PB ，求35PC +PB 的最小值．2020年四川省乐山市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分． 1．（3分）12的倒数是（ ）A ．−12B ．12C ．﹣2D ．2【解答】解：根据倒数的定义，可知12的倒数是2． 故选：D ．2．（3分）某校在全校学生中举办了一次“交通安全知识”测试，张老师从全校学生的答卷中随机地抽取了部分学生的答卷，将测试成绩按“差”、“中”、“良”、“优”划分为四个等级，并绘制成如图所示的条形统计图．若该校学生共有2000人，则其中成绩为“良”和“优”的总人数估计为（ ）A ．1100B ．1000C ．900D ．110【解答】解：2000×85+2525+85+72+18=1100（人），故选：A ．3．（3分）如图，E 是直线CA 上一点，∠FEA ＝40°，射线EB 平分∠CEF ，GE ⊥EF ．则∠GEB ＝（ ）A ．10°B ．20°C ．30°D ．40°【解答】解：∵∠FEA ＝40°，GE ⊥EF ，∴∠CEF ＝180°﹣∠FEA ＝180°﹣40°＝140°，∠CEG ＝180°﹣∠AEF ﹣∠GEF ＝180°﹣40°﹣90°＝50°，∵射线EB平分∠CEF，∴∠CEB=12∠CEF=12×140°=70°，∴∠GEB＝∠CEB﹣∠CEG＝70°﹣50°＝20°，故选：B．4．（3分）数轴上点A表示的数是﹣3，将点A在数轴上平移7个单位长度得到点B．则点B表示的数是（）A．4B．﹣4或10C．﹣10D．4或﹣10【解答】解：点A表示的数是﹣3，左移7个单位，得﹣3﹣7＝﹣10，点A表示的数是﹣3，右移7个单位，得﹣3+7＝4．所以点B表示的数是4或﹣10．故选：D．5．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，O是对角线BD的中点，过点O作OE⊥CD于点E，连结OA．则四边形AOED的周长为（）A．9+2√3B．9+√3C．7+2√3D．8【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AD＝AB＝4，AB∥CD，∵∠BAD＝120°，∴∠ADB＝∠CDB＝30°，∵O是对角线BD的中点，∴AO⊥BD，在Rt△AOD中，AO=12AD＝2，OD=√3OA＝2√3，∵OE⊥CD，∴∠DEO＝90°，在Rt △DOE 中，OE =12OD =√3， DE =√3OE ＝3，∴四边形AOED 的周长＝4+2+√3+3＝9+√3． 故选：B ．6．（3分）直线y ＝kx +b 在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式kx +b ≤2的解集是（ ）A ．x ≤﹣2B ．x ≤﹣4C ．x ≥﹣2D ．x ≥﹣4【解答】解：∵直线y ＝kx +b 与x 轴交于点（2，0），与y 轴交于点（0，1）， ∴{2k +b =0b =1，解得{k =−12b =1 ∴直线为y =−12x +1，当y ＝2时，2=−12x +1，解得x ＝﹣2， 由图象可知：不等式kx +b ≤2的解集是x ≥﹣2， 故选：C ．7．（3分）观察下列各方格图中阴影部分所示的图形（每一小方格的边长为1），如果将它们沿方格边线或对角线剪开重新拼接，不能拼成正方形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：由题意，选项D 阴影部分面积为6，A ，B ，C 的阴影部分的面积为5， 如果能拼成正方形，选项D 的正方形的边长为√6，选项A ，B ，C 的正方形的边长为√5， 观察图象可知，选项A ，B ，C 阴影部分沿方格边线或对角线剪开均可得图1的5个图形，可以拼成图2的边长为√5的正方形，故选：D ．8．（3分）已知3m ＝4，32m﹣4n＝2．若9n ＝x ，则x 的值为（ ）A ．8B ．4C ．2√2D ．√2【解答】解：∵3m ＝4，32m ﹣4n＝（3m ）2÷（3n ）4＝2．∴42÷（3n ）4＝2， ∴（3n ）4＝42÷2＝8， 又∵9n ＝32n ＝x ，∴（3n ）4＝（32n ）2＝x 2， ∴x 2＝8， ∴x =√8=2√2． 故选：C ．9．（3分）在△ABC 中，已知∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1．如图所示，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90°后得到△AB ′C ′．则图中阴影部分面积为（ ）A ．π4B ．π−√32C ．π−√34D ．√32π 【解答】解：∵∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1， ∴AB =√3BC =√3，AC ＝2BC ＝2， ∴90⋅π×22360−90⋅π×3360−（12×1×√3−30⋅π×3360）=π−√32， 故选：B ．10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x与双曲线y=kx交于A、B两点，P是以点C（2，2）为圆心，半径长1的圆上一动点，连结AP，Q为AP的中点．若线段OQ 长度的最大值为2，则k的值为（）A．−12B．−32C．﹣2D．−14【解答】解：点O是AB的中点，则OQ是△ABP的中位线，当B、C、P三点共线时，PB最大，则OQ=12BP最大，而OQ的最大值为2，故BP的最大值为4，则BC＝BP﹣PC＝4﹣1＝3，设点B（m，﹣m），则（m﹣2）2+（﹣m﹣2）2＝32，解得：m2=1 2，∴k＝m（﹣m）=−1 2，故选：A．二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．11．（3分）用“＞”或“＜”符号填空：﹣7＞﹣9．【解答】解：∵|﹣7|＝7，|﹣9|＝9，7＜9，∴﹣7＞﹣9，故答案为：＞．12．（3分）某小组七位学生的中考体育测试成绩（满分40分）依次为37，40，39，37，40，38，40．则这组数据的中位数是39．【解答】解：把这组数据从小到大排序后为37，37，38，39，40，40，40，其中第四个数据为39，所以这组数据的中位数为39． 故答案为39．13．（3分）如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图．自动扶梯AB 的倾斜角为30°，在自动扶梯下方地面C 处测得扶梯顶端B 的仰角为60°，A 、C 之间的距离为4m ．则自动扶梯的垂直高度BD ＝ 2√3 m ．（结果保留根号）【解答】解：∵∠BCD ＝∠BAC +∠ABC ，∠BAC ＝30°，∠BCD ＝60°， ∴∠ABC ＝∠BCD ﹣∠BAC ＝30°， ∴∠BAC ＝∠ABC ， ∴BC ＝AC ＝4，在Rt △BDC 中，sin ∠BCD =BDBC， ∴sin60°=BD 4=√32， ∴BD ＝2√3（m ），答：自动扶梯的垂直高度BD ＝2√3m ， 故答案为：2√3．14．（3分）已知y ≠0，且x 2﹣3xy ﹣4y 2＝0．则xy 的值是 4或﹣1 ．【解答】解：∵x 2﹣3xy ﹣4y 2＝0，即（x ﹣4y ）（x +y ）＝0， 可得x ＝4y 或x ＝﹣y ， ∴xy =4或xy=−1，即x y的值是4或﹣1； 故答案为：4或﹣1．15．（3分）把两个含30°角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点E 为AD 的中点，连结BE 交AC 于点F ．则AF AC=35．【解答】解：连接CE ，∵∠CAD ＝30°，∠ACD ＝90°，E 是AD 的中点， ∴AC =√32AD ，CE =12AD ＝AE ， ∴∠ACE ＝∠CAE ＝30° ∵∠BAC ＝30°，∠ABC ＝90°， ∴AB =√32AC =34AD ，∠BAC ＝∠ACE ， ∴AB ∥CE ， ∴△ABF ∽△CEF ， ∴AF CF =AB CE =34AD 12AD =32，∴AF AC=35，故答案为35．16．（3分）我们用符号[x ]表示不大于x 的最大整数．例如：[1.5]＝1，[﹣1.5]＝﹣2．那么： （1）当﹣1＜[x ]≤2时，x 的取值范围是 0≤x ≤2 ；（2）当﹣1≤x ＜2时，函数y ＝x 2﹣2a [x ]+3的图象始终在函数y ＝[x ]+3的图象下方．则实数a 的范围是 a ＜−1或a ≥32 ． 【解答】解：（1）由题意∵﹣1＜[x ]≤2， ∴0≤x ≤2， 故答案为0≤x ≤2．（2）由题意：当﹣1≤x ＜2时，函数y ＝x 2﹣2a [x ]+3的图象始终在函数y ＝[x ]+3的图象下方，则有x ＝﹣1时，1+2a +3＜﹣1+3，解得a ＜﹣1， 或x ＝2时，4﹣2a +3≤1+3，解得a ≥32， 故答案为a ＜﹣1或a ≥32．三、本大题共3个小题，每小题9分，共27分． 17．（9分）计算：|﹣2|﹣2cos60°+（π﹣2020）0． 【解答】解：原式=2−2×12+1 ＝2．18．（9分）解二元一次方程组：{2x +y =2，8x +3y =9．【解答】解：{2x +y =2①8x +3y =9②，法1：②﹣①×3，得 2x ＝3， 解得：x =32，把x =32代入①，得 y ＝﹣1， ∴原方程组的解为{x =32y =−1； 法2：由②得：2x +3（2x +y ）＝9， 把①代入上式， 解得：x =32，把x =32代入①，得 y ＝﹣1， ∴原方程组的解为{x =32y =−1． 19．（9分）如图，E 是矩形ABCD 的边CB 上的一点，AF ⊥DE 于点F ，AB ＝3，AD ＝2，CE ＝1．求DF 的长度．【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形， ∴DC ＝AB ＝3，∠ADC ＝∠C ＝90°． ∵CE ＝1，∴DE =√DC 2+CE 2=√10． ∵AF ⊥DE ，∴∠AFD ＝90°＝∠C ，∠∠ADF +∠DAF ＝90°． 又∵∠ADF +∠EDC ＝90°， ∴∠EDC ＝∠DAF ， ∴△EDC ∽△DAF ， ∴DE AD=CE FD ，即√102=1FD， ∴FD =√105，即DF 的长度为√105．四、本大题共3个小题，每小题10分，共30分．20．（10分）已知y =2x ，且x ≠y ，求（1x−y +1x+y ）÷x 2y22的值．【解答】解：原式=2x (x+y)(x−y)÷x 2yx 2−y 2=2x x 2−y 2×x 2−y 2x 2y =2xy ， ∵y =2x ，∴原式=2x⋅2x=1 解法2：同解法1，得原式=2xy， ∵y =2x ， ∴xy ＝2， ∴原式=22=1． 21．（10分）如图，已知点A （﹣2，﹣2）在双曲线y =kx 上，过点A 的直线与双曲线的另一支交于点B （1，a ）． （1）求直线AB 的解析式；（2）过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，连结AC ，过点C 作CD ⊥AB 于点D ．求线段CD 的长．【解答】解：（1）将点A （﹣2，﹣2）代入y =k x，得k ＝4， 即y =4x ，将B （1，a ）代入y =4x ，得a ＝4， 即B （1，4），设直线AB 的解析式为y ＝mx +n ，将A （﹣2，﹣2）、B （1，4）代入y ＝kx +b ，得{−2=−2m +n 4=m +n ，解得{m =2n =2，∴直线AB 的解析式为y ＝2x +2；（2）∵A （﹣2，﹣2）、B （1，4）， ∴AB =√(−2−1)2+(−2−4)2=3√5，∵S△ABC=12×AB×CD=12×BC×3，∴CD=BC×3AB=35=4√55．22．（10分）自新冠肺炎疫情爆发以来，我国人民上下一心，团结一致，基本控制住了疫情．然而，全球新冠肺炎疫情依然严重，境外许多国家的疫情尚在继续蔓延，疫情防控不可松懈．如图是某国截止5月31日新冠病毒感染人数的扇形统计图和折线统计图．根据上面图表信息，回答下列问题：（1）截止5月31日该国新冠肺炎感染总人数累计为20万人，扇形统计图中40﹣59岁感染人数对应圆心角的度数为72°；（2）请直接在图中补充完整该国新冠肺炎感染人数的折线统计图；（3）在该国所有新冠肺炎感染病例中随机地抽取1人，求该患者年龄为60岁或60岁以上的概率；（4）若该国感染病例中从低到高各年龄段的死亡率依次为1%、2.75%、3.5%、10%、20%，求该国新冠肺炎感染病例的平均死亡率．【解答】解：（1）截止5月31日该国新冠肺炎感染总人数累计为9÷45%＝20（万人），扇形统计图中40﹣59岁感染人数对应圆心角的度数为360°×420=72°，故答案为：20、72；（2）20﹣39岁人数为20×10%＝2（万人），补全的折线统计图如图2所示；（3）该患者年龄为60岁及以上的概率为：9+4.520×100%=67.5%=0.675；（4）该国新冠肺炎感染病例的平均死亡率为：0.5×1%+2×2.75%+4×3.5%+9×10%+4.5×20%20×100%=10%．五、本大题共2个小题，每小题10分，共20分．23．（10分）某汽车运输公司为了满足市场需要，推出商务车和轿车对外租赁业务．下面是乐山到成都两种车型的限载人数和单程租赁价格表：车型 每车限载人数（人）租金（元/辆）商务车 6 300 轿车4（1）如果单程租赁2辆商务车和3辆轿车共需付租金1320元，求一辆轿车的单程租金为多少元？（2）某公司准备组织34名职工从乐山赴成都参加业务培训，拟单程租用商务车或轿车前往．在不超载的情况下，怎样设计租车方案才能使所付租金最少？ 【解答】解：（1）设租用一辆轿车的租金为x 元， 由题意得：300×2+3x ＝1320， 解得 x ＝240，答：租用一辆轿车的租金为240元；（2）①若只租用商务车， ∵346=523，∴只租用商务车应租6辆，所付租金为300×6＝1800（元）； ②若只租用轿车， ∵344=8.5，∴只租用轿车应租9辆，所付租金为240×9＝2160（元）；③若混和租用两种车，设租用商务车m 辆，租用轿车n 辆，租金为W 元． 由题意，得 {6m +4n =34W =300m +240n ，由6m +4n ＝34，得 4n ＝﹣6m +34，∴W ＝300m +60（﹣6m +34）＝﹣60m +2040， ∵﹣6m +34＝4n ≥0， ∴m ≤173， ∴1≤m ≤5，且m 为整数， ∵W 随m 的增大而减小，∴当m ＝5时，W 有最小值1740，此时n ＝1．综上，租用商务车5辆和轿车1辆时，所付租金最少为1740元．24．（10分）如图1，AB 是半圆O 的直径，AC 是一条弦，D 是AC ̂上一点，DE ⊥AB 于点E ，交AC 于点F ，连结BD 交AC 于点G ，且AF ＝FG ． （1）求证：点D 平分AĈ； （2）如图2所示，延长BA 至点H ，使AH ＝AO ，连结DH ．若点E 是线段AO 的中点．求证：DH 是⊙O 的切线．【解答】证明：（1）如图1，连接AD 、BC ， ∵AB 是半圆O 的直径， ∴∠ADB ＝90°，∵DE⊥AB，∴∠ADE＝∠ABD，又∵AF＝FG，即点F是Rt△AGD的斜边AG的中点，∴DF＝AF，∴∠DAF＝∠ADF＝∠ABD，又∵∠DAC＝∠DBC，∴∠ABD＝∠DBC，∴AD̂=DĈ，∴即点D平分AĈ；（2）如图2所示，连接OD、AD，∵点E是线段OA的中点，∴OE=12OA=12OD，∴∠AOD＝60°，∴△OAD是等边三角形，∴AD＝AO＝AH，∴△ODH是直角三角形，且∠HDO＝90°，∴DH是⊙O的切线．六、本大题共2个小题，第25题12分，第26题13分，共25分．25．（12分）点P是平行四边形ABCD的对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F．点O为AC的中点．（1）如图1，当点P与点O重合时，线段OE和OF的关系是OE＝OF；（2）当点P运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图3，点P在线段OA的延长线上运动，当∠OEF＝30°时，试探究线段CF、AE、OE之间的关系．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，又∵∠AEO＝∠CFO，∠AOE＝∠COF＝90°，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴OE＝OF，故答案为：OE＝OF；（2）补全图形如图所示，结论仍然成立，理由如下：延长EO交CF于点G，∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴AE∥CF，∴∠EAO＝∠GCO，∵点O为AC的中点，∴AO＝CO，又∵∠AOE ＝∠COG ，∴△AOE ≌△COG （AAS ），∴OE ＝OG ，∵∠GFE ＝90°，∴OE ＝OF ；（4）点P 在线段OA 的延长线上运动时，线段CF 、AE 、OE 之间的关系为OE ＝CF +AE ， 证明如下：如图，延长EO 交FC 的延长线于点H ，由（2）可知△AOE ≌△COH ，∴AE ＝CH ，OE ＝OH ，又∵∠OEF ＝30°，∠HFE ＝90°，∴HF =12EH ＝OE ，∴OE ＝CF +CH ＝CF +AE ．26．（13分）已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （5，0）两点，C 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，连结BC ，且tan ∠CBD =43，如图所示．（1）求抛物线的解析式；（2）设P 是抛物线的对称轴上的一个动点．①过点P 作x 轴的平行线交线段BC 于点E ，过点E 作EF ⊥PE 交抛物线于点F ，连结FB 、FC ，求△BCF 的面积的最大值；②连结PB ，求35PC +PB 的最小值．【解答】解：（1）根据题意，可设抛物线的解析式为：y ＝a （x +1）（x ﹣5）， ∵抛物线的对称轴为直线x ＝2，∴D （2，0），又∵tan ∠CBD =43=CD DB， ∴CD ＝BD •tan ∠CBD ＝4，即C （2，4），代入抛物线的解析式，得4＝a （2+1）（2﹣5），解得 a =−49，∴二次函数的解析式为 y =−49(x +1)(x −5)=−49x 2+169x +209； （2）①设P （2，t ），其中0＜t ＜4，设直线BC 的解析式为 y ＝kx +b ，∴{0=5k +b ，4=2k +b.， 解得 {k =−43，b =203.即直线BC 的解析式为 y =−43x +203， 令y ＝t ，得：x =5−34t ，∴点E （5−34t ，t ），把x =5−34t 代入y =−49(x +1)(x −5)，得 y =t(2−t 4)，即F(5−34t ，2t −14t 2)，∴EF =(2t −14t 2)−t =t −t 24，∴△BCF 的面积=12×EF ×BD =32（t −t 24）=−38(t 2−4t)=−38(t −2)2+32， ∴当t ＝2时，△BCF 的面积最大，且最大值为32； ②如图，连接AC ，根据图形的对称性可知∠ACD ＝∠BCD ，AC ＝BC ＝5，∴sin ∠ACD =AD AC =35，过点P 作PG ⊥AC 于G ，则在Rt △PCG 中，PG =PC ⋅sin ∠ACD =35PC ， ∴35PC +PB =PG +PB ， 过点B 作BH ⊥AC 于点H ，则PG +PH ≥BH ，∴线段BH 的长就是35PC +PB 的最小值， ∵S △ABC =12×AB ×CD =12×6×4=12，又∵S △ABC =12×AC ×BH =52BH ，∴52BH =12， 即BH =245，∴35PC +PB 的最小值为245．。
2014-2015年四川省乐山外国语学校高一上学期数学期中试卷带答案
2014-2015学年四川省乐山外国语学校高一（上）期中数学试卷一．选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求．）1．（5.00分）已知全集U=R，集合A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x＜﹣1或x＞4}，那么集合A∩（∁U B）等于（）A．{x|﹣2≤x≤4}B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|﹣2≤x＜﹣1}D．{x|﹣1≤x≤3}2．（5.00分）满足条件M∪{1}={1，2，3}的集合M的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．43．（5.00分）下列各式中成立的一项（）A．B．C．=D．4．（5.00分）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x2﹣x，则f（2）=（）A．6 B．﹣6 C．10 D．﹣105．（5.00分）下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（）A．B．y=x3 C．y=2|x|D．y=cosx6．（5.00分）若数集A={x|2a+1≤x≤3a﹣5}，B={x|3≤x≤22}，则能使A⊆B成立的所有a的集合是（）A．{a|1≤a≤9}B．{a|6≤a≤9}C．{a|a≤9}D．∅7．（5.00分）若函数f（x）的定义域为[0，1]，值域为[1，2]，则f（x+2）的定义域和值域分别是（）A．[0，1]，[1，2] B．[2，3]，[3，4] C．[﹣2，﹣1]，[1，2]D．[﹣1，2]，[3，4]8．（5.00分）设2a=5b=m，且，则m=（）A． B．10 C．20 D．1009．（5.00分）对于每个实数x，设f（x）取y=4x+1，y=x+2，y=﹣2x+4三个函数中的最小值，则f（x）的最大值为（）A．B．C．D．10．（5.00分）已知函数f（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+2b 的取值范围是（）A．B．C．（3，+∞）D．[3，+∞）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卷横线上）11．（5.00分）幂函数f（x）的图象过点，则f（x）的解析式是．12．（5.00分）已知x2+bx+c＜0的解集是{x|1＜x＜3}，则b+c等于．13．（5.00分）函数f（x）=的定义域为．14．（5.00分）已知函数f（x）=的定义域为R，则k的取值范围是．15．（5.00分）已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数x，y满足f（x+y）=f （x）+f（y）+，且f（）=0，当x时，f（x）＞0．给出以下结论：①f（0）=﹣；②f（﹣1）=﹣；③f（x）为R上减函数；④f（x）+为奇函数；⑤f（x）+1为偶函数．其中正确结论的序号是．三.解答题（16-19每小题12分，20题13分，21题14分，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16．（12.00分）已知函数f（x）=lg的定义域为集合A，函数g（x）=的定义域为集合B．（1）求集合A，B；（2）求A∩B，（∁R A）∩（∁R B）．17．（12.00分）（1）已知a=，b=，求[b]2的值；（2）计算lg8+lg25+lg2•lg50+lg25的值．18．（12.00分）已知函数f（x）=a•4x﹣a•2x+1+2在区间[﹣2，2]上的最大值为3，求实数a的值．19．（12.00分）某军工企业生产一种精密电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R（x）=其中x是仪器的月产量．（1）将利润表示为月产量的函数；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？（总收益=总成本+利润．）20．（13.00分）已知奇函数f（x）=ax++c的图象经过点A（1，1），B（2，﹣1）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求证：函数f（x）在（0，+∞）上为减函数；（3）若|t﹣1|≤f（x）+2对x∈[﹣2，﹣1]∪[1，2]恒成立，求实数t的范围．21．（14.00分）函数f（x）对任意的x，y∈R都有f（2x+y）=2f（x）+f（y），且当x＞0，f（x）＜0．（1）求证：f（3x）=3f（x），f（2x）=2f（x）；（2）判断f（x）在（﹣∞，+∞）上的单调性并证明；（3）若f（6）=﹣1，解不等式．2014-2015学年四川省乐山外国语学校高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求．）1．（5.00分）已知全集U=R，集合A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x＜﹣1或x＞4}，那么集合A∩（∁U B）等于（）A．{x|﹣2≤x≤4}B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|﹣2≤x＜﹣1}D．{x|﹣1≤x≤3}【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x＜﹣1或x＞4}，∴C U B={x|﹣1≤x≤4}，∴A∩（C U B）={x|﹣2≤x≤3}∩{x|﹣1≤x≤4}={x|﹣1≤x≤3}，故选：D．2．（5.00分）满足条件M∪{1}={1，2，3}的集合M的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：满足条件M∪﹛1﹜=﹛1，2，3﹜的集合M，M必须包含元素2，3，所以不同的M集合，其中的区别就是否包含元素1．那么M可能的集合有{2，3}和{1，2，3}，故选：B．3．（5.00分）下列各式中成立的一项（）A．B．C．=D．【解答】解：A中应为；B中等式左侧为正数，右侧为负数；C正确．D中x=y=1时不成立；故选：C．4．（5.00分）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x2﹣x，则f（2）=（）A．6 B．﹣6 C．10 D．﹣10【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∵当x≤0时，f（x）=2x2﹣x，∴f（2）=﹣f（﹣2）=﹣[2×（﹣2）2﹣（﹣2）]=﹣10，故选：D．5．（5.00分）下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（）A．B．y=x3 C．y=2|x|D．y=cosx【解答】解：对于函数的定义域为x∈R且x≠0将x用﹣x代替函数的解析式不变，所以是偶函数当x∈（0，+∞）时，∵∴在区间（0，+∞）上单调递减的函数故选：A．6．（5.00分）若数集A={x|2a+1≤x≤3a﹣5}，B={x|3≤x≤22}，则能使A⊆B成立的所有a的集合是（）A．{a|1≤a≤9}B．{a|6≤a≤9}C．{a|a≤9}D．∅【解答】解：若A=∅，即2a+1＞3a﹣5，解得a＜6时，满足A⊆B．若A≠∅，即a≥6时，要使A⊆B成立，则，即，解得1≤a≤9，此时6≤a≤9．综上a≤9．故选：C．7．（5.00分）若函数f（x）的定义域为[0，1]，值域为[1，2]，则f（x+2）的定义域和值域分别是（）A．[0，1]，[1，2] B．[2，3]，[3，4] C．[﹣2，﹣1]，[1，2]D．[﹣1，2]，[3，4]【解答】解：函数f（x+2）是由函数f（x）向左平移2个单位得到∵函数f（x）的定义域为[0，1]，∴f（x+2）的定义域为[﹣2，﹣1]，函数图象进行左右平移值域不变故f（x+2）的值域为[1，2]，故选：C．8．（5.00分）设2a=5b=m，且，则m=（）A． B．10 C．20 D．100【解答】解：，∴m2=10，又∵m＞0，∴．故选：A．9．（5.00分）对于每个实数x，设f（x）取y=4x+1，y=x+2，y=﹣2x+4三个函数中的最小值，则f（x）的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，可得函数f（x）的图象如图：由得A（，）∴f（x）的最大值为故选：D．10．（5.00分）已知函数f（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+2b 的取值范围是（）A．B．C．（3，+∞）D．[3，+∞）【解答】解：因为f（a）=f（b），所以|lga|=|lgb|，所以a=b（舍去），或，所以a+2b=又0＜a＜b，所以0＜a＜1＜b，令，由“对勾”函数的性质知函数f（a）在a∈（0，1）上为减函数，所以f（a）＞f（1）=1+=3，即a+2b的取值范围是（3，+∞）．故选：C．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卷横线上）11．（5.00分）幂函数f（x）的图象过点，则f（x）的解析式是．【解答】解：由题意令f（x）=x n，将点代入，得，解得n=所以故答案为12．（5.00分）已知x2+bx+c＜0的解集是{x|1＜x＜3}，则b+c等于﹣1．【解答】解：∵不等式x2+bx+c＜0的解集是{x|1＜x＜3}，∴1，3是方程不等式x2+bx+c=0的两个根由根与系数的关系得到b=﹣（1+3）=﹣4；c=1×3=3∴b+c=﹣1故答案为：﹣113．（5.00分）函数f（x）=的定义域为（0，0.5] ．【解答】解：要使函数有意义，则需x＞0，且log0.5x﹣1≥0，即有x＞0，且log0.5x≥log0.50.5，解得，0＜x≤0.5．则定义域为（0，0.5]．故答案为：（0，0.5]．14．（5.00分）已知函数f（x）=的定义域为R，则k的取值范围是[0，1）．【解答】解：函数f（x）的定义域为R，则kx2﹣4kx+k+3＞0恒成立，当k=0时，3＞0成立；当k＞0，△＜0时，即k＞0，16k2﹣4k（k+3）＜0，解得，0＜k＜1．则0≤k＜1．即k的取值范围是[0，1）．故答案为：[0，1）．15．（5.00分）已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数x，y满足f（x+y）=f （x）+f（y）+，且f（）=0，当x时，f（x）＞0．给出以下结论：①f（0）=﹣；②f（﹣1）=﹣；③f（x）为R上减函数；④f（x）+为奇函数；⑤f（x）+1为偶函数．其中正确结论的序号是①②④．【解答】解：由题意和xy的任意性，取x=y=0代入可得f（0）=f（0）+f（0）+，即f（0）=，故①正确；取x=，y=代入可得f（0）=f（）+f（）+，即=0+f（）+，解得f（）=﹣1，再令x=y=代入可得f（﹣1）=f（﹣）+f（）+=﹣2+=，故②正确；令y=﹣x代入可得=f（0）=f（x）+f（﹣x）+，即f（x）++f（﹣x）+=0，故f（x）+为奇函数，④正确；取y=﹣1代入可得f（x﹣1）=f（x）+f（﹣1）+，即f（x﹣1）﹣f（x）=f（﹣1）+=﹣1＜0，即f（x﹣1）＜f（x），故③f（x）为R上增函数，错误；⑤错误，因为f（x）+1=f（x）++，由③可知g（x）=f（x）+为奇函数，故g（﹣x）+﹣g（x）﹣=﹣2g（x）不恒为0，故函数f（x）+1不是偶函数故答案为：①②④三.解答题（16-19每小题12分，20题13分，21题14分，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16．（12.00分）已知函数f（x）=lg的定义域为集合A，函数g（x）=的定义域为集合B．（1）求集合A，B；（2）求A∩B，（∁R A）∩（∁R B）．【解答】解：（1）函数f（x）=lg，得到＞0，整理得：（x+1）（x﹣1）＜0，解得：﹣1＜x＜1，即A=（﹣1，1），函数g（x）=，得到3﹣x≥0，即x≤3，∴B=（﹣∞，3]；（2）∵A=（﹣1，1），B=（﹣∞，3]∴A∩B=（﹣1，1），∁R A=（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），∁R B=（3，+∞），则（∁R A）∩（∁R B）=（3，+∞）．17．（12.00分）（1）已知a=，b=，求[b]2的值；（2）计算lg8+lg25+lg2•lg50+lg25的值．【解答】解：（1）====．∵，∴原式===20=1；（2）=2lg2+lg25+lg2（1+lg5）+2lg5=2（lg2+lg5）+lg25+lg2+lg2•lg5=2+lg5（lg5+lg2）+lg2=2+lg5+lg2=3．18．（12.00分）已知函数f（x）=a•4x﹣a•2x+1+2在区间[﹣2，2]上的最大值为3，求实数a的值．【解答】解：令t=2x，∵x∈[﹣2，2]，∴t∈[，4]，则g（t）=f（x）=at2﹣2at+2．当a=0时，g（t）=2≠3，故舍去a=0；当a≠0时，g（t）=a（t﹣1）2+2﹣a；当a＞0时，g（t）max=g（4）=8a+2=3，∴．当a＜0时，g（t）max=2﹣a=3，∴a=﹣1．综上，或a=﹣1．19．（12.00分）某军工企业生产一种精密电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R（x）=其中x是仪器的月产量．（1）将利润表示为月产量的函数；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？（总收益=总成本+利润．）【解答】解：（1）设月产量为x台，则总成本为20000+100x，从而利润（2）当0≤x≤400时，f（x）=，所以当x=300时，有最大值25000；当x＞400时，f（x）=60000﹣100x是减函数，所以f（x）=60000﹣100×400＜25000．所以当x=300时，有最大值25000，即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元．20．（13.00分）已知奇函数f（x）=ax++c的图象经过点A（1，1），B（2，﹣1）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求证：函数f（x）在（0，+∞）上为减函数；（3）若|t﹣1|≤f（x）+2对x∈[﹣2，﹣1]∪[1，2]恒成立，求实数t的范围．【解答】解：（1）∵奇函数f（x）=ax++c的图象经过点A（1，1），B（2，﹣1）．∴函数f（x）=ax++c的图象经过点（﹣1，﹣1），即，解得：故f（x）=﹣x+证明：（2）∵f′（x）=﹣1﹣，当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0故函数f（x）在（0，+∞）上为减函数；解：（3）当x∈[﹣2，﹣1]∪[1，2]时，f（x）∈[﹣1，1]，则f（x）+2∈[1，3]，若|t﹣1|≤f（x）+2对x∈[﹣2，﹣1]∪[1，2]恒成立，则|t﹣1|≤1，则t∈[0，2]21．（14.00分）函数f（x）对任意的x，y∈R都有f（2x+y）=2f（x）+f（y），且当x＞0，f（x）＜0．（1）求证：f（3x）=3f（x），f（2x）=2f（x）；（2）判断f（x）在（﹣∞，+∞）上的单调性并证明；（3）若f（6）=﹣1，解不等式．【解答】解：（1）令y=x，则f（2x+x）=2f（x）+f（x）=3f（x），令x=y=0，得f（0）=0，令y=0，则f（2x）=2f（x），故f（3x）=3f（x），f（2x）=2f（x）；（2）由f（0）=0，函数f（x）为减函数，令t=2x，则f（2x+y）=f（t+y），2f（x）+f（y）=f（2x）+f（y）=f（t）+f（y），∴f（t+y）=f（t）+f（y）设x1，x2∈R且x1＜x2，则x2﹣x1＞0，∵当x＞0时，f（x）＜0，∴f（x2﹣x1）＜0，∵f（x2）=f（x2﹣x1+x1）=f（x2﹣x1）+f（x1）＜f（x1），∴f（x1）＞f（x2），∴函数f（x）为R上的单调减函数，（3）∵，．===，∴f（log2[x（x﹣2）]＜f（1）因为f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，所以解不等式组得．所以不等式的解集为．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型： 图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．EB4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。
四川省乐山十校2019-2020学年高一第二学期期中联考数学试题
A．
B．
，则角B的大小为（ ）
C．
D．
9. 等比数列 A．6
的各项均为正数，且 B．5
，则
C．4
（） D．
10. 已知在 A． C．
中，点M在边BC上，且
，点E在边AC上，且 B． D．
，则向量
（）
11. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 层塔共挂了 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 倍，则塔的底层共有灯（ ）
B．
C．3
D．
5. 在 A．
中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，边a，b，c依次成等比数列，且
B．
C．
D．
，则
（）
6.
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c. 已知
A．
B．
，
，
，则
C．
（） D．
7. 数列 中，若
，则 ＝（ ）
A．
B．
C．
D．
8.
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
A． 盏
B． 盏
C． 盏
D． 盏Байду номын сангаас
12. 数列 中，
且
A．
B．
，则数列
的前2020项和为（ ）
C．
D．
二、填空题
13. 已知平行四边形
的顶点
，
，
，则顶点D的坐标为________.
14. 在
中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
，则该三角形的形状是________.（不要使用“ ”符号表示三角形）
四川省乐山市外国语学校2019-2020学年高一数学9月月考试题[含答案]
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是定义在
上的奇函数,且
,若 ，
，
时，有
成立．
判断 在
上的单调性，并证明．
解不等式：
(3)若 围．
对所有的
恒成立，求实数 的取值范
备选 22. 已知二次函数 的最小值为 ，且
．
求 的解析式；
求
的值域；
若 在区间
上不单调，求 的取值范围．
第一次月考数学参考答案与试题解析 一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计 60 分 ） 1【解答】
16、对于实数 和 ，定义运算“ ”：
，
，若方程
值范围是_______________________．
设函数 恰有两个不同的解，则实数 的取
三、 解答题 （本题共计 6 小题 ,17 题 10 分,其余每题 12 分 ,共计 70 分. ）
17. 设全集为 ，
，
，
．
（1）求
及
；
（2）若
，求实数 的取值范围．
，∴
，
又∵
是奇函数，得
，
∴ ∴ 故在
． ，即
上为增函数.
∵
在
上为增函数，
∴ 不等式
，即
，
解之得
，即为原不等式的解集；
由 ，得 在
上为增函数，且最大值为
，
因此，若
对所有的
恒成立，
即
对所有的
恒成立，得
对所有的
恒成立，
∴
且
，解之得
或
或
.
即满足条件的实数 的取值范围为
．
31. 【解答】
解： 由题意可得 在 时，取得最小值 ，
四川省乐山市外国语学校 2019-2020 学年高一数学 9 月月考试题
赋值与构造法解抽象函数综合大题
专题 赋值与构造法解抽象函数综合大题知识点一、赋值求函数值1.已知：函数()f x 是定义在()0,∞+上的增函数，对一切实数,x y 都有()()()f xy f x f y =+成立，且()31f =.（1）求()1f 的值；2.（北京市清华大学附属中学2020-2021学年高一上学期数学期中）已知函数()f x 满足：,a b R ∀∈，均有()()()f a b f a f b +=+，且()24f =．（1）求()0f ，()4f 的值；3.（广西桂林市逸仙中学2020-2021学年高一上学期期中）已知函数()f x 在其定义域(0,)+∞，(2)1f =，且对任意正数x ，y 都有()()()f xy f x f y =+成立. （1）求(8)f 的值；4.（四川省乐山市乐山外国语学校2020-2021学年高一上学期期中）定义在R 上的函数()f x 是单调函数，满足()36f =，且()()()f x y f x f y +=+，（x ，y R ∈）. （1）求()0f ，()1f ；知识点二、抽象函数证明或判断奇偶性证明奇偶性，实质就是赋值。
通过以下几道例题的第一问，分析出赋值规律。
1.可赋值，得到一些特殊点函数值，如f （0），f （1）等， 2.尝试适当的换元字母，构造出x 和-x ，如f （x+y ），可令y= -x ，f （xy ），可令y= -1等等3.通过各类抽象函数式子，来积累一定的赋值技巧。
实际授课，是实验探索第2条来推导赋值第1条。
1.（抽象式子特征：积→和）（安徽省六安市皖西中学2020-2021学年高一上学期期中）已知定义在(,0)(0,)-∞+∞上的函数()f x 满足：①,(,0)(0,)x y ∀∈-∞⋃+∞，()()()f xy f x f y =+；②当1x >时，()0f x >且(2)1f =．（1）判断函数()f x 的奇偶性；2.（抽象式子特征：和→和）（福建省厦门第一中学2020-2021学年高一上学期期中）定义在R 上的连续函数对任意实数x ，y ，恒有()()()f x f y f x y +=+，且当0x >时，()0f x <，又2(1)3f =-.（1）求证：()f x 为奇函数；3.（抽象式子特征：特殊的复杂式子）（浙江省温州中学2020-2021学年高一上学期期中）定义在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的函数()f x 满足：对任意的11,,22x y ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭都有()()()1()()f x f y f x y f x f y ，且当102x <<时，()0f x >．（1）判断()f x 的奇偶性并证明；4.（抽象式子特征：和→和+常数）（长春市东北师大附中2020-2021学年上学期期中）若定义在R 上的函数()f x 满足：1x ∀，2x ∈R ，都有()()()12121f x x f x f x +=++成立，且当0x >时，()1f x >-. （1）求证：()1f x +为奇函数；5.（抽象式子特征：和→复杂）（广西南宁三中2020-2021学年高一（上）期中）定义在()1,1-上的函数()f x ，对任意(),1,1x y ∈-都有()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭.（1）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由；6.（抽象式子特征：积→积）（贵州省黔南布依族苗族自治州都匀市第一中学2019-2020学年高一上学期期中）已知函数()f x 的值满足()0f x >（当0x ≠时），对任意实数x ，y 都有()()() f xy f x f y =⋅，且()11f -=，()279f =，当01x <<时，()()0,1f x ∈.（1）求()1f 的值，判断()f x 的奇偶性并证明；7.（抽象式子特征：积→和）（安徽省黄山市祁门县第一中学2019-2020学年高一期中）函数()f x 的定义域为{|0}D x x =≠，且满足对任意12,x x D ∈，有()()()1212f x x f x f x ⋅=+. （1）判断()f x 的奇偶性并证明你的结论；8.（抽象式子特征：和与差→积）（西藏自治区山南市第二高级中学2019-2020学年高一上学期期中）定义在R 上的函数()f x ，对任意的,x y R ∈，有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=，且(0)0f ≠. （1）求证：(0)1f =； （2）求证：()f x 是偶函数.知识点三、判断单调性证明单调性，实质就是构造定义法，在12x x <时，构造证明出21()()f x f x -正负。
精品解析：四川乐山市中区乐山外国语学校2020~2021学年高三上学期期中理科数学试题(解析版)
2020~2021学年四川乐山市中区乐山外国语学校高三上学期期中理科数学试卷一、选择题1. 已知集合{}2,1,0,1,2A =--，{}26<0B x x x =--，则AB =（ ）.A. {}2,1,0,1,2,3--B. {}2,1,0,1,2--C.1,0,1,2D. {}2,1,0,1--【答案】C 【解析】【分析】解出集合B ，利用交集的定义可求得集合A B .【详解】因为集合{}{}26023B x x x x x =--<=-<<，{}2,1,0,1,2A =--，因此，{}1,0,1,2A B ⋂=-. 故选：C.2. 已知复数z 满足(2)(1)2z i i --=，则z 对应复平面内的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求出1z i =+，可得复数的坐标，从而可得答案. 【详解】由(2)(1)2z i i --=， 得22(1)22(1)2112i i i z i i i i +=+=+=++=+-， 复平面内对应点的坐标为(1,1)，在第一象限． 故选：A ．【点睛】本题主要考查复数的除法运算以及复数的坐标表示，属于基础题.3. 某人5次上班途中所花的时间（单位:分钟）分别为x ，y ，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则||x y -的值为（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4【分析】根据这组数据的平均数为10,方差为2可求得,x y ,再求||x y -即可. 【详解】由题,1011951050x y ++++=⨯=,即20x y +=. 又()()()()()22222110101010111091025x y ⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦, 即()()2210108x y -+-=.代入20x y +=有()()222010108y y --+-=,解得8y =或12y =.故128x y =⎧⎨=⎩或812x y =⎧⎨=⎩.故||4x y -=. 故选：D【点睛】本题主要考查了平均数与方程的综合运算,属于基础题. 4. 数列1、1、2、3、5、8、13、21、34、称为斐波那契数列，是意大利著名数学家斐波那契于1202年在他撰写的《算盘全书》中提出的，该数列的特点是：从第三项起，每一项都等于它前面两项的和.在该数列的前2020项中，偶数的个数为（ ） A. 505 B. 673C. 674D. 1010【答案】B 【解析】【分析】由斐波那契数列的特点可知，该数列只有第()3k k *∈N 项为偶数，再由202036731=⨯+可求得结果.【详解】由斐波那契数列的特点，可得此数列只有第()3k k *∈N 项为偶数，由于202036731=⨯+，所以前2020项中偶数的个数为673． 故选：B.【点睛】本题考查斐波那契数列的应用，考查推理能力，属于基础题.5. 已知第四象限内抛物线216y x =上的一点M 到y 轴的距离是该点到抛物线焦点距离的15，则点M 的坐标为A. ()1,8-B. ()1,4-C. (1,-D. (2,-【分析】利用抛物线上点到焦点距离与到准线的距离相等，设(,)M x y ，列式计算即可得解. 【详解】解：设(,)M x y ，则根据题意及抛物线的定义可得:1(4)5x x =+，解得1x =， 代入抛物线方程得：4y =±，又点M 在第四象限，所以4y =-，故(1,4)M -. 故选：B.【点睛】本题主要考查抛物线的定义，考查的数学核心素养是数学运算,属于基础题.6. 已知向量a ，b 满足1a →=，2b →=，22a b →→+=，则向量b →在向量a →方向上的投影是（ ） A. 12-B. 1-C.12D. 1【答案】B 【解析】【分析】根据向量数量积的运算及模的性质可求出1a b →→⋅=-，代入向量在向量上的投影公式可得. 【详解】由22a b →→+=可得，222(2)4||4||4a b a a b b →→→→→→+=+⋅+=，又1a →=，2b →=，所以1a b →→⋅=-，所以b →在向量a →方向上的投影为1a ba→→→⋅=-，故选：B【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算，向量模的性质，向量在向量上的投影，属于中档题. 7. 在正三棱柱111ABC A B C -中，若1AB BB =，D 是1CC 的中点，则1CA 与BD 所成角的大小是A. 30B. 45C. 90D. 60【答案】C 【解析】【详解】如图所示，取AC 的中点E ，连结,BE DE ，ABC 为等边三角形，则BE AC ⊥， 由正棱柱的性质可得平面11ACC A ⊥平面ABC ，利用面面垂直的性质定理可得：BE ⊥平面11ACC A ，1BE A C ∴⊥， 正方形11ACC A 中，11,,CD C D AE CE DE AC ==∴⊥，又DE BE E ⋂=，由线面垂直的判断定理可得：1A C ⊥平面BDE ， 则1A C BD ⊥，即1CA 与BD 所成角的大小是90. 本题选择C 选项.8. 已知sin 15tan 2102α⎛⎫︒-=︒ ⎪⎝⎭，则()sin 60α︒+的值为（ ） A.13 B. 13-C.23D. 23-【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到3sin 1523α⎛⎫︒-= ⎪⎝⎭进而得到26cos 1529α⎛⎫︒-= ⎪⎝⎭，()1cos 303α︒-=，从而有()()()sin 60sin 9030cos 30ααα⎡⎤︒+=︒-︒-=︒-⎣⎦.【详解】∵sin 15tan 2102α⎛⎫︒-=︒ ⎪⎝⎭，∴()sin 15tan 210tan 18030tan3023α⎛⎫︒-=︒=︒+︒=︒= ⎪⎝⎭， 则226cos 151sin 15229αα⎛⎫⎛⎫︒-=-︒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()221cos 30cos 15sin 15223ααα⎛⎫⎛⎫︒-=︒--︒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()()sin 60sin 9030αα⎡⎤︒+=︒-︒-⎣⎦()1cos 303α=︒-=， 故选A.【点睛】本题主要考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系，诱导公式，属于基础题.9. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：已知[150,300]x ∈且x 是整数，则满足能被3除余1且被5除余3的所有x 的取值的和为（ ）A. 2020B. 2305C. 4610D. 4675【答案】B 【解析】 【分析】构造等差数列，再利用等差数列的前n 项和公式，即可得答案； 【详解】131x k =+且253x k =+，∴12352k k =+，∴当2222,5,8,,k k k ===时，13,28,43,x =，∴x 的值构成以13为首项，公差为15的等差数列， ∴13(1)15152n x n n =+-⋅=-，[150,300]x ∈，∴150152300n ≤-≤1120n ⇒≤≤，∴x 的取值的和为201020(13298)10(13148)230522S S ⋅+⋅+-=-=，故选：B.【点睛】本题考查等差数列通项公式和前n 项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 10. 已知函数()()1sin 02f x x x ωωω=->，若()f x 在π3π,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，则ω的取值范围是（ ）A. 280,,99⎛⎤⎡⎫+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ B. 2280,,939⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦C. 280,,199⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦D. [)28,991,⎛⎤⎥⎦∞⎝+【答案】B 【解析】【分析】先利用辅助角公式可得()sin 3f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭，由函数()f x 在π3π,22⎛⎫⎪⎝⎭上无零点，结合正弦型函数图象与性质可知，3πππππ23232T ωωω⎛⎫⎛⎫---≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，并且()πππ,233ππ1π,23k k ωω⎧≤-⎪⎪⎨⎪+≥-⎪⎩在0>ω的前提下，对k 进行赋值解不等式求出ω的取值范围即可. 【详解】因为()1πsin sin 23f x x x x ωωω⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 所以若π3π22x <<，则πππ3ππ23323x ωωω-<-<-， 即3πππππ23232T ωωω⎛⎫⎛⎫---≤=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则21ω≤，又0>ω，解得01ω<≤，又()πππ,233ππ1π,23k k ωω⎧≤-⎪⎪⎨⎪+≥-⎪⎩解得3412323k ωω-≤≤-， 当0k =时，2839ω≤≤；当1k =-时，因为01ω<≤，所以可得209ω<≤． 所以2280,,939ω⎛⎤⎡⎤∈ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦． 故选：B【点睛】本题考查利用辅助角公式和正弦型函数的图象与性质求参数的取值范围；考查知识的综合运用能力；属于难度较大型试题.11. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点，P 为底面ABCD 内一动点，设1,PD PE 与底面ABCD 所成的角分别为1212,(,θθθθ均不为0).若12θθ=，则动点P 的轨迹为A. 直线的一部分B. 圆的一部分C. 椭圆的一部分D. 抛物线的一部分【答案】B 【解析】【详解】由线面角的定义及题意可得1112112sin sin AA DD PD PEθθ=⇔=，即12PD PE =，以线段1D E 为x 轴，其中垂线为y 轴，如图，建立平面直角坐标系xOy ，设12,(,)AA P x y =，则11(22D E E D =-，所以2222(4(422x y x y -+=++，即2223302x y +++=，则动点P 的轨迹是圆，故应选答案B ．点睛：解答本题时，先将立体几何问题转化平面上动点的轨迹问题，再运用平面解析几何的有关知识分析探求，最后使得问题获解，体现了降维思想与转化化归思想的巧妙运用． 12. 若函数216()43cos(2)4x x f x x -=+--，则（ ） A. ()122331log 18log 122f f f ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥>>+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ B. ()1223131log 18log 22f f f ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥+>> ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ C. ()1232131log log 1822f f f ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥+>> ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ D. ()122313log 181log 22f f f ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥>+> ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦【答案】A 【解析】【分析】根据函数的解析式可知22216()43cos(2)443cos(2)4x x x x f x x x ---=+--=+--，从而可得()()4f x f x =-，构造函数()()2g x f x =+，由函数()g x 的单调性得出函数()f x 的单调性，即可根据函数()f x 的对称性和单调性比较出各式的大小． 【详解】因为22216()43cos(2)443cos(2)4x x x x f x x x ---=+--=+--，所以()()4f x f x =-，即函数()f x 的图象关于直线2x =对称．设()()2443cos xxg x f x x -=+=+-，()()ln 4443sin x x g x x -'=⨯-+，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0g x '≥； 当,2x π⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()()22ln 4443sin 4430x x g x x ππ--'=⨯-+>-->，所以当[)0,x ∈+∞时，()0g x '≥，故函数()g x 在[)0,+∞上单调递增，即函数()f x 在[)2,+∞上单调递增．因为22log 18log 164>=，12131122⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫>+=> ⎪⎝⎭，3330log log 312<<=， 而函数()f x 的图象关于直线2x =对称，所以3333log 4log 22f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即122331log 184log 122⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫>->+ ⎪⎝⎭，因此，()122331log 18log 122f f f ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥>>+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 故选：A ．【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究其性质，利用单调性比较大小，涉及对数函数单调性的应用，分数指数幂与根式的互化，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于较难题．二、填空题13. 已知实数x ，y 满足12020x x y x y ≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =-的最大值为________．【答案】1 【解析】 【分析】先根据约束条件画出可行域，再根据可行域求目标函数的最大值即可.【详解】解：由约束条件12020x x y x y ≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，画出可行域，如图，有题意12x y x =⎧⎨=-+⎩，解得点(1,1)B ，根据图象可得，当目标函数过点(1,1)B 时，2z x y =-取得最大值211=1z =⨯-， 故答案为：1.【点睛】本题考查简单的线性规划、求线性目标函数的最值，是基础题.14. 二项式3nn x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则二项式展开式中的常数项为______【答案】160- 【解析】【分析】根据二项式系数之和，求出6n =，由二项展开式的通项公式写出展开式的通项，进而可求出结果.【详解】由3nn x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，可得264n=，解得6n =，则二项式为62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 其展开式的第1r +项为()61666222rr rrrr r T C x C x x --+⎛⎫=- =-⎪⎝⎭， 令620r -=，则3r =故展开式中的常数项为33362160C x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. 故答案为：160-.【点睛】本题主要考查求二项展开式中的常数项，考查由二项式系数之和求参数，属于常考题型. 15. 已知三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，若6PC BC ==，2AB =，PA 与平面ABC 所成线面角的正弦值为64，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为______．【答案】16π 【解析】 【分析】根据已知可得AB BC ⊥，可得三棱锥P ABC -的外接球，即为以PC ，AC ，AB 为长宽高的长方体的外接球，根据已知PC 、AC 、AB 的长，代入长方体外接球直径（长方体对角线）公式，易得球半径，即可求出三棱锥外接球的表面积． 【详解】解：PC ⊥平面ABC ，PA 与平面ABC 所成线面角的正弦值为6，∴6PC PA =，4PA ∴=， 根据勾股定理可得2210AC PA PC =-=， 在ABC ∆中，6=BC ，10AC =，2AB =，则ABC ∆为直角三角形．三棱锥P ABC -外接球即为以PC ，AC ，AB为长宽高的长方体的外接球，故26644R =++=，三棱锥外接球的表面积为2416S R ππ==． 故答案为：16π．【点睛】本题考查的知识点是球内接多面体，其中利用割补法，将三棱锥P ABC -的外接球，转化为一个长方体的外接球是解答的关键，属于中档题．16. 已知D 是ABC 边AC 上一点，且3CD AD =，2BD =，1cos 4ABC ∠=，则3AB BC +的最大值为__________．165【解析】【分析】设a BC =，c AB =，设AD t =，则3CD t =，4AC t =，利用余弦定理以及ADB BDC π∠=-∠可推导出2239322a c ac ++=，进而利用基本不等式可求得3a c +的最大值. 【详解】设a BC =，c AB =，设AD t =，则3CD t =，4AC t =，如下图所示：在ABD △中，22cos 22ADB t ∠=BCD △中，22cos 62BDC t∠=ADB BDC π∠=-∠，()cos cos cos ADB BDC BDC π∴∠=-∠=-∠， 22222262t t=，整理得2223128a c t +=+，①在ABC 中，2222221162cos 2AC t a c ac ABC a c ac ==+-∠=+-，② 由①②可得2239322a c ac ++=， 由基本不等式可得()()()22222239333329333322222a c a c ac a c ac a c a c a c +⎛⎫=++=+-=+-⋅⋅≥+-⋅ ⎪⎝⎭()2538a c =+， ()225635a c ∴+≤，因此，16535a c +≤，当且仅当3a c =时，等号成立， 因此，3AB BC +165165【点睛】本题考查利用基本不等式求三角形边长和的最值，同时也考查了余弦定理的应用，考查计算能力，属于难题.三、解答题17. 已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，a 1=1，且存在实数λ满足2a n +1=λa n +4，n ∈N *. （1）求λ的值及通项公式a n ；（2）求数列{}2n n a -的前n 项和S n .【答案】（1）λ=2，a n =2n -1；（2）S n =2n +2-n 2-2n -4. 【解析】 【分析】（1）设等差数列{a n }的公差为d ，然后退项相减便可得出结果； （2）求出数列{}2n n a -的通项公式，然后利用分组求和法求出前n 项和. 【详解】（1）设等差数列{a n }的公差为d ，d ≠0， 由2a n +1=λa n +4(n ∈N *)， ① 得2a n =λa n -1+4(n ∈N *，n ≥2)， ② 两式相减得，2d =λd ，又d ≠0，所以λ=2.将λ=2代入①可得2a n +1=2a n +4，即2d =4，所以d =2. 又a 1=1，所以a n =1+(n -1)×2=2n -1；（2）由（1）可得2n n a -=2(2n -n )-1=2n +1-(2n +1)， 所以S n =(22+23+…+2n +1)-[3+5+…+(2n +1)]=()()412321122n n n -++--=2n +2-n 2-2n -4.【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组法求出数列的和，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型.18. 生男生女都一样，女儿也是传后人.由于某些地区仍然存在封建传统思想，头胎的男女情况可能会影响生二孩的意愿，现随机抽取某地200户家庭进行调查统计.这200户家庭中，头胎为女孩的频率为0.5，生二孩的频率为0.525，其中头胎生女孩且生二孩的家庭数为60.（1）完成下列22⨯列联表，并判断能否有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关；（2）在抽取的200户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在头胎生女孩家庭中抽取了5户，进一步了解情况，在抽取的5户中再随机抽取3户，求这3户中恰好有2户生二孩的概率. 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++）.【答案】（1）列联表见解析，有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关；（2）35【解析】 【分析】（1）根据已知条件求出生二孩的总户数，即可补全列联表，计算2K ，对照数表，即可得出结论； （2）按照分层抽样原则，抽取的5户家庭中3户生二胎，2户不生二胎，按照生二胎和不生二胎对这5户家庭编号，列出5户家庭中抽取3户的所有情况，统计出恰好有2户生二胎的情况，按求古典概型的概率的方法，即可求解.【详解】（1）因为头胎为女孩的频率为0.5， 所以头胎为女孩的总户数为2000.5100⨯=. 因为生二孩的概率为0.525，所以生二孩的总户数为2000.525105⨯=.22⨯列联表如下：22200(60554540)600 4.511 3.84110595100100133K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，故有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关. （2）在抽取的200户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在头胎生女孩的家庭中抽取了5户， 则这5户家庭中，生二胎的户数为3，分别记为,,A B C ， 不生二孩的户数为2，分别记为,a b .从这5户家庭中随机抽取3户有(,,)A B C ，(,,)A B a ，(,,)A B b ，(,,)B C a ，(,,)B C b ，(,,)A C a ，(,,)A C b ， (,,)A a b ，(,,)B a b ，(,,)C a b ，共10种情况，其中恰好有2户生二孩的有(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)A B a A B b B C a B C b A C a A C b ，故6种情况，故所求概率为63105=. 【点睛】本题考查独立性检验，以及古典概型的概率，考查计算能力，属于中档题.19. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111AC A B ⊥，D ，E ，F 分别为棱AB ，BC ，1B B 的中点，且113AC =，1114A B A A ==.（1）求证：平面1B DE ⊥平面11AC F ； （2）求二面角1B DE F --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（231010【解析】【分析】（1）要证面面垂直，只要证平面内的一条直线垂直于另一个平面即可得解，可证1B D ⊥平面11AC F 且1B D ⊂平面1B DE ，即可得证；（2）建立空间直角坐标系，求得面面的法向量的夹角，即可得解. 【详解】（1）∵111ABC A B C -为直三棱柱 ∴111A A A C ⊥，∵11111111,AC A B AA A B A ⊥⋂=， ∴11A C ⊥平面11A ABB ，∴111AC B D ⊥， ∵111A B A A = ，∴四边形11A ABB 为正方形，111,A FB B DB ≅ ∴111111A F B D AC A F A ⊥⋂=，，∴1B D ⊥平面11AC F ， 而1B D ⊂平面1B DE ， ∴平面1B DE ⊥平面11AC F .（2）以A 点为坐标原点，以AB ，AC ，1AA 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系.则()14,0,4B ，()2,0,0D ，()4,0,0B ，32,,02E⎛⎫ ⎪⎝⎭，()4,0,2F ， 设平面1B DE 的法向量为(),,m x y z =，而()12,0,4B D =--，30,,02DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴2400x z y --=⎧⎨=⎩， 令1z =-，则()2,0,1m =-， 同理，平面DEF 的法向量为()1,0,1n =-， 设二面角1B DE F --的平面角为α，则310cos 10m n m nα⋅==， 即二面角1B DE F --的余弦值为31010.【点睛】本题考查了面面垂直的证明，考查了建立空间直角坐标系求二面角，需要一定的空间想象和推理能力以及计算能力，属于中档题.20. 已知椭圆M ：22143x y +=，圆N 是椭圆M 长轴和短轴四个端点连接而成的四边形的内切圆.（1）求圆N的方程；（2）过圆N 上的任一点A 作圆N 的切线交椭圆M 于B ，C 两点，求证AB AC ⋅为定值. 【答案】（1）22127x y +=；（2）证明见详解. 【解析】【分析】（1）根据椭圆的方程得到右顶点和上顶点所在的直线方程，利用直线与圆心在原点的圆相切求解出圆的半径，从而求解出圆N 的方程；（2）先根据条件分析出,OB OC 的位置关系，根据,OB OC 的位置关系结合三角形中线段长度关系证明AB AC ⋅为定值.【详解】（1）取椭圆的上顶点(P ，右顶点()2,0Q ，所以20PQ l y +-=， 又因为PQ l 与圆N 相切且圆心在坐标原点，所以圆N 7=， 所以圆N 的方程为：22127x y +=； （2）当BC 的斜率存在时，设:BC l y kx m =+，()()1122,,,B x y C x y ， 因为BC l 与圆N =，所以()227121m k =+， 又223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，所以()2223484120k x kmx m +++-=， 所以21212228412,3434km m x x x x k k-+=-=++，所以()()()222212121212231234m k y y kx m kx m k x x km x x m k-=++=+++=+， 所以()22121227121034m k OB OC x x y y k-+⋅=+==+，所以OB OC ⊥，又因为OA BC ⊥，所以可得CAO △∽OAB ，所以AC AO OA AB =，所以2127AB AC AO ⋅==，所以AB AC ⋅为定值127；当BC的斜率不存在时，此时7A ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭，所以,B C的坐标为77⎛± ⎝⎭或77⎛-± ⎝⎭，所以12==777AB AC ⋅， 综上可知：AB AC ⋅为定值127. 【点睛】本题考查圆锥曲线的综合应用，其中涉及到直线与圆的相切关系以及椭圆中的定值问题，对于学生的分析与计算能力要求较高，难度较难.圆锥曲线中的垂直问题，可转化为向量的数量积为零去分析计算. 21. 已知函数()ln f x x x =．（1）求()f x 的图象在x e =处的切线方程； （2）若函数()()2f x F x b x =-有两个不同的零点1x 、2x ，证明：2120x x e ->．【答案】（1）2y x e =-；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）求出函数()y f x =的导数，求得()f e 和()f e '的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）设120x x >>，令()0F x =可得出ln bx x =，由题意得出1122ln ln bx x bx x =⎧⎨=⎩，变形可得12112122ln ln x x x x x x x x +=-，令121x t x =>，由此将所求不等式转化为证明()21ln 1t t t ->+，然后构造函数()()21ln 1t g t t t -=-+，利用导数证明出()()10g t g >=即可. 【详解】（1）()ln f x x x =，定义域()0,∞+，()ln 1f x x '=+，()f e e =，()2f e '=.因此，函数()y f x =的图象在x e =处的切线方程为()2y e x e -=-，即2y x e =-； （2）令()()2ln 0f x xF x b b x x =-=-=，得ln bx x =，由题意可得1122ln ln bx x bx x =⎧⎨=⎩， 两式相加得()1212ln ln b x x x x +=+，两式相减得()1212ln ln b x x x x -=-，设120x x >>，可得12121122ln ln x x x x x x x x +=-，12112122ln ln x x x x x x x x +∴=-， 要证212x x e >，即证12112122ln ln 2x x x x x x x x +=>-，即()1122112122212ln 1x x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭>=++， 令121x t x =>，即证()21ln 1t t t ->+. 构造函数()()21ln 1t g t t t -=-+，其中1t >，()()()()222114011t g t t t t t -'=-=>++， 所以，函数()()21ln 1t g t t t -=-+在区间()1,+∞上单调递增. 当1t >时，()()10g t g >=，所以，()21ln 1t t t ->+.因此，212x x e >.【点睛】本题考查利用导数求解函数图象的切线方程，同时也考查了利用导数证明函数不等式，考查计算能力与推理能力，属于中等题.22. 在平面直角坐标系xOy中，已知曲线1122:{1x tC y =+=+（t 为参数），224:4x m C y m ⎧=⎨=⎩（m 为参数） （1）将1C ，2C 的参数方程化为普通方程； （2）曲线1C 与2C 交于A ，B 两点，点()2,1P，求11PA PB-的值． 【答案】（1）1C10y --=；2C 普通方程为24y x =；（2）27- 【解析】【分析】（1）在曲线1C 的参数方程中消去参数t 可得出曲线1C 的普通方程，在曲线2C 的参数方程中消去参数m 可得出曲线2C 的普通方程；（2）设点A 、B 的对应的参数分别为1t 、2t ，将直线1C 的参数方程代入曲线2C 的普通方程，列出韦达定理，利用直线参数方程的几何意义结合韦达定理可求得11PA PB-的值． 【详解】（1）1122:12x t C y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去t得)12y x -=-10y --=，224:4x m C y m⎧=⎨=⎩，消去m 得24y x =． ∴1C10y --=；2C 普通方程为24y x =． （2）将1122:12x t C y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入24y x =，得)232704t t +-=，则(12423t t +=，()12473t t =⨯-，且120t t <， 所以1212121212111127t t t t PA PB t t t t t t -+--=-====． 【点睛】本题考查参数方程与普通方程之间的相互转化，考查了利用直线参数方程的几何意义求值，考查计算能力，属于中等题. 23. 已知函数()2231f x x x =+--．（1）求函数()f x 的最大值M ；（2）已知0,0,4a b a b M >>+=，求2221a b a b +++的最大值． 【答案】（1）6；（2）65． 【解析】【分析】（1）化简函数的解析式，画出函数图象，然后求解函数的最大值即可．（2）化简表达式，通过转化，结合基本不等式求解最大值即可．【详解】（1）因为()2231f x x x =+--，可得()7,251,217,1x x f x x x x x -<-⎧⎪=+-≤<⎨⎪-+≥⎩，函数图象如下所示：所以()max (1)6M f x f ===．（2）由2212122()221221221a b a b a b a b +=--=-+++++++， 令2,21x a y b =+=+，由条件知210,2,1x y x y +=>>， 所以212121414()()(4)(424)1010105x y y x x y x y x y ++=+=++≥+=, 等号成立条件为25x y ==，即33,4a b ==， 所以2221a b a b +++的最大值为46255-=． 【点睛】本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．。
四川省乐山市2020年高一上学期数学第二次月考试卷C卷
四川省乐山市2020年高一上学期数学第二次月考试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知扇形的半径为2，面积为4，则这个扇形圆心角的弧度数为（）A .B .C .D . 22. （2分）某全日制大学共有学生5400人，其中专科生有1500人，本科生有3000人，研究生有900人．现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为180人，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取（）A . 55人，80人，45人B . 40人，100人，40人C . 60人，60人，60人D . 50人，100人，30人3. （2分）下列程序中循环体运行次数是（）A . 4B . 5C . 64. （2分） (2016高一下·丰台期末) 已知α∈（0，2π），sinα＞0，且cosα＜0，则角α的取值范围是（）A .B .C .D .5. （2分） (2016高一下·会宁期中) 用辗转相除法求两个数102、238的最大公约数是（）A . 38B . 34C . 28D . 246. （2分） (2020高一下·平谷月考) 如果，那么的值是（）A .B .C .D .7. （2分）用秦九韶算法计算多项式f(x)=1+5x+10x2+10x3+5x4+x5在x=-2时，v3的值为（）A . 1B . 2D . 48. （2分）掷两个面上分别记有数字1至6的正方体玩具，设事件A为“点数之和恰好为6”，则A所基本事件个数为（）A . 2个B . 3个C . 4个D . 5个9. （2分）(2019高一上·阜阳月考) 定义在上的奇函数满足：当时，，则函数的零点的个数是（）A .B .C .D .10. （2分） (2019高二下·蕉岭月考) 如图，在边长为的正方形中，是的中点，过三点的抛物线与围成阴影部分，则向正方形内撒一粒黄豆落在阴影部分的概率是（）A .B .C .D .11. （2分） (2017高二下·吉林期末) 函数y＝cos(2x－ )是（）A . 最小正周期为的奇函数B . 最小正周期为π的奇函数C . 最小正周期为的偶函数D . 最小正周期为π的偶函数12. （2分）(2017·成安模拟) 为了得到函数y= sin（2x﹣）的图象，只需将函数y=sinxcosx的图象（）A . 向左平移个单位B . 向右平移个单位C . 向左平移个单位D . 向右平移个单位二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二上·东台月考) 在随机抛掷一颗骰子一次的试验中，事件A表示“出现不大于4的偶数点”，事件B表示“出现小于6的点数”，则事件发生的概率为________．14. （1分） (2019高一上·沈阳月考) 振动量y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的初相和频率分别是－π和，则它的相位是________．15. （1分） (2018高一下·开州期末) 某超市统计了一个月内每天光顾的顾客人数，得到如图所示的频率分布直方图，根据该图估计该组数据的中位数为________．16. （1分） (2017高一下·乌兰察布期末) 求函数f（x）=sinx﹣ cosx的单调区间________．三、解答题 (共6题；共75分)17. （15分）(2018·吉林模拟) 某高中一年级600名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成组：[20,30），[30,40），┄，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：（1）从总体的600名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50）内的人数；（3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．18. （15分） (2018高一下·伊通期末) 某校100名学生期末考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是： .(Ⅰ)求图中的值；(Ⅱ)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(Ⅲ)若成绩在的学生中男生比女生多一人，且从成绩在的学生中任选2人，求此2人都是男生的概率.19. （5分） (2019高一上·沈阳月考) 画出下面算法含循环结构的程序框图：成立的最小正整数n。
四川省乐山外国语学校2020学年高一数学月考试题无答案
四川省乐山外国语学校2021学年高一数学9月月考试题〔无答案〕一、选择题〔此题共计12 小题，每题5 分，共计60分，〕1、以下各组函数中，是相等函数的是〔〕A. B.C. D.2、设，集合，，那么〔〕A. B. C. D.3、不等式的解集是〔〕A. B. C. D.4、假设函数那么的值为〔〕A. B. C. D.5、函数的定义域是，那么的定义域为〔〕A. B.C. D.6、函数，那么的解析式是〔〕A. B. C. D.7、函数是定义域为的奇函数，当时，，那么当时，A. B. C. D.8、全集，，，那么图中阴影局部表示的集合是〔〕A. B.C. D.9、定义在上的偶函数在区间上是〔〕A.增函数B.减函数C.先增后减函数D.先减后增函数10、函数是定义在上的奇函数，且在区间上单调递增．假设实数满足，那么实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.14、满足的集合的个数是______．11、函数在区间上的最大值是，那么实数的取值范围是〔〕15、不等式A. B. C.D.的解集为12、，非空集合中的元素个数用表示，定义假设，，且，那么实数那么不等式的解集为__________________.的取值范围为〔〕A. B. C.16、对于实数和，定义运算“〞：设函数D.，，假设方程恰有两个不同的解，那么实数的取值范围是_______________________．二、填空题〔此题共计4小题，每题5分，共计20分〕三、解答题〔此题共计6小题,17题10分,其余每题12分,共计70分.〕13、设奇函数的定义域为，当时，的图象如图，那么不等式的解集是_______________．17.设全集为，，，．〔1〕求及；〔2〕假设，求实数的取值范围．x 2(1) 18．函数 f (x )＝1＋x 2.求f (2)＋f(1)，f (3)＋f(1)的值；23求证f(x)f(1)为定值.x(3)求f (2)＋f(1)＋f (3) ＋f( 1 )＋＋f (2022)＋f 〔1 )的值．23 202219. 函数 是定义在 上的奇函数，且 ．〔1〕确定函数 的解析式；(2)用定义证明 在 上是增函数．20. 定义在上的函数 满足对任意恒有 ，且 不恒为． 〔1〕求和的值；〔2〕试判断的奇偶性,并加以证明；〔3〕假设当时, 为增函数,求满足不等式 的 的取值集合．且 该企业确定每辆新能源汽车售价为 万元，并且全年内生产的汽车当年能全部销售完 .求 年的利润 (万元)关于年产量 (百辆)的函数关系式 (其中利润 销售额 成本).年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求最大利润 .22.是定义在 上的奇函数,且 ,假设 ， ，时，有成立．判断 在上的单调性，并证明．解不等式：(3) 假设 对所有的 恒成立，求实数 的取值范围．21.为响应国家节能减排的号召，某汽车制造企业方案在 年引进新能源汽车生产设备，通过备选22. 二次函数的最小值为，且．市场分析，全年需投入固定本钱万元，每生产 (百辆)，需另投入本钱万元，求 的解析式；求的值域；假设在区间上不单调，求的取值范围．所以函数的定义域为．第一次月考数学参考答案与试题解析对于函数，，一、选择题〔此题共计12小题，每题5分，共计60分〕解得，故的定义域是．应选．1【解答】6【解答】解：中两函数定义域相同，对应关系相同，所以是同一函数；解：，中对应关系不同；中定义域不同；中定义域不同．应选．．应选.2【解答】7【解答】解：依题意得或，那么，，解：∵函数是定义域为的奇函数，且时，，应选．∴当时，，3【解答】∴；解：因为，所以，又，所以，解得，∴，∴．应选：．所以原不等式的解集是.应选．8.【解答】4【解答】∵全集，，解：依题意，，应选，∴图中阴影局部表示的集合是：．选C。