高中数学 第三章 不等式疑难规律方法学案 苏教版必修5-苏教版高一必修5数学学案

第三章 不等式1 比较实数大小的方法实数比较大小是一种常见题型，解题思路较多，广泛灵活多变，下面结合例子介绍几种比较大小的方法供同学们学习时参考． 1．利用作差法比较实数大小方法链接：作差比较法比较两个实数大小，步骤可按如下四步进行，作差——变形——判断差的符号——得出结论．比较法的关键在于变形，变形过程中，常用的方法为因式分解法和配方法．例1 已知a <b <c ，试比较a 2b ＋b 2c ＋c 2a 与ab 2＋bc 2＋ca 2的大小． 解 a 2b ＋b 2c ＋c 2a －(ab 2＋bc 2＋ca 2) ＝(a 2b －ab 2)＋(b 2c －bc 2)＋(c 2a －ca 2) ＝ab (a －b )＋bc (b －c )＋ca (c －a )＝ab (a －b )＋bc [(b －a )＋(a －c )]＋ca (c －a ) ＝ab (a －b )＋bc (b －a )＋bc (a －c )＋ca (c －a ) ＝b (a －b )(a －c )＋c (a －c )(b －a ) ＝(a －b )(a －c )(b －c )．∵a <b <c ，∴a －b <0，a －c <0，b －c <0， ∴(a －b )(a －c )(b －c )<0. ∴a 2b ＋b 2c ＋c 2a <ab 2＋bc 2＋ca 2. 2．利用作商法比较实数大小方法链接：作商比较法比较两个实数的大小，依据如下： (1)若a ，b 都是正数，则a >b ⇔a b>1；a <b ⇔a b <1；a ＝b ⇔ab＝1.(2)若a ，b 都是负数，则a >b ⇔ab<1.a <b ⇔a b >1；a ＝b ⇔ab＝1.作商比较法的基本步骤：①作商；②变形；③与1比较大小；④下结论． 例2 设a >0，b >0，且a ≠b ，试比较a a b b，a b b a，(ab )a ＋b2三者的大小．解a ab b aba ＋b 2＝aa －a ＋b 2·bb －a ＋b 2＝a a －b 2·b b －a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b2. 当a >b >0时，a b>1，a －b >0，a －b2>0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ba －b 2>⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 0＝1，∴a a b b >(ab )a ＋b 2.当0<a <b 时，0<ab<1，a －b <0，a －b2<0.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b 2>⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 0＝1，∴a a b b >(ab )a ＋b 2.∴不论a >b >0还是0<a <b ，总有a a b b>(ab )a ＋b2.同理：(ab )a ＋b2>a b b a.综上所述，a a b b>(ab )a ＋b2>a b b a.3．构造中间值比较实数大小方法链接：由传递性知a >b ，b >c ⇒a >c ，所以当两个数直接比较不容易时，我们可以找一个适当的中间值为媒介来间接地比较．例3 设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则a 、b 、c 的大小关系为________． 解析 a ＝log 3π>log 33＝1，∴a >1，b ＝log 23＝12log 23<12log 24＝1，∴b <1，c ＝log 32＝12log 32<12，∴a >b ，a >c .又b ＝log 23＝12log 23>12，∴b >c ，∴a >b >c . 答案 a >b >c4．特殊值法比较实数大小方法链接：一些比较实数大小的客观性题目，先通过恰当地选取符合题目要求的一组特例，从而确定出问题的答案．这种取特殊值法往往能避重就轻，避繁从简，快速获得问题的解．一些解答题，也可以先通过特例为解答论证提供方向．例4 若0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式： ①a 1b 1＋a 2b 2； ②a 1a 2＋b 1b 2； ③a 1b 2＋a 2b 1； ④12. 其中最大的值是________．(填序号) 解析 特殊值法．令a 1＝14，a 2＝34，b 1＝14，b 2＝34，则a 1b 1＋a 2b 2＝1016＝58，a 1a 2＋b 1b 2＝616＝38，a 1b 2＋a 2b 1＝616＝38， ∵58>12>38，∴最大的数应是a 1b 1＋a 2b 2. (注：本题还可以利用作差法比较大小，此答从略) 答案 ①5．利用函数单调性比较实数大小方法链接：有些代数式的大小比较很难直接利用不等式性质完成，可以考虑构建函数，借助函数的单调性加以判断．例5 当0<a <b <1时，下列不等式中正确的是________．(填序号) ①(1－a )1b>(1－a )b ；②(1＋a )a >(1＋b )b；③(1－a )b>(1－a )b2；④(1－a )a >(1－b )b.解析 对于①，∵0<a <b <1，∴函数y ＝(1－a )x为R 上的单调递减函数，∵1b >b ，∴(1－a )1b<(1－a )b，①错误；对于②，∵函数y ＝(1＋a )x为R 上的单调递增函数， ∴(1＋a )a<(1＋a )b，又函数y ＝x b 在(0，＋∞)上为单调递增函数， ∴(1＋a )b<(1＋b )b，从而(1＋a )a<(1＋b )b，②错误；对于③，∵函数y ＝(1－a )x为R 上的单调递减函数，且b >b2，∴(1－a )b<(1－a )b2，③错误；对于④，∵函数y ＝(1－a )x为R 上的单调递减函数，且a <b ，∴(1－a )a>(1－a )b，又函数y ＝x b为(0，＋∞)上的单调递增函数，且1－a >1－b >0，从而(1－a )b>(1－b )b， ∴(1－a )a>(1－b )b，④正确． 答案 ④6．借助函数的图象比较实数大小方法链接：借助函数的图象比较实数大小，要从题目的条件与结论出发，着重分析其几何含义，善于构造函数图象，从图象上找出问题的结论．例6 设a 、b 、c 均为正数，且2a＝log 12a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＝log 12b ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ＝log 2c ，则a 、b 、c 的大小关系为________．解析 由函数y ＝2x，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，y ＝log 2x ，y ＝log 12x 的图象(如图所示)知0<a <b <1<c .答案 a <b <c2 解一元二次不等式需“三看”不少同学解一元二次不等式时常出错，感到无法可依．鉴于此，本文从教学过程中，总结了切实可行的“三看”法． 一看：二次项系数若二次项系数是实数时，对于二次项系数是负数的不等式，先将其化为正数．如解不等式－x 2－2x ＋8≥0时，可先将原不等式化为x 2＋2x －8≤0，此时，要注意改变不等号的方向，若二次项系数是代数式f (m )，一般要分f (m )＝0，f (m )≠0两种情况讨论． 二看：判别式Δ的符号将不等式视作一元二次方程，利用方程的判别式Δ判断方程根的情况．如上例中，Δ>0，方程x 2＋2x －8＝0有两个根x 1＝2，x 2＝－4.我们对此法熟练时，可将“二看”归纳为(x －2)(x ＋4)≤0.三看：口诀“大于取两边，小于取中间”“大于取两边”指“一看”中转化后的不等式符号为大于时，其解集取根的两边：①有两不等实根x 1，x 2(x 1>x 2)，其解集为{x |x >x 1或x <x 2}；②有两相等实根x 1＝x 2，其解集为{x |x ≠x 1}；③没有实根，其解集为R .“小于取中间”指“一看”中转化后的不等式符号为小于时，其解集取根的中间：①有两不等实根x 1，x 2(x 1>x 2)，其解集为{x |x 2<x <x 1}；②有两相等实根或没有实根，其解集为∅.如上例的解集为{x |－4≤x ≤2}． 例 解不等式－x 2－3x ＋2<－6x －2. 解 整理得x 2－3x －4>0，(一看) 所以(x －4)(x ＋1)>0，(二看)故不等式的解集是{x |x >4或x <－1}．(三看)点评 运用“三看”法的关键是“二看”，上例中能对其因式分解，说明有两个根，就不必考虑判别式了.3 解含参不等式的利器——分类讨论解含参数的一元二次不等式，要把握分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数与0的关系；其次根据根是否存在，即根据Δ的符号进行讨论；最后在根存在时，根据根的大小关系进行讨论．分类时要保证“不重不漏”，按同一标准进行划分后，不等式的解集的表达式是确定的． 1．对判别式“Δ”进行讨论当含参数的一元二次不等式的二次项系数为常数，但不知道与之对应的一元二次方程是否有解时，需要对判别式“Δ”进行讨论． 例1 解关于x 的不等式x 2＋ax ＋1>0(a ∈R )． 解 对于方程x 2＋ax ＋1＝0，Δ＝a 2－4.(1)当Δ>0，即a >2或a <－2时，方程x 2＋ax ＋1＝0有两个不等实根x 1＝－a －a 2－42，x 2＝－a ＋a 2－42，且x 1<x 2，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x <－a －a 2－42或x >－a ＋a 2－42； (2)当Δ＝0，即a ＝±2时，①若a ＝2，则原不等式的解集为{x |x ≠－1}； ②若a ＝－2，则原不等式的解集为{x |x ≠1}；(3)当Δ<0，即－2<a <2时，方程x 2＋ax ＋1＝0没有实根，结合二次函数y ＝x 2＋ax ＋1的图象，易知此时原不等式的解集为R . 2．对方程的解的大小进行讨论当含参数的一元二次不等式的二次项系数为常数，且与之对应的一元二次方程一定有两解，但不知道两个解的大小时，需要对解的大小进行讨论．例2 解关于x 的不等式x 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a x ＋1>0(a ∈R ，且a ≠0)．解 原不等式可变形为(x －a )⎝⎛⎭⎪⎫x －1a >0，易求得方程(x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＝0的两个解分别为x 1＝a和x 2＝1a，所以(1)当a >1a ，即a ∈(－1,0)∪(1，＋∞)时，原不等式的解集为{x |x <1a或x >a }；(2)当a ＝1a，即a ＝±1时，①若a ＝1，则原不等式的解集为{x |x ≠1}； ②若a ＝－1，则原不等式的解集为{x |x ≠－1}；(3)当a <1a ，即a ∈(－∞，－1)∪(0,1)时， 原不等式的解集为{x |x <a 或x >1a}．3．对二次项系数进行讨论当含参数的不等式的二次项系数含有参数时，首先要对二次项系数进行讨论；其次，有时要对判别式进行讨论，有时还要对方程的解的大小进行讨论． 例3 解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )． 解 原不等式可变形为ax 2＋(a －2)x －2≥0. (1)当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x ≤－1}； (2)当a ≠0时，原不等式可变形为(ax －2)(x ＋1)≥0，方程(ax －2)(x ＋1)＝0的解为x 1＝2a，x 2＝－1.①当a >0时，2a>－1，所以原不等式的解集为{x |x ≥2a或x ≤－1}；②当a <0时，a ．当－2<a <0时，2a<－1，所以原不等式的解集为{x |2a≤x ≤－1}；b ．当a ＝－2时，原不等式的解集为{x |x ＝－1}；c ．当a <－2时，2a>－1，所以原不等式的解集为{x |－1≤x ≤2a}．综上：当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x ≤－1}； 当a >0时，原不等式的解集为{x |x ≥2a或x ≤－1}；当－2<a <0时，原不等式的解集为{x |2a≤x ≤－1}；当a ＝－2时，原不等式的解集为{x |x ＝－1}； 当a <－2时，原不等式的解集为{x |－1≤x ≤2a}．4．对含参的分式不等式转化后再讨论对含有参数的分式不等式，利用不等式的同解原理等价转化为一元二次不等式的形式后，再按照上面的方法分类讨论，逐类求解． 例4 解不等式：x －k x ＋3x ＋2<x ＋1 (k ∈R )．解 原不等式⇔kx ＋3k ＋2x ＋2>0⇔(x ＋2)(kx ＋3k ＋2)>0，当k ＝0时，原不等式的解集为{x |x >－2}； 当k >0时，(kx ＋3k ＋2)(x ＋2)>0，变形为⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3k ＋2k (x ＋2)>0， 因为3k ＋2k ＝3＋2k>3>2，所以－3k ＋2k<－2.所以x <－3k ＋2k或x >－2.故不等式的解集为{x |x >－2或x <－3k ＋2k}．当k <0时，原不等式⇔(x ＋2)⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3k ＋2k <0， 由于(－2)－⎝⎛⎭⎪⎫－3k ＋2k ＝k ＋2k. 所以当－2<k <0时，k ＋2k <0，－2<－3k ＋2k， 不等式的解集为{x |－2<x <－3k ＋2k}；当k ＝－2时，－3k ＋2k＝－2，原不等式⇔(x ＋2)2<0，不等式的解集为∅； 当k <－2时，k ＋2k >0，－2>－3k ＋2k. 不等式的解集为{x |－3k ＋2k<x <－2}．综上所述，当k ＝0时，不等式的解集为{x |x >－2}； 当k >0时，不等式的解集为{x |x <－3k ＋2k或x >－2}；当－2<k <0时，不等式的解集为 {x |－2<x <－3k ＋2k}；当k ＝－2时，不等式的解集为∅；当k <－2时，不等式的解集为{x |－3k ＋2k<x <－2}．回顾与提升 含有参数的一元二次不等式，问题看似简单，但因为含有参数，便大大增加了问题的复杂程度．分类讨论是解决这类问题的主要方法，确定分类讨论的标准时，要着重处理好以下三点：①讨论的“时刻”，即在什么时候才开始进行讨论．要求转化必到位，过早或过晚讨论都会使问题更加复杂化．②讨论的“点”，即以哪个量为标准进行讨论．若把握不好这一类，问题就不能顺利解决． ③考虑要周到，即讨论对象的各种情况都要加以分析，给出结论.4 一元二次不等式恒成立问题的求解策略含参数的一元二次不等式恒成立问题是高中阶段最简单、最常见的恒成立问题，是研究恒成立问题的典型素材，也是近几年高考考查的热点之一．下面结合例子，介绍几种常用的求解策略：1．利用一元二次不等式的判别式求解 代数式ax 2＋bx ＋c >0的等价条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c >0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝b 2－4ac <0.例1 已知不等式kx 2＋kx ＋6x 2＋x ＋2>2对任意x ∈R 恒成立，求k 的取值范围．解 ∵x 2＋x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋74>0.∴原不等式等价于kx 2＋kx ＋6>2x 2＋2x ＋4， 即(k －2)x 2＋(k －2)x ＋2>0. 当k ＝2时，2>0，结论显然成立； 当k ≠2时，k 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧k －2>0，Δ＝k －22－4×2k －2<0，解得2<k <10.综上所述，k 的取值范围是2≤k <10.2．转化为二次函数在闭区间上的最值问题求解一般地，f (x )≥a ，x ∈D 恒成立⇔f (x )min ≥a ，x ∈D 恒成立；f (x )≤a ，x ∈D 恒成立⇔f (x )max ≤a ，x ∈D 恒成立．例2 已知不等式sin 2x －2a sin x ＋a 2－2a ＋2>0对一切x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围． 解 设f (x )＝sin 2x －2a sin x ＋a 2－2a ＋2， 则f (x )＝(sin x －a )2＋2－2a .当a <－1时，f (x )在sin x ＝－1时取到最小值，且f (x )min ＝a 2＋3，a 2＋3>0显然成立，∴a <－1.当－1≤a ≤1时，f (x )在sin x ＝a 时取到最小值，且f (x )min ＝2－2a ，由2－2a >0，解得a <1， ∵－1≤a ≤1，∴－1≤a <1.当a >1时，f (x )在sin x ＝1时取到最小值，且f (x )min ＝a 2－4a ＋3，由a 2－4a ＋3>0，解得a <1或a >3，∵a >1，∴a >3.综上所述，a 的取值范围为(－∞，1)∪(3，＋∞)． 3．利用直线型函数图象的保号性求解函数f (x )＝kx ＋b ，x ∈[α，β]的图象是一条线段，此线段恒在x 轴上方的等价条件是⎩⎪⎨⎪⎧f α>0fβ>0；此线段恒在x轴下方的等价条件是⎩⎪⎨⎪⎧fα<0fβ<0；此线段与x 轴有交点的等价条件是f (α)·f (β)≤0.例3 已知当x ∈[0,1]时，不等式2m －1<x (m 2－1)恒成立，试求m 的取值范围． 解 设f (x )＝(m 2－1)x ＋(1－2m )，则原不等式恒成立 ⇔f (x )>0，x ∈[0,1]恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧f0>0，f 1>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧1－2m >0，m 2－2m >0⇔m <0.即m 的取值范围为(－∞，0)． 4．分离参数后，利用基本不等式求解如果直接求参数的范围比较困难，而且参数容易从式子中分离出来，可以考虑分离参数后，再利用等价条件f (x )≥a ⇔a ≤f (x )min 或f (x )≤a ⇔a ≥f (x )max 求解．例4 已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3，当x ∈[－1,1]时，不等式f (x )>a 恒成立，求a 的取值范围．解 不等式f (x )>a ⇔x 2＋ax ＋3>a ⇔x 2＋3>a (1－x )，x ∈[－1,1]．∵－1≤x ≤1，∴0≤1－x ≤2.当x ＝1时，1－x ＝0，x 2＋3>a (1－x )对一切a ∈R 恒成立；当x ≠1时，0<1－x ≤2，则a <x 2＋31－x .∵x 2＋31－x＝1－x 2－21－x ＋41－x＝(1－x )＋41－x －2≥2 1－x ·41－x－2＝2.当且仅当1－x ＝41－x ，即x ＝－1时，取到等号．∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋31－x min＝2.从而a <2. 综上所述，a 的取值范围为(－∞，2).5 线性规划中的一题多变求解线性规划问题的一般步骤：先把线性目标函数z ＝ax ＋by 变形为ax ＋by －z ＝0，确定z 是直线ax ＋by －z ＝0在坐标轴上的截距或与截距相关的量，然后结合图形求出z 的最值．其中关键是确定z 的几何意义，在不同的问题中，z 呈现不同的几何意义，但都与斜率相关，下面就通过一个例题及其变式，给同学们展示一下z .例 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≥0，3x －y －6≤0，则目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为________．解析 作出可行域，如图中阴影部分所示．目标函数可化为2x ＋y －z ＝0，它表示斜率为－2的一族平行线，z 是直线在y 轴上的截距． 当直线过点M 时，z 取得最小值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，x －y ＝0，得M (1,1)，代入z ＝2x ＋y ，得z min ＝3. 答案 3点评 确定了z 的几何意义后，一般先作出一族平行线中过原点的直线，然后平移该直线，结合图象直观确定最优解．变式1 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≥0，3x －y －6≤0，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为________．解析 作出可行域，如图中阴影部分所示．目标函数可化为x ＋2y －z ＝0，它表示斜率为－12的一族平行线，z 是直线在x 轴上的截距．当直线过点N 时，z 取得最小值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，3x －y －6＝0，得N (2,0)，代入z ＝x ＋2y ，得z min ＝2. 答案 2点评 确定z 的几何意义的原则：越简单越直接越好．变式2 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≥0，3x －y －6≤0，则目标函数z ＝2x －y 的最小值为________．解析 作出可行域，如图中阴影部分所示．目标函数可化为2x －y －z ＝0，它表示斜率为2的一族平行线，－z 是直线在y 轴上的截距．当直线过点M 时，－z 取得最大值，此时z 的值最小． 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y －2＝0，得M (1,1)，代入z ＝2x －y ，得z min ＝1. 答案 1点评 当z 不是直线在坐标轴上的截距时，往往先求截距取得相应最值的最优解，再求目标函数的最值．变式3 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≥0，3x －y －6≤0，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为________．解析 作出可行域，如图中阴影部分所示．目标函数可化为2x ＋3y －z ＝0，它表示斜率为－23的一族平行线，z3是直线在y 轴上的截距，当z3取得最小值时，此时z 的值最小．当直线过点N 时，z3取得最小值，此时z 的值也最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，3x －y －6＝0，得N (2,0)，代入z ＝2x ＋3y ，得z min ＝4. 答案 4点评 求直线在坐标轴上的截距mz 的最值时，要注意m 的符号.6 求最优解为整点的方法处理实际问题中的最优解时，有时需满足x ，y ∈N ，这种最优解称为整点最优解，下面举例探讨整点最优解的方法． 1．平移法在可行域内找整点最优解，一般采用平移法，即打网格，描整点，平移直线，找出最优解．先按“平移法”求出非整点最优解及最值，再调整最值，最后筛选出整点最优解．例1 某中学准备组织学生去“鸟巢”参观．参观期间，校车每天至少要运送480名学生．该中学后勤有7辆小巴、4辆大巴，其中小巴能载16人、大巴能载32人．已知每辆客车每天往返次数小巴为5次、大巴为3次，每次运输成本小巴为48元，大巴为60元．请问每天应派出小巴、大巴各多少辆，才能使总费用最少？分析 可以填表理解题意．这样便于列约束条件和目标函数．辆数 载人数 往返次数每次成本大巴 小巴解 设每天派出小巴x 辆、大巴y 辆，总运费为z 元， 则⎩⎪⎨⎪⎧5×16x ＋3×32y ≥480，0≤x ≤7，0≤y ≤4，x ，y ∈N ，目标函数z ＝240x ＋180y .作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图中阴影部分的整点．作出直线l ：240x ＋180y ＝0，即4x ＋3y ＝0，把直线l 向右上方平移，使其经过可行域上的整点，且使其在y 轴上的截距最小．观察图象，可知当直线l 经过点B (2,4)时，满足上述要求．此时，z ＝240x ＋180y 取得最小值， 即当x ＝2，y ＝4时，z min ＝240×2＋180×4＝1 200(元)．答 每天派2辆小巴、4辆大巴时总费用最少．点评 用平移法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精度要求较高，平行直线系f (x ，y )＝t 的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用“网格法”先作出可行域中的各整点． 2．检验法由于作图难免有误差，所以仅靠图象不一定能准确而迅速地找到最优解，此时可将若干个可能解逐一检验．例2 现有一根长4 000 mm 的条形高新材料，需要将其截成长分别为518 mm 与698 mm 的甲、乙两种零件毛坯，求高新材料的最大利用率．解 设甲种毛坯截x 根，乙种毛坯截y 根，高新材料的利用率为P ，则线性约束条件为518x ＋698y ≤4 000，其中x 、y ∈N ，目标函数为P ＝518x ＋698y4 000×100%，可行域是图中阴影部分的整点，目标函数表示与直线518x ＋698y ＝4 000平行的直线系．所以使P 取得最大值的最优解是阴影内最靠近直线518x ＋698y ＝4 000的整点坐标．如图可得点(0,5)，(1,4)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,2)，(6,1)，(7,0)都可能是最优解，逐一代入目标函数，可知当x ＝5，y ＝2时，P max ＝99.65%.答 当甲种毛坯截5根，乙种毛坯截2根时，高新材料的利用率最大，且最大为99.65%. 点评 解线性规划问题作图时应尽可能精确，但考虑到作图时必然会有误差，假如图上的最优解并不十分明显时，不妨将几个有可能是最优解的坐标都求出来，然后逐一进行检验，确定整点最优解． 基本不等式的推广“a 2＋b 2≥±2ab ”是一个简单而公认的不等式，但是利用它，通过变形、引申可以方便地证明一些已有定理．如：定理1：若a 1，a 2，a 3，…，a n ∈R ，则有a 21＋a 22＋…＋a 2nn ≥(a 1＋a 2＋…＋a n n)2，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，式中等号成立， 由基本不等式a 2＋b 2≥2ab 有2a 2＋2b 2≥2ab ＋a 2＋b 2a 2＋b 22≥a ＋b24＝(a ＋b2)2①我们猜想会不会有下式成立a 2＋b 2＋c 23≥(a ＋b ＋c3)2②∵(a ＋b ＋c )2＋(a －b )2＋(a －c )2＋(b －c )2＝3(a 2＋b 2＋c 2) ∴3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a ＋b ＋c )2∴a 2＋b 2＋c 23≥(a ＋b ＋c3)2③仿③式证明定理1证明 ∵(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n )2＋(a 1－a 2)2＋(a 1－a 3)2＋…＋(a 1－a n )2＋(a 2－a 3)2＋(a 2－a 4)2＋…＋(a 2－a n )2＋(a 3－a 4)2＋…＋(a n －1－a n )2＝n (a 21＋a 22＋a 23＋a 2n )， ∴n (a 21＋a 22＋a 23＋a 24…＋a 2n )≥(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n )2，即a 21＋a 22＋…＋a 2n n ≥(a 1＋a 2＋…＋a n n)2，定理1成立，定理1的另一种形式是：|a 1＋a 2＋a 3＋…＋a nn |≤a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2nn.定理2：若a 1，a 2，a 3，…，a n ∈R ，则有a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ≥n na 1a 2a 3…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时等式成立．设a ，b 是正实数，从最简不等式a 2＋b 2≥2ab 降次，则有a ＋b ≥2ab ，设a ，b ，c 是正实数，则不等式a 3＋b 3＋c 3≥3abc 成立吗？ 证明 ∵a ，b ，c 是正实数，∴(a 3＋b 3)＋(c 3＋abc )≥2a 3b 3＋2c 3abc ≥4a 3b 3c 3abc ＝4abc ，∴a 3＋b 3＋c 2≥3abc .上述不等式降次则有a ，b ，c 是正实数，a ＋b ＋c ≥33abc .实际上，基本不等式还有很多角度不同的推广，也有不少巧妙的应用，有兴趣的同学不妨搜一搜，或者自己做些尝试．7 例析以线性规划为载体的交汇问题1．线性规划与函数交汇例 1 设二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19≥0，x －y ＋8≥0，2x ＋y －14≤0所表示的平面区域为M ，则使函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是________． 解析 作二元一次不等式组的可行域如图所示，由题意得A (1,9)，C (3,8)．当y ＝a x过A (1,9)时，a 取最大值，此时a ＝9； 当y ＝a x 过C (3,8)时，a 取最小值，此时a ＝2， ∴2≤a ≤9. 答案 [2,9]点评 准确作出可行域，熟知指数函数y ＝a x的图象特征是解决本题的关键． 2．线性规划与概率交汇例2 两人约定下午4点到5点在某一公园见面，他们事先约定先到者等候另一个人20分钟，过时就离去．请问这两个人能见面的概率有多大？解 用x 、y 分别表示两人到公园的时间，若两人能见面，则有|x －y |≤20，又0≤x ≤60,0≤y ≤60，即有⎩⎪⎨⎪⎧x －y －20≤0，x －y ＋20≥0，0≤x ≤60，0≤y ≤60，作出点(x ，y )的可行域如图中阴影部分，由图知，两人能见面的概率为阴影部分的面积与大正方形的面积之比，所以所求概率为P ＝602－40×40602＝59. 点评 这是一道几何概型的题目，关键在于确定两人能见面的时间区域，利用线性规划的思想简洁、直观、明了．3．线性规划与一元二次方程交汇例3 已知方程x 2＋(2＋a )x ＋1＋a ＋b ＝0的两根为x 1、x 2，且0<x 1<1<x 2，则ba的取值范围是__________．解析 令f (x )＝x 2＋(2＋a )x ＋1＋a ＋b ，并且0<x 1<1<x 2，则由题意知函数f (x )在(0,1)及(1，＋∞)内各有一个零点，得⎩⎪⎨⎪⎧f0>0，f 1<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋1>0，2a ＋b ＋4<0.作出可行域，如图所示．而令k ＝ba，则表示可行域内的点与原点连线的斜率． 设M (x 0，y 0)，则由⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋y 0＋1＝0，2x 0＋y 0＋4＝0，得M (－3,2)，k OM ＝－23，结合图可知－2<k <－23，故填⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－23. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－2，－23点评 本题以一元二次方程的根的范围为背景，并通过与二次函数的联系转化为关于a 、b 的线性约束条件来求解．其中理解ba表示可行域内的点与原点连线的斜率是解题的关键． 4．线性规划与圆交汇例4 若{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋5≥03－x ≥0x ＋y ≥0}⊆{(x ，y )|x 2＋y 2≤m 2(m >0)}，求实数m 的取值范围．解 设A ＝{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5≥03－x ≥0x ＋y ≥0}，B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤m 2(m >0)}，则集合A 表示的区域为图中阴影部分，集合B 表示以坐标原点为圆心，m 为半径的圆及其内部，由A ⊆B ，得m ≥PO ，由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5＝03－x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝4，即P (3,4)，∴PO ＝5，即m ≥5.点评 集合{(x ，y )|x 2＋y 2≤m 2(m >0)}的几何含义是以原点(0,0)为圆心，m 为半径的圆及其内部区域．5．线性规划与平面向量交汇例5 已知O 为坐标原点，定点A (3,4)，动点P (x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1y ＋1≥xx ＋y ≤3，则向量OP →在OA →上的投影的取值范围是________．解析画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1y ＋1≥xx ＋y ≤3所表示的平面区域，如图所示，向量OP →在向量OA →上的投影为 |OP →|cos∠AOP ＝|OP →|·OP →·OA →|OP →|·|OA →|＝OP →·OA →|OA →|＝3x ＋4y5，令z ＝3x ＋4y ，易知直线3x ＋4y ＝z 过点G (1,0)时，z min ＝3； 直线3x ＋4y ＝z 过点N (1,2)时，z max ＝11. ∴⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋4y 5min ＝35，⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4y 5max ＝115.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤35，115点评 向量OP →在OA →上的投影：|OP →|·cos〈OP →，OA →〉＝|OP →|·OP →·OA →|OP →|·|OA →|＝OP →·OA →|OA →|＝3x ＋4y 5.清楚这一点对解答本题至关重要．8 a 2＋b 2≥2ab 的四“变”如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时，等号成立)．该结论利用作差法极易证明．下面给出其四个重要的变式及应用．变式1 如果a ，b 是正数，那么a ＋b2≥ab (当且仅当a ＝b 时，等号成立)．证明 见教材证明．例1 若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a ＋3b的最小值是________． 解析 3a＋3b≥23a×3b＝23a ＋b＝232＝6.当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立． 答案 6变式2 如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2|ab |(当且仅当|a |＝|b |时，等号成立)． 证明 因为a 2＋b 2＝|a |2＋|b |2≥2|a |·|b |＝2|ab |， 所以a 2＋b 2≥2|ab |，当且仅当|a |＝|b |时，等号成立． 例2 若实数x ，y 满足4x 2－5xy ＋4y 2＝5，设S ＝x 2＋y 2，则1S max ＋1S min＝________.解析 由x 2＋y 2≥2|xy |，得－x 2＋y 22≤xy ≤x 2＋y 22，则－5x 2＋y 22≤－5xy ≤5x 2＋y22，当且仅当|x |＝|y |时，等号成立． 则3x 2＋y 22≤4x 2－5xy ＋4y 2≤13x 2＋y 22，即32S ≤5≤132S ， 所以1013≤S ≤103，于是S max ＝103，S min ＝1013，故1S max ＋1S min ＝85.答案 85变式3 若a ，b ∈R ，那么(a ＋b )2≥4ab (当且仅当a ＝b 时，等号成立)． 证明 因为a 2＋b 2≥2ab ，所以a 2＋b 2＋2ab ≥4ab ， 即(a ＋b )2≥4ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．例3 若正数a ，b 满足ab －8＝a ＋b ，则ab 的最小值为____________________________． 解析 由条件，得ab －8＝a ＋b >0，则(ab )2－16ab ＋64＝(a ＋b )2，又因为(a ＋b )2≥4ab ，则(ab )2－20ab ＋64≥0，又ab >8，解得ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝4时，等号成立，所以ab 的最小值为16. 答案 16变式4 若a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥a ＋b22(当且仅当a ＝b 时，等号成立)．证明 a 2＋b 2－a ＋b22＝a －b22≥0，当且仅当a ＝b 时，等号成立，所以a 2＋b 2≥a ＋b22.例4 若a ，b ，c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝1，则a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2的最小值是________． 解析 由变式4，得a 2＋b 2≥22(a ＋b )， b 2＋c 2≥22(b ＋c )，c 2＋a 2≥22(c ＋a )， 所以a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥22(a ＋b ＋b ＋c ＋c ＋a )＝22×2＝ 2.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．故最小值为 2. 答案29 运用基本不等式求最值的7种常见技巧在利用基本不等式求最大值或最小值时，为满足“一正、二定、三相等”的条件，需要作一些适当的变形，用到一些变换的技巧，下面举例说明． 1．凑和为定值例1 若a 、b 、c >0，且2a ＋b ＋c ＝6，则a (a ＋b ＋c )＋bc 的最大值为________． 分析 注意a (a ＋b ＋c )＋bc ＝(a ＋b )(a ＋c )，而2a ＋b ＋c ＝(a ＋b )＋(a ＋c )，从而沟通了问题与已知的联系，然后利用基本不等式求最值． 解析 ∵a (a ＋b ＋c )＋bc ＝a 2＋ab ＋ac ＋bc ＝(a 2＋ac )＋(ab ＋bc )＝a (a ＋c )＋b (a ＋c ) ＝(a ＋b )(a ＋c )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋b ＋a ＋c 22＝⎝⎛⎭⎪⎫2a ＋b ＋c 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32.当且仅当a ＋b ＝a ＋c ＝62时，取“＝”， ∴a (a ＋b ＋c )＋bc 的最大值为32.答案 322．凑积为定值例2 设a >b >c >0，则2a 2＋1ab ＋1a a －b －10ac ＋25c 2的最小值是________．分析 注意到2a 2＋1ab ＋1aa －b－10ac ＋25c 2＝a 2－ab ＋1aa －b ＋ab ＋1ab＋a 2－10ac ＋25c 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤aa －b ＋1a a －b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ab ＋1ab ＋(a －5c )2然后分别利用基本不等式和平方数的性质求最值．由于代数式比较复杂，要注意等号取到的条件． 解析 ∵a >b >c >0，∴原式＝a 2＋1ab ＋1aa －b－10ac ＋25c 2＋a 2＝a 2－ab ＋1aa －b＋ab＋1ab＋(a －5c )2≥2＋2＋0＝4，当且仅当a (a －b )＝1，ab ＝1，a －5c ＝0时取等号．即当a＝2，b ＝22，c ＝25时，所求代数式的最小值为4. 答案 43．化负为正例3 已知x <54，求函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值．分析 因为4x －5<0，所以要先“调整”符号，又(4x －2)·14x －5不是常数，所以对4x －2要添项“配凑”． 解 ∵x <54，∴5－4x >0，∴y ＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1， 当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，上式等号成立，故当x ＝1时，y max ＝1. 4．和积互“化”例4 若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则2x ＋y 的最小值是________．分析 可以利用基本不等式的变形形式ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22进行和或积的代换，这种代换目的是消除等式两端的差异，属不等量代换，带有放缩的性质． 解析 方法一 ∵x >0，y >0， ∴xy ＝12·(2x )·y ≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋y 22，∴2x ＋y ＋6＝(2x ＋y )＋6≤18(2x ＋y )2，∴(2x ＋y )2－8(2x ＋y )－48≥0， 令2x ＋y ＝t ，t >0， 则t 2－8t －48≥0， ∴(t －12)(t ＋4)≥0， ∴t ≥12，即2x ＋y ≥12.方法二 由x >0，y >0,2x ＋y ＋6＝xy ，得xy ≥22xy ＋6(当且仅当2x ＝y 时，取“＝”)，即(xy )2－22xy －6≥0，∴(xy －32)·(xy ＋2)≥0.又∵xy >0，∴xy ≥32，即xy ≥18.∴xy 的最小值为18，∵2x ＋y ＝xy －6，∴2x ＋y 的最小值为12. 答案 12 5．消元法例5 若正实数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的最小值为________．分析 从ab ＝a ＋b ＋3中解出b ，即用a 的代数式表示b ，则ab 可以用a 来表示，再求关于a 的代数式的最值即可．解析 ∵ab ＝a ＋b ＋3，∴b (a －1)＝a ＋3. ∵a >0，b >0，∴a －1>0，∴a >1.∴b ＝a ＋3a －1. ∴ab ＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋3a －1＝a 2＋3a a －1＝a －12＋5a －1＋4a －1＝(a －1)＋4a －1＋5. ∵a >1，∴a －1＋4a －1≥2 a －1·4a －1＝4，当且仅当a －1＝4a －1，即a ＝3时，取等号， 此时b ＝3，∴ab ≥9. ∴ab 的最小值为9. 答案 9 6．平方法例6 若x >0，y >0，且2x 2＋y 23＝8，求x 6＋2y 2的最大值．分析 仔细观察题目已知式中x 与y 都是二次的，而所求式中x 是一次的，而且还带根号，初看让人感觉无处着手，但是如果把x 6＋2y 2平方，则豁然开朗，思路就在眼前了．解 (x 6＋2y 2)2＝x 2(6＋2y 2)＝3·2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋y 23 ≤3·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x 2＋1＋y 2322＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫922.当2x 2＝1＋y 23，即x ＝32，y ＝422时，等号成立．故x 6＋2y 2的最大值为932.7．换元法例7 某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格(每件x 元)为50<x ≤80时，每天售出的件数为P ＝105x －402，若要使每天获得的利润最多，销售价格每件应定为多少元？解 设销售价格定为每件x 元(50<x ≤80)，每天获得的利润为y 元，则y ＝(x －50)·P ＝105x －50x －402.令x －50＝t ，∴y ＝105tt ＋102＝105tt 2＋20t ＋100＝105t ＋100t＋20≤10520＋20＝2 500.当且仅当t ＝10，即x ＝60时，y max ＝2 500. 答 销售价格每件应定为60元．10 不等式易错备忘录1．多次非同解变形，导致所求范围扩大而致错例1 已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)满足1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，则f (－2)的范围是________．[错解] 由于f (－2)＝4a －2b ，要求f (－2)的范围，可先求a 与b 的范围．由f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2， ①2≤a ＋b ≤4， ②两式相加得32≤a ≤3，又－2≤b －a ≤－1，③②式与③式相加得0≤b ≤32.∴6≤4a ≤12，－3≤－2b ≤0.∴3≤4a －2b ≤12. 即3≤f (－2)≤12.[点拨] 这种解法看似正确，实则使f (－2)的范围扩大了，事实上，这里f (－2)最小值不可能取到3，最大值也不可能是12.由上述解题过程可知，当a ＝32且b ＝32时才能使4a －2b ＝3，而此时a －b ＝0，不满足①式．同理可验证4a －2b 也不能等于12.出现上述错误的原因是“同向不等式两边分别相加所得不等式与原不等式同向”这一性质是单向的，用它来作变形，是非同解变形．以上解法为了求a ，b 的范围，多次应用了这一性质，使所求范围扩大了．[正解] 方法一 ∵⎩⎪⎨⎪⎧f－1＝a －b f 1＝a ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f 1＋f －1]b ＝12[f1－f －1]，∴f (－2)＝4a －2b＝2[f (1)＋f (－1)]－[f (1)－f (－1)] ＝3f (－1)＋f (1)．∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4. ∴5≤f (－2)≤10. 方法二 数形结合法在坐标平面aOb 上，作出直线a ＋b ＝2，a ＋b ＝4，a －b ＝1，a －b ＝2，则⎩⎪⎨⎪⎧2≤a ＋b ≤41≤a －b ≤2表示平面上的阴影部分(包括边界)，如图所示． 令m ＝4a －2b ， 则b ＝2a －m2.显然m 为直线系4a －2b ＝m 在b 轴上截距2倍的相反数．当直线b ＝2a －m 2过阴影部分中点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12时，m 取得最小值5；过点C (3,1)时，m 取得最大值10.∴f (－2)∈[5,10]．温馨点评 利用不等式的变换求取值范围时，要使变换符合等价性.像此类题一般是运用待定系数法或线性规划中最优解方法求解.切勿像误区中解法那样先求a 、b 的范围，再求f －2的范围，这样求出的范围会扩大. 2．混淆“定义域为R ”与“值域为R ”的区别而致错例2 若函数y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R ，求a 的取值范围． [错解1] ∵函数y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R . ∴ax 2－2x ＋a >0对x ∈R 恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >04－4a 2<0，∴a >1.[错解2] ∵函数y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R . ∴代数式ax 2－2x ＋a 能取遍一切正值． ∴Δ＝4－4a 2≥0，∴－1≤a ≤1.[点拨] 上述解法1把值域为R 误解为定义域为R ；解法2虽然理解题意，解题方向正确，但是忽略了a <0时，代数式ax 2－2x ＋a 不可能取到所有正数，从而也是错误的． [正解] 当a ＝0时，y ＝lg(－2x )值域为R ，a ＝0适合．当a ≠0时，ax 2－2x ＋a ＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 为使y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R ，则代数式ax 2－2x ＋a 应取到所有正数．所以a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧a >0a －1a≤0，解得0<a ≤1. 综上所述，0≤a ≤1.温馨点评 函数的定义域为R 与函数的值域为R 是两个不同的问题，处理方法截然不同，在学习中要注意区分这类“貌似而实质迥异”的问题.3．忽略截距与目标函数值的关系而致错例3 设E 为平面上以A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界)，求z ＝4x －3y 的最大值与最小值． [错解]把目标函数z ＝4x －3y 化为y ＝43x －13z .根据条件画出图形如图所示，当动直线y ＝43x －13z 通过点C 时，z 取最大值；当动直线y ＝43x －13z 通过点B 时，z 取最小值．∴z min ＝4×(－1)－3×(－6)＝14；z max ＝4×(－3)－3×2＝－18.[点拨] 直线y ＝43x －13z 的截距是－13z ，当截距－13z 最大即过点C 时，目标函数值z 最小；。