华南理工大学数学分析2008—2018(缺2014、2015)年考研真题
华南理工大学2008年数学分析考研试题
பைடு நூலகம்
华南理工大学 2008 年攻读硕士学位研究生入学考试试卷
（请在答题纸上做答，试卷上做答无效，试后本卷必须与答题纸一同交回） 科目名称：数学分析 适用专业：基础数学，计算数学，概率论与数理统计，应用数学，运筹学与控制论 共3页
一、求解下列各题（每小题 10 分，共 60 分） 1、若 lim n→ ∞
∫
b a
x k f ( x )dx = 0 ( k = 0,1,2, L , n)
用数学归纳法证明 f ( x ) 在 ( a , b ) 内至少有 n + 1 个不同的零点。 七、 （15 分）设常数 A, B , C 满足 AC B 2 < 0 ，且线性变换
ξ = x + λ1 y , η = x + λ 2 y
把方程
2u 2u 2u A 2 + 2B +C 2 =0 x y x y
变换为方程
2u = 0， ξ η
证明 λ1 , λ 2 为方程 Cλ 2 + 2 Bλ + A = 0 的两个不同实根。
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计算 ∫0 Dn ( x )dx 。
x2 y2 z2 x2 y2 6、计算曲面 2 + 2 + 2 = 2 + 2 所围成的体积。 a b c a b
2
π
二、 （15 分）计算极限
1 2 2π n nπ π lim 1 + sin 2 + 1 + sin 2 + L + 1 + sin 2 。 n→ ∞ n n n n n n
xn a = 0 ，证明 lim x n = a 。 n→ ∞ xn + a
华南理工大学2008年考研试题及参考答案(工科)
5. 已知温度为 T 时组分 A 和 B 的饱和蒸气压分别为 pA*和 pB*且 pA*>pB*。(1) 若 A 和 B 在该温下能形成理想液态混合物，试画出 A-B 组分在该温度时的相图即 p-x(y)草图，同时标 明图中特殊点、 线和面的意义，指出各相区的自由度数。 (2) 若实际液态混合物含 B 为 xB 时 ， 测得 B 的气相分压为 pB，试写出液相组分 B 的活度和活度系数的计算公式。(15 分) 解：(1) 理想液态混合物服从拉乌尔定律。设液相 组成为 xB，气相分压及总压分别为
Q=∆U – W = 31.92kJ
4. 已知某植物营养液的浓度为 0.1mol . dm-3。(1) 求此溶液在 25℃时的渗透压。若把植 物细胞近似看成半透膜，试计算该营养液能被植物提升的高度。(2) 假设植物毛细管半径为 0.1µm，该营养液能够完全润湿毛细管，试计算该营养液在毛细管中提升的高度。(3) 根据上 述计算结果，判断植物主要依赖何种方式获取养分？(4) 你认为植物能够长的高度极限应该 多少？原因？ 已知该营养液的密度为 1.00kg . dm-3， 表面张力为 0.0717N . m-1， 重力加速度为 9.81m . s-2。 (15 分) 解：(1) π=cRT=0.1×1000×8.315×298.15 Pa =247.9kPa
(3) 点 a 和 b 的冷却曲线见右。 (4) 相区 II 能析出纯白硅石，因此将混合物液化并降温控制在该相区，可得到纯白硅石。
7． 电动势的测量， 在物理化学研究工作中具有重要的实际意义。 通过电池电动势的测量 ， 可以获得氧化还原体系的许多热力学数据，如平衡常数、电解质活度、活度系数、离解常数、 溶解度、络合常数、酸碱度以及某些热力学函数改变量等。试问： (1) 对消法(补偿法)经常用来测量原电池的电动势。 请描述对消法测量原电池电动势的原 理。测量原电池的电动势时，盐桥的主要作用是什么？ (2) 原电池的电动势测量时，已知原电池 Pt | H2(g，100 kPa)||HCl (b=0.1 mol·kg-1) | Cl2(g， 100 kPa) | Pt 在 25℃时电动势 E＝1.488 V，试计算 HCl 溶液中 HCl 的离子平均活度因子γ±。 已知 E⊖(Cl-|Cl2 (g) | Pt)= 1.358 V; F = 96485.31 C·mol -1。 (10分) 解：(1) 电池电动势即通过电池的电流为 0 时电池两极的电势差。 实验原理如右图。 实验时 ， 先将电钥与 EN 相连接， 滑动 C '使检流计中无电 流通过， 此时 EN 与 AC ' 段的电势差 VAC '完全抵 消， 故有 EN ∝ VAC '。接着将电钥与 Ex 相连接 ， 滑动 C 使检流计中无电流通过，此时 Ex 与 AC 段的电势差 VAC 完全抵消，故有 Ex ∝ VAC。 若上述两种情况下工作电池的电压恒定， 则通过 均匀电阻线的电流不变，因此
2008年华南理工数学分析考研试题及解答
例 1.设:n n f R R →，且()1nf C R ∈，满足()()f x f yx y -≥-，对于任意,nx y R∈，都成立.试证明f 可逆，且其逆映射也是连续可导的. 证明 显然，对于任意,n x y R ∈，x y ≠，有()()f x f y ≠，f 是单射，所以1f -存在，由()()11f x f y x y ---≤-，知1f -连续，由()()f x f y x y -≥-，得对任意实数0,t ≠向量,n x h R ∈,有()()f x th f x t h +-≥，在()()f x th f x ht+-≥中令0t →，取极限，则有 得()Jf x h h ≥，任何,n x h R ∈,从而必有|()|0Jf x ≠，Jf 可逆，由隐函数组存在定理，所以1f-存在，且是连续可微的。
例2. 讨论序列()sin n ntf t n t=在()0,+∞上一致收敛性. 解 方法一 显然()11n f t n t≤⋅，对任意()0,t ∈+∞，有()lim 0n n f t →∞=，()sin n nt ntf t t n t n t=≤=， ()0lim 0n t f t +→=，关于n 是一致的；对任意0δ>，当[),t δ∈+∞时，()11n f t n δ≤⋅， 于是(){}n f t 在[),δ+∞上是一致收敛于0的， 综合以上结果，故(){}n f t 在()0,+∞上是一致收敛于0的.方法二 由()sin sin 1n nt nt nt f t n tn tn t n=≤≤≤， 即得(){}n f t 在()0,+∞上是一致收敛于0的 例3、 判断1nn nx ∞=∑在1x >上是否一致收敛. 例4. 设()f x 在(),-∞+∞上一致连续，且()f x dx +∞-∞⎰收敛，证明()lim 0x f x →∞=.例5.求有曲面2221x y za b c⎛⎫++= ⎪⎝⎭所围成的立体的体积其中常数,,0a b c >.例6、 设D 为平面有界区域，(),f x y 在D 内可微，在D 上连续，在D 的边界上(),0f x y =，在D 内f 满足方程f f f x y∂∂+=∂∂. 试证：在D 上(),0f x y ≡.证明 因为(),f x y 在D 上连续， 设()(),max ,x y DM f x y ∈=，则0M =，假若0M >，则存在()00x y D ∈，使得()00f x y M =， 于是有()000f x y x ∂=∂，()000fx y y∂=∂， 这与()()00000f f x y f x y x y ⎛⎫∂∂+=> ⎪∂∂⎝⎭矛盾，假若0M <，亦可得矛盾.同理，对()(),min ,x y Dm f x y ∈=，亦有0m =，故(),0f x y =，(),x y D ∈.华南理工大学2008年数学分析考研试题及解答一．求解下列各题 1、设0a ≠，数列{}n x 满足lim 0n n n x ax a→∞-=+，证明lim n n x a →∞=。
《华南理工大学880分析化学2013-2018年考研真题及答案解析》
《华南理工大学 880 分析化学历年考研真题及答案解析》
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Ⅰ 历年考研真题试卷 华南理工大学2013年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题
考试科目代码：880 分析化学 答题说明：所有答案必须写在答题纸上，并写清楚题号，写在试题上无效。
一、单项选择题（每小题 1.5 分，共 30 小题，45 分）
Ⅱ 历年考研真题试卷答案解析.........................................................................................45
华南理工大学 2013 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析........................ 45 华南理工大学 2014 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析........................ 63 华南理工大学 2015 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析........................ 82
《华南理工大学 880 分析化学历年考研真题及答案解析》
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10.若两电对在反应中电子转移数均为 2，为使反应完全程度达到 99.9%，两电对的条件 电位差至少应大于（）
A. 0.09V B. 0.27V C. 0.36V D. 0.18V
11.在 1mol/LH2SO4 溶液中，φCe4+/Ce2+ = 1.44V，φFe3+/Fe2+ = 0.68V，以 Ce4+滴定 Fe2+ 时，最适宜的指示剂是（）
目录
Ⅰ 历年考研真题试卷............................................................................................................. 2
08年华南理工数学分析考研试题及解答
2008年华南理工数学分析考研试题及解答n例1.设f:Rn?Rn，且f?C1?R???，满足f?x??f?yx?y，对于任意n，都成立.试证明f可逆，且其逆映射也是连续可导的. x,y?R证明显然，对于任意x,y?Rn，x?y，有f?x??f?y?，f 是单射，所以f?1存在，f?1?x??f?1?y??x?y，知f?1连续，f?x??f?y??x?y，得对任意实数t?0,向量x,h?Rn,有f?x?th??f?x??th，f?x?th??f?x??h在中令t?0，取极限，则有t得Jf(x)h?h，任何x,h?Rn,从而必有|Jf(x)|?0，Jf可逆，隐函数组存在定理，所以f?1存在，且是连续可微的。
例2. 讨论序列fn?t??sinnt在?0,???上一致收敛性. nt11解方法一显然fn?t???，nt对任意t??0,???，有limfn?t??0，n??fn?t??sinntnt??t，ntntt?0?limfn?t??0，关于n是一致的；对任意??0，当t???,???时，fn?t??11?，n?于是?fn?t??在??,???上是一致收敛于0的，综合以上结果，故?fn?t??在?0,???上是一致收敛于0的.1 方法二fn?t??sinntnt?sinntnt?nt1?，ntn即得?fn?t??在?0,???上是一致收敛于0的例3、判断?n?1?n在x?1上是否一致收敛. xn????例4. 设f?x?在???,???上一致连续，且?2f?x?dx收敛，证明limf?x??0. x??2?xy?z例5.求有曲面????2?1所围成的立体的体积其中常数a,b,c?0. ?ab?c例6、设D为平面有界区域，f?x,y?在D内可微，在D上连续，在D的边界上f?x,y??0，在D 内f满足方程试证：在D上f?x,y??0. ?f?f??f. ?x?y证明因为f?x,y?在D上连续，设M?maxf?x,y?，?x,y??D则M?0，假若M?0，则存在?x0y0??D，使得f?x0y0??M，于是有?f?f?x0y0??0，?x0y0??0，?x?y??f?f?这与????x0y0??f?x0y0??0矛盾，??x?y?假若M?0，亦可得矛盾. 同理，对m?minf?x,y?，亦有m?0，?x,y??D故f?x,y??0，?x,y??D. 华南理工大学2008年数学分析考研试题及解答一．求解下列各题1、设，数列{x}满足lima?0nn??xn?axn?a。
华南理工大学2018年《880分析化学》考研专业课真题试卷
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C． 4 d 检验法 D． 以上方法均不需要 19. 在气相色谱法中，适用于氢火焰离子化检测器分析的组分是（） A. 二硫化碳 B. 二氧化碳 C. 甲烷 D. 四氯化硅 20. 在荧光光谱分析中，通过测定以下哪种光而达到定性或定量（） A． 激发光 B． 磷光 C． 发射光 D． 散射光 21. 使用 K2Cr2O7 标定 Na2S2O3 溶液时（） A． 必须通过一个中间反应 B． 较稀的 K2Cr2O7 可以直接滴定 Na2S2O3 溶液 C． 滴定时必须加热 D． 以指示剂自身颜色变化指示终点 22. 下列化合物中，同时有 n *， *， *跃迁的化合物是（） A． 一氯甲烷 B． 丙酮 C． 1,3-丁二烯 D． 甲醇 23. 已知 H3PO4 的 pKa1=2.12， pKa2=7.20， pKa3=12.36， 若用 NaOH 滴定 H3PO4， 则第二个化学计量点的 pH 值约为（）
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A．10.7 B．9.7 C．7.7 D．4.9 24. 光度法分析中，浓度为 c 的某物质溶液透光率为 T，测定条件不变，浓度为 3c 的该物质溶液的透光率为（） A. T3 B. 3T C. T/3 D.
3
T
25. 用 Fe3+滴定 Sn2+时，下列有关滴定曲线的叙述中，不正确的是（） A． 滴定百分率为 50%处的电位为 Sn4+/Sn2+电对的条件电位 B．滴定百分率为 100%处的电位为化学计量点电位 C．滴定百分率为 150%处的电位为 Fe3+/Fe2+电对的条件电位 D． 滴定百分率为 200%处的电位为 Fe3+/Fe2+电对的条件电位 26. 含 Fe3+的 HCl 溶液用 3 倍体积的含 HCl 乙醚溶液萃取，已知 Fe3+有 99%被 萃取，则分配比约为（） A. 300 B. 30 C. 3.3 D. 33 27. 若分光光度计的仪器测量误差T=0.02，透光率 T=70%时，其因测量引起的 浓度相对误差为（） A． 2%
华南理工大学数学分析考研真题2001-2016
f (1) = 1 ， 试证： ∃ x ∈ (−1,1) ，使 f (3) ( x) ≥ 3 ． 10． （15 分）试讨论无穷级数 f ( x) =
∑ 1 + n 2 x 在 (0, ∞) 上的一致收敛
n =1
∞
1
性，以及 f ( x) 在 (0, ∞) 上的有界性．
11 ． （ 15 分 ） 设 f ( x) ≥ 0 在 (−∞,+∞) 上 连 续 ， f ε ( x) = 1
∫0
∞
试证： g (t ) ≤ e A f (t ), t ≥ 0 ．
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325 2006
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)
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2
ö
√ √ n+ n− n . lim √ n→∞ n 3n + 5n + 7n
2
1. (10
)
n→∞
lim
√
√ 1+ n n ln √ n
√ n n+1
+
n+1 n
− 1 .
2. (10
)
x→0
lim
1 x2
−
1 x
+1−
1 x
∫−∞ f ( x) dx = 1 ，
+∞
ε
x f ( ) ．试证明：对每个有界连续函数 ϕ ( x) ，有
ε
ε →0 + − ∞
lim
∫
+∞
ϕ ( x ) f ε ( x ) dx = ϕ ( 0) ．
华南理工大学期末考试“数学分析(二)”试卷
，
供 则 f (x) 在任何区间[a,b]上
，但 f ( x) 在区间[a, b]上
3、曲线 x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t) (0 ≤ t ≤ 2π ) 绕 x 轴旋转的体积
4、设 x = a 是 f ( x) 的在[a, b]上的唯一奇点，且 lim( x − a) p f ( x) = k x→a
{ } λ(∆)
=
max
i =1,2,L,n
∆xi
< δ 时，对应于幅度 ωi' ≥ ε 的那些区间 ∆xi' 的长度之和
供 ∑ ∆xi′ < σ 。 i′ D． f ( x) 为连续函数
学号
3、极限
lim ⎜⎛ m→∞⎝
1 m+
1
+
1 m+
2
+
L+
1 2m
⎟⎞ ⎠
=
。
A．1
B. 0
C. + ∞
D. ln 2
n=1
n=1
供 x ≠ kπ , k = 0, ± 1, ± 2, L时是否为条件收敛？
《 数学分析（二） 》试卷 A 第 3 页 共 3 页
5、设
f
(x)
为周期为 T
的函数，且在
⎢⎣⎡−
T 2
,
T 2
⎤ ⎥⎦
上可积和绝对可积，则
其中正确的是
∑ f ( x) =
a0 2
∞
+ (ak cos kωx + bk sin kωx),
k =1
ω
=
2π T
。
∫ ∫ A． ak