第七章 空间解析几何思考题

第七章 空间解析几何思考题
特别说明：为打印简便，这段的向量都没有箭头
１．,0=++c b a b a c μλ+=的几何意义是什么？
２．若平行四边形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 的向径分别为321,,r r r ，则顶点
D 的向径为什么？
３．若b a ⊥，则下列各式哪个必成立？||||||b a b a +=+，
||||||b a b a -=-，||||b a b a -=+，b a b a -=+
４．若,0=++c b a 则?=⨯b a
５．向量)57()3(b a b a -⊥+，)27()4(b a b a -⊥-，
则b a ,的夹角＝？ ６．下列各式是否正确？为什么？
0≠a 时，有1=a a ； b a b a a 2)(=⋅； 222)(b a ab =；
b b b a a a b a b a ⨯+⨯+⨯=+⨯+2)()(；
0)()(=⨯-⨯=-⨯+b b a a b a b a ；
若0≠a
，c b ac ab =⇒= 若0≠a ，c b c a b a =⇒⨯=⨯．
７．如果已知三点（四点）坐标，如何验证这三点（四点）是否共线（共面）？ ８．已知空间四点的坐标，能用向量方法计算出以它们为顶点的四面体体积吗？ ９．若c b a ,,均为非零向量，问它们有怎样的位置时，下列式子成立？ ||||||b a b a +=+，||||||b a b a +=-，c b a b c a )()(⋅=⋅． １０．下列两组角是否都可作为某向量的方向角？
60,150,90===γβα； 60,135,45===γβα． １１．如果a 与三个坐标面的夹角分别为A,B,C ，那么
?cos cos cos 222=++C B A
１２．想象图形：是否存在满足下列条件的平面．若存在，唯一吗？
（１）过一已知点与已知直线平行；（2）过一已知点与已知直线垂直； （３）过一已知点与已知平面平行；（４）过一已知点与已知平面垂直；
（５）过两已知点与已知直线平行；（６）过两已知点与已知直线垂直；
（７）过两已知点与已知平面平行；（８）过两已知点与已知平面垂直；
１３．设有两直线⎪⎩⎪⎨⎧=+-==t z t y t x L 4332:1，⎪⎩
⎪⎨⎧+=+-=+=t z t y t x L 2221:2．如果相交，那么
交点坐标应满足两个方程，即⎪⎩
⎪⎨⎧+=+-=+-+=t t t t t t 22423312应有解，但这样的解是
不存在的，故二直线不相交．以上的结论对吗？为什么？
１４．直线⎩⎨⎧=+++=+++0
022221111D z C y B x A D z C y B x A 的系数满足哪些条件，才能使直线：
过原点？与ｚ轴平行？与ｘ轴重合？与ｙ轴相交？
１５．如何求过一已知点且与二已知的异面直线都相交的直线？
※ 如何求二已知的异面直线的公垂线？（有能力的同学可尝试！）
１６．试推导点到平面的距离公式、点到直线的距离公式、直线间距离公式． １７．（１）1=x ，在数轴上、在平面直角坐标系下、空间直角坐标系下各表
示什么图形？
（２）⎩⎨⎧==11y x 在平面直角坐标系下、空间直角坐标系下各表示什么图形？ （３）022=+y x 表示什么图形？
１８．写出满足下列条件的动点轨迹的方程，它们分别表示什么曲面？ （１）动点到坐标原点的距离等于它到平面4=z
的距离； （２）动点到坐标原点的距离等于它到点)4,3,2(的距离的一半；
（３）动点到点)5,0,0(的距离等于它到x 轴的距离．
１９．如何写出一条空间曲线在坐标面上投影曲线方程？试求曲线
⎩⎨⎧-+-=--=222
2)
1()1(2y x z y x z 在三个坐标面上的投影曲线的方程．
参考答案：
１．如果不共线，,0=++c b a 说明三向量构成一个三角形；
b a
c μλ+=说明三个向量共面．
２．3214r r r r +-= ．
３．只有||||b a b a -=+成立．
４．若,0=++c
b a 则
c b b a ⨯=⨯． ５． 60．
６．都不正确． 因为不能把数的运算法则使用于向量运算．
７．若三点为A,B,C ，当且仅当向量→→BC AB ,的向量积为零向量；
如果已知四点A,B,C ，D ，→→BC AB ,，→AD 的混合积为零．
８．平行六面体体积的六分之一，即为混合积的绝对值的六分之一． ９．b a ,同向时，有 ||||||b a b a +=+；
b a ,反向时，有||||||b a b a +=-；
当b a ⊥且c a ⊥或c b ,平行时，c b a b c a )()(⋅=⋅成立．
１０． 用1cos cos cos 222=++γβα判定．
60,150,90===γβα可以；
60,135,45===γβα不可以．
１１．2cos cos cos 222=++C B A
１２．（１）存在但不唯一．
（２）存在且唯一．
（３）存在且唯一．
（４）存在但不唯一．
（５）若两点连线与已知直线不平行，则存在且唯一；若平行，存在但有无
穷多个．
（６）仅当两点连线垂直于已知直线时，存在且唯一．
（７）仅当两点连线平行于已知平面时，存在且唯一．
（８）存在，仅当两点连线不垂直于已知平面才唯一存在．
１３．不对．)0,3,0(-点是他们的交点．推导过程中两直线方程的参数并无特
殊联系，问题在于把两个方程中的参数看成了相等的参数．
１４．直线⎩⎨⎧=+++=+++0
022221111D z C y B x A D z C y B x A 021==D D 时，过原点；021==C C 且2
121B B A A ≠时，与ｚ轴平行． 02121====D D A A 时，与ｘ轴重合．2
121D D B B =时，与ｙ轴相交． １５．分别求过已知点与已知直线的两个平面，则交线即为所求．
◎ 设已知二异面直线的方向向量分别为21,s s ，且分别过点21,M M ，而s 是所求公垂线的方向．
则由于21,s s s s ⊥⊥，利用垂直的条件可确定21s s s ⨯=；然后由11,,M s s 可确定一个平面1π，由22,,M s s 可确定平面2π，则21,ππ的交线即为所求．
１６．已知点),,(0000z y x M ，平面方程0=+++D Cz By Ax ，直线方程
n
z z m y y l x x ***-=-=-，方向),,(n m l s =，M 是直线上任意点 则点到平面的距离为222000||C
B A D Cz By Ax d +++++= （与中学平面解析几何中点到直线的距离公式比较）； 点到直线的距离公式是|
|0s d =； 如果21,M M 分别是二直线的各一点，21,s s 分别是方向，则当二直线异面时，二直线的距离为|
||)(|212121s s s s M M d ⨯⨯⋅=． １７．（１）1=x ，在数轴上、在平面直角坐标系下、空间直角坐标系下分别
表示一点、一直线、一平面；
（２）⎩⎨⎧==1
1y x 在平面直角坐标系下、空间直角坐标系下分别表示平面上一
点、一直线；
（３）022=+y x
表示直线，即z 轴． １８．写出满足下列条件的动点轨迹的方程，它们分别表示什么曲面？ （１）)2(822z y x -=+，开口朝下，顶点在)2,0,0(的旋转椭圆抛物面；
（２）911634)1(322
22=⎪⎭⎫ ⎝
⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+z y x ，这是球面； （３）25102-=z x ，母线平行于y 轴的抛物柱面．
１９．要求一条空间曲线在xoy 面上投影曲线方程，只须由表示该曲线的两个曲面方程中消去变量z 即可得到投影曲线方程中的两个中的一个，再与0=z
联立即为曲线在xoy 面的投影曲线方程．
例如曲线⎩⎨⎧-+-=--=222
2)
1()1(2y x z y x z 在xoy 面上的投影曲线的方程为 ⎩
⎨⎧=-+-=--0)1()1(22
222z y x y x ．可以化简一下． 想一想如果空间曲线方程为参数方程时，如何写出其在坐标面上的投影曲线方程．。