导数45分钟阶段测试

导数：45分钟阶段测试
一、选择题
1．设曲线y ＝x ＋1
x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋3＝0垂直，则a 等于( )
A ．2
B ．－2 C.12 D ．－12
答案 B
解析 因为y ＝x ＋1x －1的导数为y ′＝－2(x －1)2，所以曲线在(3,2)处的切线斜率为k ＝－1
2，又直线ax ＋y ＋3＝0的斜率为－a ，所以－a ·(－12
)＝－1，解得a ＝－2.
2．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在R 上是单调减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3]∪[3，＋∞) B ．[－3，3]
C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D ．(－3，3) 答案 B
解析 由题意，知f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1≤0在R 上恒成立，所以Δ＝(2a )2－4×(－3)×(－1)≤0，解得－3≤a ≤ 3.
3．已知a ≤1－x x ＋ln x 对任意x ∈[1
2，2]恒成立，则a 的最大值为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 答案 A
解析 令f (x )＝1－x x ＋ln x ，则f ′(x )＝x －1x 2，当x ∈[1
2，1)时，f ′(x )<0，当x ∈(1,2]时，f ′(x )>0，
∴f (x )在[1
2，1)上单调递减，在(1,2]上单调递增，
∴f (x )min ＝f (1)＝0，∴a ≤0， 即a 的最大值为0.
4．已知函数f (x )＝e x －mx ＋1的图象为曲线C ，若曲线C 存在与直线y ＝1
2x 垂直的切线，则
实数m 的取值范围是( ) A ．m ≤2
B ．m >2
C ．m ≤－1
2
D ．m >－1
2
答案 B
解析 因为函数f (x )＝e x －mx ＋1的图象为曲线C ，若曲线C 存在与直线y ＝1
2x 垂直的切线，
即说明e x －m ＝－2有解，转化得m ＝e x ＋2，则实数m 的取值范围是m >2，选B.
5．已知函数f (x )对定义域R 内的任意x 都有f (x )＝f (4－x )，且当x ≠2时，其导函数f ′(x )满足xf ′(x )>2f ′(x )，若2<a <4，则( ) A ．f (2a )<f (3)<f (log 2a ) B ．f (3)<f (log 2a )<f (2a ) C ．f (log 2a )<f (3)<f (2a ) D ．f (log 2a )<f (2a )<f (3) 答案 C
解析 由f (x )＝f (4－x )，可知函数图象关于x ＝2对称．由xf ′(x )>2f ′(x )，得(x －2)f ′(x )>0，所以当2<x <4时，f ′(x )>0恒成立，函数f (x )单调递增．由2<a <4，得1<log 2a <2,22<2a <24，即4<2a <16.因为f (log 2a )＝f (4－log 2a )，所以2<4－log 2a <3，即2<4－log 2a <3<2a ，所以f (4－log 2a )<f (3)<f (2a )， 即f (log 2a )<f (3)<f (2a )． 二、填空题
6．函数y ＝x ＋2cos x 在区间[0，π
2]上的最大值是_________________________________．
答案 π
6
＋ 3
解析 y ′＝1－2sin x ，令y ′＝0，又x ∈[0，π2]，得x ＝π6，则x ∈[0，π6)时，y ′>0；x ∈(π
6，
π2]时，y ′<0，故函数y ＝x ＋2cos x 在[0，π6)上递增，在(π6，π2]上递减，所以当x ＝π
6时，函数取得最大值，为π
6
＋ 3.
7．函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a >0)的极大值为6，极小值为2，则f (x )的单调递减区间是________． 答案 (－1,1)
解析 令f ′(x )＝3x 2－3a ＝0，得x ＝±a . f (x )，f ′(x )随x 的变化情况如下表：
从而⎩⎨⎧
(－a )3
－3a (－a )＋b ＝6，(a )3
－3a a ＋b ＝2.
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝1，
b ＝4，所以f (x )的单调递减区间是(－1,1)．
8．已知f (x )＝2x 3－6x 2＋3，对任意的x ∈[－2,2]都有f (x )≤a ，则a 的取值范围为________． 答案 [3，＋∞)
解析 由f ′(x )＝6x 2－12x ＝0，得x ＝0或x ＝2. 又f (－2)＝－37，f (0)＝3，f (2)＝－5， ∴f (x )max ＝3，又f (x )≤a ，∴a ≥3. 三、解答题
9．已知函数f (x )＝1
2
x 2－a ln x (a ∈R )．
(1)若函数f (x )的图象在x ＝2处的切线方程为y ＝x ＋b ，求a ，b 的值； (2)若函数f (x )在(1，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围． 解 (1)因为f ′(x )＝x －a
x (x >0)，
又f (x )在x ＝2处的切线方程为y ＝x ＋b ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧
2－a ln 2＝2＋b ，2－a 2＝1，解得a ＝2，b ＝－2ln 2.
(2)若函数f (x )在(1，＋∞)上为增函数， 则f ′(x )＝x －a
x ≥0在(1，＋∞)上恒成立，
即a ≤x 2在(1，＋∞)上恒成立． 所以有a ≤1.
10．(2014·大纲全国)函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋3x (a ≠0)． (1)讨论f (x )的单调性；
(2)若f (x )在区间(1,2)是增函数，求a 的取值范围．
解 (1)f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3，f ′(x )＝0的判别式Δ＝36(1－a )．
①若a ≥1，则f ′(x )≥0，且f ′(x )＝0当且仅当a ＝1，x ＝－1，故此时f (x )在R 上是增函数． ②由于a ≠0，故当a <1时，f ′(x )＝0有两个根 x 1＝－1＋1－a a ，x 2＝－1－1－a a
.
若0<a <1，则当x ∈(－∞，x 2)或x ∈(x 1，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )分别在(－∞，x 2)，(x 1，＋∞)是增函数；
当x ∈(x 2，x 1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(x 2，x 1)是减函数；
若a <0，则当x ∈(－∞，x 1)或x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x )<0，故f (x )分别在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)是减函数；
当x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )>0， 故f (x )在(x 1，x 2)是增函数．
(2)当a >0，x >0时，f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3>0， 故当a >0时，f (x )在区间(1,2)是增函数．
当a <0时，f (x )在区间(1,2)是增函数当且仅当f ′(1)≥0且f ′(2)≥0，解得－5
4≤a <0.
综上，a 的取值范围是[－5
4
，0)∪(0，＋∞)．。