高中数学竞赛辅导初等数论不定方程

不定方程不定方程是指未知数的个数多于方程的个数，且未知数的取值范围是受某些限制（如整数、正整数或有理数）的方程.不定方程是数论的一个重要课题，也是一个非常困难和复杂的课题.1．几类不定方程 （1）一次不定方程在不定方程和不定方程组中，最简单的不定方程是整系数方程)0,0(,0≠>=++b a c by ax 通常称之为二元一次不定方程.一次不定方程解的情况有如下定理.定理一：二元一次不定方程c b a c by ax ,,,=+为整数.有整数解的充分必要条件是c b a |),(. 定理二：若00,,1),(y x b a 且=为①之一解，则方程①全部解为at y y bt x x -=+=00,. （t 为整数）。

（2）沛尔)(pell 方程形如122=-dy x （*d N ∈，d 不是完全平方数）的方程称为沛尔方程. 能够证明它一定有无穷多组正整数解；又设),(11y x 为该方程的正整数解),(y x 中使d y x +最小的解，则其的全部正整数解由111111111[()()]2)()]n nn n n n x x x y x x ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（1,2,3,n =）给出.①只要有解),(11y x ，就可以由通解公式给出方程的无穷多组解. ②n n y x ,满足的关系：1(nn x y x y +=+；11211222n n n nn n x x x x y x y y ----=-⎧⎨=-⎩ ， （3）勾股方程222z y x =+这里只讨论勾股方程的正整数解，只需讨论满足1),(=y x 的解，此时易知z y x ,,实际上两两互素. 这种z y x ,,两两互素的正整数解),,(z y x 称为方程的本原解，也称为本原的勾股数。

容易看出y x ,一奇一偶，无妨设y 为偶数，下面的结果勾股方程的全部本原解通解公式。

定理三：方程222z y x =+满足1),(=y x ，2|y 的全部正整数解),,(z y x 可表为2222,2,b a z ab y b a x +==-=，其中，b a ,是满足b a b a ,,0>>一奇一偶，且1),(=b a 的任意整数.4．不定方程zt xy =这是个四元二次方程，此方程也有不少用处，其全部正整数解极易求出：设a z x =),(，则ad z ac x ==,，其中1),(=d c ，故1),(,,===d c dt cy adt acy 因即， 所以bc t bt y y d ==则设,,|. 因此方程zt xy =的正整数解可表示为d c b a bc t ad z bd y ac x ,,,.,,,====都是正整数，且1),(=d c .反过来，易知上述给出的t z y x ,,,都是解.也可采用如下便于记忆的推导： 设d c d c y t z x 这里,==是既约分数，即1),(=d c . 由于z x 约分后得出dc，故ad z ac x ==,，同理.,ab y cb t ==2．不定方程一般的求解方法1．奇偶分析法；2．特殊模法；3．不等式法；4．换元法； 5．因式分解法6．构造法（构造出符合要求的特解或一个求解的递推关系，证明解无数个） 7．无穷递降法由于不定方程的种类和形式的多样性，其解法也是多种的，上面仅是常用的一般方法. 注：对无穷递降法的理解：以下面的问题为例： 证明：方程442x y z +=无正整数解。

证明：假设442x y z +=存在正整数解，其中z 最小的解记为0z 。

因为()()22222xy z +=，根据勾股方程的通解公式有2222220,2,x a b y ab z a b =-==+，其中,a b 一奇一偶，(),1a b =。

从222x a b =-可以得到a 为奇数，b 为偶数，令2b s =，224y ab as ==，其中(),1a s =，所以22,,(,)1a t s q t q ===。

由222x a b =-得2444x t q =-，即2444x q t +=，又可以通过勾股方程的通解公式222222,22,,(,)1x l m q lm t l m l m =-==+=，注意到2q lm =，所以2200,l l m m ==，24400t l m =+，而420z t b t =+>，与0z 的最小性矛盾。

所以原方程组无正整数解。

赛题精讲例1．（1）求不定方程3710725x y +=的所有解； （2）求不定方程719213x y +=的所有解。

解析：（1）可以由辗转相除法得到，其实根据该方法可以得到必存在整数,s t ，使得371071s t +=。

如10723733,371334,3481=⨯+=⨯+=⨯+，依次反代即可得到一个特解。

（2）213197y x -=，可以取353027yx y -=-+，此时可以得到2y =。

从而得到一个特解。

注：这个两个方法是基本方法。

例2．求所有满足方程81517xyz+=的正整数解解析：首先从同余的角度可以发现y 必须为偶数，81517xyz+=，又15y的个位数必须为5，而8x的个位数为2，4，或6，17z的个位数为3，9，1，所以0,2(mod 4)x ≡，对应的0,2(mod 4)z ≡。

这样可以令2y k=，2z l=，可以得到2281715(1715)(1715)x l k l k l k =-=-+，注意到17,15l k 均为奇数，两个的和和差必定是一个单偶，一个双偶，从而311715217152l k l k x -⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，目标集中于17152l k-=，观察有解()(),1,1l k =。

当2k ≥时，两边取模17可以得到()(1)2mod9k-≡矛盾。

所以仅有解()2,2,2例3．a 为给定的一个整数，当a 为何值时，方程31(1)y a xy +=-有正整数解？有正整数解时，求这个不定方程。

解：31(1)y a xy +=-可以变形为333331(1)x y y x y a xy -+++=-，这样()333(1)|xy y x y -+，一个明确的事实()31,1xy y -=，从而()3(1)|1xy x -+。

这样我们得到()33(1)|1(1)|1(*)xy x xy y -+⇔-+。

不妨假设,y x y x =>两种情况。

（1）y x =3322111(1)11y y a y a y y y ++=-⇔==+--，从这个代数式发现，2y =，对1y =单独讨论，有2(1)a x =-，1,3;2,2a x a x ====，这种情况共有解：()()1,3,1;22,1a a =⇔=⇔；()32,2a =⇔，注意到*式的等价性，又有解 ()()14,1,3;91,2a a =⇔=⇔（2）x y >将等式转化为不等式321111y a y y y +<=+--，从同余的角度看有1,1a ky k =-≥，所以3211111y ky y y y +-<=+--，若1k =，则232121(1)(1)1111y y y xy y xy x x y y y ++=--⇔=--⇔==++--，只能是2,5,1;3,5,2y x a y x a ======。

注意到*式的等价性，又有解5,2,14;5,3,9y x a y x a ======综上，可以有1,2,3,9,14a =，对应的解分别为()()()()()()()()()3,15,22,11,23,52,21,35,32,5共9组解。

例4．证明：不定方程254x y =-无整数解解析：254x y =-给我们的第一个印象是,x y 同为奇数或同为偶数。

若同为偶数，则254324k l =-也就是2518k l +=，进一步有k 为奇数，因为奇数的平方模8余1，矛盾。

若同为奇数，则需进一步讨论，关键是取模为多少比较好讨论。

结合费马小定理如(,11)1y =，则5110(mod11)y or =，从而54678(mod11)y or or -≡，但是20,1,3,4,5,9(mod11)x ≡。

比较两者我们就可以到相应的结论例5．求证：2222265x y z u v xyzuv ++++=-存在无数组解且每个解都大于2009。

证明：观察有特解()1,2,3,4,5。

从原方程可以得到22222()()12yzuv x y z u v yzuv x yzv -++++=--。

这说明从一组解可以得到另一组解(),,,,yzuv x y z u v -。

由于方程结构的对称性，不妨假设0x y z u v <<<<<，则y z u v yzuv x <<<<-，主要是证明v x yzuv +<，这是因为v x vx yzuv +<<。

不断依次类推就可得到结论。

例6．（普特南竞赛题）求方程||1rsp q -=的整数解，其中q p ,是质数，s r ,是大于1的正整数，并证明你所得到的解是全部解.解析：容易看到两个质数中肯定有一个为2，不妨假设2p =，|2|1r s q -=，即21r sq -=±。

若21r s q =+，从余数去讨论，3(mod 4)q ≡，s 为奇数。

1221(1)(1)rss s q q qq--=+=+-++，所以12121212rr s s q q q --⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩，()1111(1)2211222sr sr s r r r s s-=-+=-++，提取公因数，有()1111(1)(2)2211222sr r s r s r r s s --⎡⎤=-+=-++⎣⎦，从奇偶性可以看出这种情形方程无解。

21r s q =-为偶数，注意到1221(1)(1)r s s s q q q q --=-=-+++。

12121212r r s s q q q --⎧-=⎪⎨+++=⎪⎩，()11111(1)21221122(1)22sr sr s r r r rs s s s --=+-=+++-+，令2u s v =，()11111(1)21221122(1)22sr sr s r r u r r u s v s v --++=+-=+++-+，观察最后两项，只能11r =， 3q =， 2s =，从而3r =综上，考察到对称性，原方程恰有两组解： 3,2,2,3,2,3,3. 2.p p q q or r r s s ==⎧⎧⎪⎪==⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎪⎪==⎩⎩ 例8．（09湖北）求不定方程21533654321=+++++x x x x x x 的正整数解的组数． 解 令x x x x =++321，y x x =+54，z x =6，则1,2,3≥≥≥z y x ．先考虑不定方程2153=++z y x 满足1,2,3≥≥≥z y x 的正整数解．1,2,3≥≥≥z y x ，123215≤--=∴y x z ，21≤≤∴z ．当1=z 时，有163=+y x ，此方程满足2,3≥≥y x 的正整数解为)4,4(),3,7(),2,10(),(=y x ．当2=z 时，有113=+y x ，此方程满足2,3≥≥y x 的正整数解为)2,5(),(=y x ． 所以不定方程2153=++z y x 满足1,2,3≥≥≥z y x 的正整数解为)2,2,5(),1,4,4(),1,3,7(),1,2,10(),,(=z y x ．又方程)3,(321≥∈=++x N x x x x x 的正整数解的组数为21x C -，方程y x x =+54)2,(≥∈x N y 的正整数解的组数为11C -y ，故由分步计数原理知，原不定方程的正整数解的组数为81693036C C C C C C C C 1124132312261129=+++=+++．例8．（09 巴尔干）求方程235x y z -=的正整数解。