通信原理：第二章 确定信号分析
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通信原理I第2章- 确定信号分析
2009-9-10
且 ∫ δ ( t )dt = 1, ∀ε > 0
−ε
ε
0
t
4
1.1 常用信号的傅立叶变换
1、冲激函数 ⎧∞ 定义为：δ (t ) = ⎨ ⎩0
ε
−ε
t=0 t≠0
，
且 ∫ δ (t )dt = 1 ，对任意的ε > 0， 可将冲激信号想象为无限窄、无限高，面积为1的窄脉冲。 因为∫ δ (t )e − j 2π ft dt = 1 ，即δ (t ) ⇔ 1。就是说冲激函数包含无穷
2009-9-10 19
2 确定信号的表示(7)
信号带宽：信号能量或功率主要部分集中的频率范围 (正频率部分)--Hz 定义方法 零点带宽：B1 3dB(半功率点)带宽：B2 等效矩形带宽：B3
E( f )
B3
E( f )
∫ =
∞
−∞
E ( f ) df
例. 门函数: B1 = 1 τ
E (0) E ( B2 ) = 2
R12 (τ ) ⇔ E12 ( f ) = F1 * ( f ) F2 ( f )
2009-9-10 16
2 确定信号的表示(3)
功率信号：平均功率有限
定义截短信号
⎧ ⎪f t , fT ( t ) = ⎨ ( ) ⎪ 0, ⎩ T 2 其它 t t <
fT ( t ) ⇔ FT ( f )
ET = ∫
2009-9-10
26
4 Hilbert变换(1)
定义：若 f (t) 为实函数，
ˆ f ( t ) = H [ f ( t )] =
=
f (t) = H
−1
1
+∞
且 ∫ δ ( t )dt = 1, ∀ε > 0
−ε
ε
0
t
4
1.1 常用信号的傅立叶变换
1、冲激函数 ⎧∞ 定义为：δ (t ) = ⎨ ⎩0
ε
−ε
t=0 t≠0
，
且 ∫ δ (t )dt = 1 ，对任意的ε > 0， 可将冲激信号想象为无限窄、无限高，面积为1的窄脉冲。 因为∫ δ (t )e − j 2π ft dt = 1 ，即δ (t ) ⇔ 1。就是说冲激函数包含无穷
2009-9-10 19
2 确定信号的表示(7)
信号带宽：信号能量或功率主要部分集中的频率范围 (正频率部分)--Hz 定义方法 零点带宽：B1 3dB(半功率点)带宽：B2 等效矩形带宽：B3
E( f )
B3
E( f )
∫ =
∞
−∞
E ( f ) df
例. 门函数: B1 = 1 τ
E (0) E ( B2 ) = 2
R12 (τ ) ⇔ E12 ( f ) = F1 * ( f ) F2 ( f )
2009-9-10 16
2 确定信号的表示(3)
功率信号：平均功率有限
定义截短信号
⎧ ⎪f t , fT ( t ) = ⎨ ( ) ⎪ 0, ⎩ T 2 其它 t t <
fT ( t ) ⇔ FT ( f )
ET = ∫
2009-9-10
26
4 Hilbert变换(1)
定义：若 f (t) 为实函数，
ˆ f ( t ) = H [ f ( t )] =
=
f (t) = H
−1
1
+∞
通信原理 确定信号分析 傅里叶级数与变换讲解
第二章 确定信号分析
确定信号: 信号仅是一个随时间变化，且其它参数都 是确知的，则这类信号称之为确定信号。
随机信号: 信号的全部或部分参量是不确定的或者 是随机的，则这类信号称之为随机信号。
分析方法： 对于确定信号常采用傅立叶变换分析信号的时域和频域表示； 对于随机信号常采用概率论和随机过程理论。 本章研究确定信号及其通过系统传输的特性。
⑷ 根据滤波器的截至频率不同，可以得到不同频率的信号。
如:
cos2
0t
1
cos 2
20t
若LPF(低通)的截至频率小于20，经LPF后，我们仅得到直流
分量, 若BPF(带通)的中心频率在 20 ，带宽 0，我们仅得
到2次谐波分量。
例：确定周期性矩形脉冲的傅立叶级数
1
Cn T1
T1 / 2 T1 / 2
f (t ) F (ω)
它们分别描述了信号在时间域和频率域的分布情况
傅立叶理论告诉我们：
(1) 一个信号不可能在时域和频域同时受限，一个时域受限的信 号，其频谱一定时无限的，同样，一个频域受限的信号，其时 域也将是无限的。
(2) 一个在时域锐截止的信号，其频域是无限且能量发散，即频 谱在第一个零点以外衰减相对较慢。一个在时域缓慢过渡的 信号，其频谱是无限的，但能量相对集中。
PT (t )e jn1tdt
1
T1
/ 2 e jn1t dt
/ 2
| 1
T1
e jn1t
jn1
2
2
T1
Sa( n1 )
2
第一个零点: 2
频谱间隔: 1
因此定义信号的零点带宽 B 2 (或 B 1 ) 也称主瓣带宽
这是因为信号的能量主要集中在第一个零点以内。
确定信号: 信号仅是一个随时间变化，且其它参数都 是确知的，则这类信号称之为确定信号。
随机信号: 信号的全部或部分参量是不确定的或者 是随机的，则这类信号称之为随机信号。
分析方法： 对于确定信号常采用傅立叶变换分析信号的时域和频域表示； 对于随机信号常采用概率论和随机过程理论。 本章研究确定信号及其通过系统传输的特性。
⑷ 根据滤波器的截至频率不同，可以得到不同频率的信号。
如:
cos2
0t
1
cos 2
20t
若LPF(低通)的截至频率小于20，经LPF后，我们仅得到直流
分量, 若BPF(带通)的中心频率在 20 ，带宽 0，我们仅得
到2次谐波分量。
例：确定周期性矩形脉冲的傅立叶级数
1
Cn T1
T1 / 2 T1 / 2
f (t ) F (ω)
它们分别描述了信号在时间域和频率域的分布情况
傅立叶理论告诉我们：
(1) 一个信号不可能在时域和频域同时受限，一个时域受限的信 号，其频谱一定时无限的，同样，一个频域受限的信号，其时 域也将是无限的。
(2) 一个在时域锐截止的信号，其频域是无限且能量发散，即频 谱在第一个零点以外衰减相对较慢。一个在时域缓慢过渡的 信号，其频谱是无限的，但能量相对集中。
PT (t )e jn1tdt
1
T1
/ 2 e jn1t dt
/ 2
| 1
T1
e jn1t
jn1
2
2
T1
Sa( n1 )
2
第一个零点: 2
频谱间隔: 1
因此定义信号的零点带宽 B 2 (或 B 1 ) 也称主瓣带宽
这是因为信号的能量主要集中在第一个零点以内。
通信原理课件第2讲 确定信号分析30页PPT
其中每一个信号的频率都是基波频率的倍数，并在基
波周期T内都是周期的。那么一个由成谐波关系的复指
数线性组合形成的信号
x(t)
ejk0t
k
ejk(2T)t
k
k
k
对T来说也是周期的，则定义上式为信号的傅里叶级数
表示
对上式两端同乘 e jn0t
x(t)ejn0t
e e jk0t jn0t
k
k
然后两端同取积分：
sin6t 1 (e6t e6t) 2j
x(t)1(e4te4t)j(e6te6t)
2
2
2
1 2
,
2
1 2
,
3
j , 2
3
j, 2
k 0,k 2,3
▪ 因此周期信号或者说它的各分量系数可由下图中的（复）频谱
进行表征。可以看到，复频谱除正频率分量外，还包括负频率
分量。负频率的出现是数学运算（欧拉公式）的结果，并无物
傅立叶级数
▪如果一个信号是周期的，那么对于一切t，存在着某 个正值的T，有：
x(t)x(tT)
其中T为信号的周期，则 0 2 T 称为基 波频率
在通信系统中有两种基本的周期信号：
x(t)cos0t 和 x(t) ej0t
▪假设有复指数信号集：
k ( t) e jk (2 T ) t e jk 0 t, k 0 , 1 , 2 L
~ x(t)k T 1X(jk0)ejk0t
由于 T2 0
~ x(t)21k X(jk0)ejk0t0
▪那么我们可以得到傅立叶变换对：
x(t)21 X(j)ejtd
X(j) x(t)ejtdt
▪通过上述两个变换公式，我们可以将非周期信号从时 域变换到频域，或是完成逆变换
通信原理 樊昌信第6版 ppt 第2章 确定信号分析aqtc
常用信号傅里叶变换（ ） 升余弦脉冲 常用信号傅里叶变换（4）-升余弦脉冲 傅里叶变换
f(t)
πt 1 + cos( ) Ts
Ts t
ωTs Sa ( ) 2 ↔ 2Ts ωTs 2 1− ( ) F(ω) π
0
- Ts
0
f(t)
0
ωs t Sa ( ) ωs 2 ↔ 1 + cos( πω ) π 1 − ( ωs t ) 2 ωs π
1 P = s (t ) = lim T →∞ T
2
∫
T /2
−T / 2
s 2 (t ) d t
能量信号和功率信号 为有限值， 称为能量信号 若E为有限值，则 s(t)称为能量信号； 为有限值 称为能量信号； 为有限值， 称为功率信号 若E→∞，P为有限值，则 s(t)称为功率信号。 ， 为有限值 称为功率信号。
2.1 确定信号分析 傅里叶变换 确定信号分析 傅里叶变换 分析变换1
信号的傅里叶变换 信号的傅里叶变换 傅里叶
∞
F (ω ) = ∫ f (t )e − jωt dt
-∞ ∞
F ( f ) = ∫ f (t )e − j2πft dt = F (ω ) ω = 2 πf
-∞
1 ∞ jω t f (t ) = ∫-∞ F (ω )e dω 2π = ∫ F ( f )e
F (ω ) = 2 π ∑ Fnδ (ω − nω s )
n =-∞
∞
周 T,ωs = 2π / T 期
安庆师范学院物理与电气工程学院 8
2.1 确定信号分析 傅里叶变换 确定信号分析 ） 常用周期信号傅里叶级数（1）理想单位冲击函数序列 傅里叶级数
df (t ) ↔ ( jω ) F (ω ) dt
f(t)
πt 1 + cos( ) Ts
Ts t
ωTs Sa ( ) 2 ↔ 2Ts ωTs 2 1− ( ) F(ω) π
0
- Ts
0
f(t)
0
ωs t Sa ( ) ωs 2 ↔ 1 + cos( πω ) π 1 − ( ωs t ) 2 ωs π
1 P = s (t ) = lim T →∞ T
2
∫
T /2
−T / 2
s 2 (t ) d t
能量信号和功率信号 为有限值， 称为能量信号 若E为有限值，则 s(t)称为能量信号； 为有限值 称为能量信号； 为有限值， 称为功率信号 若E→∞，P为有限值，则 s(t)称为功率信号。 ， 为有限值 称为功率信号。
2.1 确定信号分析 傅里叶变换 确定信号分析 傅里叶变换 分析变换1
信号的傅里叶变换 信号的傅里叶变换 傅里叶
∞
F (ω ) = ∫ f (t )e − jωt dt
-∞ ∞
F ( f ) = ∫ f (t )e − j2πft dt = F (ω ) ω = 2 πf
-∞
1 ∞ jω t f (t ) = ∫-∞ F (ω )e dω 2π = ∫ F ( f )e
F (ω ) = 2 π ∑ Fnδ (ω − nω s )
n =-∞
∞
周 T,ωs = 2π / T 期
安庆师范学院物理与电气工程学院 8
2.1 确定信号分析 傅里叶变换 确定信号分析 ） 常用周期信号傅里叶级数（1）理想单位冲击函数序列 傅里叶级数
df (t ) ↔ ( jω ) F (ω ) dt
通信原理第2章确知信号
30
小结(对比表格)
第二章 确知信号
能量(或功率)
能量信号
E s(f)2df
谱密度
| S( f ) |2
功率信号
P Cn 2 n
C(f)2(f n0f)
整理ppt
31
第二章 确知信号
2.3确知信号的时域性质
时域的主要性质有： 自相关性和互相关性
相关性：信号之间的相关程度。
整理ppt
32
偶函数，所以频谱是实函数。
整理ppt
19
第二章 确知信号
2.2.2能量信号的谱密度
设一个能量信号为 s (t ) ，则将它的傅
里叶变换 S( f )定义为它的频谱密度：
S(f) s(t)ej2ftdt
s(t) S(f)ej2ftdt
整理ppt
20
第二章 确知信号
频谱和频谱密度的区别：
功率信号的频谱：傅里叶级数复数形式的系数
例2-9 试求周期性信号 s(t)Acot s()
的自相关函数。
解：先求功率谱密度，再求自相关函数。
信号基频为：
f0
1
2
1
Cn
T0
T0 2 T02
s(t)ej2n0ftdt 1 2
Acots()ejndt t
A[ej sin1(n)ej sin1(n)] ｎ０ ,１ ,２ ,.
2 (1n)
1
T0
TT00//22s2(t)dtN Cn2
即信号功率P
S( f )，则
整理ppt
巴塞伐尔(Parseval)定理 28
第二章 确知信号
（1）能量谱密度
s2(t)d t S(f)2df
即信号能量E
通信原理 第2章 确定信号和随机信号分析
其中: a t 是包络函数；c 是中心频率； t 是随机相位函数。
②上式利用三角函数和角公式，可写成
t a tcos tcosct sin tsin ct
其中 c tcosct s tsin ct
c t s t
a a
tcos t t 的同相分量 tsin t t 的正交分量
双边能量谱密度（焦耳/ 赫兹）
③
G
2E
0,
,
R E
0 0
单边能量谱密度（焦耳/ 赫兹）
R
f
*t
f
t
dt
E R0
2.2 确定信号的表示
(2) 功率信号：平均功率有限的信号f t F
① S lim 1 T T
T /2
T / 2 fT t
2 dt 1
2
lim FT
：
Fn
1 T
FT
n0
Fn
2
1 T
PT
() n0
④ Fn 与 f t
：
F
2 Fn
n0
n
P 2
Fn 2
n0
n
R
Fn
2 e jn0t
n
2. 3 随机过程
设 t是一个随机过程，任意时刻
机变量，定义：Page 13
t1上 t1 是一个随
1 t
v1
总体： t
t
2 t
1 T
T
2
T 2
xt
xt
dt
①各态历经过程的任一实现都好象经历了随机过程的所有可能状态 似的。
②任一实现都能代表整个随机过程。
③各态历经过程必须首先是平稳过程，但平稳过程不一定是各态历 经过程。
通信原理 第2章 确知信号
0
所以Cn为实函数。
11
第2章 确知信号 章
【例】 试求图所示周期性方波的频谱。 −τ / 2 ≤ t ≤ τ / 2 V , s(t) s(t ) = τ / 2 < t < (T − τ / 2) 0,
s(t ) = s(t − T ), −∞ <t < ∞
τ
-T
τ /2
V 0
T
由式(2.2-2)： (2.2-2)
1 T0 / 2 1 T0 / 2 = ∫ s(t ) cos(2πnf0t )dt − j ∫ s(t ) sin(2πnf0t )dt = Re(Cn ) − j Im(Cn ) T −T0 / 2 T −T0 / 2 而 T0 / 2 s (t ) sin(2πnf t )dt = 0
∫
−T0 / 2
∫
∞
−∞
s(t)e
− j 2πft
dt = ∫ s(t)e −∞
∞
+ j 2πft
dt ,
∗
S( f ) = [S(− f )]
∗
13
第2章 确知信号 章
【例】试求单位冲激函数(δ函数)的频谱密度。 ∞ δ函数的定义： δ ( t ) dt = 1
∫
−∞
δ (t ) = 0
t ≠ 0
[a
2 n
+ bn2 cos (2π nt / T0 + θ n )
]
( 2 .2 − 8 )
式中 θn = − tan−1 (bn / an )
Cn =
1 2 2 a n + bn 2
9
第2章 确知信号 章
上式表明： 1. 实信号可以表示成包含直流分量C0、基波(n = 1时)和各次谐 波(n = 1, 2, 3, …)。
通信原理第2章 确定信号分析
∞
2
F ( f ) df
−∞
−∞
19
通信原理
第2章 确定信号分析
②通常称E( f ) = F( f ) 2 为双边能量谱密度。 ③通信技术中常用单边能量谱密度。
G(f ) =⎧⎪⎨2E(f ) f >0 (仅对实信号有定义！)
⎪⎩0
f <0
∞
∞
∞
∫ ∫ ∫ Ef
=
E( f )df
−∞
=
0
G( f )df
=2 0
E( f )df
20
通信原理
2.功率谱密度
¾非周期功率信号f(t)，取其截断函数fT(t)
（|t|≤T/2）。 假定fT(t) FT(f)，那么
∫ ∫ ET
=
∞
|
−∞
fT (t) |2dt =
∞
−∞|FT
(
f
)
|2
df
¾功率谱密度的定义
P ( f ) = lim | FT ( f ) |2
T →∞
+∞ j 2π nf0t
j 2π mf0 (t +τ )
= [ F e F e ]dt n
m
T −T / 2 n=−∞
m = −∞
∑ ∑ ∫ = n
1 j 2π mf0τ F F e e dt n m T m
+T / 2 j 2π f0 (n+m)t
−T / 2
+∞
∑ =
| Fn |2 e j2πnf0τ
分量、正交分量等概念 ⑧ 了解频带信号通过带通系统的分析方法。
2
通信原理
第2章 确定信号分析
2.1 引言
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( f ) 1
2021/3/6
11
3、常用傅氏变换及傅氏变换的性质
（4）时移与频移
X ( f )e x(t t0)
X ( f )e j2 f (tt0 )df
j2 ft0
X ( f f ) x(t)e 0
x(t)e j 2 ( f f0 )dt
j 2 f0t
2021/3/6
g(t) (t) g( ) (t )d g(t)
时 域
g(t t1) (t t2) f (t t1 t2)
g(t) (t t0) g(t t0)
G( f ) ( f f0) G( f f0)
频
域 G( f f1) ( f f2) G( f f1 f2)
( f f1) ( f f2) ( f f1 f2)
2021/3/6
n0
0
幅度谱是偶函数
离散
相位谱是奇函数
Fn 为实数时
幅度谱和相位谱
Fn
Fn
cn 2
5
补充2、指数形式的傅立叶级数
Fn
2
2
T1
n1
n1
0
2
Fn
2
2
T2
n2
n2
0
2
谱线间隔为0
2 T
，T越大， 0 愈小，即谱线愈密
2021/3/6
6
3、常用傅氏变换及傅氏变换的性质
（1）面积
t
2021/3/6
10
（3） (t)性质（补充）
(t t0)
(t
t0
)e
j 2
ft
e j2 ft0
① (t) 的傅立叶变换
(t t0 ) e j2ft0
(t)
(t) 1
t
② e j2 f0t ( f f0 )
e j2 f0t ( f f0 )
F( f )
1
0
f
n1
n0
直流
cn
分量
n=1时 基波分量
n
n>1时 谐波分量
0
2021/3/6
0
2
T
幅－频特性
离散谱
0
0
相－频特性
3
补充2、指数形式的傅立叶级数
欧拉公式
cos x 1 (e jx e jx ) 2
cn
cos(n0t
n )
cn 2
e e jn jn0t
cn 2
e
e jn
jn0t
n n
Fn
Fn
X1( f )X2( f )
2021/3/6
14
3、常用傅氏x变(t)换Xco及(sf傅2)氏f0变t x换(t的)12e性jX2质(f dft
f0) X ( f f0)
X (0) x(t)dt
例2.1.1：设实信号m(t)的频谱M(f)不为零的范围是
[-W,W]，令 x(t) m(t) cos 2 fct ，其中 fc W ，求X ( f )
S T
rect
t T
A
面积
S=1
1 T
rect
t T
当 T 0 (t)
S T
rect
t T
A=1 2021S/3/=6 T
rect
t T
当T A 1
9
3、常用傅氏变换及傅氏变换的性质
（3）单位冲击函数的 (t)定义（补充）
(t)
0
t 0 t0
且
(t)dt
1
对任意
0
(t)
2021/3/6
18
3、常用傅氏变换及傅氏变换的性质
（7）微分
2021/3/6
19
3、常用傅氏变换及傅氏变换的性质
（8）符号函数sign(t)
2021/3/6
s i gn(t)
+1
-1
F(f)
f
20
3、常用傅氏变换及傅氏变换的性质
x(t)e j2 f0t
X ( f f0)
13
3、常用傅氏变换及傅氏变换的性质
调制： 卷积：
x(t ) x(t) cos 2 f0t x(t)sin 2 f0t
x1(t)x2 (t) x1(t) x2 (t)
X(f)
1X( f
2
f0)
X(f
f0 )
j X( f
2
f0)
X(f
f0 )
X1( f ) X2( f )
12
3、常用傅氏变换及傅氏变换的性质
放大： 线性叠加： 尺度变换：
x(t )
kx(t )
n
ai xi (t)
i 1
x(at)
x(t)
X(f)
kX ( f )
n
ai Xi ( f )
i 1
1 X( f ) aa
X ( f )
时移：
x(t t0 )
X ( f )e j2 ft0
频移：
2021/3/6
X(f
)
1 M (
2
f
fc) M ( f
fc )
M ( f ) 频率范围 f W
| M( f )|
X ( f ) 频率范围 f fc W X (0) 0
W 0 | X(f)|
f W
f fc W fc fc W 0 fc W fc fc W
2021/3/6
15
3、常用傅氏变换及傅氏变换的性质
某个域中的面积是另一个域中原点的值
2021/3/6
ห้องสมุดไป่ตู้
7
3、常用傅氏变换及傅氏变换的性质
（2）矩形函数
x(t)
S T
rect
t T
面积
X(f)
2/T
t
f
T/2
O
T/2
O1
T
x(t)
S 2W
rect
f 2W
X(f)
1/W
O
2021/3/6
t
f
W O W
8
3、常用傅氏变换及傅氏变换的性质
（3）直流与冲激
负频率
f (t) cn cos(n0t n )
Fne jn0t
n0
n
( t )
Fn 与 的关系 ，称为 f (t)幅－频特性，即幅度频谱 n与的关系 ，称为 f (t)相－频特性，即相位频谱
2021/3/6
4
补充2、指数形式的傅立叶级数
| Fn |
n0
0 0
n0
n
n0
n0
0
Fn
n0
（5）共轭对称性
x(t) X ( f )
x*(t) X *( f )
若 x(t)为实信号，则 X ( f ) X *( f )
2021/3/6
共轭偶对称 共轭奇对称
16
3、常用傅氏变换及傅氏变换的性质
（6）卷积与乘积
定义： 函数 x(t)，y(t) ；其卷积为
x() y() x()y(t )d
卷积定理 x(t) X ( f ) y(t) Y ( f ) 时域卷积定理
x(t) y(t) X ( f ) Y ( f )
频域卷积定理
X ( f )Y( f ) f1(t) f2(t)
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g (t)与 (t)的乘积和卷积
g(t) (t t0) g(t0) (t t0) g(t a) (t b) (t a) ( a b)
第二章 确定信号分析
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2.1 傅立叶级数和傅里叶变换
1、傅立叶级数和傅里叶变换
傅里叶级数
傅里叶变换 频谱密度
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2.1 傅立叶级数和傅里叶变换
补充1、三角形式的傅立叶级数
f (t) a0 an cos n0t bn sin n0t cn cos(n0t n )