第20章 MATLAB多项式回归与数据插值
matlab时间序列数据多项式插值
时间序列数据在许多领域都具有重要的应用价值，例如金融领域的股票价格数据、气象领域的气温变化数据等。
而时间序列数据的插值则是对于缺失或者不连续的数据进行填补的一种常用方法。
matlab作为一种强大的科学计算软件，提供了丰富的时间序列数据处理工具，其中多项式插值就是一种常用的方法。
本文将对matlab中时间序列数据多项式插值的原理和实现进行介绍。
二、多项式插值的原理多项式插值是一种通过已知数据点来构造一个多项式函数，使得该函数经过已知数据点并且在这些数据点上的导数值也相等于已知值的一种插值方法。
常用的多项式插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值等。
在matlab中，polyfit和polyval函数分别用于多项式拟合和多项式求值。
三、matlab中的多项式插值函数在matlab中，可以使用polyfit函数对已知的时间序列数据进行多项式拟合，然后使用polyval函数来对新的时间点进行插值。
下面是一个简单的示例代码：```matlab生成样本数据x = 0:10;计算多项式拟合p = polyfit(x, y, 4);对新的时间点进行插值x_new = 0:0.1:10;y_new = polyval(p, x_new);```在上面的示例代码中，我们生成了一个sin函数的样本数据，然后使用polyfit函数对样本数据进行了四次多项式拟合，最后使用polyval函数对新的时间点进行了插值。
通过这种方式，我们可以对时间序列数据进行高效准确的插值操作。
四、多项式插值的应用多项式插值在实际的时间序列数据处理中具有广泛的应用。
在金融领域，股票价格数据通常是不连续的，而多项式插值可以对这些不连续的数据进行填补，从而方便进行后续的数据分析和预测。
在气象领域，多项式插值可以对气温、湿度等气象数据进行插值，以便更好地分析气象变化规律。
多项式插值还可以应用于图像处理、声音处理等领域。
五、多项式插值的注意事项在使用多项式插值时，需要注意一些问题。
matlab多项式插值函数
matlab多项式插值函数
在MATLAB中，多项式插值函数可以通过使用interp1、
interp2和interp3等函数来实现。
其中，interp1用于一维插值，interp2用于二维插值，interp3用于三维插值。
这些函数可以用来在给定的数据点上进行插值，生成一个平滑的曲线或曲面。
以interp1为例，可以使用以下语法进行多项式插值：
matlab.
interp1(x, y, xi, 'method')。
其中，x和y分别是原始数据点的横坐标和纵坐标，xi是要进行插值的点的横坐标，'method'是插值方法，可以选择 'linear'（线性插值）、'nearest'（最近邻插值）、'spline'（样条插值）或 'pchip'（分段三次 Hermite 插值）等。
除了interp1之外，还可以使用polyfit和polyval函数进行多项式插值。
polyfit用于拟合多项式系数，polyval用于计算插值点的函数值。
在实际使用中，可以根据具体的数据特点和需要选择合适的插值方法，以及适当的多项式次数，来实现多项式插值函数的应用。
总之，MATLAB提供了丰富的函数和工具，可以帮助我们实现多项式插值，并且可以根据具体情况选择合适的方法和参数进行插值计算。
希望以上信息能够帮助到你。
在Matlab中如何进行数据插值与拟合
在Matlab中如何进行数据插值与拟合引言：数据处理是科学研究与工程开发中不可或缺的环节之一。
而数据插值和拟合则是数据处理中常用的技术手段。
在Matlab这一强大的数值分析工具中，提供了丰富的函数与工具箱，使得数据插值与拟合变得更加便捷高效。
本文将详细阐述在Matlab中如何进行数据插值与拟合，并介绍几个常用的插值与拟合方法。
一、数据插值数据插值是通过已知的有限个数据点，推导出数据点之间未知位置上的数值。
在Matlab中，可以利用interp1函数进行数据插值。
假设我们有一组离散的数据点，存储为两个向量x和y。
那么，可以通过以下步骤进行数据插值：1. 调用interp1函数，并传入x和y作为输入参数。
```matlabxi = linspace(min(x), max(x), n);yi = interp1(x, y, xi, '方法');```其中，xi是插值点的位置，min和max分别是x向量的最小值和最大值，n是插值点的数量。
'方法'是要使用的插值方法，可以选择线性插值(method='linear')、样条插值(method='spline')等。
2. 绘制插值结果曲线。
```matlabplot(x, y, 'o', xi, yi)legend('原始数据','插值结果')```使用plot函数可以绘制原始数据点和插值结果的曲线。
通过设置不同的插值方法和插值点的数量，可以探索不同的插值效果。
二、数据拟合数据拟合是通过已知的一组数据点，找到一个符合数据趋势的函数模型。
在Matlab中，可以利用polyfit函数进行多项式拟合。
假设我们有一组离散的数据点，存储为两个向量x和y。
那么，可以通过以下步骤进行数据拟合：1. 调用polyfit函数，并传入x和y作为输入参数。
```matlabp = polyfit(x, y, n);```其中，n是多项式的次数，p是拟合多项式的系数。
MATLAB中的数据插值与拟合方法介绍
MATLAB中的数据插值与拟合方法介绍概述数据处理是科学研究和工程实践中的重要环节之一。
对于实验或观测数据，我们常常需要通过插值和拟合方法来获取更加精确和连续的函数或曲线。
在MATLAB中，有多种方法和函数可以用于实现数据插值和拟合，本文将介绍其中的一些常用方法。
一、数据插值数据插值是指利用有限个数据点，通过某种方法构建一个连续的函数，以实现在这些点之间任意位置的数值估计。
在MATLAB中，常用的数据插值方法有线性插值、多项式插值、三次样条插值等。
1. 线性插值线性插值是最简单的插值方法之一，假设我们有两个数据点 (x1, y1) 和 (x2, y2)，要在这两个点之间插值一个新的点 (x, y)，线性插值即为连接 (x1, y1) 和 (x2, y2) 这两个点的直线上的点(x, y)。
在MATLAB中，可以通过interp1函数进行线性插值。
2. 多项式插值多项式插值是使用一个低次数的多项式函数来拟合数据的方法。
在MATLAB 中，可以通过polyfit函数进行多项式拟合，然后利用polyval函数来进行插值。
具体的插值效果与所选用的多项式阶数有关。
3. 三次样条插值三次样条插值算法利用相邻数据点之间的三次多项式来拟合数据，从而构成一条光滑的曲线。
在MATLAB中，可以通过spline函数进行三次样条插值。
二、数据拟合除了插值方法外，数据拟合也是处理实验或观测数据的常见方法之一。
数据拟合是指通过选择一个特定的数学模型，使该模型与给定的数据点集最好地拟合。
在MATLAB中，常用的数据拟合方法有多项式拟合、指数拟合、非线性最小二乘拟合等。
1. 多项式拟合在MATLAB中，可以使用polyfit函数进行多项式拟合。
该函数通过最小二乘法来拟合给定数据点集，并得到一个多项式函数。
根据所选用的多项式阶数，拟合效果也会有所不同。
2. 指数拟合指数拟合常用于具有指数关系的数据。
在MATLAB中，可以通过拟合幂函数的对数来实现指数拟合。
MATLAB中的插值方法及其应用
MATLAB中的插值方法及其应用引言数据在科学研究和工程应用中起着至关重要的作用。
然而，在实际问题中，我们常常遇到数据不完整或者不连续的情况。
为了填补这些数据的空隙，插值方法应运而生。
插值方法可以通过已知的点估计未知点的值，从而使得数据连续化。
MATLAB作为一款强大的数值计算软件，提供了丰富的插值方法及其应用。
本文将对MATLAB中常用的插值方法进行介绍，并探讨它们在实际应用中的价值和效果。
一、线性插值方法线性插值是最简单和常用的插值方法之一。
它假设两个已知数据点之间的插值点在直线上。
MATLAB中的线性插值可以通过interp1函数实现。
例如，对于一组已知的点(x1,y1)和(x2,y2)，我们可以使用interp1(x,y,xq,'linear')来估计插值点(xq,yq)的值。
线性插值方法的优点在于简单易懂，计算速度快。
然而，它的缺点在于无法处理非线性关系和复杂的数据分布。
因此，在实际应用中，线性插值方法往往只适用于简单的数据场景。
二、多项式插值方法多项式插值是一种常用的插值技术，它假设插值点在已知数据点之间的曲线上，而非直线。
MATLAB中的polyfit和polyval函数可以帮助我们实现多项式插值。
多项式插值方法的优点在于可以逼近各种形状的曲线，对数据的逼真度较高。
然而，当插值点之间的数据分布不均匀时，多项式插值容易产生振荡现象，即“龙格现象”。
因此，在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的插值阶数，以避免过拟合和振荡现象的发生。
三、样条插值方法样条插值是一种光滑且精确的插值方法。
它通过在已知数据点之间插入一系列分段多项式，使得插值曲线具有良好的光滑性。
MATLAB中的spline函数可以帮助我们实现样条插值。
样条插值方法的优点在于可以处理数据分布不均匀和曲线形状复杂的情况。
它能够减少振荡现象的发生，并保持曲线的光滑性。
然而，样条插值方法的计算复杂度较高，需要更多的计算资源。
MATLAB应用多项式插值
多项式为 y 0.2015x3 1.4385x2 2.7477x 5.4370 Polyfit的第三个参数是多项式的阶数。
要求导数值也相等，甚至要求高阶导数值也相等，满足 这一要求的插值多项式就是Hermite插值多项式。下面 只讨论函数值与一阶导数值个数相等且已知的情况。
已知n个插值点 x1, x2, , xn 及对应的函数值 y1, y2, , yn 和一阶导数值 y1', y2', , y'n 。则对插值区间 内任意x的函数值y的Hermite插值公式：
n
y(x) hi[(xi x)(2ai yi yi' ) yi ] i 1
其中
hi
n ( x xj )2; j1 xi x j
ji
ai
n j 1
xi
1 xj
ji
• MATLAB实现
% hermite.m
function y=hermite(x0,y0,y1,x)
n
y(x) hi[(xi x)(2ai yi yi' ) yi ]
• polyval: 可用命令polyval计算多项式的值。 例： y 3x4 7x3 2x2 x 1 计算y(2.5)
>> c=[3,-7,2,1,1]； xi=2.5; yi=polyval(c,xi) yi =
23.8125 如果xi是含有多个横坐标值的数组，则yi也
为与xi长度相同的向量。 >> c=[3,-7,2,1,1]; xi=[2.5,3]; >> yi=polyval(c,xi) yi =
matlab 多项式回归
MATLAB多项式回归引言多项式回归是一种机器学习和统计学中常用的回归分析方法。
它在数据建模和预测中广泛应用。
MATLAB作为一种强大的计算工具，提供了丰富的函数和工具箱，可以方便地进行多项式回归分析。
本文将介绍MATLAB中多项式回归的基本原理、使用方法以及一些应用示例。
什么是多项式回归多项式回归是传统的回归分析的一种扩展形式，它用多项式函数来拟合数据。
在多项式回归中，因变量与自变量之间的关系被表示为一个多项式方程。
多项式回归可以用于描述非线性关系，并且具有较高的灵活性。
多项式回归的基本原理多项式回归的基本原理是通过最小二乘法拟合多项式函数来实现对数据的拟合。
最小二乘法是一种常用的数学优化方法，它通过最小化残差平方和来寻找最佳拟合线。
多项式回归的使用方法在MATLAB中，多项式回归可以使用polyfit函数进行拟合。
polyfit函数的基本语法如下：p = polyfit(x, y, n)其中，x是自变量向量，y是因变量向量，n是多项式的阶数。
函数的返回值p是一个包含拟合多项式的系数的向量。
多项式回归示例接下来，我们将通过一个简单的示例来演示多项式回归在MATLAB中的使用。
示例数据首先，我们需要准备一组示例数据。
假设我们有以下自变量和因变量的数据：自变量因变量1 22 33 54 75 8数据可视化在进行多项式回归之前，我们可以先将数据进行可视化，以便更好地理解数据分布情况。
x = [1, 2, 3, 4, 5];y = [2, 3, 5, 7, 8];figure;scatter(x, y);xlabel('自变量');ylabel('因变量');title('示例数据分布图');进行多项式回归拟合接下来，我们可以使用polyfit函数进行多项式回归拟合。
p = polyfit(x, y, 2);上述代码中，polyfit(x, y, 2)表示进行二次多项式回归拟合。
matlab高阶多项式插值
matlab高阶多项式插值高阶多项式插值是一种常用的数值分析方法，它可以通过已知的数据点来构造一个高阶多项式函数，从而对未知的数据点进行预测或者插值。
在matlab中，可以使用polyfit和polyval函数来实现高阶多项式插值。
polyfit函数是用来拟合一组数据点的多项式系数的，它的基本语法为：p = polyfit(x,y,n)其中，x和y是已知的数据点，n是多项式的次数。
函数返回一个包含多项式系数的向量p，其中p(1)是最高次项的系数，p(n+1)是常数项的系数。
polyval函数则是用来计算多项式函数在指定点上的值的，它的基本语法为：y = polyval(p,x)其中，p是多项式系数向量，x是指定的点，函数返回多项式在x上的值y。
使用polyfit和polyval函数可以实现高阶多项式插值，具体步骤如下：1. 读入已知的数据点，存储在向量x和y中。
2. 使用polyfit函数拟合数据点，得到多项式系数向量p。
3. 指定插值点的位置，存储在向量xi中。
4. 使用polyval函数计算多项式在插值点上的值，得到插值结果yi。
5. 将插值结果yi输出或者绘制成图形。
需要注意的是，高阶多项式插值可能会出现过拟合的问题，即多项式函数在已知数据点上的拟合效果很好，但在未知数据点上的预测效果很差。
为了避免过拟合，可以使用交叉验证等方法来选择合适的多项式次数。
在matlab中，可以使用interp1函数来实现一维插值，使用interp2函数来实现二维插值。
这些函数可以自动选择合适的插值方法，包括线性插值、样条插值、多项式插值等。
总之，高阶多项式插值是一种常用的数值分析方法，它可以通过已知的数据点来构造一个高阶多项式函数，从而对未知的数据点进行预测或者插值。
在matlab中，可以使用polyfit和polyval函数来实现高阶多项式插值，也可以使用interp1和interp2函数来实现其他插值方法。
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多项式拟合与数据插值
第一节 多项式回归
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多项式拟合与数据插值
一、多项式回归模型
对于可控变量
x 和随机变量 y 的 m (m n) 次独立的 x （自变
观测 ( xi , yi ), i 1, 2,, m ， y （响应变量）和 量）之间的多项式回归模型为：
106.9 108.3 … 114 112.2 108.6
104.9
105.3 106.1 … 112.6 112.5 112.2
104.4
104.8 105.7 … 112.4 112.3 112
105.9
106.4 107 … 113.1 113 112.6
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多项式拟合与数据插值
多项式拟合与数据插值
3. 更高次多项式拟合 调用polyfit函数作更高次（大于4次）多项式拟合，并
把多次拟合的残差的模加以对比，评价拟合的好坏。
>> [p5,S5] = polyfit(x,y,5); % 5次多项式拟合 >> S5.normr >> [p6,S6] = polyfit(x,y,6); % 6次多项式拟合
2. 三次样条插值函数
a x0 x1 xn b为区间[a, b]的一个分割
f ( xi ) yi , i 0,1,, n
如果函数S ( x )在区间[a, b]上满足条件 :
(1) S( x)在每个小区间[ xi 1 , xi ]上都是三次多项式
(2) S ( x), S ( x), S ( x)都在区间[a, b]上连续
1. polyfit函数的用法 [p,
系 数 向 量 的 估 计 值
S,
用 于 误 差 估 计 的 结 构 体 变 量
mu] = polyfit(x,
均 值 和 标 准 差 自 变 量 观 测 值 向 量
y,
因 变 量 观 测 值 向 量
n)
多 项 式 阶 数
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1
2 3 … 57 58 59
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2007年1月
2007年2月 2007年3月 … 2011年9月 2011年10月 2011年11月
104.9
105.8 107.7 … 113.5 111.9 108.7
104.4
105.2 107.4 … 113.4 111.8 108.8
105.9
r = - 0.000074268*x^4 + 0.0096077*x^3 - 0.39845*x^2 + 5.5635*x + 94.277
ˆ 0.0001x4 0.0096x3 0.3985x2 5.5635x 94.2769 y
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所用的工具 从物理上讲，样条满足插值点的约束，同时使势能 达到最小 三次样条本质上是一段一段的三次多项式拼合而成
的曲线，在拼接处,不仅函数是连续的,且一阶和二阶导
数也是连续的，1946年,Schoenberg将样条引入数学,即 所谓的样条函数
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多项式拟合与数据插值
则称 S ( x )为区间[a, b]上的三次样条函数
(3) 若三次样条函数S ( x )满足
S ( xi ) yi , i 0,1,, n
则称S ( x )为f ( x )在[a, b]上的三次样条插值函数
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多项式拟合与数据插值
3. 三次样条插值原理 在n个小区间构造S(x)，共有n个三次多项式，需确定4n个参数 在所有节点上 S ( xi ) yi , i 0,1,, n 在除端点外的节点上 n+1个方程
1. 数据的散点图
125
120
食品零售价格分类指数(y)
115
110
105
100
95
20
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 07 007 007 007 007 007 008 008 008 008 008 008 009 009 009 009 009 009 010 010 010 010 010 010 011 011 011 011 011 011 .1 .3 .5 .7 .9 .11 .1 .3 .5 .7 .9 .11 .1 .3 .5 .7 .9 .11 .1 .3 .5 .7 .9 .11 .1 .3 .5 .7 .9 .11
lim S ( x) S ( xi ) yi , i 1,, n 1
x xi x xi
lim S ( x) S ( xi ), i 1,, n 1
lim S ( x) S ( xi ) M i , i 1, , n 1
x xi
插值、最近邻插值、三次样条插值和B样条插值等。
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多项式拟合与数据插值
三、二维插值问题的数学描述
二维插值问题的数学描述为： 已知某二元函数 z = G(x, y)（ 解析表达式可能十分复杂, 也可以是未知的）在平面区域D上N个互异点 (xi, yi) 处的函数 值 zi ， i = 0,1,…,N ，求一个足够光滑、简单便于计算的插 值函数f(x, y)。由插值函数可以计算原函数在平面区域 上任
n n 1 y p x p x pn xi pn1 i , 1 i 2 i i iid 2 ~ N (0, ) , i 1, 2,, m. i
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多项式拟合与数据插值
二、多项式回归的MATLAB实现
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多项式拟合与数据插值
二、一维插值问题的数学描述
１．数学描述 一维插值问题的数学描述为： 已知某一函数 y = g(x)（ g(x)的解析表达式可能十分复杂, 也可以是未知的）在区间[a, b]上n +1个互异点 xj 处的函数值 y j ， j = 0,1,…,n ，还知道g(x)在[a, b]上有若干阶导数，如何 求出g(x)在[a, b]上任一点x的近似值。
多项式拟合与数据插值
2. polyval函数的用法 [y,
因 变 量 估 计 值 向 量
delta] = polyval(p,
误 差 标 准 差 的 估 计 值 向 量 多 项 式 系 数 向 量
x,
用 户 指 定 的 自 变 量 取 值 向 量
S)
用 于 误 差 估 计 的 结 构 体 变 量
多项式拟合与数据插值
多项式回归与数据插值
天 津 科 技 大 学 数 学 系
E-mail: xiezhh@ MATLAB从零到进阶
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多项式拟合与数据插值
主要内容 多项式回归 插值问题的数学描述 一维插值 二维插值 高维插值
三、多项式回归案例
【例20.1-1】现有我国2007年1月至2011年11月的食品零售价格分 类指数数据，如表20.1-1所示。数据来源：中华人民共和国国家
统计局网站月度统计数据。试根据这59组统计数据研究全国食
品零售价格分类指数 y（上年同月 = 100）和时间 x 之间的关系。
序号 统计月度 上年同月 = 100 全国 城市 农村 上年同期 = 100 全国 城市 农村
多项式拟合与数据插值
125 原始散点 4次多项式拟合 6次多项式拟合 8次多项式拟合 9次多项式拟合
120
食品零售100
95
20
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 07 007 007 007 007 007 008 008 008 008 008 008 009 009 009 009 009 009 010 010 010 010 010 010 011 011 011 011 011 011 .1 .3 .5 .7 .9 .11 .1 .3 .5 .7 .9 .11 .1 .3 .5 .7 .9 .11 .1 .3 .5 .7 .9 .11 .1 .3 .5 .7 .9 .11
值。求插值函数f (x)的方法称为插值方法，（1）式称为插值
条件。 代数多项式比较简单，常用多项式作为插值函数。
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多项式拟合与数据插值
3．常用一维插值方法 常用的一维插值方法有：分段线性插值、拉格朗日 （Lagrange）多项式插值、牛顿（Newton）插值、Hermite
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多项式拟合与数据插值
3. poly2sym函数的用法 r = poly2sym(p,
多 项 式 的 符 号 表 达 式 多 项 式 系 数 向 量
v)
自 变 量 符 号 或 取 值
2017/1/1
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多项式拟合与数据插值
意点处的近似值。常用的二维插值方法有：分片线性插值、