不等式的简单变形(改进版)
不等式的常用变形公式
不等式的常用变形公式一、加减法变形公式不等式的加减法变形公式是我们在解不等式问题时经常使用的一种变形方式。
具体表达如下：1. 加法变形公式：对于不等式 a < b，如果两边同时加上相同的数 c，不等式的方向不变，即 a + c < b + c。
例如，对于不等式2x - 3 < 5，我们可以通过加法变形公式将其变形为 2x - 3 + 3 < 5 + 3，得到 2x < 8。
2. 减法变形公式：对于不等式 a < b，如果两边同时减去相同的数 c，不等式的方向不变，即 a - c < b - c。
例如，对于不等式 3x + 4 > 7，我们可以通过减法变形公式将其变形为 3x + 4 - 4 > 7 - 4，得到 3x > 3。
二、乘法变形公式不等式的乘法变形公式是解决不等式问题时常用的另一种变形方式。
具体表达如下：1. 正数乘法变形公式：对于不等式 a < b，如果两边同时乘以一个正数 c（c > 0），不等式的方向不变，即 ac < bc。
例如，对于不等式 2x < 6，我们可以通过正数乘法变形公式将其变形为 2x * 3 < 6 * 3，得到 6x < 18。
2. 负数乘法变形公式：对于不等式 a < b，如果两边同时乘以一个负数 c（c < 0），不等式的方向改变，即 ac > bc。
例如，对于不等式-3x > 9，我们可以通过负数乘法变形公式将其变形为 -3x * (-3) > 9 * (-3)，得到 9x < -27。
三、除法变形公式除法变形公式是不等式中应用较少的一种变形方式，但在特定情况下仍然有一定的应用价值。
具体表达如下：对于不等式 a < b，如果两边同时除以一个正数 c（c > 0），不等式的方向不变，即 a/c < b/c。
例如，对于不等式4x > 12，我们可以通过除法变形公式将其变形为 4x / 4 > 12 / 4，得到 x > 3。
804不等式的简单变形二
【教学过程】：
一、回顾
1、不等式的性质1 .
2、运用“移项”简便地对不等式进行简单变形。
二、试验探究、引入新课
试一试，将不等式7 > 4两边都乘以同一个数，比较所得的数的大小，用“<”或“>”填空。
7×3 4×3
7×2 4×2
7×1 4×1
7×0 4×0
7×（－1）4×（－1）
七、布置作业。教科书第63页习题13.2 1（3）（4），2
教学过程设计
分析备注
第八章一元一次不等式
§8.2.3不等式的简单变形（二）
【教学目标】：
1、使学生会用不等式的性质2、3将不等式进行简单变形。
2、通过不等式的三条性质的学习，使学习感受到数学学习中“转化”的思想。
【重点难点】：
重点：通过不等式的性质，求解不等式的解集。
难点：不等式性质3的应用。
关键：不等式两边乘以（或除以）的数是正数还是负数，确定变形时不等号的方向是否需要改变，要让学生明确一点，那就是当不等式的两边都乘以（或除以）一个相同的负数时，不能简单地模仿解方程“系数化一”，应注意改变不等号的方向。
（2）不等式的两边都除以－2（即乘以－），不等式的方向改变，所以
－2x×（－）>6×（－），
得x>－3。
这里的变形，与方程变形中的“将未知数的系数化为1”相类似，它依据的是不等式的性质2或3，要注意不等式两边乘以（或除以）的数是正数还是负数，确定变形时不等号的方向是否需要改变。
点评：两道例子运了不等式的性质2和不等式性质3，应该注意，当不等式两边都乘以同一个负数时要改变不等号的方向。这是最为容易出现错误的地方。也是和解方不同的地方。
不等式的简单变形
不等式的简单变形一般是指通过对不等式进行移项、通分、去分母等操作，将不等式转化为更简单的形式，以便于进一步求解或证明不等式的性质。
以下是一些常见的不等式变形方法：
- 移项：将不等式中的某一项从一边移到另一边，需要改变该项的符号。
- 通分：将不等式中的分母化为相同的分母，以便于进行加减运算。
- 去分母：将不等式中的分母去掉，需要将不等式两边同时乘以分母的倒数。
- 合并同类项：将不等式中的同类项合并，以便于简化不等式。
- 取倒数：将不等式的两边同时取倒数，需要注意不等式的符号是否需要
改变。
- 平方：将不等式中的某一项平方，需要注意平方后的结果是否大于0。
【教学设计】不等式的简单变形
8.2 不等式的简单变形教学设计学习目标：1．理解不等式的三条基本性质.2．经历不等式性质的探究过程，体会类比方法，感悟分类讨论的数学思想，培养观察概括能力，积累数学活动经验．3．会用不等式的基本性质解简单的不等式，经历和体会解不等式中“转化”的过程和思想．学习重点：探究不等式性质和解简单的不等式．学习难点：不等式的性质3．学习探究：问题1．回顾等式的基本性质：等式的基本性质1文字叙述：等式两边都加上（或都减去），．符号表示：如果，那么．等式的基本性质2文字叙述：等式两边都乘（或都除以），．符号表示：如果，那么．【设计理由】探究不等式的性质，是把它和等式的性质类比，找到切入口．此问题旨在唤醒学生已有的等式的性质，为后面探究做好准备．【使用说明】学生独立思考、查阅、填出所提问题.问题2．将不等式5>2的两边都加上（或都减去）同一个数，比较所得结果的大小，用“>”、“<”、或“=”号填空．5+2 2+2， 5－2 2－2，5+1 2+1， 5－1 2－1，5+(－2) 2+(－2)， 5－(－2) 2－(－2)，5+(－1) 2+(－1)， 5－(－1) 2－(－1)，5+0 2+0， 5－0 2－0，…………观察上面的式子，类比等式的基本性质，你能归纳出不等式具有什么性质吗？不等式的基本性质1文字叙述：不等式两边都加上（或都减去），．符号表示：如果，那么．【设计理由】此问题是本课重点。
设计不等式5>2的两边都加上（或都减去）同一个正数、负数、零，通过学生计算、比较大小、类比、猜想、归纳一系列数学活动，得出不等式性质1，这既可以培养学生合情推理的能力，使之获得一定的数学活动经验，感悟分类讨论的数学思想，又为不等式性质2、3的探究做好铺垫.【使用说明】学生先独立计算、比较大小，独立归纳，展示几个学生的成果，教师给予积极点评，重点引导学生归纳的准确性和简捷性，注重数学符号的表示，明确“不等号的方向不变”的意义.【思考】:如果加上(或都减去)的是同一个整式,上述结论还成立吗?【设计理由】学生对加上(或都减去)的是同一个数理解后，加上(或都减去)的是同一个整式就易于理解，因为整式的值就是数。
基本不等式的六个变形
基本不等式的六个变形第一变形：加减法变形基本不等式中的第一个变形是加减法变形。
当不等式两边都加上（或减去）同一个数时，不等号的方向不会改变。
例如，对于不等式a < b，如果我们将两边都加上c，那么不等式变为a + c < b + c。
同样地，如果我们将两边都减去c，不等式变为a - c < b - c。
这个变形的目的是为了使得不等式的两边更容易进行比较。
第二变形：乘除法变形基本不等式中的第二个变形是乘除法变形。
当不等式两边都乘以（或除以）同一个正数时，不等号的方向不会改变。
例如，对于不等式a < b，如果我们将两边都乘以正数c，那么不等式变为ac < bc。
同样地，如果我们将两边都除以正数c，不等式变为a/c < b/c。
需要注意的是，如果我们将两边都乘以（或除以）同一个负数c，那么不等号的方向会发生改变。
这个变形的目的是为了改变不等式的形式，使得比较更方便。
第三变形：平方变形基本不等式中的第三个变形是平方变形。
当不等式两边都平方时，不等号的方向不会改变。
例如，对于不等式a < b，如果我们将两边都平方，那么不等式变为a^2 < b^2。
平方变形常常用于解决含有平方的不等式，因为平方可以消除绝对值。
需要注意的是，当不等式中含有负数时，平方变形可能会导致不等式的方向发生改变。
这个变形的目的是为了消除平方根，使得比较更简单。
第四变形：倒数变形基本不等式中的第四个变形是倒数变形。
当不等式两边都取倒数时，不等号的方向会发生改变。
例如，对于不等式a < b，如果我们将两边都取倒数，那么不等式变为1/a > 1/b。
倒数变形常常用于解决含有分数的不等式，因为倒数可以改变分数的大小关系。
需要注意的是，当不等式中含有负数时，倒数变形可能会导致不等式的方向发生改变。
这个变形的目的是为了改变不等式的形式，使得比较更方便。
第五变形：倒置变形基本不等式中的第五个变形是倒置变形。
对数均值不等式的变形公式
对数均值不等式的变形公式在咱们学习数学的旅程中，有一个很有意思的东西叫对数均值不等式。
今天咱们就来好好聊聊它的变形公式，这可是个很有用的宝贝哦！先来说说啥是对数均值不等式。
简单来讲，对于两个正实数a 和b，有这个不等式：$\sqrt{ab} < \frac{a - b}{\ln a - \ln b} < \frac{a + b}{2}$ 。
那它的变形公式是啥样的呢？这就像是给这个不等式来了一场魔法变身。
比如说，把$\sqrt{ab} < \frac{a - b}{\ln a - \ln b}$变形一下，就得到$\ln a - \ln b < \frac{a - b}{\sqrt{ab}}$ 。
再比如，把$\frac{a - b}{\ln a -\ln b} < \frac{a + b}{2}$变形，就有$2(a - b) > (a + b)(\ln a - \ln b)$ 。
这些变形公式看着可能有点复杂，但其实用处大着呢！我给您举个例子哈。
有一次我去超市买水果，苹果和香蕉的价格不一样。
苹果一斤a 元，香蕉一斤 b 元。
我就琢磨着，这两种水果的价格差异和它们的销售量之间是不是能用上对数均值不等式的变形公式呢。
假设销售量也和价格有关，经过一番计算和分析，还真就发现了一些有趣的规律。
比如说，如果知道了一段时间内苹果和香蕉的总销售额，还有它们各自的价格，就能通过这些变形公式来大概推测出销售量的范围。
这对于商家调整进货量，或者咱们消费者判断哪种水果更划算，都能提供一些参考。
在数学解题的时候，对数均值不等式的变形公式也是个利器。
比如在一些函数求最值的问题中，通过巧妙地运用这些变形公式，可以让复杂的式子变得简单清晰，很快就能找到解题的突破口。
再比如说，在处理一些与增长率、变化率相关的问题时，这些变形公式能帮助我们更准确地理解和计算数据的变化情况。
总之，对数均值不等式的变形公式就像是数学世界里的一把万能钥匙，能帮我们打开很多难题的大门。
不等式的简单变形
不等式的简单变形教学设计《提纲》
教学目标：
1．联系方程（等式）的基本变形，自主探索不等式的基本性质。
2．使学生会用不等式的基本性质将不等式变形。
3．通过学生的自主探索，培养学生的观察力和归纳的能力，激发学生的表现欲和数学兴趣。
教学重点：理解并掌握不等式的基本性质。
教学难点：正确应用不等式的三条基本性质进行不等式的简单变形.，尤其是不等式的基本性质3。
教学准备：天平、砝码
教学方法：启发式教学
教学过程：
一、创设情境，导入新课
回顾方程（等式）的变形，通过实物演示探究不等式性质1
二、探索归纳
1．鼓励学生自主探索，归纳不等式的3个性质，强调性质3。
不等式的性质1 如果a＞b, 那么a+c＞b+c，a-c＞b-c.
不等式的性质2 如果a＞b，并且c＞0，那么ac＞bc.
不等式的性质3 如果a＞b，并且c＜0，那么ac＜bc.
2．应用练习
已知a＞b＞0，用“＞”或“＜”填空，并说明使不等式成立的依据。
（1）3a_____3b （2）1+a_____1+b （3）-2a_____-2b （4）-a2_____ -ab （5）a-b_____0 三、例题讲解
1．生自学教材46页两个例题，然后教师再简单讲解。
2．拓展应用
由学生板演例题，请别的学生点评。
解不等式：
（1） 5x＜4x+6 （2）-1/3x＜-2 （3）4 x＞-8
四、巩固练习
教材47页1～4题
五、小结
1．不等式的3个性质
2．学生比较等式的基本变形与不等式性质的区别
六、作业
教材49页习题8．2第1题。
不等式的简单变形
不等式的简单变形一.教学目标：1.知识与技能联系方程的基本变形，通过直观的实验与归纳，自主探索得到不等式的基本性质。
2.过程与方法在不等式的变形中探索求不等式的解集方法。
3.情感、态度与价值观体会求不等式的解与方程的解的联系与区别，重视数学学习中类比于转化思想的运用。
二.重点与难点1.重点：理解并掌握不等式的性质。
2.难点：正确运用不等式的性质进行不等式的简单变形，特别是性质3的运用。
三.教学过程〈一〉创设情境，导入新课在解一元一次方程式，我们主要是对方程进行变形，那么方程有哪些简单变形呢？在研究不等式时，我们应先探究不等式的变形规律。
今天，我们就来研究“不等式的简单变形”。
展示实物天平和砝码，演示教材第44页实验。
学生思考：左、右天平中砝码重量间的数量关系。
根据上面实验我们知道不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
可以得到：不等式的性质1：如果a>b ,那么a+c>b+c,a-c>b-c那么不等式的两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，不等号的方向是否也不变呢？〈二〉探究新知将不等式7>4的两边都乘以同一个数，比较所得结果的大小，用“>”,“<”或“=”填空。
7×3 4×3 7×2 4×2 7×1 4×17×（-1） 4×（-1） 7×（-2） 4×（-2）7×（-3） 4×（-3）7×0 4×0……从中我们能发现什么？（小组讨论，将讨论结果展示黑板）不等式的性质2：如果a>b，并且c>0，那么ac>bc.不等式的性质3：如果a>b，并且c<0，那么ac<bc.也就是说，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变;不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
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不等式的两边加上(或减 方程的两边加上(或减 去)同一个数或同一个整 去)同一个数或同一个 式，不等号的方向不变 整式，方程仍成立.
不等式的两边乘以 (或除以)同一个正数 不等号的方向不变.
方程的两边乘以 (或除以)同一个正 数，方程仍成立.
不等式的两边乘以 (或除以)同一个负数 不等号的方向改变.
2、不等式两边都乘以(或除以)同一个正数， 不等号的方向不变.
3、不等式两边都乘以(或除以)同一个负数， 不等号的方向改变.
注意
不等式基本性质与 方程基本性质的区别.
补充习题
1
1、若不等式mx＞1的解集是x＞
则m的取值是
.
2、若不等式mx＞1的解集是x＜
m 1
， ，
则m的取值是m
3、若ac2≤bc2,则a b;若a|c|＞b|c|, 则a b.
让我们先做个实验吧！
b
bc
a
ac
如图所示：一个倾斜的天平两边分别放有重
物，其质量分别为a和b（显然a>b），如果
在两边盘内分别加上等量的砝码c，那么盘子
仍然像原来那样倾斜. 这一过程用不等式可表示为：
a＞b
a+c＞b+c
思考：不等式两边都加上(或减去)同一个 数或同一个整式，不等号方向如何变化?
学习目标
1.理解并掌握不等式的三条基本性质； 2.学会用不等式的基本性质将不等式变形. • 请同学们带着问题用自己喜欢的方式读
课本，用圈点批注的方法在课本上标记 出以上问题的答案。
• 自学时间为5分钟。
• 将你的自学效果放在小组内统一一下.
• 将你在自学过程中不能独立解决的问题 放在小组内讨论交流一下。
得x＞－3
例2：
解 不 等 式(：1)
1
x ＞－3
(2) -2x≤6
2
解 ：(1)不等式的两边都乘以2，不等号的 方向不变，所以
1 x 2 ＞(-3)×2
2
即x＞-6 解 ：(2)不等式的两边都除以-2，不等号的
方向要变，所以
-2x÷ (-2)≥6÷ (-
2即) x≤-3
不等式与方程的性质比较
引入新课
问题： 在解一元一次方程时，我们主要是对方程 进行变形。那么方程变形的依据是什么？
方程的同解变形原理： 1、两边都加上或减去同一个数
或整式，方程的.
2、两边都乘以或除以同一个不为 0的数或整式，方程的.
思考：
如何解不等式呢？ 不等式变形的依据又是什么呢？
8.2.1不等式的简单变形
“学而不疑则怠，疑而不探则空。” “独学而无友，则孤陋而寡闻。”
变式练习：若 a > b，显然b＜a.用不等 号填空：
①b-2 ＜a-2 ②a-b > 0
练习：2、已知 x > 2，用不等号填空：
①x+3 > 2+3 ②x-3 > 2-3
③ 2x > 2 + x
④0 > 2-x
试一试：
将不等式7>4两边都乘以同一个数，比较所得 的数的大小，用“<”或“>”填空：
a c
b ＞c
不正确，c≤0时不成立.
(2)ac 2＞ bc 2 不正确，c=0时不成立.
(3)a (c 2 1)＞b (c 2 1)
正确，无论c为任意数，c2+1恒为正数.
(4)a(c-1)2＞b(c-1)2
不正确，c=1时不成立.
不等式的三个基本性质：
1、不等式的两边都加上(或减去)同一个数 或同一个整式，不等号的方向不变.
7×3___>____4×3， 7×2____>___4×2， 7×1___>____4×1， 7×0___=____4×0， 7×（－1）___＜____4×（－1）， 7×（－2）___＜____4×（－2）， 7×（－3）___＜____4×（－3）.
从中你发现了什么？
不等式两边都乘以(或除以)同一个正数， 不等号的方向不变；不等式两边都乘以 (或除以)同一个负数，不等号的方向改变.
不等式的基本性质2： 若a>b ， 并且c>0，则 ac>bc ，a/c>b/c. 若a<b ， 并且c>0，则 ac<bc ，a/c<b/c.
不等式的基本性质3： 若a>b ， 并且c<0，则 ac<bc ，a/c<b/c. 若a<b ， 并且c<0，则 ac>bc ，a/c>b/c.
练习：1、已知 a > b，用不等号填空：
不等式的两边都加上（或减去）同一个数 或同一个整式，不等号的方向不变。
不等式的基本性质1：
若a>b ， 则 a+c>b+c ； a-c>b-c
其中 c 可以是一个数也可以是一个整式.
练习：1、已知 a > b，用不等号填空：
①a+2 > b+2 ②a-3 > b-3
③ 2a > a+ b
④ a +b > 2b
方程的两边乘以 (或除以)同一个负 数，方程仍成立.
拓展运用
1、已知不等式 (m-1)x > m-1 的解集为 x < 1 ，求m的范围。
解：∵不等式 (m-1)x > m-1 的解集为x < 1 ，
∴m-1< 0 ∴m < 1
开动脑筋哦
2、已知a＞b，判断下列不等式变形是
否正确，并说明理由。
(1)
4、已知 a ＞ b ,若c＞0,则a b； cc
若c＜0,则a b.
5、已知a＜0，-1＜b＜0，试比较a，ab， ab2之间的大小关系。
与解方程一样，解不等式的过程， 就是要将不等式变形成x>a或x<a 的形式。
例1： 解不等式：（1）x－7<8
（2）3x＞2x－3
解 ：(1)不等式的两边都加上7，不等号的 方向不变，所以
x－7＋7<8＋7，
得x<15
解 ：(2)不等式的两边都减去2x，不等号的 方向不变，所以
3x－2x＞2x－3－2x
① 2a > 2b
②
1a
3
1
>3
b
③ 2a+3 > 2b+3 ④ 0.5a-2 > 0.5b-2
⑤-2a ＜ -2b
⑥ 1 a＜ 1 b
3
3
⑦ -2a+3＜-2b+3 ⑧ -0.5a-2 ＜-0.5b-2
练习：2、已知
① -x ＜ -2
x②> 2 ，1 x用＜不等-1号填空：
2
③ -2x -1 ＜ -5 ④-0.5x+3 ＜ 2