2.2 基本不等式(答案版)

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高中试卷-2.2 基本不等式(含答案)

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！2.2 基本不等式1. 利用基本不等式比较大小；2. 变形技巧：“1”的代换；3. 证明不等式；4. 不等式的证明技巧—字母轮换不等式的证法；5. 求参数的取值范围问题；6.求最大（小）值；7.均值不等式在实际问题中的应用一、单选题1．（2021·浙江高一单元测试）若0a B ．11a b>C ．222a b ab +>D ．a b +>-【答案】D 【解析】因为0a ->a b 所以a b >，11a b -<-即11a b>，故A ，B 正确.因为()20a b -³，所以222a b ab +³，所以222a b ab +>故C 正确.当 2,1a b =-=-时， +<-a b D 错误.故选：D2．（2021·全国高一课时练习）若0a b << ，则下列不等式一定成立的是（）A ．2a ba b +>>>B ．2a bb a +>>>C ．2a bb a +>>>D ．2a bb a +>>>【答案】C 【解析】因为0a b <<，所以2b a b >+，又由基本不等式可得：2a b +>，所以2a bb +>>，又2ab a >a >，因此2a bb a +>>>.故选：C.3．（2021·黑龙江南岗·哈师大附中高一期末）已知x ，y ＞0且x+4y=1，则11x y+的最小值为（）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】B 【解析】0x y Q ，＞且41x y += ，∴111144 1459x y x y x y x y y x +=++=+++³+（）（）．当且仅当1136x y ，==时，等号成立．∴11x y+的最小值为9．故选：B ．4．（2021·浙江高一单元测试）如图，某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y （单位：10万元）与营运年数x （x ∈N ）为二次函数关系，若使营运的年平均利润最大，则每辆客车应营运A ．3年B ．4年C ．5年D ．6年【答案】C 【解析】可设y=a(x －6)2+11，又曲线过(4，7)，∴7=a(4－6)2+11 ∴a=－1．即y=－x 2+12x －25，∴=12－(x+)≤12－2=2，当且仅当x=5时取等号. 故选C ．5．（2021·浙江鄞州·宁波华茂外国语学校高三一模）已知实数0a >，0b >，11111a b +=++，则2+a b 的最小值是（）A ．B ．C ．3D ．2【答案】B 【解析】∵0a >，0b >，11111a b +=++∴112(1)12(1)2(1)3[(1)2(1)](3[12]31111b a a b a b a b a b a b +++=+++-=+++×+-=+++-++++³-当且仅当2(1)111b a a b ++=++，即a =，b =.故选B6．（2021·全国高三课时练习（理））已知关于x 的不等式227x x a+³-在(,)x a Î+¥上恒成立，则实数a 的最小值为（）A ．1B ．52C ．2D ．32【答案】D 【解析】设2()2f x x x a=+-，,0x a x a >\->Q ， 227x x a+³-在(,)x a Î+¥上恒成立，需min ()7f x ³，22()22()222242f x x x a a a a x a x a=+=-++³´+=+--，当且仅当11x a x a -==-，即1x a =+时等号成立，3427,2a a \+³³.故选：D.7．（2021·广西兴宁·南宁三中高一期末）已知0a >，0b >，1ab =，且1m b a =+，1n a b=+，则m n +的最小值是（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】由1ab =知，12m b b a =+=，12n a a b=+=，\()24m n a b +=+³=，当且仅当1a b ==时取等号.故m n +的最小值为4故选：B8．（2021·皇姑·辽宁实验中学高三其他（文））已知实数,x y 满足221x xy y -+=，则x y +的最大值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】原式可化为：22()1313(2x y x y xy ++=+£+，解得22x y -£+£，当且仅当1x y ==时成立．所以选B.9．（2021·河南高二期末（理））设,,a b c 为任意正数．则111,,a b c b c a+++这三个数（）A ．都大于2B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于2【答案】C 【解析】假设三个数均小于2，即1112,2,2a b c b c a +<+<+<，故1116a b c a b c+++++<，而1116a b c a b c +++++³++=，当1a b c ===时等号成立，这与1116a b c a b c+++++<矛盾，故假设不成立，故至少有一个不小于2，C 正确；取2a b c ===，计算排除BD ；取1a b c ===，计算排除A.故选：C.10．（2021·浙江金华·高一期末）已知x ，0y >，则41x y x y+++的最小值为（）A ．B ．6C ．D ．【答案】B 【解析】因为x ，0y >，由基本不等式可得，416x y x y +++³=，当且仅当2,1x y ==时等号成立．故选：B ．二、多选题11．（2021·浙江高一单元测试）已知函数11(0)y x x x=++<，则该函数的（）．A ．最小值为3B ．最大值为3C ．没有最小值D ．最大值为1-【答案】CD 【解析】0x <Q ，\函数111()111()y x x x x éù=++=--++-+=-êú-ëû…，当且仅当1x =-时取等号，\该函数有最大值1-．无最小值．故选：CD ．12．（2021·海南高二期末）已知实数a 、b 满足0a b >>，则下列不等式一定成立的有（）A ．22a b D ．a b ab+>【答案】BC 【解析】因为0a b >>，于是22a b >，A 项不成立；由0a b >>得a b -<-，B 项正确；由基本不等式可知2b a a b +³=，因为a b ¹，所以等号取不到，所以C 项正确；当3a =，2b =时，D 项不成立.故选：BC.13．（2021·山东德州·高三二模）若正实数a ，b 满足1a b +=则下列说法正确的是（）A ．ab 有最大值14BC ．11a b+有最小值2D ．22a b +有最大值12【答案】AB 【解析】对A,2211224a b ab +æöæö£==ç÷ç÷èøèø,当且仅当12a b ==时取等号.故A 正确.对B,22a b a b a b =++£+++=,+£,当且仅当12a b ==时取等号.故B 正确.对C,()1111224b a a b a b a b a b æö+=++=++³+è=ç÷ø.当且仅当12a b ==时取等号.所以11a b +有最小值4.故C 错误.对D, ()()2222222121a b a ab b a a bb+=Þ++=£+++,即2212a b +³,故22a b +有最小值12.故D 错误.故选：AB14．（2021·山东泰山·泰安一中高一期中）设0a >，0b >，给出下列不等式恒成立的是（）.A ．21a a+>B ．296a a+>C ．()114a b a b æö++³ç÷èøD ．114a b a b æöæö++³ç÷ç÷èøèø【答案】ACD 【解析】设0a >，0b >，22131024a a a æö+-=++>ç÷èø，A 成立，2296(3)0a a a +-=-…，B 不成立()111124b a a b a b a b æö++=+++³+=ç÷èø，当且仅当b a a b =即a b =时取等号，故C 成立，12a a +…，12b b +…，114a b a b æöæö\++³ç÷ç÷èøèø，当且仅当1a a =，1b b =即1a b ==时取等号，故D 成立，故选：ACD ．三、填空题15．（2021·浙江高一单元测试）已知04x <<，则414x x+-的最小值为______．【答案】94．【解析】用“1”的代换法配凑出定值，然后用基本不等式得最小值．4144114(4)95444444x x x x x x x x x x +--æöæöæö+=+=++ç÷ç÷ç÷---èøèøèø…，当且仅当4(4)4x x x x -=-，解得1288,3x x ==，又因为04x <<，所以83x =时等号成立．故答案为：94．16．（2021·全国高一）若0, 0a >b >，则“4a b +£”是 “4ab £”的_____条件【答案】充分不必要【解析】当0,0a b >>时，由基本不等式，可得a b +³，当4a b +£时，有4a b £+£，解得4ab £，充分性是成立的；例如：当1,4a b ==时，满足4ab £，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +£”是“4ab £”的充分不必要条件.故答案为充分不必要条件.17．（2021·全国高一）若实数x ，y 满足xy=1，则x 2+4y 2的最小值为______．【答案】4【解析】若实数,x y 满足1xy=,则2242244x y x y xy +³××==,当且仅当2x y ==,上式取得最小值4故答案为：4四、双空题18．（2021·全国高一课时练习）若1x >，则1141x x ++-的最小值是______，此时x =______.【答案】9 32【解析】因为1x >，即10x ->所以1114=4(1)545911x x x x ++-++³+=--当且仅当14(1)1x x -=-即32x =时取等号．故第一空填9，第二空填3219．（2021·浙江鄞州·宁波诺丁汉附中高一期中）用一根长为12m 的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架（不计损耗），要使这个窗户通过的阳光最充足，则框架的宽为________m ；高为________m .【答案】323 【解析】设窗户的宽为x ，则其高为62x -，要使阳光充足，只要面积最大，()()()23962232[]22x x S x x x x +-=-=-£´=，当且仅当32x =时等号成立，这时高为3m .故答案为：(1).32(2). 3用基本不等式求最值问题:已知0,0x y >>，则：(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x y =时，x y +有最小值是 .(简记：积定和最小)(2)如果和x y +是定值p ，那么当且仅当x y =时，xy 有最大值是24p.(简记：和定积最大)20．（2021·浙江金华·高一期中）已知正数a ，b 满足a+b=1，则1b a b+的最小值等于__________ ，此时a=____________.【答案】3 12【解析】根据题意，正数a 、b 满足1a b +=，则1113b b a b b a a b a b a b ++=+=++³=，当且仅当12a b ==时，等号成立，故1b a b+的最小值为3，此时12a =.故答案为：3；12.21．（2017·北京人大附中高一期中）已知正数x 、y 满足1x y +=，则：（1）22xy +的最小值为________．（2）若14a x y+>恒成立，则实数a 的取值范围是______．【答案】12(),9-¥ 【解析】(1)因为正数x ､y 满足1x y +=,所以21()24x y xy +£=,当且仅当12x y ==时取等号,所以2221()2122x y x y xy xy =+-=-³+;(2)因为正数x ､y 满足1x y +=,14144()1459x y x y x y x y y x\+=++=+++³+=,当且仅当4x y y x =,即12,33x y ==时取等号,所以9a <;故答案为:()1;,92-¥五、解答题22．（2021·全国高一课时练习）已知a ，b ，c 为任意实数，求证：222a b c ab bc ca ++++…．【答案】见解析【解析】∵222a b ab +…，22222,2b c bc c a ca ++……，∴()22222()a b c ab bc ca ++++…．即222a b c ab bc ca ++++…．当且仅当a b c ==时，等号成立．23．（2021·全国）设a ，b ，c 都是正数，求证：bc ca ab a b c a b c++++…．【答案】详见解析【解析】证明：∵a ，b ，c 都是正数，∴由重要不等式可得：2bc ca c a b +³①，当且仅当bc ac a b =时等号成立，即a b =；2bc ab b a c +³②，当且仅当bc ab a c =时等号成立，即a c =；2ac ab a b c +³=③，当且仅当ac ab b c =时等号成立，即b c =；∴①+②+③得：22()bc ca ab a b c a b c æö++³++ç÷èø∴bc ca ab a b c a b c++++…；当且仅当a b c ==时等号成立.24．（2021·全国高一课时练习）已知a>0，b>0，a ＋b ＝1，求证：11119a b æöæö++³ç÷ç÷èøèø.【答案】证明见解析【解析】证明：法一：因为a>0，b>0，a ＋b ＝1，所以1＋1a ＝1＋a b a +＝2＋b a ，同理1＋1b ＝2＋a b，故11112252549b a b a a b a b a b æöæöæöæöæö++=++=++³+=ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøèø.所以11119a b æöæö++³ç÷ç÷èøèø（当且仅当12a b ==时取等号）.法二：111111211111a b a b a b ab ab ab ab +æöæö++=+++=++=+ç÷ç÷èøèø，因为a ，b 为正数，a ＋b ＝1，所以ab≤2124a b +æö=ç÷èø，于是14ab ³，28ab ³，因此1111189a b æöæö++³+=ç÷ç÷èøèø（当且仅当12a b ==时取等号）.25．（2021·全国高一课时练习）用篱笆围一个面积为2100m 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？【答案】矩形的长、宽都为10m 时，所用篱笆最短，最短篱笆为40m .【解析】设矩形菜园的长为m x ，宽为m y ，则100xy =，篱笆的长为()2x y m +.由基本不等式可得()2240x y +³´=，当且仅当10x y ==时，等号成立，因此，这个矩形的长、宽都为10m 时，所用篱笆最短，最短篱笆为40m .26．（2021·浙江高一单元测试）(1)已知x >3，求y =x +4x 3的最小值，并求取到最小值时x 的值；(2)已知x >0，y >0，x 2+y 3=2，求xy 的最大值，并求取到最大值时x 、y 的值．【答案】(1)当x =5时，y 的最小值为7．(2) x =2，y =3时，xy 的最大值为6．【解析】(1)已知x >3，则：x ―3>0，故：y =x +4x 3=x ―3+4x 3+3≥3=7，当且仅当：x ―3=4x3，解得：x =5，即：当x =5时，y 的最小值为7．(2)已知x >0，y >0，x 2+y 3=2，则：x 2+y 3≥解得：xy ≤6，即：x 2=y 3=1，解得：x =2，y =3时，xy 的最大值为6．27．（2021·浙江高一单元测试）已知0,0x y >>且191x y +=，求使不等式x y m +³恒成立的实数m 的取值范围．【答案】16m ….【解析】由191x y +=，则19()x y x y x y æö+=++ç÷èø910x y y x =++1016+=…．当且仅当169x y x y y x +=ìïí=ïî即412x y =ìí=î时取到最小值16．若x y m +…恒成立，则16m …．。

2_2 基本不等式-高中数学人教A版(2019)必修第一册

第二章一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式（第1课时）2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标思考1：这图案中含有怎样的几何图形？思考2：你能发现图案中的相等关系或不等关系吗？三国时期吴国的数学家赵爽，用来证明勾股定理。

22222222)2(2)()214c b a c a ab b ab c a b ab =+∴=+−+∴=−+⋅ （证明：a b （1）大正方形边长为___________，面积S 为______________（2）四个直角三角形________，面积和S’为_______________（3）S 与S’的大小关系是_________，故有_______（4）S 与S’可能相等吗？满足什么条件时相等？22b a +22b a +全等ab2'S S >ab b a 222>+a b 上述结论可描述为：ab b a b a 20,022≥+>>时，当成立吗？如何证明？为任意实数时，上式还、）当（b a 5时取等）。

当且仅当证明：b a ab b a b ab a b a =≥+∴≥+−∴≥−(2020)(22222 此不等式称为重要不等式1、基本不等式0,0,,,,a b a b a b >>如果我们用分别代替可得到什么结论？22()()2a b a b+⋅≥2a b ab +≥替换后得到：即：),0,0(时取等当且仅当b a b a =>>2a b ab +≥即：基本不等式ab b a ≥+2注意：0,01>>b a 、时取等、取等条件：当且仅当b a =2叫几何平均数叫算术平均数，、ab ba 23+基本不等式的几何解释A B C D E a b O 如图, AB 是圆的直径, O 为圆心，点C 是AB 上一点, AC=a , BC=b . 过点C 作垂直于AB 的弦DE,连接AD 、BD 、OD.②如何用a , b 表示CD? CD=______①如何用a , b 表示OD? OD=______2+a bab③OD 与CD 的大小关系怎样? OD_____CD ≥几何意义：半径不小于半弦长定理当点C 在什么位置时OD=CD ？此时a 与b 的关系是？基本不等式的证明2a b ab +≥证明：要证只要证_______a b +≥只要证_____0a b +−≥只要证2(______)0−≥显然, 上式是成立的.当且仅当a =b 时取等。

新必修一-2.2基本不等式精选练习(含答案)

新人教2019版基本不等式精选练习(含答案)一．选择题（共30小题）1．若直线过点（1，2），则a+b的最小值等于（）A．3 B．4 C．D．2．若x＞0，y＞0，且+＝1，x+2y＞m2+7m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣8，1）B．（﹣∞，﹣8）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（8，+∞）D．（﹣1，8）3．直角三角形面积为50，则两直角边和的最小值是（）A．10 B．20 C．30 D．404．如果b＜a＜0，那么下列不等式错误的是（）A．a2＞b2 B．a﹣b＞0 C．a+b＜0 D．|b|＞|a|5．已知实数a，b∈R+，且a+b＝2，则的最小值为（）A．9 B．C．5 D．46．若正数a，b满足＝，则当ab取最小值时，b的值为（）A．B．C．D．7．已知x，y＞0，，则x+2y的最小值为（）A．9 B．12 C．15 D．8．已知正实数满足a+2b＝1，则+的最小值为（）A．8 B．9 C．10 D．119．设a＞0，b＞0，若2a+b＝1，则+的最小值为（）A．2B．8 C．9 D．1010．已知正实数a，b满足，则的最小值为（）A．4 B．6 C．9 D．1011．已知a＞0，b＞0，且满足ab＝a+b+3，则a+b的最小值是（）A．2 B．3 C．5 D．612．对于任意实数a，b，c，d，下列命题中正确的是（）A．若a＞b，则ac＞bc B．若a＞b，c＞d，则ac＞bdC．若ac2＞bc2，则a＞b D．若a＞b，则13．已知x＞0，y＞0，2x﹣＝﹣y，则2x+y的最小值为（）A．B．2C．3D．414．两个正实数a，b满足3a+b＝1，则满足，恒成立的m取值范围（）A．[﹣4，3] B．[﹣3，4] C．[﹣2，6] D．[﹣6，2]15．下列说法正确的是（）A．若a＞b，则ac＞bc B．若a＞b，c＞d，则ac＞bdC．若a＞b，则a2＞b2D．若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d16．已知a＞﹣1，b＞0，a+2b＝1，则的最小值为（）A．B．C．7 D．917．若a，b＝R*，ab+2a+b＝4，则a+b的最小值为（）A．2 B．﹣1 C．2﹣2 D．2﹣318．设x，y∈R，且xy≠0，则的最小值为（）A．﹣9 B．9 C．10 D．019．若实数x，y满足x2y2+x2+y2＝8，则x2+y2的取值范围为（）A．[4，8] B．[8，+∞）C．[2，8] D．[2，4]20．若mn＝1，其中m＞0，则m+3n的最小值等于（）A．B．2 C．D．21．已知m＞0，xy＞0，当x+y＝2时，不等式≥4恒成立，则m的取值范围是（）A．[，+∞）B．[2，+∞）C．（0，] D．（，2]22．已知0＜x＜1，当取得最小值时x＝（）A．2﹣B．﹣1 C．D．23．设a＞0，b＞0，且a+b＝4，则的最小值为（）A．8 B．4 C．2 D．124．ab＞0，则的最小值为（）A．B．C．3 D．2 25．已知a＞0，b＞0，且2a+b＝ab﹣1，则a+2b的最小值为（）A．B．C．5 D．9 26．设x＞0，y＞0，不等式++≥0恒成立，则实数m的最小值是（）A．﹣2 B．﹣4 C．1 D．2 27．当x＞4时，不等式x+≥m恒成立，则m的取值范围是（）A．m≤8 B．m＜8 C．m≥8 D．m＞8 28．已知非负数x，y满足xy+y2＝1，则x+2y的最小值是（）A．B．2 C．D．29．若正数a，b满足4a+3b﹣1＝0，则的最小值为（）A．B．C．2D．30．若a，b都是正数，且a+b＝1，则（a+1）（b+1）的最大值为（）A．B．2 C．D．4二．填空题（共12小题）31．已知正数x，y满足x+2y＝3，则的最大值为．32．当x＜﹣1时，f（x）＝x+的最大值为．33．已知m＞0，n＞0，且m+n＝4，则+的最小值是34．已知x＞3，那么函数y＝+x﹣3的最小值是；35．若正实数a，b满足a+b＝4，则+的最小值是．36．已知正数a，b满足a2+b2＝6，则b的最大值为．37．已知正数x，y满足2x+y＝1，则的最小值是．38．已知m＞0，n＞0，且m+n＝2，则的最小值为．39．已知正数x，y满足x+y＝5，则的最小值为．40．设x＞0，y＞0，x+2y＝5，则的最小值为．41．已知正实数x，y满足x+2y＝4，则xy的最大值为，的最大值为．42．已知a，b∈R+且a+2b＝3，则的最小值是；的最小值是．三．解答题（共8小题）43．设x，y∈R+，+＝3，求2x+y的最小值．44．设a，b，c＞0，且ab+bc+ca＝1，求证：（1）a+b+c≥；（2）++≥（++）45．已知x＞0，y＞0，2xy＝x+4y+a．（1）当a＝16时，求xy的最小值；（2）当a＝0时，求x+y+的最小值．46．已知x，y∈R*，且．（1）求xy的最小值；（2）求4x+6y的最小值．47．（1）已知x＞1，求2x+的最小值；（2）已知x＞y＞0，求x2+的最小值．48．若正数a，b满足a+b＝1，求+的最小值．49．（1）已知a＞0，b＞0，比较与a+b的大小；（2）已知正实数x，y满足x+y＝1，求的最小值．50．已知实数x，y，若x≥0，y≥0且x+y＝3，则的最大值．基本不等式精选练习答案一．选择题（共30小题）1．故选：C．2．故选：A．3．故选：B．4．故选：A．5．故选：B．6．故选：A．7．故选：D．8．故选：B．9．10．故选：C．11．故选：D．12．故选：C．13．故选：C．14．．故选：B．15．故选：D．16．故选：B．17．故选：D．18．故选：B．19．故选：A．20．故选：C．21．故选：B．22．故选：D．23．故选：D．24．故选：A．25．故选：A．26．故选：B．27．故选：A．28．故选：B．29．故选：A．30．故选：C．二．填空题（共12小题）31．．32．﹣3．33．1．34．2 35．．36．5．37．25．38．．39．．40．441．2；3 42．3，3三．解答题（共8小题）43．最小值为．44．45．（1）∴xy的最小值为16．（2）最小值为．46．（1）最小值24；（2）最小值50．47．（1）最小值为2+2；（2）最小值为8．48．最小值为．49．（1）∴≥a+b（当且仅当a＝b时取等号）（2）当且仅当x＝y＝时有最小值为1．50．的最大值为．。

高中试卷-2.2 基本不等式练习(1)(含答案)

第二章　一元二次函数、方程和不等式2.2等式性质与不等式性质（共2课时）（第1课时）一、选择题1．（2019·内蒙古集宁一中高一期末）下列不等式一定成立的是（）A ．a b2B ．a b 2≤C ．x +1x ≥2D ．x 2+1x 2≥2【答案】D【解析】当a ,b ,x 都为负数时，A,C 选项不正确.当a ,b 为正数时，B 选项不正确.根据基本不等式，有x 2+1x 2≥=2，故选D.2．（2019山东师范大学附中高一期中）已知x ＞0，函数9y x x=+的最小值是（）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】∵x ＞0，∴函数96y x x =+³=，当且仅当x=3时取等号，∴y 的最小值是6．故选：C ．3.（2019广东高一期末）若正实数a ，b 满足a +b =1，则下列说法正确的是( )A ．ab 有最小值14BC ．1a +1b 有最小值4D ．a 2+b 2【答案】C【解析】∵a >0，b >0，且a +b =1；∴1=a +b ≥∴ab ≤14；∴ab 有最大值14，∴选项A 错误；=a +b =1+1+=2，∴B 项错误.1a+1b ==1ab ≥4，∴1a +1b 有最小值4，∴C 正确；a 2+b 2=(a +b )2―2ab =1―2ab ≥1―2×14=12,∴a 2+b 2的最小值是12，不是∴D 错误．4．（2019·柳州市第二中学高一期末）若x >―5，则x +4x 5的最小值为（）A ．-1B ．3C ．-3D ．1【解析】x +4x5=x +5+4x 5―5≥2×2―5=―1，当且仅当x =―3时等号成立，故选A.5．（2019吉林高一月考）若()12f x x x =+- (2)x >在x n =处取得最小值，则n =（）A ．52B ．3C ．72D ．4【答案】B 【解析】：当且仅当时,等号成立;所以,故选B.6．（2019·广西桂林中学高一期中）已知5x 2³,则f(x)= 24524x x x -+-有A ．最大值B ．最小值C ．最大值1D ．最小值1【答案】D【解析】()()()2211112122222x f x x x x -+éù==-+³=ê--ëû当122x x -=-即3x =或1（舍去）时， ()f x 取得最小值1二、填空题7．（2019·宁夏银川一中高一期末）当1x £-时，1()1f x x x =++的最大值为__________.【答案】-3.【解析】当1x £-时，()11[(1)111f x x x x x =+=--+--++又1(1)21x x -+-³+，()11[(1)1311f x x x x x =+=--+--£-++,故答案为：-38．（2019·上海市北虹高级中学高一期末）若0m >，0n >，1m n +=，且41m n+的最小值是___.【答案】9【解析】∵0m >，0n >，1m n +=，4()5414519n m m n m n m n m n æö\+=++=+++=ç÷èø…,当且仅当12,33n m == 时“=”成立，故答案为9.9．（2019·浙江高一期末）已知0a >，0b >，若不等式212ma b a b+³+恒成立，则m 的最大值为【答案】9.【解析】由212m a b a b +³+得()212m a b a b æö£++ç÷èø恒成立，而()212225a b a b a b b a æö++=++ç÷èø5549³+=+=，故9m £，所以m 的最大值为9.10．（2019·浙江高一月考）设函数24()(2)(0)f x x x x x=-++>．若()4f x =，则x =________．【答案】2【解析】因为2(2)0y x =-³，当2x =时，取最小值；又0x >时，44y x x=+³=，当且仅当06（，），即2x =时，取最小值；所以当且仅当2x =时，24()(2)f x x x x=-++取最小值(2)4f =.即()4f x =时，2x =.故答案为2三、解答题11．（2016·江苏高一期中）已知a ＞0，b ＞0，且4a ＋b ＝1，求ab 的最大值；（2）若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，求3x ＋4y 的最小值；（3）已知x ＜54，求f （x ）＝4x －2＋145x -的最大值；【答案】（1）的最大值；（2）的最小值为5；（3）函数的最大值为【解析】（1）,当且仅当,时取等号，故的最大值为（2），当且仅当即时取等号（3）当且仅当,即时,上式成立,故当时,函数的最大值为.12．（2019·福建高一期中）设0,0,1a b a b >>+= 求证：1118a b ab++³ 【答案】可以运用多种方法。

2.2 基本不等式(精讲)(解析版)

x
，
y
满足
1 y
3 x
5
，则
3x
4
y
的最小值
是（）
24
A．
5
【答案】C
28
B．
5
C．5
D．25
【解析】正数 x ， y 满足 1 3 5 ，则 yx
3x
4y
1 5
(3x
4 y)(
1 y
3) x
1 5
13
3x y
12 y x
1 5
13
3
2
x y
4y x
5
，当且仅当
x
2
y
1
时取等
号．3x 4 y 的最小值是 5．故选：C．
思维导图
2.2 基本不等式
常见考法
考点一公式的直接运用
【例 1】（1）（2020·全国高一课时练习）若 0 a 1 ，则 a 1 2a 的最大值是
2
1
A．
8
1
B．
4
1
C．
2
D．1
（2）（2020·全国高一课时练习）已知
x
1 ，求函数
y
x
1
的最小值是
x 1
A．4
B．3
C．2
D．1
（）（)
【答案】（1）A（2）D
C
2．（2020·上海高一开学考试）已知 x 2 ，函数 y
x
4
2
x
的最小值是（
）
A．5
B．4
C．8
D．6
【答案】D
【解析】因为该函数的单调性较难求，所以可以考虑用不等式来求最小值，

2.2 基本不等式(原卷版附答案).pdf

2.2 基本不等式考点1：利用基本不等式比较大小1．重要不等式如果a ,b ∈R,那么a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时取“＝”)．2．基本不等式：≤ab a ＋b 2（1）基本不等式成立的条件：a ,b 均为正实数；（2）等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．3．算术平均数与几何平均数（1）设a >0,b >0,则a ,b 的算术平均数为,几何平均数为；a ＋b 2ab （2）基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．【例1】　已知0<a <1,0<b <1,则a ＋b ,2,a 2＋b 2,2ab 中哪一个最大？ab 【方法技巧】（1）在使用基本不等式≤(a ≥0,b ≥0)时,要注意不等式的双向性．ab a ＋b 2①从左到右：常使用基本不等式的变形公式ab ≤；22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ②从右到左：常使用a ＋b ≥2.ab （2）运用基本不等式比较大小应注意等号成立的条件．（3）特殊值法是解决不等式的一个有效方法, 但要使特殊值具有一般性．【针对训练】1. 下列不等式中,正确的个数是( )①若a ,b ∈R,则≥；②若x ∈R,则x 2＋2＋≥2；a ＋b2ab 1x2＋2③若x ∈R,则x 2＋1＋≥2；④若a ,b 为正实数,则≥.1x2＋1a ＋b2ab A ．0 B ．1 C ．2 D ．32．已知m ＝a ＋(a >2),n ＝22－b 2(b ≠0),则m ,n 之间的大小关系是________．1a －2考点2：利用基本不等式证明不等式【例2】　已知a ,b ,c 为不全相等的正实数．求证：a ＋b ＋c >＋＋.ab bc ca 【方法技巧】1．所证不等式一端出现“和式”,而另一端出现“积式”,这便是应用基本不等式的“题眼”,可尝试用基本不等式证明．2．利用基本不等式证明不等式的注意点（1）多次使用基本不等式时,要注意等号能否成立；（2）累加法是不等式证明中的一种常用方法,证明不等式时注意使用；（3）对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合,形成基本不等式模型,再使用．【针对训练】3．已知a ,b ,c 为正实数,且a ＋b ＋c ＝1,求证：8111111≥⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-c b a 考点3：基本不等式的实际应用【例3】　如图,动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间,一面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成．（1）现有可围36 m 长网的材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使每间虎笼面积最大？（2）要使每间虎笼面积为24 m 2,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？【变式练习】某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为400平方米的三级污水处理池,平面图如图所示．池外圈建造单价为每米200元,中间两条隔墙建造单价为每米250元,池底建造单价为每平方米80元(池壁的厚度忽略不计,且池无盖)．试设计污水池的长和宽,使总造价最低,并求出最低造价．考点4：利用基本不等式求最值1．用基本不等式求最值的结论（1）设x ,y 为正实数,若x ＋y ＝s (和s 为定值),则当x ＝y ＝时,积xy 有最大值为．s 2s24（2）设x ,y 为正实数,若xy ＝p (积p 为定值),则当x ＝y ＝时,和x ＋y 有最小值为2．p p 2．基本不等式求最值的条件（1）x ,y 必须是正数．（2）求积xy 的最大值时,应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时,应看积xy 是否为定值．（3）等号成立的条件是否满足．思考：利用基本不等式求最值时应注意哪几个条件？若求和(积)的最值时,一般要确定哪个量为定值？[提示]　三个条件是：一正,二定,三相等．求和的最小值,要确定积为定值；求积的最大值,要确定和为定值．【例4】　设x ,y ,z 均是正数,x －2y ＋3z ＝0,则的最小值为________．y2xz 【方法技巧】1．本题解题的关键是根据已知条件消掉目标函数中的y ,通过对目标函数的变形,转化为考生所熟悉的使用基本不等式求最值的问题．2．使用基本不等式求最值,必须同时满足三个条件：①各项均为正数；②其和或积为定值；③等号必须成立,即“一正、二定、三相等”．在具体问题中,“定值”条件决定着基本不等式应用的可行性,决定着成败的关键．【针对训练】4．已知x >0,y >0,且＋＝1,试求x ＋y 的最小值．1x 9y考点过关1．下列不等式中,正确的是( )A ．a ＋≥4B ．a 2＋b 2≥4ab 4a C.≥ D ．x 2＋≥2ab a ＋b 23x232．a ,b ∈R ,则a 2＋b 2与2|ab |的大小关系是( )A ．a 2＋b 2≥2|ab |B ．a 2＋b 2＝2|ab |C ．a 2＋b 2≤2|ab |D ．a 2＋b 2>2|ab |3．已知a ≥0,b ≥0,且a ＋b ＝2,则( )A ．ab ≤ B ．ab ≥1212C ．a 2＋b 2≥2 D ．a 2＋b 2≤34．若a >0,b >0,a ＋2b ＝5,则ab 的最大值为( )A ．25 B.252C. D.2542585．已知x ＞0,函数的最小值是（）9y x x =+A ．2B ．4C ．6D ．87．设a ,b 为正数,且a ＋b ≤4,则下列各式中正确的一个是( )A.＋<1B.＋≥11a 1b 1a 1b C.＋<2 D.＋≥21a 1b 1a 1b 8．设a ,b 为正数,且a ＋b ≤4,则下列各式中正确的一个是( )A ．＋<1B ．＋≥11a 1b 1a 1b C ．＋<2D ．＋≥21a 1b 1a 1b 9．若x >0,y >0,且＋＝1,则xy 有( )2x 8y A ．最大值64B ．最小值164C ．最小值D ．最小值641210．已知x >0,y >0,且x ＋y ＝8,则(1＋x )(1＋y )的最大值为( )A ．16B ．25C ．9D ．36二、填空题11．若a >0,b >0,且＋＝,则a 3＋b 3的最小值为________．1a 1b ab 12．已知0<x <1,则x (3－3x )取得最大值时x 的值为________．13．若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1,则x ＋y 的最大值是________．14．建造一个容积为8 m 3,深为2 m 的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价分别为120元/m 2,80元/m 2,那么水池的最低总造价为________元．三、解答题15．设a ,b ,c 都是正数,试证明不等式：＋＋≥6.b ＋c a c ＋a b a ＋b c 16. 设求证：0,0,1a b a b >>+=1118a b ab ++≥17．某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动,经调查,该产品的年销售量(即该产品的年产量)x (单位：万件)与年促销费用m (m ≥0)(单位：万元)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数),如果不举行促销活动,该产品的年销售量是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用)．（1）将2020年该产品的利润y (单位：万元)表示为年促销费用m 的函数；（2）该厂家2020年的促销费用为多少万元时,厂家的利润最大？2.2 基本不等式考点1：利用基本不等式比较大小1．重要不等式如果a ,b ∈R,那么a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时取“＝”)．2．基本不等式：≤ab a ＋b2（1）基本不等式成立的条件：a ,b 均为正实数；（2）等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．3．算术平均数与几何平均数（1）设a >0,b >0,则a ,b 的算术平均数为,几何平均数为；a ＋b2ab （2）基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．【例1】　已知0<a <1,00,b >0,所以a ＋b ≥2,a 2＋b 2≥2ab ,ab 所以四个数中最大的数应为a ＋b 或a 2＋b 2.又因为0<a <1,0<b <1,所以a 2＋b 2－(a ＋b )＝a 2－a ＋b 2－b ＝a (a －1)＋b (b －1)<0,所以a 2＋b 2<a ＋b ,所以a ＋b 最大．法二：令a ＝b ＝,12则a ＋b ＝1,2＝1,a 2＋b 2＝,2ab ＝2××＝,ab 12121212再令a ＝,b ＝,a ＋b ＝＋＝,12181218582＝2＝,ab 12×1812所以a ＋b 最大．【方法技巧】（1）在使用基本不等式≤(a ≥0,b ≥0)时,要注意不等式的双向性．ab a ＋b2①从左到右：常使用基本不等式的变形公式ab ≤；22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ②从右到左：常使用a ＋b ≥2.ab （2）运用基本不等式比较大小应注意等号成立的条件．（3）特殊值法是解决不等式的一个有效方法, 但要使特殊值具有一般性．【针对训练】2. 下列不等式中,正确的个数是( )①若a ,b ∈R,则≥；②若x ∈R,则x 2＋2＋≥2；a ＋b2ab 1x2＋2③若x ∈R,则x 2＋1＋≥2；④若a ,b 为正实数,则≥.1x2＋1a ＋b2ab A ．0 B ．1 C ．2 D ．3C [显然①不正确；③正确；对于②,虽然x 2＋2＝无解,但x 2＋2＋＞2成立,故②正确；1x2＋21x2＋2④不正确,如a ＝1,b ＝4.]2．已知m ＝a ＋(a >2),n ＝22－b 2(b ≠0),则m ,n 之间的大小关系是________．1a －2m >n [因为a >2,所以a －2>0,又因为m ＝a ＋＝(a －2)＋＋2,所以m ≥2＋2＝4,由b ≠0,得b 2≠0,1a －21a －2（a －2）·1a －2所以2－b 2<2,n ＝22－b 2<4,综上可知m >n .考点2：利用基本不等式证明不等式【例2】　已知a ,b ,c 为不全相等的正实数．求证：a ＋b ＋c >＋＋.ab bc ca 思路探究：构造基本不等式的条件→运用基本不等式证明→判断等号成立的条件→得出结论[解]　∵a >0,b >0,c >0,∴a ＋b ≥2>0,ab b ＋c ≥2>0,bc c ＋a ≥2>0,ca∴2(a ＋b ＋c )≥2(＋＋),ab bc ca 即a ＋b ＋c ≥＋＋.ab bc ca 由于a ,b ,c 为不全相等的正实数,故等号不成立．∴a ＋b ＋c >＋＋.ab bc ca 【方法技巧】1．所证不等式一端出现“和式”,而另一端出现“积式”,这便是应用基本不等式的“题眼”,可尝试用基本不等式证明．2．利用基本不等式证明不等式的注意点（1）多次使用基本不等式时,要注意等号能否成立；（2）累加法是不等式证明中的一种常用方法,证明不等式时注意使用；（3）对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合,形成基本不等式模型,再使用．【针对训练】3．已知a ,b ,c 为正实数,且a ＋b ＋c ＝1,求证：8111111≥⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-c b a [证明]　因为a ,b ,c 为正实数,且a ＋b ＋c ＝1,所以－1＝＝≥.1a 1－a a b ＋c a 2bca 同理,－1≥,－1≥.1b 2ac b 1c 2abc 上述三个不等式两边均为正,相乘得≥··＝8,当且仅当a ＝b ＝c ＝时,取等号．⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-111111c b a 2bc a 2ac b 2ab c 13考点3：基本不等式的实际应用【例3】　如图,动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间,一面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成．（1）现有可围36 m 长网的材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使每间虎笼面积最大？（2）要使每间虎笼面积为24 m 2,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？思路探究：(1)已知a ＋b 为定值,如何求ab 的最大值？(2)已知ab 为定值,如何求a ＋b 的最小值？[解]　设每间虎笼长x m,宽y m,则由条件知：4x ＋6y ＝36,即2x ＋3y ＝18.设每间虎笼面积为S ,则S ＝xy .法一：由于2x ＋3y ≥2＝2,2x·3y 6xy ∴2≤18,得xy ≤,6xy 272即S ≤,当且仅当2x ＝3y 时,等号成立．272由解得{2x ＋3y ＝182x ＝3y ){x ＝4.5y ＝3.)故每间虎笼长4.5 m,宽3 m 时,可使面积最大．法二：由2x ＋3y ＝18,得x ＝9－y .32∵x >0,∴9－y >0,∴0<y <6,32S ＝xy ＝y ＝(6－y )·y .⎪⎭⎫ ⎝⎛-y 23932∵0<y <6,∴6－y >0,∴S ≤·＝.32()226⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-y y 272当且仅当6－y ＝y ,即y ＝3时,等号成立,此时x ＝4.5.故每间虎笼长4.5 m,宽3 m 时,可使面积最大．(2)由条件知S ＝xy ＝24.设钢筋网总长为l ,则l ＝4x ＋6y .法一：∵2x ＋3y ≥2＝2＝24,2x·3y 6xy ∴l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y )≥48.当且仅当2x ＝3y 时,等号成立．由,解得{2x ＝3y xy ＝24){x ＝6y ＝4.)故每间虎笼长6 m,宽4 m 时,可使钢筋网总长最小．法二：由xy ＝24,得x ＝.24y∴l ＝4x ＋6y ＝＋6y ＝6≥6×2＝48.96y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y y 1616y·y 当且仅当＝y ,即y ＝4时,等号成立,此时x ＝6.16y 故每间虎笼长6 m,宽4 m 时,可使钢筋网总长最小．【变式练习】某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为400平方米的三级污水处理池,平面图如图所示．池外圈建造单价为每米200元,中间两条隔墙建造单价为每米250元,池底建造单价为每平方米80元(池壁的厚度忽略不计,且池无盖)．试设计污水池的长和宽,使总造价最低,并求出最低造价．[解]　设污水池的长为x 米,则宽为米,总造价y ＝(2x ＋2·)·200＋2×250·＋80×400＝400＋32 000≥400×2＋32 000＝56 000(元),当且仅当x 400x 400x 400x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 900x·900x＝,即x ＝30时取等号．900x 故污水池的长为30米、宽为米时,最低造价为56 000元．403考点4：利用基本不等式求最值1．用基本不等式求最值的结论（1）设x ,y 为正实数,若x ＋y ＝s (和s 为定值),则当x ＝y ＝时,积xy 有最大值为．s 2s24（2）设x ,y 为正实数,若xy ＝p (积p 为定值),则当x ＝y ＝时,和x ＋y 有最小值为2．p p 2．基本不等式求最值的条件（1）x ,y 必须是正数．（2）求积xy 的最大值时,应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时,应看积xy 是否为定值．（3）等号成立的条件是否满足．思考：利用基本不等式求最值时应注意哪几个条件？若求和(积)的最值时,一般要确定哪个量为定值？[提示]　三个条件是：一正,二定,三相等．求和的最小值,要确定积为定值；求积的最大值,要确定和为定值．【例4】　设x ,y ,z 均是正数,x －2y ＋3z ＝0,则的最小值为________．y2xz [点拨]　由条件表示y ,代入到中,变形为能运用基本不等式求最值的形式,求出最小值,但要注意等号取到的条件．y2xz[解]　由x －2y ＋3z ＝0,得y ＝,x ＋3z 2∴＝＝≥＝3.y2xz x2＋9z2＋6xz 4xz 14⎪⎭⎫ ⎝⎛++69x z z x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅69241x z z x 当且仅当x ＝y ＝3z 时,取得最小值3.y2xz【方法技巧】1．本题解题的关键是根据已知条件消掉目标函数中的y ,通过对目标函数的变形,转化为考生所熟悉的使用基本不等式求最值的问题．2．使用基本不等式求最值,必须同时满足三个条件：①各项均为正数；②其和或积为定值；③等号必须成立,即“一正、二定、三相等”．在具体问题中,“定值”条件决定着基本不等式应用的可行性,决定着成败的关键．【针对训练】4．已知x >0,y >0,且＋＝1,试求x ＋y 的最小值．1x 9y[解]　∵x >0,y >0,且＋＝1,1x 9y∴x ＋y ＝(x ＋y )＝＋＋10≥2＋10＝16.(1x ＋9y )y x 9x y y x ·9x y 当且仅当＝,即y ＝3x 时等号成立．y x 9x y又＋＝1,∴当x ＝4,y ＝12时,(x ＋y )min ＝16.1x 9y考点过1．下列不等式中,正确的是( )A ．a ＋≥4B ．a 2＋b 2≥4ab4a C.≥ D ．x 2＋≥2ab a ＋b23x23解析：选D.a ＜0,则a ＋≥4不成立,故A 错；a ＝1,b ＝1,a 2＋b 2＜4ab ,故B 错,a ＝4,b ＝16,则＜,故C 错；由基本不等式可知D 项正确．4a ab a ＋b22．a ,b ∈R ,则a 2＋b 2与2|ab |的大小关系是( )A ．a 2＋b 2≥2|ab |B ．a 2＋b 2＝2|ab |C ．a 2＋b 2≤2|ab |D ．a 2＋b 2>2|ab |解析：∵a 2＋b 2－2|ab |＝(|a |－|b |)2≥0,∴a 2＋b 2≥2|ab |(当且仅当|a |＝|b |时,等号成立)．3．已知a ≥0,b ≥0,且a ＋b ＝2,则( )A ．ab ≤B ．ab ≥1212C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤3解析：∵a ＋b ＝2,∴a 2＋b 2＝a 2＋(2－a )2＝2a 2－4a ＋4＝2(a －1)2＋2,又由题意知0≤a ≤2,则2≤a 2＋b 2≤4,故选C.4．若a >0,b >0,a ＋2b ＝5,则ab 的最大值为( )A ．25 B.252C. D.254258解析：选D.a >0,b >0,a ＋2b ＝5,则ab ＝a ·2b ≤×＝,当且仅当a ＝,b ＝时取等号,故选D.1212(a ＋2b 2)2 25852545．已知x ＞0,函数的最小值是（）9y x x =+A ．2B ．4C ．6D ．8解析：∵x ＞0,∴函数,当且仅当x=3时取等号,96y x x =+≥=∴y 的最小值是6．故选：C ．7．设a ,b 为正数,且a ＋b ≤4,则下列各式中正确的一个是( )A.＋<1B.＋≥11a 1b 1a 1b C.＋<2 D.＋≥21a 1b 1a 1b 解析：因为ab ≤2≤2＝4,所以＋≥2≥2＝1.(a ＋b 2)(42)1a 1b 1ab 148．设a ,b 为正数,且a ＋b ≤4,则下列各式中正确的一个是( )A ．＋<1B ．＋≥11a 1b 1a 1b C ．＋<2D ．＋≥21a 1b 1a 1b 解析：　[因为ab ≤≤＝4,所以＋≥2≥2＝1.] 故选B(a ＋b 2)2(42)2 1a 1b 1ab 149．若x >0,y >0,且＋＝1,则xy 有( )2x 8y A ．最大值64B ．最小值164C ．最小值D ．最小值6412解析：D [由题意xy ＝xy ＝2y ＋8x ≥2＝8,∴≥8,即xy 有最小值64,等号成立的条件是x ＝4,y ＝16.](2x ＋8y )2y·8x xy xy 10．已知x >0,y >0,且x ＋y ＝8,则(1＋x )(1＋y )的最大值为( )A ．16B ．25C ．9D ．36解析：B [(1＋x )(1＋y )≤＝＝＝25,因此当且仅当1＋x ＝1＋y ,即x ＝y ＝4时,(1＋x )(1＋y )取最大值25,故选B .][（1＋x ）＋（1＋y ）2]2 [2＋（x ＋y）2]2(2＋82)2二、填空题11．若a >0,b >0,且＋＝,则a 3＋b 3的最小值为________．1a 1b ab 4　[∵a >0,b >0,∴＝＋≥2,即ab ≥2,当且仅当a ＝b ＝时取等号,∴a 3＋b 3≥2≥2＝4,当且仅当a ＝b ＝时取等号,则a 3＋b 3的最小值为4.]2ab 1a 1b 1ab 2（ab ）32322212．已知0<x <1,则x (3－3x )取得最大值时x 的值为________．　[由x (3－3x )＝×3x (3－3x )≤×＝,当且仅当3x ＝3－3x ,即x ＝时等号成立．]121313(3x ＋3－3x 2)2 341213．若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1,则x ＋y 的最大值是________．　[∵x 2＋y 2＋xy ＝1,∴(x ＋y )2＝1＋xy .233∵xy ≤,∴(x ＋y )2－1≤,（x ＋y ）24（x ＋y ）24整理求得－≤x ＋y ≤,233233∴x ＋y 的最大值是.]23314．建造一个容积为8 m 3,深为2 m 的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价分别为120元/m 2,80元/m 2,那么水池的最低总造价为________元．1 760　[设池底一边长为x m,总造价为y 元．则y ＝4×120＋2×80＝320＋480(x >0)．(2x ＋2×4x )(x ＋4x )因为x ＋≥2＝4,4x x·4x当且仅当x ＝即x ＝2时取等号,4x 所以y min ＝480＋320×4＝1 760(元)．]三、解答题15．设a ,b ,c 都是正数,试证明不等式：＋＋≥6.b ＋c a c ＋a b a ＋b c 证明：因为a >0,b >0,c >0,所以＋≥2,＋≥2,＋≥2,b a a bc a a c b c c b 所以＋＋＝＋＋≥6,当且仅当＝,＝,＝,即a ＝b ＝c 时,等号成立．b ＋c a c ＋a b a ＋b c (b a ＋a b )(c a ＋a c )(b c ＋c b )b a a b c a a c c b b c 所以＋＋≥6.b ＋c a c ＋a b a ＋b c 16. 设求证： 0,0,1a b a b >>+=1118a b ab ++≥【解析】证明[法一]：0,0,1a b a b >>+=1111a b a b ab ab ab +∴++=+22112228122ab ab ab a b =+=≥==+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当,取“=”号。

2.2 基本不等式(精炼)(解析版)

2.2 基本不等式【题组一公式直接运用】1．（2020·全国高一课时练习）已知3x <，求()43f x x x =+-的最大值 . 【答案】1- 【解析】3x <，则30x ->，由基本不等式可得()()4433333133f x x x x x ⎡⎤=+-+=-+-+≤-=-⎢⎥--⎣⎦，当且仅当433x x=--时，即当1x =时，等号成立，因此，当3x <时，求()43f x x x =+-的最大值为1-. 2．（2020·广西兴宁.南宁三中高一期末）已知0a >，0b >，1ab =，且1m b a =+，1n a b=+，则m n +的最小值是（） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】由1ab =知，12m b b a =+=，12n a a b=+=，∴()24m n a b +=+≥=，当且仅当1a b ==时取等号.故m n +的最小值为4故选：B4．（2020·浙江省平阳中学高三一模）若0a b +≠，则()2221a b a b +++的最小值为________.【解析】由题意，222222222()()2()222≥a b a b a b ab a b a b +++++++==，当且仅当a b =时等号成立，所以222221()1()2()≥≥a b a b a b a b ++++=++当且仅当22()12()a b a b +=+时取等号，所以当342a b -==时，2221()a b a b +++．5．（2020·全国高一课时练习）（1）已知0x >，求()123f x x x=+的最小值；（2）已知3x <，求()43f x x x =+-的最大值.【答案】（1）12；（2）1-. 【解析】（1）0x ，()12312f x x x ∴=+≥=，当且仅当1232x x x=⇒=时取等号；所以()f x 的最小值为12；（2）330x x <⇒->，()4433333133f x x x x x ⎛⎫=+-+=-+-+≤-=- ⎪--⎝⎭，当且仅当4313x x x=-⇒=-时取等号，所以()f x 的最大值为1-. 5．（2020·全国高三课时练习（理））设0,0,25x y x y >>+=______.【答案】【解析】xy =0,0,25,0,x y x y xy >>+=>∴≥=当且仅当3xy =，即3,1x y ==时成立，故所求的最小值为【题组二条件型】1．（2019·云南弥勒市一中高一期末）若0,0a b >>，且1a b +=，则11a b+的最小值为( ) A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】因为1a b +=，所以()11112b aa b a b a b a b⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭. 因为0,0a b >>，所以0b a >，0ab>.所以2b a a b a b +=≥，当且仅当b a a b =，即12a b ==时等号成立. 所以11222=4b a a b a b +=+++≥，即11a b+的最小值为4. 2．（2020·上海高一开学考试）正实数,x y 满足：21x y +=，则21x y+的最小值为_____. 【答案】9【解析】()21212225559y x x y xy x y x y +=++=++⎛⎫≥+≥+ ⎝⎭=⎪，当且仅当13x y == 时取等号．故答案为：9．3．（2020·全国高一）已知不等式(x +my)(1x +1y )≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数m 的最小值是( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【答案】B【解析】不等式(x +my)(1x +1y )≥9对任意的正实数x ，y 恒成立，则xy +my x +1+m ≥9对任意的正实数x ，y 恒成立，又x y +my x≥2√m ，∴2√m +1+m ≥9，解得√m ≥2或√m ≤−4(不合题意，舍去)，∴m ≥4，即正实数m 的最小值是4．故选：B ． 4．（2020·全国高三课时练习（理））已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_________．【答案】4 【解析】0,0,0a b a b >>∴+>，1ab =,11882222ab ab a b a b a b a b∴++=++++842a b a b +=+≥=+，当且仅当a b +=4时取等号，结合1ab =,解得22a b =-=+，或22a b =+=. 故答案为：45．（2020·甘肃城关.兰州一中高三二模（文））设m ，n 为正数，且2m n +=，则1312n m n ++++的最小值为__________. 【答案】95【解析】令1,2a m b n =+=+，则5a b +=，且13a <<，24b <<，又1311112n m n a b++=++++，而()()114222551151115b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++≥+= ⎪⎛⎫+=⨯+⎝⨯ ⎪⎝⎭⎭，当且仅当52a b ==时等号成立，故1312n m n ++++的最小值为95. 故答案为：95.【题组三配凑型】1．（2019·湖南高新技术产业园区衡阳市一中高二开学考试）已知x≥52，则f （x ）＝24524x x x -+-有（）A ．最小值1B ．最大值54C ．最小值54D ．最大值1【答案】A【解析】()()()2221451111212422222x x x f x x x x x -+-+⎡⎤==⨯=-+≥⨯=⎢⎥---⎣⎦，当且仅当122x x -=-即3x =时等号成立2．（2020·天津和平.高三三模（理））已知0x >，1y >-，且1x y +=，则2231x y x y +++最小值为__________．【答案】2【解析】22331111x y x y x y x y ⎛⎫+⎛⎫+=++-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，结合1x y +=可知原式311x y =++，且()()13131311411221x y y x x y x y x y +++⎡⎤⎛⎫+=+⨯=++⎢⎥ ⎪+++⎝⎭⎣⎦1422⎡≥+=⎢⎢⎣当且仅当32x y ==-+.即2231x y x y+++最小值为2+. 3．（2020·上海高一开学考试）函数()2436x x f x x ++=-的值域为__________．【答案】(),161667,⎡-∞-++∞⎣【解析】设21663636,6,()16t t x t x t g t t t t++-==+==++，当0t >时，()16g t ≥，当且仅当6t x ==时等号成立；同理当0t <时，()16g t≤-，当且仅当6t x =-=-时等号成立；所以函数的值域为(),161667,⎡-∞-++∞⎣. 故答案为: (),161667,⎡-∞-++∞⎣. 4（2019·江苏东海.高二期中）函数()()2411x x f x x x -+=>-的最小值为______.【答案】5【解析】()()()()221144411111x x x x f x x x x x -+-+-+===-++---. 1x >，10x ∴->，()4141x x ∴-+≥=-（当且仅当411x x -=-，即3x =时取等号），()min 415f x ∴=+=.故答案为：5. 【题组四换元法】1．（2020·荆州市北门中学高一期末）若实数,x y 满足0xy >，则的最大值为（）A．2B．2+C．4+D．4-【答案】D【解析】由实数,x y 满足0xy >，，设{2m x y n x y=+=+，解得2{x m ny n m =-=-，则2222224()424222x y m n n m n m n mx y x y m n m n m n--+=+=-+≤-⋅=-++，当且仅当2n m m n =，及2n m =时等号成立，所以的最大值为422-，故选D.2．（2020·浙江高三月考）已知x 、y 为正实数，满足427x y xy ++=，则2x y +的最小值为______. 【答案】3【解析】由427x y xy ++=可得出()92217492212121x x y x x x -+-===-+++，由于x 、y 为正实数，则074021x xy x >⎧⎪-⎨=>⎪+⎩，可得704x <<， ()99222213332121x y x x x x ∴+=+-=++-≥=++，当且仅当92121x x +=+时，即当1x =时，等号成立，因此，2x y +的最小值为3. 故答案为：3.3．（2019·浙江衢州.高二期中）若正实数x ，y 满足2210y xy +-=，则2x y +的最小值为______.【解析】由2210y xy +-=可得212y x y-=21111322222222y y y y y y y y x y -+=-+=+≥==+当且仅当3y =时，等号成立.则2x y +【题组五求参数】1．（2019·山东济宁.高一月考）设()11,,x y R x y a x y +⎛⎫∈++≥⎪⎝⎭恒成立，则实数a 的最大值为（） A ．2 B ．4 C ．8D ．16【答案】B【解析】由于()11224x y x y x y y x ⎛⎫++=++≥+=⎪⎝⎭，当且仅当1x y ==时等号成立，而()11,,x y R x y a x y +⎛⎫∈++≥ ⎪⎝⎭恒成立，故4a ≤，也即a 的最大值为4.故选B.2．（2020·全国高一）已知0,0a b >>，若不等式212na b a b+≥+恒成立，则n 的最大值为（） A ．9 B ．12C ．16D ．20【答案】A 【解析】因为0,0a b >>，所以20a b +>，22121((2))a b n n a b a b a b+≥⇒++≥+，2212()552)(9b a b b a a a b +=++≥+=+（当且仅当a b =时，取等号），要想不等式212n a b a b+≥+恒成立，只需9n ≤，即n 的最大值为9，故本题选A. 3（2020·黑龙江建华.齐齐哈尔市实验中学高一期中）若两个正实数,x y 满足211x y+=,且222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（） A ．()[),24,-∞-+∞ B ．()[),42,-∞-+∞ C ．()2,4- D ．()4,2-【答案】D【解析】由基本不等式得()21422448y x x y x y x y x y⎛⎫+=++=++≥=⎪⎝⎭，当且仅当4y xx y=，由于0x >，0y >，即当2x y =时，等号成立，所以，2x y +的最小值为8，由题意可得228m m +<，即2280m m +-<，解得42m -<<，因此，实数m 的取值范围是()4,2-，故选D. 4．（2020·全国高三课时练习（理））已知关于x 的不等式227x x a+≥-在(,)x a ∈+∞上恒成立，则实数a 的最小值为（） A ．1 B ．52C ．2D ．32【答案】D【解析】设2()2f x x x a=+-，,0x a x a >∴->，227x x a+≥-在(,)x a ∈+∞上恒成立，需min ()7f x ≥， 22()22()222242f x x x a a a a x a x a=+=-++≥⨯+=+--，当且仅当11x a x a -==-，即1x a =+时等号成立， 3427,2a a ∴+≥≥. 故选：D.5．（2020·全国高三课时练习（理））设a 、b 、c 都是正实数，且a 、b 满足191a b+=，则使a b c +≥恒成立的c 的范围是（） A ．(0，8] B ．(0，10] C ．(0，12]D ．(0，16]【答案】D【解析】∵a 、b 为正实数，191a b+=，∴199()1010b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++≥+ ⎪+⎭=⎝+，当且仅当9b aa b=，即4,12a b ==时等号成立， ∴min 6()1a b =+，要使c a b ≤+恒成立， ∵c 为正实数， ∴016c <≤ . 故选：D.【题组六实际应用题】1．（2020·全国高一课时练习）（1）用篱笆围一个面积为2100m 的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？（2）用一段长为36m 的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？【答案】（1）当这个矩形菜园是边长为10m 的正方形时，最短篱笆的长度为40m ；（2）当这个矩形菜园是边长为9m 的正方形时，最大面积是281m .【解析】设矩形菜园的相邻两条边的长分别为xm 、ym ，篱笆的长度为()2x y m +.（1）由已知得100xy =，由2x y+≥，可得20x y +≥=，所以()240x y +≥，当且仅当10x y ==时，上式等号成立.因此，当这个矩形菜园是边长为10m 的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40m ；（2）由已知得()236x y +=，则18x y +=，矩形菜园的面积为2xym .18922x y +≤==，可得81xy ≤，当且仅当9x y ==时，上式等号成立.因此，当这个矩形菜园是边长为9m 的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是281m .2．（2019·南昌.江西师大附中高一期中）为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用t(t≥0)万元满足421kx t =-+(k 为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)．(1)将该厂家2019年该产品的利润y 万元表示为年促销费用t 万元的函数； (2)该厂家2019年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？【答案】（1）()1827021y t t =-≥+；（2）2019年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大【解析】（1）由题意有141k=-，得3k =故34.21x t =-+∴18912727.5[()]27.521.512122y t t t t =--=-++≤-=++()1827021t t t =--≥+（2）由（1）知：18912727527521512122y t t t t ⎡⎤⎢⎥⎛⎫=--=⋅-++≤⋅-⋅⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥+⎣⎦当且仅当91,122t t =++即25t =⋅时，y 有最大值. 答: 2019年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大.3．（2020·淄博市临淄中学高二期末（文））某工厂修建一个长方体无盖蓄水池，其容积为6400立方米，深度为4米．池底每平方米的造价为120元，池壁每平方米的造价为100元．设池底长方形的长为x 米．（Ⅰ）求底面积，并用含x 的表达式表示池壁面积；（Ⅰ）怎样设计水池能使总造价最低?最低造价是多少?【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅰ）池底设计为边长40米的正方形时，总造价最低，其值为256000元. 【解析】（Ⅰ）设水池的底面积为S 1，池壁面积为S 2，则有S 1=64004=1600 (平方米)．池底长方形宽为1600x米，则S 2＝8x ＋8×1600x＝8(x ＋1600x)．（Ⅰ）设总造价为y ，则y ＝120×1 600＋100×8(x ＋1600x )≥192000＋64000＝256000．当且仅当x ＝1600x ，即x ＝40时取等号．所以x ＝40时，总造价最低为256000元．答：当池底设计为边长40米的正方形时，总造价最低，其值为256000元．4．（2020·全国高一课时练习）用篱笆围一个面积为2100m 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？【答案】矩形的长、宽都为10m 时，所用篱笆最短，最短篱笆为40m .【解析】设矩形菜园的长为m x ，宽为m y ，则100xy =，篱笆的长为()2x y m +.由基本不等式可得()2240x y +≥⨯=，当且仅当10x y ==时，等号成立，因此，这个矩形的长、宽都为10m 时，所用篱笆最短，最短篱笆为40m .5．（2020·山东济宁.高一月考）经观测，某公路段在某时段内的车流量y (千辆/小时)与汽车的平均速度v (千米/小时)之间有函数关系：()2920031600=>++v y v v v ． (1)在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时车流量y 最大？最大车流量为多少？(精确到0.01) (2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？【答案】（1）平均速度40v =时，y 最大为11.08；（2）平均速度应控制在25/km h 到64/km h 范围内.【解析】（1）292031600v y v v =++92016003v v=++，160080v v +≥=，92092011.0816008033y v v∴=≤≈+++ 当且仅当1600v v=，即40v =时，等号成立， ∴平均速度40v =时，y 最大，最大为11.08．（2）由29201031600v v v ≥++，28916000v v ∴-+≤，()()64250v v ∴--≤． 2564v ∴≤≤，∴平均速度应控制在25/km h 到64/km h 范围内．。

2.2基本不等式

2
ab
AC = DC E DC BC
Rt△ACD∽Rt△DCB，
DC2 BC AC ab
几何意义：半径不小于弦长的一半
例1 若 x 0,求 y x 1 的最小值. x
例2.已知 x, y 都是正数, P, S 是常数.
(1) xy=P x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号). (2) x+y=S xy≤ 14S2(当且仅当 x=y 时, 取“=”号).
我们把
ab 2
叫做正数a，b的算术平均数，
ab 叫做正数a，b的几何平均数；
代数意义：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
探究几何意义
D
ab
A
a OC b
如图,AB是圆的直径，C是 AB上与A、B不重合的一点，
A于aCA=Ba2的,CB弦b=Db≥ ,E过，点连CA作Da垂,Bb直D,
B 则OD=a＿＿b,CD=＿＿＿＿
简称为： 1、积定和最小，和定积最大；
例2.已知 x, y 都是正数, P, S 是常数.
(1) xy=P x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号). (2) x+y=S xy≤ 14S2(当且仅当 x=y 时, 取“=”号).
利用基本不等式 a b ab求函数的最值时需要同时满足以下三个条件：2
2.2基本不等式:
ab a b 2
D
a2 b2
b
G
F
A
aH E
D
C
A
a
C b E(FGH)
B
B
重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，我们有
a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立. 适用范围： a,b∈R

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知识点一：基本不等式
1. 如果,00>>b a ，有2b a ab +≤
，当且仅当a=b 时，等号成立。

其中，2
b a +叫做正数a,b 的算术平均数，ab 叫做a,b 的几何平均数。

2. 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

知识点二：应用基本不等式求最值
1. 已知x,y 都是正数，则：
（1）如果积xy 等于定值P ，那么当x=y 时，和x+y 有最小值P 2。

（2）如果和x+y 等于定值S ，那么当x=y 时，积xy 有最大值
24
1S 。

一、选择题
1．若1a >，则11a a +
-的最小值是 ( C ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
【答案】C 【解析】1a >则10a ->，()1111311a a a a +
=-++≥--，当2a =时取“=”，所以正确选项为C 2. 若0<a <b ,则下列不等式中成立的是
( B ) A .a <b <√ab <a+b 2 B .a <√ab <a+b 2<b C .a <√ab <b <
a+b 2 D .√ab <a <a+b 2<b 答案:B 解析:若取a =2,b =8,则√ab =4,a+b 2=5,所以a <√ab <a+b 2<b.
3．已知2
5≥x ，则()24524x x f x x -+=-有( D )
基本不等式
同步练习
A ．最大值54
B ．最小值54
C ．最大值1
D ．最小值1
【答案】D 【解析】2245(2)1111()(2)2(1242(2)222x x x f x x x x x x -+-+⎡⎤===-+⨯=⎢⎥---⎣⎦
当且仅当122
x x -=-即3x =时取等号，故选：D ． 4.函数233(1)1
x x y x x ++=>-+的最小值为（） A ．3 B ．2 C ．1
D ．1- 【答案】A 【解析】1x >-，则10x +>，()()()22111331113111
x x x x y x x x x ++++++===+++≥+++，当0x =时取“=”，所以正确选项为A ．
5. 已知a ，0b >，且满足21a ab +=，则3a b +的最小值为（）
A B C ．D ．
【答案】C 【解析】∵21a ab +=，∵1b a a =-．即11332a b a a a a a +=+-=+≥=
当且仅当2
a =时取等号．∵3a
b +的最小值为选：C 6. 已知实数,x y 满足22 455--=x xy y ，则222x y +的最小值为（）
A ．53
B ．103
C ．10
9 D ．4
【答案】B 【解析】设222x y m +=，则222x m y =-，
22 455x xy y --=，22455xy x y ∴=--，则()222221655x y x y =--，()()2
22216257y m y m y -=--， 42281(3070)(5)0y m y m --+-=，
设2y t =，则2281(3070)(5)0t m t m --+-=，22(3070)481(5)0m m ∴∆=--⨯-，解得103
m ≥，
∴222x y +的最小值为103
.故选：B 7.将一根铁丝切割成三段，做一个面积为22m ，形状为直角三角形的框架，在下列4种长度的铁丝中，选用最合理共用且浪费最少的是( )
A ．6.5m
B ．6.8m
C ．7m
D ．7.2m
【答案】C 【解析】设直角三角形的框架的两条直角边为x ，y （x ＞0，y ＞0）则xy ＝4，
此时三角形框架的周长C 为：x +y ＝x +y
∵x +y ≥2
4∵C ＝x +y 故用7米的铁丝最合适．故选C ．
二、填空题
1. 若0<a<b,且a+b=1,则12,a,b,2ab,a 2+b 2的大小顺序为a<2ab<12<a 2+b 22(a+b 2)2=12,a 2+b 2=a ·a +b 2<a ·b +b 2=(1-b )b +b 2=b ,所以12<a 2+b 2<b. 又因为2ab <2(a+b 2)2=12,2ab >2×12a =a ,所以a <2ab <12.所以a <2ab <12<a 2+b 2<b. 2. 已知函数()4(0,0)a f x x x a x
=+>>在3x =时取得最小值，则a =________．【答案】36【解析】因为()4(0,0)a f x x x a x
=+>>，所以，当且仅当即，由题意，解得
3．已知0,0a b >>，122a b
+=，则a b +的最小值为_______________；
1的替换，
()1121213332222b a a b a b a b a b a b ⎛+⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，当2b a a b =即1222a b +==
时等号成立，所以答案为32
+． 4.设1x <-，求()()521
x x y x ++=+的最大值 . 【答案】1【解析】∵1x <-，∵10x +<∵()10x -+>
所以()()()()225215147104151111
x x x x x x y x x x x x ++++++++====+++++++ ()4
1551(1)x x ⎡⎤=--+++≤-=⎢⎥-+⎣
⎦ 当且仅当2(1)4x +=，即3x =-时等号成立，所以()()521x x y x ++=+的最大值为1
三、解答题
1. 已知x>0,y>0,且 x+2y+xy=30,求xy 的取值范围.
解:因为x >0,y >0,所以30=x +2y +xy ≥2√2xy +xy ,
当且仅当x =2y ,即x =6,y =3时,等号成立.
所以xy +2√2√xy -30≤0.
令t =√xy ,则t >0,t 2+2√2t -30≤0,(t +5√2)(t -3√2)≤0,
所以-5√2≤t ≤3√2.
又因为t >0,所以0<√xy ≤3√2,所以0<xy ≤18.
2. 已知c b a ,,均为正数c b a ,,不全相等.求证:c b a c
ab b ac a bc ++>++ 解析：证明 ∵0,0,0>>>c b a ∵a bc +b
ac ≥ab abc 22=c 2 b ac +c
ab ≥bc bc a 22=a 2
a bc +c
ab ≥ac acb 22=2b. 当且仅当a=b=c 时上式等号均成立,
又c b a ,,不全相等,
故上述等号至少有一个不成立.∵
c b a c
ab b ac a bc ++>++. 3. 已知a ，b 都是正数，求证：114a b a b ⎛
⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
．
【解析】∵0,0a b >>，∵由均值不等式得12a a +≥=，12b b +≥=．由不等式的性质，得114a b a b ⎛
⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，当且仅当1a =且1b =时，等号成立．
4. 已知a ，b ，c 均为正数,求证:a a c b -+32+b b c a 223-++c
c b a 332-+≥3. 解析：证明 ∵a ，b ，c 均为正数, ∵a b 2+b
a 2≥2(当且仅当a=2
b 时等号成立), a
c 3+c
a 3≥2(当且仅当a=3c 时等号成立),
b
c 23+c
b 32≥2(当且仅当2b=3
c 时等号成立), 以上三式相加,得a b 2+b a 2+a c 3+c a 3+b c 23+c
b 32≥6(当且仅当a=2b=3
c 时等号成立), ∵（a b 2+b a 2-1）+（a c 3+c a 3-1）+（b c 23+c
b 32-1）≥3(当且仅当a=2b=3
c 时等号成立), 即a a c b -+32+b b c a 223-++c
c b a 332-+≥3. (当且仅当a=2b=3c 时等号成立).
5. 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园.设菜园的长为xm ，宽为ym . （1）若菜园面积为272m ，则,x y 为何值时，可使所用篱笆总长最小？
（2）若使用的篱笆总长度为30m ，求12x y
+的最小值.
【解析】∵1）由已知可得72xy =，而篱笆总长为2x y +∵
又因为224x y +≥=∵当且仅当2x y =，即12,6x y ==时等号成立.
所以菜园的长x 为12m ，宽y 为6m 时，可使所用篱笆总长最小.
∵2）由已知得230x y +=∵ 又因为(
)12222559y x x y x y x y ⎛⎫+++=++≥+= ⎪⎝⎭
∵所以12310x y +≥∵ 当且仅当x y =，即10,10x y ==时等号成立.所以12x y +的最小值是310.。