导数及其应用单元测试(带答案)
第三章导数及其应用单元测试
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在题后
的括号内(本大题共12个小题,每小题5分,共60分)。
1.函数y=x+2cosx在[0,]上取得最大值时,x的值为()A.0 B.C.D.
2.函数的单调递减区间是()
A.B.C.D.
3.若函数的图象的顶点在第四象限,则函数的图象是
()
4.点P在曲线
上移动,设
点P处切线倾斜角为α,
则α的取值范围是
()A.[0,] B.0,∪[,π
C.[,πD.(,
5.已知(m为常数)在上有最大值3,那么此函数在
上的最小值为()
A.B.C.D.
6.函数的单调递增区间是()A. B.(0,3) C.(1,4) D.
7.已知函数时,则()
A.B.
C.D.
8.设函数的导函数,则数列的前n项和是
()A.B.C.D.
9.设f(x)=x3+ax2+5x+6在区间[1,3]上为单调函数,则实数a的取值范围为()A.[-,+∞] B.(-∞,-3)
C.(-∞,-3)∪[-,+∞] D.[-,]
10.函数f(x)在定义域R内可导,若f(x)=f(2-x),且当x∈(-∞,1)时,(x-1)<0,设a=f(0),b= f(),c= f(3),则()
A .a<b<c B.c<a<b C.c<b<a D.b<c<a
11.曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为()
A.B.C.D.
12.如图所示的是函数的大致图象,则等于()A.B.
C.D.
第Ⅱ卷
二、填空题:请把答案填在题中横线上(本大题共4个小题,每小题4分,共16分)。
13.设是偶函数,若曲线在点处的切线的斜率为1,则该曲线在处的切线的斜率为_________.
14.已知曲线交于点P,过P点的两条切线与x轴分别交于A,B两点,则△ABP的面积为;
15.函数在定义域内可导,其图象如图,记的导函数为,
则不等式的解集为_____________
16.若函数f(x)=(a>0)在[1,+∞)上的最大值为,则a的值为
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6个大题,共74分)。
17.(12分)已知函数f(x)=x3-2ax2+3x(x∈R).
(1)若a=1,点P为曲线y=f(x)上的一个动点,求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程;
(2)若函数y=f(x)在(0,+∞)上为单调增函数,试求满足条件的最大整数a.
18.(12分)已知函数(a∈R).(1)若在[1,e]上是增函数,求a的取值范围;(2)若a=1,a≤x≤e,证明:<
19.(12分)
已知函数(为自然对数的底数)
(Ⅰ)求的最小值;
(Ⅱ)设不等式的解集为P,且,求实数a的取值范围;
20.(12分)已知
(1)当a=1时,求的单调区间;
(2)是否存在实数a,使的极大值为3若存在,求出a的值,若不存在,说明理由.
21.(12分)已知函数的图像与函数的图象相切,记
(1)求实数b的值及函数F(x)的极值;
(2)若关于x的方程F(x)=k恰有三个不等的实数根,求实数k的取值范围。
22.(14分)已知函数为大于零的常数。
(1)若函数内单调递增,求a的取值范围;
(2)求函数在区间[1,2]上的最小值。
参考答案
一、选择题
1.B 解析:y′=(x+2cos x)′=1-2sin x,令1-2sin x=0,且x∈[0,]时,x=,当x∈[,]时,≤0,f(x)单调递减,∴f(x)max=f().故选B
2.C;解析:求该函数得导函数,解不等式求得小于零的区间即可;
3.A;解析:原函数的单调区间正好对应导函数的大于和小于0区间;
4.B;解析:导函数的取值范围正好对应切线斜率的范围,再求倾斜角的范围即可;
5.D;解析:在闭区间上(m为常数)在上有最大值一定为f(2)或f(-2),求出m的值,再求函数的导函数,看情况处理;
6.D;解析:,令,解得,故选D
7.D;解析:∵∴f(x)在区间上单调递增;又(x)=f(),∴f(x)关于x=对称,故选D.
8.A;解析:的原函数为得m=2,再求的形式即可;
9.C;=x2+2ax+5,则f(x)在[1,3]上单调减时,由,得a≤-3;
当f(x)在[1,3]上单调增时,=0中,⊿= 4a2-4×5≤0,或,
得a∈[-,]∪[,+∞].
综上:a的取值范围是(-∞,-3)∪[-,+∞],故选C.
10.B;解析:由f(x)=f(2-x)可知,f(x)的图像关于x=1对称,根据题意又知x∈(-∞,1)时, >0,此时f(x)为增函数,x∈(1,+∞)时,<0,f(x)为减函数,所以f(3)=f(-1) 12.C; 解析:由图象知的根为0,1,2, 的两个根为1和2. 的两根, 二、填空题 13.解析;本题主要考查导数与曲线在某一点处切线的斜率的概念.属于基础知识、基本运算的考 查.取,如图,采用数形结合法,易得该曲线在处的切线的斜率为.故应填. 14.;解析:先求出交点坐标为(1,1),再分别求出两曲线在该点处的切线方程,求出A、B、P三点坐标,再求面积; 15.解析:由函数的单调性判断 16.—1 解析:=,x>时,<0,f(x)单调减,当- ,a=—1 三、 17.解:(1)设切线的斜率为k,则k==2x2-4x+3=2(x-1)2+1, …………2分 当x=1时,k min=1.又f(1)=,所以所求切线的方程为y-=x-1, 即3x-3y+2=0.……………………6分 (2)=2x2-4ax+3,要使y=f(x)为单调递增函数,必须满足>0,即对任意的x∈(0,+∞),恒有>0,=2x2-4ax+3>0, ……………………8分 ∴a<=+,而+≥,当且仅当x=时,等号成立. 所以a<,……………11分 所求满足条件的a值为1 ……………12分 18.解:(1)∵,且在[1,e]上是增函数,∴≥0恒成立, 即a≥-在[1,e]上恒成立, ∴a≥1………………6分 (2)证明:当a=1时,x∈[1,e]. 令F(x)= -=-, ∴,∴F(x) 在[1,e]上是减函数, ∴F(x)≤F(1)=∴x∈[1,e]时,<……………12分 19.解:(Ⅰ)的导数 令,解得;令, 解得.………………………2分 从而在内单调递减,在内单调递增. 所以,当时,取得最小值.……………………………5分 (II)因为不等式的解集为P,且, 所以,对任意的,不等式恒成立,……………………………6分由,得 当时,上述不等式显然成立,故只需考虑的情况。………………7分将变形为………………………………………………8分令,则 令,解得;令, 解得.…………………………10分 从而在内单调递减,在内单调递增. 所以,当时,取得最小值,从而, 所求实数的取值范围是.………………12分 20.解:(1)当a=1时,……………2分当 ∴f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(-∞,0)(1,+∞) ……………………4分 (2)………6分 令 列表如下: x(-∞,0)0(0,2-a)2-a (2-a,+ ∞) -0+0- 极小极大由表可知………………8分设……………10分∴不存在实数a使f(x)最大值为3。………………12分21.解:(1)依题意,令,得 列表如下: -1 +0-0+ ↗极大值 ↘ 极小值 ↗ 从上表可知处取得极小值. …………………6分 (2)由(1)可知函数作函数的图象,当的图象与函数的图象有三个交点时, 关于x的方程 ……………12分 22.解:………………2分 (1)由已知,得上恒成立, 即上恒成立 又当 ………………6分 (2)当时, 在(1,2)上恒成立,这时在[1,2]上为增函数 ………………8分 当在(1,2)上恒成立,这时在[1,2]上为减函数 ………………10分 当时,令 又 ………………12分综上,在[1,2]上的最小值为 ①当 ②当时, ③当………………14分 导数练习题 班 级 姓名 一、选择题 1.当自变量从x 0变到x 1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A .在区间[x 0,x 1]上的平均变化率 B .在x 0处的变化率 C .在x 1处的变化量 D .在区间[x 0,x 1]上的导数 2.已知函数y =f (x )=x 2 +1,则在x =2,Δx =0.1时,Δy 的值为( ) A .0.40 B .0.41 C .0.43 D .0.44 3.函数f (x )=2x 2-1在区间(1,1+Δx )上的平均变化率Δy Δx 等于( ) A .4 B .4+2Δx C .4+2(Δx )2 D .4x 4.如果质点M 按照规律s =3t 2 运动,则在t =3时的瞬时速度为( ) A . 6 B .18 C .54 D .81 5.已知f (x )=-x 2+10,则f (x )在x =32处的瞬时变化率是( ) A .3 B .-3 C . 2 D .-2 6.设f ′(x 0)=0,则曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线( ) A .不存在 B .与x 轴平行或重合 C .与x 轴垂直 D .与x 轴相交但不垂直 7.曲线y =-1 x 在点(1,-1)处的切线方程 为( ) A .y =x -2 B .y =x C .y =x + 2 D .y =-x -2 8.已知曲线y =2x 2上一点A (2,8),则A 处的切线斜率为( ) A .4 B .16 C .8 D .2 9.下列点中,在曲线y =x 2上,且在该点 处的切线倾斜角为π 4的是( ) A .(0,0) B .(2,4) C .(14,1 16) D .(12,1 4) 10.若曲线y =x 2+ax +b 在点(0,b )处的切线方程是x -y +1=0,则( ) A .a =1,b = 1 B .a =-1,b =1 C .a =1,b =- 1 D .a =-1,b =-1 11.已知f (x )=x 2,则f ′(3)=( ) A .0 B .2x C . 6 D .9 12.已知函数f (x )=1 x ,则f ′(-3)=( ) A . 4 B.1 9 C .-14 D .-1 9 13.函数y =x 2 x +3 的导数是( ) 高二数学导数单元测试题(有答案) (一).选择题 (1)曲线32 31y x x =-+在点(1,-1)处的切线方程为( ) A .34y x =- B 。32y x =-+ C 。43y x =-+ D 。45y x =- a (2) 函数y =a x 2 +1的图象与直线y =x 相切,则a = ( ) A . 18 B .41 C .2 1 D .1 (3) 函数13)(2 3 +-=x x x f 是减函数的区间为 ( ) A .),2(+∞ B .)2,(-∞ C .)0,(-∞ D .(0,2) (4) 函数,93)(2 3 -++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值,则a = ( ) A .2 B .3 C .4 D .5 (5) 在函数x x y 83 -=的图象上,其切线的倾斜角小于 4 π 的点中,坐标为整数的点的个数是 ( ) A .3 B .2 C .1 D .0 (6)函数3 ()1f x ax x =++有极值的充要条件是 ( ) A .0a > B .0a ≥ C .0a < D .0a ≤ (7)函数3 ()34f x x x =- ([]0,1x ∈的最大值是( ) A . 1 2 B . -1 C .0 D .1 (8)函数)(x f =x (x -1)(x -2)…(x -100)在x =0处的导数值为( ) A 、0 B 、1002 C 、200 D 、100! (9)曲线313y x x = +在点413?? ???,处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( ) A.19 B.29 C.13 D.23 (二).填空题 (1).垂直于直线2x+6y +1=0且与曲线y = x 3 +3x -5相切的直线方程是 。 (2).设 f ( x ) = x 3 - 2 1x 2 -2x +5,当]2,1[-∈x 时,f ( x ) < m 恒成立,则实数m 的取值范围为 . (3).函数y = f ( x ) = x 3+ax 2+bx +a 2 ,在x = 1时,有极值10,则a = ,b = 。 (4).已知函数32 ()45f x x bx ax =+++在3 ,12x x ==-处有极值,那么a = ;b = (5).已知函数3 ()f x x ax =+在R 上有两个极值点,则实数a 的取值范围是 (6).已知函数32 ()33(2)1f x x ax a x =++++ 既有极大值又有极小值,则实数a 的取值 导数单元测试题 班级姓名 一、选择题 1.已知函数y=f(x)=x2+1,则在x=2,Δx=0.1时,Δy的值为( ) A.0.40 B.0.41 C.0.43 D.0.44 2.函数f(x)=2x2-1在区间(1,1+Δx)上的平均变化率Δy Δx 等于( ) A.4 B.4+2Δx C.4+2(Δx)2 D.4x 3.设f′(x0)=0,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线( ) A.不存在B.与x轴平行或重合 C.与x轴垂直D.与x轴相交但不垂直 4.曲线y=-1 x 在点(1,-1)处的切线方程为( ) A.y=x-2 B.y=x C.y=x+2 D.y=-x-2 5.下列点中,在曲线y=x2上,且在该点处的切线倾斜角为π 4 的是( ) A.(0,0) B.(2,4) C.(1 4 , 1 16 ) D.( 1 2 , 1 4 ) 6.已知函数f(x)=1 x ,则f′(-3)=( ) A.4 B.1 9 C.- 1 4 D.- 1 9 7.函数f(x)=(x-3)e x的单调递增区间是( ) A.(-∞,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+∞) 8.“函数y=f(x)在一点的导数值为0”是“函数y=f(x)在这点取极值”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 9.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内的极小值点有( ) A.1个B.2个 C.3个D.4个 10.函数f(x)=-x2+4x+7,在x∈[3,5]上的最大值和最小值分 别是( ) A.f(2),f(3) B.f(3),f(5) C.f(2),f(5) D.f(5),f(3) 11.函数f(x)=x3-3x2-9x+k在区间[-4,4]上的最大值为10,则其最小值为( ) A.-10 B.-71 C.-15 D.-22 12.一点沿直线运动,如果由始点起经过t秒运动的距离为s= 1 4 t4- 5 3 t3+2t2,那么速度为零的时刻是( ) A.1秒末 B.0秒 C.4秒末 D.0,1,4秒末 二、填空题 13.设函数y=f(x)=ax2+2x,若f′(1)=4,则a=________. 14.已知函数y=ax2+b在点(1,3)处的切线斜率为2,则 b a =________. 15.函数y=x e x的最小值为________. 16.有一长为16 m的篱笆,要围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是________m2. 三、解答题 17.求下列函数的导数:(1)y=3x2+x cos x; (2)y= x 1+x ; (3)y=lg x-e x. 18.已知抛物线y=x2+4与直线y=x+10,求: (1)它们的交点; (2)抛物线在交点处的切线方程. 19.已知函数f(x)= 1 3 x3-4x+4.(1)求函数的极值; (2)求函数在区间[-3,4]上的最大值和最小值. 导数单元测试 【检测试题】 一、选择题 1. 设函数()y f x =可导,则0(1)(1) lim 3x f x f x ?→+?-?等于( ). A .'(1)f B .3'(1)f C .1 '(1)3 f D .以上都不对 2. 已知函数f (x )=ax 2 +c ,且(1)f '=2,则a 的值为( ) A.1 B.2 C.-1 D. 0 3 .()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数,若()f x ,()g x 满足' ' ()()f x g x =,则 ()f x 与()g x 满足( ) A ()f x =2()g x B ()f x -()g x 为常数函数 C ()f x =()0g x = D ()f x +()g x 为常数函数 4.三次函数x ax y +=3 在()+∞∞-∈,x 内是增函数,则 ( ) A . 0>a B .0 导数及应用 《导数及其应用》单元测试卷 一、 选择题 1.已知物体的运动方程是 s 1 t 4 4t 3 16t 2 ( t 表示时间, s 表示位移),则瞬时速度为 4 0 的时刻是:( ) A . 0 秒、 2 秒或 4 秒 B . 0 秒、 2 秒或 16 秒 C . 2 秒、 8 秒或 16 秒 D . 0 秒、 4 秒或 8 秒 2.下列求导运算正确的是( ) A . ( x 1 ) 1 1 B . (log 2 x) 1 x x 2 x ln 2 C . (3x ) 3x log 3 e D . x 2 cos x 2sin x 3.曲线 y x 3 2x 4 在点 (13), 处的切线的倾斜角为( ) A . 30° B . 45° C . 60° D . 120° 4.函数 y=2x 3-3x 2-12x+5 在 [0,3] 上的最大值与最小值分别是( ) A.5 , -15 B.5 , 4 C.-4 , -15 D.5 , -16 5.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶 路程 s 看作时间 t 的函数,其图像可能是( ) s s s s O tO tO t O t A . 1 B . C . D . 6.设函数 f (x) 2x 1(x 0), 则 f ( x) ( ) x A .有最大值 B .有最小值 C .是增函数 D .是减函数 7.如果函数 y=f ( x ) 的图像如右图,那么导函数 y=f ( x ) 的图像可能是 ( ) 8.设 f ( x) x ln x ,若 f '(x 0 ) 2 ,则 x 0 ( ) A . e 2 B . e C . ln 2 D . ln 2 2 导数概念及其几何意义、导数的运算 一、选择题: 1 已知32 ()32f x ax x =++,若(1)4f '-=,则a 的值等于 A 193 B 103 C 16 3 D 133 2 已知直线1y kx =+与曲线3 y x ax b =++切于点(1,3),则b 的值为 A 3 B -3 C 5 D -5 3 函数2y x a a = +2 ()(x-)的导数为 A 222()x a - B 223()x a + C 223()x a - D 22 2()x a + 4 曲线313y x x =+在点4 (1,)3 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 A 1 9 B 29 C 13 D 2 3 5 已知二次函数2 y ax bx c =++的导数为(),(0)0f x f ''>,对于任意实数x ,有()0f x ≥,则(1) (0) f f '的最小值为 A 3 B 52 C 2 D 32 6 已知函数()f x 在1x =处的导数为3,则()f x 的解析式可能为 A 2()(1)3(1)f x x x =-+- B ()2(1)f x x =- C 2()2(1)f x x =- D ()1f x x =- 7 下列求导数运算正确的是 A 211()1x x x '+=+ B 21 (log )ln 2 x x '= C 3(3)3log x x e '=? D 2 (cos )2sin x x x x '=- 8 曲线32 153 y x x =-+在1x =处的切线的倾斜角为 A 6 π B 34π C 4π D 3 π 9 曲线3 2 31y x x =-+在点(1,1)-处的切线方程为 A 34y x =- B 32y x =-+ C 43y x =-+ D 45y x =- 10 设函数sin cos y x x x =+的图像上的点(,)x y 处的切线斜率为k ,若()k g x =,则函数()k g x =的图像大致为导数练习题 含答案
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