九年级数学确定圆的条件
九年级数学上册 2.3 确定圆的条件 如何确定四点(不在同一条直线上)是否共圆？素材 (新版)苏科版
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如何确定四点〔不在同一条直线上〕是否共圆？
难易度：★★★★★
**四点共圆
答案：
判断四点共圆的关键是看四点到某点的距离是否相等，如果相等，那么四点共圆，反之不共圆。
【举一反三】
典题：如图，在四边形ABCD中，AB=8cm，AD=6cm,BC=9cm，CD=cm，判断点A,B,C,D 是否在同一个圆上，假设在请指出，假设不在说明理由。
思路导引：根据勾股定理求出BD的长，再由条件确定△BCD的形状，取BD的中点，到A，B，C，D四点的距离相等，所以四点共圆。
标准答案：解：取BD的中点，连接AE,CE
根据勾股定理，
得BD=10cm，又因为BD2=BC2+CD2
∴△BCD是直角三角形，
∴AE=BD=CE=5cm
即AE=DE=CE=BE=5cm
∴点A,B,C,D在以点E为圆心，以5cm为半径的圆上。
苏科版2022年九年级数学上册 《确定圆的条件》教材预习辅导讲义(附解析)
2.3 确定圆的条件确定圆的条件（1）经过一个已知点能作无数个圆；（2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上；(3）不在同一直线上的三个点确定一个圆.(4)经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.如图：⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心.外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.【点拨】（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”.（2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.【例题1】（1）请借助网格和一把无刻度直尺找出△ABC的外心点O；（2）设每个小方格的边长为1，求出外接圆⊙O的面积．【例题2】如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，尺规作图，作Rt△ABC外接圆⊙O．（保留作图痕迹，不写作法）【例题3】我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．如图，将△ABC放在每个看例题，涨知识教材知识总结小正方形边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．（1）用无刻度直尺画出△ABC的最小覆盖圆的圆心（保留作图痕迹）；（2）该最小覆盖圆的半径是．【例题4】已知，如图，点A为⊙O上的一点（1）用没有刻度的直尺和圆规作一个⊙O的内接正三角形ABC(保留作图痕迹并标出B、C)；（2）若⊙O半径为10，则三角形ABC的边长为一、单选题1．下列判断中正确的是（）A．平分弦的直径垂直于弦B．垂直于弦的直线平分弦所对的弧C．平分弧的直径平分弧所对的的弦D．三点确定一个圆2．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），点B（2，1），点C（2，－3）．则经画图操作可知：△ABC 的外接圆的圆心坐标是（）A．（－2，－1）B．（－1，0）C．（－1，－1）D．（0，－1）3．对于以下说法：①各角相等的多边形是正多边形；②各边相等的三角形是正三角形；③各角相等的圆内课后习题巩固一下接多边形是正多边形；④各顶点等分外接圆的多边形是正多边形．正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．给定下列条件可以确定唯一的一个圆的是（）A．已知圆心B．已知半径C．已知直径D．不在同一直线上的三个点5．从一块圆形玻璃镜残片的边缘描出三点A、B、C，得到△ABC，则这块玻璃镜的圆心是（）A．AB、AC边上的高所在直线的交点B．AB、AC边的垂直平分线的交点C．AB、AC边上的中线的交点D．∠BAC与∠ABC的角平分线的交点6．下列说法中错误的是（）A．直径是弦B．经过不在同一直线上三点可以确定一个圆C．三角形的外心到三个顶点的距离相等D．两个半圆是等弧7．如图，点O是△ABC的外心（三角形三边垂直平分线的交点），若∠BOC=96°，则∠A的度数为（）A．49°B．47.5°C．48°D．不能确定A B，C在平面直角坐标系中，则ABC的外心在（）8．如图，点(0,3),(2,1)A．第四象限B．第三象限C．原点O处D．y轴上9．如图，已知平面直角坐标系内三点A（3，0）、B（5，0）、C（0，4），⊙P经过点A、B、C，则点P的坐标为（）A．（6，8）B．（4，5）C．（4，318）D．（4，338）10．如图，ABC为锐角三角形，6BC=，45A∠=︒，点O为ABC的重心，D为BC中点，若固定边BC，使顶点A在ABC所在平面内进行运动，在运动过程中，保持A∠的大小不变，设BC的中点为D，则线段OD的长度的取值范围为（）A521OD≤B531OD≤C．131OD≤<D．121OD<≤二、填空题11．如图，点O是△ABC的外心，连接OB，若∠OBA＝17°，则∠C的度数为_________°．12．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程2-12+35=0x x的根，则该三角形外接圆的半径为______．13．如图，已知AB＝AC＝BE＝CD，AD＝AE，点F为△ADE的外心，若∠DAE＝40°，则∠BFC＝______°．14．有一种化学实验中用的圆形过滤纸片，如果需要找它的圆心，请你简要说明你找圆心的方法是__________________15．如图，在57⨯网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是ABC的外心，在不添加其他字母的情况下，则除ABC外把你认为外心也是O的三角形都写出来__________________________．16．已知ABC的三边a，b，c满足|c﹣4|+b+a2﹣10a＝1b+30，则ABC的外接圆半径的长为___．三、解答题17．为了美化校园，某小区要在如图所示的三角形空地（ABC）上作一个半圆形花坛并使之满足以下要求；①圆心在边BC上，②该半圆面积最大．请你帮忙设计这一花坛．18．如图，学校某处空地上有A、B、C三棵树，现准备建一个圆形景观鱼池，要求A、B、C三棵树恰在圆周上，请你帮助设计鱼池，在图中作出它的鱼池轮廓，保留作图痕迹并将圆心标记为点O．19．有趣的倍圆问题：校园里有个圆形花坛，春季改造，负责该片花园维护的某班同学经过协商，想把该花坛的面积扩大一倍．他们在图纸上设计了以下施工方案：①在⊙O中作直径AB，分别以A、B为圆心，大于1AB长为半径画弧，两弧在直径AB上方交于点C，作2射线OC交⊙O于点D；②连接BD，以O为圆心BD长为半径画圆；③大⊙O 即为所求作．(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成如下证明： 证明：连接CA 、CB在△ABC 中，∵CA ＝CB ，O 是AB 的中点， ∴CO ⊥AB （ ）（填推理的依据） 设小O 半径长为r ∵OB ＝OD ，∠DOB ＝90° ∴BD 2∴S 大⊙O ＝π2）2＝ S 小⊙O ． 20．如图，ABC 是直角三角形，90ACB ∠=︒．(1)利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）． ①作ABC 的外接圆O ；②以线段AC 为一边，在AC 的右侧作等边三角形ACD ； ③连接BD ，交O 于点E ，连接AE ；(2)在（1）中所作的图中，若4AB =，2BC =，则线段AE 的长为______．2.3 确定圆的条件解析确定圆的条件（1）经过一个已知点能作无数个圆；（2）经过两个已知点A 、B 能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB 的垂直平分线上； (3）不在同一直线上的三个点确定一个圆.(4)经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的教材知识总内接三角形.如图：⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心.外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等. 【点拨】（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”.（2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.【例题1】（1）请借助网格和一把无刻度直尺找出△ABC的外心点O；（2）设每个小方格的边长为1，求出外接圆⊙O的面积．【答案】（1）见解析；（2）10π【分析】（1）根据三角形的外心是三边垂直平分线的交点作出点O；（2）根据勾股定理求出圆的半径，根据圆的面积公式计算，得到答案．【解析】解：（1）如图所示，点O即为所求；（2）连接OB，由勾股定理得：OB223110+=∴外接圆⊙O的面积为：π×102＝10π．看例题，涨知识【例题2】如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，尺规作图，作Rt△ABC外接圆⊙O．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见详解【分析】作AB的垂直平分线，找到AB的中点，则以AB为直径作圆就是三角形的外接圆．【解析】解：如图所示：【例题3】我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．如图，将△ABC放在每个小正方形边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．（1）用无刻度直尺画出△ABC的最小覆盖圆的圆心（保留作图痕迹）；（2）该最小覆盖圆的半径是．【答案】（1）见解析；（25【分析】（1）作出线段AB，AC的垂直平分线的交点O即可．（2）连接OA，利用勾股定理求出OA即可．【解析】解：（1）如图，点O即为所求．（2）半径OA22+1255【例题4】已知，如图，点A为⊙O上的一点（1）用没有刻度的直尺和圆规作一个⊙O的内接正三角形ABC(保留作图痕迹并标出B、C)；（2）若⊙O半径为10，则三角形ABC的边长为【答案】（1）图见详解；（2）三角形ABC的边长为103【分析】（1）以OA为半径，在圆上依次截取得到圆的6等分点，从而得到圆的三等分点，进而问题可求解；（2）连接OB、OC，延长AO交BC于点D，则有AD⊥BC，然后根据等边三角形的性质及垂径定理可求解．【解析】接：（1）等边三角形ABC如图所示：（2）连接OB、OC，延长AO交BC于点D，如图，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，∴AD⊥BC，∠BOD=∠COD=60°，∴∠OBD=30°，BC=2BD，∵⊙O半径为10，∴152OD OB==，∴2253 BD OB OD-∴103BC=∴三角形ABC的边长为103故答案为3一、单选题1．下列判断中正确的是（）A．平分弦的直径垂直于弦B．垂直于弦的直线平分弦所对的弧C．平分弧的直径平分弧所对的的弦D．三点确定一个圆【答案】C【分析】根据垂径定理和确定圆的条件对各选项进行逐一解答即可．【解析】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故选项错误；B、垂直于弦的直径平分弦所对的弧，故选项错误；C、平分弧的直径平分弧所对的的弦，故选项正确；D、不共线的三点确定一个圆，故选项错误；故选C．2．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），点B（2，1），点C（2，－3）．则经画图操作可知：△ABC 的外接圆的圆心坐标是（）A．（－2，－1）B．（－1，0）C．（－1，－1）D．（0，－1）【答案】A【分析】首先由△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作AB与BC的垂线，两垂线的交点即为△ABC的外心．【解析】解：∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，如图所示：EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，课后习题巩固一∴△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）．故选：A3．对于以下说法：①各角相等的多边形是正多边形；②各边相等的三角形是正三角形；③各角相等的圆内接多边形是正多边形；④各顶点等分外接圆的多边形是正多边形．正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】①没有边相等的信息不能判定其是正多边形；②符合正三角形的定义；③仅有各角相等没有边相等的信息不能判定其是圆内正多边形；④符合圆内接多边形的定义．【解析】①错误，如矩形，满足条件，却不是正多边形；②正确；③错误，如圆内接矩形，满足条件，却不是正多边形；④正确．共有2个正确．故选B4．给定下列条件可以确定唯一的一个圆的是（）A．已知圆心B．已知半径C．已知直径D．不在同一直线上的三个点【答案】D【分析】根据确定圆的条件，逐一判断选项，即可得到答案．【解析】A. 已知圆心，但半径不确定，不可以确定唯一的一个圆，不符合题意，B. 已知半径，但圆心位置不确定，不可以确定唯一的一个圆，不符合题意，C. 已知直径，但圆心位置不确定，不可以确定唯一的一个圆，不符合题意，D. 不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，符合题意．故选D．5．从一块圆形玻璃镜残片的边缘描出三点A、B、C，得到△ABC，则这块玻璃镜的圆心是（）A．AB、AC边上的高所在直线的交点B．AB、AC边的垂直平分线的交点C．AB、AC边上的中线的交点D．∠BAC与∠ABC的角平分线的交点【答案】B【分析】结合图形可知所求玻璃镜的圆心是ABC外接圆的圆心，据此可得出答案．【解析】根据题意可知，所求的玻璃镜的圆心是ABC外接圆的圆心，而ABC外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，故选：B．6．下列说法中错误的是（）A．直径是弦B．经过不在同一直线上三点可以确定一个圆C．三角形的外心到三个顶点的距离相等D．两个半圆是等弧【答案】D【分析】根据圆的性质：弦的定义、确定圆的条件、外心性质、弧的定义逐一判断解答．【解析】解：A. 直径是弦，故A正确；B. 经过不在同一直线上三点可以确定一个圆，故B正确；C. 三角形的外心到三个顶点的距离相等，故C正确；D. 两个半圆不一定是等弧，故D错误，故选：D．7．如图，点O是△ABC的外心（三角形三边垂直平分线的交点），若∠BOC=96°，则∠A的度数为（）A．49°B．47.5°C．48°D．不能确定【答案】C【分析】根据三角形垂直平分线的性质以及三角形内角和定理计算即可．【解析】解：如图，连接AO，∵点O是△ABC三边垂直平分线的交点，∴AO=BO=CO，∴∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB，∴∠AOB=180°-2∠OAB，∠AOC=180°-2∠OAC，∴∠BOC=360°-（∠AOB+∠AOC）=360°-（180°-2∠OAB+180°-2∠OAC）=2∠OAB+2∠OAC=2∠BAC；∵∠BOC=96°，∴∠BAC=48°，故选：C．A B，C在平面直角坐标系中，则ABC的外心在（）8．如图，点(0,3),(2,1)A．第四象限B．第三象限C．原点O处D．y轴上【答案】B【分析】根据直角坐标系的特点作AB、BC的垂直平分线即可求解．【解析】如图，作AB、BC的垂直平分线，交点在第三象限，故选B．9．如图，已知平面直角坐标系内三点A（3，0）、B（5，0）、C（0，4），⊙P经过点A、B、C，则点P的坐标为（）A ．（6，8）B ．（4，5）C ．（4，318） D ．（4，338） 【答案】C【分析】先由题意可知，点P 在线段AB 的垂直平分线上，可确定P 的横坐标为4；设点P 的坐标为（4，y ），如图作PE ⊥OB 于E ，PF ⊥OC 于F ，运用勾股定理求得y 即可． 【解析】解：∵⊙P 经过点A 、B 、C ， ∴点P 在线段AB 的垂直平分线上， ∴点P 的横坐标为4， 设点P 的坐标为（4，y ）， 作PE ⊥OB 于E ，PF ⊥OC 于F ， 22224(4)1y y +-+ 解得，y 318=， 故选：C ．10．如图，ABC 为锐角三角形，6BC =，45A ∠=︒，点O 为ABC 的重心，D 为BC 中点，若固定边BC ，使顶点A 在ABC 所在平面内进行运动，在运动过程中，保持A ∠的大小不变，设BC 的中点为D ，则线段OD 的长度的取值范围为（ ）A 521OD ≤B 531OD ≤C ．131OD ≤< D ．121OD <≤【答案】D【分析】如图，作ABC 的外接圆，点E 为圆心，AD BC ⊥，由题意知1OD AD 3=且90BEC ∠=︒，3BD DE ==，由勾股定理知2232BE BD DE =+=，332AD DE AE =+=+当AD BC⊥时，AD 最长，可求此时OD 最大值；由于3AD BD >=，可得此时OD 最小值，进而可得OD 的取值范围． 【解析】解：如图，作ABC 的外接圆，点E 为圆心，AD BC ⊥由题意知1OD AD 3=∵45A ∠=︒ ∴90BEC ∠=︒ ∴45EBD BED ∠=∠=︒∴3BD DE ==，由勾股定理知2232BE BD DE =+= ∴332AD DE AE =+=+∵AD BC ⊥时，AD 最长， ∴OD 最大值为12∵3AD BD >= ∴1OD > ∴112OD <≤故选D ． 二、填空题11．如图，点O 是△ABC 的外心，连接OB ，若∠OBA ＝17°，则∠C 的度数为_________°．【答案】73【分析】连接OA ，OC ，根据三角形的内角和和等腰三角形的性质即可得到结论． 【解析】解：连接OA ，OC ，点O 是ABC ∆的外心，OA OB OC ∴==，OBA OAB ∴∠=∠，OAC OCA ∠=∠，OBC OCB ∠=∠， 17OBA ∠=︒， 17OAB ∴∠=︒，1801801717146OBC OCB OCA ACO OBA OAB ∠+∠+∠+∠=-∠-∠=︒-︒-︒=︒即146OBC OCB OCA ACO ∠+∠+∠+∠=︒，22146OCB ACO ∴∠+∠=︒， 73OCB ACO ∴∠+∠=︒， 73BCA ∴∠=︒．故答案为：73．12．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程2-12+35=0x x 的根，则该三角形外接圆的半径为______． 【答案】52【分析】先解一元二次方程，根据构成三角形的条件取舍，勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，进而根据90度角所对的弦为直径，进而求得三角形外接圆的半径． 【解析】解：2-12+35=0x x ，()()570x x --=，解得215,7x x ==，当7x =时，347+=不能构成三角形； 当5x =时，22234255+==，∴这个三角形是斜边为5的直角三角形， ∴该三角形外接圆的半径为52， 故答案为：52． 13．如图，已知AB ＝AC ＝BE ＝CD ，AD ＝AE ，点F 为△ADE 的外心，若∠DAE ＝40°，则∠BFC ＝______°．【答案】140【分析】由等腰三角形的性质得出∠BEA =∠BAE = 70°，求出∠ABE = 40°，连接AE ，EF ，DF ，由三角形外心的性质求出∠EBF =∠FCB =20°，由三角形内角和定理可得出答案． 【解析】解:∵∠DAE ＝40°，AD ＝AE ， ∴∠ADE ＝∠AED ，∴∠AED ＝12（180°﹣40°）＝70°， ∵AB ＝BE ，∴∠BEA ＝∠BAE ＝70°， ∴∠ABE ＝40°， 连接AE ，EF ，∵点F 为△ADE 的外心， ∴AF ＝EF ，AF ＝DF ， ∴点F 在AE 的垂直平分线上， 同理点B 在AE 的垂直平分线上， ∴∠ABF ＝∠EBF ， ∴∠EBF ＝12∠ABE ＝20°，同理∠FCB ＝20°，∴∠BFC ＝180°﹣∠FBC ﹣∠FCB ＝180°﹣20°﹣20°＝140°． 故答案为：14014．有一种化学实验中用的圆形过滤纸片，如果需要找它的圆心，请你简要说明你找圆心的方法是__________________【答案】在圆形纸片的边缘上任取三点,,,A B C 则线段,AB AC 的垂直平分线的交点O 是圆形纸片的圆心. 【分析】如图，在圆形纸片的边缘上任取三点,,,A B C 连接,,AB AC 再作,AB AC 的垂直平分线得到两条垂直平分线的交点即可.【解析】解：如图，在圆形纸片的边缘上任取三点,,,A B C连接,,AB AC 则,AB AC 的垂直平分线的交点O 是圆形纸片的圆心.故答案为：在圆形纸片的边缘上任取三点,,,A B C 则线段,AB AC 的垂直平分线的交点O 是圆形纸片的圆心. 15．如图，在57⨯网格中，各小正方形边长均为1，点O ，A ，B ，C ，D ，E 均在格点上，点O 是ABC 的外心，在不添加其他字母的情况下，则除ABC 外把你认为外心也是O 的三角形都写出来__________________________．【答案】△ADC 、△BDC 、△ABD【分析】先求出△ABC 的外接圆半径r ，再找到距离O 点的长度同为r 的点，即可求解． 【解析】由网格图可知O 点到A 、B 、C 22125+ 则外接圆半径5r =图中D 点到O 22125r +=， 图中E 点到O 221310+=则可知除△ABC 外把你认为外心也是O 的三角形有：△ADC 、△ADB 、△BDC ， 故答案为：△ADC 、△ADB 、△BDC ．16．已知ABC 的三边a ，b ，c 满足|c ﹣4|+b +a 2﹣10a ＝1b +30，则ABC 的外接圆半径的长为___． 【答案】2.5【分析】先根据|c ﹣4|+b +a 2﹣10a ＝1b +30变形可得22|4|(12)(5)0c b a -+++-=，再根据绝对值和完全平方公式的非负性即可求得a 、b 、c 的值，进而根据勾股定理的逆定理可得ABC 为直角三角形，由此可得ABC 外接圆半径的长为斜边的一半． 【解析】解：∵|c ﹣4|+b +a 2﹣10a ＝1b +30，2|4|(1414)(1025)0c b b a a ∴-++-++-+=， 22|4|(12)(5)0c b a ∴-+++-=，又∵22|4|0,(12)0,(5)0c b a -≥+≥-≥， ∴40c -=120b +=，50a -=，解得：4c =，3b =，5a =， ∴22225c b a +==，∴ABC 为直角三角形，且斜边长为5， ∴ABC 的外接圆的半径r ＝5×12＝2.5，故答案为：2.5． 三、解答题17．为了美化校园，某小区要在如图所示的三角形空地（ABC ）上作一个半圆形花坛并使之满足以下要求；①圆心在边BC 上，②该半圆面积最大．请你帮忙设计这一花坛．【答案】见解析【分析】作∠A 的角平分线AD 交BC 于点O ，以点O 为圆心，点O 到AC 的距离OD 为半径画半圆，此时半圆和AC ，AB 都相切，则该半圆面积最大． 【解析】如图所示：该半圆即为所求．18．如图，学校某处空地上有A 、B 、C 三棵树，现准备建一个圆形景观鱼池，要求A 、B 、C 三棵树恰在圆周上，请你帮助设计鱼池，在图中作出它的鱼池轮廓，保留作图痕迹并将圆心标记为点O ．【答案】见解析【分析】连接,AB BC ,分别作,AB BC 的垂直平分线，交于点O ，以OA 的长度为半径，O 为圆心作圆即可． 【解析】如图所示．连接,AB BC ,分别作,AB BC 的垂直平分线，交于点O ，以OA 的长度为半径，O 为圆心作圆，则O 即为所求，19．有趣的倍圆问题：校园里有个圆形花坛，春季改造，负责该片花园维护的某班同学经过协商，想把该花坛的面积扩大一倍．他们在图纸上设计了以下施工方案：①在⊙O 中作直径AB ，分别以A 、B 为圆心，大于12AB 长为半径画弧，两弧在直径AB 上方交于点C ，作射线OC 交⊙O 于点D ；②连接BD ，以O 为圆心BD 长为半径画圆； ③大⊙O 即为所求作．(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成如下证明：证明：连接CA 、CB在△ABC 中，∵CA ＝CB ，O 是AB 的中点，∴CO ⊥AB （ ）（填推理的依据）设小O 半径长为r∵OB ＝OD ，∠DOB ＝90°∴BD 2∴S 大⊙O ＝π2）2＝ S 小⊙O ．【答案】(1)见解析；(2)见解析【分析】（1）按照题意作图即可；（2）先根据三线合一定理得到CO ⊥AB ，然后证明BD 2r 即可得到S 大⊙O ＝π2r ）2＝2S 小⊙O ．【解析】(1)解：如图所示，即为所求；(2)证明：连接CA 、CB在△ABC 中，∵CA ＝CB ，O 是AB 的中点，∴CO ⊥AB （三线合一定理）（填推理的依据）设小O 半径长为r∵OB ＝OD ，∠DOB ＝90°∴BD 2∴S 大⊙O ＝π2）2＝2S 小⊙O ．20．如图，ABC 是直角三角形，90ACB ∠=︒．(1)利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）．①作ABC 的外接圆O ；②以线段AC 为一边，在AC 的右侧作等边三角形ACD ；③连接BD ，交O 于点E ，连接AE ；(2)在（1）中所作的图中，若4AB =，2BC =，则线段AE 的长为______．【答案】(1)作图见解析；4217【分析】（1）利用直角三角形的外心是直角三角形斜边的中点，先做AB 的垂直平分线，找出圆心O ，以O 为圆心，OA 为半径画圆即可，再分别以A ，B 为圆心，AB 为半径画弧交于点D ，连接AD ，CD ，即可做出等边三角形ACD ；（2）证明∠BAD =90°，利用勾股定理求出2227BD AB AD =+=AE 的长．【解析】(1)解：作图如下：(2)解：∵AB =4，BC =2，△ACD 是等边三角形，∴∠BAD =∠BAC +∠CAD =30°+60°=90°， ∴323===AD AC AB ∴2227BD AB AD =+= ∴14221172=AB AD AE BD 故线段AE 的长为4217。
《确定圆的条件》圆PPT教学课件-北师大版九年级数学下册
作图: 三角形三条边的垂直平分线的交点．
性质: 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等．
判一判:
下列说法是否正确
(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆( √ ) (2)任意一个圆有且只有一个内接三角形( × ) (3)经过三点一定可以确定一个圆( × )
√
(4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等( )
第三章 圆
确定圆的条件
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1．复习并巩固圆中的基本概念． 2．理解并掌握三点确定圆的条件并会应用． (重点) 3．理解并掌握三角形的外接圆及外心的概念．（难点）
导入新课
情境引入
假如旋转木马真如短片所说, 是中国发明的, 你能将旋转木马破碎的圆 形底座还原, 以帮助考古学家画进行深入的研究吗?
7．如图, 在平面直角坐标系xOy中, △ABC外接 圆的圆心坐标（是5,___2_）_____, 半径2 是5 ______.
8．已知正△ABC的边长为6, 那么能够完全覆盖这
个正△ABC的最小圆的半径是_2__3_____.
解析:如图, 能够完全覆盖这个正△ABC的最小圆的半径就是△ABC外接
过一点可以作无数个圆 过两点可以作无数个圆
注意:同一直线 上的三个点不能 作圆
不在同一直线上的三个点确定一个圆
概念 外心
经过三角形的三个顶点的圆叫做三 角形的外接圆
解:(1)∵∠ADO＝∠ABO＝60°, ∠DOA＝90°, ∴∠DAO＝30°;
(2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积. (2)∵点D的坐标是(0, 3), ∴OD＝3． 在直角△AOD中, OA＝OD·tan∠ADO＝3 3, AD＝2OD＝6, ∴点A的坐标是(3 3 , 0). ∵∠AOD＝90°, ∴AD是圆的直径, ∴△AOB外接圆的面积是9π． 方法总结:图形中求三角形外接圆的面积时, 圆的直径(或半径)长度.
3.1.2 确定圆的条件(教案）
浙教版数学九年级上册3.1.2确定圆的条件教学设计课题确定圆的条件单元 3 学科数学年级九学习目标情感态度和价值观目标形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神能力目标经历不在同一直线上得三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力，进一步体会解决数学问题的方法知识目标了解不在同一条直线上得三个点确定一个圆，掌握过不在同一直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念。
重点掌握不在同一直线上的三个点确定一个圆这个结论，并能过不在同一直线上的三个点作圆的方法。
理解三角形外心的性质难点过不在同一直线上的三个点作圆的方法学法自主探究，合作交流教法多媒体，问题引领教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课问题：你有什么方法使得“破镜重圆”呢？学生：积极思考带着问题参与新课. 通过看似意外的实际情境，让学生感受数学来源于生活，数学知识与生活实践密切相关，增加学生的学习、探索兴趣，便于学生以高昂情绪参与本课的探索过程讲授新课类比确定直线的条件:经过一点可以作无数条直线；1.学生动手画过一点的直线，可以画无数条这样的直线。
“学生原有的知识和经验是教学活经过两点只能作一条直线.想一想经过一点可以作几个圆?经过两点,三点,…,呢？探索经过两个已知点A、B能确定一个圆吗?经过两个已知点A、B能作无数个圆问题：经过两个已知点A、B所作的圆的圆心在怎2.学生动手画过一点的直线：学生动手画过一点的圆，并小组讨论交流。
得出结论：经过一个已知点能作无数个圆。
（圆心、半径均不确定）学生动手画过两个点的圆，并小组讨论交流得出结论：经过两个已知点能作无数个圆。
（圆心在两点所连线段的垂直平分线上，半径不确定）动的起点”通过复习确定直线的方法，启发学生用类比的方法探索确定圆的条件。
让学生动手实践，充分交流，通过探究、讨论、交流得到过一个已知点可以作无数多个圆重视学生的课堂参与。
北师大版数学九年级下册3.5《确定圆的条件》教案
北师大版数学九年级下册3.5《确定圆的条件》教案一. 教材分析《确定圆的条件》这一节主要让学生掌握确定一个圆的条件，包括圆心坐标和半径，以及如何根据这些条件来确定一个圆。
同时，通过实例让学生理解圆的方程的意义和应用。
二. 学情分析学生在学习这一节之前，已经学习了坐标系和方程的基础知识，对几何图形也有一定的认识。
但是，对于圆的方程的理解可能还需要进一步的引导和培养。
三. 教学目标1.让学生掌握确定一个圆的条件，包括圆心坐标和半径。
2.让学生理解圆的方程的意义和应用。
3.培养学生的空间想象能力和问题解决能力。
四. 教学重难点1.圆的方程的意义的理解和应用。
2.如何引导学生从实际问题中抽象出圆的方程。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过实例引导学生理解圆的方程的意义和应用，然后通过练习让学生进一步巩固所学知识。
六. 教学准备1.准备相关的实例和练习题。
2.准备课件和黑板。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引导学生思考如何确定一个圆。
例如，给出一个圆的三个点，让学生思考如何确定这个圆。
2.呈现（15分钟）通过课件或者板书，呈现圆的方程。
解释圆的方程的意义，包括圆心坐标和半径。
让学生理解圆的方程是如何表示一个圆的。
3.操练（15分钟）让学生通过练习题来巩固对圆的方程的理解。
可以给出一些具体的圆的方程，让学生求解圆心坐标和半径，或者给出圆心坐标和半径，让学生写出对应的圆的方程。
4.巩固（10分钟）通过一些实际问题，让学生应用圆的方程来解决问题。
例如，给出一个圆的方程，让学生求解圆与直线的交点，或者求解圆的面积。
5.拓展（10分钟）可以让学生思考一些拓展问题，例如，如何确定一个圆的位置和大小，如何求解两个圆的交点等。
6.小结（5分钟）通过小结，让学生回顾所学知识，加深对圆的方程的理解。
7.家庭作业（5分钟）布置一些相关的练习题，让学生在家里完成。
8.板书（5分钟）在黑板上写出圆的方程，以及解题的关键步骤。
九年级数学确定圆的条件
3.4 确定圆的条件学习目标:通过经历不在同一直线上的三个点确定一个圆的探索，了解不在同一直线上的三个点确定一个圆，掌握过不在同一直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心，圆的内接三角形的概念，进一步体会解决数学问题的策略．学习重点:1．定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆．定理中“不在同一直线”这个条件不可忽略，“确定”一词应理解为“有且只有”．2．通过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心为三角形的外心，这个三角形叫圆的内接三角形．只要三角形确定，那么它的外心和外接圆半径也随之确定了．学习难点:分析作圆的方法，实质是设法找圆心．过已知点作圆的问题，就是对圆心和半径的探讨．学习方法:教师指导学生自主探索交流法.学习过程:一、举例：【例1】下面四个命题中真命题的个数是（）①经过三点一定可以做圆；②任意一个三角形一定有一个外接圆，而且只有一个外接圆；③任意一个圆一定有一个内接三角形，而且只有一个内接三角形；④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等．A．4个B．3个C．2个D．1个【例2】在△ABC中，BC=24cm，外心O到BC的距离为6cm，求△ABC的外接圆半径．【例3】如图，点A、B、C表示三个村庄，现要建一座深水井泵站，向三个村庄分别送水，为使三条输水管线长度相同，水泵站应建在何处？请画出图，并说明理由．【例4】阅读下面材料：对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖．如图3-4-5中的三角形被一个圆所覆盖，图3-4-6中的四边形被两个圆所覆盖．回答下列问题：（1）边长为1cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是 cm．（2）边长为1cm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是 cm．（3）边长为2cm，1cm的矩形被两个半径都为r的图所覆盖，r的最小值是 cm，这两个圆的圆心距是 cm．【例5】已知Rt△ABC的两直角边为a和b，且a，b是方程x2－3x＋1=0的两根，求Rt△ABC的外接圆面积．【例6】如图，有一个圆形铁片，用圆规和直尺将它分成面积相等的两部分．二、随堂练习一、填空题1．经过平面上一点可以画个圆；经过平面上两点A、B可以作个圆，这些圆的圆心在．2．经过平面上不在同一直线上的三点可以作个圆．3．锐角三角形的外心在；直角三角形的外心在；钝角三角形的外心在．二、选择题4．下列说法正确的是（）A．三点确定一个圆B．三角形有且只有一个外接圆C ．四边形都有一个外接圆D ．圆有且只有一个内接三角形5．下列命题中的假命题是（ ）A ．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等B ．三角形的外心到三角形三边的距离相等C ．三角形的外心一定在三角形一边的中垂线上D ．三角形任意两边的中垂线的交点，是这个三角形的外心6．下列图形一定有外接圆的是（ ）A ．三角形B ．平行四边形C ．梯形D ．菱形三、课后练习1．下列说法正确的是（ ）A ．过一点A 的圆的圆心可以是平面上任意点B ．过两点A 、B 的圆的圆心在一条直线上C ．过三点A 、B 、C 的圆的圆心有且只有一点D ．过四点A 、B 、C 、D 的圆不存在2．已知a 、b 、c 是△ABC 三边长，外接圆的圆心在△ABC 一条边上的是（ ）A ．a=15，b=12，c=1B ．a=5，b=12，c=12C ．a=5，b=12，c=13D ．a=5，b=12，c=14 3．一个三角形的外心在其内部，则这个三角形是（ ）A ．任意三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形4．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6cm ，BC=8cm ，则它的外心与顶点C 的距离为（ ）A ．5cmB ．6cmC ．7cmD ．8cm5．等边三角形的外接圆的半径等于边长的（ ）倍．A ．23B ．33C ．3D ．216．已知圆内一点到圆周上的点的最大距离是7，最小距离是5，则该圆的半径是（ ）A ．2B ．6C ．12D ．77．三角形的外心具有的性质是（ ）A ．到三边距离相等B ．到三个顶点距离相等C ．外心在三角形外D ．外心在三角形内8．对于三角形的外心，下列说法错误的是（ ）A．它到三角形三个顶点的距离相等B．它与三角形三个顶点的连线平分三内角C．它到任一顶点的距离等于这三角形的外接圆半径D．以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点9．下列说法错误的是（）A．过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆B．任意一个圆都有无数个内接三角形C．任意一个三角形都有无数个外接圆D．同一圆的内接三角形的外心都在同一个点上10．在一个圆中任意引两条直径，顺次连接它们的四个端点组成一个四边形，则这个四边形一定是（）A．菱形B．等腰梯形C．矩形D．正方形11．若AB=4cm，则过点A、B且半径为3cm的圆有个．12．直角三角形三个顶点都在以为圆心，以为半径的圆上，直角三角形的外心是．13．若Rt△ABC的斜边是AB，它的外接圆面积是121πcm2，则AB= ．14．△ABC的三边3，2，13，设其三条高的交点为H，外心为O，则OH= ．15．在△ABC中，∠C=90°，AB=6，则其外心与垂心的距离为．16．外心不在三角形的外部，这三角形的形状是．17．锐角△ABC中，当∠A逐渐增大时，其外心向边移动，∠A=90°，外心位置是．18．△ABC的外心是它的两条中线交点，则△ABC的形状为．19．如图是一块破碎的圆形木盖，试确定它的圆心．20．求边长是6cm的等边三角形的外接圆的半径．21．已知线段a、b、c．求作：（1）△ABC，使BC=a，AC=b，AB=c；（2）⊙O使它经过点B、C，且圆心O在AB上．（作⊙O不要求写作法，但要保留作图痕迹）22．已知点P在圆周上的点的最小距离为5cm，最大距离为15cm，求该圆的半径．23．如图，有一个圆形的盖水桶的铁片，部分边沿由于水生锈残缺了一些，很不美观．为了废物利用，将铁片剪去一些使其成为圆形的，应找到圆心，并找到合理的半径，在铁片上画出圆，沿圆剪下即可，问应怎样找到圆心半径？。
确定圆的条件课件苏科版数学九年级上册
点D在直线AB外，过这四个点中的任意三个点，能画
的圆有(
)
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
感悟新知
解题秘方：紧扣两点：(1)在四个点中任取三个点；(2)
去掉三个点共线的情况.
解：在A、B、C、D四个点中取三个点的情况：点A、B、
C；点A、B、D；点B、C、D；点A、C、D. 不在同一
C 作圆
连接AB、BC， 分别
作线段AB、BC 的垂
直平分线DE 和FG，
DE和FG相交于点O，
以点O为圆心，以点O
到点A(或点B 或点C)
的距离为半径作圆
有且只有
一个
图示
感悟新知
特别提醒
判断过不在同一条直线上的任意四点是否在同
一个圆上，应先确定经过不在同一条直线上的三
点的圆，若第四个点到圆心的距离等于半径，则
在Rt△ODC 中，OD＝ －＝ －＝4(cm)，
∴ AD＝5＋4＝9(cm).
∴△ABC的面积为 ×6×9=27(cm2).
感悟新知
如图2.3-3 ②，当圆心O在△ABC外部时，连接AO交BC
于点D，连接OB、OC.
同理，可求出△ ABC的高AD＝5－4=1(cm)，
∴△
第四个点在圆上，否则，第四个点不在圆上.
感悟新知
2. 确定一个圆的条件
(1)已知圆心、半径，可以确定一个圆；
(2)不在同.
3. 易错警示 过点A的圆与以点A为圆心
的圆不同.
感悟新知
例 1 [期中·盐城] 如图2.3-1，点A、B、C在同一条直线上，
ABC的面积为 ×6×1＝3(cm2)．
确定圆的条件 (教学设计) 九年级数学下册(北师大版)
3.5确定圆的条件教学设计（1）线段垂直平分线上的点有怎样的性质？（2）怎样用尺规作一条线段的垂直平分线多媒体出示垂直平分线的画法(3)构成圆的基本要素有哪些?车间工人要将一个如图所示的破损的圆盘复原，确定它的尺寸（圆盘的大小），你有办法吗？思考：那么过几点可以确定一个圆呢？探究2 过两点作圆作圆，使它经过已知点A，B.你是如何作的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？探究3 过三点作圆问题1：经过同一直线上的A，B，C三点能作圆吗？问题2：作圆，使它经过已知点A，B，C(A，B，C 三点不在同一条直线上)．你是如何作的？你能作出几个这样的圆？归纳：不在同一条直线上的三点确定一个圆讨论：如果三个点在同一直线时可以作圆吗？为什么？当A，B，C三点在同一条直线上时，因为到A，B 两点距离相等的点的集合是线段AB的垂直平分线，到B，C两点距离相等的点的集合是线段BC的垂直平分线，两条直线垂直于同一条直线，所以线段AB 的垂直平分线与线段BC的垂直平分线平行，没有交点，故没有一点到A，B，C三点的距离相等，不存在圆心，从而经过同一直线上的三点不能作圆，当A，B，C三点不在同一条直线上时，这两条垂直平分线的交点满足到A，B，C三点的距离相等，就是所作圆的圆心．OA或OB或OC是半径．因为这两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，半径也唯一确定，所以只能作出一个满足条件的圆。
试一试：已知△ABC，用直尺与圆规作出过A、B、C三点的圆.由上可知，三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．这个三角形叫这个圆的内接三角形.外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆，并说明它们外心的位置情况.1.以已知点O为圆心、线段a为半径作圆,可以作( )A.1个圆B.2个圆C.3个圆D.无数个圆2.下列语句正确的是( )A.直径是弦,弦是直径B.相等的圆心角所对的弦相等C.经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴D.三点确定一个圆3.三角形的外心具有的性质是（）A.到三边的距离相等.B.到三个顶点的距离相等.C.外心在三角形的外.D.外心在三角形内.4.如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝20°，则∠C 的度数是________．5.如图，△ABC的高AD、BE相交于点H，延长AD 交△ABC的外接圆于点G，连接BG．求证：HD=GD．。
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