高级通信原理第4章信号的分析

可以证明，AWGN 信道中，“ML 准则”等价于“最小距离准则”。 最小距离准则：
选择在距离上最接近接收信号向量 r 的信号 sm 。
也就是使得下列欧式距离
N
Dr,sm rk smk 2 k 1
最小的信号 sm
最小欧式距离准则的证明思路
pr
sm


N

prk
smk
,
证明：
例 5－1－1 研究一个 M 元的基带 PAM 信号集，在该信号集中的
基本脉冲形状 gt 是高度为 a，宽度为 T 的矩形。加
性噪声 nt 是均值为 0，功率谱密度为 N0 / 2（W/Hz）。
计算基函数 f t ，相关解调器的输出， pr | sm 。
参见<<数字通信>>(第4版)172页


1 2
N
lnN0
1 N0
N
rk
k 1
smk 2
N
ln p r sm 最大，等价于“欧式距离 Dr,sm rk smk 2 ”最小。
k 1
距离度量：
N
N
N
D r,sm rn2 2 rnsmn sm2n
n1
输出 r r1, r2 。
思考： 1、需要几个 匹配滤波器？ 2、第一个匹 配滤波器输出 的信噪比？ 3、相对于4个 输入信号，考 虑信道噪声两 个匹配滤波器 输出的信号为 多少？
双正交信号
一组 M 个双正交信号集可以由 M/2 个正交信号与其负的正交信号构成。
注意：在任何一对波形之间的相关系数为-1 或 0，相应的距离为 2 E 或
k 1
k 1
k 1
N
其中 nt nt nk fk t ， nt 表示 nt 与 nt 在基 k 1
函数 fn t 上投影的对应部分之差。
可以证明：nt 不包含与判决有关的任何信息。也就是说，
判决完全可以根据相关器的输出 rk 来进行。
无论是数字基带传输还是数字频带传输，都存在着“最 佳接收”的问题。最佳接收理论是以接收问题作为研究对象， 研究从噪声中如何准确地提取有用信号。对于数字信号而言， “最佳”可描述为使接收信号的差错率最低。
假定发送 M 个信号波形sm t, m 1,2,, M ，每个
波形的持续时间为 T。在 0 t T 间隔内，接收信号表示为
例5 : 4ASK(或4PAM频带信号)
4.2 AWGN条件下的最佳接收 及误码率分析
1) 信号的矢量表示 2) AWGN下的最佳接收(含“统计判决理论”) 3)误码率分析
复习：信号的矢量表示
一、最佳接收机
信号解调器
相关解调器 MF解调器
最佳检测器
最大后验概率准则 最大似然准则 最小距离准则


sk
t

fi
t
dt
正交化过程继续下去，直到所有M个信号波形处理完毕， 则N≤M个标准正交波形构造完成。
信号的矢量空间表示
例
设一组信号为si(t),i=1,2,3,4,现求一组正交函数来表示这组信号。
解:
f1t
s1 t
1

s1 t
2
c12
2 0
s2
的正交矢量为
f1 t

s1 t
1
这里
i

si
t
2 dt
第二步:计算s2(t) 在f1(t)上的投影
c12

s2
t

f1
t
dt
从s2(t)中减去c12f1(t),即得到s2(t)信号中所包含的与f1(t)正交的部分
f2t s2 t c12 f1t
如何确定判决准则？
根据观察矢量 r 落入哪个判决区域 Rm ，作出发端发送的是哪个 s m 的
估计，用 sˆ 表示。若输出判决 sˆ 不等于 s m ，则判错。所以错误概率表示为
M
M


PM P(sm )P(sˆ sm | sm ) P(sm )1 pr | sm dr
则为
sˆ arg sm max Psm | r
即选择最大的后验概率，称该准则为 MAP 准则。
结论
最大后验概率（MAP）准则（最小错误概率准则）：
选择后验概率集合Psm | rm 1,2,, M 中最大值的信号。 等价于“选择 P(sm ) pr | sm 最大值的信号”。
t

f1t
dt

2
s2
t
s1
t

dt

0
0
2
f2t s2 t 0
f2t
s2t s2t


f2' t
2 dt
2
c13
3 0
s3t f1tdt


2 0
s3
t
s1
t

dt
2

2
c23
3 0
s3
t

f2
t
m 1,2,..M
k 1
p rk smk
1
N0
exp
rk
smk 2
N0
,
k 1,2,...N
p r sm

1
N0 N
2
exp
N k 1
rk
smk N0
2
,
m 1,2,..M
ln p r sm
独立）的高斯随机变量。
Erk

Esmk
nk

smk
；

2 r


2 n

N0
/2
3) 条件概率密度
N
N
pr | sm prk | smk
k 1
k 1
1
exp
rk

smk
2

N0
N0
m 1,2,, M k 1,2,, N
2E ，且后者为最小距离。
解：
2、最佳检测器
前面已经证明，对于 AWGN 信道传输的信号，相关解调
器或者匹配滤波器解调器产生的向量 r r1, r2 ,rN 包含了
接收信号波形中所有的信息。本节将描述基于观测向量 r 的 最佳判决准则。
假定在连续信号间隔内的发送信号中不存在记忆。设计 一个信号检测器，它根据每个信号间隔中的观测向量
f4t s4 t 2 f1t f3t s4 t s1t f3t 0
f1t
s1 t
1

s1 t
2
f2t
s2 t
s2 t


f2' t
2 dt
2
f3t s3t 2 f1t 0 f2 t s3t s1t
最大似然（ML）准则：
当先验等概时，即对所有 M 有 Psm 1/ M ，最大后验概率（MAP） 准则可等价为寻求使 pr | sm 最大的信号。
条件概率 pr | sm 或者它的任意单调函数通常称为似然函数。 选择似然函数集合pr | sm m 1,2,, M 中最大值的信号。
正交矢量空间表示：
任何矢量可以用一组标准正交向量的线性组合来表示。 －－用矢量空间中的一个点来表示某矢量。
格拉姆-施密特正交化
提问 信号是否可以用矢量表示？
设一组标准正交函数为fn(t),n=1,2,..,N，即

fn t fm tdt

0 1
m n m n
MF解调器
对输入信号的匹配 !
问题：匹配于基函数，输出信号和噪声功率为多少？
可以证明：
1)
噪声 nk 是均值为
0，方差

2 n

N0
/ 2 的不相关（即相互独立）
的高斯随机变量。（设信道噪声 nt 的功率谱密度为 N0 / 2 （W/Hz））
2) 在发送信号 sm t 的条件下，相关器输出 rk 也是不相关（即相互
f4t s4 t 2 f1t f3t s4 t s1t f3t 0
练习
解：
小结
信号的空间表示
信号的正交展开 信号的空间表示
信号的矢量空间表示
例题
有4个消息要在AWGN信道传输，如下图所示。
（1）确定信号空间的标准基函数集； （2）画出信号星座图；
dt

2 s3ts2 tdt 0
0
2
f3t s3t 2 f1t 0 f2 t

s3
t


s1
t


0
1
2 t 3 otherwis e
f3t
f3 ' t


f3'
t
2 dt

f3 ' t
同理 c14 2, c24 0, c34 1
将f2’(t)归一化,即得到第二个单位长度的正交矢量
f2t
f2 't


f2'
t
2 dt
第三步:求第k个正交函数
fk t
fk 't


fk ' t
2 dt
K 1
其中 fkt sk t cik fi t i 1
cik
n1
n1
r 2 2r sm sm 2 , m 1,2,...M 如果所有信号具有