2023年高考数学复习：计数原理与概率
2018年高考理科数学第一轮复习教案58 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
两个原理
分类加法计数原理、分步乘法计数原理
(1)理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理．
(2)会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题．
知识点 两个原理
1．分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．
2．分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．
易误提醒 (1)分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法
中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的．
(2)分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步与步之间是相关联的．
[自测练习]
1．从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数有( )
A．30 B．20 C．10 D．6
解析：从0,1,2,3,4,5六个数字中，任取两数和为偶数可分为两类，①取出的两数都是偶数，共有3种方法；②取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由分类加法计数原理得共有N＝3＋3＝6种．
答案：D
2．用0,1，„，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )
A．243 B．252 C．261 D．279
解析：0,1,2„，9共能组成9×10×10＝900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648(个)，
∴有重复数字的三位数有900－648＝252(个)．
答案：B
考点一 分类加法计数原理|
1．a，b，c，d，e共5个人，从中选1名组长1名副组长，但a不能当副组长，不同选法的种数是( )
A．20 B．16
C．10 D．6
解析：当a当组长时，则共有1×4＝4种选法；当a不当组长时，又因为a也不能当副组长，则共有4×3＝12种选法．因此共有4＋12＝16种选法．
2018年高考数学总复习第十章计数原理、概率第5讲古典概型学案!
- 1 - 第5讲 古典概型
最新考纲 1.理解古典概型及其概率计算公式；2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.
知 识 梳 理
1.基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的.
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.
2.古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.
(2)每个基本事件出现的可能性相等.
3.如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝mn.
4.古典概型的概率公式
P(A)＝A包含的基本事件的个数基本事件的总数.
诊 断 自 测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”.( )
(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件.( )
(3)从－3，－2，－1，0，1，2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同.( )
(4)利用古典概型的概率可求“在边长为2的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于1”的概率.( )
解析 对于(1)，发芽与不发芽不一定是等可能，所以(1)不正确；对于(2)，三个事件不是等可能，其中“一正一反”应包括正反与反正两个基本事件，所以(2)不正确；对于(4)，应利用几何概型求概率，所以(4)不正确.
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×
2.(必修3P127例3改编)掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于(
)
A.118 B.19 C.16 D.112 - 2 - 解析 所有基本事件的个数为6×6＝36，点数之和为5的基本事件有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)共4个，故所求概率为P＝436＝19.
2021年高考理科数学一轮复习阶段测试六十九分类加法计数原理与分步乘法计数原理
- 1 - 核心素养测评六十九 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
(25分钟 50分)
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.如图,从A到O的不同的走法(不重复过一点)有____________种 ( )
A.1 B.2 C.4 D.5
【解析】选D.分3类:第一类,直接由A到O,有1种走法;第二类,中间过一个点,有A→B→O和A→C→O,有2种不同的走法;第三类,中间过两个点,有A→B→C→O和A→C→B→O,有2种不同的走法.由分类加法计数原理可得共有1+2+2=5(种)不同的走法.
2.将3张不同的演唱会门票分给10名同学中的3人,每人1张,则不同分法的种数是 ( )
A.2 160 B.720 C.240 D.120
【解题指南】按顺序分步骤确定每张门票的分法种数,根据分步乘法计数原理得到结果.
【解析】选B.分步来完成此事.第1张有10种分法,第2张有9种分法,第3张有8种分法,共有10×9×8=720(种)分法.
【变式备选】
用0到9这10个数字,可以组成____________个没有重复数字的三位奇数.
【解析】由题意,从1,3,5,7,9中任选一个数排在个位,共有5种方法,再从剩余的8个非零数字中任选一个数字排在首位,共有8种方法,从剩余的8个数字中任选一个数字排在十位数,共有8种方法,由分步乘法计数原理,知组成没有重复数字的三位奇数共有5×8×8=320(个).
答案:320
3.教学大楼共有五层,每层均有两个楼梯,由一层到五层的走法有 ( )
A.10种 B.25种 C.52种 D.24种
【解析】选D.每相邻的两层之间各有2种走法,共分4步.由分步乘法计数原理可知,共有24种不同的走法.
4.甲、乙、丙3位同学选修课程,从4门课程中,甲选修2门,乙、丙各选修3门,则不同的选修方案共有 ( )
A.36种 B.48种 C.96种 D.192种 - 2 - 【解析】选C.设4门课程分别为1,2,3,4,甲选修2门,可有1,2;1,3;1,4;2,3;2,4;3,4共6种情况,同理乙,丙均可有1,2,3;1,2,4;2,3,4;1,3,4共4种情况,所以不同的选修方案共有6×4×4=96(种).
高考数学复习专题14计数原理与概率统计古典概型考点剖析
古典概型
主标题：古典概型
副标题：为学生详细的分析古典概型的高考考点、命题方向以及规律总结。
关键词：古典概型，古典概型公式
难度：2
重要程度：4
考点剖析：
1．理解古典概型及其概率计算公式．
2．会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.
命题方向：
1．古典概型与统计的综合应用，是高考命题的热点，多以解答题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题．
2．高考对古典概型与统计的综合应用的考查主要有以下几个命题角度：
(1)由频率来估计概率；
(2)由频率估计部分事件发生的概率；
(3)求方差(或均值)等．
规律总结：
4种方法——基本事件个数的确定方法
(1)列举法：(见本节考点一[方法规律])；
(2)列表法：(见本节考点一[方法规律])；
(3)树状图法：树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件个数的探求；
(4)计数原理法：如果基本事件的个数较多，列举有一定困难时，可借助于两个计数原理及排列组合知识直接计算出m，n，再运用公式求概率．
2个技巧——求解古典概型问题概率的技巧
(1)较为简单问题可直接使用古典概型的概率公式计算；
(2)较为复杂的概率问题的处理方法：一是转化为几个互斥事件的和，利用互斥事件的加法公式进行求解；二是采用间接法，先求事件A的对立事件A的概率，再由P(A)＝1－P(A)求事件A的概率．
1个构建——构建不同的概率模型解决问题
(1)原则：建立概率模型的一般原则是“结果越少越好”，这就要求选择恰当的观察角度，把问题转化为易解决的古典概型问题；
(2)作用：一方面，对于同一个实际问题，我们有时可以通过建立不同“模型”来解决，即“一题多解”，在这“多解”的方法中，再寻求较为“简捷”的解法；另一方面，我们又可以用同一种“模型”去解决很多“不同”的问题，即“多题一解”.
知 识 梳 理
1．古典概型的两个特征
(1)试验的所有可能结果只有有限个．每次试验只出现其中的一个结果；
2018届高考数学大一轮复习第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第一节两个计数原理教师用书理.
- 1 - 第一节 两个计数原理
☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆
考纲要求 真题举例 命题角度
1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能正确区分“类”和“步”；
2.能利用两个原理解决一些简单的实际问题。 2016，全国卷Ⅱ，5,5分(乘法计数原理)
2016，全国卷Ⅲ，12,5分(加法计数原理)
2014，福建卷，10,5分(乘法计数原理) 1.两个计数原理一般不单独命题，常与排列、组合交汇考查；
2.题型以选择题、填空题为主，要求相对较低。
微知识 小题练
自|主|排|查
两个计数原理：
完成一件事的策略 完成这件事共有的方法
分类加法计数原理 有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法„在n类中有mn种不同方法 N＝m1＋m2＋„＋mn种不同的方法
分步乘法计数原理 需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法„做第n步有mn种不同方法 N＝m1·m2·„·mn种不同的方法
微点提醒
1．分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任意一种方法都可以完成这件事。
2．分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才能完成。
小|题|快|练
一 、走进教材
1．(选修2－3P12A组T2改编)如图，从A城到B城有3条路；从B城到D城有4条路；从- 2 - A城到C城有4条路，从C城到D城有5条路，则某旅客从A城到D城共有________条不同的路线。
【解析】 不同路线共有3×4＋4×5＝32(条)。
【答案】 32
2．(选修2－3P10练习T1改编)乘积(a＋b＋c)(d＋e＋f＋h)(i＋j＋k＋l＋m)展开后共有________项。
【解析】 由(a＋b＋c)(d＋e＋f＋h)(i＋j＋k＋l＋m)展开式各项都是从每个因式中选一个字母的乘积，由分步乘法计数原理可得：其展开式共有3×4×5＝60(项)。
考点33 两个计数原理——2021年高考数学专题复习真题练习
考点33 两个计数原理
【题组一 排序问题】
1．甲、乙、丙、丁、戊、己六人按一定的顺序依次抽奖，要求甲排在乙前面，丙与丁不相邻且均不排在最后，则抽奖的顺序有（ ）
A．72种 B．144种 C．360种 D．720种
2．12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是( )
A．2283CA B．2686CA C．2286CA D．2285CA
3．受新冠肺炎疫情影响，某学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭.高三年级一层楼六个班排队，甲班必须排在前三位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有（ ）
A．240种 B．120种 C．188种 D．156种
4．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的数，问
（1）能够组成多少个五位奇数？
（2）能够组成多少个正整数？
（3）能够组成多少个大于40000的正整数？
【题组二 分组分配问题】
1.某学校有5位教师参加某师范大学组织的暑期骨干教师培训，现有5个培训项目，每位教师可任意选择其中一个项目进行培训，则恰有两个培训项目没有被这5位教师中的任何一位教师选择的情况数为 。
2．现有4个不同的球，和4个不同的盒子，把球全部放入盒内．
（1）共有多少种不同的方法？
（2）若每个盒子不空，共有多少种不同的方法？
（3）若恰有一个盒子不放球，共有多少种放法？
（4）若恰有两个盒子不放球，共有多少种放法？
3．有6本不同的书，在下列不同的条件下，各有多少种不同的分法？
（1）分给甲､乙､丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；
（2）分成三组，一组4本，另外两组各1本；
（3）甲得1本，乙得1本，丙得4本.
【题组三 染色问题】
1．现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有 （ ）
江苏专用2018版高考数学专题复习专题10计数原理概率与统计第73练事件的独立与条件概率练习理
1（江苏专用）2018版高考数学专题复习专题10计数原理、概率与
统计第73练事件的独立与条件概率练习理训练目标(1)会求相互独立事件发生的概率；(2)会求简单的条件概率．
训练题型(1)求相互独立事件的概率；(2)求条件概率．
解题策略(1)正确判断事件的独立性，理解并能灵活应用相互独立事件的概率性质；(2)
准确理解P(B|A)、P(AB)的含义是解决条件概率问题的关键.
1．口袋内装有100个大小相同的红球、白球和黑球，其中红球有45个，从口袋中摸出一个
球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为________．
2．在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，在第1次抽到文科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为________．
3．(2016·淮安质检)打靶时甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同
时射击一个目标，则它们都中靶的概率是________．
4．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，
甲每次从中任取一个不放回，在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为
________．
5．2017年国庆节放假，甲去北京旅游的概率为1
3，乙，丙去北京旅游的概率分别为1
4，1
5.假
定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1个去北京旅游的概率为
________．
6．(2017·合肥质检)周老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，她预估计做对第一
道题的概率为0.8，做对两道题的概率为0.6，则预估计做对第二道题的概率为________．
7．从应届毕业生中选拔飞行员，已知该批学生体型合格的概率为1
3，视力合格的概率为1
6，
其他几项标准合格的概率为1
5，从中任选一名学生，则该学生三项均合格的概率为(假设三次
标准互不影响)________．
8．(2015·课标全国Ⅰ改编)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知
(完整)2019-2020年高考数学小题集训——计数原理与概率(一)
1
一、选择题
1•用1, 2, 3, 4, 5组成不含重复数字的五位数，要求数字 4不出现在首位和末位，数字
1, 3，5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是（ ）
A. 48 B. 60 C. 72 D.120
2.6名同学安排到3个社区A、B、C参加志愿者服务，每个社区安排两名同学，其中甲同
学必须到A社区，乙和丙同学均不能到 C社区，则不同的安排方法种数为（ ）
A. 5 B. 6 C. 9 D . 12
3•郑州绿博园花展期间，安排 6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安
排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共
有（）
A . 168 种 B . 156 种 C . 172 种 D . 180 种
4•将甲，乙等 5位同学分别保送到北京大学，清华大学，浙江大学等三所大学就读，则每
所大学至少保送一人的不同保送的方法数为（ ）
A . 150 种 B . 180 种 C.240 种 D . 540 种
5•某天某校的校园卫生清扫轮到高二 （5）班，该班劳动委员把班级同学分为 5个劳动小组,
该校共有 A、B、C、D四个区域要清扫，其中 A、B、C三个区域各安排一个小组， D 域安排2个小组，则不同的安排方法共有（ ）
A . 240 种 B.150 种 C.120 种 D.60 种
6•—只小青蛙位于数轴上的原点处，小青蛙每一次具有只向左或只向右跳动一个单位或者
两个单位距离的能力，且每次跳动至少一个单位 •若小青蛙经过 5次跳动后，停在数轴上实
数2位于的点处，则小青蛙不冋的跳动方式共有 ()种•
A.105 B.95 C.85 D.75
7.a 2 1 cos x dx,贝U ax 9
展开式中x3项的系数为
0 2ax
21 63 63 63
A . B . C .— D .— 2 8 8 16 2019-2020年高考数学小题集训 计数原理与概率（一） 2
2019年高考数学(理)自由复习步步高系列 第七天 计数原理与概率与统计(解析版)
2019年高考备考之考前十天自主复习
第七天计数原理与概率与统计(理科)【热点知识再梳理——胸有成竹】
热点一：排列组合问题
[1]求解排列、组合问题的思路：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．具体
地说，解排列、组合的应用题，注意应用解题策略——相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优
先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结
果．常用解题途径有：
(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．
(2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．
(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．
[2]在应用通项公式时，要注意以下几点：
①它表示二项展开式的任意项，只要n与r确定，该项就随之确定；
②Tr＋1是展开式中的第r＋1项，而不是第r项；
③公式中，a，b的指数和为n且a，b不能随便颠倒位置；
④对二项式()nab－展开式的通项公式要特别注意符号问题．
[3]在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法．
1．【河南省郑州市2018届高三毕业年级第二次质量预测】《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲
述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项
任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A必须排在前三位，且任务E、F必须排在一起，则这
六项任务的不同安排方案共有（）
A.240种B.188种C.156种D.120种
【答案】D
【解析】当E,F排在前三位时，2231223NAAA=24,当E,F排后三位时，122223322NCAAA=72，当
E,F排3，4位时，112232322NCAAA=24，N=120种，选D.
2．【北京市海淀区2019届】学号分别为1，2，3，4的4位同学排成一排，若学号相邻的同学不相邻，则
2014年高考一轮复习数学教案：10.1 分类计数原理、分步计数原理
2013年，2014年,高考第一轮复习,数学教案集
第十章
排列、组合和二项式定理
●网络体系总览
计数原理排列数公式二项式定理组合数公式
通项公式二项式系数性质排列组合
排列与组合组合数性质
●考点目标定位
1.掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题.
2.理解排列与组合的意义，掌握排列数与组合数的计算公式，掌握组合数的两个性质，并能用它们解决一些简单的应用问题.
3.掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题.
●复习方略指南
排列与组合是高中数学中，从内容到方法都比较独特的一部分.其重点是在熟练应用公式的基础上，运用两个基本原理，解决计数应用题.
二项式定理的重点是二项展开式及通项公式的联系和应用.
本章内容高考所占比重不大，经常以选择题、填空题的形式出现，但对思维能力要求较高，在复习中，要注意通过典型例题，掌握分析问题的方法，总结解题规律.
10.1
分类计数原理、分步计数原理
●知识梳理
分类计数原理与分步计数原理是计数问题的基本原理，它贯穿于全章学习的始终，体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即把问题分类解决和分步解决，是本章学习的重点.
特别提示
正确区分和使用两个原理是学好本章的关键，其核心是“完成一件事”是“分类”完成，还是“分步”完成.
●点击双基
1.十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有_____________种行车路线.
A.24 B.16 C.12 D.10
解析：起点为C14种可能性，终点为C13种可能性，因此，行车路线共有C14×C13=12种.
答案：C
2.（2002年全国）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有
A.8种 B.12种 C.16种 D.20种
解析：有2个面不相邻即有一组对面，所以选法为C13·C14=12种.