2013高考文科数学试卷(新课标全国2卷)
23.（选修4-4极坐标与参数方程）已知动点都在曲线（为参数）对应参 数分别为与（为参数），为中点。 （1）求的轨迹的参数方程； （2）将到坐标原点的距离表示为的函数，并判断的轨迹是否过坐标原 点。
24.（选修4-5不等式选讲）设均为正数，且，证明：
（1）；
（2）
第Ⅰ卷
1． 选择题 1. 已知集合，，则
2.
3.设满足约束条件，则的最小值是
4.的内角的对边分别为,已知，，则的面积为
5.设椭圆的左、右焦点分别为，是上的一点，，，则的离心率为
6.已知，则=
7.执行如图所示的程序框图，如果输入的，那么输出的
8.设，，，则
9. 一个四面的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，，，，画该四 面体的正视图时，以平面为投影面，则得正视图可以为
绝密★启用并使用完毕前
2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ 卷)
文科数学（适用地区：青海、西藏、甘肃、贵州、 吉林、宁夏、内蒙古、黑龙江、新疆、云南、海
南）
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。共4页，满分150分。考试用时150分 钟.考试结束后，将本卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1. 答题前，考试务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、座号、 考生号、县区和科类在答题卡和试卷规定的位置上。 2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂 黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在 试卷上。 3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，答案必须写在答题卡各 题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来 的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不 按以上要求作答的答案无效。 4. 填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明\证明过程或演算步骤. 参考公式:如果事件A，B互斥，那么P（A+B）=P(A)+P(B)；如果事件 A，B独立，那么P（AB）=P(A)*P(B)
20. 在平面直角坐标系中，已知圆在轴上截得线段长为，在轴上截得线 段长为。 （1）求圆心的的轨迹方程； （2）若点到直线的距离为，求圆的方程。
21.已知函数 （1）求函数的极大值和极小值； （2）当曲线的切线的斜率为负数时，求在轴上截距的取值范围。
22.（选修4-1几何证明选讲）如图，为外接圆切线，的延长线交直线于 点，分别为弦与弦上的点，且，四点共圆。 （1）证明：是外接圆的直径； （2）若,求过四点的圆的面积与外接圆面积的比值。
A
1
B
1
C
1
A B C
D E
19. 经销商经销某种农产品，在一个销售季内，每售出该产品获利，未 销售出的产品，每吨亏损元。根据历史资料，得到销售季度内市场需求 量的频率分布直方图，如右图所示，经销商为下一个销售季度购进了该 农产品。以（单位：，）表示上一个销售季度内的市场需求量，（单 位：元）表示下一个销售季内经销该产品的利润。 （1）将表示为的函数。 （2）根据直方图估计不少于元的概率。
。 。
15.已知正四棱锥的体积为，底面边长为，则以为球心，为半径的球的
表面积为
。
16.函数（）的图像向右平移个单位后，与函数图像重合，则
。
三．解答题
17.已知等差数列的公差不为零，，且，，成等比数列。 （1）求的通项公式； （2）求
18. 如图，直三棱柱中，分别的中点。 （1）证明：∥平面； （2）设,,求三棱锥的体积。
10.设抛物线的焦点为，直线过且与交于两点，若,在的方程为
或
或
或
或
11. 已知函数，下列结论错误的是
，
函数的图像是中心对称图形
若是的极小值点，则在区间单调递减
若是的极值点，则
12.若存在正数使成立，则的取值范围是
第Ⅱ卷
二、填空题
13.从任取两个不同的数
2013年全国高考文科数学试题及答案-新课标2
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前考生将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框。
写在本试卷上无效。
3．答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
（1）已知集合M=｛x|-3<X<1｝，N=｛-3，-2，-1，0，1｝，则M∩N= ( C )（A）｛-2，-1，0,1｝（B）｛-3，-2，-1，0｝（C）{-2，-1，0} （D）{-3，-2，-1 }（2）|错误！未找到引用源。
|=( C )（A）2错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
（B）2 （C）错误！未找到引用源。
（D）1（3）设x，y满足约束条件错误！未找到引用源。
，则z=2x-3y的最小值是( B )（A）错误！未找到引用源。
（B）-6 （C）错误！未找到引用源。
（D）-3（4）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2，B=错误！未找到引用源。
，C=错误！未找到引用源。
，则△ABC的面积为( B )（A）+2 （B（C）2（D）错误！未找到引用源。
－1（5）设椭圆C：错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30o，则C的离心率为( D )（A）错误！未找到引用源。
（B）错误！未找到引用源。
（C）错误！未找到引用源。
（D）错误！未找到引用源。
（6）已知sin2α=错误！未找到引用源。
，则cos2（α+错误！未找到引用源。
）= ( A )（A）错误！未找到引用源。
（B）错误！未找到引用源。
2013年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅱ)
2013年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（5分）已知集合M={x|﹣3＜x＜1，x∈R}，N={﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，则M∩N=（）A．{﹣2，﹣1，0，1}B．{﹣3，﹣2，﹣1，0}C．{﹣2，﹣1，0}D．{﹣3，﹣2，﹣1}2．（5分）=（）A．2 B．2 C．D．13．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣3y的最小值是（）A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣34．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2，B=，C=，则△ABC的面积为（）A．2+2 B．C．2﹣2 D．﹣15．（5分）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C 上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．6．（5分）已知sin2α=，则cos2（α+）=（）A．B．C．D．7．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的N=4，那么输出的S=（）A．1+++B．1+++C．1++++D．1++++8．（5分）设a=log32，b=log52，c=log23，则（）A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a9．（5分）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（）A．B．C．D．10．（5分）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|=3|BF|，则l的方程为（）A．y=x﹣1或y=﹣x+1 B．y=（x﹣1）或y=﹣（x﹣1）C．y=（x﹣1）或y=﹣（x﹣1）D．y=（x﹣1）或y=﹣（x﹣1）11．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）A．∃x0∈R，f（x0）=0B．函数y=f（x）的图象是中心对称图形C．若x0是f（x）的极小值点，则f（x ）在区间（﹣∞，x0）上单调递减D．若x0是f（x）的极值点，则f′（x0）=012．（5分）若存在正数x使2x（x﹣a）＜1成立，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣2，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分．13．（4分）从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是．14．（4分）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则•=．15．（4分）已知正四棱锥O﹣ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为．16．（4分）函数y=cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移个单位后，与函数y=sin（2x+）的图象重合，则φ=．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知等差数列{a n}的公差不为零，a1=25，且a1，a11，a13成等比数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求a1+a4+a7+…+a3n．﹣218．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）AA1=AC=CB=2，AB=，求三棱锥C﹣A1DE的体积．19．（12分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以X（单位：t，100≤X≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．（Ⅰ）将T表示为X的函数；（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2．（Ⅰ）求圆心P的轨迹方程；（Ⅱ）若P点到直线y=x的距离为，求圆P的方程．21．（12分）已知函数f（x）=x2e﹣x（Ⅰ）求f（x）的极小值和极大值；（Ⅱ）当曲线y=f（x）的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围．选做题．请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，作答时请写清题号．22．【选修4﹣1几何证明选讲】如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC•AE=DC•AF，B、E、F、C四点共圆．（1）证明：CA是△ABC外接圆的直径；（2）若DB=BE=EA，求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．23．已知动点P、Q都在曲线（β为参数）上，对应参数分别为β=α与β=2α（0＜α＜2π），M为PQ的中点．（1）求M的轨迹的参数方程；（2）将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．24．（14分）【选修4﹣﹣5；不等式选讲】设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：（Ⅰ）（Ⅱ）．2013年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（5分）已知集合M={x|﹣3＜x＜1，x∈R}，N={﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，则M∩N=（）A．{﹣2，﹣1，0，1}B．{﹣3，﹣2，﹣1，0}C．{﹣2，﹣1，0}D．{﹣3，﹣2，﹣1}【分析】找出集合M与N的公共元素，即可求出两集合的交集．【解答】解：∵集合M={x|﹣3＜x＜1，x∈R}，N={﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，∴M∩N={﹣2，﹣1，0}．故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）=（）A．2 B．2 C．D．1【分析】通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果．【解答】解：===．故选：C．【点评】本题考查复数的模的求法，考查计算能力．3．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣3y的最小值是（）A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣3【分析】先画出满足约束条件：，的平面区域，求出平面区域的各角点，然后将角点坐标代入目标函数，比较后，即可得到目标函数z=2x﹣3y的最小值．【解答】解：根据题意，画出可行域与目标函数线如下图所示，由得，由图可知目标函数在点A（3，4）取最小值z=2×3﹣3×4=﹣6．故选：B．【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．4．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2，B=，C=，则△ABC的面积为（）A．2+2 B．C．2﹣2 D．﹣1【分析】由sinB，sinC及b的值，利用正弦定理求出c的值，再求出A的度数，由b，c及sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：∵b=2，B=，C=，∴由正弦定理=得：c===2，A=，∴sinA=sin（+）=cos=，=bcsinA=×2×2×=+1．则S△ABC故选：B．【点评】此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．5．（5分）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C 上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】设|PF2|=x，在直角三角形PF1F2中，依题意可求得|PF1|与|F1F2|，利用椭圆离心率的性质即可求得答案．【解答】解：|PF2|=x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，∴|PF1|=2x，|F1F2|=x，又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c∴2a=3x，2c=x，∴C的离心率为：e==．故选：D．【点评】本题考查椭圆的简单性质，求得|PF1|与|PF2|及|F1F2|是关键，考查理解与应用能力，属于中档题．6．（5分）已知sin2α=，则cos2（α+）=（）A．B．C．D．【分析】所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用诱导公式变形，将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：∵sin2α=，∴cos2（α+）=[1+cos（2α+）]=（1﹣sin2α）=×（1﹣）=．故选：A．【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键．7．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的N=4，那么输出的S=（）A．1+++B．1+++C．1++++D．1++++【分析】由程序中的变量、各语句的作用，结合流程图所给的顺序可知当条件满足时，用S+的值代替S得到新的S，并用k+1代替k，直到条件不能满足时输出最后算出的S值，由此即可得到本题答案．【解答】解：根据题意，可知该按以下步骤运行第一次：S=1，第二次：S=1+，第三次：S=1++，第四次：S=1+++．此时k=5时，符合k＞N=4，输出S的值．∴S=1+++故选：B．【点评】本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，以及表格法的运用，属于基础题．8．（5分）设a=log32，b=log52，c=log23，则（）A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a【分析】判断对数值的范围，然后利用换底公式比较对数式的大小即可．【解答】解：由题意可知：a=log32∈（0，1），b=log52∈（0，1），c=log23＞1，所以a=log32，b=log52=，所以c＞a＞b，故选：C．【点评】本题考查对数值的大小比较，换底公式的应用，基本知识的考查．9．（5分）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（）A．B．C．D．【分析】由题意画出几何体的直观图，然后判断以zOx平面为投影面，则得到正视图即可．【解答】解：因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），几何体的直观图如图，是正方体的顶点为顶点的一个正四面体，所以以zOx平面为投影面，则得到正视图为：故选：A．【点评】本题考查几何体的三视图的判断，根据题意画出几何体的直观图是解题的关键，考查空间想象能力．10．（5分）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|=3|BF|，则l的方程为（）A．y=x﹣1或y=﹣x+1 B．y=（x﹣1）或y=﹣（x﹣1）C．y=（x﹣1）或y=﹣（x﹣1）D．y=（x﹣1）或y=﹣（x﹣1）【分析】根据题意，可得抛物线焦点为F（1，0），由此设直线l方程为y=k（x ﹣1），与抛物线方程联解消去x，得﹣y﹣k=0．再设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系和|AF|=3|BF|，建立关于y1、y2和k的方程组，解之可得k值，从而得到直线l的方程．【解答】解：∵抛物线C方程为y2=4x，可得它的焦点为F（1，0），∴设直线l方程为y=k（x﹣1）由消去x，得﹣y﹣k=0设A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1+y2=，y1y2=﹣4…（*）∵|AF|=3|BF|，∴y1+3y2=0，可得y1=﹣3y2，代入（*）得﹣2y2=且﹣3y22=﹣4，消去y2得k2=3，解之得k=∴直线l方程为y=（x﹣1）或y=﹣（x﹣1）故选：C．【点评】本题给出抛物线的焦点弦AB被焦点F分成1：3的两部分，求直线AB 的方程，着重考查了抛物线的标准方程、简单几何性质和直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题．11．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）A．∃x0∈R，f（x0）=0B．函数y=f（x）的图象是中心对称图形C．若x0是f（x）的极小值点，则f（x ）在区间（﹣∞，x0）上单调递减D．若x0是f（x）的极值点，则f′（x0）=0【分析】对于A，对于三次函数f（x ）=x3+ax2+bx+c，由于当x→﹣∞时，y→﹣∞，当x→+∞时，y→+∞，故在区间（﹣∞，+∞）肯定存在零点；对于B，根据对称变换法则，求出对应中心坐标，可以判断；对于C：采用取特殊函数的方法，若取a=﹣1，b=﹣1，c=0，则f（x）=x3﹣x2﹣x，利用导数研究其极值和单调性进行判断；D：若x0是f（x）的极值点，根据导数的意义，则f′（x0）=0，正确．【解答】解：A、对于三次函数f （x ）=x3+ax2+bx+c，A：由于当x→﹣∞时，y→﹣∞，当x→+∞时，y→+∞，故∃x0∈R，f（x0）=0，故A正确；B、∵f（﹣﹣x）+f（x）=（﹣﹣x）3+a（﹣﹣x）2+b（﹣﹣x）+c+x3+ax2+bx+c=﹣+2c，f（﹣）=（﹣）3+a（﹣）2+b（﹣）+c=﹣+c，∵f（﹣﹣x）+f（x）=2f（﹣），∴点P（﹣，f（﹣））为对称中心，故B正确．C、若取a=﹣1，b=﹣1，c=0，则f（x）=x3﹣x2﹣x，对于f（x）=x3﹣x2﹣x，∵f′（x）=3x2﹣2x﹣1∴由f′（x）=3x2﹣2x﹣1＞0得x∈（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）由f′（x）=3x2﹣2x﹣1＜0得x∈（﹣，1）∴函数f（x）的单调增区间为：（﹣∞，﹣），（1，+∞），减区间为：（﹣，1），故1是f（x）的极小值点，但f（x ）在区间（﹣∞，1）不是单调递减，故C 错误；D：若x0是f（x）的极值点，根据导数的意义，则f′（x0）=0，故D正确．由于该题选择错误的，故选：C．【点评】本题考查了导数在求函数极值中的应用，利用导数求函数的单调区间，及导数的运算．12．（5分）若存在正数x使2x（x﹣a）＜1成立，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣2，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣1，+∞）【分析】转化不等式为，利用x是正数，通过函数的单调性，求出a的范围即可．【解答】解：因为2x（x﹣a）＜1，所以，函数y=是增函数，x＞0，所以y＞﹣1，即a＞﹣1，所以a的取值范围是（﹣1，+∞）．故选：D．【点评】本题考查不等式的解法，函数单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分．13．（4分）从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是0.2．【分析】由题意结合组合数公式可得总的基本事件数，再找出和为5的情形，由古典概型的概率公式可得答案．【解答】解：从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数共有=10种情况，和为5的有（1，4）（2，3）两种情况，故所求的概率为：=0.2故答案为：0.2【点评】本题考查古典概型及其概率公式，属基础题．14．（4分）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则•=2．【分析】根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可得要求的式子为（）•（），再根据两个向量垂直的性质，运算求得结果．【解答】解：∵已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=0，故=（）•（）=（）•（）=﹣+﹣=4+0﹣0﹣=2，故答案为2．【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量垂直的性质，属于中档题．15．（4分）已知正四棱锥O﹣ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为24π．【分析】先直接利用锥体的体积公式即可求得正四棱锥O﹣ABCD的高，再利用直角三角形求出正四棱锥O﹣ABCD的侧棱长OA，最后根据球的表面积公式计算即得．【解答】解：如图，正四棱锥O﹣ABCD的体积V=sh=（×）×OH=，∴OH=，在直角三角形OAH中，OA===所以表面积为4πr2=24π；故答案为：24π．【点评】本题考查锥体的体积、球的表面积计算，考查学生的运算能力，属基础题．16．（4分）函数y=cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移个单位后，与函数y=sin（2x+）的图象重合，则φ=．【分析】根据函数图象平移的公式，可得平移后的图象为y=cos[2（x﹣）+φ]的图象，即y=cos（2x+φ﹣π）的图象．结合题意得函数y=sin（2x+）=的图象与y=cos（2x+φ﹣π）图象重合，由此结合三角函数的诱导公式即可算出φ的值．【解答】解：函数y=cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移个单位后，得平移后的图象的函数解析式为y=cos[2（x﹣）+φ]=cos（2x+φ﹣π），而函数y=sin（2x+）=，由函数y=cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移个单位后，与函数y=sin （2x+）的图象重合，得2x+φ﹣π=，解得：φ=．符合﹣π≤φ＜π．故答案为．【点评】本题给出函数y=cos（2x+φ）的图象平移，求参数φ的值．着重考查了函数图象平移的公式、三角函数的诱导公式和函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换等知识，属于基础题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知等差数列{a n}的公差不为零，a1=25，且a1，a11，a13成等比数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求a1+a4+a7+…+a3n．﹣2【分析】（I）设等差数列{a n}的公差为d≠0，利用成等比数列的定义可得，，再利用等差数列的通项公式可得，化为d （2a1+25d）=0，解出d即可得到通项公式a n；=﹣2（3n﹣2）+27=﹣6n+31，可知此数列是以25为首项，（II）由（I）可得a3n﹣2﹣6为公差的等差数列．利用等差数列的前n项和公式即可得出a1+a4+a7+…+a3n．﹣2【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d≠0，由题意a1，a11，a13成等比数列，∴，∴，化为d（2a1+25d）=0，∵d≠0，∴2×25+25d=0，解得d=﹣2．∴a n=25+（n﹣1）×（﹣2）=﹣2n+27．（II）由（I）可得a3n=﹣2（3n﹣2）+27=﹣6n+31，可知此数列是以25为首项，﹣2﹣6为公差的等差数列．∴S n=a1+a4+a7+…+a3n﹣2===﹣3n2+28n．【点评】熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式是解题的关键．18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）AA1=AC=CB=2，AB=，求三棱锥C﹣A1DE的体积．【分析】（Ⅰ）连接AC1交A1C于点F，则DF为三角形ABC1的中位线，故DF∥BC1．再根据直线和平面平行的判定定理证得BC1∥平面A1CD．（Ⅱ）由题意可得此直三棱柱的底面ABC为等腰直角三角形，由D为AB的中点可得CD⊥平面ABB1A1．求得CD的值，利用勾股定理求得A 1D、DE和A1E的值，可得A1D⊥DE．进而求得的值，再根据三棱锥C﹣A1DE的体积为••CD，运算求得结果．【解答】解：（Ⅰ）证明：连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点．∵直棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，故DF为三角形ABC1的中位线，故DF∥BC1．由于DF⊂平面A1CD，而BC1不在平面A1CD中，故有BC1∥平面A1CD．（Ⅱ）∵AA1=AC=CB=2，AB=2，故此直三棱柱的底面ABC为等腰直角三角形．由D为AB的中点可得CD⊥平面ABB1A1 ，∴CD==．∵A1D==，同理，利用勾股定理求得DE=，A1E=3．再由勾股定理可得+DE2=，∴A1D⊥DE．∴==，∴=••CD=1．【点评】本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，求三棱锥的体积，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．19．（12分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以X（单位：t，100≤X≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．（Ⅰ）将T表示为X的函数；（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率．【分析】（I）由题意先分段写出，当X∈[100，130）时，当X∈[130，150）时，和利润值，最后利用分段函数的形式进行综合即可．（II）由（I）知，利润T不少于57000元，当且仅当120≤X≤150．再由直方图知需求量X∈[120，150]的频率为0.7，利用样本估计总体的方法得出下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值．【解答】解：（I）由题意得，当X∈[100，130）时，T=500X﹣300（130﹣X）=800X ﹣39000，当X∈[130，150]时，T=500×130=65000，∴T=．（II）由（I）知，利润T不少于57000元，当且仅当120≤X≤150．由直方图知需求量X∈[120，150]的频率为0.7，所以下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7．【点评】本题考查用样本的频率分布估计总体分布及识图的能力，求解的重点是对题设条件及直方图的理解，了解直方图中每个小矩形的面积的意义．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2．（Ⅰ）求圆心P的轨迹方程；（Ⅱ）若P点到直线y=x的距离为，求圆P的方程．【分析】（Ⅰ）由题意，可直接在弦心距、弦的一半及半径三者组成的直角三角形中利用勾股定理建立关于点P的横纵坐标的方程，整理即可得到所求的轨迹方程；（Ⅱ）由题，可先由点到直线的距离公式建立关于点P的横纵坐标的方程，将此方程与（I）所求的轨迹方程联立，解出点P的坐标，进而解出圆的半径即可写出圆P的方程．【解答】解：（Ⅰ）设圆心P（x，y），由题意得圆心到x轴的距离与半径之间的关系为2=﹣y2+r2，同理圆心到y轴的距离与半径之间的关系为3=﹣x2+r2，由两式整理得x2+3=y2+2，整理得y2﹣x2=1即为圆心P的轨迹方程，此轨迹是等轴双曲线（Ⅱ）由P点到直线y=x的距离为得，=，即|x﹣y|=1，即x=y+1或y=x+1，分别代入y2﹣x2=1解得P（0，﹣1）或P（0，1）若P（0，﹣1），此时点P在y轴上，故半径为，所以圆P的方程为（y+1）2+x2=3；若P（0，1），此时点P在y轴上，故半径为，所以圆P的方程为（y﹣1）2+x2=3；综上，圆P的方程为（y+1）2+x2=3或（y﹣1）2+x2=3【点评】本题考查求轨迹方程的方法解析法及点的直线的距离公式、圆的标准方程与圆的性质，解题的关键是理解圆的几何特征，将几何特征转化为方程21．（12分）已知函数f（x）=x2e﹣x（Ⅰ）求f（x）的极小值和极大值；（Ⅱ）当曲线y=f（x）的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围．【分析】（Ⅰ）利用导数的运算法则即可得出f′（x），利用导数与函数单调性的关系及函数的极值点的定义，即可求出函数的极值；（Ⅱ）利用导数的几何意义即可得到切线的斜率，得出切线的方程，利用方程求出与x轴交点的横坐标，再利用导数研究函数的单调性、极值、最值即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=x2e﹣x，∴f′（x）=2xe﹣x﹣x2e﹣x=e﹣x（2x﹣x2），令f′（x）=0，解得x=0或x=2，令f′（x）＞0，可解得0＜x＜2；令f′（x）＜0，可解得x＜0或x＞2，故函数在区间（﹣∞，0）与（2，+∞）上是减函数，在区间（0，2）上是增函数．∴x=0是极小值点，x=2极大值点，又f（0）=0，f（2）=．故f（x）的极小值和极大值分别为0，．（Ⅱ）设切点为（），则切线方程为y﹣=（x﹣x0），令y=0，解得x==，∵曲线y=f（x）的切线l的斜率为负数，∴（＜0，∴x0＜0或x0＞2，令，则=．①当x0＜0时，0，即f′（x0）＞0，∴f（x0）在（﹣∞，0）上单调递增，∴f（x0）＜f（0）=0；②当x 0＞2时，令f′（x0）=0，解得．当时，f′（x 0）＞0，函数f（x0）单调递增；当时，f′（x0）＜0，函数f（x0）单调递减．故当时，函数f（x 0）取得极小值，也即最小值，且=．综上可知：切线l在x轴上截距的取值范围是（﹣∞，0）∪．【点评】本题考查利用导数求函数的极值与利用导数研究函数的单调性、切线、函数的值域，综合性强，考查了推理能力和计算能力．选做题．请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，作答时请写清题号．22．【选修4﹣1几何证明选讲】如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC•AE=DC•AF，B、E、F、C四点共圆．（1）证明：CA是△ABC外接圆的直径；（2）若DB=BE=EA，求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．【分析】（1）已知CD为△ABC外接圆的切线，利用弦切角定理可得∠DCB=∠A，及BC•AE=DC•AF，可知△CDB∽△AEF，于是∠CBD=∠AFE．利用B、E、F、C四点共圆，可得∠CFE=∠DBC，进而得到∠CFE=∠AFE=90°即可证明CA是△ABC外接圆的直径；（2）要求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．只需求出其外接圆的直径的平方之比即可．由过B、E、F、C四点的圆的直径为CE，及DB=BE，可得CE=DC，利用切割线定理可得DC2=DB•DA，CA2=CB2+BA2，都用DB 表示即可．【解答】（1）证明：∵CD为△ABC外接圆的切线，∴∠DCB=∠A，∵BC•AE=DC•AF，∴．∴△CDB∽△AEF，∴∠CBD=∠AFE．∵B、E、F、C四点共圆，∴∠CFE=∠DBC，∴∠CFE=∠AFE=90°．∴∠CBA=90°，∴CA是△ABC外接圆的直径；（2）连接CE，∵∠CBE=90°，∴过B、E、F、C四点的圆的直径为CE，由DB=BE，得CE=DC，又BC2=DB•BA=2DB2，∴CA2=4DB2+BC2=6DB2．而DC2=DB•DA=3DB2，故过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC面积的外接圆的面积比值==．【点评】熟练掌握弦切角定理、相似三角形的判定与性质、四点共圆的性质、直径的判定、切割线定理、勾股定理等腰三角形的性质是解题的关键．23．已知动点P、Q都在曲线（β为参数）上，对应参数分别为β=α与β=2α（0＜α＜2π），M为PQ的中点．（1）求M的轨迹的参数方程；（2）将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．【分析】（1）利用参数方程与中点坐标公式即可得出；（2）利用两点之间的距离公式、三角函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）依题意有P（2cosα，2sinα），Q（2cos2α，2sin2α），因此M（cosα+cos2α，sinα+sin2α）．M的轨迹的参数方程为为参数，0＜α＜2π）．（2）M点到坐标原点的距离d=（0＜α＜2π）．当α=π时，d=0，故M的轨迹过坐标原点．【点评】本题考查了参数方程与中点坐标公式、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．24．（14分）【选修4﹣﹣5；不等式选讲】设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：（Ⅰ）（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）依题意，由a+b+c=1⇒（a+b+c）2=1⇒a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1，利用基本不等式可得3（ab+bc+ca）≤1，从而得证；（Ⅱ）利用基本不等式可证得：+b≥2a，+c≥2b，+a≥2c，三式累加即可证得结论．【解答】证明：（Ⅰ）由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca得：a2+b2+c2≥ab+bc+ca，由题设得（a+b+c）2=1，即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1，所以3（ab+bc+ca）≤1，即ab+bc+ca≤．（Ⅱ）因为+b≥2a，+c≥2b，+a≥2c，故+++（a+b+c）≥2（a+b+c），即++≥a+b+c．所以++≥1．【点评】本题考查不等式的证明，突出考查基本不等式与综合法的应用，考查推理论证能力，属于中档题．。
2013年全国统一高考新课标版Ⅱ卷全国2卷文科数学试卷及参考答案与解析
2013年全国统一高考新课标版Ⅱ卷全国2卷文科数学试卷及参考答案与解析一、选择题：本大题共12小题.每小题5分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.1.(5分)已知集合M＝{x|－3＜x＜1,x∈R},N＝{－3,－2,－1,0,1},则M∩N＝( )A.{－2,－1,0,1}B.{－3,－2,－1,0}C.{－2,－1,0}D.{－3,－2,－1}2.(5分)＝( )A.2B.2C.D.13.(5分)设x,y满足约束条件,则z＝2x－3y的最小值是( )A.－7B.－6C.－5D.－34.(5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b＝2,B＝,C＝,则△ABC的面积为( )A.2＋2B.C.2－2D.－15.(5分)设椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2,P是C上的点PF2⊥F1F2,∠PF1F2＝30°,则C的离心率为( )A. B. C. D.6.(5分)已知sin2α＝,则cos2(α＋)＝( )A. B. C. D.7.(5分)执行如图的程序框图,如果输入的N＝4,那么输出的S＝( )A.1＋＋＋B.1＋＋＋C.1＋＋＋＋D.1＋＋＋＋8.(5分)设a＝log32,b＝log52,c＝log23,则( )A.a＞c＞bB.b＞c＞aC.c＞a＞bD.c＞b＞a9.(5分)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到正视图可以为( )A. B. C. D.10.(5分)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|＝3|BF|,则l的方程为( )A.y＝x－1或y＝－x＋1B.y＝(x－1)或 y＝－(x－1)C.y＝(x－1)或 y＝－(x－1)D.y＝(x－1)或 y＝－(x－1)11.(5分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c,下列结论中错误的是( )A.∃x0∈R,f(x)＝0B.函数y＝f(x)的图象是中心对称图形C.若x0是f(x)的极小值点,则f(x )在区间(－∞,x)上单调递减D.若x0是f(x)的极值点,则f′(x)＝012.(5分)若存在正数x使2x(x－a)＜1成立,则a的取值范围是( )A.(－∞,＋∞)B.(－2,＋∞)C.(0,＋∞)D.(－1,＋∞)二、填空题：本大题共4小题,每小题4分.13.(4分)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数,其和为5的概率是.14.(4分)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则•＝.15.(4分)已知正四棱锥O－ABCD的体积为,底面边长为,则以O为球心,OA为半径的球的表面积为.16.(4分)函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ＜π)的图象向右平移个单位后,与函数y＝sin(2x＋)的图象重合,则φ＝.三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(12分)已知等差数列{an }的公差不为零,a1＝25,且a1,a11,a13成等比数列.(Ⅰ)求{an}的通项公式；(Ⅱ)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.18.(12分)如图,直三棱柱ABC－A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点(Ⅰ)证明：BC1∥平面A1CD；(Ⅱ)AA1＝AC＝CB＝2,AB＝,求三棱锥C－A1DE的体积.19.(12分)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1t该产品获利润500元,未售出的产品,每1t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品.以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润. (Ⅰ)将T表示为X的函数；(Ⅱ)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率.20.(12分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为2,在y轴上截得线段长为2.(Ⅰ)求圆心P的轨迹方程；(Ⅱ)若P点到直线y＝x的距离为,求圆P的方程.21.(12分)已知函数f(x)＝x2e－x(Ⅰ)求f(x)的极小值和极大值；(Ⅱ)当曲线y＝f(x)的切线l的斜率为负数时,求l在x轴上截距的取值范围.选做题.请考生在第22、23、24题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一部分,作答时请写清题号.22.【选修4－1几何证明选讲】如图,CD为△ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E、F分别为弦AB与弦AC上的点,且BC•AE＝DC•AF,B、E、F、C四点共圆.(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；(2)若DB＝BE＝EA,求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.23.已知动点P、Q都在曲线(β为参数)上,对应参数分别为β＝α与β＝2α(0＜α＜2π),M为PQ的中点.(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.24.(14分)【选修4－－5；不等式选讲】设a,b,c均为正数,且a＋b＋c＝1,证明：(Ⅰ)(Ⅱ).2013年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅱ)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题.每小题5分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.1.(5分)已知集合M＝{x|－3＜x＜1,x∈R},N＝{－3,－2,－1,0,1},则M∩N＝( )A.{－2,－1,0,1}B.{－3,－2,－1,0}C.{－2,－1,0}D.{－3,－2,－1}【分析】找出集合M与N的公共元素,即可求出两集合的交集.【解答】解：∵集合M＝{x|－3＜x＜1,x∈R},N＝{－3,－2,－1,0,1},∴M∩N＝{－2,－1,0}.故选：C.【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.2.(5分)＝( )A.2B.2C.D.1【分析】通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果.【解答】解：＝＝＝.故选：C.【点评】本题考查复数的模的求法,考查计算能力.3.(5分)设x,y满足约束条件,则z＝2x－3y的最小值是( )A.－7B.－6C.－5D.－3【分析】先画出满足约束条件：,的平面区域,求出平面区域的各角点,然后将角点坐标代入目标函数,比较后,即可得到目标函数z＝2x－3y的最小值.【解答】解：根据题意,画出可行域与目标函数线如下图所示,由得,由图可知目标函数在点A(3,4)取最小值z＝2×3－3×4＝－6.故选：B.【点评】用图解法解决线性规划问题时,分析题目的已知条件,找出约束条件和目标函数是关键,可先将题目中的量分类、列出表格,理清头绪,然后列出不等式组(方程组)寻求约束条件,并就题目所述找出目标函数.然后将可行域各角点的值一一代入,最后比较,即可得到目标函数的最优解.4.(5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b＝2,B＝,C＝,则△ABC的面积为( )A.2＋2B.C.2－2D.－1【分析】由sinB,sinC及b的值,利用正弦定理求出c的值,再求出A的度数,由b,c及sinA 的值,利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积.【解答】解：∵b＝2,B＝,C＝,∴由正弦定理＝得：c＝＝＝2,A＝,∴sinA＝sin(＋)＝cos＝,则S△ABC＝bcsinA＝×2×2×＝＋1.故选：B.【点评】此题考查了正弦定理,三角形的面积公式,以及两角和与差的余弦函数公式,熟练掌握正弦定理是解本题的关键.5.(5分)设椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2,P是C上的点PF2⊥F1F2,∠PF1F2＝30°,则C的离心率为( )A. B. C. D.【分析】设|PF2|＝x,在直角三角形PF1F2中,依题意可求得|PF1|与|F1F2|,利用椭圆离心率的性质即可求得答案.【解答】解：|PF2|＝x,∵PF2⊥F1F2,∠PF1F2＝30°,∴|PF1|＝2x,|F1F2|＝x,又|PF1|＋|PF2|＝2a,|F1F2|＝2c∴2a＝3x,2c＝x,∴C的离心率为：e＝＝. 故选：D.【点评】本题考查椭圆的简单性质,求得|PF1|与|PF2|及|F1F2|是关键,考查理解与应用能力,属于中档题.6.(5分)已知sin2α＝,则cos2(α＋)＝( )A. B. C. D.【分析】所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简,再利用诱导公式变形,将已知等式代入计算即可求出值.【解答】解：∵sin2α＝,∴cos2(α＋)＝[1＋cos(2α＋)]＝(1－sin2α)＝×(1－)＝.故选：A.【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式,以及诱导公式的作用,熟练掌握公式是解本题的关键.7.(5分)执行如图的程序框图,如果输入的N＝4,那么输出的S＝( )A.1＋＋＋B.1＋＋＋C.1＋＋＋＋D.1＋＋＋＋【分析】由程序中的变量、各语句的作用,结合流程图所给的顺序可知当条件满足时,用S＋的值代替S得到新的S,并用k＋1代替k,直到条件不能满足时输出最后算出的S值,由此即可得到本题答案.【解答】解：根据题意,可知该按以下步骤运行第一次：S＝1,第二次：S＝1＋,第三次：S＝1＋＋,第四次：S＝1＋＋＋.此时k＝5时,符合k＞N＝4,输出S的值.∴S＝1＋＋＋故选：B.【点评】本题主要考查了直到型循环结构,循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构,以及表格法的运用,属于基础题.8.(5分)设a＝log32,b＝log52,c＝log23,则( )A.a＞c＞bB.b＞c＞aC.c＞a＞bD.c＞b＞a【分析】判断对数值的范围,然后利用换底公式比较对数式的大小即可.【解答】解：由题意可知：a＝log32∈(0,1),b＝log52∈(0,1),c＝log23＞1,所以a＝log32,b＝log52＝,所以c＞a＞b,故选：C.【点评】本题考查对数值的大小比较,换底公式的应用,基本知识的考查.9.(5分)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到正视图可以为( )A. B. C. D.【分析】由题意画出几何体的直观图,然后判断以zOx平面为投影面,则得到正视图即可. 【解答】解：因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),几何体的直观图如图,是正方体的顶点为顶点的一个正四面体,所以以zOx平面为投影面,则得到正视图为：故选：A.【点评】本题考查几何体的三视图的判断,根据题意画出几何体的直观图是解题的关键,考查空间想象能力.10.(5分)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|＝3|BF|,则l的方程为( )A.y＝x－1或y＝－x＋1B.y＝(x－1)或 y＝－(x－1)C.y＝(x－1)或 y＝－(x－1)D.y＝(x－1)或 y＝－(x－1)【分析】根据题意,可得抛物线焦点为F(1,0),由此设直线l方程为y＝k(x－1),与抛物线方程联解消去x,得－y－k＝0.再设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系和|AF|＝3|BF|,建立关于y1、y2和k的方程组,解之可得k值,从而得到直线l的方程.【解答】解：∵抛物线C方程为y2＝4x,可得它的焦点为F(1,0), ∴设直线l方程为y＝k(x－1)由消去x,得－y－k＝0设A(x1,y1),B(x2,y2),可得y1＋y2＝,y1y2＝－4…(*)∵|AF|＝3|BF|,∴y1＋3y2＝0,可得y1＝－3y2,代入(*)得－2y2＝且－3y22＝－4,消去y2得k2＝3,解之得k＝∴直线l方程为y＝(x－1)或y＝－(x－1) 故选：C.【点评】本题给出抛物线的焦点弦AB被焦点F分成1：3的两部分,求直线AB的方程,着重考查了抛物线的标准方程、简单几何性质和直线与圆锥曲线的位置关系等知识,属于中档题.11.(5分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c,下列结论中错误的是( )A.∃x0∈R,f(x)＝0B.函数y＝f(x)的图象是中心对称图形C.若x0是f(x)的极小值点,则f(x )在区间(－∞,x)上单调递减D.若x0是f(x)的极值点,则f′(x)＝0【分析】对于A,对于三次函数f(x )＝x3＋ax2＋bx＋c,由于当x→－∞时,y→－∞,当x→＋∞时,y→＋∞,故在区间(－∞,＋∞)肯定存在零点；对于B,根据对称变换法则,求出对应中心坐标,可以判断；对于C：采用取特殊函数的方法,若取a＝－1,b＝－1,c＝0,则f(x)＝x3－x2－x,利用导数研究其极值和单调性进行判断；D：若x0是f(x)的极值点,根据导数的意义,则f′(x)＝0,正确.【解答】解：A、对于三次函数f (x )＝x3＋ax2＋bx＋c,A：由于当x→－∞时,y→－∞,当x→＋∞时,y→＋∞,故∃x0∈R,f(x)＝0,故A正确；B、∵f(－－x)＋f(x)＝(－－x)3＋a(－－x)2＋b(－－x)＋c＋x3＋ax2＋bx＋c＝－＋2c,f(－)＝(－)3＋a(－)2＋b(－)＋c＝－＋c,∵f(－－x)＋f(x)＝2f(－),∴点P(－,f(－))为对称中心,故B正确.C、若取a＝－1,b＝－1,c＝0,则f(x)＝x3－x2－x,对于f(x)＝x3－x2－x,∵f′(x)＝3x2－2x－1∴由f′(x)＝3x2－2x－1＞0得x∈(－∞,－)∪(1,＋∞)由f′(x)＝3x2－2x－1＜0得x∈(－,1)∴函数f(x)的单调增区间为：(－∞,－),(1,＋∞),减区间为：(－,1), 故1是f(x)的极小值点,但f(x )在区间(－∞,1)不是单调递减,故C错误；D：若x0是f(x)的极值点,根据导数的意义,则f′(x)＝0,故D正确.由于该题选择错误的,故选：C.【点评】本题考查了导数在求函数极值中的应用,利用导数求函数的单调区间,及导数的运算.12.(5分)若存在正数x使2x(x－a)＜1成立,则a的取值范围是( )A.(－∞,＋∞)B.(－2,＋∞)C.(0,＋∞)D.(－1,＋∞)【分析】转化不等式为,利用x是正数,通过函数的单调性,求出a的范围即可.【解答】解：因为2x(x－a)＜1,所以,函数y＝是增函数,x＞0,所以y＞－1,即a＞－1,所以a的取值范围是(－1,＋∞).故选：D.【点评】本题考查不等式的解法,函数单调性的应用,考查分析问题解决问题的能力.二、填空题：本大题共4小题,每小题4分.13.(4分)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数,其和为5的概率是0.2 .【分析】由题意结合组合数公式可得总的基本事件数,再找出和为5的情形,由古典概型的概率公式可得答案.【解答】解：从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数共有＝10种情况,和为5的有(1,4)(2,3)两种情况,故所求的概率为：＝0.2故答案为：0.2【点评】本题考查古典概型及其概率公式,属基础题.14.(4分)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则•＝ 2 .【分析】根据两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,可得要求的式子为()•(),再根据两个向量垂直的性质,运算求得结果.【解答】解：∵已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则＝0,故＝( )•()＝()•()＝－＋－＝4＋0－0－＝2,故答案为 2.【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,两个向量垂直的性质,属于中档题.15.(4分)已知正四棱锥O－ABCD的体积为,底面边长为,则以O为球心,OA为半径的球的表面积为24π.【分析】先直接利用锥体的体积公式即可求得正四棱锥O－ABCD的高,再利用直角三角形求出正四棱锥O－ABCD的侧棱长OA,最后根据球的表面积公式计算即得.【解答】解：如图,正四棱锥O－ABCD的体积V＝sh＝(×)×OH＝,∴OH＝,在直角三角形OAH中,OA＝＝＝所以表面积为4πr2＝24π；故答案为：24π.【点评】本题考查锥体的体积、球的表面积计算,考查学生的运算能力,属基础题.16.(4分)函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ＜π)的图象向右平移个单位后,与函数y＝sin(2x＋)的图象重合,则φ＝.【分析】根据函数图象平移的公式,可得平移后的图象为y＝cos[2(x－)＋φ]的图象,即y＝cos(2x＋φ－π)的图象.结合题意得函数y＝sin(2x＋)＝的图象与y ＝cos(2x＋φ－π)图象重合,由此结合三角函数的诱导公式即可算出φ的值.【解答】解：函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ＜π)的图象向右平移个单位后,得平移后的图象的函数解析式为y＝cos[2(x－)＋φ]＝cos(2x＋φ－π),而函数y＝sin(2x＋)＝,由函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ＜π)的图象向右平移个单位后,与函数y＝sin(2x＋)的图象重合,得2x＋φ－π＝,解得：φ＝.符合－π≤φ＜π.故答案为.【点评】本题给出函数y＝cos(2x＋φ)的图象平移,求参数φ的值.着重考查了函数图象平移的公式、三角函数的诱导公式和函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换等知识,属于基础题.三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(12分)已知等差数列{an }的公差不为零,a1＝25,且a1,a11,a13成等比数列.(Ⅰ)求{an}的通项公式；(Ⅱ)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.【分析】(I)设等差数列{an}的公差为d≠0,利用成等比数列的定义可得,,再利用等差数列的通项公式可得,化为d(2a1＋25d)＝0,解出d即可得到通项公式an；(II)由(I)可得a3n－2＝－2(3n－2)＋27＝－6n＋31,可知此数列是以25为首项,－6为公差的等差数列.利用等差数列的前n项和公式即可得出a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.【解答】解：(I)设等差数列{an}的公差为d≠0,由题意a1,a11,a13成等比数列,∴,∴,化为d(2a1＋25d)＝0,∵d≠0,∴2×25＋25d＝0,解得d＝－2.∴an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27.(II)由(I)可得a3n－2＝－2(3n－2)＋27＝－6n＋31,可知此数列是以25为首项,－6为公差的等差数列.∴Sn ＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2＝＝＝－3n2＋28n.【点评】熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式是解题的关键.18.(12分)如图,直三棱柱ABC－A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点(Ⅰ)证明：BC1∥平面A1CD；(Ⅱ)AA1＝AC＝CB＝2,AB＝,求三棱锥C－A1DE的体积.【分析】(Ⅰ)连接AC1交A1C于点F,则DF为三角形ABC1的中位线,故DF∥BC1.再根据直线和平面平行的判定定理证得BC1∥平面A1CD.(Ⅱ)由题意可得此直三棱柱的底面ABC为等腰直角三角形,由D为AB的中点可得CD⊥平面ABB1A1.求得CD的值,利用勾股定理求得A1D、DE和A1E的值,可得A1D⊥DE.进而求得的值,再根据三棱锥C－A1DE的体积为••CD,运算求得结果.【解答】解：(Ⅰ)证明：连接AC1交A1C于点F,则F为AC1的中点.∵直棱柱ABC－A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点,故DF为三角形ABC1的中位线,故DF∥BC1.由于DF⊂平面A1CD,而BC1不在平面A1CD中,故有BC1∥平面A1CD.(Ⅱ)∵AA1＝AC＝CB＝2,AB＝2,故此直三棱柱的底面ABC为等腰直角三角形.由D为AB的中点可得CD⊥平面ABB1A1,∴CD＝＝.∵A1D＝＝,同理,利用勾股定理求得 DE＝,A1E＝3.再由勾股定理可得＋DE2＝,∴A1D⊥DE.∴＝＝,∴＝••CD＝1.【点评】本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用,求三棱锥的体积,体现了数形结合的数学思想,属于中档题.19.(12分)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1t该产品获利润500元,未售出的产品,每1t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品.以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润. (Ⅰ)将T表示为X的函数；(Ⅱ)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率.【分析】(I)由题意先分段写出,当X∈[100,130)时,当X∈[130,150)时,和利润值,最后利用分段函数的形式进行综合即可.(II)由(I)知,利润T不少于57000元,当且仅当120≤X≤150.再由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7,利用样本估计总体的方法得出下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值.【解答】解：(I)由题意得,当X∈[100,130)时,T＝500X－300(130－X)＝800X－39000,当X∈[130,150]时,T＝500×130＝65000,∴T＝.(II)由(I)知,利润T不少于57000元,当且仅当120≤X≤150.由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7,所以下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7.【点评】本题考查用样本的频率分布估计总体分布及识图的能力,求解的重点是对题设条件及直方图的理解,了解直方图中每个小矩形的面积的意义.20.(12分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为2,在y轴上截得线段长为2.(Ⅰ)求圆心P的轨迹方程；(Ⅱ)若P点到直线y＝x的距离为,求圆P的方程.【分析】(Ⅰ)由题意,可直接在弦心距、弦的一半及半径三者组成的直角三角形中利用勾股定理建立关于点P的横纵坐标的方程,整理即可得到所求的轨迹方程；(Ⅱ)由题,可先由点到直线的距离公式建立关于点P的横纵坐标的方程,将此方程与(I)所求的轨迹方程联立,解出点P的坐标,进而解出圆的半径即可写出圆P的方程.【解答】解：(Ⅰ)设圆心P(x,y),由题意得圆心到x轴的距离与半径之间的关系为2＝－y2＋r2,同理圆心到y轴的距离与半径之间的关系为3＝－x2＋r2,由两式整理得x2＋3＝y2＋2,整理得y2－x2＝1即为圆心P的轨迹方程,此轨迹是等轴双曲线(Ⅱ)由P点到直线y＝x的距离为得,＝,即|x－y|＝1,即x＝y＋1或y＝x＋1,分别代入y2－x2＝1解得P(0,－1)或P(0,1)若P(0,－1),此时点P在y轴上,故半径为,所以圆P的方程为(y＋1)2＋x2＝3；若P(0,1),此时点P在y轴上,故半径为,所以圆P的方程为(y－1)2＋x2＝3；综上,圆P的方程为(y＋1)2＋x2＝3或(y－1)2＋x2＝3【点评】本题考查求轨迹方程的方法解析法及点的直线的距离公式、圆的标准方程与圆的性质,解题的关键是理解圆的几何特征,将几何特征转化为方程21.(12分)已知函数f(x)＝x2e－x(Ⅰ)求f(x)的极小值和极大值；(Ⅱ)当曲线y＝f(x)的切线l的斜率为负数时,求l在x轴上截距的取值范围.【分析】(Ⅰ)利用导数的运算法则即可得出f′(x),利用导数与函数单调性的关系及函数的极值点的定义,即可求出函数的极值；(Ⅱ)利用导数的几何意义即可得到切线的斜率,得出切线的方程,利用方程求出与x轴交点的横坐标,再利用导数研究函数的单调性、极值、最值即可.【解答】解：(Ⅰ)∵f(x)＝x2e－x,∴f′(x)＝2xe－x－x2e－x＝e－x(2x－x2),令f′(x)＝0,解得x＝0或x＝2,令f′(x)＞0,可解得0＜x＜2；令f′(x)＜0,可解得x＜0或x＞2,故函数在区间(－∞,0)与(2,＋∞)上是减函数,在区间(0,2)上是增函数.∴x＝0是极小值点,x＝2极大值点,又f(0)＝0,f(2)＝.故f(x)的极小值和极大值分别为0,.(Ⅱ)设切点为(),则切线方程为y－＝(x－x),令y＝0,解得x＝＝,∵曲线y＝f(x)的切线l的斜率为负数,∴(＜0,∴x0＜0或x＞2,令,则＝.①当x0＜0时,0,即f′(x)＞0,∴f(x)在(－∞,0)上单调递增,∴f(x)＜f(0)＝0；②当x0＞2时,令f′(x)＝0,解得.当时,f′(x0)＞0,函数f(x)单调递增；当时,f′(x)＜0,函数f(x)单调递减.故当时,函数f(x)取得极小值,也即最小值,且＝.综上可知：切线l在x轴上截距的取值范围是(－∞,0)∪.【点评】本题考查利用导数求函数的极值与利用导数研究函数的单调性、切线、函数的值域,综合性强,考查了推理能力和计算能力.选做题.请考生在第22、23、24题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一部分,作答时请写清题号.22.【选修4－1几何证明选讲】如图,CD为△ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E、F分别为弦AB与弦AC上的点,且BC•AE＝DC•AF,B、E、F、C四点共圆.(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；(2)若DB＝BE＝EA,求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.【分析】(1)已知CD为△ABC外接圆的切线,利用弦切角定理可得∠DCB＝∠A,及BC•AE＝DC•AF,可知△CDB∽△AEF,于是∠CBD＝∠AFE.利用B、E、F、C四点共圆,可得∠CFE＝∠DBC,进而得到∠CFE＝∠AFE＝90°即可证明CA是△ABC外接圆的直径；(2)要求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.只需求出其外接圆的直径的平方之比即可.由过B、E、F、C四点的圆的直径为CE,及DB＝BE,可得CE＝DC,利用切割线定理可得DC2＝DB•DA,CA2＝CB2＋BA2,都用DB表示即可.【解答】(1)证明：∵CD为△ABC外接圆的切线,∴∠DCB＝∠A,∵BC•AE＝DC•AF,∴.∴△CDB∽△AEF,∴∠CBD＝∠AFE.∵B、E、F、C四点共圆,∴∠CFE＝∠DBC,∴∠CFE＝∠AFE＝90°.∴∠CBA＝90°,∴CA是△ABC外接圆的直径；(2)连接CE,∵∠CBE＝90°,∴过B、E、F、C四点的圆的直径为CE,由DB＝BE,得CE＝DC,又BC2＝DB•BA＝2DB2,∴CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.而DC2＝DB•DA＝3DB2,故过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC面积的外接圆的面积比值＝＝.【点评】熟练掌握弦切角定理、相似三角形的判定与性质、四点共圆的性质、直径的判定、切割线定理、勾股定理等腰三角形的性质是解题的关键.23.已知动点P、Q都在曲线(β为参数)上,对应参数分别为β＝α与β＝2α(0＜α＜2π),M为PQ的中点.(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.【分析】(1)利用参数方程与中点坐标公式即可得出；(2)利用两点之间的距离公式、三角函数的单调性即可得出.【解答】解：(1)依题意有P(2cosα,2sinα),Q(2cos2α,2sin2α),因此M(cosα＋cos2α,sinα＋sin2α).M 的轨迹的参数方程为为参数,0＜α＜2π).(2)M点到坐标原点的距离d ＝(0＜α＜2π).当α＝π时,d＝0,故M的轨迹过坐标原点.【点评】本题考查了参数方程与中点坐标公式、两点之间的距离公式、三角函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.24.(14分)【选修4－－5；不等式选讲】设a,b,c均为正数,且a＋b＋c＝1,证明：(Ⅰ)(Ⅱ).【分析】(Ⅰ)依题意,由a＋b＋c＝1⇒(a＋b＋c)2＝1⇒a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1,利用基本不等式可得3(ab＋bc＋ca)≤1,从而得证；(Ⅱ)利用基本不等式可证得：＋b≥2a,＋c≥2b,＋a≥2c,三式累加即可证得结论.【解答】证明：(Ⅰ)由a2＋b2≥2ab,b2＋c2≥2bc,c2＋a2≥2ca得：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca,由题设得(a＋b＋c)2＝1,即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1,所以3(ab＋bc＋ca)≤1,即ab＋bc＋ca ≤.(Ⅱ)因为＋b≥2a,＋c≥2b,＋a≥2c,故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c),即＋＋≥a＋b＋c.所以＋＋≥1.【点评】本题考查不等式的证明,突出考查基本不等式与综合法的应用,考查推理论证能力,属于中档题.第21页，共21页。
2013年高考(新课标全国二卷)文科数学高清修正word版
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考(新课标Ⅱ卷)数学(文科)注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题。
每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)已知集合}3,2,1,0,1{},13{-=<<-=N x x M ,则=N M ( )(A)}2,1,0{ (B)}2,1,0,1{- (C)}3,2,0,1{- (D)}3,2,1,0{(2)=+i12( )(A)22 (B)2 (C)2(D)1(3)设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≥+-30101x y x y x ，则y x z 32-=的最小值是( )(A)7- (B)6- (C)5- (D)3-(4)在ABC ∆中内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知4,6,2ππ===C B b 则ABC ∆的面积为( )(A)232+ (B)13+ (C)232- (D)13-(5)设椭圆:C )0(12222>>=+b a b y a x 左右焦点分别为21,F F ,P 是C 的点，212F F PF ⊥,则C 的离心率为( )(A)63 (B)31 (C)21 (D)33(6)已知α2sin ，则=+)4(cos 2πα( )(A)61 (B)31 (C)21 (D)32(7)执行右图的程序框图，如果输入的4=N ，则输出的=S ( )(A)4131211+++ (B)2341231211⨯⨯+⨯++ (C)514131211++++ (D)234512341231211⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯++ (8)设2log 3=a ,2log 5=b ,3log 2=c 则( )(A)b c a >> (B)a c b >> (C)a b c >> (D)c b a >>(9)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是 )1,0,1(，)0,1,1(,)1,1,1(，)0,0,0(画该四面体三视图中的正视图时， 以zOx 平面为搞影面，则正视图可以为( )(A)(B) (C) (D)(10)设抛物线:C x y 42=)0(>p 的焦点为F ,直线l 过F 且与C 交于B A ,两点，若BF AF 3=，则直线l 的方程为( ) (A)1-=x y 或1+-=x y (B))1(33-=x y 或)1(33--=x y (C))1(3-=x y 或)1(3--=x y (D))1(22-=x y 或)1(22--=x y (11)已知函数c bx ax x x f +++=23)(,则下列结论中错误的是( ) (A)0)(,00=∈∃x f R x(B)函数)(x f y =的图像是中心对称图形(C)若0x 是)(x f 的极小值点，则)(x f 在区间),(0x -∞单调递减(D)若0x 是)(x f 的极值点，则0)(0='x f(12)若存在正数x 使1)(2<-a x x 成立，则将a 的取值范围是( ) (A)),(+∞-∞ (B)),2(+∞- (C)),0(+∞ (D)),1(+∞-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。
2013年全国高考(全国新II卷)数学(文)(含答案)
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前考生将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框。
写在本试卷上无效。
3．答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
（1）已知集合M=｛x|-3<X<1｝，N=｛-3，-2，-1，0，1｝，则M∩N=（A）｛-2，-1，0,1｝（B）｛-3，-2，-1，0｝（C）{-2，-1，0} （D）{-3，-2，-1 }（2）|错误！未找到引用源。
|=（A）2错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
（B）2 （C）错误！未找到引用源。
（D）1（3）设x，y满足约束条件错误！未找到引用源。
，则z=2x-3y的最小值是（A）错误！未找到引用源。
（B）-6 （C）错误！未找到引用源。
（D）-3（4）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2，B=错误！未找到引用源。
，C=错误！未找到引用源。
，则△ABC的面积为（A）+2 （B（C）2（D）错误！未找到引用源。
－1（5）设椭圆C：错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30o，则C的离心率为（A）错误！未找到引用源。
（B）错误！未找到引用源。
（C）错误！未找到引用源。
（D）错误！未找到引用源。
（6）已知sin2α=错误！未找到引用源。
，则cos2（α+错误！未找到引用源。
）= （A）错误！未找到引用源。
（B）错误！未找到引用源。
（C）错误！未找到引用源。
（D）错误！未找到引用源。
2013高考全国卷2文科数学试卷及答案
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)文科数学注意事项： 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前考生将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框。
写在本试卷上无效。
答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共 小题。
每小题 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
（ ）已知集合 ｛⌧✠｝，☠｛ ， ， ， ， ｝，则 ∩☠（✌）｛ ， ， ｝ （ ）｛ ， ， ， ｝ （ ） ， ， ❝ （ ） ， ， ❝（ ） （✌） （ ） （ ） （ ）（ ）设⌧，⍓满足约束条件，则 ⌧⍓的最小值是（✌） （ ） （ ）（ ）（ ） ✌的内角✌的对边分别为♋♌♍已知♌， ， ，则 ✌的面积为（✌） （ ） （ ） （ ） （ ）设椭圆 ： ☎♋＞♌＞ ✆的左、右焦点分别为☞、☞， 是 上的点 ☞⊥☞☞，∠ ☞☞。
，则 的离心率为（✌） （ ） （ ） （ ）（ ）已知♦♓⏹↑，则♍☐♦☎↑✆（✌） （ ） （ ） （ ）（ ）执行右面的程序框图，如果输入的☠，那么输出的 （✌）（ ） （ ） （ ）（ ）设♋●☐♑♌●☐♑♍●☐♑则（✌）♋＞♍＞♌ （ ） ♌＞♍＞♋ （ ）♍＞♌＞♋（ ）♍＞♋＞♌（ ）一个四面体的顶点在点间直角坐系 ⌧⍓中的坐标分别是（ ， ， ），（ ，， ），（ ， ， ），（ ， ， ），画该四面体三视图中的正视图时，以 ⌧平面为投影面，则得到的正视图可为（✌） （ ） （ ） （ ）☎ ✆设抛物线 ⍓⌧的焦点为☞，直线☹过☞且与 交于✌ 两点 若 ✌☞☞，则☹的方程为（✌）⍓⌧或⍓⌧ （ ）⍓（✠）或⍓（⌧）（ ）⍓（⌧）或⍓（⌧） （ ）⍓（⌧）或⍓（⌧）（ ）已知函数♐（⌧） ⌧♋⌧♌⌧♍ ，下列结论中错误的是（✌）（ ）函数⍓♐（⌧）的图像是中心对称图形（ ）若⌧是♐（⌧）的极小值点，则♐（⌧）在区间（ ，⌧）单调递减（ ）若⌧是♐☎⌧✆的极值点，则♐❼（ ⌧） （ ）若存在正数⌧使 ⌧（⌧♋）＜ 成立，则♋ 的取值范围是（✌）（ ， ） （ ）☎ ✆ ☎✆☎ ✆ ☎✆（ ， ）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(新课标Ⅱ卷)文科(解析版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数 学 (文科)注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前考生将自己的姓名准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题。
每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合{|31}M x x =-<<，{3,2,1,0,1}N =---，则M N = （ ） （A ）{2,1,0,1}-- （B ）{3,2,1,0}--- （C ）{2,1,0}-- （D ）{3,2,1}---） （A（B ）2 （C（D ）13、设,x y 满足约束条件10,10,3,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =-的最小值是（ ）（A ）7- （B ）6- （C ）5- 4、ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，已知2b =，，则ABC ∆的面积为（ ）（A（B（C（D 5、设椭左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点，212PF F F ⊥，1230PF F ∠= ，则C 的离心率为（ ）（A（B（C（D 6 ）（A （B （C （D 7、执行右面的程序框图，如果输入的4N =，那么输出的S =（（A （B （C（D 8、设3log 2a =，5log 2b =，2log 3c =，则（ ） （A ）a c b >> （B ）b c a >> （C ）c b a >> （D ）c a b >>9、一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）(A) (B) (C) (D)10、设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点。
2013年高考全国Ⅱ文科数学试题及答案(word解析版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国II ）数学（文科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2013年全国Ⅱ，文1，5分】已知集合{|31}M x x =-<<，{3,2,1,0,1}N =---，则M N = （ ）（A ）{2,1,0,1}-- （B ）{3,2,1,0}--- （C ）{2,1,0}-- （D ）{3,2,1}--- 【答案】C【解析】因为{31}M x x =-<<，{3,2,1,0,1}N =---，所以M N {2,1,0}=--，故选C ． （2）【2013年全国Ⅱ，文2，5分】21i=+（ ） （A） （B ）2 （C（D ）1 【答案】C【解析】22(1i)2(1i)1i 1i (1i)(1i)2--===-+-+，所以21i=+C ． （3）【2013年全国Ⅱ，文3，5分】设,x y 满足约束条件10103x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =-的最小值是（ ）（A ）7- （B ）6- （C ）5- （D ）3- 【答案】B【解析】由23z x y =-得32y x z =-，即233z y x =-．作出可行域如图，平移直线233zy x =-，由图象可知当直线233z y x =-经过点B 时，直线233zy x =-的截距最大，此时z 取得最小值，由103x y x -+=⎧⎨=⎩得34x y =⎧⎨=⎩，即(3,4)B ，代入直线23z x y =-得32346z =⨯-⨯=-，故选B ．（4）【2013年全国Ⅱ，文4，5分】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2b =，6B π=，4C π=，则ABC ∆的面积为（ ）（A）2 （B1 （C）2 （D1【答案】B【解析】因为,64B C ππ==，所以712A π=．由正弦定理得sin sin 64b c =，解得c =．所以三角形的面积为117sin 22212bc A π=⨯⨯．因为7231s i n s i n (()1232222πππ=++，所以13s i n ()312b c A =++，故选B ． （5）【2013年全国Ⅱ，文5，5分】设椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点，212PF F F ⊥，1230PF F ∠=，则C 的离心率为（ ）（A（B ）13（C ）12 （D【答案】D【解析】因为21212,30PF F F PF F ⊥∠=，所以212tan 30,PF c PF ===．又122PF PF a +==，所以c a ==，故选D ．（6）【2013年全国Ⅱ，文6，5分】已知2sin 23α=，则2cos ()4πα+=（ ）（A ）16 （B ）13（C ）12 （D ）23【答案】A【解析】因为21cos2()1cos(2)1sin 242cos ()4222ππααπαα++++-+===，所以2211sin 213cos ()4226παα--+===，故选A ．（7）【2013年全国Ⅱ，文7，5分】执行右面的程序框图，如果输入的4N =，那么输出的S =（ ）（A ）1111234+++ （B ）1111232432+++⨯⨯⨯ （C ）111112345++++ （D ）111112324325432++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【答案】B【解析】第一次循环，1,1,2T S k ===；第二次循环，11,1,322T S k ==+=；第三次循环，111,1,423223T S k ==++=⨯⨯，第四次循环，1111,1,5234223234T S k ==+++=⨯⨯⨯⨯⨯，此时满足条件输出1111223234S =+++⨯⨯⨯，故选B ． （8）【2013年全国Ⅱ，文8，5分】设3log 2a =，5log 2b =，2log 3c =，则（ ）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 【答案】D【解析】因为321lo g 21lo g 3=<，521log 21log 5=<，又2log 31>，所以c 最大．又221log 3log 5<<，所以2211log 3log 5>，即a b >，所以c a b >>，故选D ． （9）【2013年全国Ⅱ，文9，5分】一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是()1,0,1，()1,1,0，()0,1,1，()0,0,0，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）【答案】A【解析】在空间直角坐标系中，先画出四面体O ABC -的直观图，以zOx 平面为投影面，则得到正视图(坐标系中红色部分)，故选A ．（10）【2013年全国Ⅱ，文10，5分】设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若||3||AF BF =，则l 的方程为（ ） （A ）1y x =-或1y x =-+ （B）1)y x =-或1)y x =- （C）1)y x -或1)y x =- （D）1)y x =-或1)y x =-【答案】C【解析】抛物线24y x =的焦点坐标为10（,），准线方程为1x =-，设11A x y （，），22B x y （，），则因为3AF BF =，所以12131x x +=+（），所以1232x x =+，因为123y y =，129x x =，所以13x =，213x =，当13x =时，2112y =，所以此时1y ==±，若1y =1(,3A B ，此时AB k =线方程为1)y x -．若1y =-，则1(3,),()3A B -，此时AB k =，此时直线方程为1)y x =-．所以l 的方程是1)y x -或1)y x =-，故选C ．（11）【2013年全国Ⅱ，文11，5分】已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ）（A ）0x R ∃∈，0()0f x = （B ）函数()y f x =的图象是中心对称图形 （C ）若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减（D ）若0x 是()f x 的极值点，则0'()0f x = 【答案】C【解析】若0c =则有(0)0f =，所以A 正确．由32()f x x ax bx c =+++得32()f x c x ax bx -=++，因为函数32y x ax bx =++的对称中心为0,0（），所以32()f x x ax bx c =+++的对称中心为(0,)c ，所以B 正确．由三次函数的图象可知，若0x 是()f x 的极小值点，则极大值点在0x 的左侧，所以函数在区间0,x -∞（）单调递减是错误的，D 正确，故选C ．（12）【2013年全国Ⅱ，文12，5分】若存在正数x 使2()1x x a -<成立，则a 的取值范围是（ ） （A ）(,)-∞+∞ （B ）(2,)-+∞ （C ）(0,)+∞ （D ）(1,)-+∞【答案】D【解析】解法一：因为20x >，所以由2()1x x a -<得122x x x a --<=，在坐标系中，作出函数 (),()2xf x x ag x -=-=的图象，当0x >时，()21x g x -=<，所以如果存在0x >，使2()1x x a -<，则有1a -<，即1a >-，故选D ．解法二：由题意可得，()102xa x x ⎛⎫>-> ⎪⎝⎭．令()12xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，该函数在(0)∞，＋上为增函数，可知()f x 的值域为()1∞－，＋，故1a >-时，存在正数x 使原不等式成立，故选D ．第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上 （13）【2013年全国Ⅱ，文13，5分】从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是______．【答案】15【解析】从5个正整中任意取出两个不同的数，有2510C =种，若取出的两数之和等于5，则有(1,4),(2,3)，共有2个，所以取出的两数之和等于5的概率为21105=．（14）【2013年全国Ⅱ，文14，5分】已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅=__ ____． 【答案】2【解析】在正方形中，12AE AD DC =+ ，BD BA AD AD DC =+=-，所以2222111()()222222AE BD AD DC AD DC AD DC ⋅=+⋅-=-=-⨯= ．（15）【2013年全国Ⅱ，文15，5分】已知正四棱锥O ABCD -则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为_______．【答案】24π【解析】设正四棱锥的高为h ，则213h ⨯=，解得高h =．所以OA =2424ππ=． （16）【2013年全国Ⅱ，文16，5分】函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤≤的图象向右平移2π个单位后，与函数sin(2)3y x π=+的图象重合，则ϕ=_______．【答案】56π【解析】函数cos(2)y x ϕ=+，向右平移2π个单位，得到sin(2)3y x π=+，即sin(2)3y x π=+向左平移2π个单位得到函数cos(2)y x ϕ=+，sin(2)3y x π=+向左平移2π个单位，得sin[2()]sin(2)233y x x ππππ=++=++sin(2)cos(2)323x x πππ=-+=++5cos(2)6x π=+，即56πϕ=． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）【2013年全国Ⅱ，文17，12分】已知等差数列{}n a 的公差不为零，125a =，且11113,,a a a 成等比数列．（1）求{}n a 的通项公式； （2）求14732+n a a a a -++⋅⋅⋅+．解：（1）设{}n a 的公差为d ．由题意，211113a a a =，即2111()1012()a d a a d ＋＝＋．于是1225(0)d a d ＋＝．又125a ＝，所以0d ＝ (舍去)，2d =-．故227n a n =-+．（2）令14732n n S a a a a -=+++⋯+．由（1）知32631n a n -=-+，故32{}n a -是首项为25，公差为6-的等差数列．从而()()2132656328n n S a a n n n -=+=-+=-+．（18）【2013年全国Ⅱ，文18，12分】如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是AB ，1BB 的中点．（1）证明：1//BC 平面11A CD ；（2）设12AA AC CB ===，AB =1C A DE -的体积．解：（1）连结1AC 交1A C 于点F ，则F 为1AC 中点．又D 是AB 中点，连结DF ，则1//BC DF ．因为DF ⊂平面1A CD ，1BC ⊄平面1A CD ，所以1//BC 平面1A CD ．（2）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以1AA CD ⊥．由已知AC CB =，D 为AB 的中点，所以CD AB ⊥．又1AA AB A = ，于是CD ⊥平面11ABB A ．由12AA AC CB ===，AB =得90ACB ∠=︒，CD1A D =DE =13A E =，故22211A D DE A E +=，即1D E A D ⊥．所以111132C A DE V -⨯=．（19）【2013年全国Ⅱ，文19，12分】经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品．以X (单位：t ，100150X ≤≤)表示下一个销售季度内的市场需求量，T (单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润 （1）将T 表示为X 的函数；（2）根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率．1解：（1）当[)100,130X ∈时，()50030013080039000T X X X =--=-，当[]130,150X ∈时，50013065000T =⨯=． 所以80039000,10013065000,130150X X T X -≤<⎧=⎨≤≤⎩．（2）由（1）知利润T 不少于57000元当且仅当120150X ≤≤．由直方图知需求量[]120,150X ∈的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57000元的概率的估计值为0.7．（20）【2013年全国Ⅱ，文20，12分】在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x轴上截得线段长为在y 轴上截得线段长为．（1）求圆心P 的轨迹方程；（2）若P 点到直线y x =P 的方程． 解：（1）设()P x y ，，圆P 的半径为r ．由题设222y r +=，223x r +=．从而2223y x +=+．故P 点的轨迹方程为221y x -=． （2）设00()P x y ，=．又P 点在双曲线221y x -=上，从而得002210||11x y y x -=⎧⎨-=⎩ 由00220011x y y x -=⎧⎨-=⎩得0001x y =⎧⎨=-⎩，此时，圆P 的半径r =3．由00220011x y y x -=-⎧⎨-=⎩得001x y =⎧⎨=⎩，此时，圆P的半径r =．故圆P 的方程为()2213x y +-=或()2213x y ++=．（21）【2013年全国Ⅱ，文21，12分】已知函数2()x f x x e -=．（1）求()f x 的极小值和极大值；（2）当曲线()y f x =的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范围．解：（1）()f x 的定义域为()-∞+∞，，()()2x f x e x x -'=--．① 当)0(x ∈-∞，或2()x ∈+∞，时，()0f x '＜； 当)2(0x ∈,时，()0f x '＞．所以()f x 在()0-∞,，(2)+∞，单调递减，在(0)2,单调递增．故当0x =时，()f x取得极小值，极小值为()00f =；当2x =时，()f x 取得极大值，极大值为()224f e -=．（2）设切点为()()t f t ，，则l 的方程为()()()y f t x t f t ='-+．所以l 在x 轴上的截距为()()223'()22f t t t t t f t t m t t -=+=-++--=．由已知和①得()02()t ∈-∞+∞ ，，．令()()20h x x x x+=≠， 则当0()x ∈+∞，时，()h x的取值范围为⎡⎤+∞⎣⎦；当2()x ∈-∞-，时，()h x 的取值范围是()3-∞-，． 所以当()02()t ∈-∞+∞ ，，时，()m t的取值范围是0()3,⎡⎤-+∞⎦∞⎣ ，． 综上，l 在x轴上的截距的取值范围是0()3,⎡⎤-+∞⎦∞⎣ ，．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时请写清题号． （22）【2013年全国Ⅱ，文22，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，CD 为ABC ∆外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E ，F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且··BC AE DC AF =，B ， E ，F ，C 四点共圆．（1）证明：CA 是ABC ∆外接圆的直径；（2）若DB BE EA ==，求过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与ABC ∆外接圆面积的比值．解：（1）因为CD 为ABC ∆外接圆的切线，所以DCB A ∠=∠，由题设知BC DCFA EA=，故CDB AEF ∆∆∽， 所以DBC EFA ∠=∠．因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以CFE DBC ∠=∠，故90EFA CFE ∠=∠=︒． 所以90CBA ∠=︒，因此CA 是ABC ∆外接圆的直径．（2）连结CE ，因为90CBE ∠=︒，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE ，由D B B E =，有CE DC =又22·2BC DB BA DB ==，所以222246CA DB BC DB =+=．而22·3DC DB DA DB ==，故过B ，E ，F ， C 四点的圆的面积与ABC ∆外接圆面积的比值为12．（23）【2013年全国Ⅱ，文23，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）已知动点P Q 、都在曲线2cos :2sin x tC y t=⎧⎨=⎩（t 为参数）上，对应参数分别为=t α与=2t α（02απ<<），M 为PQ 的中点． （1）求M 的轨迹的参数方程；（2）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．解：（1）依题意有2cos (n )2si P αα，，2cos2(2)2sin Q αα，，因此cos cos ()2sin sin2M αααα++，． M 的轨迹的参数方程为cos cos 2sin sin 2x y αααα=+⎧⎨=+⎩(α为参数，02απ<<)．（2）M 点到坐标原点的距离)02d απ<<．当απ=时，0d =，故M 的轨迹过坐标原点．（24）【2013年全国Ⅱ，文24，10分】（选修4-5：不等式选讲）设a ，b ，c 均为正数，且1a b c ++=，证明：（1）13ab bc ac ++≤；（2）2221a b cb c a ++≥．解：（1）由222a b ab +≥，222b c bc +≥，222c a ca +≥，得222a b c ab bc ca ++≥++．由题设得()21a b c ++=，即2222221a b c a b b c c a +++++=．()31ab bc ca ∴++≤，即13a b b c c a ++≤．（2）因为22a b a b +≥，22b c b c +≥，22c a c a +≥，故()222(2)a b ca abc c a b c b +≥++++++，即222a b c a b c b c a ≥++++．所以2221a b cb c a++≥．。
2013年全国高考文科数学试题及答案-新课标2
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前考生将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框。
写在本试卷上无效。
3．答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
（1）已知集合M=｛x|-3<X<1｝，N=｛-3，-2，-1，0，1｝，则M∩N=（A）｛-2，-1，0,1｝（B）｛-3，-2，-1，0｝（C）{-2，-1，0} （D）{-3，-2，-1 }（2）||=（A）2（B）2 （C）（D）1（3）设x，y满足约束条件，则z=2x-3y的最小值是（A）（B）-6 （C）（D）-3（4）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2，B=，C=，则△ABC的面积为（A）23+2 （B）3+1 （C）23－2（D）3－1（5）设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30o，则C的离心率为（A）（B）（C）（D）（6）已知sin2α=，则cos2（α+）=（A）（B）（C）（D）（7）执行右面的程序框图，如果输入的N=4，那么输出的S=（A）1（B）1+（C）1++++（D）1++++（8）设a=log32,b=log52,c=log23,则（A）a＞c＞b （B）b＞c＞a （C）c＞b＞a （D）c＞a＞b（9）一个四面体的顶点在点间直角坐系O-xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可为（A）（B）（C）（D）（10）设抛物线C:y2=4x的焦点为F，直线L过F且与C交于A, B两点．若|AF|=3|BF|，则L的方程为（A）y=x-1或y=-x+1 （B）y=3（X-1）或y=-3（x-1）（C）y=（x-1）或y=-（x-1）（D）y=（x-1）或y=-（x-1）（11）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c ，下列结论中错误的是（A）（B）函数y=f（x）的图像是中心对称图形（C）若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（-∞，x0）单调递减（D）若x0是f（x）的极值点，则f′（x0）=0（12）若存在正数x使2x（x-a）＜1成立，则a 的取值范围是（A）（-∞，+∞）（B）（-2, +∞）（C）（0, +∞）（D）（-1，+∞）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
(完整版)2013年高考文科数学全国新课标卷2试题与答案
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(全国卷II 新课标)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．)已知集合M ＝{x |－3＜x ＜1}，N ＝{－3，－2，－1,0,1}，则M ∩N ＝( )．A ．{－2，－1,0,1}B ．{－3，－2，－1,0}C ．{－2，－1,0}D ．．{－3，－2，－1}2． 21i+＝( )． A． B ．2 CD ．．13．设x ，y 满足约束条件10,10,3,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则z ＝2x －3y 的最小值是( )．A ．－7B ．－6C ．－5D ．－34．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，πB =，π4C =，则△ABC 的面积为( )． A ． B C ．2 D 15．设椭圆C ：2222=1x y a b +(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )．A ．6B ．13C ．12 D ．36．已知sin 2α＝23，则2πcos 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝( )． A ．16 B ．13 C ．12 D ．23 7．执行下面的程序框图，如果输入的N ＝4，那么输出的S ＝( )．A ．1111+234++B ．1111+232432++⨯⨯⨯C ．11111+2345+++D ．11111+2324325432+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯8．设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则()．A ．a ＞c ＞bB ．b ＞c ＞aC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b9．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )．10．设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若|AF |＝3|BF |，则l 的方程为( )． A ．y ＝x －1或y ＝－x ＋1 B ．y＝1)x -或y＝1)x -C ．y＝(1)3x -或y＝(1)3x -- D ．y＝(1)2x -或y＝(1)2x --11．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，下列结论中错误的是( )．A ．∃x0∈R ，f(x0)＝0B ．函数y ＝f(x)的图像是中心对称图形C ．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D ．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝012．若存在正数x 使2x (x －a )＜1成立，则a 的取值范围是( )．A ．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞) C ．(0，＋∞) D ．(－1，＋∞) 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是__________． 14．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅u u u r u u u r ＝__________.15．已知正四棱锥O －ABCD的体积为2，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为__________． 16．函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ＜π)的图像向右平移π2个单位后，与函数y ＝πsin 23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图像重合，则φ＝__________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17． (本小题满分12分)已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列．(1)求{a n }的通项公式；(2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.18． (本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点．(1) 证明：BC 平行面CD A 1 (2) 设,22,21====AB CB AC AA 求三棱锥DE A C 1-的体积19． (本小题满分12分)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品．以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T表示为X的函数；(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率．20． (本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为y轴上截得线段长为(1)求圆心P的轨迹方程；，求圆P的方程．(2)若P点到直线y＝x的距离为221． (本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2e－x.(1)求f(x)的极小值和极大值；(2)当曲线y＝f(x)的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围．22． (本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE ＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆．23． (本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知动点P，Q都在曲线C：2cos,2sinx ty t=⎧⎨=⎩(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0＜α＜2π)，M为PQ的中点．(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．24．)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：(1)ab＋bc＋ca≤13；(2)222a b c b c a++≥1.2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(全国卷II 新课标)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案：C解析：由题意可得，M ∩N ＝{－2，－1,0}．故选C.2．答案：C解析：∵21i +＝1－i ，∴21i +＝|1－i|. 3．答案：B解析：如图所示，约束条件所表示的区域为图中的阴影部分，而目标函数可化为233z y x =-，先画出l 0：y ＝23x ，当z 最小时，直线在y 轴上的截距最大，故最优点为图中的点C ，由3,10,x x y =⎧⎨-+=⎩可得C (3,4)，代入目标函数得，z min ＝2×3－3×4＝－6.4．答案：B解析：A ＝π－(B ＋C )＝ππ7ππ6412⎛⎫-+=⎪⎝⎭， 由正弦定理得sin sin a b A B=，则7π2sin sin 12πsin sin 6b A a B === ∴S △ABC＝11sin 21222ab C =⨯⨯⨯=. 5．答案：D解析：如图所示，在Rt △PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，设|PF 2|＝x ，则|PF 1|＝2x ，由tan 30°＝212||||23PF x F F c ==，得3x c =.而由椭圆定义得，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝3x ，∴32a x ==，∴c e a ===6． 答案：A 解析：由半角公式可得，2πcos 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝π21cos 211sin 21232226αα⎛⎫++- ⎪-⎝⎭===. 7．答案：B解析：由程序框图依次可得，输入N ＝4，T ＝1，S ＝1，k ＝2；12T =，11+2S =，k ＝3； 132T =⨯，S ＝111+232+⨯，k ＝4； 1432T =⨯⨯，1111232432S =+++⨯⨯⨯，k ＝5； 输出1111232432S =+++⨯⨯⨯. 8．答案：D解析：∵log 25＞log 23＞1，∴log 23＞1＞21log 3＞21log 5＞0，即log 23＞1＞log 32＞log 52＞0，∴c ＞a ＞b .9．答案：A解析：如图所示，该四面体在空间直角坐标系O －xyz 的图像为下图：则它在平面zOx 的投影即正视图为，故选A.10．答案：C解析：由题意可得抛物线焦点F (1,0)，准线方程为x ＝－1.当直线l 的斜率大于0时，如图所示，过A ，B 两点分别向准线x ＝－1作垂线，垂足分别为M ，N ，则由抛物线定义可得，|AM |＝|AF |，|BN |＝|BF |.设|AM |＝|AF |＝3t (t ＞0)，|BN |＝|BF |＝t ，|BK |＝x ，而|GF |＝2，在△AMK 中，由||||||||NB BK AM AK =，得34t x t x t=+， 解得x ＝2t ，则cos ∠NBK ＝||1||2NB t BK x ==， ∴∠NBK ＝60°，则∠GFK ＝60°，即直线AB 的倾斜角为60°.∴斜率k y 1)x －．当直线l 的斜率小于0时，如图所示，同理可得直线方程为y ＝1)x －，故选C.11．答案：C解析：若x 0是f (x )的极小值点，则y ＝f (x )的图像大致如下图所示，则在(－∞，x 0)上不单调，故C 不正确．12．答案：D解析：由题意可得，12x a x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭(x ＞0)． 令f (x )＝12x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，该函数在(0，＋∞)上为增函数，可知f (x )的值域为(－1，＋∞)，故a ＞－1时，存在正数x 使原不等式成立．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。