高级通信原理第4章信号的分析(于秀兰)资料
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通信原理知识点总结孙会楠
通信原理知识点总结孙会楠一、通信原理概述通信是指信息的传递和交流过程，包括信息的产生、传输和接收。
通信原理是指在信息传输中所依据的一系列基本原理和技术，是通信工程中最基本的理论知识。
二、信号与系统1. 信号的基本概念信号是一种随时间变化的物理量，可以是连续的，也可以是离散的。
信号可以分为模拟信号和数字信号。
模拟信号是连续变化的信号，而数字信号是离散的信号。
2. 系统的分类系统是对信号进行加工和处理的装置，可分为线性系统和非线性系统，时变系统和时不变系统，因果系统和非因果系统。
3. 傅里叶级数和傅里叶变换傅里叶级数适用于周期信号，将信号分解为一系列基本频率的正弦波或余弦波。
傅里叶变换适用于非周期信号，将信号在频域中进行分析。
4. 信号的采样和重构采样是将连续信号转换成离散信号的过程，重构是将离散信号转换成连续信号的过程。
采样定理规定了采样的最小频率。
三、信道编码1. 信道编码的原理信道编码是对信息进行编码以便在信道中传输，并保证信息的可靠性。
2. 卷积编码和纠错码卷积编码是一种比特级的编码方式，通过构造有状态的编码器，增加冗余信息以增强信道的容错能力。
纠错码是一种可以纠正错误的编码方式，常见的有海明码和RS码。
3. 自动重传请求协议（ARQ）ARQ协议是一种自动检错纠错的协议，当接收方发现错误时会向发送方发送重传请求。
四、调制与解调1. 调制的基本原理调制是将数字信号变换成模拟信号的过程，通过改变信号的某些特性来实现。
常见的调制方式有幅度调制（AM）、频率调制（FM）和相位调制（PM）。
2. 解调的基本原理解调是将模拟信号还原成数字信号的过程，是调制的逆过程。
3. 基带信号和带通信号基带信号是未经过调制的信号，带通信号是经过调制后的信号，常见的有AM信号、FM 信号和PM信号。
五、多路复用技术1. 多路复用的概念多路复用是指将多个信号通过一个信道传输的技术，常见的有频分复用（FDMA）、时分复用（TDMA）、码分复用（CDMA）和空分复用（SDMA）。
高级通信原理
^
f t
1 πt
f t
^
1 f t H f t f t πt
^
^
2、性质：
ht
1 , πt j
^
jsgn H
^
j
0 0 0 0
^
jF F jsgn F jF
t 0
问题： 1、如果输入为平稳随机过程，通过线性系统后，输出是否 为平稳随机过程？ 2、如何计算输出随机过程的均值、相关函数、功率谱密度？
高斯白噪声
随机过程通常是按它的概率分布和功率谱来进行分类的。 ① 就概率分布而言，服从高斯分布的的随机过程占有重要地位； ② 就功率谱特点而言，白噪声对通信理论是极为重要的。 1、白噪声：指噪声的功率谱密度在频域内是常量。即 n Pn 0 , 2 n R Pn Rn 0 2 白噪声只有在 0时才相关，而它在任意 两个时刻上的
基带PAM信号
带通PAM信号
无码间干扰条件
1、时域表达式 k 0 1 , h( kTs ) 0 , k为其他整数
对 h(t ) 在时刻 kTs （以令 t0 0 ）抽样，除 t 0 时不为 零外，在其他所有抽样点均为零。
2、频域表达式 奈奎斯特第一准则
2i 常数， 当基带传输特性 满足 TS i 则不存在码间干扰。
平稳随机过程通过线性系统
ξi t
h(t)
ξ0 t
ξ 0 t ξi t ht ξ i τ ht τ dτ
如果线性系统为物理可实现系统，则
ξ 0 t hτ ξ i t τ dτ ξ i τ ht τ dτ
f t
1 πt
f t
^
1 f t H f t f t πt
^
^
2、性质：
ht
1 , πt j
^
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j
0 0 0 0
^
jF F jsgn F jF
t 0
问题： 1、如果输入为平稳随机过程，通过线性系统后，输出是否 为平稳随机过程？ 2、如何计算输出随机过程的均值、相关函数、功率谱密度？
高斯白噪声
随机过程通常是按它的概率分布和功率谱来进行分类的。 ① 就概率分布而言，服从高斯分布的的随机过程占有重要地位； ② 就功率谱特点而言，白噪声对通信理论是极为重要的。 1、白噪声：指噪声的功率谱密度在频域内是常量。即 n Pn 0 , 2 n R Pn Rn 0 2 白噪声只有在 0时才相关，而它在任意 两个时刻上的
基带PAM信号
带通PAM信号
无码间干扰条件
1、时域表达式 k 0 1 , h( kTs ) 0 , k为其他整数
对 h(t ) 在时刻 kTs （以令 t0 0 ）抽样，除 t 0 时不为 零外，在其他所有抽样点均为零。
2、频域表达式 奈奎斯特第一准则
2i 常数， 当基带传输特性 满足 TS i 则不存在码间干扰。
平稳随机过程通过线性系统
ξi t
h(t)
ξ0 t
ξ 0 t ξi t ht ξ i τ ht τ dτ
如果线性系统为物理可实现系统，则
ξ 0 t hτ ξ i t τ dτ ξ i τ ht τ dτ
通信原理第4章(2014年北邮上课精简版)
η AM
边带功率 = AM总功率
调制指数a（调幅系数）
ＡＭ 信号表达式
S AM (t ) = [1 + m (t ) ] Ac cos ωc t
其中 1 + m(t ) 中的直流为 １，交流为 m(t ) 。为了包络解调 不失真恢复原始基带信号，要求 m ( t ) ≤ 1 。 ＡＭ 信号一般表示为 S AM (t ) = Ac 1+ amn (t ) cos ωc t ，
第4章 模拟调制系统
本章的主要内容
一、调制的目的、定义和分类 二、幅度调制（ＡＭ、ＤＳＢ、ＳＳＢ、ＶＳＢ）
n n n
时域和频域表示、带宽 调制与解调方法
抗噪声性能 三、角度调制（ＦＭ、ＰＭ）
n n n n
基本概念 单频调制时：调频和调相信号的时域表示 宽带调频信号的带宽
抗噪性能 四、频分复用
《通信原理》
解：
(2) 基带信号为随机信号时已调信号的频谱特性 在一般情况下，基带信号是随机信号，如语音信号。此时
，已调信号的频谱特性用功率谱密度来表示。 AM已调信号是一个循环平稳的随机过程，其功率谱密度为 其自相关函数时间平均值的傅里叶变换。 分析可知，在调制信号为确知信号和随机信号两种情况下， 分别求出的已调信号功率表达式是相似的。 参见教材７０页。
H(w)
-w c
形成单边带信号的滤波特性
H(w) 1 -w c 0 1 0 wc w wc w
H(w)
-w c
形成单边带信号的滤波特性
通过推导（参见教材 ７１－７２ 页），可得 ＳＳＢ 信号的时域表达式
S SSB (t) = Ac m(t ) cos ωct m Ac m (t )sin ωct
苗长云 现代通信原理第二版配套课件 第四章 信道
天津工业大学 信息学院 《通信原理》
4.4 随参信道及其对信号传输的影响
2．对流层散射信道 （1）衰落 （2）传输损耗 （3）信道的允许频带 （4）天线与媒质间的耦合损耗 （5）特性 ①容量大； ②主要用于以上频段； ③可靠性高； ④保密性好； ⑤单跳跨距达，一般用于无法建立微波中继站的地区。
天津工业大学 信息学院 《通信原理》
内部绝缘体
铝制编织导体(屏蔽) (a) 一段同轴电缆 (b) 一段与连接器相连的同轴电缆
天津工业大学 信息学院
《通信原理》
4.3 恒参信道及其对信号传输的影响
2．光纤信道 光纤线径细、重量轻 ；由于不受外界电磁干扰 和噪声的影响，能在长距离、高速率传输中保持低误 码率 ；可弯曲半径小、不怕腐蚀、安全保密性好、 节省有色金属。
天津工业大学 信息学院 《通信原理》
屏蔽箔
屏蔽双绞线
非屏蔽双绞线
4.3 恒参信道及其对信号传输的影响
（3）同轴电缆 基带同轴电缆的最大传输距离一般不超过几公里， 可用于数字数据信号的直接传输；而宽带同轴电缆的 最大传输距离可达几十公里，用于传输高频信号，采 用频分复用技术可以传送多路信号。
外部绝缘体 内部导体
f t
V0
V0f(t-t0)←→V0F(ω)e
-jωt0
V0 f t
迟延 t 0
V0 f t t 0
V 0 f t t 0
V0f(t-t0)+ V0f(t-t0-τ) ←→V0F(ω)e
V0 V0 f t
-jωt0 - jωτ (1+e )
迟延 t 0
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4.2 信道的定义及其数学模型
4.4 随参信道及其对信号传输的影响
2．对流层散射信道 （1）衰落 （2）传输损耗 （3）信道的允许频带 （4）天线与媒质间的耦合损耗 （5）特性 ①容量大； ②主要用于以上频段； ③可靠性高； ④保密性好； ⑤单跳跨距达，一般用于无法建立微波中继站的地区。
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内部绝缘体
铝制编织导体(屏蔽) (a) 一段同轴电缆 (b) 一段与连接器相连的同轴电缆
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《通信原理》
4.3 恒参信道及其对信号传输的影响
2．光纤信道 光纤线径细、重量轻 ；由于不受外界电磁干扰 和噪声的影响，能在长距离、高速率传输中保持低误 码率 ；可弯曲半径小、不怕腐蚀、安全保密性好、 节省有色金属。
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屏蔽箔
屏蔽双绞线
非屏蔽双绞线
4.3 恒参信道及其对信号传输的影响
（3）同轴电缆 基带同轴电缆的最大传输距离一般不超过几公里， 可用于数字数据信号的直接传输；而宽带同轴电缆的 最大传输距离可达几十公里，用于传输高频信号，采 用频分复用技术可以传送多路信号。
外部绝缘体 内部导体
f t
V0
V0f(t-t0)←→V0F(ω)e
-jωt0
V0 f t
迟延 t 0
V0 f t t 0
V 0 f t t 0
V0f(t-t0)+ V0f(t-t0-τ) ←→V0F(ω)e
V0 V0 f t
-jωt0 - jωτ (1+e )
迟延 t 0
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4.2 信道的定义及其数学模型
通信原理第四章 (樊昌信第七版)
无线信道举例：
地波传播、短波电离层反射、
超短波或微波视距中继、卫星
中继、散射及移动无线电信道
广义信道：
编 码 器 调 制 器 发 转 换 器
调制信道 ——研究调制/解调问题 编码信道 ——研究编码/译码问题
媒 质
收 转 换 器
解 调 器
译 码 器
§4.1 无线信道
地球大气层的结构：
电离层
so (t ) K s (t td )
固定的迟延 固定的衰减
—— 这种情况称为无失真传输
恒参信道
3.
失真 影响 措施
幅频失真： H ( ) K
含义？
对模拟信号：造成波形失真 信噪比下降 影响 对数字信号：产生码间串扰 误码率增大
相频失真： td 群迟延失真 ( ) t d : 对语音信号影响不大，对视频信号影响大 影响 对数字信号：码间串扰 误码率增大
多径效应
瑞利型衰落 频率弥散
频率选择型衰落
减小衰落的措施
Bs ＝(1/3 ~ 1/5)△f 分集接收 扩频技术 OFDM等
41
本章内容:
信道分类
第4章 信道
信道模型
恒参/随参信道特性和对信号传输的影响
信道噪声
信道容量
定义· 分类 模型· 特性 影响· 措施 信道噪声 信道容量
50Ω，多用于数字基带传输 速率可达10 Mb/s 传输距离<几千米
宽带（射频）同轴电缆：
75Ω，用于传输模拟信号 多用于有线电视（CATV）系统
传输距离可达几十千米
17
信号与系统第四章1
0<t<1 1< t < 2
1
2
4.5
思考题4.4 思考题4.4
20
4.5 周期信号的频谱与功率谱
一.频谱 频谱
辐频 Ak ~ kω 0 关系
相频 θ k ~ k ω 0 关系
x ( t ) = c 0 + 2 ∑ Ak cos( k ω 0 t + θ k )
k =1
∞
---三角函数形式 三角函数形式
2 2 Ak = Bk + Dk
tgθ k = Dk / Bk
− Dk = − I m {ck }, k > 0
11
复指数——> 正余弦的转换： 正余弦的转换： 复指数
B k = Re {ck }
4.4 波形对称性与傅里叶系数
1.偶对称：x(t)=x(-t) 偶对称： 偶对称
− 2 Dk = 0
4 2 Bk = T0
8
将这两者相加， 式中基波角频率 ω 0 = 2π / T0 。将这两者相加，即 为所求x(t)的傅里叶级数。所以 的傅里叶级数。 为所求 的傅里叶级数
x( t ) = Ev{ x( t )} + Od { x( t )}
4 8 = sinω0 t − 2 cosω0 t + sin3ω0 t − 2 cos3ω0 t π π 3π 9π
第 四 章
连续时间傅立叶变换 连续时间信号的谱分析和 --频分析 时--频分析
1
4.1引言 引言 4.2复指数函数的正交性 复指数函数的正交性 4.3周期信号的表示：连续时间傅里叶级数 周期信号的表示： 周期信号的表示 4.4波形对称性与傅立叶系数 波形对称性与傅立叶系数 4.5周期信号的频谱与功率谱 周期信号的频谱与功率谱 4.6傅里叶级数的收敛性 吉伯斯现象 傅里叶级数的收敛性 4.7非周期信号的表示：连续时间傅里叶变换 非周期信号的表示： 非周期信号的表示 4.8傅里叶级数与傅里叶变换的关系 傅里叶级数与傅里叶变换的关系 4.9连续时间傅里叶变换的性质与应用 连续时间傅里叶变换的性质与应用 4.10卷积定理及其应用 卷积定理及其应用 4.11相关 相关 4.12能量谱密度与功率谱密度 能量谱密度与功率谱密度 4.13信号的时 频分析和小波分析简介 信号的时---频分析和小波分析简介 信号的时
通信原理(第六版)第4章
通信原理
1
通信原理
第4章 章 信 道
2
第4章 信 道Leabharlann 章信道分类： 信道分类：有线信道 － 电线、光纤 无线信道 － 空间 信号载体－电磁波（含光波）
信道中的干扰： 信道中的干扰：
有源干扰 － 噪声 无源干扰 － 失真（传输特性不良）
本章重点： 本章重点：
介绍信道传输特性和噪声的特性，及其对于信号传 输的影响。
结论：发射信号为单频恒幅正弦波时，接收信号因多径效应变成 包络随时间起伏的窄带信号。可称为时间衰落。 上述多径引起的衰落称为快衰落 － 衰落周期和码元周期 可以相比。另外一种由传播条件引起的衰落：慢衰落 －衰落周 期很长。 衰落包络的分布呈Rayleigh分布 v2 2 v 2σ p (v ) = 2 e
ωτ
2
按照上式画出的模与角频率ω 关系曲线： 曲线的最大和最小值位置决定于 两条路径的相对时延差τ。而τ 是 随时间变化的，所以对于给定频 图4-18 频率选择性衰落 率的信号。由于信号频谱随频率 起伏，故常称其为 频率选择性衰落。 。 定义：相关带宽 B＝1/τ 实际情况：有多条路径。 设τm － 多径中最大的相对时延差 定义：相关带宽B＝1/τm 若不采取措施，可用带宽为
17
4.3 信道的数学模型
4.3.2 编码信道模型
二进制编码信道简单模型 － 无记忆信道模型
P(0 / 0)
P(0)
0 P(1 / 0) 发送端 P(0 / 1)
0 接收端
P(1) 1
P(1 / 1)
1
图4-13 二进制编码信道模型
P(0 / 0)和P(1 / 1) － 正确转移概率 P(1/ 0)和P(0 / 1) － 错误转移概率 P(0 / 0) = 1 – P(1 / 0) P(1 / 1) = 1 – P(0 / 1)
1
通信原理
第4章 章 信 道
2
第4章 信 道Leabharlann 章信道分类： 信道分类：有线信道 － 电线、光纤 无线信道 － 空间 信号载体－电磁波（含光波）
信道中的干扰： 信道中的干扰：
有源干扰 － 噪声 无源干扰 － 失真（传输特性不良）
本章重点： 本章重点：
介绍信道传输特性和噪声的特性，及其对于信号传 输的影响。
结论：发射信号为单频恒幅正弦波时，接收信号因多径效应变成 包络随时间起伏的窄带信号。可称为时间衰落。 上述多径引起的衰落称为快衰落 － 衰落周期和码元周期 可以相比。另外一种由传播条件引起的衰落：慢衰落 －衰落周 期很长。 衰落包络的分布呈Rayleigh分布 v2 2 v 2σ p (v ) = 2 e
ωτ
2
按照上式画出的模与角频率ω 关系曲线： 曲线的最大和最小值位置决定于 两条路径的相对时延差τ。而τ 是 随时间变化的，所以对于给定频 图4-18 频率选择性衰落 率的信号。由于信号频谱随频率 起伏，故常称其为 频率选择性衰落。 。 定义：相关带宽 B＝1/τ 实际情况：有多条路径。 设τm － 多径中最大的相对时延差 定义：相关带宽B＝1/τm 若不采取措施，可用带宽为
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4.3 信道的数学模型
4.3.2 编码信道模型
二进制编码信道简单模型 － 无记忆信道模型
P(0 / 0)
P(0)
0 P(1 / 0) 发送端 P(0 / 1)
0 接收端
P(1) 1
P(1 / 1)
1
图4-13 二进制编码信道模型
P(0 / 0)和P(1 / 1) － 正确转移概率 P(1/ 0)和P(0 / 1) － 错误转移概率 P(0 / 0) = 1 – P(1 / 0) P(1 / 1) = 1 – P(0 / 1)
高级通信原理第5章数字信号频带传输(于秀兰)讲述资料
讨论S1出错的条件概率
4
P e | s1 P2 sk | s1 k2
4
类似地，P e | si P2 sk | si k 1 k i
因为二进制系统的条件差错概率P2 sk | si Q(
di2k ) 2 N0
M
所以 Pe P si
判决概率最大。 ➢ 最大后验概率准则 ➢ 最大似然准则 ➢ 最小距离准则
最大后验概率（MAP）准则（最小错误概率准则）：
选择后验概率集合Psm | rm 1,2, , M 中最大值的信号。 等价于“选择 P(sm ) pr | sm 最大值的信号”。
最大似然（ML）准则：
当先验等概时，即对所有 M 有 Psm 1/ M ，最大后验概率（MAP） 准则可等价为寻求使 pr | sm 最大的信号。
器或者匹配滤波器解调器产生的向量 r r1, r2 , rN 包含了
接收信号波形中所有的信息。本节将描述基于观测向量 r 的 最佳判决准则。
假定在连续信号间隔内的发送信号中不存在记忆。设计 一个信号检测器，它根据每个信号间隔中的观测向量
r r1, r2 , rN 对该间隔内的发送信号作出判决，并使正确
sQAM t mI t cosωct mQ t sin ωct
mI t 相乘器
相乘器
cos ωct 相加器
信道
mQ t 相乘器
sin ωct
cos ωct
相乘器
sin ωct
当正交分量是同相分量的希尔伯特变换时，QAM变成了单边带 调制；当它们取±1时，则变成了QPSK。
16QAM
信 号 矢 量 端 点 的 分 布 图 称 为 星 座 图 。 对 于 M=16 的 16QAM来说，有多种分布形式的信号星座图。
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N0
/2
3) 条件概率密度
N
N
pr | sm prk | smk
k 1
k 1
1
N 0
exp
rk
smk 2
N0
m 1,2, , M k 1,2, , N
证明：
例 5－1－1 研究一个 M 元的基带 PAM 信号集，在该信号集中的
基本脉冲形状 gt 是高度为 a，宽度为 T 的矩形。加
第4章 信号的分析
主要内容 信号的空间分析
信号的矢量表示方法 统计判决理论 AWGN条件下的最佳接收及误码率分析
带通信号和系统的等效低通分析 希尔波特变换 解析信号 频带信号与带通系统
4.1 信号的空间分析
重点：常见调制信号的空间表示
复习
格拉姆-施密特正交化：
如何将一组n维向量构成一组标准正交向量？
k 1
k 1
N
其中 nt nt nk fk t ， nt 表示 nt 与 nt 在基 k 1
函数 fn t 上投影的对应部分之差。
可以证明：nt 不包含与判决有关的任何信息。也就是说，
判决完全可以根据相关器的输出 rk 来进行。
MF解调器
对输入信号的匹配 !
问题：匹配于基函数，输出信号和噪声功率为多少？
f2' t
2 dt
2
f3t s3t 2 f1t 0 f2 t s3t s1t
f4t s4 t 2 f1t f3t s4 t s1t f3t 0
练习
解：
小结
信号的空间表示
信号的正交展开 信号的空间表示
信号的矢量空间表示
例题
有4个消息要在AWGN信道传输，如下图所示。
s3
t
s1
t
0
1
2 t 3 otherwis e
f3t
f3 ' t
f3'
t
2 dt
f3 ' t
同理 c14 2, c24 0, c34 1
f4t s4 t 2 f1t f3t s4 t s1t f3t 0
f1t
s1 t
1
s1 t
2
f2t
s2 t
s2 t
2
c12
2 0
s2
t
f1 t dt
2
s2
t
s1t
dt
0
0
2
f2t s2 t 0
f2t
s2t s2t
f2' t
2 dt
2
c13
3 0
s3
t
f1
t
dt
2 0
s3 t s1 t dt
2
2
c23
3 0
s3 t
f2
t dt
2
s3 t s2
t
dt
0
0
2
f3t s3t 2 f1t 0 f2 t
最佳检测器
最大后验概率准则 最大似然准则 最小距离准则
无论是数字基带传输还是数字频带传输，都存在着“最 佳接收”的问题。最佳接收理论是以接收问题作为研究对象， 研究从噪声中如何准确地提取有用信号。对于数字信号而言， “最佳”可描述为使接收信号的差错率最低。
假定发送 M 个信号波形sm t, m 1,2, , M ，每个
波形的持续时间为 T。在 0 t T 间隔内，接收信号表示为
rt sm t nt 0 t T
1、 相关解调器
接收信号的正交展开
相关解调器
因为正交函数集 fk t 不能构建噪声空间，接收信号
N
N
N
rt smk fk t nk fk t nt rk fk t nt
k 1
可以证明：
1)
噪声 nk 是均值为
0，方差
2 n
N0
/ 2 的不相关（即相互独立）
的高斯随机变量。（设信道噪声 nt 的功率谱密度为 N0 / 2 （W/Hz））
2) 在发送信号 sm t 的条件下，相关器输出 rk 也是不相关（即相互
独立）的高斯随机变量。
Erk
Esmk
nk
sm率谱密度为 N0 / 2（W/Hz）。
计算基函数 f t ，相关解调器的输出， pr | sm 。
参见<<数字通信>>(第4版)172页
解：
M=4的双正交信号(eg.4PSK)
例 5－1－2
参见<<数字通信>>(第4版)175页
M=4 的双正交信号是由两个正交信号构成的。
信号的正交展开方法 (Gran Schmidt)
设一组信号为si(t),i=1,2,…M,现求一组正交函数来表示这组信号。
第一步:设归一化的s1(t)为第一个正交函数,即第一个单位长度
的正交矢量为
f1 t
s1 t
1
这里
i
si
t
2 dt
第二步:计算s2(t) 在f1(t)上的投影
c12
这一近似的误差为 et st sˆt n1
如何求得系数sn , 使得误差的能量最小？
结论：
sn
st
f
n
t
dt,
n 1,2,... N
N
st sn fn t k 1
例题： 已知一组标准正交函数如下，试画出信 号空间中一个点所对应的信号波形。
1） 标准正交基 2） 信号的空间表示 3） 数字调制信号的矢量空间表示
正交矢量空间表示：
任何矢量可以用一组标准正交向量的线性组合来表示。 －－用矢量空间中的一个点来表示某矢量。
格拉姆-施密特正交化
提问 信号是否可以用矢量表示？
设一组标准正交函数为fn(t),n=1,2,..,N，即
fn t fm tdt
0 1
m n m n
N
信号s(t)可以由fn(t)的线性组合来近似 sˆ t sn fn t
（1）确定信号空间的标准基函数集； （2）画出信号星座图；
例5 : 4ASK(或4PAM频带信号)
4.2 AWGN条件下的最佳接收 及误码率分析
1) 信号的矢量表示 2) AWGN下的最佳接收(含“统计判决理论”) 3)误码率分析
复习：信号的矢量表示
一、最佳接收机
信号解调器
相关解调器 MF解调器
K 1
其中 fkt sk t cik fi t i 1
cik
sk
t
f
i
t
dt
正交化过程继续下去，直到所有M个信号波形处理完毕， 则N≤M个标准正交波形构造完成。
信号的矢量空间表示
例
设一组信号为si(t),i=1,2,3,4,现求一组正交函数来表示这组信号。
解:
f1 t
s1 t
1
s1 t
s2
t
f1
t
dt
从s2(t)中减去c12f1(t),即得到s2(t)信号中所包含的与f1(t)正交的部分
f2t s2 t c12 f1t
将f2’(t)归一化,即得到第二个单位长度的正交矢量
f2t
f2 't
f2' t
2 dt
第三步:求第k个正交函数
fk t
fk 't
fk ' t
2 dt