2015年高考理科数学陕西卷-答案
2015年高考理科数学陕西卷-答案
n nn 2015 年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科数学答案解析第一部分一、选择题1. 【答案】A【解析】由 M ={x | x 2 = x } ⇒ M ={0,1},N ={x | lg x ≤ 0}⇒ N ={x | 0 < x ≤1}所以 M N =[0,1] ．【提示】求解一元二次方程化简 M ，求解对数不等式化简 N ，然后利用并集运算得答案 【考点】并集及其运算2. 【答案】C【解析】初中部女教师的人数为110⨯ 70% = 77 ；高中部女教师的人数为40⨯150% = 60 ，∴该校女教师的 人数为77 + 60 =137 ，【提示】利用百分比，可得该校女教师的人数．【考点】收集数据的方法．3. 【答案】C【解析】解：由题意可得当sin⎛ π x + ϕ ⎫取最小值-1 时，函数取最小值 y= -3 + k = 2 ，解得 k = 5 ，∴ 6 ⎪ min ⎝ ⎭ y = 3sin ⎛ π x + ϕ ⎫ + 5 ，∴当sin ⎛ π x + ϕ ⎫取最大值1 时，函数取最大值 y = 3 + 5 = 8 ， 3 ⎪ 6 ⎪ max ⎝ ⎭ ⎝ ⎭【提示】由题意和最小值易得 k 的值，进而可得最大值． 【考点】 y = A sin(ωx +ϕ) 的图象性质．4. 【答案】B【解析】二项式(x +1)n 的展开式的通项是T= C r x r，令 r = 2 得 x 2 的系数是C 2 ，因为 x 2 的系数为15 ，所以C 2 = 15 ，即 n 2 - n - 30 = 0 ，解得： n = 6 或n = -5 ， 因为n ∈ N + ，所以n = 6r +1n 几何体 2 2【提示】由题意可得C 2= 15 ，解关于 n 的方程可得．【考点】二项式定理的应用．5. 【答案】D【解析】根据几何体的三视图，得；该几何体是圆柱体的一半，∴该几何体的表面积为V = π 12 + π⨯1⨯2 + 2⨯ 2= 3π + 4【提示】根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱体的一部分，利用图中数据求出它的表面积． 【考点】由三视图求面积，体积6. 【答案】A【解析】cos2α = 0 ⇒cos 2 α -sin 2 α = 0⇒(cos α -sin α)(cos α +sin α) = 0所以sin α = cos α或sin α = - cos α【提示】由cos2α = cos 2 α -sin 2 α ，即可判断出． 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．7. 【答案】B【解析】因为a b =| a || b | cos < a ,b >≤| a || b | ，所以选项A 正确； 当 a 与b 方向相反时，| a - b |≤ | a | - | b | 不成立，所以选项 B 错误； 向量的平方等于向量的模的平方，所以选项C 正确；(a + b)(a - b) = a - b 所以选项D 正确【提示】由向量数量积的运算和性质逐个选项验证可得． 【考点】平面向量数量积的运算8. 【答案】C【解析】解：模拟执行程序框图，可得 x = 2006，x = 2004 满足条件 x ≥ 0，x = 2002 满足条件 x ≥ 0，x = 2000 ……满足条件 x ≥ 0，x = 0ab ⎨ ⎩ ⎩ ⎩ 满足条件 x ≥ 0不满足条件 x ≥ 0，y =10 输出 y 的值为10【提示】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 x 的值，当 x = -2 时不满足条件 x ≥ 0 ，计算并输出 y 的值为10 . 【考点】程序框图9. 【答案】B【解析】 p = f ( ab ) = ln ab ，q = f ⎛ a + b ⎫= lna +b ，2 ⎪ 2 ⎝ ⎭r = 1 ( f (a ) + f (b )) = 1ln ab = ln 2 2函数 f (x ) = ln x 在(0, +∞) 上单调递增，因为 a + b > ，所以 f ⎛ a + b ⎫> f (ab ) ， 22 ⎪ ⎝ ⎭ 所以q > p = r【提示】由题意可得 p = 1 (ln a + ln b ) ， q = ln ⎛ a + b ⎫ ≥ ln( ab ) = p ， r = 1 (ln a + ln b ) ，可得大小关系． 2 2 ⎪ 2【考点】不等关系与不等式．10. 【答案】D⎝ ⎭⎧3x + 2 y ≤ 12【解析】设每天生产甲乙两种产品分别为 x ，y 顿，利润为 z 元，则⎪x + 2 y ≤ 8 ⎪x ≥ 0, y ≥ 0 ，目标函数为 z = 3x + 4y ．作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域．由 z = 3x + 4y 得 y = - 3 x + z ，平移直线 y = - 3 x + z 由图象可知当直线 y = - 3 x + z经过点 B 时，直线4 4 4 4 4 4y = - 3 x + z的截距最大，此时 z 最大，解方程组⎧3x + 2 y = 12 ，解得⎧ x = 2 ，即 B 的坐标为 x = 2，y = 3 ，4 4∴z max = 3x + 4y = 6 +12 =18 ⎨x + 2 y = 8 ⎨ y = 3即每天生产甲乙两种产品分别为 2，3 顿，能够产生最大的利润，最大的利润是18 万元ab【提示】设每天生产甲乙两种产品分别为 x ，y 顿，利润为 z 元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出 z 的最大值． 【考点】简单线性规划的应用11. 【答案】D【解析】∵复数 z = (x -1) + y i(x ，y ∈R ) 且| z |≤1，∴| z |= ≤ 1，即(x -1)2 + y 2≤ 1 ，∴点(x ，y ) 在(1，0) 为圆心 1 为半径的圆及其内部，而 y ≥ x 表示直线 y = x 左上方的部分，（图中阴影弓形） ∴所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，∴所求概率 P = 1 π 12 - 1 ⨯1⨯1 = 1 - 14 2 4 2π【提示】由题意易得所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，分别求面积可得． 【考点】几何概型12. 【答案】A【解析】假设选项A 错误，则选项B 、C 、D 正确， f '(x ) = 2ax + b ，因为 1 是 f (x ) 的极值点，3 是 f (x ) 的极值， ⎧ f '(1) = 0 ⎧2a + b = 0 ⎧b = -2a 所以⎨ f (1) = 3 ， ⎨a + b + c = 3 ，解得⎨c = 3 + a ，⎩ ⎩ ⎩因为点(2,8) 在曲线 y = f (x ) 上，所以4a + 2b + c = 8，解得： a = 5 ，所以b = -10 ， c = 8 ， 所以 f (x ) = 5x 2 -10x + 8因为 f (-1) = 5⨯(-1)2 -10⨯(-1) + 8 = 23 ≠ 0 ， 所以-1不是 f (x ) 的零点，所以假设成立，选 A【提示】可采取排除法．分别考虑 A ，B ，C ，D 中有一个错误，通过解方程求得 a ，判断是否为非零整数，(x -1)2 + y 21即可得到结论．【考点】二次函数的性质．第二部分二、填空题13. 【答案】5【解析】解：设该等差数列的首项为 a ，由题意和等差数列的性质可得2015 + a =1010⨯ 2 解得 a = 5【提示】由题意可得首项的方程，解方程可得． 【考点】等差数列14. 【答案】2 【解析】抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 的准线方程是 x =- p，2 双曲线 x 2 - y 2 = 1 的一个焦点 F (- 2, 0) ，因为抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 的准线经过双曲线 x 2 - y 2 = 1 的一个焦点，所以- p= - 22 ，解得 p = 2 【提示】先求出 x 2 - y 2 = 1 的左焦点，得到抛物线 y 2= 2 px ( p > 0) 的准线，依据 p 的意义求出它的值．【考点】抛物线的简单性质 15.【答案】(1,1)【解析】∵ f '(x ) = e x ，∴ f '(0) = e 0= 1∵ y = e x在(0,1) 处的切线与 y = 1 (x > 0) 上点 P 的切线垂直x∴点 P 处的切线斜率为-1又 y ' = 1x 2 ，设点 P (x 0，y 0 )∴ - 1x 0= -1∴x 0 = ±1， x > 0，∴ x 0 =1∴y 0 = 1 223 ∴点 P (1,1)【提示】利用 y = e x在某点处的切屑斜率与另一曲线的切线斜率垂直求得另一曲线的斜率，进而求得切点坐标．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程16. 【答案】1.2【解析】如图：建立平面直角坐标系，设抛物线方程为：y = ax 2，因为抛物线经过(5，2) ，可得a = 2， 25所以抛物线方程： y =2x 2 ，横截面为等腰梯形的水渠， 25 泥沙沉积的横截面的面积为： 2⎛ 5 2 x 2 - 1 ⨯ 2 ⨯ 2⎫ = 2⎛ 2 x 3 |5 -2⎫ = 8， ⎰0 25 2 ⎪ 75 0 ⎪ 3 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭10 + 6 ⨯ 2 = 16 ，当前最大流量的横截面的面积16 - 8，原始的最大流量与当前最大流量的比值为：1618 - 82 3= 1.2【提示】建立直角坐标系，求出抛物线方程，然后利用定积分求出泥沙沉积的横截面面积，求出梯形面积， 即可推出结果．【考点】直线与圆锥曲线的关系． 三、解答题17. 【答案】（Ⅰ） A = π3（Ⅱ）3 32 【解析】（Ⅰ）因为向量m = (a , 3b ) 与n = (cos A ，sin B ) 平行，所以a sin B -3b cos A = 0 ，由正弦定理可知：sin A sin B - 3 sin B cos A = 0 ，因为sin B ≠ 0 ，所以tan A =3，可得 A = π ； 3（Ⅱ）由正弦定理得 7 = 2 ，从而sin B = 21，sin π sin B 73等腰梯形的面积为：3 ⎩ ⎨又由a > b ，知 A > B ，所以cos B =故 = ⎛π ⎫sin C = sin(A + B ) sin B + ⎪⎝⎭ = sin B cos π + cos B sin π = 3 213 314 所以∆ABC 的面积为 1 bc sin A = 3 32 2【提示】（Ⅰ）利用向量的平行，列出方程，通过正弦定理求解 A ；（Ⅱ）利用 A ，以及a = 7，b = 2 ，通过余弦定理求出 c ，然后求解∆ABC 的面积．【考点】余弦定理的应用，平面向量共线（平行）的坐标表示18. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ） 63【解析】证明：（Ⅰ）在图 1 中，∵ AB = BC =1，AD = 2 ，E 是 AD 的中点，∠BAD = π， 2∴ BE ⊥ AC ，即在图 2 中， BE ⊥ OA 1，BE ⊥ OC ，则 BE ⊥ 平面A 1OC ；∵CD ∥BE ， ∴ CD ⊥ 平面A 1OC ；（Ⅱ）若平面A 1BE ⊥ 平面BCDE ，由（Ⅰ）知 BE ⊥ OA 1，BE ⊥ OC ，∴ ∠A 1OC 为二面角 A 1 - BE - C 的平面角，∴ ∠AOC = π，如图，建立空间坐标系，12∵A 1B = A 1E = BC = ED =1 ， BC ∥EDB ⎛ 2 ，0 ⎫ ⎛ 2 ⎫ ⎛ 2 ⎫ ⎛ 2 ⎫ ∴ 2 ，0 ⎪，E - 2 ，0，0 ⎪，A 1 0，0, 2 ⎪，C 0, 2 ，0 ⎪ ，⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭BC⎛ 2 2 ⎫ ⎛ 2 2 ⎫ = - 2 , 2 , 0 ⎪, A 1C = 0, 2 , - 2 ⎪，CD = BE (- 2, 0, 0)⎝ ⎭ ⎝ ⎭设平面A 1BC 的法向量为m = (x , y , z ) ，平面A 1CD 的法向量为n = (a ，b ，c ) ，则⎧⎪m B C ⎨ ⎪⎩m A C 1= 0 ⎧- x + y = 0 = 0 得⎨ y - z = 0 ，令 x =1 ，则y =1，z =1，即m ⎧⎪n A 1C = 0 = (1,1,1) ，由⎨ ⎪⎩n CD = 0⎧a = 0得 ⎩b - c = 0，取n = (0，1，1) ， 2 77m, n >=m n=2| m || n | 3 ⨯ 26则cos <=，3即平面A BC 与平面ACD 夹角的余弦值为6 ．1 1 3【提示】（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理即可证明：CD ⊥平面A1OC ；（Ⅱ）若平面A1BE ⊥平面BCDE ，建立空间坐标系，利用向量法即可求平面A1BC 与平面A1CD 夹角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法，直线与平面垂直的性质【答案】（Ⅰ）T 的分布列为：T 25 30 35 40P 0.2 0.3 0.4 0.1ET = 32 （分钟）（Ⅱ）0.91T（分钟）25 30 35 40频率0.2 0.3 0.4 0.1T 25 30 35 40P 0.2 0.3 0.4 0.1从而数学期望ET = 25⨯ 0.2 + 30⨯ 0.3 + 35⨯ 0.4 + 40⨯ 0.1 = 32 （分钟）（Ⅱ）设T1，T2 分别表示往、返所需时间，T1，T2 的取值相互独立，且与T 的分布列相同，设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120 分钟”，由于讲座时间为50 分钟，所以事件A 对应于“刘教授在路途中的时间不超过70 分钟”b 2 +c 210(b 2- 2) 101 12 2P (A ) = P (T 1 + T 2 > 70) = P (T 1 = 35，T 2 = 40) + P (T 1 = 40，T 2 = 35) + P (T 1 = 40，T 2 = 40)= 0.4⨯ 0.1+ 0.1⨯ 0.4 + 0.1⨯ 0.1 = 0.09 故 P ( A ) =1- P (A ) = 0.91【提示】（Ⅰ）求 T 的分布列即求出相应时间的频率，频率=频数÷样本容量， 数学期望 ET = 25⨯ 0.2 + 30⨯ 0.3 + 35⨯ 0.4 + 40⨯ 0.1 = 32 （分钟）；（Ⅱ）设T 1，T 2 分别表示往、返所需时间，事件 A 对应于“刘教授共用时间不超过 70 分钟”，先求出P (A ) = P (T 1 = 35，T 2 = 40) + P (T 1 = 40，T 2 = 35)+ P (T 1 = 40，T 2 = 40 )= 0 .09【考点】离散型随机变量的期望与方差，离散型随机变量及其分布列20. 【答案】（Ⅰ） 32（Ⅱ） x 2 + y 2 =12 3【解析】（Ⅰ）经过点(0,b ) 和(c ,0) 的直线方程为bx + cy - bc = 0 ，则原点到直线的距离为d = bc = 1 c 2 ，即为a = 2b ，e = c = a = 3 ； 2（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E 的方程为 x 2 + 4 y 2 = 4b 2①，由题意可得圆心 M (-2，1) 是线段 AB 的中点，则| AB |= 10 ，易知 AB 与 x 轴不垂直，记其方程为 y = k (x + 2) +1，代入①可得(1+ 4k 2 )x 2 + 8k (1+ 2k ) x + 4(1+ 2k )2- 4b 2 = 0 ，设 A (x ，y )，B (x ，y ) ，x +-8k (1+ 2k )4(1 + 2k )2 - 4b 2x + x = -4 -8k (1+ 2k ) 1则 1 x 2 =1+ 4k2， x 1 x 2 =1 + 4k 2，由 1 2，得 1+ 4k 2 = -4 ，解得k = ， 2从而 x 1 x 2 = 8 - 2b ，于是| AB |= 2x 2 y 2= = ， 解得b 2= 3 ，则有椭圆 E 的方程为 + = 112 3【提示】（Ⅰ）求出经过点(0，b ) 和(c ，0) 的直线方程，运用点到直线的距离公式，结合离心率公式计算即可得到所求值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆 E 的方程为 x 2 + 4 y 2 = 4b 2，①设出直线 AB 的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合圆的直径和中点坐标公式，解方程可得b 2 = 3 ，即可得到椭圆方程． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题，曲线与方程b 2 1 - a 2 1 + | x + x |= ⎛ 1 ⎫2 ⎝ 2 ⎭⎪ 1 2 5 2(x + x )2 - 4x x 1 2 1 2 1n 021. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）当 x =1 时， f n (x ) = g n (x )当 x ≠ 1 时， f n (x ) < g n (x )【解析】证明：（Ⅰ）由 F n (x ) = f n (x ) - 2 = 1+ x + x 2 +⋯+ x n - 2 ，则 F (1) = n -1 > 0 ，⎛ 1 ⎫n +1⎛ 1 ⎫ 1 ⎛ 1 ⎫2⎛ 1 ⎫n1- 2 ⎪ 1 F = 1+ + +⋯+- 2 = ⎝ ⎭ - 2 = - < 0 ，n 2 ⎪ 2 2 ⎪ 2 ⎪ 1 2n⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ 1-2 ∴ F (x ) 在⎛ 1 ,1⎫ 内至少存在一个零点，又 F '(x ) = 1+ 2x +⋯+ nx n -1> 0 ， n 2 ⎪ n ⎝ ⎭ ∴ F (x ) 在⎛ 1 ,1⎫内单调递增， n 2 ⎪ ⎝ ⎭ ∴ F (x ) 在⎛ 1 ,1⎫内有且仅有一个零点 x ， n 2 ⎪ n⎝ ⎭∵ x n 是 F n (x ) 的一个零点，1 - x n +1 ∴ F (x ) = 0 ，即 n -2 = 0 ，故 x = 1 + 1 x n +1 ； 1 - x nn 2 2 n(n + 1)(1 + x n ) （Ⅱ）由题设， g n (x ) =， 22n(n +1)(1 + x n )设 h (x ) = f n (x ) - g n (x ) = 1 + x + x当 x =1 时， f n (x ) = g n (x ) ．+⋯+ x -，x > 0 ． 2当 x ≠ 1 时， h '(x ) = 1 + 2x +⋯+ nxn -1 n (n + 1)x n -1-．2若0 < x < 1， h '(x ) > xn -1 + 2xn -1 + ... + nx n -1 -n (n + 1)x n -12= n (n +1)x n -1 - n (n +1)x n -1 = ． 2 2若 x >1 ， h '(x ) < xn -1+ 2xn -1+ ... + nxn -1-n (n +1)x n -12= n (n +1)x n -1 - n (n +1)x n -1 = ． 2 2∴h (x ) 在(0，1) 内递增，在(1，+ ∞) 内递减， ∴ h (x ) < h (1) = 0 ，即 f n (x ) < g n (x ) ．n n2 综上，当 x =1 时， f n (x ) = g n (x ) ；当 x ≠ 1 时， f n (x ) < g n (x ) ．【提示】（Ⅰ）由 F (x ) = f (x ) - 2 = 1+ x + x 2 +⋯+ x n - 2 ，求得 F (1) > 0 ， F ⎛ 1 ⎫ < 0 ．再由导数判断出函 n n n n 2 ⎪ ⎝ ⎭ 数 F (x ) 在 ⎛ 1 ,1⎫ 内单调递增， 得到 F (x ) 在 ⎛ 1 ,1⎫ 内有且仅有一个零点 x ，由 F (x )= 0，得到 n 2 ⎪ n 2 ⎪ n n n⎝ ⎭ ⎝ ⎭ x = 1 + 1 x n +1 ；n 2 2 n (n + 1)(1 + x n ) 2 n (n +1)(1 + x n ) （Ⅱ）先求出 g n (x ) = 2 ，构造函数h (x ) = f n (x ) - g n (x ) = 1 + x + x +⋯+ x - ，当 2x =1 时， f n (x ) = g n (x )； 当 x ≠ 1 时， 利用导数求得 h (x ) 在(0，1) 内递增， 在(1，+ ∞) 内递减，即得到f n (x ) <g n (x )．【考点】数列的求和，等差数列与等比数列的综合22. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）3【解析】证明：（Ⅰ）∵ DE 是 O 的直径，则∠BED + ∠EDB = 90︒ ，∵BC ⊥ DE ， ∴ ∠CBD + ∠EDB = 90︒ ，即∠CBD = ∠BED ，∵ AB 切 O 于点 B ，∴ ∠DBA = ∠BED ，即∠CBD = ∠DBA ； （Ⅱ）由（Ⅰ）知 BD 平分∠CBA ，则BA = AD = 3 ，∵ BC = ， ∴ AB = 3 2 ， A C = BC CD= 4 ，则 AD = 3 ， AB 2由切割线定理得 AB 2 = AD AE ，即 AE = = 6 ，AD 故 DE = AE - AD = 3 ，即 O 的直径为 3．【提示】（Ⅰ）根据直径的性质即可证明： ∠CBD = ∠DBA ；（Ⅱ）结合割线定理进行求解即可求 O 的直径．【考点】直线与圆的位置关系23.【答案】（Ⅰ）x 2 + ( y - 3)2 = 3 AB 2 - BC 2t 2 +12 3 3 at +12 bt -3t +12 3 4 - t 4 - t + t t ⎩ ⎨ ⎨ （Ⅱ） P (3,0)【解析】（Ⅰ）由 C 的极坐标方程为 ρ = 2 3ρ sin θ ．∴ ρ2 = 2 3ρ sin θ ，化为 x 2 + y 2 = 2 3y ，配方为 x 2 + ( y -3)2 = 3 ．⎛ 1 3 ⎫ （Ⅱ）设 P 3 + 2 t , 2 t ⎪ ，又C (0, 3) ． ⎝ ⎭ ∴|PC |== ≥ 2 ，因此当t = 0 时，| PC | 取得最小值2 ．此时 P (3,0) ．【提示】（Ⅰ）由 C 的极坐标方程为 ρ = 2 3ρ sin θ ．化为 ρ2 = 2 3ρ sin θ ，把⎧ρ 2 = x 2 ⎨ y = ρn+2y θ 代入即可得出． ⎛ 1 3 ⎫（Ⅱ）设 P 3 + 2 t , 2 t ⎪ ，又C (0, 3) ．利用两点之间的距离公式可得|PC |=，再利用二次函数的⎝ ⎭性质即可得出．【考点】点的极坐标和直角坐标的互化⎧a = -3 24.【答案】（Ⅰ） ⎨⎩b = 1（Ⅱ）4【解析】（Ⅰ）关于 x 的不等式| x + a |< b 可化为-b - a < x < b - a ，又∵原不等式的解集为{x | 2 < x < 4}， ⎧-b - a = 2 ∴ ⎩b - a = 4 ⎧a = -3 ，解方程组可得 ； ⎩b = 1（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 + = += +≤= 2 = 4 ，当且仅当 = 即t =1时取等号， 1∴所求最大值为 4⎛ 1 ⎫2 3 + t ⎪ + t - 3 ⎪ ⎛ 3 ⎫ 2 ⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭ t 2 +12 tt [( 3)2 +12 ][( 4 - t )2 + ( t )2 ]4 - t 3-3t +12 t 3 4 - t t 【提示】（Ⅰ）由不等式的解集可得 a 与 b 的方程组，解方程组可得； （Ⅱ）原式= + = + ，由柯西不等式可得最大值．【考点】不等关系与不等式。
2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(陕西卷)(含答案全解析)
2015年普通高等学校招生全国统一考试陕西理科数学1.本试卷分为两部分,第一部分为选择题,第二部分为非选择题.2.考生领到试卷后,先按规定在试卷上填写姓名、准考证号,并在答题卡上填上对应的试卷类型信息.3.所有解答必须填写在答题卡上指定区域内.考试结束后,将本试卷及答题卡一并交回.第一部分(共60分)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求(本大题共12小题,每小题5分,共60分).1.(2015陕西,理1)设集合M={x|x2=x},N={x|lg x≤0},则M∪N=()A.[0,1]B.(0,1]C.[0,1)D.(-∞,1]答案:A解析:解x2=x,得x=0或x=1,故M={0,1}.解lg x≤0,得0<x≤1,故N=(0,1].故M∪N=[0,1],选A.2.(2015陕西,理2)某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为()A.93B.123C.137D.167答案:C解析:由题图知,初中部女教师有110×70%=77人;高中部女教师有150×(1-60%)=60人.故该校女教师共有77+60=137(人).选C.3.(2015陕西,理3)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sinπx+φ +k.据此函数6可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()A.5B.6C.8D.10答案:C解析:因为sinπx+φ ∈[-1,1],所以函数y=3sinπx+φ +k的最小值为k-3,最大值为k+3.由题图可知函数最小值为k-3=2,解得k=5.所以y的最大值为k+3=5+3=8,故选C.4.(2015陕西,理4)二项式(x+1)n(n∈N+)的展开式中x2的系数为15,则n=()A.7B.6C.5D.4答案:B解析:(x+1)n的展开式通项为T r+1=C n r x n-r.令n-r=2,即r=n-2.则x2的系数为C n n−2=C n2=15,解得n=6,故选B.5.(2015陕西,理5)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.3πB.4πC.2π+4D.3π+4答案:D解析:由三视图可知,该几何体是一个半圆柱,圆柱的底面半径r=1,高h=2.所以几何体的侧面积S1=C底·h=(π×1+2)×2=2π+4.几何体的底面积S2=12π×12=12π.故该几何体的表面积为S=S1+2S2=2π+4+2×π2=3π+4.故选D.6.(2015陕西,理6)“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:由cos 2α=0,得cos2α-sin2α=0,即cos α=sin α或cos α=-sin α.故“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的充分不必要条件.7.(2015陕西,理7)对任意向量a,b,下列关系式中不恒成立的是()A.|a·b|≤|a||b|B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)·(a-b)=a2-b2答案:B解析:A项,a·b=|a||b|cos<a,b>≤|a||b|,所以不等式恒成立;B项,当a与b同向时,|a-b|=||a|-|b||;当a与b非零且反向时,|a-b|=|a|+|b|>||a|-|b||.故不等式不恒成立;C项,(a+b)2=|a+b|2恒成立;D项,(a+b)·(a-b)=a2-a·b+b·a-b2=a2-b2,故等式恒成立.综上,选B.8.(2015陕西,理8)根据右边框图,当输入x为2 006时,输出的y=()A.2B.4C.10D.28答案:C解析:由算法框图可知,每运行一次,x的值减少2,当框图运行了1 004次时,x=-2,此时x<0,停止循环,由y=3-x+1可知,y=3-(-2)+1=10,故输出y的值为10,故选C.9.(2015陕西,理9)设f(x)=ln x,0<a<b,若p=f(ab),q=f a+b2,r=12(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是()A.q=r<pB.p=r<qC.q=r>pD.p=r>q答案:B解析:因为0<a<b,所以a+b>ab.又因为f(x)=ln x在(0,+∞)上单调递增,所以f a+b2>f(ab),即p<q.而r=1(f(a)+f(b))=1(ln a+ln b)=12ln(ab)=ln ab,所以r=p,故p=r<q.选B.10.(2015陕西,理10)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为()A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元答案:D解析:设该企业每天生产甲产品x吨,乙产品y吨,获利z元.则由题意知3x+2y≤12,x+2y≤8,x≥0,y≥0,利润函数z=3x+4y.画出可行域如图所示,当直线3x+4y-z=0过点B 时,目标函数取得最大值.由 3x +2y =12,x +2y =8,解得 x =2,y =3.故利润函数的最大值为z=3×2+4×3=18(万元).故选D .11.(2015陕西,理11)设复数z=(x-1)+y i (x ,y ∈R ),若|z|≤1,则y ≥x 的概率为( )A.34+12π B.12+1πC.12-1πD.14-12π答案:D解析:由|z|≤1,得(x-1)2+y 2≤1.不等式表示以C (1,0)为圆心,半径r=1的圆及其内部,y ≥x 表示直线y=x 左上方部分(如图所示). 则阴影部分面积S=1π×12-S △OAC =1π-1×1×1=π-1.故所求事件的概率P=S 阴S 圆=π4−12π×12=14-12π.12.(2015陕西,理12)对二次函数f (x )=ax 2+bx+c (a 为非零整数),四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是( ) A.-1是f (x )的零点 B.1是f (x )的极值点 C.3是f (x )的极值 D.点(2,8)在曲线y=f (x )上 答案:A解析:f'(x )=2ax+b.若A 正确,则f (-1)=0,即a-b+c=0, ① 若B 正确,则f'(1)=0,即2a+b=0, ② 若C 正确,则f'(x 0)=0,且f (x 0)=3, 即f −b=3,即c-b2=3.③ 若D 项正确,则f (2)=8,即4a+2b+c=8.④假设②③④正确,则由②得b=-2a ,代入④得c=8,代入③得8-4a 24a=3,解得a=5,b=-10,c=8.此时f (x )=5x 2-10x+8,f (-1)=5×(-1)2-10×(-1)+8=5+10+8=23≠0,即A 不成立.故B ,C ,D 可同时成立,而A 不成立.故选A .第二部分(共90分)二、填空题:把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共4小题,每小题5分,共20分).13.(2015陕西,理13)中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 015,则该数列的首项为 . 答案:5解析:由题意知,1 010为数列首项a 1与2 015的等差中项,故a 1+2 015=1 010,解得a 1=5.14.(2015陕西,理14)若抛物线y 2=2px (p>0)的准线经过双曲线x 2-y 2=1的一个焦点,则p= .答案:2解析:双曲线x 2-y 2=1的焦点为F 1(- 2,0),F 2( 2,0).抛物线的准线方程为x=-p 2.因p>0,故-p2=- 2,解得p=2 2.15.(2015陕西,理15)设曲线y=e x 在点(0,1)处的切线与曲线y=1(x>0)上点P 处的切线垂直,则P 的坐标为 . 答案:(1,1)解析:曲线y=e x 在点(0,1)处的切线斜率k=y'=e x |x=0=1;由y=1,可得y'=-12,因为曲线y=1(x>0)在点P 处的切线与曲线y=e x 在点(0,1)处的切线垂直,故-1P2=-1,解得x P =1,由y=1,得y P =1,故所求点P 的坐标为(1,1). 16.(2015陕西,理16)如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 .答案:1.2解析:以梯形的下底为x 轴,上、下底边的中点连线为y 轴,建立如图所示的坐标系,设抛物线的方程为y=ax 2,则抛物线过点(5,2),故2=25a ,得a=2,故抛物线的方程为y=2x 2.最大流量的比,即截面的面积比,由图可知,梯形的下底长为6,故梯形的面积为(10+6)×2=16,而当前的截面面积为2 52−2x 2 d x=2 2x −2x 3 |05=40,故原始流量与当前流量的比为16403=1.2. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题,共70分).17.(本小题满分12分)(2015陕西,理17)△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,向量m=(a , 3b )与n=(cos A ,sin B )平行. (1)求A ;(2)若a= 7,b=2,求△ABC 的面积.(1)解:因为m ∥n ,所以a sin B- b cos A=0.由正弦定理,得sin A sin B- 3sin B cos A=0. 又sin B ≠0,从而tan A= 3. 由于0<A<π,所以A=π3.(2)解法一:由余弦定理,得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,而a= 7,b=2,A=π3,得7=4+c 2-2c ,即c 2-2c-3=0. 因为c>0,所以c=3.故△ABC 的面积为12bc sin A=3 3.解法二:由正弦定理,得 7sin π3=2sin B ,从而sin B= 21.又由a>b ,知A>B ,所以cos B=2 7.故sin C=sin (A+B )=sin B +π=sin B cos π3+cos B sin π3=3 2114.所以△ABC 的面积为12ab sin C=3 32. 18.(本小题满分12分)(2015陕西,理18)如图①,在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠BAD=π,AB=BC=1,AD=2,E 是AD 的中点,O 是AC 与BE 的交点,将△ABE 沿BE 折起到△A 1BE 的位置,如图②.图①图②(1)证明:CD ⊥平面A 1OC ;(2)若平面A 1BE ⊥平面BCDE ,求平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值.(1)证明:在题图①中,因为AB=BC=1,AD=2,E 是AD 的中点,∠BAD=π,所以BE ⊥AC ,即在题图②中,BE ⊥OA 1,BE ⊥OC , 从而BE ⊥平面A 1OC ,又CD ∥BE ,所以CD ⊥平面A 1OC. (2)解:由已知,平面A 1BE ⊥平面BCDE ,又由(1)知,平面A 1BE ⊥平面BCDE , 又由(1)知,BE ⊥OA 1,BE ⊥OC ,所以∠A 1OC 为二面角A 1-BE-C 的平面角, 所以∠A 1OC=π.如图,以O 为原点,建立空间直角坐标系,因为A 1B=A 1E=BC=ED=1,BC ∥ED , 所以B 2,0,0 ,E −2,0,0 ,A 1 0,0,2,C 0,2,0 ,得BC = − 2, 2,0 ,A 1C = 0, 2,− 2,CD =BE =(-2,0,0).设平面A 1BC 的法向量n 1=(x 1,y 1,z 1),平面A 1CD 的法向量n 2=(x 2,y 2,z 2),平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角为θ,则 n 1·BC =0,n 1·A 1C =0,得 −x 1+y 1=0,y 1−z 1=0,取n 1=(1,1,1); n 2·CD =0,n 2·A 1C =0,得x 2=0,y 2−z 2=0,取n 2=(0,1,1), 从而cos θ=|cos <n 1,n 2>|=3× 2= 63, 即平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值为 6.19.(本小题满分12分)(2015陕西,理19)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ,T 只与道路畅通状况有关,对其容量为100的样本进行统计,结果如下:(1)求T的分布列与数学期望ET;(2)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个50分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率.解:(1)由统计结果可得T的频率分布为以频率估计概率得T的分布列为从而ET=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32(分钟).(2)设T1,T2分别表示往、返所需时间,T1,T2的取值相互独立,且与T的分布列相同.设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”,由于讲座时间为50分钟,所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”.解法一:P(A)=P(T1+T2≤70)=P(T1=25,T2≤45)+P(T1=30,T2≤40)+P(T1=35,T2≤35)+P(T1=40,T2≤30)=0.2×1+0.3×1+0.4×0.9+0.1×0.5=0.91.解法二:P(=P(T1+T2>70)=P(T1=35,T2=40)+P(T1=40,T2=35)+P(T1=40,T2=40)=0.4×0.1+0.1×0.4+0.1×0.1=0.09,故P(A)=1-P(A)=0.91.20.(本小题满分12分)(2015陕西,理20)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为12c.(1)求椭圆E的离心率;(2)如图,AB是圆M:(x+2)2+(y-1)2=5的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程.(1)解:过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0,则原点O到该直线的距离d=bcb+c2=bc,由d=1c,得a=2b=2 a2−c2,解得离心率c=3.(2)解法一:由(1)知,椭圆E 的方程为x 2+4y 2=4b 2.①依题意,圆心M (-2,1)是线段AB 的中点,且|AB|= 10.易知,AB 与x 轴不垂直,设其方程为y=k (x+2)+1,代入①得,(1+4k 2)x 2+8k (2k+1)x+4(2k+1)2-4b 2=0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 1+x 2=-8k (2k +1)1+4k2,x 1x 2=4(2k +1)2−4b21+4k2.由x 1+x 2=-4,得-8k (2k +1)1+4k2=-4,解得k=1.从而x 1x 2=8-2b 2.于是|AB|= 1+ 122|x 1-x 2|= 52 (x 1+x 2)2−4x 1x 2= 10(b 2−2). 由|AB|= 10,得 2−2)= 10,解得b 2=3. 故椭圆E 的方程为x 212+y 23=1.解法二:由(1)知,椭圆E 的方程为x 2+4y 2=4b 2.②依题意,点A ,B 关于圆心M (-2,1)对称,且|AB|= 10. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 12+4y 12=4b 2,x 22+4y 22=4b 2,两式相减并结合x 1+x 2=-4,y 1+y 2=2, 得-4(x 1-x 2)+8(y 1-y 2)=0. 易知AB 与x 轴不垂直,则x 1≠x 2, 所以AB 的斜率k AB =y 1−y 2x 1−x 2=12. 因此,直线AB的方程为y=12(x+2)+1,代入②得,x 2+4x+8-2b 2=0.所以x 1+x 2=-4,x 1x 2=8-2b 2. 于是|AB|= 1+ 122|x 1-x 2|= 5(x 1+x 2)2−4x 1x 2= 10(b 2−2). 由|AB|= 10,得 10(b 2−2)= 10,解得b 2=3.故椭圆E 的方程为x 2+y 2=1.21.(本小题满分12分)(2015陕西,理21)设f n (x )是等比数列1,x ,x 2,…,x n 的各项和,其中x>0,n ∈N ,n ≥2.(1)证明:函数F n (x )=f n (x )-2在 12,1 内有且仅有一个零点(记为x n ),且x n =12+12x n n +1;(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列,其各项和为g n (x ),比较f n (x )和g n (x )的大小,并加以证明.(1)证明:F n (x )=f n (x )-2=1+x+x 2+…+x n -2,则F n (1)=n-1>0,F n 12 =1+12+ 12 2+…+ 12 n-2 =1− 12n +11−12-2=-1n <0,所以F n (x )在 1,1 内至少存在一个零点. 又F n '(x )=1+2x+…+nx n-1>0, 故F n (x )在 12,1 内单调递增,所以F n (x )在 1,1 内有且仅有一个零点x n . 因为x n 是F n (x )的零点,所以F n (x n )=0,即1−x nn +1n -2=0,故x n =1+1x n n +1. (2)解法一:由假设,g n (x )=(n +1)(1+x n )2.设h (x )=f n (x )-g n (x )=1+x+x 2+…+x n -(n +1)(1+x n ),x>0. 当x=1时,f n (x )=g n (x ).当x ≠1时,h'(x )=1+2x+…+nx n-1-n (n +1)x n−1. 若0<x<1,h'(x )>x n-1+2x n-1+…+nx n-1-n (n +1)x n-1=n (n +1)x n-1-n (n +1)x n-1=0. 若x>1,h'(x )<x n-1+2x n-1+…+nx n-1-n (n +1)2x n-1=n (n +1)2x n-1-n (n +1)2x n-1=0.所以h (x )在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减, 所以h (x )<h (1)=0,即f n (x )<g n (x ). 综上所述,当x=1时,f n (x )=g n (x ); 当x ≠1时,f n (x )<g n (x ).解法二:由题设,f n (x )=1+x+x 2+…+x n ,g n (x )=(n +1)(x n +1)2,x>0. 当x=1时,f n (x )=g n (x ).当x ≠1时,用数学归纳法可以证明f n (x )<g n (x ).①当n=2时,f 2(x )-g 2(x )=-1(1-x )2<0, 所以f 2(x )<g 2(x )成立.②假设n=k (k ≥2)时,不等式成立,即f k (x )<g k (x ). 那么,当n=k+1时,f k+1(x )=f k (x )+x k+1<g k (x )+x k+1=(k +1)(1+x k )2+x k+1 =2x k +1+(k +1)x k +k +1.又g k+1(x )-2x k +1+(k +1)x k +k +12=kx k +1−(k +1)x k +1,令h k (x )=kx k+1-(k+1)x k +1(x>0),则h k '(x )=k (k+1)x k -k (k+1)x k-1=k (k+1)x k-1(x-1). 所以,当0<x<1时,h k '(x )<0,h k (x )在(0,1)上递减; 当x>1时,h k '(x )>0,h k (x )在(1,+∞)上递增. 所以h k (x )>h k (1)=0, 从而g k+1(x )>2x k +1+(k +1)x k +k +12.故f k+1(x )<g k+1(x ),即n=k+1时不等式也成立. 由①和②知,对一切n ≥2的整数,都有f n (x )<g n (x ).解法三:由已知,记等差数列为{a k },等比数列为{b k },k=1,2,…,n+1.则a 1=b 1=1,a n+1=b n+1=x n , 所以a k =1+(k-1)·x n −1(2≤k ≤n ), b k =x k-1(2≤k ≤n ),令m k (x )=a k -b k =1+(k−1)(x n −1)n-x k-1,x>0(2≤k ≤n ), 当x=1时,a k =b k ,所以f n (x )=g n (x ). 当x ≠1时,m k '(x )=k−1·nx n-1-(k-1)x k-2=(k-1)x k-2(x n-k+1-1). 而2≤k ≤n ,所以k-1>0,n-k+1≥1. 若0<x<1,x n-k+1<1,m k '(x )<0;若x>1,x n-k+1>1,m k '(x )>0,从而m k (x )在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增, 所以m k (x )>m k (1)=0.所以当m>0且m ≠1时,a k >b k (2≤k ≤n ), 又a 1=b 1,a n+1=b n+1,故f n (x )<g n (x ). 综上所述,当x=1时,f n (x )=g n (x ); 当x ≠1时,f n (x )<g n (x ).考生注意:请在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑.22.(本小题满分10分)(2015陕西,理22)选修4—1:几何证明选讲 如图,AB 切☉O 于点B ,直线AO 交☉O 于D ,E 两点,BC ⊥DE ,垂足为C.(1)证明:∠CBD=∠DBA ;(2)若AD=3DC ,BC= 2,求☉O 的直径. (1)证明:因为DE 为☉O 直径,则∠BED+∠EDB=90°.又BC ⊥DE ,所以∠CBD+∠EDB=90°, 从而∠CBD=∠BED.又AB 切☉O 于点B ,得∠DBA=∠BED , 所以∠CBD=∠DBA. (2)解:由(1)知BD 平分∠CBA ,则BA =AD=3, 又BC= 2,从而AB=3 2.所以AC=2−BC 2=4,所以AD=3. 由切割线定理得AB 2=AD ·AE ,即AE=AB 2=6,故DE=AE-AD=3,即☉O 直径为3.23.(本小题满分10分)(2015陕西,理23)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为 x =3+12t ,y = 3t(t 为参数),以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,☉C 的极坐标方程为ρ=2 3sin θ. (1)写出☉C 的直角坐标方程;(2)P 为直线l 上一动点,当P 到圆心C 的距离最小时,求P 的直角坐标. 解:(1)由ρ=2 θ,得ρ2=2 3ρsin θ,从而有x 2+y 2=2 3y ,所以x 2+(y- 3)2=3. (2)设P 3+1t , 3t ,又C (0, 3),则|PC|= 3+1t + 3t − 3 2= t 2+12,故当t=0时,|PC|取得最小值, 此时,P 点的直角坐标为(3,0).24.(本小题满分10分)(2015陕西,理24)选修4—5:不等式选讲已知关于x的不等式|x+a|<b的解集为{x|2<x<4}.(1)求实数a,b的值;(2)求at+12+bt的最大值.解:(1)由|x+a|<b,得-b-a<x<b-a,则−b−a=2,b−a=4,解得a=-3,b=1.(2)−3t+12+t=34−t+t≤[(3)2+12][(4−t)2+(t)2]=24−t+t=4,当且仅当4−t3=t,即t=1时等号成立.故(−3t+12+t)max=4.11。
15年高考真题——理科数学(陕西卷)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（陕西）卷数学（理科）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给也的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}2|M x x x ==，{}|lg 0N x x =≤，则M N = （ ）（A ）[]0,1 （B ）(]0,1 （C ）[)0,1 （D ）(],1-∞2．某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为( )4．二项式()()1n x n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n = ( )（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）75．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )（A ）3π （B ）4π （C ）24π+ （D ）34π+6．“sin cos αα=”是“cos 20α=”的( ) （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件7．对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是( )（A ）||||||a b a b ⋅≤ （B ）||||||a b a b -≤-（C ）()22||a b a b +=+ （D ）()()22a b a b a b +-=- 8．根据右边的图，当输入x 为2006时，输出的y = ( )（A ）28 （B ）10 （C ）4 （D ）29．设()ln f x x =，0a b <<，若p f =，2a b q f +⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()12r f a f b =+⎡⎤⎣⎦，则下列关系式中正确的是（ ） （A ）q r p =< （B ）q r p => （C ）p r q =< （D ）p r q => 10．某企业生产甲、乙两种产品均需用,A B 两种原料。
已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）（A ）12万元 （B ）16万元（C ）17万元 （D ）18万元 11．设复数()()1,z x yi x y R =-+∈，若||1z ≤，则y x ≥的概率为（ ）（A ）3142π+ （B ）1142π- （C ）112π- （D ）112π+ 12．对二次函数()2f x ax bx c =++（a 为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ） （A ）1-是()f x 的零点（B ）1是()f x 的极值点 （C ）3是()f x 的极值 （D ）点()2,8在曲线()y f x =上二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________。
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(陕西卷,含解析)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则MN =（ ）A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(,1]-∞ 【答案】A 【解析】试题分析：{}{}20,1x x x M ===，{}{}lg 001x x x x N =≤=<≤，所以[]0,1MN =，故选A ．考点：1、一元二次方程；2、对数不等式；3、集合的并集运算．2.某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（ ） A ．167 B ．137 C ．123 D ．93【答案】B考点：扇形图．3.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．10【答案】C 【解析】试题分析：由图象知：min 2y =，因为min 3y k =-+，所以32k -+=，解得：5k =，所以这段时间水深的最大值是max 3358y k =+=+=，故选C ． 考点：三角函数的图象与性质．4.二项式(1)()n x n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】C考点：二项式定理．5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．24π+D ．34π+【答案】D 【解析】试题分析：由三视图知：该几何体是半个圆柱，其中底面圆的半径为1，母线长为2，所以该几何体的表面积是()1211222342ππ⨯⨯⨯++⨯=+，故选D ． 考点：1、三视图；2、空间几何体的表面积．6.“sin cos αα=”是“cos 20α=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：因为22cos 2cos sin 0ααα=-=，所以sin cos αα=或sin cos αα=-，因为“sin cos αα=”⇒“cos 20α=”，但“sin cos αα=”⇐/“cos 20α=”，所以“sin cos αα=”是“cos 20α=”的充分不必要条件，故选A ． 考点：1、二倍角的余弦公式；2、充分条件与必要条件． 7.对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是（ ）A ．||||||a b a b ⋅≤B ．||||||||a b a b -≤-C ．22()||a b a b +=+D ．22()()a b a b a b +-=- 【答案】B考点：1、向量的模；2、向量的数量积．8.根据右边的图，当输入x 为2006时，输出的y =（ ）A ．28B ．10C ．4D ．2【答案】B 【解析】试题分析：初始条件：2006x =；第1次运行：2004x =；第2次运行：2002x =；第3次运行：2000x =；⋅⋅⋅⋅⋅⋅；第1003次运行：0x =；第1004次运行：2x =-．不满足条件0?x ≥，停止运行，所以输出的23110y =+=，故选B ． 考点：程序框图．9.设()ln ,0f x x a b =<<，若p f =，()2a b q f +=，1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是（ ）A ．q r p =<B ．q r p =>C ．p r q =<D ．p r q => 【答案】C考点：1、基本不等式；2、基本初等函数的单调性．10.某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最 大利润为（ ）A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元【答案】D 【解析】试题分析：设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x 、y 吨，则利润34z x y =+由题意可列32122800x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，其表示如图阴影部分区域：当直线340x y z +-=过点(2,3)A 时，z 取得最大值，所以max 324318z =⨯+⨯=，故选D ．考点：线性规划．11.设复数(1)z x yi =-+(,)x y R ∈，若||1z ≤，则y x ≥的概率为（ ）A ．3142π+B ．1142π-C ．112π-D ．112π+【答案】B 【解析】试题分析：22(1)||1(1)1z x yi z x y =-+⇒=⇒-+≤如图可求得(1,1)A ，(1,0)B ，阴影面积等于21111114242ππ⨯-⨯⨯=- 若||1z ≤，则y x ≥的概率是211142142πππ-=-⨯，故选B ． 考点：1、复数的模；2、几何概型．12.对二次函数2()f x ax bx c =++（a 为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）A ．-1是()f x 的零点B ．1是()f x 的极值点C ．3是()f x 的极值 D. 点(2,8)在曲线()y f x =上 【答案】A考点：1、函数的零点； 2、利用导数研究函数的极值． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 ． 【答案】5 【解析】试题分析：设数列的首项为1a ，则12015210102020a +=⨯=，所以15a =，故该数列的首项为5，所以答案应填：5． 考点：等差中项．14.若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线221x y -=的一个焦点，则p= ．【答案】考点：1、抛物线的简单几何性质；2、双曲线的简单几何性质． 15.设曲线xy e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点p 处的切线垂直，则p 的坐标为 ．【答案】()1,1 【解析】试题分析：因为x y e =，所以x y e '=，所以曲线x y e =在点()0,1处的切线的斜率101x k y e ='===，设P 的坐标为()00,x y （00x >），则001y x =，因为1y x =，所以21y x '=-，所以曲线1y x=在点P 处的切线的斜率02201x x k y x ='==-，因为121k k ⋅=-，所以211x -=-，即201x =，解得01x =±，因为00x >，所以01x =，所以01y =，即P 的坐标是()1,1，所以答案应填：()1,1．考点：1、导数的几何意义；2、两条直线的位置关系．16.如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 ．【答案】1.2 【解析】试题分析：建立空间直角坐标系，如图所示：原始的最大流量是()11010222162⨯+-⨯⨯=，设抛物线的方程为22x py =（0p >），因为该抛物线过点()5,2，所以2225p ⨯=，解得254p =，所以2252x y =，即2225y x =，所以当前最大流量是()()5323535522224022255255257575753x dx x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤-=-=⨯-⨯-⨯--⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰，故原始的最大流量与当前最大流量的比值是161.2403=，所以答案应填：1.2． 考点：1、定积分；2、抛物线的方程；3、定积分的几何意义．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．） 17．（本小题满分12分）C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量(),3m a b =与()cos ,sin n =A B 平行． （I ）求A ； （II ）若a =2b =求C ∆AB 的面积．【答案】（I）3π；（II ）2．试题解析：（I ）因为//m n ，所以sincos 0a B A -=，由正弦定理，得sinAsinB 0-=又sin 0B ≠，从而tan A 由于0Aπ<<，所以3A π=(II)解法一：由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+- 而2,a =3πA =得2742c c =+-，即2230c c --= 因为0c >，所以3c =. 故∆ABC 的面积为1bcsinA 2.考点：1、平行向量的坐标运算；2、正弦定理；3、余弦定理；4、三角形的面积公式. 18．（本小题满分12分）如图1，在直角梯形CD AB 中，D//C A B ，D 2π∠BA =，C 1AB =B =，D 2A =，E 是D A 的中点，O 是C A 与BE 的交点．将∆ABE 沿BE 折起到1∆A BE 的位置，如图2．（I ）证明：CD ⊥平面1C A O ；（II ）若平面1A BE ⊥平面CD B E ，求平面1C A B 与平面1CD A 夹角的余弦值．【答案】（I ）证明见解析；（II ）3试题解析：（I ）在图1中，因为AB=BC=1,AD=2,E 是AD 的中点，∠BAD=2π，所以BE ⊥AC 即在图2中，BE ⊥ 1OA ，BE ⊥OC 从而BE ⊥平面1AOC 又CD BE ，所以CD ⊥平面1AOC.(II)由已知，平面1A BE ⊥平面BCDE ，又由（1）知，BE⊥ 1OA ，BE ⊥OC 所以1AOC ∠为二面角1--C A BE 的平面角，所以1OC 2A π∠=.如图，以O 为原点，建立空间直角坐标系， 因为11B=E=BC=ED=1A A , BC ED所以1((0,0,2222B -得2BC(22-12A C(0,22-，CD BE (==-. 设平面1BC A 的法向量1111(,,)n x y z =，平面1CD A 的法向量2222(,,)n x y z =，平面1BC A 与平面1CD A 夹角为θ， 则11100n BC n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得11110x y y z -+=⎧⎨-=⎩，取1(1,1,1)n =，2210n CD n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22200x y z =⎧⎨-=⎩，取2(0,1,1)n =，从而12cos |cos ,|n n θ=〈〉== 即平面1BC A与平面1CD A考点：1、线面垂直；2、二面角；3、空间直角坐标系；4、空间向量在立体几何中的应用. 19．（本小题满分12分）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ，T 只与道路畅通状况有关，（II ）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率． 【答案】（I ）分布列见解析，32；（II ）0.91． 【解析】试题分析：（I ）先算出T 的频率分布，进而可得T 的分布列，再利用数学期望公式可得数学期望ET ；（II ）先设事件A 表示“刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟”，再算出A 的概率．从而 0.4400.132⨯+⨯=（分钟）(II)设12,T T 分别表示往、返所需时间，12,T T 的取值相互独立，且与T 的分布列相同.设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A 对应于“刘教授在途中的时间不超过70分钟”.解法一：121212(A)P(70)P(25,45)P(30,40)P T T T T T T =+≤==≤+=≤1212P(35,35)P(40,30)T T T T +=≤+=≤10.210.30.90.40.50.10.91=⨯+⨯+⨯+⨯=.解法二：121(A )P P T T T=+>=12P(40,40)T T +== 0.40.10.10.40.10.10.09=⨯+⨯+⨯=故(A)1P(A)0.91P =-=.考点：1、离散型随机变量的分布列与数学期望；2、独立事件的概率.20．（本小题满分12分）已知椭圆:E 22221x y a b+=（0a b >>）的半焦距为c ，原点O 到经过两点(),0c ，()0,b 的直线的距离为12c ．（I ）求椭圆E 的离心率；（II ）如图，AB 是圆:M ()()225212x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方 程．【答案】（III ）221123x y +=． 【解析】试题分析：（I ）先写过点(),0c ，()0,b 的直线方程，再计算原点O 到该直线的距离，进而可得椭圆E 的离心率；（II ）先由（I ）知椭圆E 的方程，设AB 的方程，联立()2222144y k x x y b⎧=++⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，可得12x x +和12x x 的值，进而可得k，再利用AB =可得2b 的值，进而可得椭圆E 的方程．试题解析：（I ）过点(c,0),(0,b)的直线方程为0bx cy bc +-=， 则原点O到直线的距离bcd a==， 由12d c =，得2a b ==c a . (II)解法一：由（I ）知，椭圆E 的方程为22244x y b +=. (1) 依题意，圆心M(-2,1)是线段AB的中点，且|AB|易知，AB 不与x 轴垂直，设其直线方程为(2)1y k x =++，代入(1)得2222(14)8(21)4(21)40k x k k x k b +++++-=设1122(,y ),B(,y ),A x x 则221212228(21)4(21)4,.1414k k k b x x x x k k ++-+=-=-++ 由124x x +=-，得28(21)4,14k k k +-=-+解得12k =.从而21282x x b =-.于是12|AB ||x x =-=由|AB|23b =.故椭圆E 的方程为221123x y +=. 解法二：由（I ）知，椭圆E 的方程为22244x y b +=. (2) 依题意，点A ，B关于圆心M(-2,1)对称，且|AB|设1122(,y ),B(,y ),A x x 则2221144x y b +=，2222244x y b +=， 两式相减并结合12124,y 2,x x y +=-+=得()1212-4()80x x y y -+-=. 易知，AB 不与x 轴垂直，则12x x ≠，所以AB 的斜率12121k .2AB y y x x -==-因此AB 直线方程为1(2)12y x =++，代入(2)得224820.x x b ++-= 所以124x x +=-，21282x x b =-.于是12|AB ||x x =-=由|AB|23b =.故椭圆E 的方程为221123x y +=. 考点：1、直线方程；2、点到直线的距离公式；3、椭圆的简单几何性质；4、椭圆的方程；5、圆的方程；6、直线与圆的位置关系；7、直线与圆锥曲线的位置.21．（本小题满分12分）设()n f x 是等比数列1，x ，2x ，⋅⋅⋅，nx 的各项和，其中0x >，n ∈N ， 2n ≥．（I ）证明：函数()()F 2n n x f x =-在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个零点（记为n x ），且11122n n n x x +=+； （II ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为()n g x ，比较()n f x与()n g x 的大小，并加以证明．【答案】（I ）证明见解析；（II ）当1x =时， ()()n n f x g x =，当1x ≠时，()()n n f x g x <，证明见解析． 【解析】试题分析：（I ）先利用零点定理可证()F n x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内至少存在一个零点，再利用函数的单调性可证()F n x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个零点，进而利用n x 是()F n x 的零点可证11122n n n x x +=+；（II ）先设()()()n n h x f x g x =-，再对x 的取值范围进行讨论来判断()h x 与0的大小，进而可得()n f x 和()n g x 的大小． 试题解析：（I ）2()()212,n n n F x f x x x x =-=+++-则(1)10,n F n =->1211111112()1220,12222212n nn nF +⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++-=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-所以()n F x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内至少存在一个零点n x . 又1()120n n F x x nx -'=++>，故在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，所以()n F x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个零点n x . 因为n x 是()n F x 的零点，所以()=0n n F x ，即11201n n nx x +--=-，故111=+22n n n x x +.(II)解法一：由题设，()()11().2nnn x g x ++=设()()211()()()1,0.2nnn n n x h x f x g x x x x x ++=-=+++->当1x =时, ()()n n f x g x =当1x ≠时, ()111()12.2n n n n x h x x nx--+'=++-若01x <<,()11111()22n n n n n n h x x x nx x ----+'>++-()()11110.22n n n n n n x x --++=-= 若1x >,()11111()22n n n n n n h x xx nx x ----+'<++-()()11110.22n n n n n n x x --++=-= 所以()h x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减， 所以()(1)0h x h <=，即()()n n f x g x <.综上所述，当1x =时, ()()n n f x g x =；当1x ≠时()()n n f x g x < 解法二 由题设，()()211()1,(),0.2nn n n n x f x x x x g x x ++=+++=>当1x =时, ()()n n f x g x =当1x ≠时, 用数学归纳法可以证明()()n n f x g x <. 当2n =时, 2221()()(1)0,2f xg x x -=--<所以22()()f x g x <成立. 假设(2)n k k =≥时，不等式成立，即()()k k f x g x <. 那么，当+1n k =时，()()111k+1k 11()()()2kk k k k k x f x f x xg x xx +++++=+<+=+()12112k k x k x k +++++=. 又()()11k+121111()22k k k k x k x k kx k x g x ++++++-++-=令()1()11(x 0)k k k h x kx k x +=-++>，则()()11()(k 1)11(x 1)k k k k h x k x k k x k k x --'=+-+=+-所以当01x <<,()0kh x '<,()k h x 在(0,1)上递减； 当1x >,()0kh x '>,()k h x 在(1,)+∞上递增. 所以()(1)0k k h x h >=，从而()1k+1211()2k k x k x k g x +++++>故11()()k k f x g x ++<.即+1n k =，不等式也成立. 所以，对于一切2n ≥的整数，都有()()n n f x g x <.解法三:由已知，记等差数列为{}k a ,等比数列为{}k b ,k 1,2,, 1.n =+则111a b ==，11n n n a b x ++==，所以()11+1(2n)n k x a k k n-=-⋅≤≤,1(2),k k b x k n -=≤≤ 令()()111(x)1,0(2).n k k k k k x m a b x x k n n---=-=+->≤≤当1x =时, =k k a b ,所以()()n n f x g x =.当1x ≠时, ()()12211()(k 1)11n k k n k k k m x nx x k x x n----+-'=--=-- 而2k n ≤≤，所以10k ->，11n k -+≥.若01x <<, 11n k x -+<,()0k m x '<,当1x >,11n k x-+>,()0km x '>, 从而()k m x 在(0,1)上递减,()k m x 在(1,)+∞上递增.所以()(1)0k k m x m >=， 所以当01(2),k k x x a b k n >≠>≤≤且时,又11a b =,11n n a b ++=，故()()n n f x g x < 综上所述，当1x =时, ()()n n f x g x =；当1x ≠时()()n n f x g x < 考点：1、零点定理；2、利用导数研究函数的单调性.请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 切O 于点B ，直线D A 交O 于D ，E 两点，C D B ⊥E ，垂足为C ． （I ）证明：C D D ∠B =∠BA ；（II ）若D 3DC A =，C B =O 的直径．【答案】（I ）证明见解析；（II ）3． 【解析】试题分析：（I ）先证C D D ∠B =∠BE ，再证D D ∠BA =∠BE ，进而可证C D D ∠B =∠BA ；（II ）先由（I ）知D B 平分C ∠BA ，进而可得D A 的值，再利用切割线定理可得AE 的值，进而可得O 的直径．试题解析：（I ）因为DE 为圆O 的直径，则BED EDB ∠+∠=90， 又BC ⊥DE ，所以∠CBD+∠EDB=90°，从而∠CBD=∠BED. 又AB 切圆O 于点B ，得∠DAB=∠BED ，所以∠CBD=∠DBA. （II ）由（I ）知BD 平分∠CBA ，则=3BA AD BC CD=,又BCAB =所以4AC =，所以D=3A .由切割线定理得2=AD AB AE ×，即2=ADAB AE =6，故DE=AE-AD=3，即圆O 的直径为3.考点：1、直径所对的圆周角；2、弦切角定理；3、切割线定理. 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系x y O 中，直线l的参数方程为132x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x轴正半轴为极轴 建立极坐标系，C的极坐标方程为ρθ=．（I ）写出C 的直角坐标方程；（II ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 【答案】（I）(223x y +=；（II ）()3,0．【解析】试题分析：（I ）先将ρθ=两边同乘以ρ可得2sin ρθ=，再利用222x y ρ=+，sin x ρθ=可得C 的直角坐标方程；（II ）先设P 的坐标，则C P =，再利用二次函数的性质可得C P 的最小值，进而可得P 的直角坐标．试题解析：（I）由2,sin ρθρθ==得，从而有(2222+,+3x y x y ==所以.(II)设1(32P +又,则|PC |== 故当t=0时，|PC|取最小值，此时P 点的直角坐标为（3，0）.考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数的几何意义；3、二次函数的性质.24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<． （I ）求实数a ，b 的值；（II 的最大值． 【答案】（I ）3a =-，1b =；（II ）4． 【解析】试题分析：（I ）先由x a b +<可得b a x b a --<<-，再利用关于x 的不等式x a b+<的解集为{}24x x <<可得a ，b 的值；（II ）试题解析：（I ）由||x a b +<，得b a x b a --<<-则2,4,b a b a --=⎧⎨-=⎩解得3a =-,1b =（II ≤4==，即1t =时等号成立，故max4=.考点：1、绝对值不等式；2、柯西不等式.。
陕西2015高考数学试卷
陕西2015高考数学试卷考试要求:一、必修1 ：一、选择题1.若函数f(x)的图象关于直线y=x对称，则称为偶函数。
那么下列属于奇函数的有（）A. f(x)=x^2B. f(x)=x^2+xC. f(x)=x^3D. f(x)=1/xE. 不存在2.下列函数中为偶函数的是（）A. y=x^2+x-1B. y=x^3-1C. y=sinxD. y=cosxE. 不存在3.关于函数的奇偶性的下列说法错误的是（）A.奇函数图象关于原点对称B.奇函数图象关于直线y=x对称C.偶函数图象关于原点对称D.奇函数的所有部分成对称E.奇函数图象关于直线y=-x对称4.已知函数f(x)=x^3-3x+4，则函数f(-x)的图像关于坐标轴的对称轴是（）A. x轴B. y轴C. 圆心的图象D. z轴E. t轴二、填空题1.设函数f(x)=2sin(2x+π/3)的一个零点为x=π/6,则它的另一个零点（）2.已知函数（）f(x) =k(x^2-4x) +sinx的 f(x)=ax^2 +bx+c ,则 a,b,c其中有一个是2b的值是（）二、选修1一、选择题1.已知一次函数f(x)=ax+b,若f(3)+f(5)<f(7),则a,b的关系是（）A. a>0B. a<0C. b>0D. a>2bE. b>2a2.已知函数f(x)=|2x+3|+|x-1|,当x>1是，f(x)=（）A. f(x)=3x+2B. f(x)=3x-2C. f(x)=x+4D. f(x)=2x+2E. f(x)=2x-43已知抛物线y=(mx+5)^2与直线y=2x-3相交于2个不同的点，则m 的值是（）A. m>5B. m=-5C.-5<m<5D. m=5E.|m|>54.已知抛物线与直线y=x相交于点A（t，t）,则这条直线的截距相乘为（）A. 1B. -1C. 10D. -10E. -t二、填空题1.已知一次函数y=ax+b经过点（3，4），当x=0时，y=2.则a+b=（）2.当直线2x=k+1与双曲线y=1/x相交于A（1,k）与B（t,1）时，则实数t=（）三、Special一：1.在直角三角形XYZ中，角Z=90°.AC是YZ上的中线，，设X点的坐标是（1，3）点，BC边上任一点的坐标为（a，3）,则折线AXY 的面积最大为多少？二、特殊题二：1.已知y=log<sub>2</su b>√x，求y对x的导数。
2015年陕西高考数学(理科)试题与答案
2015 年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科数学一、选择题（本大题共12 个小题，每小题5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .）1. 1.设集合M { x | x2x} ，N{ x | lg x0}，则 M N（）A ．[0,1]B．(0,1]C．[0,1) D ．(,1]【答案】 A试题分析：x x 2x0,1，x lg x 0x 0x 1 ，所以0,1，故选．A考点： 1、一元二次方程；2、对数不等式；3、集合的并集运算．【分析及点评】本题主要考察了集合的表示及其相关运算，并结合一元二次方程以及对数运算，属于基础题型，难度不大。
2.某中学初中部共有 110 名教师，高中部共有 150 名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（）A．167B．137C．123D．93【答案】 B考点：扇形图．【分析及点评】本题主要考察了统计以及统计图表的相关知识，难度系数很小，属于基础题型。
3. 如图，某港口一天6时到 18时的水深变化曲线近似满足函数y 3sin( x) k ，据此函数6可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（）A ．5B．6C．8D．10【答案】 C试题分析：由图象知：y min 2 ，因为y min3k ，所以3 k2 ，解得：k5 ，所以这段时间水深的最大值是y max 3 k358 ，故选C．考点：三角函数的图象与性质．【分析及点评】本题重在转化，将实际问题转化成三角函数问题，对三角函数的图像、性质有较高要求，但作为基础题型，难度不大。
4. 二项式(x 1)n(n N ) 的展开式中x2的系数为15，则n（）A ．4B ．5C．6 D ．7【答案】 C考点：二项式定理．【分析及点评】本题主要考察了学生对二项式定理的理解，以及二项式系数的计算，难度不大，属于基础题型。
5. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．3B ．4C．24D．34【答案】 D试题分析：由三视图知：该几何体是半个圆柱，其中底面圆的半径为1，母线长为 2 ，所以该几何体的表面积是121 1 2 2 2 34，故选 D．2考点： 1、三视图；2、空间几何体的表面积．【分析及点评】三视图以及体积、面积求值几乎每年必考，今年也不例外，题目设置与往年没有改变，难度不大，变化也不大。
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(陕西卷,含解析)
故 ABC 的面积为 1 bcsinA = 3 3 .
2
2
考点：1、平行向量的坐标运算；2、正弦定理；3、余弦定理；4、三角形的面积公式.
18．（本小题满分 12 分）如图1 ，在直角梯形 CD 中， D// C， D ， 2
C 1， D 2 ， 是 D 的中点， 是 C 与 的交点．将 沿 折起到 1 的
因为 A1B=A1E=BC=ED=1, BC ED
所以 B( 2 ,0,0), E(2
2 2
,
0,
0),
A1
(0,
0,
2 ),C(0, 2
2 ,0), 2
得 BC(-
2 , 2 ,0), 22
A1C(0,
2 ,2
2 ) ， CD = BE = (2
2,0,0) .
设平面 A1BC 的法向量 n1 = (x1, y1, z1) ，平面 A1CD 的法向量 n2 = (x2, y2, z2 ) ，平面 A1BC 与
又 sin 0 ，从而 tan A = 3 ， 由于 0 A ，所以 A
3 (II)解法一：由余弦定理，得 a2 = b2 +c2 - 2bc cos A 而 a = 7 b = 2,
3 得 7 = 4 +c2 - 2c ，即 c2 - 2c - 3 = 0 因为 c > 0 ，所以 c = 3 .
13.中位数 1010 的一组数构成等差数列，其末项为 2015，则该数列的首项为
．
【答案】 5
【解析】
试题分析：设数列的首项为 a1 ，则 a1 2015 2 1010 2020 ，所以 a1 5 ，故该数列的 首项为 5 ，所以答案应填： 5 ．
考点：等差中项．
【高考试题】2015年普通高考数学试题----陕西卷(数学理)解析版
2015年普通高等学校招生全国统一考试·陕西卷(理科)知识点检索号新课标11.(2015·陕西高考理科·T1)设集合M={x|x2=x},N={x|lg x≤0},则M∪N=()A.[0,1]B.(0,1]C.[0,1)D.(-∞,1]【解题指南】根据题意先求出集合M和集合N,再求M∪N即可.【解析】选A.集合M=,集合N=,M∪N=,所以M∪N=[0,1].502.(2015·陕西高考理科·T2)某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为()A.167B.137C.123D.93【解题指南】根据扇形统计图可得初中部女教师所占比例为70%,高中部女教师所占比例为40%,再用各自的总人数乘以所占的比例即可求得答案.【解析】选B.初中部女教师人数为110×70%=77,高中部女教师人数为150×40%=60,则该校女教师的人数为77+60=137,故B正确.173.(2015·陕西高考理科·T3)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin(x+φ)+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()A.5B.6C.8D.10【解题指南】本题考查由y=A sin(ωx+φ)+k的部分图像确定函数的最大值,可得y max=3+k y min=k-3,整理可求最大值.【解析】选C.不妨设水深的最大值为M,由题意结合函数图像可得3+k=M ①k-3=2②解之得M=8.534.(2015·陕西高考理科·T4)二项式(x+1)n(n∈N+)的展开式中x2的系数为15,则n=()A.4B.5C.6D.7【解题指南】在二项展开式的通项公式中,令x的幂指数等于2,从而求得n的值.【解析】选C.二项式(x+1)n(n∈N +)展开式的通项公式为T r+1=x n-r,令n-r=2,则=15,解之得r=4,n=6,故C正确.365.(2015·陕西高考理科·T5)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.3πB.4πC.2π+4D.3π+4【解题指南】将三视图复原,此几何体为半个圆柱体,根据三视图所给的数据,求出表面积.【解析】选D.该几何体为圆柱体的一半,可得上下两个半圆的表面积S1=πr2=π,侧面积S2=2×2+·2πr·2=2π+4,所以此几何体的表面积S=S1+S2=π+2π+4=3π+4.26.(2015·陕西高考理科·T6)“sinα=cosα”是“cos 2α=0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解题指南】由题意看命题sinα=cosα与命题cos 2α=0是否能互推,然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断.【解析】选A.方法一:由cos2α=0得cos2α-sin2α=(cosα+sinα)(cosα-sinα)=0,得sinα=cosα或sinα=-cosα.所以sinα=cosα⇒cos 2α=0,即“sinα=cosα”是“cos2α=0”的充分不必要条件.方法二:由sinα=cosα,得sin(α-)=0,即α-=kπ,α=kπ+,k∈Z.而cos 2α=0,得2α=kπ+,α=+,k∈Z.所以sinα=cosα⇒cos2α=0,即“sinα=cosα”是“cos2α=0”的充分不必要条件.227.(2015·陕西高考理科·T7)对任意向量a,b,下列关系式中不恒成立的是()A.|a·b|≤|a||b|B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)·(a-b)=a2-b2【解题指南】由向量的线性运算性质及几何意义对各个选择项作出判断.【解析】选B.由|a·b|=||a|·|b|·cosθ|,因为-1≤cosθ≤1,所以|a·b|≤|a||b|恒成立;由向量减法的几何意义结合三角形的三边关系可得|a-b|≥||a|-|b||,故B选项不成立;根据向量数量积的运算律C,D选项恒成立.498.(2015·陕西高考理科·T8)根据下边的图,当输入x为2006时,输出的y=()A.28B.10C.4D.2【解题指南】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的x的值,当x=-2时不满足条件x≥0,计算并输出y 的值为10.【解析】选B.模拟执行程序框图,可得x=2006,x=2004满足条件x≥0,x=2002满足条件x≥0,x=2000…满足条件x≥0,x=0满足条件x≥0,x=-2不满足条件x≥0,y=10输出y的值为10.329.(2015·陕西高考理科·T9)设f(x)=ln x,0<a<b,若p=f(),q=f(),r=(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是()A.q=r<pB.q=r>pC.p=r<qD.p=r>q【解题指南】根据对数的运算性质和不等式的基本性质代入求解即可.【解析】选C.由条件可得p=f()=ln(ab=ln（ab）=(ln a+ln b),r=(f(a)+f(b))=(ln a+ln b)=p,由不等式的性质:在0<a<b的条件下,>,且函数f(x)=ln x是增函数,。
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满足条件 x 0， 不满足条件 x 0，y 10
输出 y 的值为10
【提示】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 x 的值，当 x 2 时不满足条件 x 0 ，计算并输出
y 的值为10 .
【考点】程序框图
9.【答案】B
【解析】 p f (
ab ) ln
ab
，
q
f
a
b 2
【考点】余弦定理的应用，平面向量共线（平行）的坐标表示 18.【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ） 6
3 【解析】证明：（Ⅰ）在图 1 中，∵ AB BC 1，AD 2 ，E 是 AD 的中点， BAD π ，
2 ∴ BE AC ，即在图 2 中， BE OA1，BE OC ，则 BE 平面A1OC ；
sin(A
B)
sin
B
π 3
sin B cos π cos Bsin π 3 21
3
3 14
所以 ABC 的面积为 1 bc sin A 3 3
2
2
【提示】（Ⅰ）利用向量的平行，列出方程，通过正弦定理求解 A；
（Ⅱ）利用 A，以及 a 7，b 2 ，通过余弦定理求出 c，然后求解 ABC 的面积．
因为 1 是 f (x) 的极值点，3 是 f (x) 的极值，
所以
f f
(1) 0 (1) 3
，
2a b a b c
0
3
，解得
b c
2a 3a
，
因为点 (2,8) 在曲线 y f x 上，所以 4a 2b c 8，
解得： a 5，所以 b 10 ， c 8 ， 所以 f (x) 5x2 10x 8
因为 f 1 5(1)2 10(1) 8 23 0 ，
所以 1不是 f (x) 的零点，所以假设成立，选 A 【提示】可采取排除法．分别考虑 A，B，C，D 中有一个错误，通过解方程求得 a，判断是否为非零整数，
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即可得到结论． 【考点】二次函数的性质．
第二部分
二、填空题 13.【答案】5 【解析】解：设该等差数列的首项为 a，由题意和等差数列的性质可得 2015 a 1010 2 解得 a 5 【提示】由题意可得首项的方程，解方程可得． 【考点】等差数列 14.【答案】 2 2 【解析】抛物线 y2 2 px( p 0) 的准线方程是 x p ，
令
r
2
得
x2
的系数是
C
2 n
，
因为 x2 的系数为15 ，所以 Cn2 15 ，
即 n2 n 30 0 ，解得： n 6 或 n 5 ， 因为 n N ，所以 n 6
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【提示】由题意可得 Cn2 15 ，解关于 n 的方程可得．
【考点】二项式定理的应用． 5.【答案】D 【解析】根据几何体的三视图，得； 该几何体是圆柱体的一半，∴该几何体的表面积为 V几何体 π 12 π 1 2 2 2
取最小值-1
时，函数取最小值 ymin
3 k
2 ，解得 k
5 ，∴
y
3sin
π 3
x
5
，∴当
sin
π 6
x
取最大值
1
时，函数取最大值
ymax
35
8，
【提示】由题意和最小值易得 k 的值，进而可得最大值．
【考点】 y Asin(x ) 的图象性质．
4.【答案】B
【解析】二项式 (x 1)n 的展开式的通项是 Tr1 Cnr xr ，
∴点 (x，y) 在 (1，0) 为圆心 1 为半径的圆及其内部，而 y x 表示直线 y x 左上方的部分，（图中阴影弓形）
∴所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，
∴所求概率 P 1 π 12 1 11 1 1
4
2
4 2π
【提示】由题意易得所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，分别求面积可得． 【考点】几何概型 12.【答案】A 【解析】假设选项 A 错误，则选项 B、C、D 正确， f (x) 2ax b ，
【考点】并集及其运算
2.【答案】C
【解析】初中部女教师的人数为110 70% 77 ；高中部女教师的人数为 40150% 60 ，∴该校女教师的
人数为 77 60 137 ，
【提示】利用百分比，可得该校女教师的人数．
【考点】收集数据的方法．
3.【答案】C
【解析】解：由题意可得当
sin
π 6
x
【考点】抛物线的简单性质 15.【答案】 (1,1) 【解析】∵ f (x) ex ，∴ f (0) e0 1
∵ y ex 在 (0,1) 处的切线与 y 1 (x 0) 上点 P 的切线垂直 x
∴点 P 处的切线斜率为 1
又
y
1 x2
，设点 P(x0，y0 )
∴ 1 1 x0
∴ x0 1， x 0，x0 1
(a
b)(a
b)
2
a
2
b
所以选项
D
正确
【提示】由向量数量积的运算和性质逐个选项验证可得． 【考点】平面向量数量积的运算 8.【答案】C 【解析】解：模拟执行程序框图，可得 x 2006，x 2004 满足条件 x 0，x 2002 满足条件 x 0，x 2000 …… 满足条件 x 0，x 0
2015 年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）
理科数学答案解析
第一部分
一、选择题 1.【答案】A 【解析】由 M {x | x2 x} M {0,1},
N {x | lg x 0} N {x | 0 x 1} 所以 M N [0,1] ．
【提示】求解一元二次方程化简 M，求解对数不等式化简 N，然后利用并集运算得答案
，0，0 ，E
2 2
，0，0 ，A1
0，0,
2 2
，C
0,
2 2
，0
，
BC
2, 2
2
2 ,0, A1C 0,
2 , 2
2 2
，CD
BE
2 , 0, 0
设
平面A1BC
的法向量为
m
(
x,
y,
z)
，平面A1CD
的法向量为
n
(a，b，c)
，则
m
BC
m AC1
0 0
得
y
x z
y
0
3π 4 【提示】根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱体的一部分，利用图中数据求出它的表面积． 【考点】由三视图求面积，体积 6.【答案】A
【解析】 cos2 0 cos2 sin2 0 (cos sin)(cos sin) 0 所以 sin cos或sin = cos 【提示】由 cos2 cos2 sin2 ，即可判断出．
“刘教授共用时间不超过120 分钟”，由于讲座时间为 50 分钟，所以事件 A 对应于“刘教授在路途中的时 间不超过 70 分钟”
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பைடு நூலகம்
P(A) P(T1 T2 70) P(T1 35，T2 40) P(T1 40，T2 35) P(T1 40，T2 40)
∴ y0 1
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∴点 P(1,1) 【提示】利用 y ex 在某点处的切屑斜率与另一曲线的切线斜率垂直求得另一曲线的斜率，进而求得切点坐
标．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程
16.【答案】1.2
【解析】如图：建立平面直角坐标系，设抛物线方程为： y ax2 ，因为抛物线经过 (5，2) ，可得 a 2 ， 25
0
，
令
x
1 ，则
y
1，z
1，即
m
(1,1,1)
，由
n
n
A1C 0 得 CD 0
a b
0 c
0
，取 n
(0，1，1)
，
7 / 13
则 cos m, n m n 2 6 ， | m || n | 3 2 3
即 平面A1BC 与 平面A1CD 夹角的余弦值为
6． 3
【提示】（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理即可证明： CD 平面A1OC ；
所以抛物线方程： y 2 x2 ，横截面为等腰梯形的水渠， 25
泥沙沉积的横截面的面积为：
2
5 0
2 25
x2
1 2
2
2
2
2 75
x3
|50
2
8 3
，
等腰梯形的面积为：10 6 2 16 ，当前最大流量的横截面的面积16 8 ，原始的最大流量与当前最大流量
2
3
的比值为：
16 18
8 3
∵ CD∥BE ， ∴ CD 平面A1OC ；
（Ⅱ）若 平面A1BE 平面BCDE ，由（Ⅰ）知 BE OA1，BE OC ，
∴ A1OC 为二面角 A1 BE C 的平面角，
∴
A1OC
π 2
，如图，建立空间坐标系，
∵ A1B A1E BC ED 1 ， BC∥ED
∴ B
2 2
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 7.【答案】B 【解析】因为 a b | a || b | cos a,b | a || b| ，所以选项 A 正确；
当 a 与 b 方向相反时，| a b | | a | | b | 不成立，所以选项 B 错误；
向量的平方等于向量的模的平方，所以选项 C 正确；
44
44
44
y
3 4
x
z 4
的截距最大，此时
z
最大，解方程组
3x 2 y 12 x 2 y 8
，解得
x y
2 3