概率论第三章 (1)
概率论第三章部分习题解答
ydxdy.
定理1 cov(X ,Y ) E( XY ) E( X )E(Y )
定理2 若X与Y 独立，则：covX ,Y 0. 逆命题不成立。
注 设X与Y是任两个随机变量，
10
D( X Y ) D( X ) D(Y ) 2cov(X ,Y )
2、X与Y 的相关系数
定义 R( X ,Y ) cov( X ,Y )
EX
xf
xdx
1
二、二维随机变量的数学期望
（1）设二维离散随机变量(X,Y)的联合概率函数为p(xi , yj)，则
随机变量X及Y 的数学期望分别定义如下：
EX xi p xi , y j , EY y j p xi , y j .
i j
ji
即： EX xi pX xi , EY y j pY y j .
第三章 随机变量的数字特征
（一）基本内容 一、一维随机变量的数学期望
定义1：设X是一离散型随机变量，其分布列为：
X x1 x2 xi
P p( x1 ) p( x2 )p( xi )
则随机变量X 的数学期望为: EX xi pxi
i
定义2：设X是一连续型随机变量，其分布密度为 f x,
则随机变量X的数学期望为
i
j
假定级数是绝对收敛的.
（2）设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x, y)，则
随机变量X及Y 的数学期望分别定义如下：
EX
xf
x,
ydxdy,
EY
yf x, ydxdy.
即：EX
xf X x dx,
EY
yfY y dy.
2
假定积分是绝对收敛的.
第三章 多维随机变量及其分布 第一节 二维随机变量及其分布函数 概率论课件
前面我们介绍了二维随机变量的概 念, 二维随机变量的分布函数及其性质。
二维随机变量也分为离散型和连续型, 下面我们分别讨论它们。
三、二维离散型随机变量 及其概率分布
如果二维随机变量(X,Y)的每个分 量都是离散型随机变量,则称(X,Y)是 二维离散型随机变量.
二维离散型随机变量(X,Y)所有可 能取的值也是有限个或可列无穷个.
求: 二维随机变量(X,Y)的概率分布和其边缘分 布.
解: (X,Y)所有可能取的值是
(0,0),(0,1),(1,0,),(1,1).
P{X=0,Y=0}
=P{第一次取到正品且第二次也取到正品},
利用古典概型,得: P{X=0,Y=0}=(76)/(109)=7/15
同理求得:
P{X=0,Y=1}=(73)/(109)=7/30
第三章
多维随机变量及其分布
一般地，我们称n个随机变量的整体
X=(X1, X2, …，Xn)为n维随机变量或随
机向量. 以下重点讨论二维随机变量.
请注意与一维情形的对照 .
第三章 第一节
二维随机变量及其分布函数
一、二维随机变量
设随机试验E的样本空间是Ω，X=X() 和Y=Y()是定义在Ω上的随机变量, 由它们 构成的向量(X,Y),称为二维随机变量(向量)。
而把F(x,y)称为X和Y的联合分布函数。
注意
X与Y的边缘分布函数,实质上就是一维随 机变量X或Y的分布函数。称其为边缘分布函数 的原因是相对于(X,Y)的联合分布而言的。
同样地,(X,Y)的联合分布函数F(x, y)是相 对于(X,Y)分量X与Y的分布而言的。
求法
FX(x)=P{X≤x}=P{X≤x,Y<∞}=F(x,∞) FY(y)=P{Y≤y}=P{X<∞,Y≤y}=F(∞,y)
概率论与数理统计第三章多维随机变量及其分布习题解答
习题3-11、设(,)X Y 的分布律为求a 。
解：由分布律的性质，得1,0iji jp a =>∑∑，即111111691839a +++++=，0a >， 解得，29a =。
注：考察分布律的完备性和非负性。
2、设(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，试用(,)F x y 表示：（1）{,}P a X b Y c ≤≤<；（2）{0}P Y b <<；（3）{,}P X a Y b ≥<。
解：根据分布函数的定义(,){,}F x y P X x Y y =≤≤，得（1）{,}{,}{,}(,)(,)P a X b Y c P X b Y c P X a Y c F b c F a c ---≤≤<=≤<-<<=-； （2）{0}{,}{,0}(,)(,0)P Y b P X Y b P X Y F b F -<<=≤+∞<-≤+∞≤=+∞-+∞； （3）{,}{,}{,}(,)(,)P X a Y b P X Y b P X a Y b F b F a b ---≥<=≤+∞<-<<=+∞-。
3、设二维随机变量(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，分布律如下：试求：（1）13{,04}22P X Y <<<<；（2）{12,34}P X Y ≤≤≤≤；（3）(2,3)F 。
解：由(,)X Y 的分布律，得 （1）1311{,04}{1,1}{1,2}{1,3}002244P X Y P X Y P X Y P X Y <<<<===+==+===++=； （2）{12,34}{1,3}{1,4}{2,3}{2,4}P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y ≤≤≤≤===+==+==+==1150016416=+++=；（3）(2,3){2,3}{1,1}{1,2}{1,3}F P X Y P X Y P X Y P X Y =≤≤===+==+==1119{2,1}{2,2}{2,3}000416416P X Y P X Y P X Y +==+==+===+++++=。
概率论第三章习题及答案
02
题目8
一个盒子里有100个球，其中红球有30个，蓝球有40个，黄球有20个，
绿球有10个。随机抽取一个球并记录其颜色，然后放回盒子中。连续抽
取三次，求三次抽取中抽到红球的次数的期望值。
03
题目9
一个袋子中有5个红球和5个蓝球，从中随机抽取3个球，求抽取到红球
的个数X的分布律。
02 答案部分
基础题目答案
在处理复杂事件时，应先分解 为简单事件，再根据概率的加
法原则进行计算。
注意区分必然事件和不可能事 件，它们在概率论中具有特殊
地位。
知识点回顾与巩固
知识点回顾 概率的基本性质：概率具有非负性、规范性、有限可加性。
事件的独立性及其性质。
知识点回顾与巩固
条件概率的定义及其性质。 贝叶斯公式的应用场景和推导方法。
挑战题目解题思路与技巧
总结词
综合运用知识
详细描述
对于挑战题目，需要综合运用概率论中的知识，如随机变量的分布、随机过程的性质等。 要能够准确理解题目的背景和要求，构建合适的概率模型，并运用适当的数学方法进行求 解。
示例
题目问的是“一个袋子中有3个红球和2个白球，每次从中随机取出1个球并放回，连续取 5次。求取出的5个球中至少有3个红球的概率。”解题时，应先计算取出的5个球中都是 白球的概率，再用1减去这个概率，得出至少有3个红球的概率。
未来学习计划与展望
• 学习随机过程的基本概念和性质，了解常见的随 机过程如泊松过程、马尔可夫链等。
未来学习计划与展望
展望
学习概率论与其他数学分支的交叉知识，如统计学、线 性代数等。
将概率论的知识应用于实际问题和科学研究，加深对理 论知识的理解和掌握。
3-1概率论
例5 设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度
2 x y , x0 , y0 , ke f ( x, y ) , 其它. 0
试求： ⑴ 常数 k 的值； ⑵ 分布函数 F ( x, y) ; ⑶ 概率 P{Y X }; ⑷ 概率 P{X Y 1};
得
A( B 2 )(C 2 ) 1, A( B )(C ) 0, 2 2 A( B 2 )(C 2 ) 0.
则
A 2 , B , C 2 2 P{ X 3, Y 4} F (3, 4)
pij P{( X , Y ) (i, j )} P{( X i) (Y j )}
独立性
i 3
P{ X i} P{Y j}
i 3 i j 3 j 3 j
C 0.6 0.4 C 0.7 0.3
① P{ X Y } P00 P 11 P 22 P 33 ? ② P{ X Y } P 10 P 20 P 21 P 30 P 31 P 32 ? ③ P{ X 1 Y } P01 P 12 P 23 ?
p12 P{ X 1, Y 2}
1 P{ X 1}P{Y 1| X 1} 0 0 4
1 2 1 P{ X 1}P{Y 2 | X 1} 4/ 4 1/ 3 1/12 , p21 2 / 4 1/ 3 1/ 6
2 F ( x, y ) f ( x, y ) ③ 若 f ( x, y ) 在点 ( x, y ) 连续，则有 xy
④ P{( X , Y ) ( x, y)} 0 ,即连续型随机变量在某点的 概率为0。 ⑤ P{( X ,Y ) G} f ( x, y)dxdy , G表示xoy平面上的区域, 落在此区域上的概率相当于以 G为底,以曲面z f ( x, y) 为顶的曲顶柱体体积。
概率论第三章 平稳随机过程
严平稳过程只要均方值有界， 就是广义平稳的， 但反之则不一定。
当我们同时考虑两个平稳过程X(t)和Y(t)时，若它 们的互相关函数仅是单变量τ 的函数，即
RX Y (t1, t2 ) E[ X (t1 )Y (t2 )] RXY ( ), t2 t1,
则称X(t)和Y(t)宽平稳相依，或称这两个随机过程 是联合宽平稳的。
例3.1 设随机过程 X (t) a cos(0 t )
式中a，ω0为常数，Φ是在区间(0，2π)上均匀分 布的随机变量, 这种信号通常称为随相正弦波。求 证X(t)是宽平稳的。
二、各态历经（遍历）随机过程
在上面的讨论中，每当谈到随机过程时，就意味 着所涉及的是大量的样本函数的集合。要得到随机过 程的统计特性，就需要观察大量的样本函数。
ln
p( X
/
mX
)
K
N 1
exp
i0
(xi
mX
2
2 X
)2
均值估计
让对数似然函数取最大值
ln p( X / mX ) 0 m X
得到均值的最大似然估值
mˆ X
1 N
N 1
xi
i0
此式说明，可用N个观测值的算术平均作为均值mX的估值。
估计量的性质（工程）
1．有偏估计与无偏估计
由于估计量依赖于观测结果，因此估计量本身是 随机变量，于是它也存在其均值和方差。
定义1：取对应于ρX(τ)=0．05的那个时间为相关 时间τ
0
定义2：用图3.6中的矩形(高为ρX(0)=1，底为τ0的
矩形)面积等于阴影面(ρX(τ)积分的一半)来定义
τ0，即
大学概率论第三章----随机向量
大学概率论第三章----随机向量第三章 随机向量第一节 二维随机向量及其分布1、二维随机向量及其分布函数定义1：设E 是一个随机试验，它的样本空间是{}e Ω=.设X(e)与Y(e)是定义在同一样本空间Ω上的两个随机变量,则称(X(e),Y(e))为Ω上的二维随机向量或二维随机变量。
简记为(X,Y).定义2：设(X,Y)是二维随机向量,对于任意实数x,y ，称二元函数 F(x,y)=P{X ≦x ，Y ≦y}为二维随机向量(X,Y)的分布函数或联合分布函数。
(X,Y)的分布函数满足如下基本性质： (1)F(x,y)是变量x,y 的不减函数. (2)0≦F(x,y)≦1,(,)0y F y -∞=对于任意的 ,(,)0x F x -∞=对于任意的(,)0(,)1F F -∞-∞=+∞+∞=，(3)(,), (,)(0,)(,)(,0)F x y x y F x y F x y F x y F x y =+=+关于是右连续的，即， 1122121222211211(4)(,)(,),, (,)(,)(,)(,)0x y x y x x y y F x y F x y F x y F x y <<--+≥对于任意和，有2、二维离散型随机变量定义3：若二维随机向量(X,Y)的所有可能取值是有限对或无限可列多对,则称(X,Y) 为二维离散型随机向量。
设(X,Y)的一切可能值为(,) , ,1,2,i j X Y i j =L ，且(X,Y)取各对可能值的概率为,(,), ,1,2,i j i j P X Y P i j ==L(1) 非负性:,0, ,1,2,i j P i j ≥=L ；,(2)1ij i jp =∑规范性：, (,){,}i i ijx x y yX Y F x y P X x Y Y p ≤≤=≤≤=∑∑离散型随机变量的联合分布函数为定义4：{,}(,1,2,...)(,)ij P X x Y Y p i j X Y X Y ≤≤==称为二维离散型随机变量的概率分布或分布律，或随机变量和的联合分布律。
概率论与数理统计第3章第一节-二维随机变量3-1解析
看作一个整体，因为 X 与Y 之间是有联系的；
⑶ 在几何上，二维随机变量 ( X ,Y ) 可看 作平面上的随机点． 二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X及Y有关,而且 还依赖于这两个随机变量的相互关系,因此,逐个 地研究X及Y的性质是不够的，还需将(X,Y)作为 一个整体来研究．和一维的情况类似，我们也借 助“分布函数”来研究二维随机变量
时 F x1, y F x2, y ;
对任意固定的 x R 及 y1 , y2 R , 当 y1 y2
时 F x, y1 F x, y2 ;
x1, y y
x2, y
x1 O
x2 x
X ,Y
X ,Y
3 . 0 F x, y 1, 且
对任意固定的 y R , F , y 0 ,
得
1
F
，
A
B
2
C
2
0 F x， A B arctan x C
2 2
0 F ， y A B C arctan y
2
3
由 以 上 三 式 可 得A，
1，
2
B
，
2
C
2
．
n 维随机变量
设 E 是一个随机试验，S是其样本空间，
Xi Xi e e S i 1， 2， ， n
我们称此函数为n维随机变量的分布函数.
二、二维离散型随机变量
1．定义：
若二维随机向量(X,Y)的可能取值只有有限个或可 列个,则称(X,Y)是离散型二维随机向量.
若二维离散型随机向量(X,Y)的所有可能取值为
(xi,yj),i,j=1,2,…
记P{X=xi,Y=yj}=pij, i, j=1,2,…
复旦大学概率论基础第三章答案
复旦大学《概率论基础》习题答案（第一版）第三章 随机变量与分布函数1、 解：令n ξ表在n 次移动中向右移动的次数，则n ξ服从二项分布，n k p p C k P k n kk n n ,1,0,)1(}{=-==-ξ以n S 表时刻时质点的位置，则n n S n n n n -=--=ξξξ2)(。
n ξ的分布列为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----n n n n n n p p p C p p C p n22211)1()1()1(210。
n S 的分布列为⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+-+----n n n n n n p p p C p p C p n n n n22211)1()1()1(42。
2、 解：qp pq P P P +=+==}{}{}1{成失失成ξ，,}{}{}2{22p q q p qqp ppq P P P +=+=+==成成失失失成ξ所以ξ的概率分布为,2,1,}{2=+==k p q q p k p k 。
3、 解： （1）∑=⋅==Nk N Nck f 1)(1， 1=∴c 。
（2）∑∞=-==1)1(!1k ke c k c λλ， 1)1(--=∴λe c 。
4、 证：0)(≥x f ，且∞-∞∞---∞∞-∞∞--==-⎰⎰⎰0||||21)(x x x e dx e dx e dx x f)(x f ∴是一个密度函数。
5、 解：（1）⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-<-=<<)109(21)10(21)106(21)96(ξξP P 285788.0)2(2121)10(211=-Φ-⎪⎭⎫⎝⎛Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-<-=ξP（2）⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-<-=<<)1012(21)10(21)107(21)127(ξξP P ()774538.0)211(11)10(21211=-Φ-Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-<-=ξP（3）⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-<-=<<)1015(21)10(21)1013(21)1513(ξξP P 060597.0)211(212212)10(21211=Φ-⎪⎭⎫⎝⎛Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-<=ξP6、 解：7+24+38+24+7=100，93.0100/)7100(}{4=-=<x P ξ，=<}{3x P ξ100/)38247(}{3++=<x P ξ69.0=，查表得69.0)5.0(,93.0)5.1(≈Φ≈Φ。
概率论第三章二维随机变量
取下列数组中的值:(0,0),( :(0,0),(例2 二维离散型随机向量 ( X ,Y ) 取下列数组中的值:(0,0),(-1,1) 1,2),(2,0);且相应的概率依次为 且相应的概率依次为:1/6, (-1,2),(2,0);且相应的概率依次为:1/6, 1/3, 1/12, 5/12. 的联合概率分布 分布. 求X与Y的联合概率分布.
X Y y1
y2
⋯
yj
⋯
Hale Waihona Puke x1 p11 x 2 p21 ⋮ ⋮ xi pi1 ⋮ ⋮ 联合分布律 联合分布律的性质 (1) p ij ≥
p12 ⋯ p1 j p22 ⋯ p2 j ⋮ ⋮ pi 2 ⋯ pij ⋮ ⋮ 0 ; (2) ∑ ∑
⋯ ⋯ ⋯
p ij = 1
i ≥1 j ≥1
边缘分布 分布律 ２. 边缘分布律 二维离散型随机变量的边缘分布律可列于联合分布 二维离散型随机变量的边缘分布律可列于联合分布 可列 的两侧: 表的两侧 Y y y ⋯ y ⋯
型随机变量(X,X, 的分布律,或随机变量X 型随机变量(X,X,)的分布律,或随机变量X与Y的联合 (X,X 分布律 分布律.可记为
, ( X ,Y) ~ pij = P( X = xi ,Y = y j ) (i, j =1,2,⋯ )
二维离散型随机变量的联合分布律可列表如下: 二维离散型随机变量的联合分布律可列表如下 可列表如下
p12 1/ 4 p22 1/ 2 p32 1/ 4 1/ 2 1/ 2 1
3. 求联合分布的步骤与方法 求联合分布的步骤与方法 分布 先画出二向表的表头,并确定X 的取值; (1) 先画出二向表的表头,并确定X与Y的取值; 求联合分布表的中的概率项. (2) 求联合分布表的中的概率项.
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P( x X x x, y Y y y ) f ( x, y ) lim x 0 , xy y 0
P( x X x x, y Y y y) f ( x, y)xy
• 解：（X,Y）的所有可能取值为(0,0), (0,1), (1,0), (1,1). 8 7 28 PX 0, Y 0 10 9 45
8 2 8 PX 0, Y 1 10 9 45 2 8 8 PX 1, Y 0 10 9 45 2 1 1 PX 1 , Y 1 10 9 45
其中 S G dxdy为区域G的面积，则称二维 随机变量(X,Y)在G上服从均匀分布。
G
例3. 设(X,Y)在区域G（0≤y≤2x,0 ≤x ≤2) 上服从均匀分布，求 (1) (X,Y)的分布函数； (2) P(Y>X2).
例6：设(X,Y)在 上服从均匀分布，求其分布密度函数F(x,y).
联合概率密度的性质
1. f ( x, y) 0
2.
f (u, v)dvdu F (,) 1
x2 x1
3.P( x1 X x2 , y1 Y y2 )
G
y2
y1
f (u, v)dvdu
P(( x, y) G) f ( x, y)dxdy
y y
x
x
FY(y)
FX(x)
二维离散型随机变量的边缘分布 设(X,Y)为离散型随机变量，其联合分布律为 P( X xi , Y y j ) pij , i, j 1,2,... 则(X,Y)关于X、Y的边缘分布函数分别为
FX ( x) F ( x,) pij
xi x j 1
(2) pij 1
i j
F ( x, y ) P( X x, Y y ) pij
xi x y j y
例4：设有10件产品，其中2件是次品， 从中随即抽取两次，每次取一件，取后不 放回.以X表示第一次取到的次品件数。以 Y表示第二次取到的次品件数，求随机变 量（X,Y）的概率分布.
其中σ1>0, σ2>0, | ρ |<1, μ则称 (X,Y) 服从参
数为μ1 ,μ2,σ1,σ2,ρ的二维正态分布。记作
(X,Y)~ N(μ1 ,μ2,σ12,σ22,ρ)
二维正态分布
3.2
边缘分布
设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为 F(x,y)=P(X≤x,Y≤y),则随机变量X的分布函 数
2
, B
2
, C
2
二维离散型随机变量
设(xk,yk)(k=1,2,…)是二维随机变量(X,Y)所 取的一切可能值，且 (X,Y) 取各个可能值 的概率为
P ( X xi , Y x j ) pij , i , j 1, 2,
则称为(X,Y)二维离散型随机变量，上式为 二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律， 简称分布律。
3.1
二维随机变量的定义
对于随机试验E，Ω是其样本空间。X(w) 和 Y(w)是定义在样本空间Ω上的两个随机变量, 由它们构成的向量(X,Y)称为二维随机变量 或二维随机向量。 y
w.
X(w),Y(w)
(x,y)
Ω
x
联合分布函数 设(X,Y)是二维随机变量,对于任意实数x, y, 称二元函数
1 ( 6 2) 4
Y
3
6
0
4
X
例2：设二维随机变量（X,Y）的分布 x y 函数为 F x, y A B arctg C arctg 2 3 求A,B,C的值
解：
y F- , y A B C arctg 0 2 3
F(x,y)=P(X≤ x,Y≤y) 为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数， 简称分布函数。 y
(x,y)
x
联合分布函数的性质
1. x1<x2, F(x1,y)≤F(x2,y) y1<y2, F(x,y1)≤F(x,y2) 2. 0≤F(x,y)≤1
3.F ( x,) 0 F (,) 1
FX ( x ) P( X x) P ( X x, Y ) F ( x, )
称为(X,Y)关于X的边缘分布函数。
FY ( y ) P(Y y ) P( X , Y y ) F ( , y)
称为(X,Y)关于Y的边缘分布函数。
边缘分布
F (, y ) 0 F (,) 0
联合分布函数的性质
4. F(x+0,y)=F(x,y), F(x,y+0)=F(x,y)
5.P(x1 X x2 , y1 Y y2 ) =F (x2 ,y2 )- F (x1 ,y2 )- F (x2 ,y1 )+ F (x1 ,y1 ) 0 y
2
, B
2
, C
2
例2：设二维随机变量（X,Y）的分布 x y 函数为 F x, y A B arctg C arctg 2 3 求A,B,C的值
解：
y F- , y A B C arctg 0 2 3
(1 e x )(1 e y )
在x,y的其它取值处F(x,y)=0,
F ( x, y)
(1e x )(1e y ) 0
x 0,y 0 其它
(3) 如图
p{( X , Y ) G}
y
y=2-2x
2
G
f ( x, y ) dxdy
22 x
dx
对下面两种抽取方式：(1) 有放回抽取； (2)无放回抽取，求（X,Y）的概率分布。
二维连续型随机变量
设二维随机变量 (X,Y)的分布函数为 F(x,y)，如果存在非负函数f(x,y)使得对 任意的实数x, y,都有
F ( x, y)
x
y
f (u, v)dvdu
则称 (X,Y)为连续型随机变量，其中f(x,y) 称为 (X,Y)的联合概率密度函数，简称 联合概率密度或联合分布密度。
0
dx
y
0
1 1 dy xy 6 6
Y
2 y x (x,y) 3
0
X
Байду номын сангаас (3) 当
0 x 3且y 2时，
F ( x, y )
Y 2
2
0
dy
x
0
1 x dx 6 3
0
3
X
(4) 当
x 3且0 y 2时，
F ( x, y )
3
0
dx
y
0
1 y dy 6 2
f (x,y)并不是二维随机变量(X,Y)取值(x,y) 的概率，而是反映了(X,Y)集中在点(x,y)附 近的密集程度。
例2. 设(X,Y)的分布密度是
Ce( x y ) , x 0, y 0 f ( x, y) 其它 0 ,
求 (1) C的值; (2)分布函数; y (3)（X,Y）落在如图三角形区域内 的概率。
X
则（X,Y）的概率分布 0 1
Y
0
28 45 8 45
1
8 45 1 45
例1.设袋中有五个同类产品，其中有两个 是正品，每次从袋中任意抽取一个， 抽取两次，定义随机变量X、Y如下
1, 第一次抽取的产品是正品 X 0, 第一次抽取的产品是次品
1, 第二次抽取的产品是正品 Y 0, 第二次抽取的产品是次品
π π π 解：P{0 x , y } 4 6 3
π π π π π π F ( , ) F ( , ) F (0, ) F (0, ) 4 3 4 6 3 6 π π π π π π sin sin sin sin sin 0 sin sin 0 sin 4 3 4 6 3 6
X
Y
x1 x2 . . . xi . . .
y1
y2 p12 p22 . . . pi2 . . .
... … … … … …
yj p1
j
… … … … … …
p11 p21 . . . pi1 . . .
p2 j . . . pij . . .
联合分布列
联合分布律的性质
(1) pij 0, i, j 1,2,
y=2-2x
x
解：（1）由
f ( x, y)dxdy 1可得
0
dx
0
ce
( x y )
dy c
0
e
x
e y dy d 0
c
0
e
x
e
y 0
dx c
0
e x dx c 1
FY ( y ) F (, y )
yi y i 1
p
ij
(X,Y)关于X、Y的边缘分布律分别为
P( X xi ) pi pij , i 1,2,...
j 1
P(Y y j ) p j pij , j 1,2,...
取 y 为 , 则 A B C 0 2 2
同理可得 :