【金版优课】高中数学人教B版选修2-2课时作业：1.3.1 利用导数判断函数的单调性(1)(含答案解析)

第一章 §1.3 课时作业6
一、选择题
1．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )
A. y ＝sin 2x
B. y ＝x e x
C. y ＝x 3－x
D. y ＝－x ＋ln(1＋x )
解析：y ＝x e x ，则y ′＝e x ＋x e x ＝e x (1＋x )在(0，＋∞)上恒大于0.
答案：B
2．若函数y ＝f (x )的导函数．．．
在区间[a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象可能是( )
解析：∵y ＝f (x )的导函数在区间[a ，b ]上是增函数，则函数f (x )图象上的点的切线斜率是递增的．
答案：A
3．已知f (x )＝2cos 2x ＋1，x ∈(0，π)，则f (x )的单调递增区间是( )
A ．(π，2π)
B ．(0，π)
C ．(π2，π)
D ．(0，π2
) 解析：∵f (x )＝2cos 2x ＋1＝2＋cos2x ，x ∈(0，π)，
∴f ′(x )＝－2sin2x .
令f ′(x )>0，则sin2x <0.
又x ∈(0，π)，∴0<2x <2π.
∴π<2x <2π，即π2
<x <π. 答案：C
4．设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图所示，则导函数y ＝f ′(x )可能为( )
解析：由函数的图象知：当x <0时，函数单调递增，导数始终为正；当x >0时，函数先增后减再增，导数先正后负再正，对照选项，应选D.
答案：D
二、填空题
5．函数f (x )＝x 3＋x 2－5x －5的单调递增区间是__________．
解析：令y ′＝3x 2＋2x －5>0，得x <－53
或x >1. 答案：(－∞，－53
)∪(1，＋∞) 6．函数y ＝ln(x 2－x －2)的递减区间为__________．
解析：∵f ′(x )＝2x －1x 2
－x －2，由f ′(x )＝2x －1x 2－x －2<0，得x <－1或12<x <2，而函数的定义域为(－∞，－1)∪(2，＋∞)，故递减区间为(－∞，－1)．
答案：(－∞，－1)
7．设函数f (x )＝x (e x －1)－12
x 2，则f (x )的单调递增区间是________，单调递减区间是________．
解析：f ′(x )＝e x －1＋x e x －x ＝(e x －1)(x ＋1)．
当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0；
当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0；
当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.
故f (x )在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，
在(－1,0)上单调递减．
答案：(－∞，－1)和(0，＋∞) (－1,0)
三、解答题
8．证明：函数f (x )＝ln x ＋x 在其定义域内为单调递增函数．
证明：函数的定义域为{x |x >0}，
又f ′(x )＝(ln x ＋x )′＝1x
＋1， 当x >0时，f ′(x )>1>0，
故y ＝ln x ＋x 在其定义域内为单调递增函数．
9．已知函数f (x )＝x 2·e x －
1＋ax 3＋bx 2，且x ＝－2和x ＝1是f ′(x )＝0的两根． (1)求a ，b 的值：
(2)求f (x )的单调区间．
解：(1)因为f ′(x )＝e x －
1(2x ＋x 2)＋3ax 2＋2bx ＝x e x －
1(x ＋2)＋x (3ax ＋2b )， 又x ＝－2和x ＝1为f ′(x )＝0的两根，
所以f ′(－2)＝f ′(1)＝0.
故有⎩⎪⎨⎪⎧
－6a ＋2b ＝03＋3a ＋2b ＝0， 解方程组得a ＝－13
，b ＝－1. (2)因为a ＝－13
，b ＝－1， ∴f ′(x )＝x (x ＋2)(e x －
1－1)． 令f ′(x )＝0得x 1＝－2，x 2＝0，x 3＝1.
当x ∈(－2,0)∪(1，＋∞)时，f ′(x )>0；
当x ∈(－∞，－2)∪(0,1)时，f ′(x )<0，
∴f (x )的单调递增区间为(－2,0)和(1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－2)和(0,1)．。