第二章 确定及随机信号分析

2.3平稳随机过程及其频谱特性
n唯概率密度函数(或分布函数)满足：
38
2.3平稳随机过程及其频谱特性 R(t )= E 轾臌X (t)X (t + t ) = 蝌-ゥ? ? x1x2 p2 (x1x2 , t )dx1dx2
CX (0)
39
2.3平稳随机过程及其频谱特性
联合宽平稳随机过程： 若 X (t) 和 Y (t) 是宽平稳过程，且
1 2p
?1 T
¥
ò- ?
XT (w) 2 dw
=
1 2p
蝌-ゥ?
lim
T
E
轾犏臌XT (w)2
T
dw =
1 2p
P(w)?dw
?
43
2.3平稳随机过程及其频谱特性
随机过程的功率谱应看作是每一实现的功率谱的统计平均
PX (w)=
lim
T
E 轾 犏 臌XT (w) 2
T
维纳-欣钦定理 PX (w)« R(t )
E() F () 2
或E(2πf ) F (2πf ) 2
E 1


E(w)dw E(2πf )df
2

12
2.1 确定信号分析
功率信号：能量无限大，平均功率有限，定义功率信号的截短信号为
功率信号 f (t) 的平均功率
Pf
lim 1 T T
RXY (t1, t2 ) E[ X (t1)Y (t2 )] E[ X (t)Y (t )] RXY ( )
互相关函数的性质： RXY ( ) RYX ( )
RXY ( ) RX (0)RY (0)
RXY
(
)

1 2
[RX
(0)

RY
(0)]
互协方差函数： CXY ( ) E X (t) mX Y (t ) mY
例、已知平稳随机过程的自相关函数 求该平稳随机过程的功率谱
RX ( )
A2 2
cos w0
P(w)

RX
( )e jw d

A2 4
[e j(ww0 ) e j(ww0 ) ]d


A2
2
[
(w

w0
)


(w

w0
)]
44
2.3平稳随机过程及其频谱特性
32
2.2 随机过程及其统计特性
随机过程：与时间有关的函数，但任一时刻的取值不确定 （随机变量），具有以下特点
① 信号变化不可预测；
② 事物的变化过程不能用一个（或几个）时间t的确定
函数来加以描述。 x1(t)
n 体： x (t )
v1
此噪n n n 值 出n 的概率
t
vn
x2 (t)
鬃?
0
v2
xn (t)
16
2.1 确定信号分析-带宽(续)
(4)占总能量(功率 )的百分比带宽
基带信号：信号能量或功率集中在零频率附近 频带信号：信号能量或功率集中在某一载频附近
17
2.1 确定信号分析
5、相关函数
能量信号的互相关函数
能量信号的自相关函数
(2.6)
R12( )

f1* (t )


P Fn 2

Fn
2
(w
nw0 )dw



Fn 2 (w nw0 )dw
n
n
n

注意与(2.4)的区别
15
2.1 确定信号分析
4、带宽
信号带宽：信号能量或功率主要部分集中的频率范围(正频率部 分)—Hz
定义方法： (1)零点带宽： (2)3dB(半功率)带宽： (3)等效矩形带宽：
T /2 T / 2
f (t) 2 dt lim 1 T T

fT
(t)
2 dt

1
2
lim
T
FT (w) 2 dw T
1

lim
FT (w) 2 dw
1

P(w)dw
2 T T
2
13
2.1 确定信号分析-能量谱密度和功率谱密度(续）
f2
(t
)dt


f1*
(t
)[
1
2

F2
(w)e
jw
e
jwt
dw]dt
1
2

F2 (w)[

f1*(t)e jwt dt]e jw d

1
2

F2
(w)F1*
(w)e
jw
dw
18
2.1 确定信号分析-相关函数(续)
功率信号的互相关函数
5
2
t
f t
矩形函数用基波
和三个谐波近似 1
4 (sin t 1 sin 3t 1 sin 5t 1 sin 7t)

3
5
7
0

2
t
An
A0
A1 A2 A3
An
0 ~ 基波 n0 ~ 谐波
n0 20 n0
0 ~ 基波 n0 ~ 谐波
三角形式幅度频谱图
n0 谱线
利用欧拉（Euler）公式，可将三角函数和 指数函数联系起来：
8、解析信号（不讲）
实信号 f (t)的解析信号定义为： 解析信号性质：
27
2.1 确定信号分析-解析信号续
28
2.1 确定信号分析
9、频带信号及带通系统
令
29
2.1 确定信号分析-频带信号及带通系统续
频带信号表示方法：
30
2.1 确定信号分析-频带信号及带通系统续
31
2.1 确定信号分析-频带信号及带通系统续
5
2.1 确定信号分析
沟通时、频域的数学工具（桥梁）
周期信号--- 傅立叶级数 非周期信号--- 傅里叶变换
1、傅立叶级数及频谱
对于一个周期为T的 f t周期信号（满足狄利赫利条件），都可
用傅立叶级数表示。 三角级数：
f
x
a0 2


an
n 1
co s n0t
bn
w 周期脉冲信号的复数频谱图 0
9
2.1 确定信号分析
2、傅立叶变换与频谱密度：非周期信号
(2.3)
傅立叶变换性质和常用傅立叶变换
10
2.1 确定信号分析-傅立叶变换(续)
周期信号傅立叶变换: 引入单位冲激 (t) 函数， 周期信号频谱密度 为

f (t)
F e jnw0t n
n
功率信号的自相关函数
周期信号的自相关函数为
ò R(t ) = 1
T /2
f *(t) f (t + t )dt
T - T/2
19
2.1 确定信号分析
6、卷积
定义：给定两个函数 f1(t) 和 f2 (t) ，卷积积分为

f1(t) * f2 (t) f1( ) f2 (t )d
鬃? t
xn (t )
高斯分布 v 噪n 值
0值附近概率值大, 离0v值n ,概率平滑n 少
v2
t
t1
t2
v1
t
0值附近概率值大, 离0v值n,概率平滑n少
概率
33
2.2 随机过程及其统计特性
34
2.2 随机过程及其统计特性
35
2.2 随机过程及其统计特性
36
2.2 随机过程及其统计特性
37
RXY ( ) mX mY
40
2.3平稳随机过程及其频谱特性
P26 以概率为1成立
41
2.3平稳随机过程及其频谱特性
确定信号功率谱
设确定性功率信号 f t ，功率谱密度 P(w) ，
自相关函数 R(t )« P(w) 功率谱密度
平稳随机过程有否上述关系 ？ 随机过程的能量往往不是有限值，因此不存在信号能量频谱， 然而如果是平稳随机过程，其平均功率可能是有限值
42
2.3平稳随机过程及其频谱特性
平稳随机过程 X (t) 的平均功率
PX
=
E
禳 镲 睚 镲 镲 铪Tlim
1Байду номын сангаасT
T
ò2
-
T 2
X2 (t)?dt
=
E
禳 镲 睚 镲 镲 铪Tlim
1 T
¥
ò- ?
XT2 (t)?dt
先对X (t)求时间平均功率，
仍是一随机变量，再作统计 平均
=
E 禳镲睚镲镲铪Tlim
1

| Fˆ () |2 dw

2π
又因为 Fˆ ( ) jSgn( )F ( )

f 2(t)

1

| F () |2dw
2π
24
2.1 确定信号分析-希尔伯特变换续
（3）奇偶性
证： 令为 f (t) 偶函数，则有： f (t) f (t) 根据定义:
n
f
* (t)e jnw0t dt



Fn Fn*
n



n
Fn
2
周期信号的 帕什瓦尔定理
14
2.1 确定信号分析-能量谱密度和功率谱密度(续）