2.7 第2课时二次根式的运算.pptx
二次根式课件
式中a，b的取值范围是限制公式右边的，对于公式
左边，只要ab≥0即可.
逆用二次根式乘法法则化简的步骤：
1.将被开方数进行因数分解或因式分解，如化简 18
时，先把 18化成
2.利用
32 × 2的形式;
= ⋅ （a≥0，b≥0）和
2 =
（a≥0），将能开得尽方的因数或因式开到根号外，
2.7 二次根式
知识回顾
（1）什么叫一个数的平方根？如何表示？
一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平
方根或二次方根. a叫做被开方数，a的平方根是 ± .
（2）什么是一个数的算术平方根？如何表示？
若一个正数的平方等于a，则这个数就叫做a的算术平
方根，记作
， 0的算术平方根是0.
如
18 =
32 × 2 = 3 2.
拓展： = ⋅ ⋅
（a≥0，b≥0，c≥0）.
例4
化简：
（1） 16 × 81； 2
42 3 .
在本章中，如果没有
特别说明，所有的字
母都表示正数.
解：（1） 16 × 81= 16 × 81 = 4 × 9 = 36；
（2） 42 3 = 4 ∙ 2 ∙ 3 = 2
1
3−
在实数范围内有意义.
分母不能为0
解：（3）因为不论a为何值，（a+1）2 ≥0恒成立，
∴a取任意实数， （ + 1）2 在实数范围内都有意义.
当二次根式的被开方数出现完全平方公
式或能配方成完全平方公式时，其中所
含字母取任意实数，二次根式在实数范
围内都有意义.
新知探究 知识点3：二次根式的性质
二次根式的运算课件
二次根式的运算课件题目：二次根式的运算课件尊敬的同学们：大家好！今天我将为大家介绍一下关于二次根式的运算。
二次根式作为数学中的一种特殊形式，运算起来可能略有复杂，但只要我们掌握了一些基本的规则和方法，就能轻松应对各种考试中的二次根式题目。
一、二次根式的定义二次根式是指形如√a的表达式，其中a是一个非负实数。
√a表示满足b²=a的非负实数b，通常称为a的平方根。
当然，当a为正整数的平方时，√a就是一个有理数，我们也可以将其化简为一个具体的数值；而当a为非完全平方数时，√a无法化简，我们只能保留二次根式的形式。
二、二次根式的运算规则1. 相同指数的二次根式的加减法运算：对于√a ± √b，只有当a=b时才能进行运算，且运算结果为2√a或0，具体取决于正负号的组合。
2. 不同指数的二次根式的加减法运算：对于√a ± √b，如果a与b不能被约分为平方数的乘积，那么这两个二次根式是不能进行相加减的，运算结果保持不变。
3. 二次根式的乘法运算：(a) 二次根式乘以自身：√a × √a = √(a × a) = √(a²) = a，即√a × √a 等于 a。
(b) 二次根式相乘：对于√a × √b，运算结果为√(a × b)，即可简写为√ab。
4. 二次根式的除法运算：(a) 二次根式除以自身：√a ÷ √a = √(a ÷ a) = √(a/a) = √1 = 1，即√a ÷ √a 等于 1。
(b) 二次根式相除：对于√a ÷ √b，如果a可以整除b，那么运算结果为√(a ÷ b)，否则无法进行运算，结果保持不变。
三、二次根式的化简与合并在进行二次根式的运算过程中，有时我们需要将二次根式化简，或者将多个二次根式合并为一个二次根式。
具体的化简与合并方法如下：1. 化简二次根式：对于√(c × d)，如果c和d中有一个是完全平方数，我们可以将其分解为两个平方根的乘积，再进行化简。
二次根式课件ppt
பைடு நூலகம்
03
二次根式的应用
求解实际问题
求解最优化问题
二次根式可以用于求解最优化问题， 例如在投资组合、生产计划等领域， 通过二次根式求解最优解，以实现最 大利润或最小成本。
求解面积和体积问题
二次根式可以用于求解一些几何图形 的面积和体积，例如在计算矩形、三 角形、球体等的面积和体积时，可以 使用二次根式进行计算。
有界性
当$a \geq 0$时，$\sqrt{a} \leq \sqrt{a + b}$（$b > 0$）。
正定性
当$a > b > 0$时，$\sqrt{a} > \sqrt{b}$。
05
二次根式的综合题
与方程有关的综合题
总结词
二次根式与方程的结合，涉及解方程、方程的根、根的判别式等。
详细描述
01
02
03
性质1
二次根式被开方数必须是 非负数，否则无意义。
性质2
二次根式的被开方数中不 能含有分母，否则不能化 简。
性质3
二次根式的被开方数中不 能含有能开得尽方的因数 或因式，否则也不能化简 。
二次根式的运算
加减运算
同类二次根式可以合并， 不同类二次根式不能合并 。
乘除运算
二次根式相乘除时，只需 将被除式与除式同时平方 再约分即可。
乘法法则
$(a\sqrt{b}) \times (c\sqrt{d}) = ac\sqrt{bd}$（$a,b,c,d \geq 0$）。
除法法则
$\frac{(a\sqrt{b})}{(c\sqrt{d})} = \frac{a}{c}\sqrt{\frac{b}{d}}$（$a,b,c,d \geq 0$，$bd \neq 0$）。
二次根式ppt课件
通过案例讲解二次根式在实际问 题中的应用
分析数学模型和实际问题之间的 关系
课程安排
4. 课堂练习和总结（10分钟）
提供课堂练习，检验学生对所 学内容的掌握情况
总结本节课的重点和难点，进 行回顾和总结
PART 02
二次根式的基本概念
二次根式的定义
总结词：非负数
详细描述：二次根式是指根号内含有未知数的数学表达式，它必须满足被开方数为非负数，否则没有 意义。
要点二
培养学生的数学思维和解决问题 的能力，例如
让学生自己设计一个与二次根式相关的问题并解决它等。
PART 06
总结与回顾
主要知识点回顾
二次根式的定义
二次根式是一种可以用来解决各 种实际问题的数学工具，它表示 一个非负数通过开方得到的平方
根。
二次根式的性质
二次根式具有非负性、有界性、正 值性等性质，这些性质在解决实际 问题时具有重要的应用价值。
PART 04
二次根式的应用
代数领域的应用
01
02
03
根式与方程的解
通过二次根式，我们可以 求解一元二次方程的解， 确定其实数根和虚数根。
根式的化简
在代数运算中，对根式进 行化简可以简化表达式， 提高运算效率。
根式与不等式
利用根式可以求解一元二 次不等式，通过确定不等 式的解集，解决实际问题 。
- \sqrt{3}$等。
解决与二次根式相关的实际问题，例如 ：计算圆的面积或周长等。
掌握和运用二次根式的运算法则和公式 ，例如：$(a+b)\sqrt{a} = a\sqrt{a}
+ b\sqrt{a}$等。
综合练习题
要点一
通过综合题目，考察学生对二次 根式的全面理解和运用，例如
北师大版八年级数学上册2.7二次根式(第2课时)课件(共37张PPT)
探究新知
素养考点 1 简单的二次根式的乘法运算
例1 计算:
（1） 3 5 ;
（2） 1 27 .
3
解: (1) 3 5 15 ;
(2) 1 27 1 27 9 3 .
3
3
探究新知
想一想 下边的式子如何运算？
2 3 5
解:
可先用乘法结合律， 再运用二次根式的乘
法法则
2 3 5 ( 2 3) 5 6 5 30
（1）
;
D.
二次根式的四则运算
B.
D.
类比合并同类项的方法，想想如何计算：
（1）
;
二次根式的乘法法则的推广：
探究新知
素养考点 2 二次根式的四则运算
例2 计知算识：点
(1) 48 3;(2) 5 1 ;(3)( 4 3) 6.
5
3
解（: 1）原式 16 3 3 16 3 3 4 3 3 5 3
整式 加减
(2)
（6）
=______
（算6术）平方根的积等于依=_各__个据__被_开：方数二积的次算术根平方式根.的性质、分配律和整式加减法则.
=_________;
在前面发现的规律基本中，思a,b想的取：值范把围有二没有次限制根呢？式加减问题转化为整式加减问题．
B.
计算：
____.
连接中考
1.（2019•株洲） 2 8 ＝（ B ）
依据：二次根式的性质、分配律和整式加减法则.
下列计算正确的是（ ）
(3)
8+ 18=2 (2)
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
2+3
2 =（2+3） 2=5
二次根式ppt课件
精选ppt课件
5
4、认真阅读P42例题1，理解解题过程、格式，并化简下
列各式。
（1）18 （2） 3
7
（3）1 5
【归纳】
化简时最终结果中分母不能含有根号，而且各个二 次根式是最简二次根式。
精选ppt课件
6
三、善练（精练巧练）
49
49
猜测的结论是什么？你发现了什么规律？
能用字母表示这个规律吗？用字母a,b表示有限制条件吗？
精选ppt课件
3
2、归纳二次根式乘除法法则：（熟记并能准确灵活运 用）
积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积。
商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方 根
(4) (9) (4) (9)
成立吗？为什么？
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4
3、认真阅读P42例题1，理解解题过程、格式，并化简下列各式。
（1） 9 49 （2）16 7
(3) 2 9
【归纳】：化简以后的结果中被开方数又有什么特征？
1、被开方数中不含分母。2、不含能开得尽方的因数。 【引入】：最简二次根式：
一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式， 这样的二次根式，叫做最简二次根式。
（2）.二次根式有意义的条件是什么？ 根号内的式子是非负数，若含有分母，则分母不为零.
2、二次根式有些性质呢？让我们一起探索！
精选ppt课件
2
二、善学：（自主学习，合作探索）
1、计算下列各式，你能得到什么猜想？
4 9 ___, 4 9 ___;
4 ____, 4 ____;
9
9
25 ____, 25 ____ .