2017-2018年广东省惠州市高二上学期期末数学试卷(理科)与解析

2017-2018学年广东省惠州市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）设命题p：∀x∈R，x2+1＞0，则￢p为（）A．∃x0∈R，x+1＞0 B．∃x0∈R，x+1≤0C．∃x 0∈R，x+1＜0 D．∀x∈R，x2+1≤02．（5分）函数y=（x﹣2）2在x=1处的导数等于（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣43．（5分）已知△ABC的顶点B，C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）A．B．6 C．D．124．（5分）设x∈R，则“x＞1”是“x2+x﹣2＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）某公司10位员工的月工资（单位：元）为x1，x2，…，x10，其均值和方差分别为和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（）A．，s2+1002B．+100，s2+1002C．，s2D．+100，s26．（5分）已知平面α的法向量是（2，3，﹣1），平面β的法向量是（4，λ，﹣2），若α⊥β，则λ的值是（）A．﹣6 B．6 C．﹣D．7．（5分）计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进制即“逢2进1”，如（1000）2表示二进制数，将它转换成十进制形式是1×23+0×21+1×20=9，那么将二进制数转换成十进制形式是（）A．29﹣2 B．210﹣2 C．210﹣1 D．29﹣18．（5分）某校高三年级有1221名同学，现采用系统抽样方法抽取37名同学做问卷调查，将1221名同学按1，2，3，4，…，1221随机编号，则抽取的37名同学中，标号落入区间[496，825]的人数有（）A．12人B．11人C．10人D．9人9．（5分）若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m，n，则点P（m，n）在直线x+y=4上的概率是（）A．B．C．D．10．（5分）如图程序框图中，若输入m=4，n=10，则输出a，i的值分别是（）A．12，4 B．16，5 C．20，5 D．24，611．（5分）某中学早上8点开始上课，若学生小明与小方均在早上7：40至8：00之间到校，且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的，则小明比小方至少早5分钟到校的概率为（）A．B．C．D．12．（5分）将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b（a≠b）同时增加m（m＞0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（）A．对任意的a，b，e1＞e2B．当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2C．对任意的a，b，e1＜e2D．当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）函数f（x）=﹣x3+4x在点（1，f（1））处的切线方程是．14．（5分）如图是根据某赛季甲、乙两名篮球运动员参加11场比赛的得分情况画出的茎叶图．若甲运动员的中位数为a，乙运动员的众数为b，则a﹣b=．15．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M和N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值为．16．（5分）已知抛物线y2=12x的焦点为F，若点A，B是该抛物线上的点，，线段AB的中点M在抛物线的准线上的射影为N，则的最大值为．三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1、2、3、4，现从盒子中随机抽取卡片．（Ⅰ）若一次抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于7的概率；（Ⅱ）若第一次抽1张卡片，放回后再抽取1张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数字3的概率．18．（12分）某种产品的广告支出x（单位：万元）与销售收入y（单位：万元）之间有下列所示的对应数据．（1）求出y与x的回归直线方程；（2）若广告费为9万元，则销售收入约为多少？（参考公式：==，=）19．（12分）为了调查某校学生体质健康达标情况，现采用随机抽样的方法从该校抽取了m名学生进行体育测试．根据体育测试得到了这m名学生各项平均成绩（满分100分），按照以下区间分为七组：[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100），并得到频率分布直方图（如图，已知测试平均成绩在区间[30，60）有20人．（I）求m的值及中位数n；（Ⅱ）若该校学生测试平均成绩小于n，则学校应适当增加体育活动时间．根据以上抽样调查数据，该校是否需要增加体育活动时间？20．（12分）已知直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．（1）若|AF|=4，求点A的坐标；（2）求线段AB的长的最小值．21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．22．（12分）如图，椭圆的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A，B两点．当直线AB经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为60°．（Ⅰ）求该椭圆的离心率；（Ⅱ）设线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点．记△GFD的面积为S1，△OED（O为原点）的面积为S2，求的取值范围．2017-2018学年广东省惠州市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）设命题p：∀x∈R，x2+1＞0，则￢p为（）A．∃x0∈R，x+1＞0 B．∃x0∈R，x+1≤0C．∃x0∈R，x+1＜0 D．∀x∈R，x2+1≤0【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：∀x∈R，x2+1＞0，则￢p为：∃x0∈R，x+1≤0．故选：B．2．（5分）函数y=（x﹣2）2在x=1处的导数等于（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4【解答】解：函数的导数为y′=2x﹣4，∴y′|x=1=﹣2，故选：B．3．（5分）已知△ABC的顶点B，C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）A．B．6 C．D．12【解答】解：由椭圆的定义：椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得△ABC的周长为4a=，故选：C．4．（5分）设x∈R，则“x＞1”是“x2+x﹣2＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由不等式x2+x﹣2＞0，得x＞1或x＜﹣2，所以由x＞1可以得到不等式x2+x﹣2＞0成立，但由x2+x﹣2＞0不一定得到x＞1，所以x＞1是x2+x﹣2＞0的充分不必要条件，故选：A．5．（5分）某公司10位员工的月工资（单位：元）为x 1，x2，…，x10，其均值和方差分别为和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（）A．，s2+1002B．+100，s2+1002C．，s2D．+100，s2【解答】解：由题意知y i=x i+100，则=（x1+x2+…+x10+100×10）=（x1+x2+…+x10）=+100，方差s2=[（x1+100﹣（+100）2+（x2+100﹣（+100）2+…+（x10+100﹣（+100）2]=[（x﹣）2+（x2﹣）2+…+（x10﹣）2]=s2．1故选：D．6．（5分）已知平面α的法向量是（2，3，﹣1），平面β的法向量是（4，λ，﹣2），若α⊥β，则λ的值是（）A．﹣6 B．6 C．﹣D．【解答】解：由题意可知：平面α和β的法向量分别是（2，3，﹣1）和（4，λ，﹣2），由平面α⊥β，可得它们的法向量垂直，故（2，3，﹣1）•（4，λ，﹣2）=8+3λ+2=0，解得λ=，故选：C．7．（5分）计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进制即“逢2进1”，如（1000）2表示二进制数，将它转换成十进制形式是1×23+0×21+1×20=9，那么将二进制数转换成十进制形式是（）A．29﹣2 B．210﹣2 C．210﹣1 D．29﹣1【解答】解：由题意得，二进制数=1×29+1×28+…+1×20==210﹣1．故选：C．8．（5分）某校高三年级有1221名同学，现采用系统抽样方法抽取37名同学做问卷调查，将1221名同学按1，2，3，4，…，1221随机编号，则抽取的37名同学中，标号落入区间[496，825]的人数有（）A．12人B．11人C．10人D．9人【解答】解：使用系统抽样方法，从1221人中抽取37人，即从33人抽取1人．∴从区间[496，825]共330人中抽取10人．故选：C．9．（5分）若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m，n，则点P（m，n）在直线x+y=4上的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：连续抛掷两次骰子出现的结果共有6×6=36，其中每个结果出现的机会都是等可能的，点P（m，n）在直线x+y=4上包含的结果有（1，3），（2，2），（3，1）共三个，所以点P（m，n）在直线x+y=4上的概率是，故选：D．10．（5分）如图程序框图中，若输入m=4，n=10，则输出a，i的值分别是（）A．12，4 B．16，5 C．20，5 D．24，6【解答】解：模拟执行程序，可得m=4，n=10，i=1a=4，不满足条件n整除a，i=2，a=8不满足条件n整除a，i=3，a=12不满足条件n整除a，i=4，a=16不满足条件n整除a，i=5，a=20满足条件n整除a，退出循环，输出a的值为20，i的值为5．故选：C．11．（5分）某中学早上8点开始上课，若学生小明与小方均在早上7：40至8：00之间到校，且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的，则小明比小方至少早5分钟到校的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：设小明到校的时间为x，小方到校的时间为y；（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y）|40≤x≤60，40≤y≤60}是一个矩形区域，对应的面积为S=20×20=400，则小明比小方至少早5分钟到校为事件A={x|y﹣x≥5}；作出符合题意的图象，如图所示；则符合题意的区域为△ABC，联立得C（55，60），由得B（40，45），则S=×15×15，△ABC由几何概率模型可知小明比小方至少早5分钟到校的概率为P==．故选：A．12．（5分）将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b（a≠b）同时增加m（m＞0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（）A．对任意的a，b，e1＞e2B．当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2C．对任意的a，b，e1＜e2D．当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2【解答】解：由题意，双曲线C1：c2=a2+b2，e1=；双曲线C2：c′2=（a+m）2+（b+m）2，e2=，∴=﹣=，∴当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2，故选：B．二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）函数f（x）=﹣x3+4x在点（1，f（1））处的切线方程是y=x+2．【解答】解：函数f（x）=﹣x3+4x，可得f′（x）=﹣3x2+4：，f′（1）=1，f（1）=3，所以切线方程为y﹣3=x﹣1，即y=x+2．故答案为：y=x+2．14．（5分）如图是根据某赛季甲、乙两名篮球运动员参加11场比赛的得分情况画出的茎叶图．若甲运动员的中位数为a，乙运动员的众数为b，则a﹣b=8．【解答】解：由茎叶图可知甲运动员得分从小到大排列为7，8，9，15，17，19，23，24，26，32，41；所以甲的中位数为a=19，乙运动员得分为5，7，8，11，11，13，20，22，30，31，40，所以乙的众数为b=11，所以a﹣b=8．故答案为：8．15．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M和N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值为．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，如图，M（1，，1），N（1，1，），A（1，0，0），C（0，1，0），∴=（0，，1），=（1，0，）．∴cos＜＞===．即直线AM与CN所成角的余弦值为．故答案为：．16．（5分）已知抛物线y2=12x的焦点为F，若点A，B是该抛物线上的点，，线段AB的中点M在抛物线的准线上的射影为N，则的最大值为．【解答】解：设|AF|=a，|BF|=bA、B在准线上的射影点分别为Q、P，连接AQ、BQ，由抛物线定义，得AF|=|AQ|且|BF|=|BP|在梯形ABPQ中根据中位线定理，得2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由勾股定理得|AB|2=a2+b2，配方得|AB|2=（a+b）2﹣2ab，又∵ab≤（）2，∴（a+b）2﹣2ab≥（a+b）2﹣2×（）2=（a+b）2，得到|AB|≥（a+b）．所以≤=，即的最大值为．故答案为：．三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1、2、3、4，现从盒子中随机抽取卡片．（Ⅰ）若一次抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于7的概率；（Ⅱ）若第一次抽1张卡片，放回后再抽取1张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数字3的概率．【解答】解：（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型，设A表示事件“抽取3张卡片上的数字之和大于7”，∵任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果是（1、2、3），（1、2、4），（1、3、4），（2、3、4），其中数字之和大于7的是（1、3、4），（2、3、4），∴．（Ⅱ）设B表示事件“至少一次抽到3”，∵每次抽1张，连续抽取两张全部可能的基本结果有：（1、1）（1、2）（1、3）（1、4）（2、1）（2、2）（2、3）（2、4）（3、1）（3、2）（3、3）（3、4）（4、1）（4、2）（4、3）（4、4），共16个基本结果．事件B包含的基本结果有（1、3）（2、3）（3、1）（3、2）（3、3）（3、4）（4、3），共7个基本结果．∴所求事件的概率为．18．（12分）某种产品的广告支出x（单位：万元）与销售收入y（单位：万元）之间有下列所示的对应数据．（1）求出y与x的回归直线方程；（2）若广告费为9万元，则销售收入约为多少？（参考公式：==，=）【解答】解：（1）=，=，=30，x i y i=418，所以=，=﹣=﹣2，所以=x﹣2．（2）若广告费为9万元，代入方程为=×9﹣2=129.4，即销售收入约为129.4万元．19．（12分）为了调查某校学生体质健康达标情况，现采用随机抽样的方法从该校抽取了m名学生进行体育测试．根据体育测试得到了这m名学生各项平均成绩（满分100分），按照以下区间分为七组：[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100），并得到频率分布直方图（如图，已知测试平均成绩在区间[30，60）有20人．（I）求m的值及中位数n；（Ⅱ）若该校学生测试平均成绩小于n，则学校应适当增加体育活动时间．根据以上抽样调查数据，该校是否需要增加体育活动时间？【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图知，第1组的频率为0.002×10=0.02，第2组的频率为0.002×10=0.02，第3组的频率为0.006×10=0.06，则m×（0.02+0.02+0.06）=20，解得m=200；由直方图可知，中位数n位于[70，80），则0.02+0.02+0.06+0.22+0.04（n﹣70）=0.5，解得n=74.5；…（4分）（Ⅱ）设第i组的频率和频数分别为p i和x i，由图知，p1=0.02，p2=0.02，p3=0.06，p4=0.22，p5=0.40，p6=0.18，p7=0.10，则由x i=200×p i，可得x1=4，x2=4，x3=12，x4=44，x5=80，x6=36，x7=20，…（8分）故该校学生测试平均成绩是==74＜74.5，…（11分）所以学校应该适当增加体育活动时间．…（12分）20．（12分）已知直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．（1）若|AF|=4，求点A的坐标；（2）求线段AB的长的最小值．【解答】解：由y2=4x，得p=2，其准线方程为x=﹣1，焦点F（1，0）．设A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）由抛物线的定义可知，|AF|=x1+，从而x1=3．代入y2=4x，解得y1=±2．∴点A的坐标为（3，2）或（3，﹣2）．（2）斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣1），代入y2=4x整理得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0．再设B（x2，y2），则x1+x2=2+．∴|AB|=x1+x2+2=4+＞4．斜率不存在时，|AB|=4，∴线段AB的长的最小值为4．21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．【解答】（1）证明：法一、如图，取PB中点G，连接AG，NG，∵N为PC的中点，∴NG∥BC，且NG=，又AM=，BC=4，且AD∥BC，∴AM∥BC，且AM=BC，则NG∥AM，且NG=AM，∴四边形AMNG为平行四边形，则NM∥AG，∵AG⊂平面PAB，NM⊄平面PAB，∴MN∥平面PAB；法二、在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，在△ABC中，由已知AB=AC=3，BC=4，得cos∠ACB=，∵AD∥BC，∴cos，则sin∠EAM=，在△EAM中，∵AM=，AE=，由余弦定理得：EM==，∴cos∠AEM=，而在△ABC中，cos∠BAC=，∴cos∠AEM=cos∠BAC，即∠AEM=∠BAC，∴AB∥EM，则EM∥平面PAB．由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AC，又NE⊥AC，∴NE∥PA，则NE∥平面PAB．∵NE∩EM=E，∴平面NEM∥平面PAB，则MN∥平面PAB；（2）解：在△AMC中，由AM=2，AC=3，cos∠MAC=，得CM2=AC2+AM2﹣2AC•AM•cos∠MAC=．∴AM2+MC2=AC2，则AM⊥MC，∵PA⊥底面ABCD，PA⊂平面PAD，∴平面ABCD⊥平面PAD，且平面ABCD∩平面PAD=AD，∴CM⊥平面PAD，则平面PNM⊥平面PAD．在平面PAD内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．在Rt△PAC中，由N是PC的中点，得AN==，在Rt△PAM中，由PA•AM=PM•AF，得AF=，∴sin．∴直线AN与平面PMN所成角的正弦值为．22．（12分）如图，椭圆的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A，B两点．当直线AB经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为60°．（Ⅰ）求该椭圆的离心率；（Ⅱ）设线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点．记△GFD的面积为S1，△OED（O为原点）的面积为S2，求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）依题意，当直线AB经过椭圆的顶点（0，b）时，其倾斜角为60°．设F（﹣c，0），则．将代入a2=b2+c2，得a=2c．所以椭圆的离心率为．（Ⅱ）由（Ⅰ），椭圆的方程可设为，设A（x1，y1），B（x2，y2）．依题意，直线AB不能与x，y轴垂直，故设直线AB的方程为y=k（x+c），将其代入3x2+4y2=12c2，整理得（4k2+3）x2+8ck2x+4k2c2﹣12c2=0．则，，所以．因为GD⊥AB，所以，．因为△GFD∽△OED，所以=．所以的取值范围是（9，+∞）．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在yxo[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。