考研数学三(微积分)模拟试卷200(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）模拟试卷200(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设当x→0时，有ax3+bx2+cx～∫0ln(1+2x)sint dt，则( )．A．a=b=1，c=0B．a=b=1，c=0C．a=b=－1，c=0D．a为任意常数，b=2，c=0正确答案：D解析：因为ax3+bx2+cx～∫0ln(1+2x)sintdt，所以显然c=0，再由得a为任意常数，b=2，选D．知识模块：函数、极限、连续2．设f(x)连续可导，g(x)在x=0的邻域内连续，且g(0)=1，f’(x)=－sin2x+∫0xg(x—t)dt，则( )．A．x=0为f(x)的极大值点B．x=0为f(x)的极小值点C．(0，f(0))为y=f(x)的拐点D．x=0非极值点，(0，f(0))非y=f(x)的拐点正确答案：A解析：由∫0xg(x－t)dt∫0xg(u)du得f’(x)=－sin2x+∫0xg(u)du，f’(0)=0，因为所以x=0为f(x)的极大值点，选A．知识模块：一元函数微分学3．设f(x)在x=0的邻域内连续可导，g(x)在x=0的邻域内连续，且又f’(x)=－2x2+∫0xg(x－t)dt，则( )．A．x=0是f(x)的极大值点B．x=0是f(x)的极小值点C．(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点D．x=0不是f(x)的极值点，(0，f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点正确答案：C解析：由得g(0)=g’(0)=0，f’(0)=0，f’(x)=－2x2+∫0xg(x－t)dt=－2x2－∫0xg(x －t)d(z－t)=－2x2+∫0xg(u)du，f’’(x)=－4x+g(x)，f’’(0)=0，f’’(x)=－4+g’(x)，f’’(0)=－4＜0，因为所以存在δ＞0，当0＜｜x｜＜δ时，从而当x∈(－δ，0)时，f’’(x)＞0，当x∈(0，δ)时，f’’(x)＜0，选C．知识模块：一元函数微分学4．设函数f(x)连续，下列变上限积分函数中，必为偶函数的是( )．A．∫0xt[f(t)－f(－t)]dtB．∫0xt[f(t)+f(－t)]dtC．∫0xf(tx)dtD．∫0xf2(t)dt正确答案：B解析：因为t[f(t)－f(－t)]为偶函数，所以∫0x[f(t)－f(－t)]dt为奇函数，A不对；因为f(t2)为偶函数，所以∫0xf(t2)dt为奇函数，C不对；因为不确定f2(t)的奇偶性，所以D不对；令F(x)=∫0xt[f(t)+f(－t)]dt，F(－x)=∫0－xt[f(t)+f(－t)]dt=∫0x(－u)[f(u)+f(－u)](－du)=F(x)，选B．知识模块：一元函数积分学填空题5．=______．正确答案：解析：因为eln2(1+x)－1～ln2(1+x)～x2，知识模块：函数、极限、连续6．若f(x)=2nx(1一x)n，记=______．正确答案：解析：由f’(x)=2n(1－x)n－2n2x(1－x)n－1=0得知识模块：一元函数微分学7．______．正确答案：解析：知识模块：一元函数积分学8．设f(x)满足等式xf’(x)－f(x)=且f(1)=4，则∫01f(x)dx=______．正确答案：解析：知识模块：一元函数积分学9．微分方程y’－xe－y+=0的通解为______．正确答案：解析：由令z=ey，则所以原方程的通解为知识模块：常微分方程与差分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
10．设其中f(x)连续，求正确答案：由涉及知识点：函数、极限、连续11．设f(x)在[a，+∞)上连续，f(a)＜0，而存在且大于零．证明：f(x)在(a，+∞)内至少有一个零点．正确答案：令所以存在X0＞0，当x≥X0时，有特别地，f(X0)＞0，因为f(x)在[a，X0]上连续，且f(a)f(X0)＜0，所以存在ξ∈(a，X0)，使得f(ξ)=0．涉及知识点：函数、极限、连续12．设求n，c的值．正确答案：由涉及知识点：函数、极限、连续13．设且f’’(0)存在，求a，b，c．正确答案：因为f(x)在x=0处连续，所以c=0，即由f(x)在x0处可导，得b=1，即由f’‘ (0)存在，得b=1，c=0．涉及知识点：一元函数微分学14．f(x)在[－1，1]上三阶连续可导，且f(－1)=0，f(1)=1，f’(0)=0．证明：存在ξ∈(－1，1)，使得f’’(ξ)=3．正确答案：由泰勒公式得f(－1)=f(0)+f’(0)(－1－0)+(－1－0)3，ξ1∈(－1，0)，f(1)=f(0)+f’(0)(1－0)+(1－0)3，ξ2∈(0，1)，即两式相减得f’’(ξ1)+f’’(ξ2)=6．因为f(x)在[－1，1]上三阶连续可导，所以f’’(x)在[ξ1，ξ2]上连续，由连续函数最值定理，f’’(x)在[ξ1，ξ2]上取到最小值m和最大值M，故2m≤f’’’(ξ1)+f’’’(ξ1)≤2M，即m≤3≤M．由闭区间上连续函数介值定理，存在ξ∈[ξ1，ξ2](－1，1)，使得f’’’(ξ)=3．涉及知识点：一元函数微分学设f(x)在[－a，a](a＞0)上有四阶连续的导数，存在．15．写出f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式；正确答案：由存在，得f(0)=0，f’(0)=0，f’’(0)=0，则f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式为其中ξ介于0与x之间．涉及知识点：一元函数微分学16．证明：存在ξ1，ξ2∈[－a，a]，使得正确答案：上式两边积分得∫－aaf(x)dx=∫－aaf(4)(ξ)x4dx因为f(4)(x)在[－a，a]上为连续函数，所以f(4)(x)在[－a，a]上取到最大值M和最小值m，于是有mx4≤f(4)(ξ)x4≤Mx4，两边在[－a，a]上积分得根据介值定理，存在ξ1∈[－a，a]，使得f(4)(ξ1)=∫－aaf(x)dx，或a5f(4)(ξ1)=60∫－aaf(x)dx．再由积分中值定理，存在ξ2∈[－a，a]，使得a5f(4)(ξ1)=60∫－aaf(x)dx=120af(ξ2)，即pa4f(4)(ξ1)=120f(ξ2)．涉及知识点：一元函数微分学17．设f(x)在[0，+∞)内可导且f(0)=1，f’(x)＜f(x)(x＞0)．证明：f(x)＜ex(x ＞0)．正确答案：令φ(x)=e－xf(x)，则φ(x)在[0，+∞)内可导，又φ(0)=1，φ’(x)=e －x[f’(x)－f(x)]＜0(x＞0)，所以当x＞0时，φ(x)＜φ(0)=1，所以有f(x)＜ex(x ＞0)．涉及知识点：一元函数微分学18．设k为常数，方程在(0，+∞)内恰有一根，求k的取值范围．正确答案：令x∈(0，+∞)(1)若k＞0，由所以原方程在(0，+∞)内恰有一个实根；(2)若k=0，所以原方程也恰有一个实根；(3)若k＜0，涉及知识点：一元函数微分学19．f(x)在[0，1]上连续，f(0)=0，∫01f(x)dx=0．证明：存在ξ∈(0，1)，使得∫0ξf(x)dx=ξf(ξ)．正确答案：令，因为f(x)在[0，1]上连续，所以φ(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，又φ(0)=0，φ(1)=∫01f(x)dx=0，由罗尔定理，存在ξ∈(0，1)，使得φ’(ξ)=0，而所以∫0ξf(x)dx=ξf(ξ)．涉及知识点：一元函数积分学20．设f(x)在[a，b]上连续可导，且f(a)=0．证明：∫abf(x)2dx≤∫ab[f’(x)]2dx．正确答案：由f(a)=0，得f(x)－f(x)=f(x)=∫acf’(t)dt，由柯西不等式得f2(x)=(∫axf’(t)dt)2≤∫ax12dt∫axf’2(t)dt≤(x－a)∫abf’2(x)dx积分得∫abf2(x)dx≤∫ab(x－a)dx.∫abf’2(x)dx=∫abf’2(x)dx．涉及知识点：一元函数积分学21．证明：其中a＞0为常数．正确答案：因为涉及知识点：一元函数积分学22．设z=z(x，y)满足正确答案：由涉及知识点：多元函数微分学23．计算正确答案：涉及知识点：重积分24．设f(x)在[a，b]上连续，证明：∫abf(x)dx∫xbf(y)dy=[∫abf(x)dx]2．正确答案：令F(x)=∫axf(t)dt，则∫abf(x)dx∫xbf(y)dy=∫abf(x)[F(b)－F(x)]dx=F(b)∫abf(x)dx－∫abf(x)F(x)dx=F2(b)－∫abF(x)dF(x) 涉及知识点：重积分25．讨论级数的敛散性．正确答案：令收敛，由正项级数的比较审敛法得收敛．涉及知识点：级数26．设{un)，{cn)为正项数列，证明：(1)若对一切正整数n满足cnun－cn+1un+1≤0，且也发散；(2)若对一切正整数n满足也收敛．正确答案：显然为正项级数．(1)因为对所有n满足cnun－cn+1un+1≤0，于是cnun≤cn+1n+1=>cnun≥…≥c11n＞0，从而也发散．(2)因为对所有n满足则cnun－cn+1un+1≥aun+1，即cnun≥(cn+1+a)un+1，所以于是因为也收敛．涉及知识点：级数设函数f0(x)在(－∞，+∞)内连续，fn(x)=∫0xfn－1(t)dt(n=1，2，…)．27．证明：fn(x)=∫0xf0(t)(x－t)n－1dt(n=1，2，…)；正确答案：n=1时，f1(x)=∫0xf0(t)dt，等式成立；设n=k时fk(x)=∫0xf0(t)(x －t)k－1dt，则n=k+1时，由归纳法得fn(x)=∫0xf0(t)(x－t)n－1dt(n=1，2，…)．涉及知识点：级数28．证明：绝对收敛．正确答案：对任意的x∈(－∞，+∞)，f0(t)在[0，x]或[x，0]上连续，于是存在M＞0(M与x有关)，使得｜f0(t)｜≤M(t∈[0，x]或t∈[x，0])，于是因为绝对收敛．涉及知识点：级数29．设f(x)为偶函数，且满足f’(x)+2f(x)－3∫0xf(t－x)dt=－3x+2，求f(x)．正确答案：∫0xf(t－x)dt=－∫0x(t－x)d(x－t)=－∫x0f(－u)du=∫0xf(u)du，则有f’(x)+2f(x)－3∫0xf(u)du=－3x+2，因为f(x)为偶函数，所以f’(x)是奇函数，于是f’(0)=0，代入上式得f(0)=1．将f’(x)+2f(x)－3∫0xf(u)du=－3x+2两边对x 求导数得f’’(x)+2f’(x)－3f(x)=－3，其通解为f(c)=C1ex+C2e－3x+1，将初始条件代入得f(x)=1．涉及知识点：常微分方程与差分方程30．位于上半平面的上凹曲线y=y(x)过点(0，2)，在该点处的切线水平，曲线上任一点(x，y)处的曲率与及1+y’2之积成反比，比例系数为求y=y(x)．正确答案：根据题意得令y’=p，则有因为p(2)=0，所以C1=0，故y’=p=进一步解得因为y(0)=2，所以C2=0，故曲线方程为涉及知识点：常微分方程与差分方程31．质量为1g的质点受外力作用作直线运动，外力和时间成正比，和质点的运动速度成反比，在t=10 s时，速度等于50 cm／s．外力为39．2cm／s2，问运动开始1 min后的速度是多少?正确答案：由题意得因为当t=10时，v=50，F=39．2，所以k=196，从而分离变量得vdv=196tdt，所以由v｜t=10=50，得C=－8 550，于是涉及知识点：常微分方程与差分方程。
考研数学三(微积分)模拟试卷2(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）模拟试卷2(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．二次型f(x1，x2，x3)=2x12+x22-4x32-4x1x2-2x2x3的标准形是( )．A．2y12-y22-3y32B．-2y12-y22-3y32C．2y12+y22D．2y12+y22+3y32正确答案：A 涉及知识点：微积分2．设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是( )．A．α1+α2，α2+α3，α3+α1B．α1，α1+α2，α1+α2+α3C．α1-α2，α2-α3，α3-α1D．α1+α2，2α2+α3，3α3+α1正确答案：C 涉及知识点：微积分3．某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p(0<p<1)，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为( )．A．3p(1-p)B．6p(1-p)2C．3p2(1-p)2D．6p2(1-p)2正确答案：C解析：第4次射击恰好第2次命中目标意味着第4次一定命中目标且前三次中恰好有一次命中目标，故该事件的概率为C32(1-p)2×p=3p2(1-p)2，显然只有(C)是正确的．知识模块：微积分4．二次型f(x1，x2，x3)=2x1x2+2x1x3+2x2x3的规范形为( )．A．2y12+y22+y32B．y12-y22-y32C．2y12-y22-y32D．y12+y22+y32正确答案：B 涉及知识点：微积分5．设矩阵Am×n的秩为r(A)=m＜n，Em为m阶单位矩阵，下列结论中正确的是( )．A．A的任意m个列向量必线性无关B．A的任意一个m阶子式不等于零C．若矩阵B满足BA=0，则B=0D．A通过初等行变换必可化为(Em，0)的形式正确答案：C 涉及知识点：微积分6．将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A1={掷第一次出现正面}，A2={掷第二次出现正面}，A3={正、反面各出现一次}，A4{正面出现两次}，则事件( )．A．A1，A2，A3相互独立B．A2，A3，A4相互独立C．A1，A2，A3两两独立D．A2，A3，A4两两独立正确答案：C 涉及知识点：微积分7．二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x12-4x2x3的正惯性指数为( )．A．0B．1C．2D．3正确答案：C 涉及知识点：微积分8．设向量组(Ⅰ)：α1=(α11，α21，α31)T，α2=(α12，α22，α32)T，α3=(α12，α23，α33)T，向量组(Ⅱ)：β1=(α11，α21，α31,α41)T，β2=(α12，α22，α32,α42)T，β3=(α12，α23，α33,α43)T，则( )．A．若(Ⅰ)相关，则(Ⅱ)相关B．若(Ⅰ)无关，则(Ⅱ)无关C．若(Ⅱ)无关，则(Ⅰ)无关D．(Ⅰ)无关当且仅当(Ⅱ)无关正确答案：B 涉及知识点：微积分填空题9．二次型f(x1，x2，x3)=(x1+ax2-2x3)2+(2x2+3x3)2+(x1+3x2+ax3)2正定的充分必要条件为________．正确答案：a≠1 涉及知识点：微积分10．已知向量组α1=(1，2，3，4)，α2=(2，3，4，5)，α3=(3，4，5，6)，α4=(4，5，6，t)，且r(α1，α2，α3，α4)=2，则t=________．正确答案：7 涉及知识点：微积分11．若n个人站成一行，其中有A、B两人，问夹在A、B之间恰有r个人的概率是多少?如果n个人围成一个圆圈，求从A到B的顺时针方向，A、B之间恰有r个人的概率．正确答案：n个人随意排序共有n!种排法，即样本空间的样本点总数为n!，A、B两人中间恰有r个人，这两人中间相隔r个位置，组成一组共有(n-r-1)种排法，A、B两人的位置有2!种排法；其他的人在剩下的n-2个人随意排序，有(n-2)!种排法；于是“夹在A、B之间恰有r个人”的排法有(n-r-1).2!.(n-2)!，故P(夹在A、B之间恰有r个人)=(n-r-1).2!(n-2)!/n!=2(n-r-1)/n(n-1)；如果围成一个圆圈，则n个人的相对位置有(n-1)!种排法，从A到B的顺时针方向有r个人的排法有(n-2)!，故P(A、B顺时针排，中间有r个人)=(n-2)!/(n-1)!=1/(n-1)．涉及知识点：微积分12．连续投掷一枚均匀硬币10次，求其中有3次是正面的概率．正确答案：P(10次有3次是正面)=C103/210．涉及知识点：微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(微积分)模拟试卷202(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）模拟试卷202(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设f(x)=∫0xdt∫0ttln(1+u2)du，g(x)=∫0sinx2(1－cost)dt，则当x→0时，f(x)是g(x)的( )．A．低阶无穷小B．高阶无穷小C．等价无穷小D．同阶但非等价的无穷小正确答案：A解析：得m=6且g(x)～x6，故x→0时，f(x)是g(x)的低阶无穷小，选A．知识模块：函数、极限、连续2．f(x)g(x)在x0处可导，则下列说法正确的是( )．A．f(x)，g(x)在x0处都可导B．f(x)在x0处可导，g(x)在x0处不可导C．f(x)在x0处不可导，g(x)在x0处可导D．f(x)，g(x)在x0处都可能不可导正确答案：D解析：令显然f(x)，g(x)在每点都不连续，当然也不可导，但f(x)g(x)≡－1在任何一点都可导，选D．知识模块：一元函数微分学3．设函数f(x)满足关系f’’(x)+f’2(x)=x，且f’(0)=0，则( )．A．f(0)是f(x)的极小值B．f(0)是f(x)的极大值C．(0，f(0))是y=f(x)的拐点D．(0，f(0))不是y=f(x)的拐点正确答案：C解析：由f’(0)=0得f’’(0)=0，f’’(x)=1－2f’(x)f’’(x)，f’(0)=1＞0，由极限保号性，存在δ＞0，当0＜｜x｜＜δ时，f’’’(x)＞0，再由f’’(0)=0，得故(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点，选C．知识模块：一元函数微分学填空题4．设f’(x)连续，x(0)=0，f’(0)=1，则=______．正确答案：0解析：∫0xlncos(x－t)dt=－∫0xlncos(x－t)d(x－t)=一∫x0lncosudu=∫0xlncosudu，知识模块：函数、极限、连续5．设y=y(x)由yexy+xcosx－1=0确定，求dy｜x=0=______．正确答案：－2dx解析：当x=0时，y=1，将yexy+xcosx－1=0两边对x求导得将x=0，y=1代入上式得故dy｜x=0=－2dx．知识模块：一元函数微分学6．______．正确答案：解析：知识模块：一元函数积分学7．设则a=______．正确答案：ln2解析：故a=ln2．知识模块：一元函数积分学8．微分方程的通解为______．正确答案：lnx+C解析：知识模块：常微分方程与差分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(微积分)历年真题试卷汇编21(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编21(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(1989年)设f(x)=2x+3x一2，则当x→0时( )A．f(x)是x等价无穷小．B．f(x)与x是同阶但非等价无穷小．C．f(x)是比x更高阶的无穷小．D．f(x)是比x较低阶的无穷小．正确答案：B解析：由于=ln2+ln3=1n6则应选B．2．(2010年)设f(x)=ln10x，g(x)=x，，则当x充分大时有( )A．g(x)＜h(x)＜f(x)．B．h(x)＜g(x)＜f(x)．C．f(x)＜g(x)＜h(x)．D．g(x)＜f(x)＜h(x)．正确答案：C解析：由于则当x充分大时h(x)＞g(x)．又则当x充分大时，g(x)＞f(x)，故应选C．3．(1998年)设周期函数f(x)在(一∞，+∞)内可导，周期为4，又，则曲线y=f(x)在点(5，f(5))处的切线斜率为( )A．B．0C．一1D．一2正确答案：D解析：由题设f(x)在(一∞，+∞)内可导，且f(x)=f(x+4)，两边对x求导，则f’(x)=f’(x+4)，故f’(5)=f’(1)．由于则f’(1)=一2，故y=f(x)在点(5，f(5))处的切线斜率为f’(5)=一24．(2007年)曲线渐近线的条数为( )A．0．B．1．C．2．D．3．正确答案：D解析：由于则x=0为原曲线的一条垂直渐近线．而则y=0为原曲线的一条水平渐近线．则y=x为原曲线的一条斜渐近线，由此可知原曲线共有三条渐近线．所以．本题应选D．5．(2011年)设则I，J，K的大小关系为( )A．I＜J＜K．B．I＜K＜J．C．J＜I＜K．D．K＜J＜I．正确答案：B解析：当，sinx＜cosx＜1＜cotx，而lnx为单调增的函数，则lnsinx＜lncosx ＜lncotx 故应选B．6．(2005年)设其中D={(x，y)}x2+y2≤1}，则( )A．I3＞I2＞I1B．I1＞I2＞I3C．I2＞I1＞I3D．I3＞I1＞I2正确答案：A解析：由于当cosx是减函数，而当0≤x2+y2≤1时，≥x2+y2≥(x2+y2)，即I1≤I2≤I37．(2015年)下列级数中发散的是( )A．B．C．D．正确答案：C解析：由交错级数的莱布尼兹准则知，级数发散，故级数发散．选C．填空题8．(2006年)=_______．正确答案：应填1．解析：9．(1989年)曲线y=x+sin2x在点处的切线方程是______．正确答案：应填y=x+1．解析：y’=1+2sinxcosx，该曲线在点处的切线方程是即y=x+110．(2003年)设其导函数在x=0处连续，则λ的取值范围是=______．正确答案：应填λ＞2．解析：当x≠0时当x=0时由上式可知，当λ＞1时，f(0)存在，且f’(0)=0又由上式可知，当λ＞2时，即导函数在x=0处连续．11．(2018年)曲线y=x2+2lnx在其拐点处的切线方程是______．正确答案：应填y=4x一3．解析：令y’’=0得x=±l，x=一1(舍去)，拐点为(1，1)，又f’(1)=2+2=4则拐点处的切方程是为y—1=4(x一1)即y=4x一312．(2008年)设=______．正确答案：应填解析：13．(1995年)设f(u)可导，则xzx’+yzy’=______．正确答案：应填2z．解析：14．(2013年)设函数z=z(x，y)由方程(z+y)z=xy确定，则=______．正确答案：应填2—21n2．解析：方程(x+y)x=xy两端取对数得xln(x+y)=lnx+lny 上式两端对x求偏导得将x=1，y=2代入上式，并注意z=0，得15．(2018年)差分方程△yx一yx=5的通解为______．正确答案：应填yx=C2x一5．解析：△2yx=△x+1一△yx (yx+2一yx+1)一(yx+1一yx) =yx+2—2yx+1+yx代入△2yx一yx=5得yx+2—2yx+1=5，即yx+1—2yx=5齐次差分方程yx+1一2yx=0的通解为yx=C.2x而yx+1—2yx=5的特解为yx*=一5故原方程的通解为yx=C2x一5解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(微积分)模拟试卷10(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）模拟试卷10(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．已知y=x/lnx是微分方程y’=y/x+φ(x/y)的解，则φ(x/y)的表达式为A．-y2/x2B．y2/x2C．-x2/y2D．x2/y2正确答案：A 涉及知识点：微积分2．设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y.+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数λ，μ使λy1+μy2是该方程的解，λy1-μy2是该方程对应的齐次方程的解，则A．λ=1/2,μ=1/2B．λ=-1/2,μ=-1/2C．λ=2/3,μ=1/3D．λ=2/3,μ=2/3正确答案：A 涉及知识点：微积分3．若f(x)不变号，且曲线y=f(x)在点(1，1)处的曲率圆为x2+y2=2，则函数f(x)在区间(1，2)内A．有极值点，无零点．B．无极值点，有零点．C．有极值点，有零点．D．无极值点，无零点．正确答案：B 涉及知识点：微积分4．设u=e-x sinx/y,则э2 u/эxэy 在点（2,1/π）处的值________。
正确答案：π2/э2 涉及知识点：微积分5．设an＞0(n=l，2，…)，Sn=a1+a2+…+an，则数列{Sn}有界是数列{an}收敛的A．充分必要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既非充分也非必要条件正确答案：B解析：解决数列极限问题的基本方法是：求数列极限转化为求函数极限;利用适当放大缩小法(夹逼定理);利用定积分定义求某些和式的极限. 知识模块：微积分6．“对任意给定的ε∈(0，1)，总存在正整数N，当n>N时，恒有｜xn-a｜≤2ε”是数列{xn}收敛于a的A．充分条件但非必要条件B．必要条件但非充分条件C．充分必要条件D．既非充分条件又非必要条件正确答案：C解析：函数与极限的几个基本性质：有界与无界，无穷小与无穷大，有极限与无极限(数列的收敛与发散)，以及它们之间的关系，例如，有极限→(局部)有界，无穷大→无界，还有极限的不等式性质及极限的运算性质等．知识模块：微积分7．设函数f(x)在(-∞，+∞)内单调有界，{xn}为数列，下列命题正确的是A．若{xn}收敛，则{f(xn)}收敛B．若{xn}单调，则{f(xn)}收敛C．若{f(xn)}收敛，则{xn}收敛D．若{f(xn)}单调，则{xn}收敛正确答案：B 涉及知识点：微积分8．函数f(x)=[丨x丨sin(x-2)]/[x(x-1)(x-2)2]存下列哪个区间内有界．A．(-1，0)B．(1，0)C．(1，2)D．（2,3）正确答案：A 涉及知识点：微积分9．设f(x)=ln10x，g(x)=x，h(x)=ex/10，则当x充分大时有A．g(x)<h(x)<f(x)．B．f(x)<g(x)<h(x)．C．h(x)<g(x)<f(x)D．g(x)<f(x)<h(x)．正确答案：C 涉及知识点：微积分10．设函数f(x)任(-∞，+∞)内单调有界，{xn}为数列，下列命题正确的是A．若{xn}收敛，则{f（xn）}收敛．B．若{xn}单调，则{f（xn）}收敛．C．若{f(xn)}收敛，则{xn}收敛.D．符{f(xn)}单调，则{xn}收敛．正确答案：B 涉及知识点：微积分11．设可微函数f(x，y)在点(xo，yo)取得极小值，则下列结论正确的是A．f(xo，y)在y=yo处的导数等于零．B．f(xo，y)存y=yo处的导数大于零．C．f(xo，y)在y=yo处的导数小于零．D．f(xo，y)在y=yo处的导数不存在．正确答案：D 涉及知识点：微积分12．设非齐次线性微分方程y’+P(x)y=Q(x)有两个不同的解y1(x)，y2(x)，C 为任意常数，则该方程的通解是A．C[y1(x)-y2(x)]．B．y1(x)+C[y1(x)-y2(x)]．C．C[y1(x)+y2(x)]．D．y1(x)+C[y1(x)+y2(x)]．正确答案：B 涉及知识点：微积分13．y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数λ，μ使λy1+y2是该方程的解，λy1-μy2是该方程对应的齐次方程的解，则A．λ=1/2,μ=1/2.B．λ=-1/2,μ=-1/2.C．λ=2/3,μ=1/3.D．λ=2/3,μ=2/3.正确答案：A 涉及知识点：微积分14．微分方程y”+y=x2+1+sinx 的特解形式可设为A．y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)．B．y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)．C．y*=ax2+bx+c+Asinx．D．y*=ax2+bx+c+Acosx．正确答案：A 涉及知识点：微积分填空题15．当x→0时，f(x)=x-sinax与g(x)=x2ln(1-bx)是等价无穷小，则a=______,b=______.正确答案：1,-1/6 涉及知识点：微积分16．已知当x→0时，函数f(x)=3sinx-sin3x与cxk是等价无穷小，则k=_______,c=______.正确答案：3,4 涉及知识点：微积分17．设二元函数z=xex+y+(x+1)ln(1+y)，则dz丨(1，0)=___________.正确答案：2edx+(e+2)dy 涉及知识点：微积分18．设z=(x+ey)x，则θz/θx丨(1，0)=___________.正确答案：2ln2+1 涉及知识点：微积分19．设函数z=(1+x/y)x/y,则dz丨(1，1)=___________.正确答案：-(2ln2+1) 涉及知识点：微积分20．设z=f(xy,x/y)+g(y/x)，其中f,g均可微，则θz/θx=________.正确答案：yf1’+(1/y)f2’-(y/x2)g’涉及知识点：微积分21．设函数f(u)可微，且f(0)=1/2，则z=f(4x2-y2)在点(1，2)处的全微分dz 丨(1，2)=_________.正确答案：4dx-2dy 涉及知识点：微积分22．微分方程xy’+y=0满足初始条件y(1)=2的特解为__________.正确答案：2/x 涉及知识点：微积分23．微分方程xy’+y=0满足条件y(1)=1的解是y=________.正确答案：1/x 涉及知识点：微积分24．微分方程y”-2y’+2y=ex的通解为________.正确答案：ex(C1cosx+C2sinx+1) 涉及知识点：微积分25．微分方程y”-4y=e2x的通解为________.正确答案：C1e2x+C2e-2x+x/4e2x 涉及知识点：微积分26．二阶常系数非齐次线性微分方程y”-4y’+3y=2e2x的通解为y=_______.正确答案：C1ex+C2e3x+2e2x 涉及知识点：微积分27．差分方程yt+1-yt=t2t的通解为_______.正确答案：C+(t-2)2t 涉及知识点：微积分28．差分方程2yt+1+10yt-5t=0的通解为_______.正确答案：C(-5)t+5/12(t-1/6) 涉及知识点：微积分29．某公司每年的工资总额在比上一年增加20％的基础上再追加2百万元．若以W1表示第t年的工资总额(单位：百万元)，则Wt满足的差分方程是__________．正确答案：Wt=1．2t-1+2解析：第t年的工资总额W1(百万元)是两部分之和，其中一部分是同定追加额2(百万元)，另一部分比前一年的工资总额Wt-1多20％，即是Wt-1的1：2倍．于是可得Wt满足的差分方程是Wt=1.2t-1+2．知识模块：微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(微积分)模拟试卷100(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）模拟试卷100(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设f(x)=3x2+x2｜x｜，则使f(n)(0)存在的最高阶数n=A．0B．1C．2D．3正确答案：C解析：因3x2在(一∞，+∞)具有任意阶导数，所以f(x)与函数g(x)=x2｜x｜具有相同最高阶数的导数．因从而综合即得类似可得综合即得g’’(0)存在且等于0，于是由于g’’(x)在x=0不可导，从而g(x)存在的最高阶导数的阶数n=2，即f(x)存在的最高阶导数的阶数也是n=2．故应选C．知识模块：微积分2．设f(x)在x=0的某邻域连续且f(0)=0，则f(x)在x=0处A．不可导．B．可导且f’(0)≠0．C．有极大值．D．有极小值．正确答案：B解析：因，由极限的保号性质知，由于1—cosx＞0→当0＜｜x｜＜δ时f(x)＞0，又f(0)=0，故f(x)在x=0取得极小值．故应选D．知识模块：微积分3．若x f’‘(x)+3x[f’(x)]2=1一e-x且f’(x0)=0(x0≠0)，则A．(x0，f(x0))是曲线y=f(x)的拐点．B．f(x0)是f(x)的极小值．C．f(x0)不是f(x)的极值，(x0，f(x0))也不是曲线y=f(x)的拐点．D．f(x0)是f(x)的极大值．正确答案：B解析：由题设知又由f’’(x)存在可知f’(x)连续，再由在x=x0≠0附近连续可知f’’(x)在x=x0附近连续，于是由f’(x0)=0及f’’(x0)＞0可知f(x0)是f(x)的极小值．故应选B．知识模块：微积分4．曲线渐近线的条数是A．1B．2C．3D．4正确答案：A解析：令f(x)的定义域是(一∞，一2)U(一2，1)U(1，+∞)，因从而x=1与x=一2不是曲线y=f(x)的渐近线．又因故是曲线y=-f(x)的水平渐近线．综合知曲线y=f(x)有且只有一条渐近线．选A．知识模块：微积分5．曲线的拐点有A．1个B．2个C．3个D．4个正确答案：B解析：f(x)的定义域为(一∞，一1)∪(一1，1)∪(1，+∞)，且在定义域内处处连续．由令f’’(x)=0，解得x1=0，x2=2；f’’(x)不存在的点是x3=一1，x4=1(也是f(x)的不连续点)．现列下表：由上表可知，y在x1=0与x2=2的左右邻域内凹凸性不一致，因此它们都是曲线y=f(x)的拐点，故选B．知识模块：微积分填空题6．设y=aretanx，则y(4)(0)=__________．正确答案：0解析：因y=arctanx是奇函数，且y具有任何阶连续导数，从而y’，y’’是偶函数，y’’，y(4)是奇函数，故y(4)(0)=0．知识模块：微积分7．74的极大值点是x=__________，极小值点是x=____________．正确答案：极大值点x=0；极小值点为解析：知识模块：微积分8．设f(x)=xex，则f(n)(x)在点x=__________处取极小值___________．正确答案：x0一(n+1)为f(n)(x)的极小值点；极小值为f(n)(x0)=一e-(n+1) 解析：由归纳法可求得f(n)(x)=(n+x)ex，由f(n+1)(x)=(n+1+x)ex=0得f(n)(x)的驻点x0=一(n+1)．因为f(n+2)(x)｜x=x0=(n+2+x)ex｜x=x0=ex0＞0，所以x0一(n+1)为f(n)(x)的极小值点；极小值为f(n)(x0)=一e-(n+1)．知识模块：微积分9．曲线y=x2e-x2的渐近线方程为____________．正确答案：y=0解析：函数y=x2e-x2的定义域是(一∞，+∞)，因而无铅直渐近线．又因故曲线y=x2e-x2有唯一的水平渐近线y=0．知识模块：微积分10．曲线的渐近线方程为__________．正确答案：解析：本题中曲线分布在右半平面x＞0上，因故该曲线无垂直渐近线．又其中利用了当故曲线仅有斜渐近线知识模块：微积分11．曲线(x一1)3=y2上点(5，8)处的切线方程是__________．正确答案：解析：由隐函数求导法，将方程(x一1)3=y2两边对x求导，得3(x一1)2=2yy’．令z=5，y=8即得y’(5)=3．故曲线(x一1)3=y2在点(5，8)处的切线方程是知识模块：微积分12．曲线y=lnx上与直线x+y=1垂直的切线方程为__________．正确答案：y=x－1解析：与直线x+y=1垂直的直线族为y=x+c，其中c是任意常数，又因y=lnx 上点(x0，y0)=(x0，lnxn)(x0＞0)处的切线方程是从而，切线与x+y=1垂直的充分必要条件是即该切线为y=x一1．知识模块：微积分13．设某商品的需求量Q与价格P的函数关系为Q=aPb，其中a和b是常数，且a＞0，则该商品需求对价格的弹性=________．正确答案：b解析：知识模块：微积分14．设某商品的需求量Q与价格P的函数关系为Q=100—5P．若商品的需求弹性的绝对值大于1，则该商品价格P的取值范围是__________．正确答案：10＜P≤20解析：从而P的取值范围是10＜P≤20．知识模块：微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(微积分)模拟试卷126(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）模拟试卷126(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设函数f(x)在x=0的某邻域内连续，且满足=一1，则x=0A．是f(x)的驻点，且为极大值点．B．是f(x)的驻点，且为极小值点．C．是f(x)的驻点，但不是极值点．D．不是f(x)的驻点．正确答案：C解析：本题应先从x=0是否为驻点人手，即求f’(0)是否为0；若是，再判断是否为极值点．由f(x)=0，从而f(0)=0，f’(0)==(1一cosx)]=一1×0=0可知x=0是f(x)的驻点．再由极限的局部保号性还知，在x=0的某去心邻域内＜0；由于1—cosx＞0，故在此邻域内，当x＜0时f(x)＞0=f(0)，而当x＞0时f(x)＜0=f(0)，可见x=0不是极值点，故选(C)．知识模块：微积分填空题2．(Ⅰ)用等价、同阶、低阶、高阶回答：设f(x)在x0可微，f’(x0)≠0，则当△x→0时f(x)在x=x0处的微分与△x比较是( )无穷小，△y=f(x0+△x)一f(x0)与△x比较是( )无穷小，△y—df(x)与△x比较是( )无穷小．(Ⅱ)设函数y=f(x)可微，且曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与直线y=2一x垂直，则=( )正确答案：(Ⅰ)同阶；同阶；高阶(Ⅱ)0解析：(Ⅰ)与△x是同阶无穷小量；按定义=f’(x)≠0，故△y与△x也是同阶无穷小量；按微分定义可知当△x→0时差△y一df(x)=o(△x)，即它是比△x高阶的无穷小．(Ⅱ)由题设可知f’(0)=1，又△y一dy=o(△x)，dy=f’(x0)△x=△x，于是知识模块：微积分3．设=________．正确答案：Acosb解析：补充定义f(a)=b，则有知识模块：微积分4．设y=f(lnx)ef(x)，其中f可微，则dy=_________．正确答案：ef(x)[f’(lnx)+f’(x)f(lnx)dx解析：利用一阶微分形式不变性，可得dy=d[f(lnx)ef(x)]=ef(x)[df(lnx)]+f(lnx)def(x)=ef(x)[f’(lnx)dlnx]+f(lnx)ef(x)df(x)=ef(x)[f’(lnx)+f’(x)f(lnx)]dx．知识模块：微积分5．若y=f(x)存在反函数，且y’≠0，y”存在，则=_________．正确答案：解析：知识模块：微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(一元函数积分学与多元函数微分学)模拟试卷1(题后含
考研数学三（一元函数积分学与多元函数微分学）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设f(x，y)＝则f(x，y)在(0，0)处( )．A．连续但不可偏导B．可偏导但不连续C．可微D．一阶连续可偏导正确答案：C解析：因为f(x，y)＝0＝f(0，0)，所以f(x，y)在(0，0)处连续。
因为＝0，所以f’x(0，0)＝0，根据对称性，f’y(0，0)＝0，即f(x，y)在(0，0)处可偏导；由＝0，得f(x，y)在(0，0)处可微；当(x，y)≠(0，0)时，f’x(x，y)＝2xsin，则f’x(x，y)＝因为f’x(x，y)＝(2xsin)不存在，所以f’x(x，y)在点(0，0)处不连续，同理f’y(x，y)在点(0，0)处也不连续，选C．知识模块：多元函数微分学2．设F(x)为f(x)的原函数，且当x≥0时，f(x)F(x)＝，又F(0)＝1，F(x)＞0，求f(x)．正确答案：两边积分得F2(x)＝，解得F2(x)＝＋C，由F(0)＝1，F(x)＞0，得F(x)＝，于是f(x)＝．涉及知识点：一元函数积分学3．设f’(lnx)＝求f(x)．正确答案：令lnx＝t，则f’(t)＝，当t≤0时，f(t)＝t＋C1，；当t＞0时，f(t)＝et＋C2．显然f’(t)为连续函数，所以f(t)也连续，于是有C1＝1＋C2，故f(x)＝．涉及知识点：一元函数积分学4．求dx．正确答案：令f(x)＝，当0≤x≤1时，，当1＜x≤2时，＝x2，则dx＝xdx ＋x2dx＝．涉及知识点：一元函数积分学5．设f(x)连续，tf(x－t)dt＝1－cosx，求f(x)dx．正确答案：由tf(x－t)dt(x－u)f(u)(－du)＝(x－u)f(u)du＝xf(u)du－uf(u)du，得xf(u)du－uf(u)du＝1－cosx，两边求导得f(u)du＝sinx，令x＝得f(x)dx＝1．涉及知识点：一元函数积分学6．设f(x)在[0，＋∞)上连续、非负，且以T为周期，证明：正确答案：对充分大的x，存在自然数n，使得nT≤x＜(n＋1)T，因为f(x)≥0，所以f(t)dt≤f(t)dt≤f(x)dt，即nf(t)dt≤f(t)dt≤(n＋1)f(t)dt，由，得，注意到当x→＋∞时，n→∞，且由夹逼定理得．涉及知识点：一元函数积分学7．设f(x)在[0，1]上连续，f(0)＝0，f(x)dx＝0．证明：存在ξ∈(0，1)，使得f(x)dx＝ξf(ξ)．正确答案：令φ(x)＝，因为f(x)在[0，1]上连续，所以φ(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，又φ(0)＝0，φ(1)＝f(x)dx＝0，由罗尔定理，存在ξ∈(0，1)，使得φ’(ξ)＝0，而φ’(x)＝，所以f(x)dx＝ξf(ξ)．涉及知识点：一元函数积分学设f(x)在(－a，a)(a＞0)内连续，且f’(0)＝2．8．证明：对0＜x＜a，存在0＜Θ＜1，使得f(t)dt＋f(t)dt＝x[f(Θx)－f(－Θx)]；正确答案：令F(x)＝f(t)dt＋f(t)dt，显然F(x)在[0，x]上可导，且F(0)＝0，由微分中值定理，存在0＜Θ＜1，使得F(x)＝F(x)－F(0)＝F’(Θx)x，即f(t)dt ＋f(t)dt＝x[f(Θx)－f(－Θx)]．涉及知识点：一元函数积分学9．求Θ．正确答案：令Θ＝A，由f(t)dt＋f(t)dt＝x[f(Θx)－f(－Θx)]，得于是Θ＝．涉及知识点：一元函数积分学10．设an＝tannxdx(n≥2)，证明：正确答案：an＋an＋2＝(1＋tan2x)tannxdx＝tannxd(tanx)＝tann＋1x，同理an ＋an－2＝．因为tannx，tann＋2x在[0，]上连续，tannx≥tann＋2x，且tannx，tann＋2x不恒等，所以tannxdx＞tann+2xdx，即an＞an＋2，于是＝an＋an+2＜2an＞，同理可证an＜．涉及知识点：一元函数积分学11．设f(x)有界，且f’(x)连续，对任意的x∈(－∞，＋∞)有｜f(x)＋f’(x)｜≤1．证明：｜f(x)｜≤1．正确答案：令φ(x)＝exf(x)，则φ’(x)＝ex[f(x)＋f’(x)]，由｜f(x)＋f’(x)｜≤1得｜φ’(x)｜≤ex，又由f(x)有界得φ(－∞)＝0，则φ(x)＝φ(x)－φ(－∞)＝φ’(x)dx，两边取绝对值得ex｜f(x)｜≤｜φ’(x)｜dx≤exdx＝ex,/sup>，所以｜f(x)｜≤1．涉及知识点：一元函数积分学12．设f(x)在(－∞，＋∞)上有定义，且对任意的x，y∈(－∞，＋∞)有｜f(x)－f(y)｜≤｜x－y｜．证明：｜f(x)dx－(b－a)f(a)｜≤(b－a)2．正确答案：因为(b－a)f(a)＝f(a)dx，所以｜f(x)dx－(b－a)f(a)｜＝｜[f(x)－f(a)]dx｜≤f(x)－f(a)｜dx≤(x－a)dx＝(x－a)2(b－a)2．涉及知识点：一元函数积分学13．设f(x)在[0，1]上连续，且0＜m≤f(x)≤M，对任意的x∈[0，1]，证明：．正确答案：因为0＜m≤f(x)≤M，所以f(x)－m≥0，f(x)－M≤0，从而≤0，于是f(x)＋≤M＋m，两边积分得f(x)dx＋Mmdx≤M＋m，因为f(x)dx＋Mmdx ≥2，所以2≤M＋m，于是(f(x)dx)(dx)≤．涉及知识点：一元函数积分学14．设f(x)在[a，b]上连续且单调增加，证明：xf(x)dx≥f(x)dx．正确答案：方法一令φ(x)＝(x－)[f(x)－f()]，因为f(x)在[a，b]上单调增加，所以φ(x)dx≥0，而φ(x)dx＝(x－)[f(x)－f()]dx＝(x－)f(x)dx－f()(x－)dx＝(x －)f(x)dx＝xf(x)dx－f(x)dx，故xf(x)dx≥f(x)dx．方法二令φ(x)＝tf(t)dt－f(t)dt，显然φ(a)＝0．φ’(x)＝xf(x)－f(t)dt－f(x)＝[(x－a)f(x)－f(t)dt]＝[f(x)dt－f(t)dt]＝[f(x)－f(t)]dt≥0，由得φ(b)≥φ(a)＝0，所以xf(x)dx≥f(x)dx．涉及知识点：一元函数积分学填空题15．设z＝xf(x＋y)＋g(xy，x2＋y2)，其中f，g分别二阶连续可导和二阶连续可偏导，则＝_____________．正确答案：f’＋xf”＋xy－1g’1＋yxy－1lnxg’1＋yx2y－1lnxg”11＋2y2xy －1g”12＋2xy＋1lnxg”21＋4xyg”22．解析：由z＝xf(x＋y)＋g(xy，x2＋y2)，得＝f(x＋y)＋xf’(x＋y)＋yxy－1 g’1(xy，x2＋y2)＋2xg’2(xy，x2＋y2)，＝f’＋xf”＋xy－1g’1＋yxy－1lnxg’1＋yx2y－1lnxg”11＋2y2xy－1g”12＋2xy＋1lnxg”21＋4xyg”22．知识模块：多元函数微分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(微积分)模拟试卷150(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）模拟试卷150(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．函数f（x）=的间断点及类型是（）A．x=1为第一类间断点，x=—1为第二类间断点B．x=±1均为第一类间断点C．x=1为第二类间断点，x=—1为第一类间断点D．x=±1均为第二类间断点正确答案：B解析：分别就|x|=1，|x|＜1，|x|＞1时求极限得出f（x）的分段表达式：所以，x=±1均为f（x）的第一类间断点，故选B。
知识模块：微积分2．设F（x）=g（x）φ（x），x=a是φ（x）的跳跃间断点，g’（a）存在，则g（a）=0，g’（a）=0是F（x）在x=a处可导的（）A．充分必要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件正确答案：A解析：因φ（x）在x=a处不可导，所以不能对F（x）用乘积的求导法则，须用定义求F’（a）。
题设φ（x）以x=a为跳跃间断点，则存在A+，A+≠A—。
当g（a）=0时，这表明，g（a）=0时，F’（a）存在下面证明若F’（a）存在，则g（a）=0。
反证法，若g（a）≠0，φ（x）=由商的求导法则，φ（x）在x=a 可导，这与题设矛盾，则g（a）=0，g’（a）=0是F（x）在x=a处可导的充要条件。
故选A。
知识模块：微积分3．设f（x）在（0，+∞）内二阶可导，满足f（0）=0，f”（x）＜0（x＞0），又设b＞a＞0，则a＜x＜b时，恒有（）A．af（x）＞xf（a）B．f（x）＞xf（b）C．xf（x）＞bf（b）D．xf（x）＞af（a）正确答案：B解析：将A，B选项分别改写成于是，若能证明或xf（x）的单调性即可。
又因令g（x）=xf’（x）—f（x），则g（0）=0，g’（x）=xf”（x）＜0（x ＞0），那么g（x）＜g（0）=0 （x＞0），即故在（0，+∞）内单调减小。
考研数学三(多元函数微积分学)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)
考研数学三（多元函数微积分学）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．[2008年] 设则( )．A．fx’(0，0)，fy’(0，0)都存在B．fx’(0，0)不存在，fy’(0，0)存在C．fx’(0，0)存在，fy’(0，0)不存在D．fx’(0，0)，fy’(0，o)都不存在正确答案：B解析：因而则极限不存在，故偏导数fx’(0，0)不存在．而因而偏导数fy’(0，0)存在．仅(B)入选．知识模块：多元函数微积分学2．[2003年] 设可微函数f(x，y)在点(x0，y0)处取得极小值，则下列结论正确的是( )．A．f(x0，y)在y=y0处的导数大于零B．f(x0，y)在y=y0处的导数等于零C．f(x0，y)在y=y0处的导数小于零D．f(x0，y)在y=y0处的导数不存在正确答案：B解析：解一因f(x，y)在点(x0，y0)处可微，故f(x，y)在点(x0，y0)处两个偏导数存在，因而一元函数f(x0，y)在y=y0处的导数也存在．又因f(x，y)在点(x0，y0)处取得极小值，故f(x0，y0)在y=y0处的一阶(偏)导数等于零．仅(B)入选．解二由函数f(x，y)在点(x0，y0)处可微知，f(x．y)在点(x0，y0)处的两个偏导数存在．又由二元函数极值的必要条件即得f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数都等于零．因而有知识模块：多元函数微积分学3．[2016年] 已知函数则( )．A．fx’－fy’=0B．fx’+fy’=0C．fx’－fy’=fD．fx’+fy’=f正确答案：D解析：则仅(D)入选．知识模块：多元函数微积分学4．[2017年] 二元函数z=xy(3－x－y)的极值点为( )．A．(0，0)B．(0，3)C．(3，0)D．(1，1)正确答案：D解析：zy’=y(3－x－y)－xy=y(3－2x－y)，zy’=x(3－x－y)－xy=x(3－x－2y)，又zxx’=－2y，zxy=3－2x－2y，zyy’=－2x，将选项的值代入可知，只有(D)符合要求，即A=zxx”(1，1)=－2，B=zxy”(1，1)=－1，C=zyy”(1，1)=－2．满足B2－AC=－3＜0，且A=－2＜0，故点(1，1)为极大值点．仅(D)入选．知识模块：多元函数微积分学5．[2006年] 设f(x，y)与φ(z，y)均为可微函数，且φy’(x，y)≠0，已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，Y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是( )．A．若fx’(x0，y0)=0，则fy’(x0，y0)=0B．若fx’(x0，y0)=0，则f’y(x0，y0)≠0C．若fx’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)=0D．若fx’(x0，y0)≠0，则f’y(x0，y0)≠0正确答案：D解析：解一由拉格朗日乘数法知，若(x0，y0)是f(x，y)在条件φ(x，y)=0下的极值点，则必有fx’(x0，y0)+λφx’(x0，y0)=0，①fx’(x0，y0)+λφx’(x0，y0)=0．②若fx’(x0，y0)≠0，由式①知λ≠0．又由题设有φy’(x0，y0)≠0，再由式②知fy’(x0，y0)≠0．仅(D)入选．解二构造拉格朗日函数F(x，y，λ)=f(x，y)+λφ(x，y)，并记对应于极值点(x0，y0)处的参数的值为λ0，则由式③与式④消去λ0得到fx’(x0，y0)／φx’(0，y0)=一λ0=f’y(x0，y0)／φ’y(x0，y0)．即f’x(x0，y0)φ’y(x0，y0)一fy’(x0，y0)φx’(x0，y0)=0．整理得若fx’(x0，y0)≠0，则由式③知，φx’(x0，y0)≠0．因而fy’(x0，y0)≠0．仅(D)入选．解三由题设φy’(x，y)≠0知，φ(x，y)=0确定隐函数y=y(x)．将其代入f(x，y)中得到f(x，y(x))．此为一元复合函数．在φ(x，y)=0两边对x求导，得到因f(x，y(x))在x=x0处取得极值，由其必要条件得到f’x+fy’y’=fx’+fy’(一φx’／φy’)=0．因而当fx’(x0，y0)≠0时，必有fy’(x0，y0)≠0．仅(D)入选．知识模块：多元函数微积分学填空题6．[2012年] 设连续函数z=f(x，y)满足则dz｜(0,1)=__________．正确答案：2dx－dy解析：用函数f(x，y)在(x0，y0)处的微分定义：与所给极限比较易知：z=f(x，y)在点(0，1)处可微，且fx’(0，1)=2，fy’(0，1)=－1，f(0，1)=1，故dz｜(0,1)=fx’(0，1)dx+fy’(0，1)dy=2dx－dy．知识模块：多元函数微积分学7．[2009年] 设z=(x+ey)x，则正确答案：2ln2+1解析：解一为简化计算，先将y=0代入z中得到z(x，0)=(x+1)x，z为一元函数．将x=1代入上式，得到解二考虑到z(x，0)=(x+1)x为幂指函数，先取对数再求导数：lnz=xln(x+1)．在其两边对x求导，得到则知识模块：多元函数微积分学8．[2007年] 设f(u，v)是二元可微函数，则正确答案：解析：解一设u=y／x，v=x／y．为方便计，下面用“树形图”表示复合层次与过程．由式①一式②得到解二令f1’，f2’分别表示z=f(y／x，x ／y)对第1个和第2个中间变量y／x、x／y求导数，则知识模块：多元函数微积分学9．[2004年] 函数f(u，v)由关系式f[xg(y)，y]=x+g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y)≠0，则正确答案：解析：令u=xg(y)，v=y，由此解出于是知识模块：多元函数微积分学10．[2005年] 设二元函数z=xex+y+(x+1)ln(1+y)，则dz｜(1,0)=_________．正确答案：2edx+(e+2)dy解析：dz=d[xex+y+(x+1)ln(1+y)]=d(xex+y)+d[(x+1)ln(1+y)] =ex+ydx+xex+y(dx+dy)+ln(1+y)dx+[(x+1)／(1+y)]dy．①将x=1，y=0代入上式(其中dz，dx，dy不变)，得到dz｜(1,0)=edx+e(dx+dy)+2dy=2edx+(e+2)dy．解二利用全微分公式求之．为此，先求出偏导数故解三用定义简化法求之．固定一个变量转化为另一个变量的一元函数求导．由z(x，0)=xex得到由z(1，y)=ey+2ln(1+y)得到故知识模块：多元函数微积分学11．[2006年] 设函数f(u)可微，且f’(0)=1／2，则z=f(4x2－y2)在点(1，2)处的全微分dz｜1,2=___________．正确答案：4dx一2dy解析：解一dz=df(4x2－y2)=f’(u)du=f’(u)d(4x2－y2)=f’(u)(8xdx－2ydy)，其中u=4x2－y2．于是dz｜1,2=f’(0)(8dx－4dy)=4dx－2dy．解二利用复合函数求导公式和定义简化法求之．由z=f(4x2－y2)得到解三由z=f(4x2－y2)得到于是故dz｜1,2=4dx－2dy．知识模块：多元函数微积分学12．[2011年] 设函数则dz｜1,1=____________．正确答案：(1+2ln2)(dx—dy)解析：解一所给函数为幂指函数，先在所给方程两边取对数，然后分别对x，y求偏导：由得到则解二先用定义简化法求出然后代入全微分公式求解．故dz｜1,1=2(ln2+1／2)dx－2(ln2+1／2)dy=(1+2ln2)(dx－dy)．知识模块：多元函数微积分学13．[2015年] 若函数z=z(x，y)由方程ex+2y+3z+xyz=1确定，则dz｜0,0=_______________．正确答案：解析：在ex+2y+3z+xyz=1①两边分别对x，y求偏导得到同法可得将x=0，y=0代入式①易求得z=0，代入式②、式③分别得到则知识模块：多元函数微积分学14．[2014年] 二次积分正确答案：解析：注意到不易求出，需先交换积分次序，由积分区域的表达式D={(x，y)|y≤x≤1，0≤y≤1)－{(x，y)|0≤y≤x，0≤x≤1}及交换积分次序得到故知识模块：多元函数微积分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(微积分)历年真题试卷汇编4(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编4(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(02年)设函数f(χ)在闭区间[a，b]上有定义，在开区间(a，b)内可导，则【】A．当f(a)f(b)＜0时，存在ξ∈(a，b)，使f(ξ)＝0．B．对任何ξ∈(a，b)，有[f(χ)－f(ξ)]＝0．C．当f(a)＝f(b)时，存在ξ∈(a，b)，使f′(ξ)＝0．D．存在ξ∈(a，b)，使f(b)－f(a)＝f′(ξ)(b－a)．正确答案：B解析：由于f(χ)在(a，b)内可导．ξ∈(a，b)，则f(χ)在ξ点可导，因而在ξ点连续，故[f(χ)－f(ξ)]＝0 知识模块：微积分2．(03年)设f(χ)为不恒等于零的奇函数，且f′(0)存在，则函数g(χ)＝【】A．在χ＝0处左极限不存在．B．有跳跃间断点χ＝0．C．在χ＝0处右极限不存在．D．有可去间断点χ＝0．正确答案：D解析：由于f(χ)为奇函数，则f(0)＝0，从而又g(χ)＝在χ＝0处无定义，则χ＝0为g(χ)的可去间断点．知识模块：微积分3．(04年)设f(χ)＝｜χ(1－χ)｜，则【】A．χ＝0是f(χ)的极值点，但(0，0)不是曲线y＝f(χ)的拐点．B．χ＝0不是f(χ)的极值点，但(0，0)是曲线y＝f(χ)的拐点．C．χ＝0是f(χ)的极值点，且(0，0)是曲线y＝f(χ)的拐点．D．χ＝0不是f(χ)的极值点，(0，0)也不是曲线y＝f(χ)的拐点．正确答案：C解析：由f(χ)＝｜χ(1－χ)｜知，f(0)＝0，而当χ＜0，或0＜χ＜1时，f(χ)＞0，由极值的定义知f(χ)在χ＝0处取极小值．又则当χ＜0时，f〞(χ)＝2＞0；当0＜χ＜1时，f〞(χ)＝－2＜0，则(0，0)是曲线y＝f(χ)的拐点，故应选C．知识模块：微积分4．(04年)设f′(χ)在[a，b]上连续，且f′(a)＞0，f′(b)＜0，则下列结论中错误的是【】A．至少存在一点χ0∈(a，b)，使得f(χ0)＞f(a)．B．至少存在一点χ0∈(a，b)，使得f(χ0)＞f(b)．C．至少存在一点χ0∈(a，b)，使得f′(χ0)＝0．D．至少存在一点χ0∈(a，b)，使得f(χ0)＝0．正确答案：D解析：由以上分析知，由f′(a)＞0知，存在χ0∈(a，b)使f(χ0)＞f(a)；由f′(b)＜0知，存在χ0∈(a，b)，使f(χ0)＞f(b)，则选项A、B均不能选．又f′(a)＞0，f′(b)＜0，且f′(χ)在[a，b]上连续，由零点定理知，存在χ0∈(a，b)，使f′(χ0)＝0，则C也不能选，故应选D．知识模块：微积分5．(05年)当a取下列哪个值时，函数f(χ)＝2χ3－9χ2＋12χ－a恰有两个不同的零点．【】A．2B．4C．6D．8正确答案：B解析：f′(χ)＝6χ2－18χ＋12＝6(χ2－3χ＋2)＝6(χ－1)(χ－2) 令f′(χ)＝0，得χ1＝1，χ2＝2 f(1)＝5－a，f(2)＝4－a 当a＝4时，f(1)＝1＞0，f(2)＝0．即χ＝2为f(χ)的一个零点，由f′(χ)＝6(χ－1)(χ－2)知当－∞＜χ＜1时，f′(χ)＞0，f(χ)严格单调增，而f(1)＝1＞0，f(χ)＝－∞，则f(χ)在(－∞，0)内有唯一零点．当1＜χ＜2时，f′(χ)＜0，f(χ)单调减，又f(2)＝0，则当1＜χ＜2时，f(χ)＞0，此区间内无零点．当χ＞2时，f′(χ)＞0，f(2)＝0．则χ＞2时f(χ)＞0，即在此区间内f(χ)无零点．故应选B．知识模块：微积分6．(05年)设f(χ)＝χsinχ＋cosχ，下列命题中正确的是【】A．f(0)是极大值，f()是极小值．B．f(0)是极小值，f()是极大值．C．f(0)是极大值，f()也是极大值．D．f(0)是极小值，f()也是极小值．正确答案：B解析：f′(χ)＝sinχ＋χcosχ－sinχ＝χcosχ，f〞(χ)＝cosχ－χsinχf′(0)＝0，f〞(0)＝1＞0，则f(0)是极小值．，则是极大值．故应选B．知识模块：微积分7．(05年)以下四个命题中，正确的是【】A．若f′(χ)在(0，1)内连续，则f(χ)在(0，1)内有界．B．若f(χ)在(0，1)内连续，则f(χ)在(0，1)内有界．C．若f′(χ)在(0，1)内有界，则f(χ)在(0，1)内有界．D．若f(χ)在(0，1)内有界，则f′(χ)在(0，1)内有界．正确答案：C解析：由于f′(χ)在(0，1)内有界，则存在M＞0，使对任意χ∈(0，1)，｜f′(χ)｜≤M，对任意的χ∈(0，1)，由拉格朗日中值定理知f(χ)－f()＝f′(ξ)(χ－)，ξ∈(0，1) 从而右f(χ)＝则f(χ)在(0，1)内有界．知识模块：微积分8．(06年)设函数y＝f(χ)具有二阶导数，且f′(χ)＞0，f〞(χ))＞0，△χ)为自变量χ)在点χ0处的增量，△y与dy分别为f(χ)在点χ0处对应的增量与微分，若△χ＞0，则【】A．0＜dy＜△y．B．0＜△y＜dy．C．△y＜dy＜0．D．dy＜△y＜0．正确答案：A解析：由于dy＝f′(χ0)△χ△y＝f(χ0＋△χ)－f(χ0)＝f′(ξ)△χ(χ0＜ξ＜χ0＋△χ) 由f〞(χ)＞0，则f′(χ)单调增，又△χ＞0，且f′(χ)＞0，则0＜dy＜△y 故应选A．知识模块：微积分9．(06年)设函数f(χ)在χ＝0处连续，且＝1，则【】A．f(0)＝0且f′－(0)存在．B．f(0)＝1且f′－(0)存在．C．f(0)＝0且f′＋(0)存在．D．f(0)＝1且f′＋(0)存在．正确答案：C解析：由＝1，知f(h2)＝0，又f(χ)在χ＝0连续，则f(h2)＝f(0)＝0 则故应选C．知识模块：微积分10．(07年)设函数f(χ)在χ＝0处连续，下列命题错误的是【】A．若存在，则f(0)＝0．B．存在，则f(0)＝0．C．若存在，则f′(0)存在．D．若存在，则f′(0)存在．正确答案：D解析：由存在及f(χ)在χ＝0处的连续性知，f(0)＝0，从而有＝f′(0)，所以，命题A和C是正确的；由存在，＝0知，(f(χ)＋f(－χ))＝2f(0)＝0，则f(0)＝0，所以，命题B也是正确的．事实上，命题D是错误的．例如，令f(χ)＝｜χ｜，显然＝0，但f(χ)＝｜χ｜在χ＝0处不可导，即f′(0)不存在．故应选D．知识模块：微积分11．(07年)曲线y＝＋ln(1＋eχ)渐近线的条数为【】A．0．B．1．C．2．D．3．正确答案：D解析：由于＝∞，则χ＝0为原曲线的一条垂直渐近线．而＝ln1＝0，则y＝0为原曲线的一条水平渐近线．则y＝χ为原曲线的一条斜渐近线，由此可知原曲线共有三条渐近线．所以，本题应选D．知识模块：微积分12．(07年)设某商品的需求函数为Q＝160－2p．其中Q，P分别表示需求量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是【】A．10B．20．C．30．D．40．正确答案：D解析：由题设可知，该商品的需求弹性为由＝1知p＝40．故应选D．知识模块：微积分13．(10年)设函数f(χ)，g(χ)具有二阶导数，且g〞(χ)＜0．若g(χ0)＝a是g(χ)的极值，则f(g(χ))在χ0取极大值的一个充分条件是【】A．f′(a)＜0．B．f′(a)＞0．C．f〞(a)＜0．D．f〞(a)＞0．正确答案：B解析：令φ(χ)＝f[g(χ)]，则φ′(χ)＝f′[g(χ)]g′(χ) φ′(χ0)＝f′[g(χ0)]g′(χ0)＝0 φ〞(χ)＝f〞[g(χ)]g′2(χ)＋f′[g(χ)]g〞(χ) φ〞(χ0)＝f′[g(χ0)]g〞(χ0)＝f′(a)g〞(χ0) 若f′(a)＞0，则φ〞(χ0)＜0，故φ(χ)在χ0处取极大值．知识模块：微积分填空题14．(03年)设f(χ)＝其导函数在χ＝0处连续，则λ的取值范围是_______．正确答案：λ＞2解析：当χ≠0时f′(χ)＝当χ＝0时f′(0)＝由上式可知，当λ＞1时，f′(0)存在，且f′(0)＝0 又由上式可知，当λ＞2时，f′(χ)＝0＝f′(0) 即导函数在χ＝0处连续．知识模块：微积分15．(03年)已知曲线y＝χ3－3a2χ＋b与χ轴相切，则b2可以通过a表示为b2＝_______．正确答案：4a6解析：设曲线y＝χ3－3aχ2＋b在χ＝χ0处与χ轴相切，则3χ02－3a2＝0且χ03－3a2χ0＋b＝0 即χ02＝a2且χ0(χ02－3a2)＝－b 从而可得b2＝4a6 知识模块：微积分16．(06年)设函数f(χ)在χ＝2的某邻域内可导，且f′(χ)＝ef(χ)，f(2)＝1，则f″′(2)＝_______．正确答案：2e3解析：由f′(χ)＝ef(χ)及f(2)＝1知，f′(2)＝e f〞(χ)＝ef(χ)f′(χ)＝[f′(χ)]2，从而有f〞(2)＝e2 f″′(χ)＝2f′(χ)f〞(χ)，则f″′(2)＝2e3 知识模块：微积分17．(07年)设函数y＝，则y(n)(0)＝_______．正确答案：解析：y＝＝(2χ＋3)-1；y′＝(－1)(2χ＋3)-2.2；y〞＝(－1).(－2)(2χ＋3)-3.22 则y(n)＝(－1)nn!(2χ＋3)-(n+1).2n；y(n)(0)＝(－1)nn!3-(n+1).2n＝知识模块：微积分18．(09年)设某产品的需求函数为Q＝Q(p)，其对价格P的弹性εp＝0．2，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加_______．正确答案：8000解析：由于收益R＝pQ(p) ＝pQ′(p)＋Q(p) 而0．2＝ξp＝则pQ′(p)＝(－0．2)×Q(p) 故＝(－(－0．2)×Q(p)＋Q(p) ＝0．8Q(p)＝0．8×10000＝8000 知识模块：微积分19．(10年)设某商品的收益函数为R(p)，收益弹性为1＋P3，其中P为价格，且R(1)＝1，则R(p)＝_______．正确答案：解析：由题设知＝1＋p3 lnR＝lnp＋p3＋C 由R(1)＝1知，C＝－lnR＝lnp＋R＝．知识模块：微积分20．(10年)若曲线y＝χ3＋aχ2＋1有拐点(－1，0)，则b＝_______．正确答案：3解析：曲线y＝χ3＋aχ2＋bχ＋1过点(－1，0)，则0＝1＋a－b＋1，a＝－b y＝χ3－bχ2＋bχ＋1 y′＝3χ2－2bχ＋b y〞＝6χ－2b y〞(－1)＝－6－2b＝0，则b＝3 知识模块：微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。