考研数学三(二重积分)模拟试卷3(题后含答案及解析)
考研数学三（二重积分）模拟试卷3 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 下列结论正确的是 ( )
A．z=f(x，y)在点(x0，y0)的某邻域内两个偏导数存在，则z=f(x，y)在点(x0，y0)处连续
B．z=f(x，y)在点(x0，y0)的某邻域内连续，则z=f(x，y)在点(x0，y0)处两个偏导数存在
C．z=f(x，y)在点(x0，y0)的某邻域内两个偏导数存在且有界，则z=f(x，y)在点(x0，y0)处连续
D．z=f(x，y)在点(x0，y0)的某邻域内连续，则z=f(x，y)在点(x0，y0)该邻域内两个偏导数有界
正确答案：C
解析：二元函数的连续性与偏导数之间没有必然的联系．设在(x0，y0)的某邻域U内，对于任意(x，y)∈U有|fx’(x，y)|≤M，|fy’(x，y)|≤M(M为正常数)． 由微分中值定理， |f(x，y)一f(x0，y0)|≤|f(x，y)一f(x，y0)|+|f(x，y0)一f(x0，y0)| =|fy’(x，y0+θ1△y).△y|+|fx’(x0+θ2△x，y0).△x| ≤M(|△x|+|△y|)． 这里△x=x—x0，△y=y—y0，0＜θ1，θ2＜1．当，有△x→0，△y→0，必有|f(x，y)一f(x0，y0)|≤M(|△x|+|△y|)→0，故f(x，y)在点(x0，y0)处连续． 知识模块：微积分
2． 设f(u)具有二阶连续导数，且g(x，y)==( )
A．
B．
C．
D．
正确答案：A
解析：依题意有 知识模块：微积分
填空题
3． 设存在二元可微函数u(x，y)，满足 du(x，y)=(axy3一y2cos
x)dx+(1+bysin x+3x2y2)dy，则常数a=____，b=_______，函数u(x，y)=_______．
正确答案：2；一2；x2y3一y2sin x+y+C，其中C是任意常数
解析：由题设条件知，=axy2一y2cosx,=1+bysin x+3x2y2，于是有即 3axy2一2ycos x=6xy2+bycos x，所以a=2，b=一2．于是 du(x，y)=(2xy3一y2cos
x)dx+(1-2ysin x+3x2y2)dy =(2xy3dx+3x2y2dy)一(y2cosxdx+2ysin xdy)+dy
=d(x2y3)-d(y2sin x)+dy =d(x2y3一y2sin x+y)，所以u(x，y)=x2y3一y2sin
x+y+C(C是任意常数)． 知识模块：微积分
4． 设F(u，v)对其变元u，v具有二阶连续偏导数，并设
正确答案：
解析： 知识模块：微积分
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
5． 设函数f(x，y)可微，又f(0，0)=0，fx’(0，0)=a，fy’(0，0)=b，且φ(t)=f[t，f(t，t2)]，求φ’(0)．
正确答案：在φ(t)=f[t，f(t，t2)]中令u=t，v=f(t，t2)，则φ(t)=f(u，v)，于是φ’(t)=f1’(u，v). =f1’(u，v).1+f2’(u，v).[f1’(t，t2).1+f2’(t，t2).2t] =f1’[t，f(t，t2)]+f2’[t，f(t，t2)].[f1’(t，t2)+f2’(t，t2).2t]，所以 φ’(0)=f1’(0，0)+f2’(0，0)．[f1’(0，0)+f2’(0，0).2.0] =a+b(a+0)=a(1+b)． 涉及知识点：微积分
6． 设+yφ(x+y)，其中f及φ二阶可微，求
正确答案：令u=xy，v=c+y，则由于f及φ二阶可微，而u=xy，v=x+y均为初等函数，故满足这里先求较为简便一些．由复合函数的求导法则，得 涉及知识点：微积分
7． 设其中函数f，g具有二阶连续偏导数，求
正确答案： 涉及知识点：微积分
8． 设函数z=f(u)，方程u=φ(u)+∫yxP(t)dt确定u是x，y的函数，其中f(u),φ(u)可微，P(t)，φ’(u)连续，且φ’(u)≠1．求
正确答案：由z=f(u),可得在方程u=φ(u)+∫yxP(t)dt两边分别对x，y求偏导数，得 涉及知识点：微积分
9． 设f(x，y)=
正确答案： 涉及知识点：微积分
10． 设函数f(u)在(0，+∞)内具有二阶导数，且(1)验证(2)若f(1)=0，f’(1)=1，求函数f(u)的表达式．
正确答案：(1)(2)求可降阶的二阶线性微分方程的通解和特解．在方程)中，令f’(u)=g(u)，则f”(u)=g’(u)，方程变为这是可分离变量微分方程，解得．由初值条件f’(1)=1得C1=1，所以，，两边积分得f(u)=lnu+C2．由初值条件f(1)=0得C2=0，所以f(u)=lnu． 涉及知识点：微积分
11． 设z=u(x，y)eax+y，．求常数a，使
正确答案：将①，②，③式代入中并整理得所以a=1． 涉及知识点：微积分
12． 求二元函数z=f(x，y)=x2y(4一x—y)在由直线x+y=6，x轴和y轴所围成的闭区域D上的极值、最大值与最小值．
正确答案：由方程组得线段x=0(0≤y≤6)，点(4，0)，(2，1)．而点(4，0)及线段x=0(0≤y≤6)在D的边界上，只有点(2，1)在D内部，可能是极值点．又
fxx”=8y一6xy一2y2，fxy”=8x一3x2-4xy，fyy”=一2x2． 在点(2，1)处，有因为B2一AC=一32＜0，且A＜0，所以点(2，1)是z=f(x，y)的极大值点，极大值f(2，1)=4． 在D的边界x=0(0≤y≤6)及y=0(0≤x≤6)上，f(x，y)=0． 在边界x+y=6上，y=6-x．代入f(x，y)中得z=2x3-12x2(0≤x≤6)． 由z’=6x2一24x=0得x=0或x=4．在边界x+y=6上对应x=0，4，6处z的值分别为：z|x=0=(2x3一12x2)|x=0=0，z|x=4=(2x3一12x2)|x=4=一64，z|x=6=(2x3—12x2)|x=6=0．I 因此知z=f(x，y)在边界上的最大值为0，最小值为f(4，2)=一64．将边界上最大值和最小值与驻点(2，1)处的值比较得，z=f(x，y)在闭区域D上的最大值为f(2，1)=4，最小值为f(4，2)=一64． 涉及知识点：微积分
13． 某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入R万元与电台广告费x1万元及报纸广告费用x2万元之间的关系有如下经验公式： R=15+14x1+32x2—8x1x2—2x12一10x22． (1)在广告费用不限的情况下，求最优广告策略； (2)若提供的广告费用为1．5万元，求相应的最优广告策略．
正确答案：(1)利润函数为z=f(x1，x2)=15+14x1+32x2—8x1x2—2x12一10x22一(x1+x2) =15+13x1+31x2—8x1x2—2x12一10x22．函数z=f(x1，x2)在点(0．75，1．25)处的二阶导数为 由于B2一AC=64—80=一16＜0，A=一4＜0，所以函数z=f(x1，x2)在(0．75，1．25)处达到极大值，也即最大值．所以投入电台广告费0．75万元，报纸广告费1．25万元时，利润最大． (2)若广告费用为1．5万元，则需求利润函数z=f(x1，x2)在x1+x2=1．5时的条件极值． 构造拉格朗日函数 F(x1，x2，λ)=15+13x1+31x2-8x1x2—2x12一10x22+λ(x1+x2—1．5)，由方程组得x1=0，x2=1．5，即将广告费1．5万元全部用于报纸广告，可使利润最大． 涉及知识点：微积分
14． 求f(x，y)=x+xy—x2一y2在闭区域D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤2}上的最大值和最小值．
正确答案：这是闭区域上求最值的问题．由于函数f(x，y)=x+xy一x2-y2在闭区域D上连续，所以一定存在最大值和最小值． 首先求f(x，y)=x+xy一x2一y2在闭区域D内部的极值：解方程组得区域D内部唯一的驻点为由g(x，y)=(fxy”)2一fxx”fyy”=一3，fxx”=一2，得f(x，y)=x+xy—x2一y2在闭区域D内部的极大值再求f(x，y)在闭区域D边界上的最大值与最小值：这是条件极值问题，边界直线方程即为约束条件．在z轴上约束条件为y=0(0≤x≤1)，于是拉格朗日函数为 F(x，y，λ)=x+xy一x2一y2+λy，在下边界的端点(0，0)，(1，0)处f(0，0)=0，f(1，0)=0，所以下边界的最大值为最小值为0． 同理可求出：在上边界上的最大值为一2，最小值为一4；在左边界上的最大值为0，最小值为一4；在右边界上的最大值为，最小值为一2．比较以上各值，可知函数f(x，y)=x+xy一x2一y在2闭区域D上的最大值为最小值为一4． 涉及知识点：微积分
15． 求函数z=x2+y2+2x+y在区域D：x2+y2≤1上的最大值与最小值．
正确答案：由于x2+y2≤1是有界闭区域，z=x2+y2+2x+y在该区域上连续，因此一定能取到最大值与最小值． ②函数在区域内部无偏导数不存在的点． ③再求函数在边界上的最大值点与最小值点，即求z=x2+y2+2x+y满足约束条件x2+y2=1的条件极值点．此时，z=1+2x+y． 用拉格朗日乘数法，作拉格朗日函数L(x，y，λ)=1+2x+y+λ(x2+y2-1)，所有可疑点仅有两个，由于所以z的最小值m= 涉及知识点：微积分
16． 求内接于椭球面的长方体的最大体积．
正确答案：设该内接长方体体积为v，P(x，y，z)(x＞0，y＞0，z＞0)是长方体的一个顶点，且位于椭球面上，由于椭球面关于三个坐标平面对称，所以v=8xyz，x＞0，y＞0，z＞0且满足条件．因此，需要求出v=8xyz在约束条件下的极值．①，②，③分别乘以x，y，z，有得或λ=0(λ=0时，8xyz=0，不合题意，舍去)．把由题意知，内接于椭球面的长方体的体积没有最小值，而存在最大值，因而以点为顶点所作对称于坐标平面的长方体即为所求的体积最大的长方体，体积为 涉及知识点：微积分
17． 在第一象限的椭圆上求一点，使原点到过该点的法线的距离最大．
正确答案：椭圆上任意一点(x，y)处的法线方程为原点到该法线的距离为记f(x，y)=，x＞0，y＞0，约束条件为g(x，y)=，构造拉格朗日函数h(x，y，λ)=f(x，y)+λg(x，y)． 根据条件极值的求解方法，先求根据问题的实际意义，到原点距离最大的法线是存在的，驻点只有一个，所得即所求，故可得出所求的点为
考研数学(数学三)模拟试卷487(题后含答案及解析)
考研数学（数学三）模拟试卷487 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设f(x)＝，则f(x)有( )．
A．两个可去间断点
B．两个无穷间断点
C．一个可去间断点，一个跳跃间断点
D．一个可去间断点，一个无穷间断点
正确答案：C
解析：显然x＝0，x＝1为f(x)的间断点．由f(0＋0)＝f(0－0)＝0，得x＝0为f(x)的可去间断点；由f(1－0)≠f(1＋0)，得x＝1为f(x)的跳跃间断点，应选(C)．
2． 微分方程yf’’－4y＝xe2x＋2sinx的特解形式为( )．
A．(ax2＋bx)e2x+Acosx＋Bsinx
B．(ax2＋bx)e2x＋x(Acosx＋Bsinx)
C．(ax＋b)e2x＋Acosx＋Bsinx
D．(ax＋b)e2x＋x(Acosx＋Bsinx)
正确答案：A
解析：特征方程为λ2－4＝0，特征值为λ1＝﹣2，λ2＝2．微分方程y’’－4y＝xe2x的特解为y1(x)＝x(ax＋b)e2x＝(ax2＋bx)e2x；微分方程y’’－4y＝2sinx的特解为y2(x)＝Acosx＋Bsinx，故方程y’’－4y＝xe2x＋2sinx的特解形式为y1(x)＋y2(x)＝(ax2＋bx)e2x＋Acosx＋Bsinx，应选(A)．
3． ．
A．
B．
C．
D．
正确答案：C
解析：
4． 设f(x)在x0的邻域内三阶连续可导，且f’(x0)＝f’’(x0)＝0，f’’’＞0，则下列结论正确的是( )．
A．x＝x0为f(x)的极大值点
B．x＝x0为f(x)的极小值点
C．(x0，f(x0))为曲线y＝f(x)的拐点
D．(x0，f(x0))不是曲线y＝f(x)的拐点
正确答案：C
解析：由极限的保号性，存在δ>0，当0＜｜x－x0｜＜δ时，，当x∈(x0－δ，x0)时，f’’(x)＜0；当x∈(x0，x0＋δ)时，f’’(x)＞0，则(x0，f(x0))为曲线y＝f(x)的拐点，选(C)．
考研数学(数学三)模拟试卷444(题后含答案及解析)
考研数学（数学三）模拟试卷444 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设f(χ)的导数在χ＝a处连续，又＝－1，则( )．
A．χ＝a是f(χ)的极小值点
B．χ＝a是f(χ)的极大值点
C．(a，f(a))是曲线y＝f(χ)的拐点
D．χ＝a不是f(χ)的极值点，(a，f(a))也不是曲线y＝f(χ)的拐点
正确答案：B
解析：因f(χ)在χ＝a点连续，由＝－1得＝f′(a)＝0，即χ＝a是f(χ)的驻点． 又f〞(a)＝＝－1＜0， 由极值的第二充分条件，知χ＝a为f(χ)的极大值点． 由拐点的判定可得，因f〞(a)＝－1＜0，则(a，f(a))不是曲线y＝f(χ)的拐点． 故应选
B．
2． 已知边际收益函数MR＝－k，其中常数a＞0，b＞0，k＞0，则需求函数Q＝Q(p)的表达式为( )．
A．Q＝－b
B．Q＝－a
C．Q＝－b
D．Q＝－a
正确答案：A
解析：设总收益函数为R＝R(Q)，则R(0)＝0，且边际收益函数为MR＝－k，于是 又因为R(Q)＝PQ，从而P＝，推得Q＝ 故应选A．
3． 设f(χ，y)在(0，0)处连续，且＝2，则f(χ，y)在(0，0)处( )．
A．不存在偏导数
B．存在偏导数但不可微
C．可微且f′χ(0，0)≠0，f′y(0，0)≠0
D．可微且f′χ(0，0)＝0，f′y(0，0)＝0
正确答案：D
解析：由＝2，知[f(χ，y)－1]＝0，即 f(χ，y)＝f(0，0)＝1． 由极限与无穷小的关系，得＝2＋α(χ，y)，其中(χ，y)＝0． 则f(χ，y)－f(0，0)＝2(χ2＋y2)＋α(χ，y)(χ2＋y2)＝0(ρ)(ρ＝→0)，故 f(χ，y)－f(0，0)＝0.△χ＋0.△y＋0(ρ)． 由可微定义知f(χ，y)在(0，0)点可微且f′χ(0，0)＝f′y(0，0)＝0． 故应选
考研数学(数学三)模拟试卷367(题后含答案及解析)
考研数学（数学三）模拟试卷367 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． (ex2－1)sinx＝( )．
A．0
B．1
C．2
D．3
正确答案：B
解析：极限函数为幂指函数，可用换底法求其极限．
2． 设f(x)在(a，b)内可微，且 f(a)＝f(b)＝0，f′(a)＜0，f′(b)＜0，则方程f′(x)＝0在(a，b)内( )．
A．没有实根
B．有且仅有一个实根
C．有且仅有两个不等实根
D．至少有两个不等实根
正确答案：D
解析：利用极限的保号性及f′(a)＜0，f′(b)＜0．先证明存在一点c∈(a，b)，使f(c)＝0．于是f(x)有三个零点，两次使用罗尔定理便得到结论(D)成立．因
利用极限的保号性，在a的右邻域内必存在点x1，使f(x1)＜0，其中a＜x1＜．同理由f′(b)＜0知，必存在一点x2，使f(x2)＞0，其中＜x2＜b．由连续函数的零点定理知，必存在C∈(x1，x2)(a，b)，使f(c)＝0．在闭区间[a，c]，[(c，b]上对f(x)分别使用罗尔定理可知，至少存在一点ξ1∈(a，C)使得f′(ξ1)＝0，至少存在一点ξ2∈(c，b)使f′(ξ2)一0．故方程f′(x)＝0在(a，b)内至少有两个不等实根，仅(D)入选．
3． 设f(x)有二阶连续导数，且(x0，f(x0))为曲线y＝f(x)的拐点，则＝( )
A．0
B．1
C．-1
D．不存在
正确答案：A
解析：因f(x)有二阶连续导数，故可对左边的极限式两次使用洛必达法则，利用题设有f″(x0)＝0，从而所求极限的值即可得到．而点(x0，f(x0))为曲线的拐点，故f″(x0)＝0．仅(A)入选．
4． 设D＝｛(x，y)｜x2＋y2≤R2，R＞0｝，常数λ≠0，则积分 (eλrcosθ－e－λrsinθ)rdr的值( )．
考研数学三(填空题)高频考点模拟试卷3(题后含答案及解析)
考研数学三（填空题）高频考点模拟试卷3 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设A，B是两个随机事件，且P(A)＋P(B)＝0．8，P(A＋B)＝0．6，则＝______．
正确答案：0．4
解析：因为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，且P(A)＋P(B)＝0．8，P(A＋B)＝0．6，所以P(AB)＝0．2．又因为P(B)＝P(B)－P(AB)，P(A)＝P(A)－P(AB)，所以P(B)＋P(A)＝P(A)＋P(B)－2P(AB)＝0．8－0．4＝0．4． 知识模块：概率论与数理统计
2． 二次型f(x1，x2，x3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2。的秩为_________.
正确答案：2 涉及知识点：线性代数
3． 设矩阵A=，则A3的秩为_______
正确答案：1
解析：依矩阵乘法直接计算得 故r(A3)=1． 知识模块：矩阵
4． 设连续函数f(x)满足f(x)＝，则f(x)＝______．
正确答案：2e2x－ex
解析：∫02xdt＝2∫0xf(t)dt，则f(x)＝∫02xfdt＋ex可化为f(x)＝2∫0xf(t)dt＋ex，两边求导数得f’(x)－2f(x)＝ex，解得f(x)＝＝(－e－x＋C)e2x＝Ce2x－ex，因为f(0)＝1，所以f(0)＝C－1＝1，C＝2，于是f(x)＝2e2x－ex． 知识模块：微积分
5． y=xsin2(2x+1)，则y′=____________．
正确答案：则 涉及知识点：一元函数微分学
6． 设f(x，y)在区域D：x2+y2≤t2上连续且f(0，0)=4，则=________．
正确答案：8π
解析： 知识模块：微积分
7．
正确答案： 涉及知识点：不定积分
8． 设A==__________．
正确答案：一76．
解析： 知识模块：线性代数
考研数学(数学三)模拟试卷365(题后含答案及解析)
考研数学（数学三）模拟试卷365 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 把当x→0时的无穷小量α=In(1+x2)一1n(1一x4)，，γ=arctanx-x排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是
A．α，β，γ．
B．γ，α，β．
C．α，γ，β．
D．γ，β，α．
正确答案：C
解析：
2． 设a＜x1＜x2＜x3＜b，y=f(x)在(a，b)内二阶可导且f”(x)＜0(x∈(a，b))，又则下列不等式成立的是
A．k1＞k2＞k3．
B．k1＞k3＞k2．
C．k2＞k1＞k3．
D．k3＞k1＞k2．
正确答案：B
解析：
3． 设δ＞0，f(x)在(一δ，δ)有连续的三阶导数，f’(0)=f”(0)=0且，则下列结论正确的是
A．f(0)是f(x)的极大值．
B．f(0)是f(x)的极小值．
C．(0，f(0))是y=f(x)的拐点．
D．x=0不是f(x)的极值点，(0，f(0))也不是y=f(x)的拐点．
正确答案：C
解析：
4． 在反常积分中收敛的是
A．①，②．
B．①，③．
C．②，④．
D．③，④．
正确答案：B
解析：
5． 设A是3阶矩阵，其特征值为1，一1，一2，则下列矩阵中属于可逆矩阵的是
A．A+E．
B．A—E．
C．A+2E．
D．2A+E．
正确答案：D
解析： 由于，故A可逆A的特征值不为0．由A的特征值为1，一1，一2，可知2A+E的特征值为3，一1，一3．所以2A+E可逆．故选(D)．
6． n维向量组(I)：α1，α2，…，αs和向量组(Ⅱ)：β1，β2，…，βi等价的充分必要条件是
A．秩r(Ⅰ)=r(Ⅱ)且s=t．
B．r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=n．
C．向量组(Ⅰ)的极大无关组与向量组(Ⅱ)的极大无关组等价．
考研数学(数学三)模拟试卷360(题后含答案及解析)
考研数学（数学三）模拟试卷360 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． =
A．1．
B．．
C．．
D．一1．
正确答案：B
解析：
2． 函数f(x)=cosx+xsinx在(一2π，2π)内的零点个数为
A．1个．
B．2个．
C．3个．
D．4个．
正确答案：D
解析：
3． 设f(x)在[0，1]上连续，且f(x)+f(1一x)≠0，则=
A．0．
B．．
C．．
D．1．
正确答案：B
解析：该积分不可能直接计算，需作变量替换得出一个类似的积分，二者合并后消去f(x)． 令1一x=t，x=1一t则
4． 设函数f(r)当r＞0时具有二阶连续导数，令，则当x，y，z与t不全为零时=
A．
B．
C．
D．
正确答案：C
解析：
5． 已知，则代数余子式A21+A22=
A．3．
B．6．
C．9．
D．12．
正确答案：B
解析：
6． 已知α1，α2，α3，α4是3维非零向量，则下列命题中错误的是
A．如果α4不能由α1，α2，α3线性表出，则α1，α2，α3线性相关．
B．如果α1，α2，α3线性相关，α2，α3，α4线性相关，那么α1，α2，α4也线性相关．
C．如果α3不能由α1，α2线性表出，α4不能由α2，α3线性表出，则α1可以由α2，α3，α4线性表出．
D．如果秩r(α1，α1+α2，α2+α3)=r(α4，α1+α4，α2+α4，α3+α4)，则α4可以由α1，α2，α3线性表出．
正确答案：B
解析：例如α1=(1，0，0)T，α2=(0，1，0)T，α3=(0，2，0)T，α4=(0，0，1)T，可知(B)不正确．应选(B)． 关于(A)：如果α1，α2，α3线性无关，又因α1，α2，α3，α4是4个3维向量，它们必线性相关，而知α4必可由α1，α2，α3线性表出． 关于(C)：由已知条件，有 (I)r(α1，α2)≠r(α1，α2，α3)，(Ⅱ)r(α2，α3)≠r(α2，α3，α4)． 若r(α2，α3)=1，则必有r(α1，α2)=r(α1，α2，α3)，与条件(I)矛盾．故必有r(α2，α3)=2．那么由(Ⅱ)知r(α2，α3，α4)=3，从而r(α1，α2，α3，α4)=3．因此α1可以由α2，α3，α4线性表出． 关于(D)：经初等变换有 (α1，α1+α2，α2+α3)→(α1，α2，α2+α3)→(α1，α2，α3)， (α4，α1+α4，α2+α4，α3+α4)→(α4，α1，α2，α3)→(α1，α2，α3，α4)， 从而 r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，α4)． 因而α4可以由α1，α2，α3线性表出．
[考研类试卷]考研数学三(二重积分)模拟试卷3.doc
答案见麦多课文库 [考研类试卷]考研数学三（二重积分）模拟试卷3
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 下列结论正确的是 ( )
（A）z=f(x，y)在点(x0，y0)的某邻域内两个偏导数存在，则z=f(x，y)在点(x0，y0)处连续
（B）z=f(x，y)在点(x0，y0)的某邻域内连续，则z=f(x，y)在点(x0，y0)处两个偏导数存在
（C）z=f(x，y)在点(x0，y0)的某邻域内两个偏导数存在且有界，则z=f(x，y)在点(x0，y0)处连续
（D）z=f(x，y)在点(x0，y0)的某邻域内连续，则z=f(x，y)在点(x0，y0)该邻域内两个偏导数有界
2 设f(u)具有二阶连续导数，且g(x，y)==( )
二、填空题
3 设存在二元可微函数u(x，y)，满足 du(x，y)=(axy3一y2cos x)dx+(1+bysin
x+3x2y2)dy，则常数a=____，b=_______，函数u(x，y)=_______．
4 设F(u，v)对其变元u，v具有二阶连续偏导数，并设
三、解答题 答案见麦多课文库 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
5 设函数f(x，y)可微，又f(0，0)=0，fx'(0，0)=a，fy'(0，0)=b，且φ(t)=f[t，f(t，t2)]，求φ'(0)．
6 设+yφ(x+y)，其中f及φ二阶可微，求
7 设其中函数f，g具有二阶连续偏导数，求
8 设函数z=f(u)，方程u=φ(u)+∫yxP(t)dt确定u是x，y的函数，其中f(u),φ(u)可微，P(t)，φ’(u)连续，且φ’(u)≠1．求
9 设f(x，y)=
10 设函数f(u)在(0，+∞)内具有二阶导数，且(1)验证(2)若f(1)=0，f’(1)=1，求函数f(u)的表达式．
11 设z=u(x，y)eax+y，．求常数a，使
考研数学三(二重积分)模拟试卷3(题后含答案及解析)
考研数学三（二重积分）模拟试卷3 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 下列结论正确的是 ( )
A．z=f(x，y)在点(x0，y0)的某邻域内两个偏导数存在，则z=f(x，y)在点(x0，y0)处连续
B．z=f(x，y)在点(x0，y0)的某邻域内连续，则z=f(x，y)在点(x0，y0)处两个偏导数存在
C．z=f(x，y)在点(x0，y0)的某邻域内两个偏导数存在且有界，则z=f(x，y)在点(x0，y0)处连续
D．z=f(x，y)在点(x0，y0)的某邻域内连续，则z=f(x，y)在点(x0，y0)该邻域内两个偏导数有界
正确答案：C
解析：二元函数的连续性与偏导数之间没有必然的联系．设在(x0，y0)的某邻域U内，对于任意(x，y)∈U有|fx’(x，y)|≤M，|fy’(x，y)|≤M(M为正常数)． 由微分中值定理， |f(x，y)一f(x0，y0)|≤|f(x，y)一f(x，y0)|+|f(x，y0)一f(x0，y0)| =|fy’(x，y0+θ1△y).△y|+|fx’(x0+θ2△x，y0).△x| ≤M(|△x|+|△y|)． 这里△x=x—x0，△y=y—y0，0＜θ1，θ2＜1．当，有△x→0，△y→0，必有|f(x，y)一f(x0，y0)|≤M(|△x|+|△y|)→0，故f(x，y)在点(x0，y0)处连续． 知识模块：微积分
2． 设f(u)具有二阶连续导数，且g(x，y)==( )
A．
B．
C．
D．
正确答案：A
解析：依题意有 知识模块：微积分
填空题
3． 设存在二元可微函数u(x，y)，满足 du(x，y)=(axy3一y2cos
x)dx+(1+bysin x+3x2y2)dy，则常数a=____，b=_______，函数u(x，y)=_______．
考研数学三分类模拟题2019年(36)_真题(含答案与解析)-交互
考研数学三分类模拟题2019年(36)
(总分100, 做题时间90分钟)
解答题
更换下列积分次序：
SSS_TEXT_QUSTI
1.
分值: 1
[解] 由积分的上下限知
由D1，D2作出D的图形，如图所示．于是
SSS_TEXT_QUSTI
2.
分值: 1
[解] 分别写出右边两个积分所确定的不等式组．
由D1，D2作出D的图形如图所示，于是
SSS_TEXT_QUSTI
3.
分值: 1
[解]
由作出其图形，如图所示．将积分域D分成D1，D2及D3三部分．
SSS_TEXT_QUSTI
4.
分值: 1
[解] 写出确定D的不等式组，并作出其图形，如图所示．
5.
更换下列积分次序：
(1)
(2)
SSS_TEXT_QUSTI
分值: 4
[解] 极坐标系中的二重积分，若先对θ后对ρ进行积分，则应注意如下两点：
(1)积分域D的边界曲线均用极坐标表示；
(2)若以原点O为圆心的一系列同心圆与域D的边界曲线中的不同曲线相交，则应在交点处把ρ的区间分开处理．
(1)作图，如图所示．
(2)作图，见图．
计算下列二重积分：
SSS_TEXT_QUSTI
6.
D是以(0，0)，(1，1)，(0，1)为顶点的三角形(如图所示)；
分值: 1.5
[解] 因为∫e-y2dy不能用有限形式表示出其结果．所以它不能先积分，故
SSS_TEXT_QUSTI
7.
D是由直线y=x及抛物线y=x2所围成的区域(如图所示)．
分值: 1.5
[解] 因为不能用有限形式表示出其结果，所以它不能先积分，故
8.
计算
SSS_TEXT_QUSTI
分值: 4
[解] 因为不能用有限形式表示出其结果，所以不能先计算，为了改变积分次序先要写出右边两积分的积分域所对应的不等式组．(D1，D2所表示的区域如图所示)
考研数学(数学三)模拟试卷369(题后含答案及解析)
考研数学（数学三）模拟试卷369 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设f(x)是(一∞，＋∞)内以T为周期的连续奇函数，则下列函数中不是周期函数的是( )．
A．f(t)dt
B．f(t)dt
C．f(t)dt
D．tf(t)dt
正确答案：D
解析：因f(x)是周期为T的连续周期奇函数，则其原函数也是周期函数．据此，可知(A)、(B)、(C)中的函数都是周期函数．但(D)中变项积分不是f(x)的原函数，因而不是周期函数．解一 (D)中函数不是周期函数．事实上，令φ(x)＝tf(t)dt，则故(D)中函数不是周期函数．解二 下证(A)、(B)、(C)中函数均是周期函数．对于(A)，令g(x)＝f(t)dt，则 对于(B)，令h(x)＝f(t)dt，则 故 h(x)＝h(x＋T)．同法可证均是周期为T的周期函数，故其差也是周期为T的周期函数．仅(D)入选．
2． 若直线y＝x与对数曲线y＝logax相切，则a＝( )．
A．e
B．1／e
C．ee
D．ee－1
正确答案：D
解析：两曲线相切即两曲线相交且相切，而两曲线相切就是在切点导数值相等，相交就是在交点(切点)其函数值相等．据此可建立两个方程求解未知参数．由y′＝1＝(logax)＝该点也在曲线 y＝logax上，于是有 故＝lna，所以a＝ee－1．仅(D)入选．
3． 设f(x)g(x)在点x＝0的某邻域内连续，且f(x)具有一阶连续导数，满足＝0，f′(x)＝一2x2＋g(x一t)dt，则( )．
A．x＝0为f(x)的极小值点
B．x＝0为f(x)的极大值点
C．(0，f(0))为曲线y＝f(x)的拐点
D．x＝0不是f(x)的极值点，(0，f(0))也不是曲线y＝f(x)的拐点