2016年高考数学复习专题14计数原理与概率统计离散型随机变量的均值与方差考点剖析
离散型随机变量的均值与方差
主标题：离散型随机变量的均值与方差
副标题：为学生详细的分析离散型随机变量的均值与方差的高考考点、命题方向以及规律总结。
关键词：离散型随机变量，均值，方差
难度：3
重要程度：4
考点剖析：
1．理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念．
2．能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单实际问题.
命题方向：
1．离散型随机变量的均值与方差是高中数学的重要内容，也是高考命题的热点，多以解答题的形式呈现，多为中档题．
2．高考对离散型随机变量的均值与方差的考查主要有以下几个命题角度：
(1)已知离散型随机变量符合条件，求其均值与方差；
(2)已知离散型随机变量的均值与方差，求参数值；
(3)已知离散型随机变量满足两种方案，试作出判断．
规律总结：
1．均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．
(2)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
(3)若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
2．求离散型随机变量均值与方差的基本方法
(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差，按定义求解．
(2)已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数Y＝aX＋b的均值、方差，可直接用X 的均值、方差的性质求解．
(3)如果所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，利用它们的均值、方差公式求解．
知识梳理
1．离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的分布列为P(X＝x i)＝p i，i＝1,2，…，n
(1)均值：称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望．
(2)方差：称D (X )＝ i ＝1
n
(x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，其算术平方根D X 为随机
变量X 的标准差．
2．均值与方差的性质
(1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b .
(2)D (aX ＋b )＝a 2D (X )．(a ，b 为常数)
3．两点分布与二项分布的均值、方差。
高考数学一轮总复习课件：离散型随机变量的分布列、均值与方差
超几何分布
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次
CMkCN－Mn－k
品，则P(X＝k)＝________C_N_n __，k＝0，1，2，…，m，其中m
＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.称分布列：
X
0
P
CM0CN－Mn－0 CNn
为超几何分布列．
1
…
m
CM1CN－Mn－1 CNn
…
CMmCN－Mn－m CNn
如果随机变量X的分布列具有上表的形式，那么称随机变量
X服从超几何分布，记作X～H(N，M，n)．
1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)． (1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量． (2)在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概 率之和可以小于1. (3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥 的．
思考题2 (1)(2021·吉林省汪清县高三月考)已知随机变 量ξ的分布列如下表，则x＝____12____．
ξ01 2
P x2 x
1 4
【解析】
由随机变量概率分布列的性质可知：x2＋x＋
1 4
＝1，且0≤x≤1，解得x＝12.
(2)(2021·青铜峡市高三期末)设随机变量ξ的概率分布列如下
表，则P(|ξ－3|＝1)＝( A )
3．设ξ是一个离散型随机变量，则下列不一定能成为ξ的概
率分布列的一组数是( C )
A．0，0，0，1，0
B．0.1，0.2，0.3，0.4
C．p，1－p(p为实数)
D.1×1 2，2×1 3，…，（n－11）·n，1n(n∈N*，n≥2)
解析
显然A、B满足分布列的两个性质；对于D，有
高考总复习课标版数学 计数原理、概率、随机变量及其分布列-离散型随机变量的均值与方差-主干知识梳理
知
均值 E(X)是一个实数，由 X 的分布列唯一确定，即 X 作为随
识
梳 理
机变量是可变的，而 E(X)是不变的，它描述 X 值的取值平均状态．
核 心 考 点 突 破
第7页
第十一章 第八节
高考总复习 ·课标版 ·数学 （理）
[双基自测]
主
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
干
第10页
第十一章 第八节
高考总复习 ·课标版 ·数学 （理）
4．设 X～B(n，p)，若 E(X)＝12，D(X)＝4，则 n，p 的值分
主 别为( )
干
知 识 梳
A．18 和23 B．16 和21
理
C．20 和31 D．15 和41
核 心 考 点
[解析] 由nnpp＝1－12p，＝4， 得 n＝18，p＝32.
此它们是一回事．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
第8页
第十一章 第八节
高考总复习 ·课标版 ·数学 （理）
2．(选修 2－3P64 练习 T2 改编)已知离散型随机变量 X 的分布
主 列为
干 知 识 梳 理
X1 2 3
P
3 5
3 10
1 10
则 X 的数学期望 E(X)＝( )
识
梳 理
[思路引导]
(1)
费用为0元、40元、 80元三类
→
利用互斥事件 的概率求和
核 心 考
(2)
确定ξ的 取值
→
计算ξ各值 对应的概率
→
ξ的分 布列
→
求数学期 望和方差
点突破Fra bibliotek第15页
高考数学精讲课件：计数原理与概率、随机变量及其分布 第九节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布
解：(1)设顾客所获的奖励额为 X. 1 C1 C 1 1 3 ①依题意，得 P(X＝60)＝ C2 ＝2， 4 1 即顾客所获的奖励额为 60 元的概率为2. ②依题意，得 X 的所有可能取值为 20,60. 1 C2 1 3 P(X＝60)＝2，P(X＝20)＝C2＝2， 4 即 X 的分布列为 X 20 60 1 1 P 2 2 所以顾客所获的奖励额的期望为 1 1 E(X)＝20×2＋60×2＝40(元)．
第九节
离散型随机变量的均值与方差、正态分布
基础盘查一
离散型随机变量的均值与方差
(一)循纲忆知
1．理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念．
2．能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简 单实际问题．
(二)小题查验
1．判断正误
(1)期望是算术平均数概念的推广，与概率无关 ( × )
2．D(aX＋b)＝a2D(X)．
3．若 X 服从两点分布，则 D(X)＝p(1－p)．
4．若 X～B(n，p)，则 D(X)＝np(1－p)．
[典题例析]
(2014· 福建高考)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1 000 位顾 客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有 4 个标有面值的球的袋中一次性 随机摸出 2 个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额． (1)若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元，其余 3 个均为 10 元，求： ①顾客所获的奖励额为 60 元的概率； ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望； (2)商场对奖励总额的预算是 60 000 元，并规定袋中的 4 个球只能由标有 面值 10 元和 50 元的两种球组成，或标有面值 20 元和 40 元的两种球组 成． 为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的 奖励额相对均衡，请对袋中的 4 个球的面值给出一个合适的设计，并说明 理由．
高考数学一轮复习第章计数原理概率随机变量及其分布第讲离散型随机变量的均值与方差正态分布
第9讲 离散型随机变量的均值与方差、正态分布1．若离散型随机变量X 的分布列为 X0 1 Pa 2 a 22则X 的数学期望EX ＝( )A ．2 B ．2或 12C. D ．112解析：选C.因为分布列中概率和为1，所以＋＝1，即a 2＋a －2＝0，解得a ＝－2(舍去)a 2a 22或a ＝1，所以EX ＝. 122．(2016·江西省八校联考)在某次联考数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布(100，σ2)(σ>0)，若ξ在[80，120]内的概率为0.8，则落在(0，80)内的概率为( )A ．0.05B ．0.1C ．0.15D ．0.2解析：选B.P (0<ξ<80)＝[1－P (80≤ξ≤120)]＝(1－0.8)＝0.1. 12123．(2016·嘉峪关质检)签盒中有编号为1，2，3，4，5，6的六支签，从中任意取3支，设X 为这3支签的号码之中最大的一个，则X 的数学期望为( )A ．5B ．5.25C ．5.8D ．4.6解析：选B.由题意可知，X 可以取3，4，5，6，P (X ＝3)＝＝，P (X ＝4)＝＝， 1C 120C C 320P (X ＝5)＝＝，P (X ＝6)＝＝. C C 310C C 12由数学期望的定义可求得EX ＝3×＋4×＋5×＋6×＝5.25. 120320310124．(2016·河北省监测)已知某高级中学高三学生有2 000 名，在第一次模拟考试中数学成绩ξ服从正态分布N (120，σ2)，已知P (100<ξ<120)＝0.45，若学校教研室欲按分层抽样的方式从中抽出100份试卷进行分析研究，则应从140分及以上的试卷中抽( )A ．4份B ．5份C ．8份D ．10份解析：选B.因为P (ξ>140)＝＝0.05，所以从140分及以上的试1－2P （100<ξ<120）2卷中抽×100＝5份． 0.05× 2 0002 0005．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为________．解析：记不发芽的种子数为Y ，则Y ～B (1 000，0. 1)， 所以EY ＝1 000×0.1＝100.又X ＝2Y ，所以EX ＝E (2Y )＝2EY ＝200.答案：2006．(2016·邯郸一模)公共汽车车门高度是按男子与车门碰头机会不高于0.022 8来设计的．设男子身高X 服从正态分布N (170，72)(单位：cm)，参考以下概率P (μ－σ<X <μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ<X <μ＋3σ)＝0.997 4，则车门的高度(单位：cm)至少应设计为________cm.解析：因为P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝0.954 4，所以P (X ≥μ＋2σ)＝＝0.022 8， 1－0.954 42所以车门的高度至少设计为μ＋2σ才符合要求，即为170＋2×7＝184 cm.答案：1847．(2015·高考山东卷)若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”(如137，359，567等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；(2)若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX .解：(1)个位数字是5的“三位递增数”有125，135，145，235，245，345.(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C ＝84，39随机变量X 的取值为：0，－1，1，因此P (X ＝0)＝＝， C C 23P (X ＝－1)＝＝， C C 114P (X ＝1)＝1－－＝. 114231142所以X 的分布列为 X 0 －1 1P 23 114 1142则EX ＝0×＋(－1)×＋1×＝. 2311411424218．甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约．甲表示只要面试合格就签约，乙、丙约定两人面试都合格就一同签约，否则两个人都不签约．设甲面试合格的概率为，乙、丙面试合格的概率都为，且面试是否合格相互不影响. 1213(1)求至少有一人面试合格的概率；(2)求签约人数X 的分布列和数学期望.解：(1)用A ，B ，C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格．由题意知A ，B ，C 相互独立，且P (A )＝，P (B )＝P (C )＝， 1213所以至少有一人面试合格的概率为1－P ( )＝1－·＝. A － B － C － (1－12)(1－13)(1－13)79(2)由题意可知，X 的可能取值为0，1，2，3.P (X ＝0)＝P ( )＋P (B )＋P ( C )＝； A － B － C － A － C － A － B － 49P (X ＝1)＝P (A C )＋P (AB )＋P (A )＝； B － C － B － C － 49P (X ＝2)＝P (BC )＝；P (X ＝3)＝P (ABC )＝. A － 118118所以X 的分布列为X 0 1 2 3P 49 49 118 118EX ＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 494911811813189．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1，2，3，4)，现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号．(1)求X 的分布列、期望和方差；(2)若Y ＝aX ＋b ，EY ＝1，DY ＝11，试求a ，b 的值．解：(1)X 的取值为0，1，2，3，4，其分布列为X 0 1 2 3 4 P 12 120 110 320 15所以EX ＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5， 1212011032015DX ＝(0－1.5)2×＋ (1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝12120110320152.75.(2)由DY ＝a 2DX 得2.75a 2＝11，得a ＝±2，又EY ＝aEX ＋b ，所以当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2；当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4，所以或 {a ＝2，b ＝－2){a ＝－2，b ＝4.)1．(2016·南昌第一次模拟)某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，对全市高三学生进行了体能测试，经分析，全市学生体能测试成绩X 服从正态分布N (80，σ2)(满分为100分)，已知P (X <75)＝0.3，P (X ≥95)＝0.1，现从该市高三学生中随机抽取3位同学．(1)求抽到的3位同学该次体能测试成绩在区间[80，85)，[85，95)，[95，100]内各有1位同学的概率；(2)记抽到的3位同学该次体能测试成绩在区间[75，85]内的人数为Y ，求随机变量Y 的分布列和数学期望EY .解：(1)由题知，P (80≤X <85)＝－P (X <75)＝0.2， 12P (85≤X <95)＝0.3－0.1＝0.2，所以所求概率P ＝A ×0.2×0.2×0.1＝0.024.3(2)P (75≤X ≤85)＝1－2P (X <75)＝0.4，所以Y 服从二项分布B (3，0.4)，P (Y ＝0)＝0.63＝0.216，P (Y ＝1)＝3×0.4×0.62＝0.432， P (Y ＝2)＝3×0.42×0.6＝0.288，P (Y ＝3)＝0.43＝0.064，所以随机变量Y 的分布列是Y 0 1 2 3P 0.216 0.432 0.288 0.064EY ＝3×0.4＝1.2.2．(2016·西安地区八校联考)某公司准备将1 000万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目供选择．若投资甲项目一年后可获得的利润ξ1(万元)的概率分布列如下表所示：ξ1 110 120 170P m 0.4 n且ξ1的期望Eξ1＝120；若投资乙项目一年后可获得的利润ξ2(万元)与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否在第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立且调整的概率分别为p(0＜p＜1)和1－p .若乙项目产品价格一年内调整次数X(次)与ξ2的关系如下表所示：X 01 2ξ241.2117.6204(1)求m，n的值；(2)求ξ2的分布列；(3)若Eξ1＜Eξ2，则选择投资乙项目，求此时p的取值范围．解：(1)由题意得{m＋0.4＋n＝1，110m＋120×0.4＋170n＝120，)解得m＝0.5，n＝0.1.(2)ξ2的可能取值为41.2，117.6，204，P(ξ2＝41.2)＝(1－p)[1－(1－p)]＝p(1－p)，P(ξ2＝117.6)＝p[1－(1－p)]＋(1－p)(1－p)＝p2＋(1－p)2，P(ξ2＝204)＝p(1－p)，所以ξ2的分布列为：ξ241.2117.6204P p(1－p)p2＋(1－p)2p(1－p)(3)由(2)可得：Eξ2＝41.2p(1－p)＋117.6[p2＋(1－p)2]＋204p(1－p)＝－10p2＋10p＋117.6，由Eξ1＜Eξ2，得120＜－10p2＋10p＋117.6，解得：0.4＜p＜0.6，即当选择投资乙项目时，p的取值范围是(0.4，0.6)．。
高考高三数学总复习教案：离散型随机变量的均值与方差
第十一章计数原理、随机变量及分布列第6课时离散型随机变量的均值与方差（对应学生用书（理）１77～１78页）考情分析考点新知离散型随机变量的分布列、期望、方差和概率的计算问题结合在一起进行考查，这是当前高考命题的热点，因为概率问题不仅具有很强的综合性，而且与实际生产、生活问题密切联系，能很好地考查分析、解决问题的能力．１了解取有限值的离散型随机变量的均值、方差的意义．２会求离散型随机变量的均值、方差和标准差，并能解决有关实际问题.１．（选修２３P67习题４改编）某单位有一台电话交换机，其中有8个分机．设每个分机在１h内平均占线１0min，并且各个分机是否占线是相互独立的，则任一时刻占线的分机数目X的数学期望为________．答案：错误!解析：每个分机占线的概率为错误!，X～B错误!，即X服从二项分布，所以期望E（X）＝8×错误!＝错误!.２．（选修２３P66例２改编）有一批数量很大的商品的次品率为１%，从中任意地连续取出２00件商品，设其中次品数为X，则E（X）＝________，V（X）＝________.答案：２１．98解析：X～B（２00, 0．0１），所以期望E（X）＝２00×0．0１＝２，V（X）＝２00×0．0１×（１—0．0１）＝１．98．３．（选修２３P7１习题４改编）某人进行射击，每次中靶的概率均为0．8，现规定：若中靶就停止射击，若没中靶，则继续射击，如果只有３发子弹，则射击数X的均值为________．（填数字）答案：１．２４解析：射击次数X的分布列为∴E（X）＝0．8×１＋0．１6×２＋0．0４×３＝１．２４．习题１改编）随机变量X的分布列如下：４．（选修２３P7１答案：错误!解析：a、b、c成等差数列，有２b＝a＋c，又a＋b＋c＝１，E（X）＝—１×a＋１×c＝c—a＝错误!.得a＝错误!，b＝错误!，c＝错误!，∴V（X）＝错误!２×错误!＋错误!２×错误!＋错误!２×错误!＝错误!.５．一高考考生咨询中心有A、B、C三条咨询热线．已知某一时刻热线A、B占线的概率均为0．５，热线C占线的概率为0．４，各热线是否占线相互之间没有影响，假设该时刻有ξ条热线占线，则随机变量ξ的期望为________．答案：１．４解析：随机变量ξ可能取的值为0、１、２、３．依题意，得P（ξ＝0）＝0．１５, P（ξ＝１）＝0．４，P（ξ＝２）＝0．３５，P（ξ＝３）＝0．１∴ξ的分布列为ξ0１２３P0．１５0．４0．３５0．１∴它的期望为E（ξ）＝0×0．１５＋１×0．４＋２×0．３５＋３×0．１＝１．４．１．均值（１）若离散型随机变量ξ的分布列为：ξx１x２…x nP p１p２…p n则称E（ξ）＝x１p１＋x２p２＋…＋x n p n为ξ的均值或数学期望，简称期望．（２）离散型随机变量的期望反映了离散型随机变量取值的平均水平．（３）数学期望的性质．E（c）＝c，E（aξ＋b）＝aEξ＋b（a、b、c为常数）．２．方差（１）若离散型随机变量ξ所有可能的取值是x１，x２，…，x n且这些值的概率分别是p１，p２，…，p n，则称：V（ξ）＝（x１—E（ξ））２p１＋（x２—E（ξ））２p２＋…＋（x n—E（ξ））２p n为ξ的方差．（２）σ＝错误!，叫标准差．（３）随机变量ξ的方差反映了ξ取值的稳定性．（４）方差的性质a、b为常数，则V（aξ＋b）＝a２Vξ.３．若ξ～B（n，p），则E（ξ）＝np，V（ξ）＝np（１—p）．４．期望与方差的关系均值（期望）反映了随机变量取值的平均水平，而方差则表现了随机变量所取的值对于它的均值（期望）的集中与离散的程度，因此二者的关系是十分密切的，且有关系式V（ξ）＝E（ξ２）＋（E（ξ））２.[备课札记]题型１离散型随机变量的期望例１已知离散型随机变量ξ１的概率分布为ξ１１２３４５67P错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!离散型随机变量ξ２的概率分布为ξ２３．7３．8３．9４４．１４．２４．３P错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!求这两个随机变量数学期望、方差与标准差．解：E（ξ１）＝１×错误!＋２×错误!＋…＋7×错误!＝４；V（ξ１）＝（１—４）２×错误!＋（２—４）２×错误!＋…＋（7—４）２×错误!＝４，σ１＝错误!＝２．E（ξ２）＝３．7×错误!＋３．8×错误!＋…＋４．３×错误!＝４；V（ξ２）＝0．0４，σ２＝错误!）＝0．２．错误!甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲击中环数8，9，１0的概率分别为0．２，0．6，0．２；射手乙击中环数8，9，１0的概率分别为0．４，0．２，0．４．用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平．解：Eξ１＝8×0．２＋9×0．6＋１0×0．２＝9，V（ξ１）＝（8—9）２×0．２＋（9—9）２×0．6＋（１0—9）２×0．２＝0．４；同理有E（ξ２）＝9，V（ξ２）＝0．8．由上可知，E（ξ１）＝E（ξ２），V（ξ１）<V（ξ２）．所以，在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所得的平均环数很接近，均在9环左右，但甲所得环数较集中，以9环居多，而乙得环数较分散，得8、１0环的次数多些．题型２离散型随机变量的方差与标准差例２某工艺厂开发一种新工艺品，头两天试制中，该厂要求每位师傅每天制作１0件，该厂质检部每天从每位师傅制作的１0件产品中随机抽取４件进行检查，若发现有次品，则当天该师傅的产品不能通过．已知李师傅第一天、第二天制作的工艺品中分别有２件、１件次品．（１）求两天中李师傅的产品全部通过检查的概率；（２）若厂内对师傅们制作的工艺品采用记分制，两天全不通过检查得0分，通过１天、２天分别得１分、２分，求李师傅在这两天内得分的数学期望．解：（１）设李师傅产品第一天通过检查为事件A；第二天产品通过检查为事件Ｂ．则有P（A）＝错误!＝错误!，P（B）＝错误!＝错误!，由事件A、B独立，∴P（AB）＝P（A）P（B）＝错误!.答：李师傅这两天产品全部通过检查的概率为错误!.（２）记得分为ξ，则ξ的可能值为0，１，２．∵P（ξ＝0）＝错误!×错误!＝错误!；P（ξ＝１）＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!；P（ξ＝２）＝错误!×错误!＝错误!.∴E（ξ）＝0×错误!＋１×错误!＋２×错误!＝错误!.答：李师傅在这两天内得分的数学期望为错误!.错误!一盒中装有零件１２个，其中有9个正品，３个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望．解：设取得正品之前已取出的次品数为ξ，显然ξ所有可能取的值为0，１，２，３当ξ＝0时，即第一次取得正品，试验停止，则P（ξ＝0）＝错误!＝错误!.当ξ＝１时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则P（ξ＝１）＝错误!×错误!＝错误!.当ξ＝２时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则P（ξ＝２）＝错误!×错误!×错误!＝错误!.当ξ＝３时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则P（ξ＝３）＝错误!×错误!×错误!×错误!＝错误!.所以，E（ξ）＝0×错误!＋１×错误!＋２×错误!＋３×错误!＝错误!.题型３期望、方差的性质及应用例３某电器商经过多年的经验发现本店每个月售出的电冰箱的台数ξ是一个随机变量，它的分布列为P（ξ＝i）＝错误!（i＝１，２，…，１２）；设每售出一台电冰箱，电器商获利３00元．如销售不出，则每台每月需花保管费１00元. 问电器商每月初购进多少台电冰箱才能使月平均收益最大？解：设x为电器商每月初购进的冰箱的台数，依题意，只需考虑１≤x≤１２的情况．设电器商每月的收益为y元，则y是随机变量ξ的函数，且y＝300(),300100()()x xx x于是电器商每月获益的平均数，即为数学期望Ey＝３00x（P x＋P x＋１＋…＋P１２）＋[３00—１00（x—１）]P１＋[２×３00—１00（x—２）]P２＋…＋[（x—１）×３00—１00]P x—１＝３00x（１２—x＋１）·错误!＋错误!错误!＝错误!（—２x２＋３8x）．因为x∈N*，所以当x＝9或x＝１0时，数学期望最大．故电器商每月初购进9或１0台电冰箱时，月收益最大，最大收益为１５00元．错误!甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ和η，且ξ、η分布列为（１）求a、b的值；（２）计算ξ、η的期望和方差，并以此分析甲、乙的技术状况．解：（１）由离散型随机变量的分布列性质可知a＋0．１＋0．6＝１，即a＝0．３，同理0．３＋b＋0．３＝１，b＝0．４．（２）E（ξ）＝１×0．３＋２×0．１＋３×0．6＝２．３，E（η）＝１×0．３＋２×0．４＋３×0．３＝２．V（ξ）＝0．8１，V（η）＝0．6．由计算结果E（ξ）>E（η），说明在一次射击中甲的平均得分比乙高，但V（ξ）>V（η），说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术都不够全面．１．（２0１３·广东）已知离散型随机变量X的分布列为X１２３P错误!错误!错误!则X的数学期望E（X）＝________．答案：错误!解析：E（X）＝１×错误!＋２×错误!＋３×错误!＝错误!＝错误!.２．（２0１３·湖北理）如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成１２５个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的涂油漆面数为X，则X的均值为E（X）＝________．答案：错误!解析：用分布列解决这个问题，根据题意易知X＝0，１，２，３．列表如下：X0１２３ξ错误!错误!错误!错误!所以E（X）＝0×错误!＋１×错误!＋２×错误!＋３×错误!＝错误!＝错误!.３．（２0１３·上海理）设非零常数d是等差数列x１，x２，x３，…，x１9的公差，随机变量ξ等可能地取值x１，x２，x３，…，x１9，则方差V（ξ）＝________．答案：错误!|d|解析：Eξ＝x１0，V（ξ）＝错误!＝错误!|d|.４．（２0１３·浙江）设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得１分，取出一个黄球得２分，取出一个蓝球得３分．（１）当a＝３，b＝２，c＝１时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）２个球，记随机变量ξ为取出此两球所得分数之和，求ξ分布列；（２）从该袋子中任取（且每球取到的机会均等）１个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E （η）＝错误!，V（η）＝错误!，求a∶b∶Ｃ．解：（１）由已知得到：当两次摸到的球分别是红红时ξ＝２，此时P（ξ＝２）＝错误!＝错误!；当两次摸到的球分别是黄黄、红蓝、蓝红时ξ＝４时，P（ξ＝４）＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!；当两次摸到的球分别是红黄，黄红时ξ＝３时，P（ξ＝３）＝错误!＋错误!＝错误!；当两次摸到的球分别是黄蓝，蓝黄时ξ＝５时，P（ξ＝５）＝错误!＋错误!＝错误!；当两次摸到的球分别是蓝蓝时ξ＝6时，P（ξ＝6）＝错误!＝错误!.所以ξ的分布列为（２）由已知得到：η有三种取值即１，２，３，所以η的分布列为所以，2225233555253(1)(2)(3)9333a b c E a b c a b c a b ca b c D a b c a b c a b c ηη⎧==++⎪⎪++++++⎨⎪==-⨯+-⨯+-⨯⎪++++++⎩所以b ＝２c ，a ＝３c ，所以a∶b∶c＝３∶２∶１．１． 袋中有５只红球，３只黑球，现从袋中随机取出４只球，设取到一只红球得２分，取到一只黑球得１分，则得分ξ的数学期望Eξ＝________．答案：错误!解析：ξ可取５、6、7、8，P （ξ＝５）＝错误! （３黑１红）; P （ξ＝6）＝错误! （２黑２红）； P （ξ＝7）＝错误! （３红１黑）；P （ξ＝8）＝错误! （４红）．∴Eξ＝错误!＝6．５．２． 为防止山体滑坡，某地决定建设既美化又防护的绿化带，种植松树、柳树等植物．某人一次种植了n 株柳树，各株柳树成活与否是相互独立的，成活率为p ，设ξ为成活柳树的株数，数学期望E （ξ）＝３，标准差σ（ξ）为错误!.（１） 求n 、p 的值并写出ξ的分布列；（２） 若有３株或３株以上的柳树未成活，则需要补种，求需要补种柳树的概率．解：（１） 由E （ξ）＝np ＝３，（σ（ξ））２＝np （１—p ）＝错误!，得１—p ＝错误!，从而n ＝6，p ＝错误!，ξ的分布列为ξ 0 １ ２ ３ ４ ５ 6 P错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!（２） 记“需要补种柳树”为事件A,则P （A ）＝P （ξ≤３），得P （A ）＝错误!＝错误!.３．将一枚硬币抛掷6次，求正面次数与反面次数之差ξ的概率分布列，并求出ξ的期望Eξ.解：设正面的次数是η，则η服从二项分布B（6，0．５），概率分布为P（η＝k）＝C错误!0．５6，k＝0，１，…，6，且Eη＝３．而反面次数为6—η，ξ＝η—（6—η）＝２η—6．于是ξ的概率分布为P（ξ＝２k—6）＝P（η＝k）＝C错误!0．５6，k＝0，１， (6)故E（ξ）＝E（２η—6）＝２E（η）—6＝２×３—6＝0．４．（２0１３新课标Ⅰ理）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取４件作检验，这４件产品中优质品的件数记为n.如果n＝３，再从这批产品中任取４件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝４，再从这批产品中任取１件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为５0%，即取出的产品是优质品的概率都为错误!，且各件产品是否为优质品相互独立．（１）求这批产品通过检验的概率；（２）已知每件产品检验费用为１00元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．解：（１）设第一次取出的４件产品中恰有３件优质品为事件A，第一次取出的４件产品中全为优质品为事件B，第二次取出的４件产品都是优质品为事件C，第二次取出的１件产品是优质品为事件D，这批产品通过检验为事件E，∴P（E）＝P（A）P（B|A）＋P（C）P（D|C）＝C错误!错误!错误!×错误!×错误!错误!＋错误!错误!×错误!＝错误!.（２）X的可能取值为４00，５00，800，并且P（X＝４00）＝１—C错误!错误!错误!×错误!—错误!错误!＝错误!，P（X＝５00）＝错误!，P（X ＝800）＝C错误!错误!错误!×错误!＝错误!，∴X的分布列为X４00５00800P错误!错误!错误!EX＝４00×错误!＋５00×错误!＋800×错误!＝５06．２５．数学期望中的注意问题：（１）数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．（２）E（X）是一个常数，由随机变量X的概率分布唯一确定，即随机变量X是可变的，而E（X）是不变的，它描述X取值的平均状态．（３）随机变量的方差和标准差既反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度，方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，也反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．（４）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛．错误![备课札记]。
高考数学一轮专项复习ppt课件-离散型随机变量的分布列、均值与方差(通用版)
A．3632 B．3625 C．3613 D．3523
答案
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(2)为了加强环保知识的宣传，某学校组织了垃圾分类知识竞赛活动．活动设置了四个 箱子，分别写有“厨余垃圾”“有害垃圾”“可回收物”“其他垃圾”；另有卡片若干张，
每张卡片上写有一种垃圾的名称．每位参赛选手从所有卡片中随机抽取 20 张，按照自己 的判断将每张卡片放入对应的箱子中．按规则，每正确投放一张卡片得 5 分，投放错误得 0 分．从所有参赛选手中随机抽取 20 人，将他们的得分按照[0,20]，(20,40]，(40,60]，(60,80]， (80,100]分组，绘成如图所示的频率分布直方图：
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对点练 2(1)某电话亭中装有一部公用电话，在观察使用这部电话的人数时，设在某一 时刻，有 n 个人正在使用电话或等待使用的概率为 P(n)，P(n)与时刻 t 无关，统计得到： P(n)＝12n·P00≤n≤5， 那么在某一时刻，这个电话亭一个人也没有的概率 P(0)的值
则 D(X)＝0－122×12＋1－122×12＝14.
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重难题型 全线突破
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题型
随机变量的概念
典例 1 写出下列随机变量的可能取值，并说明随机变量所表示的意义． (1)一个袋中装有 2 个白球和 5 个黑球，从中任取 3 个，其中所含白球的个数 X； (2)投掷两枚均匀的骰子，所得点数之和为
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P(ξ＝6)＝P(A3B3)＝12×15＝110.
可得随机变量 ξ 的分布列为
写出分布列后一定要验证概率和是不是 1.
高中数学《计数原理与概率统计》练习题(含答案解析)
高中数学《计数原理与概率统计》练习题（含答案解析）一、单选题1．某校有学生800人，其中女生有350人，为了解该校学生的体育锻炼情况，按男、女学生采用分层抽样法抽取容量为80的样本，则男生抽取的人数是（ ） A ．35B ．40C ．45D ．602．数据3.2,3.4,3.8,4.2,4.3,4.5,,6.6x 的65百分位数是4.5，则实数x 的取值范围是（ ） A ．[4.5,)+∞ B ．[4.5,6.6) C ．(4.5,)+∞D ．(4.5,6.6]3．若书架上放的工具书、故事书、图画书分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是故事书的概率为（ ）A ．15B ．310 C ．35D ．124．已知随机变量X 服从二项分布(),XB n p ，若()54E X =，()1516=D X ，则p =（ ）A ．14B ．13C ．34D ．455．总体由编号01，02，…，29，30的30个个体组成.利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从如下随机数表的第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（ ）第1行78 16 62 32 08 02 62 42 62 52 53 69 97 28 01 98 第2行32 04 92 34 49 35 82 00 36 23 48 69 69 38 74 81 A ．27B ．26C ．25D ．196．已知随机变量X 的分布列为设23Y X =+，则()D Y 等于（ ） A ．83B ．53C ．23D ．137．将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ） A ．0.3B ．0.5C ．0.6D ．0.88．为保障食品安全，某监管部门对辖区内一家食品企业进行检查，现从其生产的某种产品中随机抽取100件作为样本，并以产品的一项关键质量指标值为检测依据，整理得到如下的样本频率分布直方图．若质量指标值在[)25,35内的产品为一等品，则该企业生产的产品为一等品的概率约为（ ）A ．0.38B ．0.61C ．0.122D ．0.759．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A ．甲与丙相互独立 B ．甲与丁相互独立 C ．乙与丙相互独立D ．丙与丁相互独立10．在一副去掉大小王的52张扑克牌中随机抽取1张，记M 表示事件“取到红桃”，N 表示事件“取到J”，有以下说法：①M 与N 互斥；①M 与N 相互独立；①M 与N 相互独立.则上述说法中正确说法的序号为（ ） A ．①B ．①C ．①①D ．①①二、填空题11．已知随机变量X 服从正态分布2(1,)N σ，且(01)0.4P X <≤=，则(2)P x >=_______.12．从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数，则其和为奇数这一事件包含的样本点个数为___________. 13．已知随机变量X ，Y 分别满足(),X B n p ，()5,4Y N ，且均值()()E X E Y =，方差()()D X Y D =，则p =________.14．若随机变量X 服从二项分布115,4B ⎛⎫⎪⎝⎭，则使()P X k =取得最大值时，k =______．三、解答题15．某科技公司研发了一项新产品A ，经过市场调研，对公司1月份至6月份销售量及销售单价进行统计，销售单价x （千元）和销售量y （千件）之间的一组数据如下表所示：（1）试根据1至5月份的数据，建立y 关于x 的回归直线方程；（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过065．千件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？参考公式：回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中i ii 122ii 1ˆnnx y n x yb xnx==-⋅⋅=-∑∑.参考数据：5i i i 1392x y ==∑，52i i 1502.5x ==∑.16．某中学要从高一年级甲、乙两个班级中选择一个班参加市电视台组织的“环保知识竞赛”．该校对甲、乙两班的参赛选手(每班7人)进行了一次环境知识测试，他们取得的成绩(满分100分)如下： 甲班：75、78、80、89、85、92、96． 乙班：75、80、80、85、90、90、95．求甲、乙两班学生成绩的方差，并从统计学角度分析该校应选择甲班还是乙班参赛．17．第24届冬季奥运会将于2022年2月在北京和张家口举办，为了普及冬奥知识，京西某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从全校众多学生中随机选取了20名学生作为样本，得到他们的分数统计如下： 我们规定60分以下为不及格；60分及以上至70分以下为及格；70分及以上至80分以下为良好；80分及以上为优秀.（I ）从这20名学生中随机抽取2名学生，恰好2名学生都是优秀的概率是多少？（II ）将上述样本统计中的频率视为概率，从全校学生中随机抽取2人，以X 表示这2人中优秀人数，求X 的分布列与期望.18．某保险公司根据官方公布的2011—2020年的营业收入，制成表格如下：表1由表1，得到下面的散点图：根据已有的函数知识，某同学选用二次函数模型2y bx a =+（b 和a 均为常数）来拟合y 和x 的关系，这时，可以令2t x =，得y bt a =+，由表1可得t 与y 的相关数据如表2(1)根据表2中数据，建立y 关于t 的回归直线方程（系数精确到个位数）；(2)根据（1）中得到的回归直线方程估计2023年的营业收入以及营业收入首次超过4000亿元的年份．参考公式；回归直线方程ˆˆˆvu βα=+中，()()()121ˆnii i nii uu v v uu β==--=-∑∑，ˆˆv u αβ=-． 参考数据：38.5t =，703.45y =，()102411.05110i i t t=-=⨯∑，()()10512.32710i i i t ty y =--=⨯∑．参考答案与解析：1．C【解析】利用分层抽样的定义直接求解即可 【详解】由题意可得男生抽取的人数是8003508045800-⨯=． 故选：C 2．A【分析】根据%p 分位数的定义判断求解.【详解】因为65%8 5.2⨯=，第65百分位数是4.5，故这组数据的第65百分位数是第六个数，所以x 的取值范围是[4.5,)+∞， 故选：A. 3．B【分析】由古典概率模型的计算公式求解.【详解】样本点总数为10，“抽出一本是故事书”包含3个样本点，所以其概率为310. 故选：B. 4．A【分析】由二项分布的均值和方差公式列方程组求解． 【详解】由题意5415(1)16np np p ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得145p n ⎧=⎪⎨⎪=⎩． 故选：A ． 5．D【分析】根据随机数表法的步骤即可求得答案.【详解】由题意，取出的数有23,20,80（超出范围，故舍去），26,24,26（重复，故舍去），25,25（重复，故舍去），36（超出范围，故舍去），99（超出范围，故舍去），72（超出范围，故舍去），80（超出范围，故舍去），19. 故选：D. 6．A【分析】根据分布列求出()E X ，()D X ，再根据条件得()()4D Y D x =，计算答案即可. 【详解】由X 的分布列得()1110121333E X =⨯+⨯+⨯=，()()()()22211120111213333D X =-⨯+-⨯+-⨯=，因为23Y X =+， 则()()843D Y D x == 故选：A. 7．C【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.【详解】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：00111,01011,01101,01110,10011,10101,10110,11001,11010,11100，共10种排法，其中2个0不相邻的排列方法为：01011,01101,01110,10101,10110,11010，共6种方法，故2个0不相邻的概率为6=0.610， 故选：C. 8．B【分析】利用频率=频率组距⨯组距，即可得解. 【详解】根据频率分布直方图可知，质量指标值在[)25,35内的概率()0.0800.04250.12250.61P =+⨯=⨯=故选：B 9．B【分析】根据独立事件概率关系逐一判断【详解】11561()()()()6636366P P P P =====甲，乙，丙，丁， ， 1()0()()()()()36P P P P P P =≠==甲丙甲丙，甲丁甲丁， 1()()()()0()()36P P P P P P =≠=≠乙丙乙丙，丙丁丁丙， 故选：B【点睛】判断事件,A B 是否独立，先计算对应概率，再判断()()()P A P B P AB =是否成立 10．D【分析】根据互斥事件和相互独立事件的定义逐一判断即可得出答案. 【详解】解：因为M 表示事件“取到红桃”，包括“取到红桃J ”， N 表示事件“取到J”， 包括“取到红桃J ”， 所以事件,M N 可以同时发生，所以事件,M N 不是互斥事件，故①错误； 52张扑克牌中有13张红桃，4张J ， 所以()()()1314113,,1524521344P M P N P M =====-=， 事件M N ⋂表示“取到红桃J ”，有1张， 事件MN 表示“取到除了红桃J 的J ”，有3张，所以()()()152P M N P M P N ⋂==，()()()352P M N P M P N ⋂==， 所以M 与N 相互独立，M 与N 相互独立， 故①①正确. 故选：D. 11．0.1【分析】利用正态分布对称性可求解. 【详解】由正态分布密度曲线对称性可知， (1)(01)(0)0.5P X P X P X ≤=<≤+<=，所以(0)0.1P X <=，所以(2)P x >=(0)0.1P X <=，故答案为:0.1. 12．4【分析】直接列举基本事件即可.【详解】从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10种情况，其中（1，2，4），（1，3，5），（2，3，4），（2，4，5）中三个数字之和为奇数，共有4种. 故答案为：4.13．15##0.2【分析】由二项分布和正态分布的期望、方差公式建立方程，求解即可. 【详解】解：因为随机变量X ，Y 分别满足(),XB n p ，()5,4Y N ，所以()()5E X np E Y ===，()()()14D X np p D Y =-==， 解得125,5n p ==，故答案为：15.14．3或4【分析】先求得()P X k =的表达式，利用列不等式组的方法来求得使()P X k =取得最大值时k 的值. 【详解】依题意015,N k k ≤≤∈，依题意()1515151515151********C 1C C 344444kkk k k kk k k P X k ----⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()()15150151141515151513130C 3,1C 354444P X P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅===⋅⋅=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()151154P X ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()()()1501P X P X P X =<=<=，所以()0P X =、()15P X =不是()P X k =的最大项， 当114k ≤≤时，由1511615151515151141515151511C 3C 34411C 3C 344k k k k k k k k ----+-⎧⋅⋅≥⋅⋅⎪⎪⎨⎪⋅⋅≥⋅⋅⎪⎩，整理得1151511515C 3C 3C C k k k k -+⎧≥⎨≥⎩，即()()()()()()15!15!3!15!1!16!15!15!3!15!1!14!k k k k k k k k ⎧≥⨯⎪⨯--⨯-⎪⎨⎪⨯≥⎪⨯-+⨯-⎩， 整理得131631151k kk k ⎧≥⎪⎪-⎨⎪≥⎪-+⎩，163343315k k k k k -≥⎧⇒≤≤⎨+≥-⎩， 所以当k 为3或4时，()P X k =取得最大值. 故答案为：3或415．（1）ˆ3240y x =-+．；（2）是.【分析】（1）先由表中的数据求出,x y ，再利用已知的数据和公式求出,b a ，从而可求出y 关于x 的回归直线方程；（2）当8x =时，求出y 的值，再与15比较即可得结论 【详解】（1）因为()199.51010.511105x =++++=，()1111086585y =++++=，所以23925108ˆ 3.2502.5510b-⨯⨯==--⨯，得()ˆ8 3.21040a=--⨯=， 于是y 关于x 的回归直线方程为 3.240ˆyx =-+； （2）当8x =时，ˆ 3.284014.4y=-⨯+=， 则ˆ14.4150.60.65yy -=-=<， 故可以认为所得到的回归直线方程是理想的. 16．该校应该选择乙班参赛．【分析】设有n 个数据为i x (1≤i≤n ，*i ∈N )，则其平均数为11n i i x x n ==∑，其方差为()2211n ii s x x n ==-∑，据此代入题干数据即可计算求解． 【详解】由题意，知75788089859296857x ++++++==甲，75808085909095857x ++++++==乙．①()()()2222136075857885968577s ⎡⎤=⨯-+-++-=⎣⎦甲，()()()2222130075858085958577s ⎡⎤=⨯-+-++-=⎣⎦乙． ①x x =乙甲，22s s >乙甲．即两班平均成绩相同，但乙班成绩较甲班成绩稳定，故应该选择乙班参赛． 17．（1）395；（2）分布列见详解；()25E X =.【分析】（1）利用组合数以及古典概型的概率计算公式即可求解.（2）由题意可得0,1,2x =，再利用二项分布的概率计算公式列出分布列，从而求出数学期望. 【详解】（1）记恰好2名学生都是优秀的事件为A ，则()242206319095C P A C ===. （2）抽到一名优秀学生的概率为41205p ==， X 的取值为0,1,2，()2002411605525P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()111241815525P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()022241125525P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 故X 的分布列为：()168120122525255E X =⨯+⨯+⨯= 18．(1)ˆ22144yt =- (2)3574亿元，2024年【分析】(1)根据所给数据先求出ˆ22b≈，再利用ˆˆa y bt =-求得ˆ144a ≈-，即可得回归方程；第 11 页 共 11 页 (2) 2023年对应的13169x t =⇒=，代入回归方程计算即可；再令221444000t ->，解得188.4t >，即2188.4x >，即可求得所对应的年份.【详解】（1）解：易得()()()105110421 2.32710ˆ221.05110i i i i i t ty y b tt ==--⨯=≈≈⨯-∑∑， ˆˆ703.452238.5144ay bt =-≈-⨯≈-， 故y 关于t 的回归直线方程为ˆ22144yt =-． （2）解：2023年对应的t 的值为169，故该年的营业收入为ˆ221691443574y =⨯-=（亿元），所以估计2023年的营业收入为3574亿元．依题意，有221444000t ->．解得188.4t >，即2188.4x >．因为1314<，所以估计营业收入首次超过4000亿元的年份序号为14．即2024年．。
离散型随机变量的均值与方差(4类必考点)(北师大版2019选择性必修第一册)(解析版)
专题6.3 离散型随机变量的均值与方差【基础知识梳理】 (1)【考点1：求离散型随机变量的均值】 (1)【考点2：均值的性质】 (7)【考点3：求离散型随机变量的方差】 (11)【考点4：方差的性质】 (16)【基础知识梳理】1．离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n(1)称E(X)＝x1p1＋x2p2i i n n量取值的平均水平．(2)称D(X)＝(x i－E(X))2p i为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根D(X)为随机变量X的标准差．2．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b；(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．[方法技巧]求离散型随机变量的均值与方差的步骤(1)找出随机变量X的所有可能取值x i(i＝1,2，3，…，n)；(2)求出各取值的概率P(X＝x i)＝p i；(3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；(4)利用公式求均值或方差.【考点1：求离散型随机变量的均值】【知识点：求离散型随机变量的均值】1．（2023·河南平顶山·校联考模拟预测）甲、乙两人进行围棋比赛，两人共比赛两局，每局比赛甲赢的概率为0.6，两人平局的概率为0.1，设每局的胜方得3分，负方得−1分，若该局为平局，则两人各得2分．(1)求甲、乙各赢一局的概率；(2)记两局结束后甲的最后得分为X，求X的数学期望．【答案】(1)0.36(2)3.4【分析】（1）由题可知比赛乙赢的概率为0.3，甲、乙各赢一局相当于甲赢第一局乙赢第二局或乙赢第一局甲赢第二局.据此可得答案；（2）依次写出对局情况及相应概率，后可计算期望.【详解】（1）依题意可得每局比赛乙赢的概率为0.3，甲、乙各赢一局相当于甲赢第一局乙赢第二局或乙赢第一局甲赢第二局，故甲、乙各赢一局的概P=2×0.6×0.3=0.36．（2）若甲赢两局，得分6分，P(X=6)=0.62=0.36；若甲一赢一平，得分5分，P(X=5)=2×0.6×0.1=0.12；若甲平两局，得分4分，P(X=4)=0.12=0.01；若甲一赢一输，得分2分，P(X=2)=2×0.6×0.3=0.36；若甲一平一输，得分1分，P(X=1)=2×0.3×0.1=0.06；若甲输两局，得分−2，P(X=−2)=0.32=0.09.故E(X)=6×0.36+5×0.12+4×0.01+2×0.36+1×0.06−2×0.09=3.42．（2023·四川·校联考一模）甲袋中装有大小相同的红球2个，白球2个：乙袋中装有与甲袋中相同大小的红球3个，白球4个．先从甲袋中取出1个球投入乙袋中，然后从乙袋中取出3个小球．(1)求从乙袋中取出的3个小球中仅有1个红球的概率；(2)记从乙袋中取出的3个小球中白球个数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．【答案】(1)2756.(2)分布列见解析，数学期望E(ξ)=189112【分析】（1）分“从甲袋中取出1红球投入乙袋”和“从甲袋中取出1白球投入乙袋” 两个类型，利用组合数和古典概型公式。
高考数学一轮复习第十一章计数原理、随机变量及其分布第6讲离散型随机变量的均值与方差练习理
第十一章 计数原理、随机变量及其分布 第6讲 离散型随机变量的均值与方差练习 理基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1.(2016·茂名模拟)若离散型随机变量X 的概率分布为则X 的数学期望E (X )＝解析 由概率分布的性质，a 2＋a 22＝1，∴a ＝1.故E (X )＝12×0＋12×1＝12.答案 122.已知随机变量X 服从二项分布，且E (X )＝2.4，V (X )＝1.44，则二项分布的参数n ，p 的值分别为________，________.解析 由二项分布X ～B (n ，p )及E (X )＝np ，V (X )＝np ·(1－p )得2.4＝np ，且1.44＝np (1－p )，解得n ＝6，p ＝0.4. 答案 6 0.43.罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设X 为取得红球的次数，则X 的方差V (X )的值为________.解析 因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为35，连续摸4次(做4次试验)，X 为取得红球(成功)的次数，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，35，∴V (X )＝4×35⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝2425.答案24254.口袋中有5只球，编号分别为1，2，3，4，5，从中任取3只球，以X 表示取出的球的最大号码，则X 的数学期望E (X )的值是________. 解析 由题意知，X 可以取3，4，5，P (X ＝3)＝1C 35＝110，P (X ＝4)＝C 23C 35＝310，P (X ＝5)＝C 24C 35＝610＝35，所以E (X )＝3×110＋4×310＋5×35＝4.5.答案 4.55.某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为________. 解析 记“不发芽的种子数为Y ”，则Y ～B (1 000，0.1)，所以E (Y )＝1 000×0.1＝100， 而X ＝2Y ，故E (X )＝E (2Y )＝2E (Y )＝200. 答案 2006.已知X 的概率分布为设Y ＝2X ＋1，则Y 解析 由概率分布的性质，a ＝1－12－16＝13，∴E (X )＝－1×12＋0×16＋1×13＝－16，因此E (Y )＝E (2X ＋1)＝2E (X )＋1＝23.答案 237.(2016·青岛模拟)设X 为随机变量，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，13，若随机变量X 的数学期望E (X )＝2，则P (X ＝2)等于________.解析 由X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，13，E (X )＝2，得np ＝13n ＝2，∴n ＝6， 则P (X ＝2)＝C 26⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫1－134＝80243.答案 802438.(2014·浙江卷)随机变量ξ的取值为0，1，2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则V (ξ)＝________.解析 设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ，则⎩⎪⎨⎪⎧15＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝35，b ＝15，所以V (ξ)＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(2－1)2×15＝25.答案 25二、解答题9.(2016·常州调研)某公园设有自行车租车点，租车的收费标准是每小时2元(不足一小时的部分按一小时计算).甲、乙两人各租一辆自行车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为14，12，一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为12，14，两人租车时间都不会超过三小时.(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的概率分布与数学期望E (ξ). 解 (1)甲、乙两人所付车费用相同即为2，4，6元.由题意知甲、乙超过两小时还车的概率分别为1－14－12＝14，1－12－14＝14.都付2元的概率为P 1＝14×12＝18，都付4元的概率为P 2＝12×14＝18，都付6元的概率为P 3＝14×14＝116，故所付费用相同的概率为P ＝P 1＋P 2＋P 3＝18＋18＋116＝516.(2)依题意知，ξ的可能取值为4，6，8，10，12.P (ξ＝4)＝14×12＝18， P (ξ＝6)＝14×14＋12×12＝516， P (ξ＝8)＝14×14＋12×14＋12×14＝516， P (ξ＝10)＝14×14＋12×14＝316，P (ξ＝12)＝14×14＝116.故ξ的概率分布为所求数学期望E (ξ)＝4×8＋6×16＋8×16＋10×16＋12×16＝2.10.(2016·南京、盐城模拟)某中学有4位学生申请A ，B ，C 三所大学的自主招生.若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的. (1)求恰有2人申请A 大学的概率；(2)求被申请大学的个数X 的概率分布与数学期望E (X ). 解 (1)记“恰有2人申请A 大学”为事件A ， P (A )＝C 24×2234＝2481＝827.即恰有2人申请A 大学的概率为827.(2)X 的所有可能值为1，2，3.P (X ＝1)＝334＝127，P (X ＝2)＝C 24×A 23＋C 24A 23A 2234＝4281＝1427， P (X ＝3)＝C 24×A 3334＝3681＝49.X 的概率分布为所以X 的数学期望E (X )＝1×27＋2×27＋3×9＝27.能力提升题组 (建议用时：25分钟)11.从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球数为X ，已知E (X )＝3，则V (X )＝________.解析 由题意，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，3m ＋3， 又E (X )＝5×3m ＋3＝3，∴m ＝2，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，35，故V (X )＝5×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝65. 答案 6512.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c (a 、b 、c ∈(0，1))，已知他投篮一次得分的均值为2(不计其他得分情况)，则ab 的最大值为________.解析 设投篮得分为随机变量X ，则X 的分布列为依题意，E (X )＝3a ＋2b ＝2，又∴2＝3a ＋2b ≥26ab ，则ab ≤16，当且仅当3a ＝2b ，即a ＝13，b ＝12时上式取等号.答案 1613.(2016·青岛调研)某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖且相应获奖概率是以a 1为首项，公比为2的等比数列，相应资金是以700元为首项，公差为－140元的等差数列，则参与该游戏获得资金的数学期望为________元. 解析 由概率分布性质a 1＋2a 1＋4a 1＝1， ∴a 1＝17，从而2a 1＝27，4a 1＝47.因此获得资金ξ的概率分布为∴E (ξ)＝700×17＋560×7＋420×7＝500(元).答案 50014.(2016·苏北四市质检)某学校为了丰富学生的业余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取题目，背诵正确加10分，背诵错误减10分，只有“正确”和“错误”两种结果，其中某班级的背诵正确的概率为p ＝23，背诵错误的概率为q ＝13，现记“该班级完成n 首背诵后总得分为S n ”.(1)求S 6＝20且S i ≥0(i ＝1，2，3)的概率； (2)记ξ＝|S 5|，求ξ的概率分布及数学期望.解 (1)当S 6＝20时，即背诵6首后，正确4首，错误2首，若第一首和第二首正确，则其余4首可任意背诵对2首；若第一首正确，第二首背诵错误，则第三首背诵正确，其余3首可任意背诵对2首.故所求的概率P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232·C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫232·⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋23·13·23·C 23·⎝ ⎛⎭⎪⎫232·13＝1681.(2)因为ξ＝|S 5|的取值为10，30，50. 所以P (ξ＝10)＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫233⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝4081； P (ξ＝30)＝C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫234⎝ ⎛⎭⎪⎫131＋C 15⎝ ⎛⎭⎪⎫231⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝3081； P (ξ＝50)＝C 55⎝ ⎛⎭⎪⎫235＋C 05⎝ ⎛⎭⎪⎫135＝1181.所以ξ的概率分布为所以E (ξ)＝10×4081＋30×81＋50×81＝81.。