第1讲插值与拟合
数值计算方法插值与拟合
数值计算方法插值与拟合数值计算方法在科学计算和工程应用中起着重要的作用，其中插值和拟合是其中两个常用的技术。
插值是指通过已知的离散数据点来构造出连续函数或曲线的过程，拟合则是找到逼近已知数据的函数或曲线。
本文将介绍插值和拟合的基本概念和常见的方法。
一、插值和拟合的基本概念插值和拟合都是通过已知数据点来近似表达未知数据的方法，主要区别在于插值要求通过已知数据点的函数必须经过这些数据点，而拟合则只要求逼近这些数据点。
插值更加精确，但是可能会导致过度拟合；拟合则更加灵活，能够通过调整参数来平衡拟合精度和模型复杂度。
二、插值方法1. 线性插值线性插值是一种简单的插值方法，通过已知数据点构造出线段，然后根据插值点在线段上进行线性插值得到插值结果。
2. 拉格朗日插值拉格朗日插值是一种基于多项式插值的方法，通过已知数据点构造出一个多项式，并根据插值点求解插值多项式来得到插值结果。
3. 分段线性插值分段线性插值是一种更加灵活的插值方法，通过将插值区间分成若干小段，然后在每个小段上进行线性插值。
三、拟合方法1. 最小二乘法拟合最小二乘法是一种常用的拟合方法，通过最小化实际观测点和拟合函数之间的残差平方和来确定拟合函数的参数。
2. 多项式拟合多项式拟合是一种基于多项式函数的拟合方法，通过选择合适的多项式次数来逼近已知数据点。
3. 曲线拟合曲线拟合是一种更加灵活的方法，通过选择合适的曲线函数来逼近已知数据点，常见的曲线包括指数曲线、对数曲线和正弦曲线等。
四、插值与拟合的应用场景插值和拟合在实际应用中具有广泛的应用场景，比如图像处理中的图像重建、信号处理中的滤波器设计、金融中的风险评估等。
五、插值与拟合的性能评价插值和拟合的性能可以通过多种指标进行评价，常见的评价指标包括均方根误差、相关系数和拟合优度等。
六、总结插值和拟合是数值计算方法中常用的技术，通过已知数据点来近似表达未知数据。
插值通过已知数据点构造出连续函数或曲线，拟合则找到逼近已知数据的函数或曲线。
插值与拟合
且 f(1.5) ≈L1(1.5) = 0.885。
Lagrange插值法的缺点
• 多数情况下，Lagrange插值法效果是不错的， 但随着节点数n的增大，Lagrange多项式的次 （Runge）现象。
• 例：在[-5,5]上用n+1个等距节点作插值多项 式Ln(x),使得它在节点处的值与函数y = 1/(1+25x2)在对应节点的值相等，当n增大时， 插值多项式在区间的中间部分趋于y(x)，但 对于满足条件0.728<|x|<1的x， Ln(x)并不趋 于y(x)在对应点的值，而是发生突变，产生 剧烈震荡，即Runge现象。
总结
• 拉格朗日插值：其插值函数在整个区间 上是一个解析表达式；曲线光滑；收敛 性不能保证，用于理论分析，实际意义 不大。
• 分段线性插值和三次样条插值：曲线不 光滑（三次样条已有很大改进）；收敛 性有保证；简单实用，应用广泛。
1.2 二维插值
• 二维插值是基于一维插值同样的思想， 但是它是对两个变量的函数Z=f(x,y)进 行插值。
• n=5; • x0=-1:1/(n-1):1;y0=1./(1+25*x0.^2);y1=lagr(x0,y0,x); • subplot(2,2,2), • plot(x,z,'r-',x,y,'m-'),hold on %原曲线 • plot(x,y1,'b'),gtext('L8(x)','FontSize',12),pause %Lagrange曲线
基函数为
l0 (x)
x x1 x0 x1
x2 1 2
2
x
l1(x)
线性插值函数为
插值和拟合区别
>> [xx,res]=lsqcurvefit(f,[1,1,1,1,1],x,y); xx',res
Optimization terminated successfully: Relative function value changing by less than
125.29*x^4+74.450*x^327.672*x^2+4.9869*x+.42037e-6
最小二乘曲线拟合
• 格式： [a, jm]=lsqcurvefit(Fun,a0,x,y)
例 >> x=0:.1:10; >> y=0.12*exp(-0.213*x)+0.54*exp(-0.17*x).*sin(1.23*x);
2*x0).*exp(-4*x0) x0.^2]; >> y1=A1*c; >> plot(x0,y1,x,y,'x')
例
• 数据分析
>> x=[1.1052,1.2214,1.3499,1.4918,1.6487,1.8221,2.0138,... 2.2255,2.4596,2.7183,3.6693];
0.1200 0.2130 0.5400 0.1700 1.2300 res = 9.5035e-021
• 绘制曲线： >> x1=0:0.01:10; y1=f(xx,x1); plot(x1,y1,x,y,'o')
如何使用物理实验技术进行线性插值与拟合
如何使用物理实验技术进行线性插值与拟合在科学研究和工程应用中，线性插值和拟合是常用的一种技术。
它们能够通过实验数据的处理和分析，帮助我们了解事物之间的关系并预测未知值。
这篇文章将介绍如何使用物理实验技术进行线性插值和拟合，以及它们在实际应用中的意义和局限性。
一、线性插值的原理与方法在物理实验中，我们常常会遇到数据的缺失或者需要预测某个未知值的情况。
线性插值是一种通过已知数据点之间的直线来估算未知值的方法。
其基本原理是假设两个已知点之间的关系是线性的，并且用线性方程来描述这种关系。
然后我们根据已知的两个数据点，通过插入未知值对应的自变量值，计算出相应的因变量值。
线性插值的步骤如下：1. 找到已知数据点中最接近未知值的两个点，并设为（x1，y1）和（x2，y2）。
2. 计算两个点之间的斜率 k：k = (y2 - y1) / (x2 - x1)3. 根据斜率和已知点的坐标，计算未知值对应的因变量值 y0：y0 = y1 + k * (x0 - x1)这样，我们就得到了一个在已知数据点之间的线性函数，可以用于估算或预测未知值。
二、实验中的线性插值应用在线性插值的实际应用中，我们经常会用到两个主要的情况：样条插值和反函数插值。
1. 样条插值样条插值是一种通过插入多个线性插值的结果，来逼近原始数据的方法。
它的优点是能够更精确地拟合非线性关系，但需要更多的已知数据点。
在物理实验中，我们有时会遇到复杂的数据曲线，不适合仅用线性插值的方法进行处理。
这时，我们可以使用样条插值，将一段数据区间分成多个小区间，分别进行线性插值，最终得到整个数据曲线的拟合结果。
这样就能够更准确地分析实验数据和预测未知值。
2. 反函数插值在某些情况下，我们可以通过已知函数的反函数关系，进行线性插值来预测未知值。
例如，我们有一组已知数据是 x 的函数关系，而我们需要估算相应的 y 值。
如果我们能找到 x 和 y 之间的反函数关系，那么我们就可以使用线性插值来得到 y 的值。
插值与拟合
x[ a ,b ]
即：有界区间上的连续函数被多项式一致逼近。
§ 7.1.4 实际应用中两种方法的选择
在实际应用中，究竟选择哪种方法比较恰 当？总的原则是根据实际问题的特点来决定采 用哪一种方法。具体说来，可从以下两方面来 考虑：
1．如果给定的数据是少量的且被认为是严 格精确的，那么宜选择插值方法。采用插值方 法可以保证插值函数与被插函数在插值节点处 完全相等。
2．如果给定的数据是大量的测试或统计的 结果，并不是必须严格遵守的，而是起定性地 控制作用的，那么宜选用数据拟合的方法。这 是因为，一方面测试或统计数据本身往往带有 测量误差，如果要求所得的函数与所给数据完 全吻合，就会使所求函数保留着原有的测量误 差；另一方面，测试或统计数据通常很多，如 果采用插值方法，不仅计算麻烦，而且逼近效 果往往较差。
0
(
x)
1
2
x x1
x0 x0
x x0
x1 x1
2
1(x)
1
2
x x1 x0 x1
x x0 x1 x0
2
2
0
(
x)
(
x
x0
)
(7.2.3)
下 面 的 (7.2.9) 、 (7.2.10) 两 式 构 成 了 三 次 Hermite 插值基本提法二的插值公式
P3(x) = 0(x)y0 1(x)y1 0(x)m0 1(x)m1 (7.2.9)
0 ( x)
(x ( x0
《插值与拟合》课件
拟合的方法
1
最小二乘法
通过最小化残差平方和，找到与数据最匹配的函数。
2
局部加权回归
给予附近数据点更高的权重，拟合接近局部数据点的函数。
3
多项式拟合
用多项式函数逼近数据，通过选择合适的次数实现拟合。
插值与拟合的误差分析
插值和拟合都会引入近似误差，需要评估误差范围和影响因素。
插值与拟合在数据处理与分析中的应用
数据分析
通过插值和拟合方法对数据进 行探索和分析。
数据处理
在数据处理过程中使用插值和 拟合技术来填充缺失值和平滑 数据。
数据建模
利用插值和拟合模型对数据特 征进行捕捉和预测分析。
插值与拟合的推广和发展前景
随着数据科学和人工智能的不断发展，插值和拟合在各个领域的应用前景越 来越广阔。
插值与拟合的应用范围
科学研究
用于数据分析、信号优化设计、近似计算和 效能提升。
经济金融
用于市场分析、预测模型和 风险评估。
插值的方法
1
拉格朗日插值
基于多项式插值公式，用拉格朗日多项式逼近函数。
2
牛顿插值
基于差商的概念，用多项式逼近函数的值。
3
分段插值
将插值区间划分为多个子区间，并在每个子区间上进行插值。
《插值与拟合》PPT课件
插值与拟合是数值计算和数据分析中重要的概念。
插值与拟合的概念
插值
通过已知值的推算，计算在未知点的近似值。
拟合
通过曲线或曲面拟合已知数据，以描述和预 测未知数据。
插值与拟合的区别与联系
1 区别
2 联系
插值重点关注已知点的准确性，而拟合则 着重于整体形状的拟合。
插值和拟合都通过数学模型逼近离散数据， 以实现数据的补全和预测。
插值与拟合方法
插值与拟合方法在实际中，常常要处理由实验或测量所得到的一批离散数据．插值与拟合方法就是要通过这些数据去确定某一类已知函数的参数或寻找某个近似函数，使所得到的近似函数与已知数据有较高的拟合精度．插值问题:要求这个近似函数（曲线或曲面）经过所已知的所有数据点．通常插值方法一般用于数据较少的情况．数据拟合：不要求近似函数通过所有数据点，而是要求它能较好地反映数据的整体变化趋势。
共同点：插值与拟合都是根据实际中一组已知数据来构造一个能够反映数据变化规律的近似函数的方法，由于对近似要求的准则不同，因此二者在数学方法上有很大的差异．插值问题的一般提法：已知某函数)(x f y =（未知）的一组观测（或试验）数据),,2,1)(,(n i y x ii⋅⋅⋅=，要寻求一个函数)(x φ，使iiy x =)(φ),,2,1(n i ⋅⋅⋅=，则)()(x f x ≈φ．实际中,常常在不知道函数)(x f y =的具体表达式的情况下，对于i x x =有实验测量值iy y =),,2,1,0(n i ⋅⋅⋅=，寻求另一函数)(x φ使满足：)()(i i i x f y x ==φ),,2,1,0(n i ⋅⋅⋅=称此问题为插值问题，并称函数)(x φ为)(x f 的插值函数，nx x x x ,,,,21⋅⋅⋅称为插值节点，),,2,1,0()(n i y x ii⋅⋅⋅==φ称为插值条件，即)()(iiix f y x ==φ),,2,1,0(n i ⋅⋅⋅=，则)()(x f x ≈φ．（1） 拉格朗日（Lagrange ）插值设函数)(x f y =在1+n 个相异点nx x x x ,,,,21⋅⋅⋅上的函数值为ny y y y ,,,,21⋅⋅⋅，要求一个次数不超过n 的代数多项式nnnx a x a x a a x P +⋅⋅⋅+++=221)(使在节点i x 上有),,2,1,0()(n i y x P ii n ⋅⋅⋅==成立，称之为n 次代数插值问题，)(x P n称为插值多项式．可以证明n 次代数插值是唯一的．事实上: 可以得到j n j n i i j in y x x xx x P j i ∑∏==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=≠00)()( 当1=n 时，有二点一次（线性）插值多项式：101001011)(y x x x x y x x x x x P --+--=当n =2时，有三点二次（抛物线）插值多项式：2120210121012002010212))(())(())(())(())(())(()(y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x x P ----+----+----=（2）牛顿（Newton ） 插值牛顿插值的基本思想：由于)(x f y =关于二节点10,x x 的线性插值为)()()()()()()()()(00101000010101x x x x x f x f x p x x x x x f x f x f x p ---+=---+= 假设满足插值条件)2,1,0()()(2===i x p y x f iii的二次插值多项式一般形式为))(()()(1212x x x x c x x c c x p --+-+= 由插值条件可得⎪⎩⎪⎨⎧=--+-+=-+=)())(()()()()(21202202101011000x f x x x x c x x c c x f x x c c x f c 可以解出⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧------=--==020101121220101100)()()()()()(),(x x x x x f x f x x x f x f c x x x f x f c x f c所以))(()())(()()(10211020102x x x x c x p x x x x c x x c c x p --+=--+-+=类似的方法，可以得到三次插值多项式等，按这种思想可以得到一般的牛顿插值公式．函数的差商及其性质对于给定的函数)(x f ，用),,,(10n x x x f ⋅⋅⋅表示关于节点nx x x ,,,1⋅⋅⋅的n 阶差商，则有一阶差商：01011)()(),(x x x f x f x x f --=，121221)()(),(x x x f x f x x f --= 二阶差商：021021210),(),(),,(x x x x f x x f xx x f --=n 阶差商：0110211),,,(),,,(),,,(x x x x x f x x x f x x x f n n n n -⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-差商有下列性质：（1）差商的分加性：∑∏=≠=-=⋅⋅⋅nk nk j j j kk n x xx f xx x f 0)(01)()(),,,(．（2）差商的对称性：在),,,(1nx x x f ⋅⋅⋅中任意调换jix x ,的次序其值不变．牛顿插值公式： 一次插值公式为))(,()()(01001x x x x f x f x p -+=二次插值公式为))()(,,()())()(,,())(,()()(1021011021001002x x x x x x x f x p x x x x x x x f x x x x f x f x p --+=--+-+=于是有一般的牛顿插值公式为)())()(,,,()()())()(,,,())()(,,())(,()()(11010111010102100100----⋅⋅⋅--⋅⋅⋅+=-⋅⋅⋅--⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+--+-+=n n n n n n x x x x x x x x x f x p x x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x p可以证明：其余项为))(())()(,,,,()(11010n n n x x x x x x x x x x x x f x R --⋅⋅⋅--⋅⋅⋅=-实际上，牛顿插值公式是拉格朗日插值公式的一种变形，二者是等价的．另外还有著名的埃尔米特（Hermite ）插值等．（3）样条函数插值方法样条，实质上就是由分段多项式光滑连接而成的函数，一般称为多项式样条．由于样条函数的特殊性质，决定了样条函数在实际中有着重要的应用．样条函数的一般概念定义 设给定区间],[b a 的一个分划b x x x a n=<⋅⋅⋅<<=∆1:，如果函数)(x s 满足条件：(1) 在每个子区间),,2,1](,[1n i x x ii ⋅⋅⋅=-上是k 次多项式； (2) )(x s 及直到k -1阶的导数在],[b a 上连续．则称)(x s 是关于分划△的一个k 次多项式样条函数，nx x x ,,,1⋅⋅⋅称为样条节点，121,,,-⋅⋅⋅n x x x 称为内节点，nx x ,0称为边界节点，这类样条函数的全体记作),(k S P∆，称为k 次样条函数空间．若),()(k S x s P∆∈，则)(x s 是关于分划△的k 次多项式样条函数．k 次多项式样条函数的一般形式为∑∑=-=+-+=ki n j k j jii k x x k i x x s 011)(!!)(βα其中),,1,0(k i i=α和)1,,2,1(-=n j jβ均为任意常数，而)1,,2,1(,0,)()(-=⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-+n j x x x x x x x x jj kj kj在实际中最常用的是2=k 和３的情况，即为二次样条函数和三次样条函数． 二次样条函数：对于],[b a 上的分划b x x x a n=<⋅⋅⋅<<=∆1:,则)2,()(!2!2)(11222102∆βαααP n j j jS x x x x x s ∈-+++=∑-=+其中)1,2,1(,0,)()(22-=⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-+n j x x x x x x x x j j j j ． 三次样条函数：对于],[b a 上的分划b x x xa n =<⋅⋅⋅<<=∆10:,则)3,()(!3!3!2)(1133322103∆βααααP n j j jS x x x x x x s ∈-++++=∑-=+其中)1,2,1(,0,)()(33-=⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-+n j x x x x x x x x jjj j ．1 二次样条函数插值)2,()(2∆∈P S x s 中含有2+n 个待定常数，故应需要2+n 个插值条件，因此，二次样条插值问题可分为两类：问题(1)：已知插值节点ix 和相应的函数值),,2,1,0(n i y i⋅⋅⋅=，以及端点0x (或n x )处的导数值0'y (或ny ')，求)2,()(2∆∈PS x s 使得⎩⎨⎧'=''='⋅⋅⋅==))(()(),,2,1,0()(20022n n i i y x s y x s n i y x s 或（5.1）问题(2)：已知插值节点ix 和相应的导数值),,2,1,0(n i y i⋅⋅⋅='，以及端点0x (或n x )处的函数值0y (或ny )，求)2,()(2∆∈P S x s 使得⎩⎨⎧==⋅⋅⋅='='))(()(),,2,1,0()(20022n n i i y x s y x s n i y x s 或(5.2)事实上，可以证明这两类插值问题都是唯一可解的．对于问题(1)，由条件(5.1)⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧'=+='==-+++==++==++=∑-=00210211222102121211112020201002)(,,3,2,)(2121)(21)(21)(y x x s n j y x x x x x s yx x x s y x x x s j j i i j i jj j ααβααααααααα 引入记号T n ),,,,,(11210-=ββααα X 为未知向量，T nn y y y y ),,,,(10'= C 为已知向量， ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-0010)(21)(21211)(212110211211021212212222211200x x x x x x x x x x x x x x x n n n n n A 于是，问题转化为求方程组C AX =的解Tn ),,,,,(1121-=ββααα X 的问题，即可得到二次样条函数的)(2x s 的表达式．对于问题(2)的情况类似．２．三次样条函数插值由于)3,()(3∆∈P S x s 中含有3+n 个待定系数，故应需要3+n 个插值条件，因此可将三次样条插值问题分为三类： 问题(1)：已知插值节点jx 和相应的函数值),,2,1,0(n j y j⋅⋅⋅=，以及两个端点0x ，n x 处的导数值0'y ，ny '，求)3,()(3∆∈PS x s 使满足条件⎪⎩⎪⎨⎧='='⋅⋅⋅==),0()(),,1,0()(33n j y x s n j y x s j j j j(5.3)问题(2)：已知插值节点jx 和相应的函数值),,2,1,0(n j y j⋅⋅⋅=，以及两个端点0x ，nx 处的二阶导数值0y ''，n y ''，求)3,()(3∆∈PS x s 使满足条件⎪⎩⎪⎨⎧=''=''⋅⋅⋅==),0()(),,1,0()(33n j y x s n j y x s j j j j(5.4)问题(3)：类似地，求)3,()(3∆∈PSx s 使满足条件⎪⎩⎪⎨⎧=+=-==)2,1,0)(0()0(),,1,0()(0)(3)(33k x s x s n j y x s k n k j j(5.5)这三类插值问题的条件都是3+n 个，可以证明其解都是唯一的〔8〕．一般的求解方法可以仿照二次样条的情况处理方法，在这里给出一种更简单的方法．仅依问题(1)为例，问题(2)和问题(3)的情况类似处理．由于在)3,()(3∆PS x s ∈区间],[b a 上是一个分段光滑，且具有二阶连续导数的三次多项式，则在子区间],[1+j jx x 上)(3x s ''是线性函数，记),,,1,0)((3n j x s d jj =''=为待定常数．由拉格朗日插值公式可得nj x x h h x x d h x x d x s j j j jj j jj j ,,1,0,,)(1113=-=-+-=''+++显然jjj h d dx s -='''+13)(在],[1+j jx x上为常数．于是在],[1+j j x x 上有31233)(6)(2))(()(j jjj j j j j j x x h d d x x d x x x s y x s --+-+-'+=+(5.6)则当1+=j x x 时，由(5.6)式和问题(1)的条件得121231362)()(+++=-++'+=j j jj j j j j j j y h d d h d h x s y x s故可解得)2(6)(113+++--='j j j jjj j d d h h y y x s（5.7）将(5.7)式代入(5.6)式得)1,,1,0](,[,)(6)(2)()2(6)(1312113-=∈--+-+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+--+=++++n j x x x x x h d d x x d x x d d h h y y y x s j j j jj j j jj j j j j j j j(5.8) 在],[1j j x x-上同样的有),,2,1](,[,)(6)(2)()2(6)(131112111111113n j x x x x x h d d x x d x x d d h h y y y x s j j j j j j j j j j j j j j j j =∈--+-+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+--+=------------(5.9) 根据)(3x s的一阶导数连续性，由(5.9)式得)()2(6)0(311113j j j j j j j j x s d d h h y y x s '=++-=-'---- 结合(5.7)式整理得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+=++++--+-+----11111111162j j j j j j j j j j j j j j j j j h y y h y y h h d h h h d d h h h 引入记号⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+=+=--+--111116,j j j j j j j j j j j j j h y y h y y h h c h h h a ，111--+=-j j j j h h h a ．则)1,,2,1(,2)1(11-==++-+-n j c d a d d a j j j j j j（5.10）再由边界条件：nny x s y x s '=''=')(,)(33得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--'=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'--=+----111100010106262n n n n n n n h y y y h d d y h y y h d d(5.11)联立(5.10),(5.11)式得方程组C D A =⋅（5.12）其中⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=----2121212112112200n n n n a a a a a aA ，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-n n d d d d 110 D ，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'--=----111110001066n n n n n n hy y y h c c y h y y h C 由方程组(6.12)可以唯一解出),,1,0(n j d j=，代入（5.8）式就可以得三次样条函数)(3x s 的表达式．Ｂ样条函数插值方法磨光函数实际中的许多问题，往往是既要求近似函数（曲线或曲面）有足够的光滑性，又要求与实际函数有相同的凹凸性，一般插值函数和样条函数都不具有这种性质．如果对于一个特殊函数进行磨光处理生成磨光函数（多项式），则用磨光函数构造出样条函数作为插值函数，既有足够的光滑性，而且也具有较好的保凹凸性，因此磨光函数在一维插值（曲线）和二维插值（曲面）问题中有着广泛的应用．由积分理论可知，对于可积函数通过积分会提高函数的光滑度，因此，我们可以利用积分方法对函数进行磨光处理．定义 若)(x f 为可积函数，对于0>h ，则称积分⎰+-=22,1)(1)(hx h x h dt t f h x f为)(x f 的一次磨光函数，h 称为磨光宽度．同样的，可以定义)(x f 的k 次磨光函数为)1()(1)(22,1,>=⎰+--k dt t f h x f hx h x h k h k事实上，磨光函数)(,x f h k 比)(x f 的光滑程度要高，且当磨光宽度h 很小时)(,x f h k 很接近于)(x f ．等距Ｂ样条函数对于任意的函数)(x f ，定义其步长为１的中心差分算子δ如下：⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2121)(x f x f x f δ在此取0)(+=x x f ，则002121+++⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x x δ是一个单位方波函数（如图5-1），记0)(+=Ωx x δ．并取1=h ，对)(0x Ω进行一次磨光得++++-+++-+++--+-+=-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+==⎰⎰⎰⎰)1(2)1(2121)()(11212100212101x x x dt t dt t dt t t dt t x x xx x x x x x ΩΩ显然)(1x Ω是连续的（如图5-2）．)(1x Ωo1-1/2 0 1/2 x -1 0 1 x 图5-1图5-2类似地可得到k 次磨光函数为kk j jk j k j k x k C x ++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-=Ω∑21!)1()(11 实际上,可以证明：)(x kΩ是分段k 次多项式，且具有1-k 阶连续导数，其k 阶导数有2+k个间断点，记为)1,,2,1,0(21+⋅⋅⋅=+-=k j k j x j．从而可知)(x kΩ是对应于分划+∞<<⋅⋅⋅<<<-∞∆+110:k x x x 的k 次多项式样条函数，称之为基本样条函数，简称为k 次Ｂ样条．由于样条节点为)1,,2,1,0(21+⋅⋅⋅=+-=k j k j xj是等距的，故)(x k Ω又称为k 次等距Ｂ样条函数．对于任意函数)(x f 的k 次磨光函数，由归纳法可以得到 [4,8] ：⎪⎭⎫⎝⎛+≤≤--Ω=⎰∞+∞--22)()(1)(1,h x t h x dt t f htx h x f k h k 特别地，当1)(=x f 时，有1)(11⎰+∞∞--=-dt htx hk Ω，从而1)(⎰+∞∞-=dx x k Ω，且当k ≥1时有递推关系⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-Ω⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛+Ω⎪⎭⎫ ⎝⎛++=Ω--212121211)(11x x k x k x k x k k k一维等距Ｂ样条函数插值等距Ｂ样条函数与通常的样条如下的关系： 定理设有区间],[b a 的均匀分划nab h n j jh x x j -=⋅⋅⋅=+=),,,1,0(:0∆，则对任意 k 次样条函数),()(k S x S p k ∆∈都可以表示为Ｂ样条函数族1021-=-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫⎝⎛+---n j k j k k j h x x Ω的线性组合[14]．根据定理 5.1,如果已知曲线上一组点()jjy x ,，其中),,1,0,0(0n j h jh x x j⋅⋅⋅=>+=，则可以构造出一条样条磨光曲线（即为Ｂ样条函数族的线性组合）⎪⎭⎫⎝⎛--=∑--=j h x x c x S n kj k j k 01)(Ω 其中)1,,1,(-⋅⋅⋅+--=n k k j c j为待定常数．用它来逼近曲线，既有较好的精度，又有良好的保凸性．实际中，最常用的是3=k 的情况，即一般形式为⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑+-=j h x x c x S n j j 01133)(Ω 其中3+n 个待定系数)1,,0,1(+⋅⋅⋅-=n j c j可以由三类插值条件确定．由插值条件(5.3)得()()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧'=-'='==-='=-'='∑∑∑+-=+-=+-=n n j j n i n j j i n j j y j n c h x S ni y j i c x S y j c h x S 113311330113031)(,,1,0,)(1)(ΩΩΩ(5.13)注意到)(3x Ω的局部非零性及其函数值：61)1(,32)0(33=±=ΩΩ，当2≥x 时0)(3=x Ω；且由)21()21()(223--+='x x x ΩΩΩ知，21)1(,0)0(33=±'='ΩΩ，当2≥x 时0)(3='x Ω．则(5.13)中的每一个方程中只有三个非零系数，具体的为⎪⎩⎪⎨⎧'=+-==++'=+-+-+--n n n i i i i y h c c n i y c c c y h c c 2,,1,0,6421111011(5.14)由方程组(5.14)容易求解出)1,,0,1(+⋅⋅⋅-=n j c j，即可得到三次样条函数)(3x S 表达式．类似地，由插值条件(5.4)得待定系数的)1,,0,1(+⋅⋅⋅-=n j c j所满足的方程组为⎪⎩⎪⎨⎧''=+-==++''=+-+-+--nn n n i i i i y h c c c n i y c c c y h c c c 21111021012,,1,0,642（5.15）由插值条件(5.5)得待定系数的)1,,0,1(+⋅⋅⋅-=n j cj所满足的方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++=-+---=-++-=-+-+-+-+--+--+--ni y c c c c c c c c c c c c c c c c c c c i i i i n n n n n n n n ,,1,0,640)()(2)(0)(0)(0)()(4)(1111011111111011（5.16）方程组(5.15),(5.16)也都是容易求解的．注：上述等距Ｂ样条插值公式也适用于近似等距的情形，但在端点0x 和n x 处误差可能较大，实际应用时，为了提高在端点0x 和nx 处的精度，可以适当向左右延拓几个节点．二维等距Ｂ样条函数插值设有空间曲面),(y x f z =(未知),如果已知二维等距节点()()τj y ih x y x ji++=0,,)0,(>τh 上的值为),,2,1,0;,,2,1,0(m j n i z ij⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=，则相应的Ｂ样条磨光曲面的一般形式为⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛--=∑∑--=--=j y y i h x x c y x s l m lj k ij n ki τΩΩ0011),( 其中),,2,1,0;,,2,1,0(m j n i c ij⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=为待定常数，l k ,可以取不同值，常用的也是2,=l k 和３的情形．这是一种具有良好保凸性的光滑曲面(函数)，在工程设计中是常用的，但只能使用于均匀分划或近似均匀分划的情况．（4） 最小二乘拟合方法最小二乘拟合方法的思想：由于一般插值问题并不总是可解的（即当插值条件多于待定系数的个数时，其问题无解），同时，问题的插值条件本身一般是近似的，为此，只要求在节点上近似地满足插值条件，并使它们的整体误差最小，这就是最小二乘拟合法．最小二乘拟合方法可以分为线性最小二乘拟合方法和非线性最小二乘拟合方法．线性最小二乘拟合方法设{}m k kx 0)(=φ是一个线性无关的函数系，则称线性组合∑==mk k k x a x 0)()(φφ为广义多项式．如三角多项式：∑∑==+=mk k mk kkx b kx ax 0sin cos )(φ．设由给定的一组测量数据),(iiy x 和一组正数),,2,1(n i w i⋅⋅⋅=，求一个广义多项式∑==mk k k x a x 0)()(φφ使得目标函数[]21)(∑=-=ni i i i y x w S φ(5.17)达到最小，则称函数)(x φ为数据),,2,1)(,(n i y x ii⋅⋅⋅=关于权系数),,2,1(n i w i⋅⋅⋅=的最小二乘拟合函数，由于)(x φ关于待定系数ia 是线性的，故此问题又称为线性最小二乘问题． 注意：这里{}m k kx 0)(=φ可根据实际来选择，权系数iw 的选取更是灵活多变的，有时可选取1=i w ，或nw i 1=，对于nw i1=，则相应问题称为均方差的极小化问题．最小二乘拟合函数的求解要使最小二乘问题的目标函数(5.17)达到最小，则由多元函数取得极值的必要条件得),,2,1,0(0m k a Sk==∂∂ 即),,2,1,0(0)()(10m k x y x a w i k ni i m k i k k i ⋅⋅⋅⋅==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∑∑==φφ 亦即),,2,1,0()()()(001m k x y w a x x w n i i k i i j mj n i i k i j i ⋅⋅⋅⋅==⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑∑∑===φφφ(5.18)是未知量为ma a a a ,,,,21⋅⋅⋅的线性方程组，称(5.18)式为正规方程组．实际中可适当选择函数系{}m k kx 0)(=φ，由正规方程组解出ma a a a ,,,,210⋅⋅⋅，于是可得最小二乘拟合函数∑==mk kk x a x 0)()(φφ．一般线性最小二乘拟合方法将上面一元函数的最小二乘拟合问题推广到多元函数，即为多维线性最小二乘拟合问题．假设已知多元函数),,,(21nx x x f y ⋅⋅⋅=的一组测量数据);,,,(21iniiiy x x x ⋅⋅⋅),,2,1(m i ⋅⋅⋅=和一组线性无关的函数系{}N k nk x x x 021),,,(=⋅⋅⋅φ，求函数∑=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅Nk n k k n x x x a x xx 02121),,,(),,,(φφ对于一组正数mw w w ,,,21⋅⋅⋅，使得目标函数[]2121),,,(∑=⋅⋅⋅-=mi ni i i i i x x x y w S φ达到最小．其中待定系数N a a a a,,,,210⋅⋅⋅由正规方程组),,2,1,0(),(),(0N k y a Nj k j k j⋅⋅⋅==∑=φφφ确定，此处ini i i k mi i k ni i i k mi ni i i j i k j y x x x w y x x x x x x w ),,,(),(),,,(),,,(),(21121121⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=∑∑==φφφφφφ注：上面的函数φ关于ia 都是线性的，这就是线性最小二乘拟合问题，对于这类问题的正规组总是容易求解的．如果φ关于ia 是非线性的，则相应的问题称为非线性最小二乘拟合问题．非线性最小二乘拟合方法假设已知多元函数),,,(21nx x x f y ⋅⋅⋅=的一组测量数据);,,,(21iniiiy x x x ⋅⋅⋅),,2,1(m i ⋅⋅⋅=，要求一个关于参数),,2,1,0(N j a j⋅⋅⋅=是非线性的函数),,,;,,,(1021Nn a a a x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=φφ对一组正数mw w w ,,,21⋅⋅⋅使得目标函数[]21102110),,,;,,,(),,,(∑=⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅mi N ni i i i i N a a a x x x y w a a a S φ达到最小，则称之为非线性最小二乘问题．这类问题属于无约束的最优化问题，一般问题的求解是很复杂的，通常情况下，可以采用共轭梯度法、最速下降法、拟牛顿法和变尺度法等方法求解．实例：黄河小浪底调水调沙问题问题的提出2004年６月至７月黄河进行了第三次调水调沙试验，特别是首次由小浪底、三门峡和万家寨三大水库联合调度，采用接力式防洪预泄放水，形成人造洪峰进行调沙试验获得成功．整个试验期为20多天，小浪底从６月19日开始预泄放水，直到７月13日恢复正常供水结束．小浪底水利工程按设计拦沙量为75.5亿立方米，在这之前，小浪底共积泥沙达14.15亿吨．这次调水调试验一个重要目的就是由小浪底上游的三门峡和万家寨水库泄洪，在小浪底形成人造洪峰，冲刷小浪底库区沉积的泥沙．在小浪底水库开闸泄洪以后，从6月27日开始三门峡水库和万家寨水库陆续开闸放水，人造洪峰于29日先后到达小浪底，7月3日达到最大流量2700立方米/每秒，使小浪底水库的排沙量也不断地增加．下面是由小浪底观测站从6月29日到7月10日检测到的试验数据：表5-1: 试验观测数据单位：水流为立方米/每秒，含沙量为公斤/立方米·84··85·注：以上数据主要是根据媒体公开报道的结果整理而成的，不一定与真实数据完全相符．现在，根据试验数据建立数学模型研究下面的问题：(1) 给出估算任意时刻的排沙量及总排沙量的方法；(2) 确定排沙量与水流量的变化关系．模型的建立与求解对于问题（１），根据所给问题的试验数据，要计算任意时刻的排沙量，就要确定出排沙量随时间变化的规律，可以通过插值来实现．考虑到实际中排沙量应该是随时间连续变化的，为了提高精度，我们采用三次Ｂ样条函数进行插值．下面构造三次Ｂ样条函数)(x S y =．由试验数据，时间是每天的早８点和晚８点，间隔都是12个小时，共24个点)24,,2,1(⋅⋅⋅=i t i．为了计算方便，令)23,,,1,0(122128⋅⋅⋅=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+-=i i t x i i(5.19)则it 对应于)23,,1,0(1⋅⋅⋅=+=i i x i．于是以)23,,1,0(⋅⋅⋅=i x i为插值节点（等距），步长1=h ．其相应的排沙量为)23,,1,0(⋅⋅⋅=i y i 对应关系如下表：·86·表5-2: 插值数据对应关系单位：排沙量为公斤函数)(x S y =所满足的条件为 (1)23,,1,0,)(⋅⋅⋅==i y x S ii；(2) 3500)(,56400)(2223222323231212-=--≈'='=--≈'='x x y y x S y x xy yx S y .取)(x S 的三次Ｂ样条函数一般形式为∑-=⎪⎭⎫⎝⎛--=24103)(j j j h x x c x S Ω·87·其中)24,,1,0,1(⋅⋅⋅-=j cj为待定常数，1=h ．在这里⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<<+-+-≤+-=Ω2,021,342611,3221)(23233x x x x x x x x x且易知⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥±===Ω2,01,610,32)(3x x x x和⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥±===Ω'2,01,210,0)(3x x x x 根据Ｂ样条函数的性质，)(x S ''在[]23,x x 上连续，则有()∑-=--'='='2413)(j jj xx c x S y Ω由插值条件(1),(2)可得到下列方程组()()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧'=-'=''=-'='⋅⋅⋅==-=∑∑∑-=-=-=23241323024130241323)()(23,,1,0,)(y j c x S y j c x S i y j i c x S j j j j i j j i ΩΩΩ 即⎪⎩⎪⎨⎧'=+-'=+-⋅⋅⋅==++-+-23242311112223,,1,0,64y c c y c c i y c c c i i i i 将232324112,2y c c y c c '+='-=-代入前24个方程中的第一个和最后一个，便可得到方程组F AC =，其中·88·⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⨯232102424,421410141014124c c c c C A ，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡'-'+=3400048000684000458400266626232322100 y y y y y y F显然A 为满秩阵，方程组F AC =一定有解，用消元法求解可得问题的解为56044.39830=c , 4117111.2031=c , 2159510.7882=c , 9189845.6433=c ,1203106.6364=c , 8239727.8115=c ,8249182.1166=c , 1263543.7217=c ,9287842.9988=c , 2302284.2839=c ,4317419.86810=c , 1304836.24311=c ,3307635.15912=c ,6305423.11913=c ,2270672.36214=c ,4240287.43115=c ,0154177.91216=c ,4103000.92017=c ,99818.406218=c , 43725.454719=c ,49279.775020=c ,32155.445221=c , 2098.444222=c ,7450.777923=c ,-450.777924311.2034,2232324011='+=='-=-y c c y c c . 将)24,,1,0,1(⋅⋅⋅-=j c j代入()∑-=--==24131)(j jj x c x S y Ω(5.20)即得排沙量的变化规律．由（5.19）和(5.20)式可得到第i 时间段（12小时为一段）内，任意时刻]12,0[∈t 的排沙量．则总的排沙量为()dt j t c dx x S Y j j⎰∑⎰-=--Ω==284824132411)(经计算可得1110844.1⨯=Y 吨，即从6月29日至7月10日小浪底水库排沙总量大约为1.844亿吨,此与媒体报道的排沙量基本相符.对于问题(2),研究排沙量与水量的关系，从试验数据可以看出，开始排沙量是随着水流量的增加而增长，而后是随着水流量的减少而减少．显然，变化规律并非是线性的关系，为此，我们问题分为两部分，从开始水流量增加到最大值2720立方米/每秒（即增长的过程）为一段，从水流量的最大值到结束为第二段，分别来研究水流量与排沙量的关系．具体数据如表5-3和5-4.表5-3: 第一阶段试验观测数据 单位：水流为立方米/每秒，含沙量为公斤/立方米表5-4: 第二阶段试验观测数据单位：水流为立方米/每秒，含沙量为公斤/立方米对于第一阶段，由表5-3用Matlab作图（如图5-3）可以看出其变化趋势，我们用多项式作最小二乘拟合．·90··91·图5-3设拟合函数为∑==mk kk x a x 1)(φ确定待定常数),,1,0(m k ak=使得211111102])([∑∑∑===⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=i i i m k k i k i i y x a y x S φ有最小值．于是可以得到正规方程组为m k x y a x mj i k i i j i j k i ,,1,0,0111111 ==⎪⎭⎫⎝⎛∑∑∑===+ 当3=m 时，即取三次多项式拟合，则3,2,1,0,1113111321112111110111==⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑∑∑==+=+=+=k x y a x a x a x a x i k i i i k i i k i i k i i k i求解可得73321108423.1,103172.1,3.1784,-2492.9318--⨯=⨯-===a a a a ．于是可得拟合多项式为332213)(x a x a x a a x +++=φ，最小误差为847.72=S ，拟合效果如图所示．·92·图:三次拟合效果，带*号的为拟合曲线．类似地，当4=m 时，即取四次多项式拟合，则正规方程组为4,3,2,1,0111411143111321112111110111==⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑∑∑∑==+=+=+=+=k x y a x a x a x a x a x i ki i i k i i k i i k i i k i i k i求解可得104633210109312.1,1094.1,102626.7,12.0624,-7434.6557---⨯-=⨯=⨯-===a a a a a 于是可得拟合多项式为443322104)(x a x a x a x a a x ++++=φ，最小误差为102.66=S ，拟合效果如图5-5所示．图5-5:四次拟合效果，带*号的为拟合曲线．从上面的三次多项式拟合和四次多项拟合效果来看，差别不大．基本可以看出排沙量与水流量的关系．图5-6:第二段三·93··94· 次多项式拟合效果对于第二阶段，由表5-4可以类似地处理．我们用线性最小二乘法作三次和四多项式拟合．拟合效果如图5-6和5-7所示，最小误差分别为5.459=S 和1.236=S ． 从拟合效果来看，显然四次多项式拟合要比三次多项式拟合好的多．图5-7:第二段四次多项式拟合效果。
插值与拟合算法分析
插值与拟合算法分析在数学与计算机科学领域，插值与拟合算法是两种常用的数据处理技术。
插值算法通过已知数据点之间的内插来估算未知数据点的值，而拟合算法则通过求取最佳拟合曲线或函数来逼近已知数据点。
本文将对插值与拟合算法进行详细分析，并比较它们在不同应用中的优缺点。
一、插值算法插值算法主要用于通过已知数据点之间的内插来估算未知数据点的值。
常用的插值算法包括拉格朗日插值、牛顿插值、样条插值等。
这些算法根据插值函数的不同特点，适用于不同类型的数据处理。
1. 拉格朗日插值拉格朗日插值是一种基于代数多项式的插值方法。
它通过构造一个全局多项式函数来拟合已知数据点，并推导出未知数据点的估算值。
拉格朗日插值算法具有简单易懂、计算效率高等优点，但在处理大量数据点时可能会出现龙格现象，导致插值结果有一定误差。
2. 牛顿插值牛顿插值是一种基于差商的插值方法。
它通过计算差商的递推关系，构造一个分段多项式函数来拟合已知数据点。
相比于拉格朗日插值，牛顿插值算法具有更高的数值稳定性和精度，并且可以方便地进行动态插值。
3. 样条插值样条插值是一种基于分段函数的插值方法。
它将整个数据区间划分为若干小段，并使用不同的插值函数对每一段进行插值。
样条插值算法通过要求插值函数的高阶导数连续，能够更好地逼近原始数据的曲线特征，因此在光滑性较强的数据处理中常被使用。
二、拟合算法拟合算法主要用于通过最佳拟合曲线或函数来逼近已知数据点。
常用的拟合算法包括最小二乘拟合、多项式拟合、非线性拟合等。
这些算法可以使拟合曲线与已知数据点尽可能地接近，从而进行更精确的数据分析和预测。
1. 最小二乘拟合最小二乘拟合是一种通过最小化残差平方和来求取最佳拟合曲线的方法。
它利用数据点与拟合曲线的差异来评估拟合效果，并通过求取最小残差平方和的参数值来确定拟合曲线的形状。
最小二乘拟合算法广泛应用于线性回归和曲线拟合等领域。
2. 多项式拟合多项式拟合是一种通过多项式函数来逼近已知数据点的方法。
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4. 运气 做事不能只靠运气。但不可否认, 运气偶尔确能左右事情的结局。 在数学建模竞赛中，运气的好坏 也可能影响竞赛成绩。比如，能否遇 见踏实能干的队友、认真负责的指导 老师、心态正常的评委等。
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最后，送给各位本人总结的四句 名言： 知识靠学； 技能靠练； 经验靠赛； 运气靠碰。
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上述问题可归结为“已知函数在 某区间(域)内若干点处的值, 求函数在 该区间 ( 域 ) 内其它点处的值”，这种 问题适宜用插值方法解决。 一维插值问题可描述为：已知函 数在x0, x1, …, xn处的值y0, y1,…, yn， 求简单函数 p(x)，使 p(xi) = yi。 p(xi) = yi称为插值条件。
2015 数学建模培训
引 言
参加数学建模竞赛的主要目的自 然是获得好成绩。 影响建模竞赛成绩的因素众多， 本人将其总结为如下四个方面： 知识，技能，经验，运气。 1. 知识 开展大学生数学建模竞赛的初衷 是培养、提高大学生运用数学知识和
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计算机技术解决实际问题的能力。这 里所说的“知识”就是指参加数学建 模竞赛所需的应用数学知识和方法。 试想，如果连基本的数学建模方 法都不熟悉，那参加数学建模竞赛只 能完全靠“忽悠”。 对于这一点，经历过数学建模网 络挑战赛的学生应该深有体会。
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本讲第一部分首先介绍了插值问 题、插值原理、高次插值的 Runge现 象，然后讲解了 Matlab 中的一维和 二维插值命令。 第二部分首先介绍了拟合问题、 拟合原理与步骤, 然后介绍了Matlab 和Origin的拟合计算。 本讲首先要理解插值问题和拟合
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三、Matlab插值
Maple和Matlab都可以进行插值 计算，Maple的一维插值计算较为便 捷，而 Matlab 的二维插值功能较强 , 还能进行散乱点插值。 本节主要介绍 Matlab 的一维和 二维插值命令，大家务必要通过上机 操作熟悉这些命令，同时还要初步掌 握Matlab的基础知识与技能。
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说并不太难，而“技能”的提升则需 要一个过程，还需要一点天赋，短期 培训很难取得明显效果。 在培训中，会适当介绍一些数学 软件使用、编程和写作，希望对提高 大家的技能有所帮助。 3. 经验 经验对于做任何事情都是非常重
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要的。 这里所说的“经验”主要表现在 下列方面： (1) 如何选择题目？ (2) 如何搜集相关资料、数据？ (3) 如何进行成员分工, 如何把握 “做”与“写”的进度？
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反复研读授课 PPT 和其它相关资料， 然后带着疑问和兴趣再听老师讲解， 这样才能保证培训效果。 培训PPT及软件、程序下载邮箱: austmathmodeling@ MM: matlabmaple 培训以讲解为主，学生如有疑问, 可在下午上机辅导时向老师咨询。
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例 2 已知飞机下轮廓线上数据如 下，画出飞机下轮廓线。
X Y 0 0 3 1.2 5 1.7 7 2.0 9 2.1 11 2.0 12 1.8 13 1.2 14 1.0 15 1.6
y 机翼下 轮廓线
x
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例3 测得平板表面3*5网格点处的 温度分别为： 82 81 80 82 84 79 63 61 65 81 84 84 82 85 86 做出平板表面的温度分布曲面 z=f(x,y) 的图形及等温线，并求出温度最高和 最低点。
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1. 一维插值 一维插值命令是interp1, 其基本 格式为yi= interp1(x,y,xi, 'method')。 x,y为插值点，xi,yi为被插值点和 插值结果， x,y 和 xi,yi 通常为向量； 'method' 表示插值方法： 'nearest'— 最邻近插值， 'linear'— 线性插值， 'spline'—三次样条插值，'cubic'—立
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plot(x0,y0,'k+',x,y1,'r'); grid;
title('lagrange'); subplot(3,1,2); plot(x0,y0,'k+',x,y2,'r'); grid; title('piecewise linear'); subplot(3,1,3); plot(x0,y0,'k+',x,y3,'r');
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通常取 p(x)为多项式。 可以用范德蒙行列式和克莱姆法 则证明(习题集第一章最后一题)： 在x0, x1, …, xn处取值y0, y1, …, yn 的多项式存在且唯一，即插值问题的 解唯一存在。 常 用 的 插 值 方 法 有 Lagrange 插 值法和Newton插值法。
问题的特点，其次要了解插值和拟合 的原理与方法，特别要熟练掌握利用 Matlab和Origin等软件进行插值和拟 合的相关命令和技能，此外还要掌握 Matlab编程的基本知识与技能。
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二、插 值
1. 插值问题 例1 在一天24小时内，从零点开 始每间隔 2 小时测得的环境温度数据 分别为 12，9，9，10，18 ，24，28， 27，25，20，18，15，13， 推测中午 1 点温度，并做出 24 小时温 度变化曲线图。
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(4) 如 何 对 某 些 疑 难 问 题 进 行 “忽
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悠”，忽悠到什么程度？ (5) 论文写作时如何扬长避短？ (6) 如何准备复评？ 经验靠积累。让基本不掌握数学 建模方法的学生直接参加网络挑战赛 的作法看似荒唐，但参赛学生至少从 头到尾经历了一次完整的竞赛，积累 了宝贵的经验，是有意义的。
p10 ( x )
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1 f ( x) 2 1 25 x
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因此，在实际中不应使用七次以 上的插值。 避免Runge现象的常用方法是： 将插值区间分成若干小区间，在小区 间内用低次(二次，三次)插值，即分 段低次插值，如样条函数插值。
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样条插值结果
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第1讲 插值与拟合
一、引 言
插值与拟合是数学建模中的一种 基本的数据分析手段，被公认为建模 中的常用算法之一。 在 2011A“ 城市土壤污染分析”、 2013A“ 车道被占对道路通行能力的 影响”、 2014A“ 嫦娥三号软着陆轨 道设计与控制策略”中均用到插值或 拟合。
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特别是研究生建模题目 ) 的关键点和 难点往往在于编程。比如， 2014年 B 题“创意折叠桌”问题并不需要什么 经典的数学建模方法，只要能编程计 算出合理的结果就能获得好成绩； 2010 A题“储油罐的标定”和2012B 题“太阳能小屋的设计”也属此类问
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Байду номын сангаас
题。 (2) “知识”的培训和掌握相对来
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2. 高次插值的Runge现象 在研究插值问题的初期，所有人 都想当然地认为插值多项式的次数越 高，插值精度越高。 Runge 通过对一个例子的研究发 现，上述结论仅仅在插值多项式的次 数不超过七时成立；插值多项式的次 数超过七时，插值多项式会出现严重
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的振荡现象，称之为Runge现象。
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上机前，培训老师会布置上机练 习，提供相关软件或程序，讲解关键 步骤和程序语句。上机过程中，辅导 老师负责解答学生的疑难问题。 题外话 特别要提醒大家的是，国赛完全 不同于网络挑战赛，题目的难度和开 放性适中，有答题要点、参考方法，
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甚至有参考答案；初评评委大部分由 指导教师担任，评阅结果通常比较合 理、靠谱。那种连基本建模方法都不 懂竟然也能获大奖的现象在国赛中几 乎是不可能发生的，全国一等奖的论 文必须模型、方法合理，结果基本可 信、正确，写作清晰、规范。 一句话，建模不能全靠忽悠。
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方插值，缺省为线性插值。
例1Matlab程序 x=0:2:24; y=[12 9 9 10 18 24 28 27 25 20 1 8 15 13]; x1=13; y1=interp1(x,y,x1,'spline') xi=0:1/3600:24; yi=interp1(x,y,xi, 'spline'); plot(x,y, '*',xi,yi)
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在十五天的暑期培训中，主要介 绍各类数学建模基本方法，即主要解 决“知识”问题。 2. 技能 即使掌握了数学建模基本方法也 不足以保证能在竞赛中取得好成绩， 数学建模竞赛还对参赛者提出了很高 的技能要求。
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这里所说的“技能”主要包括编 程能力，使用相关应用软件 ( 主要是 数学软件)的能力, 论文的写作和编辑 能力，网上资料搜集能力等。 本人认为，从数学建模竞赛的发 展趋势看，“技能”越来越比“知识” 重要，理由如下： (1) 近年来的数学建模竞赛题目(
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上机操作与练习
众所周知，在建模竞赛中，能否 熟练使用相关数学软件是能否取得好 成绩的关键之一。因此，数学软件的 培训应该是建模培训的重要内容。 建模中常用的数学软件有Matlab, SPSS, Lingo, Maple等。 由于培训时间有限，在课堂上只 能重点介绍SPSS，而Matlab等只能在