2020年中考题汇编沪科版九年级数学上册二次函数的应用(含答案)
沪科版九年级数学上册二次函数的应用中考题汇编2020（含答案）一、选择题1. (2019·山西)北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图①)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉索与主梁相连，最高钢拱的示意图如图②，此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点．拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB＝90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系，则此抛物线型钢拱对应的函数解析式为()①②第1题A.y＝26675x 2B.y＝－26675x2C.y＝131350x 2D.y＝－131350x22. (2019·临沂)从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(m)与小球运动时间t(s)之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是40m；②小球被抛出3s后，速度越来越快；③小球被抛出3s 时，速度为0；④小球的高度h＝30m时，t＝1.5s．其中正确的是()第2题A.①④B.①②C.②③④D.②③3. (2018·北京)跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看成是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y(m)与水平距离x(m)近似满足函数关系y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为()第3题A.10mB.15mC.20mD.22.5m二、填空题4. (2019·天门)若一矩形的周长等于40，则此矩形面积的最大值是________．5. (2019·襄阳)如图，若被击打的小球飞行高度h(m)与飞行时间t(s)之间具有的关系为h＝20t－5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为________s.第5题6. (2019·广安)在广安市中考体考前，某九年级学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系为y＝－112x2＋23x＋53，由此可知，该生此次实心球训练的成绩为________米．三、解答题7. (2019·葫芦岛)某公司研发了一款成本为50元的新型玩具，投放市场进行试销售，其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不得高于90%.市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y(个)与销售单价x(元)符合一次函数关系，如图所示．(1) 根据图象，直接写出y与x之间的函数解析式．(2) 该公司要想每天获得3000元的销售利润，销售单价应定为多少元？(3) 销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？第7题8.(2019·辽阳)某化工材料经销商购进一种化工材料若干千克，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不得低于成本价且不得高于成本价的2倍，经试销发现，日销售量y(千克)与销售单价x(元)符合一次函数关系，如图所示．(1) 求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．(2) 若在销售过程中每天还要支付其他费用450元，当销售单价为多少时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？第8题9.(2019·锦州)2019年在法国举办的女足世界杯，为人们奉献了一场足球盛宴．某商场销售一批足球文化衫，已知该文化衫的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每个月可售出100件．根据市场行情，现决定涨价销售，调查表明，每件的售价每上涨1元，每个月会少售出2件，设每件的售价为x元，每个月的销量为y件．(1) 求y与x之间的函数解析式．(2) 当每件的售价定为多少元时，每个月的利润恰好为2250元？(3) 当每件的售价定为多少元时，每个月获得的利润最大？最大利润为多少？10.(2019·宿迁)超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元(市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元)，那么每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加x元，每天售出y件．(1) 请写出y与x之间的函数解析式．(2) 当x为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？(3) 设超市每天销售这种玩具可获利w元，当x为多少时，w最大？最大值是多少？11.(2019·通辽)越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升．某书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元．根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不得低于10元且不高于18元．(1) 直接写出该书店销售这种科幻小说每天的销售量y(本)与销售单价x(元)之间的函数解析式及自变量的取值范围；(2) 该书店决定每销售1本这种科幻小说，就捐赠a(0＜a≤6)元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求a的值．12.(2019·湘潭)湘潭政府工作报告中强调，2019年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特色农产品品牌．小亮调查了一家湘潭特产店A，B两种湘莲礼盒一个月的销售情况，A种湘莲礼盒进价为72元/盒，售价为120元/盒，B种湘莲礼盒进价为40元/盒，售价为80元/盒，这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800元，平均每天的总利润为1280元．(1) 求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？(2) 小亮调查发现，A种湘莲礼盒售价每降3元，就可多卖1盒．若B种湘莲礼盒的售价和销量不变，当A种湘莲礼盒降价多少元时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大？最大是多少元？13.(2019·鄂尔多斯)某工厂制作A，B两种手工艺品，B手工艺品每件获利比A手工艺品多105元，获利30元的A手工艺品与获利240元的B手工艺品数量相等．(1) 制作一件A手工艺品和一件B手工艺品分别获利多少元？(2) 工厂安排65人制作A，B两种手工艺品，每人每天制作2件A手工艺品或1件B手工艺品．现在在不增加工人数量的情况下，增加制作C手工艺品．已知每人每天可制作1件C手工艺品(每人每天只能制作一种手工艺品)，要求每天制作A，C两种手工艺品的数量相等．设每天安排x人制作B手工艺品，y 人制作A手工艺品，写出y与x之间的函数解析式．(3) 在(1)(2)的条件下，每天制作B手工艺品不少于5件，当每天制作5件时，每件获利不变；若每增加1件，则当天平均每件获利减少2元．已知C手工艺品每件获利30元，求每天制作三种手工艺品可获得的总利润W(元)的最大值及相应x的值．14.(2019·梧州)某超市销售一种文具，进价为5元/件，售价为6元/件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．设当天销售单价统一为x元(x≥6，且x是按0.5的倍数上涨)，当天销售利润为y元．(1) 求y与x之间的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)．(2) 要使当天销售利润不低于240元，求x的取值范围．(3) 若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润．15.(2019·云南)某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售．已知西瓜的成本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍．经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y(千克)与销售单价x(元)的函数关系如图所示．求：(1) y与x之间的函数解析式；(2) 这一天销售西瓜获得的利润W(元)的最大值．第15题16.(2019·包头)某出租公司有若干辆同一型号的货车对外出租，每辆货车的日租金实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每辆货车的日租金比淡季上涨13.据统计，淡季该公司平均每天有10辆货车未出租，日租金总收入为1500元；旺季所有的货车每天能全部租出，日租金总收入为4000元．(1) 该出租公司这批对外出租的货车共有多少辆？淡季每辆货车的日租金为多少元？ (2) 经市场调查发现，在旺季，如果每辆货车的日租金每上涨20元，每天租出去的货车就会减少1辆，不考虑其他因素，每辆货车的日租金上涨多少元时，该出租公司的日租金总收入最高？17.(2019·随州)某食品厂生产一种半成品食材，成本为2元/千克，每天的产量p(百千克)与销售价格x(元/千克)满足函数关系p ＝12x ＋8，从市场反馈的信息发现，该半成品食材每天的市场需求量q(百千克)与销售价格x(元/千克)满足一次函数关系，部分数据如下表：已知按物价部门规定，销售价格x(元/千克)不低于2元/千克且不高于10元/千克． (1) 直接写出q 与x 之间的函数解析式，并注明自变量x 的取值范围．(2) 当每天的产量小于或等于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出，而当每天的产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃．①当每天的半成品食材能全部售出时，求x 的取值范围；②求厂家每天获得的利润y(百元)与销售价格x(元/千克)之间的函数解析式．(3) 在(2)的条件下，当x 为________元/千克时，利润y 有最大值；若要使每天的利润不低于24百元，并尽可能地减少半成品食材的浪费，则销售价格应定为________元/千克．18.(2019·舟山)某农作物的生长率p 与温度t(℃)有如下关系：如图，当10≤t ≤25时可近似用函数p ＝150t －15刻画；当25＜t ≤37时可近似用函数p ＝－1160(t －h)2＋0.4刻画． (1) 求h 的值．(2)①求m 关于p ②用含t 的代数式表示m.③天气寒冷，大棚加温可改变农作物的生长速度．大棚恒温20℃时每天的成本为100元，计划该农作物30天后上市，现根据市场调查：每提前一天上市售出(一次售完)，销售额可增加600元．因此决定给大棚继续加温，但加温会导致成本增加，估测加温到20＜t ≤25时的成本为200元/天，但若欲加温到25＜t ≤37，由于要采用特殊方法，成本增加到400元/天．问加温到多少度时增加的利润最大？并说明理由(注：农作物上市售出后大棚暂停使用)．第18题参考答案一、1.B 2.D 3.B 二、4.100 5.4 6.10三、7. (1) y 与x 之间的函数解析式为y ＝－2x ＋260 (2) 由题意，得(x －50)(－2x ＋260)＝3000.化简，得x 2－180x ＋8000＝0，解得x 1＝80，x 2＝100.∵x ≤50×(1＋90%)＝95，∴x 2＝100不符合题意，舍去．答：该公司要想每天获得3000元的销售利润，销售单价应定为80元 (3) 设每天获得的利润为w 元．由题意，得w ＝(x －50)(－2x ＋260)＝－2x 2＋360x －13000＝－2(x －90)2＋3200，∵a ＝－2＜0，∴抛物线开口向下，w 有最大值．∵由题意及(2)，得50≤x ≤95，∴当x ＝90时，w 最大＝3200.答：销售单价为90元时，每天获得的利润最大，最大利润是3200元8. (1) 设y 与x 之间的函数解析式为y ＝kx ＋b(k ≠0)．由题图可知，当x ＝30时，y ＝140；当x ＝50时，y ＝100.∴⎩⎪⎨⎪⎧140＝30k ＋b ，100＝50k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝200.∴y 与x 之间的函数解析式为y ＝－2x ＋200(30≤x ≤60) (2)设该公司日获利为W 元．由题意，得W ＝(x －30)(－2x ＋200)－450＝－2(x －65)2＋2000.∵a ＝－2＜0，图象的对称轴为直线x ＝65，∴二次函数的图象开口向下，当x ＜65时，W 随着x 的增大而增大．∵30≤x ≤60，∴当x ＝60时，W 有最大值，W 最大＝－2×(60－65)2＋2000＝1950.答：当销售单价为60元时，该公司日获利最大，最大获利为1950元9. (1) 由题意，得y 与x 之间的函数解析式为y ＝100－2(x －60)＝220－2x(60≤x ≤110) (2) 由题意，得(220－2x)(x －40)＝2250.化简，得x 2－150x ＋5525＝0，解得x 1＝65，x 2＝85，均符合题意．答：当每件的售价定为65元或85元时，每个月的利润恰好为2250元 (3) 设每个月获得利润w 元，∴w ＝(220－2x)(x －40)＝－2x 2＋300x －8800＝－2(x －75)2＋2450.∴当x ＝75时，w 最大＝2450.答：当每件的售价定为75元时，每个月获得的利润最大，最大利润为2450元10. (1) 根据题意，得y 与x 之间的函数解析式为y ＝－12x ＋50 (2) 根据题意，得(40＋x)⎝⎛⎭⎫－12x ＋50＝2250，解得x 1＝50，x 2＝10.∵每件利润不能超过60元，∴x ＝10.答：当x 为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元 (3) 根据题意，得w ＝(40＋x)⎝⎛⎭⎫－12x ＋50＝－12x 2＋30x ＋2000＝－12(x －30)2＋2450，∵a ＝－12＜0，∴当x ＜30时，w 随x 的增大而增大．易得0≤x ≤20，∴当x ＝20时，w 取最大值，为240011. (1) y ＝－10x ＋500(30≤x ≤38) (2) 设每天扣除捐赠后可获得利润为w 元．根据题意，得w ＝(x －20－a)(－10x ＋500)＝－10x 2＋(10a ＋700)x －500a －10000(30≤x ≤38)，则二次函数图象的对称轴为直线x ＝35＋12a.∵0＜a ≤6，∴35＜35＋12a ≤38.∵－10<0，∴二次函数图象的开口向下，当x ＝35＋12a 时，w 取得最大值．∴ (35＋12a －20－a)[－10(35＋12a)＋500]＝1960，解得a 1＝2，a 2＝58(不合题意，舍去)．∴a 的值为212. (1) 设平均每天销售A 种湘莲礼盒x 盒，B 种湘莲礼盒y 盒．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧（120－72）x ＋（80－40）y ＝1280，120x ＋80y ＝2800，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝20.答：该店平均每天销售A 种湘莲礼盒10盒，B 种湘莲礼盒20盒 (2) 设A 种湘莲礼盒降价m 元，总利润为W 元．根据题意，得W ＝(120－m －72)⎝⎛⎭⎫10＋m3＋(80－40)×20＝－13m 2＋6m ＋1280＝－13(m －9)2＋1307.∵a ＝－13＜0，∴当m ＝9时，W 取得最大值，为1307.答：当A 种湘莲礼盒降价9元时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是1307元13. (1) 设制作一件A 手工艺品获利a 元，则制作一件B 手工艺品获利(105＋a)元．根据题意，得30a ＝240a ＋105，解得a ＝15.经检验，a ＝15是原分式方程的解，且符合题意．当a ＝15时，a ＋105＝120.答：制作一件A 手工艺品获利15元，制作一件B 手工艺品获利120元 (2) ∵每天安排x 人制作B 手工艺品，y 人制作A 手工艺品，∴由题意，得每天有2y 人制作C 手工艺品．根据题意，得y ＋x ＋2y ＝65.∴y ＝－13x＋653 (3) 由题意，得W ＝15×2y ＋[120－2(x －5)]x ＋30×2y ＝－2x 2＋130x ＋90y ，又∵y ＝－13x ＋653，∴W ＝－2x 2＋130x ＋90y ＝－2x 2＋130x ＋90(－13x ＋653)＝－2x 2＋100x ＋1950.对于二次函数W ＝－2x 2＋100x ＋1950，其图象的对称轴为直线x ＝25，而当x ＝25时，y 的值不是整数，又当x ＝24时，y 的值也不是整数．当x ＝26时，y ＝13，是整数．∴当x ＝26时，W 最大＝－2×262＋100×26＋1950＝3198.答：每天制作三种手工艺品可获得的总利润的最大值为3198，相应x 的值为2614. (1) 根据题意，得y ＝(x －5)⎝⎛⎭⎫100－x －60.5×5＝－10x 2＋210x －800.∴y 与x 之间的函数解析式为y＝－10x 2＋210x －800 (2) ∵当天销售利润不低于240元，则y ≥240.令－10x 2＋210x －800＝240，解得x 1＝8，x 2＝13.∵－10＜0，∴抛物线的开口向下．∴结合函数图象，可知x 的取值范围为8≤x ≤13 (3) ∵每件文具的利润不超过80%，∴x －55≤0.8，解得x ≤9.∴自变量x 的取值范围为6≤x ≤9.由(1)得y ＝－10x 2＋210x －800＝－10(x －10.5)2＋302.5，∴函数图象的对称轴为直线x ＝10.5，且开口向下．∴当6≤x ≤9时，y 随x 的增大而增大．∴当x ＝9时，y 取得最大值，此时y ＝－10(9－10.5)2＋302.5＝280.答：当每件文具售价为9元时，当天获得利润最大，最大利润为280元15. (1) 当6≤x ≤10时，设y 与x 之间的函数解析式为y ＝kx ＋b(k ≠0)，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1000＝6k ＋b ，200＝10k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－200，b ＝2200.∴y ＝－200x ＋2200；当10＜x ≤12时，y ＝200.∴y 与x 之间的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－200x ＋2200（6≤x ≤10），200（10＜x ≤12）(2) 由已知，得W ＝(x －6)y.当6≤x ≤10时，W ＝(x －6)(－200x ＋2200)＝－200⎝⎛⎭⎫x －1722＋1250.∵－200＜0，∴抛物线的开口向下，当x ＝172时，取最大值1250.当10＜x ≤12时，W ＝(x －6)·200＝200x －1200.∵200>0，∴y 随x 的增大而增大．∴当x ＝12时，W 取得最大值，此时W ＝200×12－1200＝1200.∵1250>1200，∴W 的最大值为1250.答：这一天销售西瓜获得的利润W(元)的最大值为125016. (1) 设该出租公司这批对外出租的货车共有x 辆．根据题意，得1500x －10·⎝⎛⎭⎫1＋13＝4000x ，解得x ＝20.经检验，x ＝20是原分式方程的解，且符合题意．∴1500÷(20－10)＝150(元)．答：该出租公司这批对外出租的货车共有20辆，淡季每辆货车的日租金为150元 (2) 设旺季时每辆货车的日租金上涨a 元时，该出租公司的日租金总收入为W 元．根据题意，得W ＝⎣⎡⎦⎤a ＋150×⎝⎛⎭⎫1＋13·⎝⎛⎭⎫20－a 20，∴W ＝－120a 2＋10a ＋4000＝－120(a －100)2＋4500.∵－120＜0，∴当a ＝100时，W 有最大值．答：在旺季，每辆货车的日租金上涨100元时，该出租公司的日租金总收入最高17. (1) q 与x 之间的函数解析式为q ＝－x ＋14(2≤x ≤10) (2) ①当每天的半成品食材能全部售出时，有p ≤q ，即12x ＋8≤－x ＋14，解得x ≤4.又∵2≤x ≤10，∴x 的取值范围为2≤x ≤4 ②由①可知，当2≤x ≤4时，y ＝(x －2)p ＝(x －2)·⎝⎛⎭⎫12x ＋8＝12x 2＋7x －16；当4＜x ≤10时，y ＝(x －2)q －2(p －q)＝(x －2)(－x ＋14)－2⎣⎡⎦⎤12x ＋8－（－x ＋14）＝－x 2＋13x －16.综上所述，厂家每天获得的利润y(百元)与销售价格x(元/千克)之间的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧12x 2＋7x －16（2≤x ≤4），－x 2＋13x －16（4＜x ≤10）(3) 132518. (1) 把(25，0.3)代入p ＝－1160(t －h)2＋0.4，得0.3＝－1160(25－h)2＋0.4，解得h ＝29或h ＝21.∵25<t ≤37，∴h ＝29 (2) ①由表格可知，m 是p 的一次函数．设m ＝kp ＋b(k ≠0)，把(0.2，0)，(0.3，10)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝0.2k ＋b ，10＝0.3k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝100，b ＝－20.∴m 关于p 的函数解析式为m ＝100p －20 ②当10≤t ≤25时，p ＝150t －15，∴m ＝100⎝⎛⎭⎫150t －15－20＝2t －40；当25<t ≤37时，p ＝－1160(t －29)2＋0.4，∴m ＝100[－1160(t －29)2＋0.4]－20＝－58(t －29)2＋20.综上所述，m ＝⎩⎪⎨⎪⎧2t －40（10≤t ≤25），－58（t －29）2＋20（25<t ≤37） ③加温到29°时，增加的利润最大．理由：设增加的利润为y 元，则当20<t ≤25时，y ＝600m ＋[100×30－200(30－m)]＝800m －3000＝1600t －35000.当20<t ≤25时，y 随t 的增大而增大，∴当t ＝25时，y 最大＝1600×25－35000＝5000；当25＜t ≤37时，y ＝600m ＋[100×30－400(30－m)]＝1000m －9000＝－625(t －29)2＋11000.∵－625<0，∴当t ＝29时，y 最大＝11000.∵11000>5000，∴当加温到29℃时，增加的利润最大．。
2020年中考题汇编沪科版九年级数学上册二次函数的应用(含答案)
word版初中数学沪科版九年级数学上册二次函数的应用中考题汇编2020（含答案）一、选择题1. (2019·山西)北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图①)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉索与主梁相连，最高钢拱的示意图如图②，此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点．拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB＝90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系，则此抛物线型钢拱对应的函数解析式为( )①②第1题A. y＝26675x 2 B. y＝－26675x2C. y＝131 350x2 D. y＝－131 350x22. (2019·临沂)从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(m)与小球运动时间t(s)之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是40 m；②小球被抛出3 s后，速度越来越快；③小球被抛出3 s时，速度为0；④小球的高度h＝30 m时，t＝1.5 s．其中正确的是( )第2题A. ①④B. ①②C. ②③④D. ②③3. (2018·北京)跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看成是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y(m)与水平距离x(m)近似满足函数关系y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．如图记录了某运动员起跳后的x 与y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为( )第3题A. 10 mB. 15 mC. 20 mD. 22.5 m 二、 填空题4. (2019·天门)若一矩形的周长等于40，则此矩形面积的最大值是________．5.(2019·襄阳)如图，若被击打的小球飞行高度h(m)与飞行时间t(s)之间具有的关系为h ＝20t －5t 2，则小球从飞出到落地所用的时间为________s.第5题6.(2019·广安)在广安市中考体考前，某九年级学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系为y ＝－112x 2＋23x ＋53，由此可知，该生此次实心球训练的成绩为________米． 三、 解答题 7.(2019·葫芦岛)某公司研发了一款成本为50元的新型玩具，投放市场进行试销售，其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不得高于90%.市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y(个)与销售单价x(元)符合一次函数关系，如图所示．(1) 根据图象，直接写出y 与x 之间的函数解析式．(2) 该公司要想每天获得3 000元的销售利润，销售单价应定为多少元？ (3) 销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？第7题8.(2019·辽阳)某化工材料经销商购进一种化工材料若干千克，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不得低于成本价且不得高于成本价的2倍，经试销发现，日销售量y(千克)与销售单价x(元)符合一次函数关系，如图所示．(1) 求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．(2)若在销售过程中每天还要支付其他费用450元，当销售单价为多少时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？第8题9.(2019·锦州)2019年在法国举办的女足世界杯，为人们奉献了一场足球盛宴．某商场销售一批足球文化衫，已知该文化衫的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每个月可售出100件．根据市场行情，现决定涨价销售，调查表明，每件的售价每上涨1元，每个月会少售出2件，设每件的售价为x元，每个月的销量为y件．(1) 求y与x之间的函数解析式．(2) 当每件的售价定为多少元时，每个月的利润恰好为2 250元？(3) 当每件的售价定为多少元时，每个月获得的利润最大？最大利润为多少？10.(2019·宿迁)超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元(市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元)，那么每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加x元，每天售出y件．(1) 请写出y与x之间的函数解析式．(2) 当x为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2 250元？(3) 设超市每天销售这种玩具可获利w元，当x为多少时，w最大？最大值是多少？11.(2019·通辽)越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升．某书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元．根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不得低于10元且不高于18元．(1)直接写出该书店销售这种科幻小说每天的销售量y(本)与销售单价x(元)之间的函数解析式及自变量的取值范围；(2)该书店决定每销售1本这种科幻小说，就捐赠a(0＜a≤6)元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1 960元，求a的值．12.(2019·湘潭)湘潭政府工作报告中强调，2019年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特色农产品品牌．小亮调查了一家湘潭特产店A，B两种湘莲礼盒一个月的销售情况，A种湘莲礼盒进价为72元/盒，售价为120元/盒，B种湘莲礼盒进价为40元/盒，售价为80元/盒，这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2 800元，平均每天的总利润为1 280元．(1) 求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？(2)小亮调查发现，A种湘莲礼盒售价每降3元，就可多卖1盒．若B种湘莲礼盒的售价和销量不变，当A种湘莲礼盒降价多少元时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大？最大是多少元？13.(2019·鄂尔多斯)某工厂制作A，B两种手工艺品，B手工艺品每件获利比A手工艺品多105元，获利30元的A手工艺品与获利240元的B手工艺品数量相等．(1) 制作一件A手工艺品和一件B手工艺品分别获利多少元？(2)工厂安排65人制作A，B两种手工艺品，每人每天制作2件A手工艺品或1件B手工艺品．现在在不增加工人数量的情况下，增加制作C手工艺品．已知每人每天可制作1件C手工艺品(每人每天只能制作一种手工艺品)，要求每天制作A，C两种手工艺品的数量相等．设每天安排x人制作B手工艺品，y人制作A手工艺品，写出y与x之间的函数解析式．在(1)(2)的条件下，每天制作B手工艺品不少于5件，当每天制作5件时，每件获利不变；若每增加1件，则当天平均每件获利减少2元．已知C手工艺品每件获利30元，求每天制作三种手工艺品可获得的总利润W(元)的最大值及相应x的值．14.(2019·梧州)某超市销售一种文具，进价为5元/件，售价为6元/件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．设当天销售单价统一为x元(x≥6，且x是按0.5的倍数上涨)，当天销售利润为y元．(1) 求y与x之间的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)．(2) 要使当天销售利润不低于240元，求x的取值范围．(3)若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润．15.(2019·云南)某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售．已知西瓜的成本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍．经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y(千克)与销售单价x(元)的函数关系如图所示．求：(1) y与x之间的函数解析式；(2) 这一天销售西瓜获得的利润W(元)的最大值．第15题16.(2019·包头)某出租公司有若干辆同一型号的货车对外出租，每辆货车的日租金实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每辆货车的日租金比淡季上涨13.据统计，淡季该公司平均每天有10辆货车未出租，日租金总收入为1 500元；旺季所有的货车每天能全部租出，日租金总收入为4 000元．(1) 该出租公司这批对外出租的货车共有多少辆？淡季每辆货车的日租金为多少元？(2)经市场调查发现，在旺季，如果每辆货车的日租金每上涨20元，每天租出去的货车就会减少1辆，不考虑其他因素，每辆货车的日租金上涨多少元时，该出租公司的日租金总收入最高？17.(2019·随州)某食品厂生产一种半成品食材，成本为2元/千克，每天的产量p(百千克)与销售价格x(元/千克)满足函数关系p ＝12x ＋8，从市场反馈的信息发现，该半成品食材每天的市场需求量q(百千克)与销售价格x(元/千克)满足一次函数关系，部分数据如下表：已知按物价部门规定，销售价格x(元/千克)不低于2元/千克且不高于10元/千克． (1) 直接写出q 与x 之间的函数解析式，并注明自变量x 的取值范围． (2)当每天的产量小于或等于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出，而当每天的产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃．① 当每天的半成品食材能全部售出时，求x 的取值范围；② 求厂家每天获得的利润y(百元)与销售价格x(元/千克)之间的函数解析式． (3)在(2)的条件下，当x 为________元/千克时，利润y 有最大值；若要使每天的利润不低于24百元，并尽可能地减少半成品食材的浪费，则销售价格应定为________元/千克．18.(2019·舟山)某农作物的生长率p 与温度t(℃)有如下关系：如图，当10≤t ≤25时可近似用函数p ＝150t －15刻画；当25＜t ≤37时可近似用函数p ＝－1160(t －h)2＋0.4刻画． (1) 求h 的值． (2)根据经验，该农作物提前上市的天数m 与生长率p 之间满足已学过的函数关系，部分数据如下：①求m关于p的函数解析式．②用含t的代数式表示m.③天气寒冷，大棚加温可改变农作物的生长速度．大棚恒温20 ℃时每天的成本为100元，计划该农作物30天后上市，现根据市场调查：每提前一天上市售出(一次售完)，销售额可增加60 0元．因此决定给大棚继续加温，但加温会导致成本增加，估测加温到20＜t≤25时的成本为200元/天，但若欲加温到25＜t≤37，由于要采用特殊方法，成本增加到400元/天．问加温到多少度时增加的利润最大？并说明理由(注：农作物上市售出后大棚暂停使用)．第18题参考答案一、 1. B 2. D 3. B 二、 4. 100 5. 4 6. 10 三、7.(1)y 与x 之间的函数解析式为y ＝－2x ＋260 (2)由题意，得(x －50)(－2x ＋260)＝3 000.化简，得x 2－180x ＋8 000＝0，解得x 1＝80，x 2＝100.∵x ≤50×(1＋90%)＝95，∴x 2＝100不符合题意，舍去．答：该公司要想每天获得3 000元的销售利润，销售单价应定为80元 (3)设每天获得的利润为w 元．由题意，得w ＝(x －50)(－2x ＋260)＝－2x 2＋360x －13 000＝－2(x －90)2＋3200，∵a ＝－2＜0，∴抛物线开口向下，w 有最大值．∵由题意及(2)，得50≤x ≤95，∴当x ＝90时，w 最大＝3200.答：销售单价为90元时，每天获得的利润最大，最大利润是3 200元8.(1)设y 与x 之间的函数解析式为y ＝kx ＋b(k ≠0)．由题图可知，当x ＝30时，y ＝140；当x ＝50时，y ＝100.∴⎩⎨⎧140＝30k ＋b ，100＝50k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝－2，b ＝200.∴y 与x 之间的函数解析式为y ＝－2x ＋200(30≤x ≤60) (2)设该公司日获利为W 元．由题意，得W ＝(x －30)(－2x ＋200)－450＝－2(x －65)2＋2 000.∵ a ＝－2＜0，图象的对称轴为直线x ＝65，∴二次函数的图象开口向下，当x ＜65时，W 随着x 的增大而增大．∵ 30≤x ≤60，∴当x ＝60时，W 有最大值，W 最大＝－2×(60－65)2＋2000＝1950.答：当销售单价为60元时，该公司日获利最大，最大获利为1 950元9. (1) 由题意，得y 与x 之间的函数解析式为y ＝100－2(x －60)＝220－2x(60≤x ≤110) (2)由题意，得(220－2x)(x －40)＝2250.化简，得x 2－150x ＋5525＝0，解得x 1＝65，x 2＝85，均符合题意．答：当每件的售价定为65元或85元时，每个月的利润恰好为2250元 (3)设每个月获得利润w 元，∴w ＝(220－2x)(x －40)＝－2x 2＋300x －8 800＝－2(x －75)2＋2 450.∴ 当x ＝75时，w 最大＝2 450.答：当每件的售价定为75元时，每个月获得的利润最大，最大利润为2 450元10.(1)根据题意，得y 与x 之间的函数解析式为y ＝－12x ＋50 (2)根据题意，得(40＋x)⎝⎛⎭⎫－12x ＋50＝2 250，解得x 1＝50，x 2＝10.∵每件利润不能超过60元，∴x ＝10.答：当x 为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元 (3) 根据题意，得w ＝(40＋x)⎝⎛⎭⎫－12x ＋50＝－12x 2＋30x ＋2 000＝－12(x －30)2＋2 450，∵a ＝－12＜0，∴当x ＜30时，w 随x 的增大而增大．易得0≤x ≤20，∴当x ＝20时，w 取最大值，为2 40011.(1)y ＝－10x ＋500(30≤x ≤38) (2)设每天扣除捐赠后可获得利润为w 元．根据题意，得w ＝(x －20－a)(－10x ＋500)＝－10x 2＋(10a ＋700)x －500a －10 000(30≤x ≤38)，则二次函数图象的对称轴为直线x ＝35＋12a.∵ 0＜a ≤6，∴ 35＜35＋12a ≤38.∵ －10<0，∴ 二次函数图象的开口向下，当x ＝35＋12a 时，w 取得最大值．∴(35＋12a －20－a)[－10(35＋12a)＋500]＝1960，解得a 1＝2，a 2＝58(不合题意，舍去)．∴ a 的值为212.(1)设平均每天销售A 种湘莲礼盒x 盒，B 种湘莲礼盒y 盒．根据题意，得⎩⎨⎧（120－72）x ＋（80－40）y ＝1 280，120x ＋80y ＝2 800，解得⎩⎨⎧x ＝10，y ＝20.答：该店平均每天销售A 种湘莲礼盒10盒，B 种湘莲礼盒20盒 (2) 设A 种湘莲礼盒降价m 元，总利润为W 元．根据题意，得W ＝(120－m －72)⎝⎛⎭⎫10＋m 3＋(80－40)×20＝－13m 2＋6m ＋1 280＝－13(m －9)2＋1 307.∵ a ＝－13＜0，∴ 当m ＝9时，W 取得最大值，为1307.答：当A 种湘莲礼盒降价9元时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是1 307元13.(1) 设制作一件A 手工艺品获利a 元，则制作一件B 手工艺品获利(105＋a)元．根据题意，得30a＝240a ＋105，解得a ＝15.经检验，a ＝15是原分式方程的解，且符合题意．当a ＝15时，a ＋105＝120.答：制作一件A 手工艺品获利15元，制作一件B 手工艺品获利120元 (2)∵每天安排x 人制作B 手工艺品，y 人制作A 手工艺品，∴由题意，得每天有2y 人制作C 手工艺品．根据题意，得y ＋x ＋2y ＝65.∴ y ＝－13x ＋653 (3)由题意，得W ＝15×2y ＋[120－2(x －5)]x ＋30×2y ＝－2x 2＋130x ＋90y ，又∵ y ＝－13x ＋653，∴ W ＝－2x 2＋130x ＋90y ＝－2x 2＋130x ＋90(－13x ＋653)＝－2x 2＋100x ＋1 950.对于二次函数W ＝－2x 2＋100x ＋1950，其图象的对称轴为直线x ＝25，而当x ＝25时，y 的值不是整数，又当x ＝24时，y 的值也不是整数．当x ＝26时，y ＝13，是整数．∴ 当x ＝26时，W 最大＝－2×262＋100×26＋1 950＝3 198.答：每天制作三种手工艺品可获得的总利润的最大值为3 198，相应x 的值为2614.(1)根据题意，得y ＝(x －5)⎝⎛⎭⎫100－x －60.5×5＝－10x 2＋210x －800.∴y 与x 之间的函数解析式为y ＝－10x 2＋210x －800 (2)∵当天销售利润不低于240元，则y ≥240.令－10x 2＋210x －800＝240，解得x 1＝8，x 2＝13.∵ －10＜0，∴ 抛物线的开口向下．∴ 结合函数图象，可知x 的取值范围为8≤x ≤13 (3) ∵每件文具的利润不超过80%，∴x －55≤0.8，解得x ≤9.∴自变量x 的取值范围为6≤x ≤9.由(1)得y ＝－10x 2＋210x －800＝－10(x －10.5)2＋302.5，∴ 函数图象的对称轴为直线x ＝10.5，且开口向下．∴ 当6≤x ≤9时，y 随x 的增大而增大．∴ 当x ＝9时，y 取得最大值，此时y ＝－10(9－10.5)2＋302.5＝280.答：当每件文具售价为9元时，当天获得利润最大，最大利润为280元15.(1)当6≤x ≤10时，设y 与x 之间的函数解析式为y ＝kx ＋b(k ≠0)，根据题意，得⎩⎨⎧1 000＝6k ＋b ，200＝10k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝－200，b ＝2 200.∴ y ＝－200x ＋2 200；当10＜x ≤12时，y ＝200.∴ y 与x 之间的函数解析式为y ＝⎩⎨⎧－200x ＋2 200（6≤x≤10），200（10＜x≤12）(2) 由已知，得W ＝(x －6)y.当6≤x ≤10时，W ＝(x －6)(－200x ＋2 200)＝－200⎝⎛⎭⎫x －1722＋1250.∵ －200＜0，∴ 抛物线的开口向下，当x ＝172时，取最大值1250.当10＜x ≤12时，W ＝(x －6)·200＝200x －1 200.∵ 200>0，∴ y 随x 的增大而增大．∴ 当x ＝12时，W 取得最大值，此时W ＝200×12－1 200＝1 200.∵ 1 250>1 200，∴ W 的最大值为1 250.答：这一天销售西瓜获得的利润W(元)的最大值为1 25016. (1) 设该出租公司这批对外出租的货车共有x 辆．根据题意，得 1 500x －10·⎝⎛⎭⎫1＋13＝4 000x，解得x ＝20.经检验，x ＝20是原分式方程的解，且符合题意．∴1500÷(20－10)＝150(元)．答：该出租公司这批对外出租的货车共有20辆，淡季每辆货车的日租金为150元 (2)设旺季时每辆货车的日租金上涨a 元时，该出租公司的日租金总收入为W 元．根据题意，得W ＝⎣⎡⎦⎤a ＋150×⎝⎛⎭⎫1＋13·⎝⎛⎭⎫20－a 20，∴ W ＝－120a 2＋10a ＋4 000＝－120(a －100)2＋4 500.∵ －120＜0，∴当a ＝100时，W 有最大值．答：在旺季，每辆货车的日租金上涨100元时，该出租公司的日租金总收入最高17.(1)q 与x 之间的函数解析式为q ＝－x ＋14(2≤x ≤10) (2)①当每天的半成品食材能全部售出时，有p ≤q ，即12x ＋8≤－x ＋14，解得x ≤4.又∵2≤x ≤10，∴x 的取值范围为2≤x ≤4 ②由①可知，当2≤x ≤4时，y ＝(x －2)p ＝(x －2)·⎝⎛⎭⎫12x ＋8＝12x 2＋7x －16；当4＜x ≤10时，y ＝(x －2)q －2(p －q)＝(x －2)(－x ＋14)－2⎣⎡⎦⎤12x ＋8－（－x ＋14）＝－x 2＋13x －16.综上所述，厂家每天获得的利润y(百元)与销售价格x(元/千克)之间的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧12x2＋7x －16（2≤x≤4），－x2＋13x －16（4＜x≤10）(3) 132518.(1)把(25，0.3)代入p ＝－1160(t －h)2＋0.4，得0.3＝－1160(25－h)2＋0.4，解得h ＝29或h ＝21.∵25<t ≤37，∴h ＝29 (2)①由表格可知，m 是p 的一次函数．设m ＝kp ＋b(k ≠0)，把(0.2，0)，(0.3，10)代入，得⎩⎨⎧0＝0.2k ＋b ，10＝0.3k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝100，b ＝－20.∴m 关于p 的函数解析式为m ＝100p －20 ②当10≤t ≤25时，p ＝150t －15，∴ m ＝100⎝⎛⎭⎫150t －15－20＝2t －40；当25<t ≤37时，p ＝－1160(t －29)2＋0.4，∴m ＝100[－1160(t －29)2＋0.4]－20＝－58(t －29)2＋20.综上所述，m ＝⎩⎪⎨⎪⎧2t －40（10≤t≤25），－58（t －29）2＋20（25<t≤37）③加温到29 °时，增加的利润最大．理由：设增加的利润为y 元，则当20<t ≤25时，y ＝600m ＋[100×30－200(30－m)]＝800m －3000＝1600t －35000.当20<t≤25时，y随t的增大而增大，∴当t＝25时，y最大＝1 600×25－35 000＝5 000；当25＜t≤37时，y＝600m＋[100×30－400(30－m)]＝1 000m－9 000＝－625(t－29)2＋11 000.∵－625<0，∴当t＝29时，y最大＝11 000.∵11 000>5 000，∴当加温到29 ℃时，增加的利润最大．。
沪科版九年级数学上册二次函数的图象和性质中考题汇编二(含答案)
沪科版九年级数学上册二次函数的图象和性质中考题汇编二（含答案）一、 选择题1. (2018·岳阳)抛物线y ＝3(x －2)2＋5的顶点坐标是( ) A. (－2，5) B. (－2，－5) C. (2，5) D. (2，－5)2. (2018·山西)用配方法将二次函数y ＝x 2－8x －9化为y ＝a (x ＋h )2＋k 的形式为( )A. y ＝(x －4)2＋7B. y ＝(x －4)2－25C. y ＝(x ＋4)2＋7D. y ＝(x ＋4)2－253. (2018·攀枝花)抛物线y ＝x 2－2x ＋2的顶点坐标为( ) A. (1，1) B. (－1，1) C. (1，3) D. (－1，3)4. (2018·陕西)对于抛物线y ＝ax 2＋(2a －1)x ＋a －3，当x ＝1时，y ＞0，则这条抛物线的顶点一定在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5. (2018·上海)下列对二次函数y ＝x 2－x 的图象的描述，正确的是( ) A. 开口向下 B. 对称轴是y 轴C. 经过原点D. 对称轴右侧部分是下降的6. (2018·成都)关于二次函数y ＝2x 2＋4x －1，下列说法正确的是( ) A. 图象与y 轴的交点坐标为(0，1) B. 图象的对称轴在y 轴的右侧C. 当x ＜0时，y 的值随x 值的增大而减小D. y 的最小值为－37. (2018·莱芜)函数y ＝ax 2＋2ax ＋m (a ＜0)的图象过点(2，0)，则使函数值y ＜0成立的x 的取值范围是( )A. x ＜－4或x ＞2B. －4＜x ＜2C. x ＜0或x ＞2D. 0＜x ＜28. (2018·襄阳)已知二次函数y ＝x 2－x ＋14m －1的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是( )A. m ≤5B. m ≥2C. m ＜5D. m ＞2 9. (2018·河北)对于题目“一段抛物线L ：y ＝－x (x －3)＋c (0≤x ≤3)与直线l ：y ＝x ＋2有唯一公共点，若c 为整数，确定所有c 的值．”甲的结果是c ＝1，乙的结果是c ＝3或4，则( ) A. 甲的结果正确 B. 乙的结果正确C. 甲、乙的结果合在一起才正确D. 甲、乙的结果合在一起也不正确10. (2018·黄冈)当a ≤x ≤a ＋1时，函数y ＝x 2－2x ＋1的最小值为1，则a 的值为( ) A. －1 B. 2 C. 0或2 D. －1或211. (2018·潍坊)已知二次函数y ＝－(x －h )2(h 为常数)，当自变量x 的值满足2≤x ≤5时，与其对应的函数值y 的最大值为－1，则h 的值为( ) A. 3或6 B. 1或6 C. 1或3 D. 4或612. (2018·泸州)已知二次函数y ＝ax 2＋2ax ＋3a 2＋3(其中x 是自变量)，当x ≥2时，y 随x 的增大而增大，且当－2≤x ≤1时，y 的最大值为9，则a 的值为( ) A. 1或－2 B. －2或 2 C. 2 D. 113. (2018·广安)抛物线y ＝(x －2)2－1可以由抛物线y ＝x 2平移而得到，下列平移正确的是( ) A. 先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度 B. 先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度 C. 先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度 D. 先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度14. (2018·哈尔滨)将抛物线y ＝－5x 2＋1先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线为( )A. y ＝－5(x ＋1)2－1B. y ＝－5(x －1)2－1C. y ＝－5(x ＋1)2＋3D. y ＝－5(x －1)2＋315. (2018·南宁)将抛物线y ＝12x 2－6x ＋21向左平移2个单位长度后，得到新抛物线对应的函数解析式为( )A. y ＝12(x －8)2＋5B. y ＝12(x －4)2＋5C. y ＝12(x －8)2＋3D. y ＝12(x －4)2＋316. (2018·绍兴)若抛物线y ＝x 2＋ax ＋b 与x 轴的两个交点间的距离为2，则称此抛物线为定弦抛物线．已知某定弦抛物线的对称轴为直线x ＝1，将此抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线过点( )A. (－3，－6)B. (－3，0)C. (－3，－5)D. (－3，－1)17. (2018·永州)在同一平面直角坐标系中，反比例函数y ＝bx(b ≠0)与二次函数y ＝ax 2＋bx (a ≠0)的图象大致是( )A B C D18. (2018·青岛)一次函数y ＝bax ＋c 的图象如图所示，则二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在平面直角坐标系中的图象可能是( )A B C D第18题第19题19. (2018·泰安)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则反比例函数y ＝a x与一次函数y ＝ax ＋b 在同一坐标系内的大致图象是( )A B C D20. (2018·通辽)已知抛物线y ＝x 2＋2x ＋k ＋1与x 轴有两个不同的交点，则一次函数y ＝kx －k 与反比例函数y ＝kx在同一坐标系内的大致图象是( )A B CD21. (2018·德州)如图，函数y ＝ax 2－2x ＋1和y ＝ax －a (a 是常数，且a ≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )A B C D22. (2018·宁波)如图，二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象开口向下，且经过第三象限的点P .若点P 的横坐标为－1，则一次函数y ＝(a －b )x ＋b 的图象大致是( )A B C D第22题第23题23. (2018·菏泽)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则一次函数y ＝bx ＋a 与反比例函数y ＝a ＋b ＋cx在同一平面直角坐标系中的图象大致是( ) A B CD24. (2018·枣庄)如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，且过点A (3，0)，二次函数图象的对称轴是直线x ＝1，下列结论正确的是( )A. b 2＜4ac B. ac ＞0 C. 2a －b ＝0 D. a －b ＋c ＝0第24题 第25题25. (2018·遂宁)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，则以下结论同时成立的是( )A. ⎩⎪⎨⎪⎧abc >0，b 2－4ac <0B. ⎩⎪⎨⎪⎧abc <0，2a ＋b >0C. ⎩⎪⎨⎪⎧abc >0，a ＋b ＋c <0D. ⎩⎪⎨⎪⎧abc <0，b 2－4ac >0 26. (2018·抚顺)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (0＜2a ≤b )与x 轴最多有一个交点．以下四个结论：① abc＞0；② 该抛物线的对称轴在直线x ＝－1的右侧；③ 关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＋1＝0无实数根；④a ＋b ＋cb≥2.其中正确的结论有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个27. (2018·烟台)如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于点A (－1，0)，B (3，0)．下列结论：① 2a －b ＝0；② (a ＋c )2＜b 2；③ 当－1＜x ＜3时，y ＜0；④ 当a ＝1时，将抛物线先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线y ＝(x －2)2－2.其中正确的是( ) A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ③④第27题 第28题28. (2018·衡阳)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A (－1，0)，顶点坐标为(1，n )，与y 轴的交点在(0，2)，(0，3)之间(包含端点)．下列结论：① 3a ＋b ＜0；② －1≤a ≤－23；③ 对于任意实数m ，a ＋b ≥am 2＋bm 总成立；④ 关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝n －1有两个不相等的实数根．其中正确的结论有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个29. (2018·安顺)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，分析下列四个结论：① abc ＜0；② b2－4ac ＞0；③ 3a ＋c ＞0；④ (a ＋c )2＜b 2.其中正确的结论有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个第29题第30题30. (2018·资阳)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，OA ＝OC ，则由抛物线的特征写出如下含有a ，b ，c 三个字母的等式或不等式：① 4ac －b 24a ＝－1；② ac ＋b ＋1＝0；③ abc ＞0；④ a －b ＋c ＞0.其中正确的个数是( )A. 4B. 3C. 2D. 131. (2018·达州)如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于点A (－1，0)，与y 轴的交点B 在(0，2)与(0，3)之间(不包括这两点)，对称轴为直线x ＝2.下列结论：① abc ＜0；② 9a ＋3b ＋c ＞0；③ 若点M (12，y 1)，N (52，y 2)是函数图象上的两点，则y 1＜y 2；④ －35＜a ＜－25.其中正确的结论有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个第31题第32题32. (2018·荆门)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的大致图象如图所示，顶点坐标为(－2，－9a)，下列结论：① 4a＋2b ＋c ＞0；② 5a－b ＋c ＝0；③ 若方程a(x ＋5)(x －1)＝－1有两个根x 1和x 2，且x 1＜x 2，则－5＜x 1＜x 2＜1；④ 若方程|ax 2＋bx ＋c|＝1有四个根，则这四个根的和为－4.其中正确的结论有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个33. (2018·乐山)二次函数y ＝x 2＋(a －2)x ＋3的图象与一次函数y ＝x (1≤x ≤2)的图象有且仅有一个交点，则实数a 的取值范围是( )A. a ＝3±2 3B. －1≤a ＜2C. a ＝3＋23或－12≤a ＜2D. a ＝3－23或－1≤a ＜－1234. (2018·呼和浩特)若满足12＜x ≤1的任意实数x ，都能使不等式2x 3－x 2－mx ＞2成立，则实数m 的取值范围是( )A. m ＜－1B. m ≥－5C. m ＜－4D. m ≤－435. (2018·湖州)在平面直角坐标系xOy 中，已知点M ，N 的坐标分别为(－1，2)，(2，1)．若抛物线y ＝ax 2－x ＋2(a≠0)与线段MN 有两个不同的交点，则a 的取值范围是( ) A. a ≤－1或14≤a ＜13 B. 14≤a ＜13C. a ≤14或a ＞13D. a ≤－1或a ≥1436. (2018·桂林)如图，在平面直角坐标系中，M ，N ，C 三点的坐标分别为(12，1)，(3，1)，(3，0)，A 为线段MN 上的一个动点，连接AC ，过点A 作AB⊥AC 交y 轴于点B.当点A 从点M 运动到点N 时，点B 随之运动．设点B 的坐标为(0，b)，则b 的取值范围是( )第36题A. －14≤b ≤1B. －54≤b ≤1C. －94≤b ≤12D. －94≤b ≤1二、 填空题37. (2018·哈尔滨)抛物线y ＝2(x ＋2)2＋4的顶点坐标为________．38. (1) (2018·淮安)将二次函数y ＝x 2－1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式是__________；(2) (2018·乌鲁木齐)把拋物线y ＝2x 2－4x ＋3沿x 轴向左平移1个单位长度，得到的抛物线的对应的函数解析式为__________．39. (2018·黔南州)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表，那么它的图象与x 轴的另一个交点坐标是________.40. (2018·湖州)已知抛物线＝＋－3(≠0)经过点(－1，0)，(3，0)，那么a 的值为______，b 的值为______．41. (2018·孝感)如图，抛物线y ＝ax 2与直线y ＝bx ＋c 的两个交点坐标分别为A (－2，4)，B (1，1)，则关于x 的方程ax 2＝bx ＋c 的解为______________．第41题 第44题42. (2018·自贡)若函数y ＝x 2＋2x －m 的图象与x 轴有且只有一个公共点，则m 的值为________．43. (2018·镇江)已知二次函数y ＝x 2－4x ＋k 的图象的顶点在x 轴下方，则实数k 的取值范围是________．44. (2018·新疆)如图，已知抛物线y 1＝－x 2＋4x 和直线y 2＝2x .我们规定：当x 取任意一个值时，x 对应的函数值分别为y 1和y 2.若y 1≠y 2，取y 1和y 2中较小值为M ；若y 1＝y 2，记M ＝y 1＝y 2.下列结论：① 当x ＞2时，M ＝y 2；② 当x ＜0时，M 随x 的增大而增大；③ 使得M 大于4的x 的值不存在；④ 若M ＝2，则x ＝1.其中正确的结论是________．(填序号)45. (2018·湖州)如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx (a ＞0)的顶点为C ，与x 轴的正半轴交于点A ，它的对称轴与抛物线y ＝ax 2(a ＞0)交于点B .若四边形ABOC 是正方形，则b 的值是________．第45题第46题46. (2018·长春)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2＋mx 交x 轴的负半轴于点A .B 是y 轴正半轴上一点，点A 关于点B 的对称点A ′恰好落在抛物线上．过点A ′作x 轴的平行线交抛物线于另一点C .若点A ′的横坐标为1，则A ′C 的长为________．47. (2018·遵义)如图，抛物线y ＝x 2＋2x －3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，P 是抛物线对称轴上任意一点．若D ，E ，F 分别是BC ，BP ，PC 的中点，连接DE ，DF ，则DE ＋DF 的最小值为________．第47题 第49题48. (2018·淄博)已知抛物线y ＝x 2＋2x －3与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，将这条抛物线向右平移m (m ＞0)个单位长度，平移后的抛物线与x 轴交于C ，D 两点(点C 在点D 的左侧)．若B ，C 是线段AD 的三等分点，则m 的值为________．49. (2018·遂宁)如图，抛物线y ＝ax 2－4x ＋c (a ≠0)与反比例函数y ＝9x的图象相交于点B ，且点B 的横坐标为3，抛物线与y 轴交于点C (0，6)，A 是抛物线y ＝ax 2－4x ＋c 的顶点，P 是x 轴上一动点．当PA ＋PB 最小时，点P 的坐标为________．50.(2018·恩施州)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝－1，部分图象如图所示，下列判断：① abc＞0；② b 2－4ac ＞0；③ 9a－3b ＋c ＝0；④ 若点(－0.5，y 1)，(－2，y 2)均在抛物线上，则y 1＞y 2；⑤ 5a －2b ＋c ＜0.其中正确的判断是________．(填序号)第50题 第51题51. (2018·大庆)如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过点A(－1，0)，B(3，0)，C(4，y 1)．若D(x 2，y 2)是抛物线上任意一点，有下列结论：① 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小值为－4a ；② 若－1≤x 2≤4，则0≤y 2≤5a；③ 若y 2＞y 1，则x 2＞4；④ 一元二次方程cx 2＋bx ＋a ＝0的两个根为－1和13.其中正确的结论是________．(填序号) 三、 解答题52. (2018·绍兴)学校拓展小组研制了如图①所示的绘图智能机器人，顺次输入点P 1，P 2，P 3的坐标，机器人能根据图②，绘制图形．若图形是线段，求出线段的长度；若图形是抛物线，求出抛物线的函数解析式．请根据以下点的坐标，求出线段的长度或抛物线的函数解析式．（1）`P 1（4，0），P 2（0，0），P 3（6，6）；（2）`P 1（0，0），P 2（4，0），P 3（6，6）.53. (2018·云南)已知二次函数y ＝－316x 2＋bx ＋c 的图象经过A(0，3)，B(－4，－92)两点．(1) 求b ，c 的值．(2) 二次函数y ＝－316x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴是否有公共点？若有，求公共点的坐标；若没有，请说明情况．54. (2018·南京)已知二次函数y ＝2(x －1)(x －m －3)(m 为常数)． (1) 求证：不论m 为何值，该函数的图象与x 轴总有公共点； (2) 当m 取什么值时，该函数的图象与y 轴的交点在x 轴的上方？55. (2018·杭州)设二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx －(a ＋b)(a ，b 是常数，a≠0)． (1) 判断该二次函数的图象与x 轴的交点的个数，并说明理由；(2) 若该二次函数的图象经过A(－1，4)，B(0，－1)，C(1，1)三个点中的两个，求该二次函数的解析式； (3) 若a ＋b ＜0，点P(2，m)(m ＞0)在该二次函数的图象上，求证：a ＞0.56. (2018·宁波)已知抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 经过点(1，0)，(0，32)．(1) 求该抛物线对应的函数解析式；(2) 将抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数解析式．57. (2018·苏州)如图，抛物线y＝x2－4与x轴交于点A，B(点A位于点B的左侧)，C为顶点，直线y＝x＋m经过点A，与y轴交于点D.(1) 求线段AD的长．(2) 平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为C′.若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC′平行于直线AD，求新抛物线对应的函数解析式．第57题58. (2018·陕西)已知抛物线l：y＝x2＋x－6与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左侧)，并与y轴相交于点C.(1) 求A，B，C三点的坐标及△ABC的面积；(2) 将抛物线l向左或向右平移，得到抛物线l′，且l′与x轴相交于A′，B′两点(点A′在点B′的左侧)，并与y轴相交于点C′，要使△A′B′C′和△ABC的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数解析式．59. (2018·温州)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx(a≠0)交x 轴正半轴于点A ，直线y ＝2x 经过抛物线的顶点M.已知该抛物线的对称轴为直线x ＝2，交x 轴于点B. (1) 求a ，b 的值．(2) P 是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连接OP ，BP.设点P 的横坐标为m ，△OBP 的面积为S ，记K ＝Sm，求K 关于m 的函数解析式及K 的取值范围．第59题60. (2018·北京)在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝4x ＋4与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，抛物线y ＝ax 2＋bx －3a 经过点A ，将点B 向右平移5个单位长度，得到点C. (1) 求点C 的坐标； (2) 求抛物线的对称轴；(3) 若抛物线与线段BC 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．61. (2018·泰州)在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2－2mx＋m2＋2m＋2的图象与x轴有两个交点．(1) 当m＝－2时，求二次函数的图象与x轴交点的坐标；(2) 过点P(0，m－1)作直线l⊥y轴，二次函数图象的顶点A在直线l与x轴之间(不包含点A在直线l 上)，求m的取值范围；(3) 在(2)的条件下，设二次函数图象的对称轴与直线l相交于点B，求△ABO的面积最大时m的值．第61题62. (2018·金华)如图，抛物线y＝ax2＋bx(a＜0)过点E(10，0)，矩形ABCD的边AB在线段OE上(点A在点B的左边)，点C，D在抛物线上．设点A的坐标为(t，0)，当t＝2时，AD＝4.(1) 求抛物线的函数解析式．(2) 当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？(3) 保持t＝2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．第62题63. (2018·昆明)如图，抛物线y＝ax2＋bx过点B(1，－3)，对称轴是直线x＝2，且抛物线与x轴的正半轴交于点A.(1) 求抛物线对应的函数解析式，并根据图象直接写出当y≤0时，自变量x的取值范围；(2) 在第二象限内的抛物线上有一点P，当PA⊥BA时，求△PAB的面积．第63题64. (2018·菏泽)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－5交y轴于点A，交x轴于点B(－5，0)和点C(1，0)，过点A作AD∥x轴交抛物线于点D.(1) 求此抛物线的解析式；(2) E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，求△EAD的面积；(3) 若P是直线AB下方的抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，△ABP的面积最大，求出此时点P 的坐标和△ABP的最大面积．第64题65. (2018·贵港)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴相交于点C(0，－3)．(1) 求这个二次函数的解析式．(2) 若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC.① 求线段PM的最大值；② 当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．第65题66. (2018·海南)如图①，抛物线y＝ax2＋bx＋3交x轴于点A(－1，0)和点B(3，0)．(1) 求该抛物线所对应的函数解析式．(2) 如图②，该抛物线与y轴交于点C，顶点为F，点D(2，3)在该抛物线上．① 求四边形ACFD的面积；② P是线段AB上的动点(点P不与点A，B重合)，过点P作PQ⊥x轴交该抛物线于点Q，连接AQ，DQ，当△AQD是直角三角形时，求出所有满足条件的点Q的坐标．第66题67. (2018·郴州)如图①，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t.(1) 求抛物线的解析式．(2) 设抛物线的对称轴为直线l，l与x轴的交点为D.在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．(3) 如图②，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S.① 求S关于t的函数解析式；② 求点P到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．第67题68. (2018·德州)如图①，在平面直角坐标系中，直线y＝x－1与抛物线y＝－x2＋bx＋c交于A(m，0)，B(4，n)两点，该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D.(1) 求m，n的值及该抛物线的解析式．(2) 如图②，若P为线段AD上的一动点(不与点A，D重合)，分别以AP，DP为斜边，在直线AD的同侧作等腰直角三角形APM和等腰直角三角形DPN，连接MN，试确定△MPN面积最大时点P的坐标．(3) 如图③，连接BD，CD，在线段CD上是否存在点Q，使得以A，D，Q为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．第68题69. (2018·达州)如图，抛物线经过原点O(0，0)，点A 的坐标为(1，1)，点B 的坐标为(72，0)．(1) 求抛物线的解析式．(2) 连接OA ，过点A 作AC⊥OA 交抛物线于点C ，连接OC ，求△AOC 的面积．(3) M 是y 轴右侧抛物线上一动点，连接OM ，过点M 作MN⊥OM 交x 轴于点N.问：是否存在点M ，使以O ，M ，N 为顶点的三角形与(2)中的△AOC 相似？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．第69题参考答案一、1.C 2.B 3.A 4.C 5.C 6.D 7.A 8.A 9.D点拨：c ＝1，3，4，5. 10.D 11.B 12.D 13.D 14.A 15.D 16.B 17.D 18.A 19.C 20.D 21.B 22.D 23.B 24.D 25.C 26.C 27.D 28.D 29.B 30.A 31.D32.B 33.D 34.D 点拨：∵12＜x ≤1，∴x ≠0.在2x 3－x 2－mx ＞2两边同时除以x ，得2x 2－x －m >2x .不妨令y 1＝2x 2－x －m ，y 2＝2x ，则y 1>y 2.易得抛物线y 1＝2x 2－x －m 的对称轴为直线x ＝14，且与y 轴交于点(0，－m )．在y 2＝2x 中，令x ＝12，则y ＝4.当抛物线过点(12，4)时，易得－m ＝4.要使y 1>y 2，必须有－m ≥4，即m ≤－4. 35.A 36.B二、37. (－2，4) 38. (1) y ＝x 2＋2 (2) y ＝2x 2＋1 39. (3，0) 40.1 －2 41.x 1＝－2，x 2＝142.－1 43.k ＜4 44.②③ 45.－2 点拨：根据抛物线y ＝ax 2＋bx 与正方形的性质，可设点B 的坐标为(－b 2a ，－b 2a )，代入抛物线y ＝ax 2，可得b 1＝0(舍去)，b 2＝－2. 46.3 47.322 48.2或8 49. (125，0) 50.②③⑤ 51.①④三、52. (1) ∵P 1(4，0)，4－0＝4＞0，∴绘制线段P 1P 2，此时P 1P 2＝4 (2) ∵P 1(0，0)，0－0＝0，∴绘制抛物线．由题意，可设抛物线的函数解析式为y ＝ax(x －4)，把(6，6)代入，得6＝12a ，解得a ＝12，∴y＝12x(x －4)，即y ＝12x 2－2x 53. (1) 把A(0，3)，B(－4，－92)分别代入y ＝－316x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3，－316×（－4）2－4b ＋c ＝－92，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝98，c ＝3(2) 由(1)，得该二次函数解析式为y ＝－316x 2＋98x ＋3.∵ (98)2－4×(－316)×3＝22564＞0，∴二次函数y ＝－316x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴有公共点．解－316x 2＋98x ＋3＝0，得x 1＝－2，x 2＝8，∴公共点的坐标是(－2，0)，(8，0)54. (1) 当y ＝0时，2(x －1)(x －m －3)＝0，解得x 1＝1，x 2＝m ＋3.当m ＋3＝1，即m ＝－2时，方程有两个相等的实数根；当m ＋3≠1，即m≠－2时，方程有两个不相等的实数根．∴不论m 为何值，该函数的图象与x 轴总有公共点 (2) 当x ＝0时，y ＝2m ＋6，即该函数的图象与y 轴交点的纵坐标为2m ＋6.因此当2m ＋6＞0，即m ＞－3时，该函数的图象与y 轴的交点在x 轴的上方55. (1) 交点个数为1或2 理由如下：在y ＝ax 2＋bx －(a ＋b)中，令y ＝0，得ax 2＋bx －(a ＋b)＝0.∵Δ＝b 2－4·a·[－(a ＋b)]＝b 2＋4ab ＋4a 2＝(2a ＋b)2，∴当2a ＋b ＝0，即Δ＝0时，二次函数的图象与x 轴有1个交点；当2a ＋b≠0，即Δ>0时，二次函数的图象与x 轴有2个交点． (2) 当x ＝1时，y ＝a ＋b －(a ＋b)＝0，∴函数图象不可能经过点C.∴函数图象经过A ，B 两点．把A(－1，4)，B(0，－1)分别代入y ＝ax 2＋bx －(a ＋b)，得⎩⎪⎨⎪⎧4＝a －b －（a ＋b ），－1＝－（a ＋b ），解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2.∴该二次函数的解析式为y ＝3x 2－2x －1 (3)∵点P(2，m)(m ＞0)在该二次函数的图象上，∴m＝4a ＋2b －(a ＋b)＝3a ＋b ＞0.∵a＋b ＜0，∴－(a ＋b)>0.∴3a＋b －(a ＋b)>0，即2a>0.∴a＞056. (1) 把(1，0)，(0，32)代入y ＝－12x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧－12＋b ＋c ＝0，c ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝32.∴该抛物线对应的函数解析式为y ＝－12x 2－x ＋32 (2) ∵y＝－12x 2－x ＋32＝－12(x ＋1)2＋2，∴原抛物线的顶点坐标为(－1，2)．∴将抛物线y ＝－12x 2－x ＋32平移，使其顶点恰好落在原点的一种平移方法(答案不唯一)：先将抛物线y ＝－12x 2－x ＋32向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，可得顶点恰好落在原点的抛物线y ＝－12x 257. (1) 在y ＝x 2－4中，令y ＝0，得x 2－4＝0，解得x 1＝－2，x 2＝2.∵点A 位于点B 的左侧，∴点A 的坐标为(－2，0)，OA ＝2.∵直线y ＝x ＋m 经过点A ，∴－2＋m ＝0，即m ＝2.∴y＝x ＋2.令x ＝0，得y ＝2.∴点D 的坐标为(0，2)，OD ＝2.∴AD＝OA 2＋OD 2＝2 2 (2) 由(1)，易得直线AD 的解析式为y ＝x ＋2.在y＝x 2－4中，令x ＝0，得y ＝－4.∴点C 的坐标为(0，－4)．根据平移的性质及新抛物线过点D(0，2)，可设新抛物线对应的函数解析式为y ＝x 2＋bx ＋2.配方，得y ＝(x ＋b 2)2＋2－b 24，则顶点C′的坐标为(－b2，2－b24)．∵CC′平行于直线AD ，且经过点C(0，－4)，∴易得直线CC′的函数解析式为y ＝x －4.把点C′的坐标代入y ＝x －4，得2－b 24＝－b 2－4，整理，得b 2－2b －24＝0，解得b 1＝－4，b 2＝6，∴新抛物线对应的函数解析式为y ＝x 2－4x ＋2或y ＝x 2＋6x ＋258. (1) 在y ＝x 2＋x －6中，令y ＝0，得x 2＋x －6＝0，解得x 1＝－3，x 2＝2，∴点A 的坐标为(－3，0)，点B 的坐标为(2，0)．此时AB ＝|－3－2|＝5.令x ＝0，得y ＝－6，∴点C 的坐标为(0，－6)．此时OC ＝6.∴△ABC 的面积为12·AB·OC＝12×5×6＝15 (2) y ＝x 2＋x －6＝(x ＋12)2－254.不妨设抛物线l 向右平移m 个单位长度，则抛物线l′的函数解析式为y ＝(x ＋12－m)2－254.由平移特征，得A′B′＝AB ＝5.∵△A′B′C′和△ABC 的面积相等，∴12×5·OC′＝15，即OC′＝6.∴点C′的坐标为(0，6)或(0，－6)．①把C′(0，6)代入y ＝(x ＋12－m)2－254，得(12－m)2－254＝6，解得m 1＝－3，m 2＝4，此时抛物线的函数解析式为y ＝x 2＋7x ＋6或y ＝x 2－7x ＋6；②把C′(0，－6)代入y ＝(x ＋12－m)2－254，得(12－m)2－254＝－6，解得m 1＝0(与抛物线l 重合，舍去)，m 2＝1，此时抛物线的函数解析式为y ＝x 2－x －6.综上所述，满足条件的抛物线的函数解析式为y ＝x 2＋7x ＋6或y ＝x 2－7x ＋6或y ＝x 2－x －659. (1) 由题意，得抛物线顶点M 的横坐标为2，代入直线y ＝2x 中，得y ＝4，即点M 的坐标为(2，4)．∵抛物线经过点O ，A ，且该抛物线的对称轴为直线x ＝2，∴易得点A 的坐标为(4，0)．把A(4，0)，M(2，4)代入y ＝ax 2＋bx ，得⎩⎪⎨⎪⎧16a ＋4b ＝0，4a ＋2b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝4 (2) 由(1)，得抛物线对应的函数解析式为y ＝－x 2＋4x.过点P 作PH⊥x 轴，垂足为H.将x P ＝m 代入y ＝－x 2＋4x ，得y P ＝－m 2＋4m ，∴点P 的坐标为(m ，－m 2＋4m)．∴PH＝－m 2＋4m.∵抛物线的对称轴为直线x ＝2，∴点B 的坐标为(2，0)，即OB ＝2.∴S＝12OB·PH＝12×2·(－m 2＋4m)＝－m 2＋4m.∴K＝S m ＝－m 2＋4m m ＝－m ＋4.由(1)，得点A 的坐标为(4，0)，点M 的坐标为(2，4)．∵P 是对称轴的右侧第一象限内的一点，∴2＜m ＜4.∵K＝－m ＋4，即m ＝4－K ，∴2＜4－K ＜4，解得0＜K ＜260. (1) 在y ＝4x ＋4中，令x ＝0，得y ＝4，∴点B 的坐标为(0，4)．∵点B 向右平移5个单位长度，得到点C ，∴点C 的坐标为(5，4) (2) 在y ＝4x ＋4中，令y ＝0，得x ＝－1，∴点A 的坐标为(－1，0)．将A(－1，0)代入抛物线y ＝ax 2＋bx －3a 中，得0＝a －b －3a ，即b ＝－2a ，∴－b 2a ＝－－2a 2a ＝1.∴抛物线的对称轴为直线x ＝1 (3) 抛物线y ＝ax 2＋bx －3a ＝ax 2－2ax －3a.如图，情况1：当a>0时，将x ＝0代入y ＝ax 2－2ax －3a ，得y ＝－3a.将x ＝5代入y ＝ax 2－2ax －3a ，得y ＝12a.∵抛物线与线段BC 恰有一个公共点，对称轴为直线x ＝1，∴－3a<4，12a≥4.∴a>－43，a≥13.∴a≥13.情况2：当a<0时，类似情况1，得－3a>4.∴a<－43.情况3：当抛物线的顶点在线段BC 上时，易得顶点坐标为(1，4)．∴4＝a －2a －3a.∴a＝－1.综上所述，a 的取值范围是a≥13或a<－43或a ＝－1第60题 第61题61. (1) 当m ＝－2时，二次函数的解析式为y ＝x 2＋4x ＋2，令y ＝0，则x 2＋4x ＋2＝0，解得x 1＝－2＋2，x 2＝－2－2，∴抛物线与x 轴交点的坐标为(－2＋2，0)，(－2－2，0) (2) 如图，∵y＝x 2－2mx ＋m 2＋2m ＋2＝(x －m)2＋2m ＋2，∴顶点A 的坐标为(m ，2m ＋2)．∵抛物线与x 轴有两个交点，且开口向上，∴点A 在x 轴下方．又∵点A 在直线l 与x 轴之间(不包含点A 在直线l 上)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋2<0，2m ＋2>m －1，解得－3＜m ＜－1 (3) 如图，由(2)，知抛物线的对称轴为直线x ＝m ，顶点为A(m ，2m ＋2)．∵－3＜m ＜－1，∴点A 在第三象限．∵点B 为抛物线对称轴与直线l 的交点，∴点B 的坐标为(m ，m －1)．易得点B 在点A 下方，∴AB＝2m ＋2－(m －1)＝m ＋3.∴S △ABO ＝12(m ＋3)(－m)＝－12(m ＋32)2＋98.∴当m ＝－32时，S △ABO 有最大值，为98.∴△ABO 的面积最大时m 的值为－3262. (1) ∵当t ＝2时，AD ＝4，∴点D 的坐标为(2，4)．将E(10，0)，D(2，4)代入y ＝ax 2＋bx ，得⎩⎪⎨⎪⎧100a ＋10b ＝0，4a ＋2b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－14，b ＝52，∴抛物线的函数解析式为y ＝－14x 2＋52x (2) 由抛物线及矩形的对称性得BE ＝OA ＝t ，∵E(10，0)，∴O E ＝10.∴AB＝10－2t.当x ＝t 时，AD ＝－14t 2＋52t ，∴矩形ABCD 的周长C＝2·(AB＋AD)＝2·[(10－2t)＋(－14t 2＋52t)] ＝－12t 2＋t ＋20＝－12(t －1)2＋412.∵－12＜0，∴当t ＝1时，矩形ABCD 的周长有最大值，最大值为412 (3) 如图，当t ＝2时，易得点A ，B ，C ，D 的坐标分别为(2，0)，(8，0)，(8，4)，(2，4)，∴矩形ABCD 对角线的交点P 的坐标为(5，2)，OB ＝8.当平移后的抛物线过点A(点A ，G 重合)时，点H 的坐标为(4，4)，此时GH 不能将矩形的面积平分；当平移后的抛物线过点C(点C ，H 重合)时，点G 的坐标为(6，0)，此时GH 也不能将矩形的面积平分；当G ，H 中有一点落在线段AD 或BC 上时，直线GH 不可能将矩形的面积平分；当点G ，H 分别落在线段AB ，DC 上时，直线GH 过点P 时必平分矩形ABCD 的面积．连接DO ，设其中点为Q.∵在矩形ABCD 中，AB∥CD ，∴线段OD 平移后得到线段GH.∴线段OD 的中点Q 平移后的对应点是P.∴在△OBD 中，PQ 是中位线．∴PQ＝12OB ＝4.∴抛物线向右平移的距离是4个单位长度第62题 第63题63. (1) ∵抛物线y ＝ax 2＋bx 过点B(1，－3)，对称轴是直线x ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝－3，－b 2a ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4.∴抛物线对应的函数解析式为y ＝x 2－4x.令y ＝0，得x 2－4x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝4.结合题中图象知，点A 的坐标为(4，0)，抛物线开口向上，∴当y≤0时，自变量x 的取值范围是0≤x≤4 (2) 设点P 的坐标为(t ，t 2－4t)．如图，先过点A 作x 轴的垂线CD ，再分别过点P ，B 作PC⊥CD，BD⊥CD.∵点B 的坐标为(1，－3)，点A 的坐标为(4，0)，∴AD＝BD ＝3，PC ＝4－t ，AC ＝t 2－4t.∴在Rt△ADB 中，∠BAD ＝45°.∵PA ⊥BA ，∴∠PAC ＝180°－90°－45°＝45°.又∵∠C ＝90°，∴∠APC ＝45°＝∠PAC .∴PC ＝AC ，即4－t ＝t 2－4t .解得t 1＝4(不合题意，舍去)，t 2＝－1，此时点P 的坐标为(－1，5)，∴PC ＝5，CD ＝8，AC ＝5.∴S △PAB ＝12(PC ＋BD )·CD －12PC ·AC －12BD ·AD ＝12×(5＋3)×8－12×5×5－12×3×3＝15 64. (1) ∵抛物线y ＝ax 2＋bx －5经过点B(－5，0)和点C(1，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧25a －5b －5＝0，a ＋b －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4.∴抛物线的解析式是y ＝x 2＋4x －5 (2) ∵抛物线y ＝x 2＋4x －5交y 轴于点A ，∴易得点A 的坐标为(0，－5)．∵AD∥x 轴，点E 关于x 轴的对称点在直线AD 上，∴点E 的纵坐标为5，点D 的纵坐标为－5.∴点E到直线AD 的距离为5＋|－5|＝10.设点D 的坐标为(t ，－5)，则－5＝t 2＋4t －5，解得t 1＝0，t 2＝－4，∴点D 的坐标为(－4，－5)．∴AD＝4.∴S △EAD ＝12×4×10＝20 (3) 设过点A(0，－5)，B(－5，0)的直线AB 的函数解析式为y ＝mx ＋n.∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－5，－5m ＋n ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－5.∴直线AB 的函数解析式为y ＝－x －5.如图，过点P 作PN ⊥x 轴，垂足为N ，交直线AB 于点M.设点P 的坐标为(p ，p 2＋4p －5)，则点M 的坐标为(p ，－p －5)．易得－5<p<0.∴S △ABP ＝S △AMP ＋S △BMP ＝12MP·(x A －x M )＋12MP·(x M －x B )＝12MP·(x A －x B )＝12[(－p －5)－(p 2＋4p －5)] ×5＝－52(p 2＋5p)＝－52(p ＋52)2＋1258.∴当p ＝－52时，S △ABP 最大，最大值为1258.∵当p ＝－52时，p 2＋4p －5＝－354，∴此时点P 的坐标为(－52，－354)第64题65. (1) ∵抛物线与x 轴相交于A(－1，0)，B(3，0)两点，∴可设y ＝a(x ＋1)(x －3)．将C(0，－3)代入，得－3＝a·1×(－3)，解得a ＝1，∴这个二次函数的解析式为y ＝(x ＋1)(x －3)，即y ＝x 2－2x －3 (2)①设直线BC 的函数解析式为y BC ＝kx ＋m ，代入B(3，0)，C(0，－3)，得⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋m ＝0，m ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，m ＝－3.∴y BC ＝x －3.设点M 的坐标为(n ，n －3)，则点P 的坐标为(n ，n 2－2n －3)，易得0<n<3.∴PM＝(n －3)－(n 2－2n －3)＝－n 2＋3n ＝－(n －32)2＋94.∴当n ＝32时，线段PM 取得最大值，为94 ②当PM ＝PC 时，∠PMC＝∠PCM.∵点B 的坐标为(3，0)，点C 的坐标为(0，－3)，∴OB＝OC.∴在Rt△BOC 中，∠OBC ＝∠OCB ＝45°.∴在Rt△BHM 中，∠HMB ＝45°＝∠HBM .∴∠PCM ＝∠PMC ＝∠HMB ＝45°.∴∠PCO ＝90°，即PC ⊥y 轴．由(2)①得PC ＝n ，此时n ＝－n 2＋3n ，解得n 1＝0(舍去)，n 2＝2，∴点P 的坐标为(2，－3)．当PM ＝CM 时，过点M 作MD ⊥y 轴交y 轴于点D ，由∠DCM ＝45°，易得△MDC 为等腰直角三角形，∴CM ＝2MD ＝2n .此时2n ＝－n 2＋3n ，解得n 1＝0(舍去)，n 2＝3－2，∴点P 的坐标为(3－2，2－42)．综上所述，点P 的坐标为(2，－3)或(3－2，2－42)66. (1) 把A(－1，0)，B(3，0)代入y ＝ax 2＋bx ＋3，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋3＝0，9a ＋3b ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.∴该抛物线对应的函数解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3 (2) ①连接CD.在y ＝－x 2＋2x ＋3中，令x ＝0，得y ＝3，∴点C 的坐标为(0，3)．∵y＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴点F 的坐标为(1，4)．∵点C 的坐标为(0，3)，点D 的坐标为(2，3)，∴CD＝2，且CD∥x 轴．∵点A 的坐标为(－1，0)，∴S 四边形ACFD ＝S △ACD ＋S △FCD ＝12×2×3＋12×2×(4－3)＝4 ②∵点P 在线段AB 上，∴∠DAQ<∠CAO<90°.∴∠DAQ 不可能为直角．∴当△AQD 为直角三角形时，有∠ADQ ＝90°或∠AQD ＝90°.设点Q 的坐标为(t ，－t 2＋2t ＋3)．情况1：当∠ADQ ＝90°时，如图①(简图)，过点D 作DH ⊥x 轴，过点Q 作QE ⊥DH ，垂足分别为H ，E .∵点A 的坐标为(－1，0)，点D 的坐标为(2，3)，∴AH ＝DH ＝3.∴∠ADH ＝∠DAH ＝45°.∴∠QDE ＝180°－90°－45°＝45°.∴∠DQE＝45°＝∠QDE .∴QE ＝DE .∴2－t ＝－t 2＋2t ＋3－3，即t 2－3t ＋2＝0.解得t 1＝1，t 2＝2(此时点Q ，D 重合，舍去)．∴点Q 的坐标为(1，4)．情况2：当∠AQD ＝90°时，如图②(简图)，过点Q 作QH ⊥x 轴，过点D 作DE ⊥QH ，垂足分别为H ，E (此时点H 在点P 处)．易证△DEQ ∽△QHA ，∴DE QH ＝EQHA.∵点A 的坐标为(－1，0)，点D 的坐标为(2，3)，∴t －2－t 2＋2t ＋3＝3－（－t 2＋2t ＋3）t ＋1，即1－t ＋3＝t 1.∴t 2－3t ＋1＝0，解得t 1＝3＋52，t 2＝3－52.∴点Q 的坐标为(3＋52，5－52)或(3－52，5＋52)．综上，所有满足条件的点Q 的坐标为(1，4)，(3＋52，5－52)，(3－52，5＋52)第66题67. (1) 将A(－1，0)，B(3，0)代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧－1－b ＋c ＝0，－9＋3b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝3.∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3 (2) 在题图①中，连接PC.∵A(－1，0)，B(3，0)是抛物线与x 轴的两个交点，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，即点D ，M 的横坐标都是1.假设在直线l 上存在点M ，使得四边形CDPM 是平行四边形，则CP ，DM 互相平分，设CP ，DM 交于点E.易得点C 的坐标为(0，3)，点P 的坐标为(t ，－t 2＋2t ＋3)，∴CP 的中点E 的坐标为(t 2，－t 2＋2t ＋62)．由t2＝1，得t ＝2，此时点E 的坐标为(1，3)．∵点D的坐标为(1，0)，DM 的中点也为E ，∴易得点M 的坐标为(1，6)．∴假设成立，此时点M 的坐标为(1，6)(3) ①在题图②中，过点P 作PF∥y 轴，交BC 于点F.设直线BC 的函数解析式为y ＝mx ＋n ，将B(3，0)，C(0，3)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋n ＝0，n ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝3.∴y＝－x ＋3.∵点P 的坐标为(t ，－t 2＋2t ＋3)，∴点F 的坐标为(t ，－t ＋3)．∴PF＝－t 2＋2t ＋3－(－t ＋3)＝－t 2＋3t.∴S＝S △CPF ＋S △BPF ＝12PF·(x P －x C )＋12PF·(x B－x P )＝12PF·(x B －x C )＝12·(－t 2＋3t)·3＝－32t 2＋92t ②∵点B 的坐标为(3，0)，点C 的坐标为(0，3)，∴线段BC ＝32＋32＝32，为一定值．根据三角形的面积公式可知，要使点P 到直线BC 的距离最大，只要△PBC 的面积最大即可．在S ＝－32t 2＋92t ＝－32(t －32)2＋278中，∵－32＜0，易得0<t<3，∴当t ＝32时，S取最大值，最大值为278.∴点P 到直线BC 的距离的最大值为278×232＝928，此时点P 的坐标为(32，154)68. (1) 把A(m ，0)，B(4，n)分别代入y ＝x －1中，得m ＝1，n ＝3，∴点A 的坐标为(1，0)，点B 的坐标为(4，3)．∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点A 与点B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋b ＋c ＝0，－16＋4b ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝6，c ＝－5.∴该抛物线的解析式为y ＝－x 2＋6x －5 (2) ∵△APM 与△DPN 都为等腰直角三角形，∴∠APM＝∠DPN＝45°.∴∠MPN ＝90°.∴△MPN 为直角三角形．在y ＝－x 2＋6x －5中，令y ＝0，得x 1＝1，x 2＝5，∴点D 的坐标为(5，0)，即AD ＝5－1＝4.设AP ＝m ，则DP ＝4－m .易得0<m <4.∴易得PM ＝m 2，PN ＝4－m 2.∴S △MPN ＝12PM ·PN ＝12×m2×4－m 2＝－14m 2＋m ＝－14(m －2)2＋1.∴当m ＝2，即AP ＝2时，S △MPN 最大．此时OP ＝3，即点P 的坐标为(3，0) (3) 存在，点Q 的坐标为(73，－83)或(2，－3) 点拨：在y ＝－x 2＋6x－5中，令x ＝0，则y ＝－5.∴点C 的坐标为(0，－5)．又∵点D 的坐标为(5，0)，∴易得y CD ＝x －5.又∵点A 的坐标为(1，0)，点B 的坐标为(4，3)，∴直线AB ：y ＝x －1，AB ＝32，DA ＝4，BD ＝10.易得直线AB ∥CD .∴∠BAD ＝∠ADQ ，即点A 与点D 对应．设点Q 的坐标为(x ，x －5)，易得0<x <5.当△ABD ∽△DAQ 时，AB DA ＝BD AQ ，即324＝10AQ，解得AQ ＝453.过点Q 作QH ⊥x 轴，垂足为H ，在Rt△AHQ 中，(x －1)2＋(x －5)2＝(453)2，解得x 1＝73，x 2＝113.当x ＝113时，不满足△ABD ∽△DAQ ，舍去．∴x ＝73.此时点Q 的坐标为(73，－83)．当△ABD ∽△DQA 时，BD QA ＝AD DA ＝1，即AQ ＝10，同理可得(x －1)2＋(x －5)2＝(10)2，解得x 1＝2，x 2＝4.当x ＝4时，不满足△ABD ∽△DQA ，舍去．∴x ＝2.此时点Q 的坐标为(2，－3)．69. (1) 由题意，可设抛物线的解析式为y ＝ax(x －72)，把A(1，1)代入，得a·1×(1－72)＝1，解得a ＝－25，∴抛物线的解析式为y ＝－25x(x －72)，即y ＝－25x 2＋75x (2) 如图，过点C 作CD⊥x 轴于点D ，延长CA 交y 轴于点E ，设AC 与x 轴交于点H.∵点A 的坐标为(1，1)，∴易得OA ＝2，∠EOA＝90°－45°＝45°.∵AC ⊥OA ，∴易得△AOE 为等腰直角三角形．∴OE ＝2OA ＝2.∴点E 的坐标为(0，2)．设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝k ＋b ，2＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝2.∴y ＝－x ＋2.联立直线AC 与抛物线的解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2，y ＝－25x 2＋75x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－3.∴点C 的坐标为(5，－3)．∴S △AOC ＝S △COE －S △AOE ＝12·OE ·x C －12·OE ·x A ＝12OE ·(x C －x A )＝12×2×(5－1)＝4(注：本小题也可以利用S △AOC ＝S △AOH ＋S △COH 求解) (3) 假设存在点M 满足条件．设点M 的坐标为(m ，－25m 2＋75m )．过点M 作MF ⊥x 轴于点F ，∴∠OMN ＝∠OFM ＝90°.又∵∠MON ＝∠FOM ，∴△MNO ∽△FMO .情况1：当点M 在x 轴上方时，由题意，易得∠MOB <∠AOC .∴△MNO ∽△AOC .∴△FMO ∽△AOC .∴FM AO ＝FO AC.∵点A 的坐标为(1，1)，点C 的坐标为(5，－3)，∴AO ＝2，AC ＝42.∴－25m 2＋75m 2＝m 42.易得m >0，∴－25m ＋75＝14，解得m ＝238.此时－25m 2＋75m ＝2332，∴点M 的坐标为(238，2332)．情况2：当点M 在x 轴下方时，①若△MNO ∽△AOC ，同上可得25m 2－75m 2＝m 42，易得m >0，∴25m －75＝14，解得m ＝338.此时－25m 2＋75m ＝－3332，∴点M 的坐标为(338，－3332)．②若△MNO ∽△ACO ，则△FMO ∽△ACO ，∴FM AC ＝FO AO .∴25m 2－75m 42＝m 2.易得m >0，∴25m －75＝4，解得m ＝272.此时－25m 2＋75m ＝－54，∴点M 的坐标为(272，－54)．综上所述，假设成立，满足条件的点M 的坐标为(238，2332)或(338，－3332)或(272，。
21.4 二次函数的应用 沪科版数学九年级上册课后练习(含答案解析)
二次函数的应用一、单选题1．如图，小明以抛物线y=x2-2x+4为灵感设计了一款杯子，若AB=4，DE=2，则杯子的高CE为（）A．4B．5C．6D．72．如图，一边靠墙（墙有足够长），其它三边用12m长的篱笆围成一个矩形（ABCD）花园，这个花园的最大面积是（）A．18m2B．12 m2C．16 m2D．22 m23．苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线型，如图1，两栋建筑第八层由一条长60m的连桥连接，在该抛物线两侧距连桥150m处各有一窗户，两窗户的水平距离为30m，如图2，则此抛物线顶端O到连桥AB距离为（）A．180m B．200m C．220m D．240m4．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽．若水面再下降，水面宽度为（）．A．B．C．D．5．一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（ ）元．A．60B．65C．70D．756．将进货价为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个，已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个，设这种商品的售价为元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是（）A．B．C．D．7．在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y （米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（ ）A．米B．8米C．10米D．2米8．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣k）2+h．已知球与D点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，球网与D点的水平距离为9m．高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m，则下列判断正确的是（ ）A．球不会过网B．球会过球网但不会出界C．球会过球网并会出界D．无法确定9．如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米．当喷射出的水流距离喷水头20米时．达到最大高度11米，现将喷灌架置于坡度为1：10的坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为30米处有一棵高度约为2.3米的石榴树AB，因为刚刚被喷洒了农药，近期不能被喷灌．下列说法正确的是（ ）A．水流运行轨迹满足函数y＝﹣x2﹣x+1B．水流喷射的最远水平距离是40米C．喷射出的水流与坡面OA之间的最大铅直高度是9.1米D．若将喷灌架向后移动7米，可以避开对这棵石榴树的喷灌10．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放辆单车，计划第三个月投放单车辆，若第二个月的增长率是，第三个月的增长率是第二个月的两倍，那么与的函数关系是（）A．B．C．D．11．汽车在刹车后，由于惯性作用还要继续向前滑行一段距离才能停下，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离往往跟行驶速度有关，在一个限速35km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不妙，同时刹车，最后还是相撞了事发后，交警现场测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s（m）与车速x（km/h）的关系大致如下：S甲，S乙．由此可以推测（ ）A．甲车超速B．乙车超速C．两车都超速D．两车都未超速12．如图，菱形的边长是，，动点P从点A出发，以的速度沿运动至点C，动点Q从点A出发，以的速度沿运动至点C．若P，Q同时出发，设运动时间为，的面积为（当B，P，Q三点共线时，不妨设），则下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是（）A．B．B．C．D．二、填空题13．如图，要在夹角为30°的两条小路与形成的角状空地上建一个三角形花坛，分别在边和上取点和点，并扎起篱笆将花坛保护起来（篱笆的厚度忽略不计）．若和两段篱笆的总长为8米，则当______米时，该花坛的面积最大．14．如图，一座悬索桥的桥面OA与主悬钢索MN之间用垂直钢索连接，主悬钢索是抛物线形状，两端到桥面的距离OM与AN相等．小强骑自行车从桥的一端0沿直线匀速穿过桥面到达另一端A，当他行驶18秒时和28秒时所在地方的主悬钢索的高度相同，那么他通过整个桥面OA共需_____________秒．15．某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是______元．16．为了在体育中考中取得更好的成绩，小明积极训练，体育老师对小明投掷铅球的录像进行技术分析，如图，发现铅球在行进过程中高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为，由此可知小明此次投掷的成绩是___．17．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB上的一个动点，连接CD，将△BCD 绕点C顺时针旋转90°得到△ACE，连接DE，则△ADE面积的最大值等于____________．三、解答题18．用规格长为6m，宽为0.1m的铝合金型材，恰好制作成一个“日”字型窗子的边框（如图1，不计耗损），中间装长x m，宽y m完全一样的两张玻璃．这个窗子要装入最大边长为1.5m的正方形墙洞（如图2）中．（1）求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围．（2）这个窗子的采光面积（两张玻璃面积之和）存在最大值吗？如果有，请求出来；如果没有，请说明理由．19．一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个高为9米的柱形喷水装置OA，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如果抛物线的最高点M离柱形喷水装置1米，离地面12米，若不计其他因素，水池的半径OB至少为多少米时，才能使喷出的水流不落在池外？20．某商场将一种每件成本价为10元的商品连续加价两次后，以每件24元作为定价售出．已知第二次加价的增长率比第一次加价的增长率多．（1）求第一次加价的增长率；（2）该商场在试销中发现，如果以定价售出，则每天可售出100个．如果销售单价每降低1元，销售量就可以增加10件．那么当销售单价为多少元时，该商场每天销售该商品获得的利润最大？最大利润是多少？21．在“学习一项体育技能”活动中，小明作为学生代表去观看“青岛黄海足球队”的训练．他看到队员们在做掷界外球训练，甲球员要将足球掷给离他7.5米远的乙球员，掷出足球的运行轨还是一条抛物线，足球行进的高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系如图所示，足球出手时离地面的高度为2米，在距离甲球员4米处达到最大高度3.6米．若不计其他因素，身高1.85米的乙球员要能触到足球，他垂直起跳的高度至少要达到多少米？22．如图，是等腰直角三角形，，，点P是边上一动点，沿的路径移动，过点P作于点D，设，的面积为y．（1）当时，求y的值；（2）在这一变化过程中，写出y关于x的函数解析式及x的取值范围；（3）当x取何范围时，（直接写出结果即可）．参考答案1．C解：∵=（x-1）2+3，∴抛物线的顶点D的坐标为（1，3），∵AB=4，∴BC=2，点B的横坐标为x =3，把x =3代入得y=7，∴CD=7-3=4，∴CE=CE+DE=4+2=6，故选：C.2．A解：设与墙垂直的矩形的边长为xm，则这个花园的面积是：S=x（12-2x）=，∴当x=3时，S取得最大值，此时S=18，故选：A．3．B解：以所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系：，，，设抛物线的解析式为，将代入，得：，解得：，，抛物线顶端的坐标为，此抛物线顶端到连桥距离为．故选：B．4．D解：如图，以AB所在直线为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则由题意可知A（-2，0），B（2，0），C（0，2），设该抛物线的解析式为y=ax2+2，将B（2，0）代入得：0=a×4+2，解得：a=-．∴抛物线的解析式为y=-x2+2，∴若水面再下降1.5m，则有-1.5=-x2+2，解得：x=±．∵-（-）=2，∴水面宽度为2m．故选：D．5．C解：每顶头盔降价x元，利润为w元，由题意可得，w＝（80﹣x﹣50）（200+20x）＝﹣20（x﹣10）2+8000，∴当x＝10时，w取得最大值，此时80﹣x＝70，即该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为70元，故选：C．6．B解：设这种商品的售价为x元时，获得的利润为y元，根据题意可得：即y=（x-35）（400-5x），故选：B．7．B解：当y＝0时，即＝0，解得：x1＝﹣2（舍去），x2＝8，所以小宇此次实心球训练的成绩为8米，故选：B．8．C解：根据题意,将点A(0,2)代入得：36a+2.6=2，解得：∴y与x的关系式为当x=9时,∴球能过球网，当x=18时,∴球会出界.故选C.9．D解：A、设石块运行的函数关系式为y=a（x-20）2+11，把（0，1）代入解析式得：400a+11=1，解得：，∴解析式为；故A不符合题意；B、当y=0时，；解得x=2+20，∴水流喷射的最远水平距离是2+20米；故B不符合题意；C、当x=20时，y=11，∴11-2=9∴喷射出的水流与坡面OA之间的最大铅直高度是9米故C不符合题意；D、向后平移后的解析式为，当x=37时，y=8.58.5-3=5.5＞2.3，∴可以避开对这棵石榴树的喷灌；故选：D10．A解：第二个月的增长率是，第三个月的增长率是第二个月的两倍，第三个月的增长率为第一个月投放辆单车，第二个月投放辆第三个月投放量故选：A．11．B解：由，先求出，x的解也就是二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标：从图象可得，x是在A点的左侧以及B点的右侧，即或．由，先求出，x的解也就是二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标：从图象可得，x是在C点的左侧以及D点的右侧，即或．由于，从而可得：，．经比较：乙车超过限速．故选：B．12．B解：当0≤t≤2时，BQ=4﹣2t，AP= t,点P到AB的距离为t，S＝（4﹣2t）×t＝﹣（t﹣1）2+，∴该函数图象开口向下，当2＜t≤4时，BQ=4﹣2t，点P在AD上，到BC的距离为×4，S＝×（2t﹣4）××4＝2t﹣4，∴该函数图象是线段，且y随x的增大而增大，当4＜t≤8时，S＝×4××（8﹣t）＝8﹣t，∴该函数图象是线段，且y随x的增大而减小．故选：B．13．4解：设OP=x，则OQ=8-x，过点P作PM⊥OQ,交OQ于点M，如图，∵∴∴∵∴函数图象开口向下，有最大值，为4，故当OP=4时，花坛的面积最大．故答案为：4．14．46解：∵主悬钢索是抛物线形状，两端到桥面的距离OM与AN相等，且小强骑行18秒时和28秒时所在地方的主悬钢索的高度相同，∴MN的对称轴为直线x==23，∴他通过整个桥面OA共需23×2=46（秒）．故答案为：46．15．1264解：设种快餐的总利润为，种快餐的总利润为，两种快餐的总利润为，设快餐的份数为份，则B种快餐的份数为份．据题意：∴∵∴当的时候，W取到最大值1264，故最大利润为1264元故答案为：126416．7m解：由题意，得当y＝0时，，化简，得：，解得：（舍去），故答案为：7m．17．解：如图，△BCD绕点C顺时针旋转90°得到△ACE，∴△BDC≌△AEC，∴∠B=∠CAE，∵BC=AC=，△ABC为等腰直角三角形，∴∠B=∠CAE=∠BAC=45°，∴∠DAE=∠BAC+∠CAE=90°，在Rt△ABC中，由勾股定理AB=，设BD=AE=x，则AD=（2-x），∴，∵，函数开口向下，函数有最大值，当x=1时，．故答案为：．18．（1）y＝﹣0.75x+1.35，1≤x≤1.3；（2）这个窗子的采光面积有最大值，最大值为1.2m2，见解析．解：（1）由题意，得3x+2（2y+0.1×3）＝6，整理，得3x+4y＝5.4，∴y＝﹣0.75x+1.35，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣0.75x+1.35，由题意，得，解得1≤x≤1.3，即x的取值范围是1≤x≤1.3；（2）设这个窗子的采光面积为Sm2，由题意，得S＝2xy＝2x（﹣0.75x+1.35）＝﹣1.5x2+2.7x，配方，得S＝﹣1.5（x﹣0.9）2+1.215，∵a＝﹣1.5＜0，对称轴为x＝0.9，∴当x＞0.9时，y随x的增大而减小，∵1≤x≤1.3，∴当x＝1时，S有最大值，S最大＝1.2，答：这个窗子的采光面积有最大值，最大值为1.2m2．19．3米解：由题意可得：抛物线顶点坐标为（1，12），A点坐标为（0，9），故设抛物线解析式为：，则，解得：a＝﹣3，故抛物线解析式为：，当y＝0时，解得：x1＝﹣1，x2＝3，则水池的半径OB至少为3米时，才能使喷出的水流不落在池外．20．（1）50%；（2）当销售单价为22元/个时，该商场每天销售该商品获得的利润最大，最大利润是1440元解：（1）解：设第一次加价的增长率为x，由题意得解得：（不合题意，舍去）答：第一次加价的增长率为．（2）解：当销售单价为m元/个时，获得的利润为y元，由题意得∵∴当时，y可取得最大值为1440答：当销售单价为22元/个时，该商场每天销售该商品获得的利润最大，最大利润是1440元．21．他垂直起跳的高度至少要达到米解：根据题意可知抛物线的顶点坐标为，与抛出点的坐标为，设抛物线的解析式为：，顶点坐标代入得：，抛出点坐标代入得：，解得：，∴抛物线得解析式为：，当时，，米，故他垂直起跳的高度至少要达到米．22．（1）；（2）；（3）x的取值范围为：或解：（Ⅰ）是等腰直角三角形，则，因为PD⊥BC ，则为等腰直角三角形，故，则，当时，；（Ⅱ）当点在上运动时，由（1）知，，当点在上运动时，同理可得为等腰直角三角形，则，则，故；（Ⅲ）①当时，则，当时，即，解得（舍去负值），当时，即，解得（舍去负值），故；②当时，则，当时，即=，解得：，当时，即，解得：，故；综上，x的取值范围为：或．。
2020年中考数学二次函数真题汇编(带答案)
2020年中考数学二次函数真题汇编(名师精选全国真题，值得下载练习)一、单选题1.如图，一段抛物线y=﹣x 2+4（﹣2≤x≤2）为C 1 ， 与x 轴交于A 0 ， A 1两点，顶点为D 1；将C 1绕点A 1旋转180°得到C 2 ， 顶点为D 2；C 1与C 2组成一个新的图象，垂直于y 轴的直线l 与新图象交于点P 1（x 1 ， y 1），P 2（x 2 ， y 2），与线段D 1D 2交于点P 3（x 3 ， y 3），设x 1 ， x 2 ， x 3均为正数，t=x 1+x 2+x 3 ， 则t 的取值范围是（ ）A. 6＜t≤8 B. 6≤t≤8 C. 10＜t≤12 D. 10≤t≤12 【答案】D【解析】【解答】解：翻折后的抛物线的解析式为y=（x ﹣4）2﹣4=x 2﹣8x+12， ∵设x 1 ， x 2 ， x 3均为正数，∴点P 1（x 1 ， y 1），P 2（x 2 ， y 2）在第四象限， 根据对称性可知：x 1+x 2=8， ∵2≤x 3≤4，∴10≤x 1+x 2+x 3≤12即10≤t≤12， 故答案为：D ．【分析】根据题意可求出翻折后的抛物线的解析式，设x 1 ， x 2 ， x 3均为正数，可得出点P 1（x 1 ， y 1），P 2（x 2 ， y 2）在第四象限，根据对称性可求出x 1+x 2=8，由2≤x 3≤4，可得出x 1+x 2+x 3的取值范围，从而得出t 的取值范围。
2.已知，平面直角坐标系中，直线y 1=x+3与抛物线y=-x x 的图象如图，点P 是y 2上的一个动点，则点P 到直线y 1的最短距离为（ ）A.B.C. D.【答案】D【解析】【解答】解、∵点P 到直线y 1的距离最短， ∴点P 是直线与抛物线相切时的交点。
设直线y 1平移k 个单位长度，则此时的解析式为 =x+3+k ， 把 =x+3+k 代入y=-x 2+2x 整理得，-x 2+x-3-k=0，△=b 2-4ac=1-4 (-) (-3-k)=0，解得k=-，即直线y 1向下平移个单位长度与抛物线相切， 把k=-代入解析式解方程组可求得点P 的坐标为（1，）；过点P 作PD ⊥直线y 1于点D ，则直线PD 的解析式可设为y 3=-x+b ，把点P （1，）代入可求得b=,即直线PD 的解析式为y 3=-x+，将y 1和y 3的解析式联立解方程组可求得点D 的坐标为（-，）；若直线PD与x轴相较于点C，直线y1=x+3与x、y轴分别相较于点A、B，易得点A （-3,0）、B（0,3），∴∠BAC==∠DCA，由勾股定理可得：CD=，CP=，∴PD=CD-CP=。
沪科版九年级上册数学 21.4 二次函数应用题
沪科版九年级上册数学二次函数应用题要点提示1. 二次函数的解析式：（1）一般式： ；（2）顶点式：2. 顶点式的几种特殊形式.⑴ ， ⑵ ， ⑶ ，（4） .3．二次函数c bx ax y ++=2通过配方可得224()24b ac b y a x a a-=++，其抛物线关于直线x = 对称，顶点坐标为（ ， ）. ⑴ 当0a >时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点,当x = 时，y 有最 （“大”或“小”）值是 ； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点,当x = 时，y 有最 （“大”或“小”）值是 ． 典例分析1. 橘子洲头要建造一个圆形的喷水池，并在水池中央垂直安装一个柱子OP ，柱子顶端P 处装上喷头，由P 处向外喷出的水流（在各个方向上）沿形状相同的抛物线路径落下（如图所示）.若已知OP ＝3米，喷出的水流的最高点A 距水平面的高度是4米，离柱子OP 的距离为1米.（1）求这条抛物线的解析式；（2）若不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？2.随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高.某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润1y 与投资量x 成正比例关系，如图（1）所示；种植花卉的利润2y 与投资量x 成二次函数关系，如图（2）所示（注：利润与投资量的单位：万元）⑴ 分别求出利润1y 与2y 关于投资量x 的函数关系式；⑵ 如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？（1） （2）3.某广告公司设计一幅长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元。
设矩形的一边长为x 米，面积为s 平方米.(1)求出s 与x 之间的函数关系式；(2)请你设计一个方案，使获得的设计费用最多，并求出这个费用；(3)为使广告牌美观大方，要求做成黄金矩形.请你按要求设计，并计算出可获得的设计费是多少（精确到元）？基础强化1.恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.2.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？3.益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a 元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？4.国家为了加强对香烟产销的宏观管理,对销售香烟实行征收附加税政策. 现在知道某种品牌的香烟每条的市场价格为70元,不加收附加税时, 每年产销100万条,若国家征收附加税,每销售100元征税x元(叫做税率x%), 则每年的产销量将减少10x万条.要使每年对此项经营所收取附加税金为168万元,并使香烟的产销量得到宏观控制,年产销量不超过50万条,问税率应确定为多少?5.一块长和宽分别为40厘米和250厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体纸盒，使它的底面积为450平方厘米.那么纸盒的高是多少？6.某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），另三边用木栏围成，木栏长35m。
沪科新版九年级(上) 中考题同步试卷：21.4 二次函数的应用(13)
沪科新版九年级（上）中考题同步试卷：21.4 二次函数的应用（13）一、解答题（共30小题）1．如图，抛物线y＝x2﹣2mx（m＞0）与x轴的另一个交点为A，过P（1，﹣m）作PM⊥x 轴于点M，交抛物线于点B．点B关于抛物线对称轴的对称点为C．（1）若m＝2，求点A和点C的坐标；（2）令m＞1，连接CA，若△ACP为直角三角形，求m的值；（3）在坐标轴上是否存在点E，使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线y＝﹣x2+x﹣2交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，分别过点B，C作y轴，x轴的平行线，两平行线交于点D，将△BDC绕点C逆时针旋转，使点D旋转到y轴上得到△FEC，连接BF．（1）求点B，C所在直线的函数解析式；（2）求△BCF的面积；（3）在线段BC上是否存在点P，使得以点P，A，B为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AB＝DC，BC在x轴上，点A在y轴的正半轴上，点A，D的坐标分别为A（0，2），D（2，2），AB＝2，连接AC．（1）求出直线AC的函数解析式；（2）求过点A，C，D的抛物线的函数解析式；（3）在抛物线上有一点P（m，n）（n＜0），过点P作PM垂直于x轴，垂足为M，连接PC，使以点C，P，M为顶点的三角形与Rt△AOC相似，求出点P的坐标．4．如图，已知一次函数y1＝x+b的图象l与二次函数y2＝﹣x2+mx+b的图象C′都经过点B（0，1）和点C，且图象C′过点A（2﹣，0）．（1）求二次函数的最大值；（2）设使y2＞y1成立的x取值的所有整数和为s，若s是关于x的方程＝0的根，求a的值；（3）若点F、G在图象C′上，长度为的线段DE在线段BC上移动，EF与DG始终平行于y轴，当四边形DEFG的面积最大时，在x轴上求点P，使PD+PE最小，求出点P的坐标．5．如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于点A（1，0）和B（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的对称轴交x轴于点E，点F是位于x轴上方对称轴上一点，FC∥x轴，与对称轴右侧的抛物线交于点C，且四边形OECF是平行四边形，求点C的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使△OCP是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，抛物线的对称轴DF与BC相交于点E，与x轴相交于点F．（1）求线段DE的长；（2）设过E的直线与抛物线相交于点M（x1，y1），N（x2，y2），试判断当|x1﹣x2|的值最小时，直线MN与x轴的位置关系，并说明理由；（3）设P为x轴上的一点，∠DAO+∠DPO＝∠α，当tan∠α＝4时，求点P的坐标．7．如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y＝4﹣x于C、D两点．抛物线y＝ax2+bx+c经过O、C、D三点．（1）求抛物线的表达式；（2）点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M 的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）若△AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上，且不与点D重合），在平移的过程中△AOC与△OBD重叠部分的面积记为S，试求S的最大值．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+m的图象与x轴交于A（﹣1，0），与y轴交于点C．以直线x＝2为对称轴的抛物线C1：y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A、C两点，并与x轴正半轴交于点B．（1）求m的值及抛物线C1：y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数表达式．（2）设点D（0，），若F是抛物线C1：y＝ax2+bx+c（a≠0）对称轴上使得△ADF 的周长取得最小值的点，过F任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线C1于M1（x1，y1），M2（x2，y2）两点，试探究+是否为定值？请说明理由．（3）将抛物线C1作适当平移，得到抛物线C2：y2＝﹣（x﹣h）2，h＞1．若当1＜x ≤m时，y2≥﹣x恒成立，求m的最大值．9．综合与探究：如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，A、C两点的坐标分别为（4，0），（﹣2，3），抛物线W经过O、A、C三点，D是抛物线W的顶点．（1）求抛物线W的解析式及顶点D的坐标；（2）将抛物线W和▱OABC一起先向右平移4个单位后，再向下平移m（0＜m＜3）个单位，得到抛物线W′和▱O′A′B′C′，在向下平移的过程中，设▱O′A′B′C′与▱OABC的重叠部分的面积为S，试探究：当m为何值时S有最大值，并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取最大值时，设此时抛物线W′的顶点为F，若点M是x 轴上的动点，点N是抛物线W′上的动点，试判断是否存在这样的点M和点N，使得以D、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，直线y＝2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，过点B的抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线BC交于点D（3，﹣4）．（1）求直线BD和抛物线的解析式；（2）在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，使得以M、O、N为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线BD上方的抛物线上有一动点P，过点P作PH垂直于x轴，交直线BD于点H，当四边形BOHP是平行四边形时，试求动点P的坐标．11．复习课中，教师给出关于x的函数y＝2kx2﹣（4k+1）x﹣k+1（k是实数）．教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上．学生思考后，黑板上出现了一些结论．教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选出以下四条：①存在函数，其图象经过（1，0）点；②函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；③当x＞1时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数．教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由．最后简单写出解决问题时所用的数学方法．12．如图1，在菱形OABC中，已知OA＝2，∠AOC＝60°，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过O，C，B三点．（Ⅰ）求出点B、C的坐标并求抛物线的解析式．（Ⅱ）如图2，点E是AC的中点，点F是AB的中点，直线AG垂直BC于点G，点P 在直线AG上．（1）当OP+PC的值最小时，求出点P的坐标；（2）在（1）的条件下，连接PE、PF、EF得△PEF，问在抛物线上是否存在点M，使得以M，B，C为顶点的三角形与△PEF相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（1，0），直线y ＝2x﹣1与y轴交于点C，与抛物线交于点C、D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点A到直线CD的距离；（3）平移抛物线，使抛物线的顶点P在直线CD上，抛物线与直线CD的另一个交点为Q，点G在y轴正半轴上，当以G、P、Q三点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求出所有符合条件的G点的坐标．14．如图1，矩形ABCD的边AD在y轴上，抛物线y＝x2﹣4x+3经过点A、点B，与x轴交于点E、点F，且其顶点M在CD上．（1）请直接写出下列各点的坐标：A，B，C，D；（2）若点P是抛物线上一动点（点P不与点A、点B重合），过点P作y轴的平行线l 与直线AB交于点G，与直线BD交于点H，如图2．①当线段PH＝2GH时，求点P的坐标；②当点P在直线BD下方时，点K在直线BD上，且满足△KPH∽△AEF，求△KPH面积的最大值．15．已知抛物线C1：y＝a（x+1）2﹣2的顶点为A，且经过点B（﹣2，﹣1）．（1）求A点的坐标和抛物线C1的解析式；（2）如图1，将抛物线C1向下平移2个单位后得到抛物线C2，且抛物线C2与直线AB 相交于C，D两点，求S△OAC：S△OAD的值；（3）如图2，若过P（﹣4，0），Q（0，2）的直线为l，点E在（2）中抛物线C2对称轴右侧部分（含顶点）运动，直线m过点C和点E．问：是否存在直线m，使直线l，m 与x轴围成的三角形和直线l，m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式；若不存在，说明理由．16．如图，在矩形AOCD中，把点D沿AE对折，使点D落在OC上的F点，已知AO＝8．AD ＝10．（1）求F点的坐标；（2）如果一条不与抛物线对称轴平行的直线与该抛物线仅有一个交点，我们把这条直线称为抛物线的切线，已知抛物线过点O，F，且直线y＝6x﹣36是该抛物线的切线，求抛物线的解析式；（3）直线y＝k（x﹣3）﹣与（2）中的抛物线交于P、Q两点，点B的坐标为（3，﹣），求证：+为定值．（参考公式：在平面直角坐标系中，若M（x1，y1），N （x2，y2），则M，N两点间的距离为|MN|＝）17．如图，已知抛物线y＝x2﹣x﹣3与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C．（1）直接写出A、D、C三点的坐标；（2）若点M在抛物线对称轴上，使得MD+MC的值最小，并求出点M的坐标；（3）设点C关于抛物线对称轴的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，直角梯形ABCO的两边OA，OC在坐标轴的正半轴上，BC∥x轴，OA＝OC＝4，以直线x＝1为对称轴的抛物线过A，B，C三点．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）已知直线l的解析式为y＝x+m，它与x轴交于点G，在梯形ABCO的一边上取点P．①当m＝0时，如图1，点P是抛物线对称轴与BC的交点，过点P作PH⊥直线l于点H，连结OP，试求△OPH的面积；②当m＝﹣3时，过点P分别作x轴、直线l的垂线，垂足为点E，F．是否存在这样的点P，使以P，E，F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．19．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣（m+n）x+mn（m＞n）与x轴相交于A、B 两点（点A位于点B的右侧），与y轴相交于点C．（1）若m＝2，n＝1，求A、B两点的坐标；（2）若A、B两点分别位于y轴的两侧，C点坐标是（0，﹣1），求∠ACB的大小；（3）若m＝2，△ABC是等腰三角形，求n的值．20．如图①，在平面直角坐标中，点A的坐标为（1，﹣2），点B的坐标为（3，﹣1），二次函数y＝﹣x2的图象为l1．（1）平移抛物线l1，使平移后的抛物线经过点A，但不过点B．①满足此条件的函数解析式有个．②写出向下平移且经点A的解析式．（2）平移抛物线l1，使平移后的抛物线经过A，B两点，所得的抛物线l2，如图②，求抛物线l2的函数解析式及顶点C的坐标，并求△ABC的面积．（3）在y轴上是否存在点P，使S△ABC＝S△ABP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．21．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（，）两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A（0，2）．（1）求a，b，c的值；（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；（3）设⊙P与x轴相交于M（x1，0），N（x2，0）（x1＜x2）两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．22．已知抛物线y＝x2﹣（k+2）x+和直线y＝（k+1）x+（k+1）2．（1）求证：无论k取何实数值，抛物线总与x轴有两个不同的交点；（2）抛物线于x轴交于点A、B，直线与x轴交于点C，设A、B、C三点的横坐标分别是x1、x2、x3，求x1•x2•x3的最大值；（3）如果抛物线与x轴的交点A、B在原点的右边，直线与x轴的交点C在原点的左边，又抛物线、直线分别交y轴于点D、E，直线AD交直线CE于点G（如图），且CA•GE ＝CG•AB，求抛物线的解析式．23．如图，抛物线y＝ax2﹣8ax+12a（a＞0）与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y 轴交于点C，点D的坐标为（﹣6，0），且∠ACD＝90°．（1）请直接写出A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△P AC的周长最小？若存在，求出点P的坐标及周长的最小值；若不存在，说明理由；（4）平行于y轴的直线m从点D出发沿x轴向右平行移动，到点A停止．设直线m与折线DCA的交点为G，与x轴的交点为H（t，0）．记△ACD在直线m左侧部分的面积为s，求s关于t的函数关系式及自变量t的取值范围．24．已知：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，0），B（3，0），C（0，﹣3）．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）如图①，点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交直线BC于点E．是否存在一点P，使线段PE的长最大？若存在，求出PE长的最大值；若不存在，请说明理由；（3）如图②，过点A作y轴的平行线，交直线BC于点F，连接DA、DB．四边形OAFC 沿射线CB方向运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，当点C与点B重合时立即停止运动．设运动过程中四边形OAFC与四边形ADBF重叠部分面积为S，请求出S与t的函数关系式．25．如图，在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（5，0），B（4，4）．（1）求过O、B、A三点的抛物线的解析式．（2）在第一象限的抛物线上存在点M，使以O、A、B、M为顶点的四边形面积最大，求点M的坐标．（3）作直线x＝m交抛物线于点P，交线段OB于点Q，当△PQB为等腰三角形时，求m的值．26．如图，在平面直角坐标系中，已知点P（0，4），点A在线段OP上，点B在x轴正半轴上，且AP＝OB＝t，0＜t＜4，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD；过点C、D 依次向x轴、y轴作垂线，垂足为M，N，设过O，C两点的抛物线为y＝ax2+bx+c．（1）填空：△AOB≌△≌△BMC（不需证明）；用含t的代数式表示A点纵坐标：A（0，）；（2）求点C的坐标，并用含a，t的代数式表示b；（3）当t＝1时，连接OD，若此时抛物线与线段OD只有唯一的公共点O，求a的取值范围；（4）当抛物线开口向上，对称轴是直线x＝2﹣，顶点随着t的增大向上移动时，求t 的取值范围．27．如图，抛物线经过点A（1，0），B（5，0），C（0，）三点，设点E（x，y）是抛物线上一动点，且在x轴下方，四边形OEBF是以OB为对角线的平行四边形．（1）求抛物线的解析式；（2）当点E（x，y）运动时，试求平行四边形OEBF的面积S与x之间的函数关系式，并求出面积S的最大值？（3）是否存在这样的点E，使平行四边形OEBF为正方形？若存在，求E点，F点的坐标；若不存在，请说明理由．28．给定直线l：y＝kx，抛物线C：y＝ax2+bx+1，b≠2k．（1）当b＝1时，l与C相交于A，B两点，其中A为C的顶点，B与A关于原点对称，求a的值；（2）若把直线l向上平移k2+1个单位长度得到直线l′，则无论非零实数k取何值，直线l′与抛物线C都只有一个交点．①求此抛物线的解析式；②若P是此抛物线上任一点，过P作PQ∥y轴且与直线y＝2交于Q点，O为原点．求证：OP＝PQ．29．如图，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于点A（4，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C，连接AC，点M是线段OA上的一个动点（不与点O、A重合），过点M作MN∥AC，交OC于点N，将△OMN沿直线MN折叠，点O的对应点O′落在第一象限内，设OM＝t，△O′MN与梯形AMNC重合部分面积为S．（1）求抛物线的解析式；（2）①当点O′落在AC上时，请直接写出此时t的值；②求S与t的函数关系式；（3）在点M运动的过程中，请直接写出以O、B、C、O′为顶点的四边形分别是等腰梯形和平行四边形时所对应的t值．30．在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴、y轴分别相交于A（﹣3，0），B（0，﹣3）两点，二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点A．（1）求一次函数y＝kx+b的解析式；（2）若二次函数y＝x2+mx+n图象的顶点在直线AB上，求m，n的值；（3）当﹣3≤x≤0时，二次函数y＝x2+mx+n的最小值为﹣4，求m，n的值．沪科新版九年级（上）中考题同步试卷：21.4 二次函数的应用（13）参考答案一、解答题（共30小题）1．；2．；3．；4．；5．；6．；7．；8．；9．；10．；11．；12．；13．；14．（0，3）；（4，3）；（4，﹣1）；（0，﹣1）；15．；16．；17．；18．；19．；20．无数；y＝﹣x2﹣1；21．；22．；23．；24．；25．；26．DNA或△DPA；4﹣t；27．；28．；29．；30．；。
沪科新版九年级(上) 中考题同步试卷：21.4 二次函数的应用(18)
沪科新版九年级（上）中考题同步试卷：21.4 二次函数的应用（18）一、填空题（共1小题）1．如图，在平面直角坐标系xOy中，若动点P在抛物线y＝ax2上，⊙P恒过点F（0，n），且与直线y＝﹣n始终保持相切，则n＝（用含a的代数式表示）．二、解答题（共29小题）2．如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），设抛物线的顶点为D．（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标．（2）试判断△BCD的形状，并说明理由．（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在y的正半轴上，点B的坐标是（5，3），抛物线y＝x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一个交点是点D，连接BD．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是抛物线对称轴上的一点，以M、B、D为顶点的三角形的面积是6，求点M 的坐标；（3）点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿D→B匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→A→D匀速运动，当点P到达点B时，P、Q同时停止运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以D、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？请直接写出所有符合条件的值．4．如图，二次函数y＝x2+bx﹣3b+3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C，且经过点（b﹣2，2b2﹣5b﹣1）．（1）求这条抛物线的解析式；（2）⊙M过A，B，C三点，交y轴于另一点D，求点M的坐标；（3）连接AM，DM，将∠AMD绕点M顺时针旋转，两边MA，MD与x轴，y轴分别交于点E，F．若△DMF为等腰三角形，求点E的坐标．5．如图，已知直线y＝x与抛物线交于A、B两点．（1）求交点A、B的坐标；（2）记一次函数y＝x的函数值为y1，二次函数的函数值为y2．若y1＞y2，求x 的取值范围；（3）在该抛物线上存在几个点，使得每个点与AB构成的三角形为等腰三角形？并求出不少于3个满足条件的点P的坐标．6．如图，抛物线y＝﹣x2+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上的一个动点且在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线BC于点E．（1）求点A、B、C的坐标和直线BC的解析式；（2）求△ODE面积的最大值及相应的点E的坐标；（3）是否存在以点P、O、D为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+与直线y＝x交于点A，点B在直线y＝x+上，∠BOA＝90°．抛物线y＝ax2+bx+c过点A，O，B，顶点为点E．（1）求点A，B的坐标；（2）求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标；（3）设直线y＝x与抛物线的对称轴交于点C，直线BC交抛物线于点D，过点E作FE ∥x轴，交直线AB于点F，连接OD，CF，CF交x轴于点M．试判断OD与CF是否平行，并说明理由．8．如图1，已知直线l：y＝﹣x+2与y轴交于点A，抛物线y＝（x﹣1）2+k经过点A，其顶点为B，另一抛物线y＝（x﹣h）2+2﹣h（h＞1）的顶点为D，两抛物线相交于点C．（1）求点B的坐标，并说明点D在直线l上的理由；（2）设交点C的横坐标为m．①交点C的纵坐标可以表示为：或，由此进一步探究m关于h的函数关系式；②如图2，若∠ACD＝90°，求m的值．9．如图①，若二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（3，0）两点，点A关于正比例函数y＝x的图象的对称点为C．（1）求b、c的值；（2）证明：点C在所求的二次函数的图象上；（3）如图②，过点B作DB⊥x轴交正比例函数y＝x的图象于点D，连结AC，交正比例函数y＝x的图象于点E，连结AD、CD．如果动点P从点A沿线段AD方向以每秒2个单位的速度向点D运动，同时动点Q从点D沿线段DC方向以每秒1个单位的速度向点C运动．当其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，连结PQ、QE、PE．设运动时间为t秒，是否存在某一时刻，使PE平分∠APQ，同时QE平分∠PQC？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．10．如图，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点A（5，0），交y轴于点B，AO是⊙M 的直径，其半圆交AB于点C，且AC＝3．取BO的中点D，连接CD、MD和OC．（1）求证：CD是⊙M的切线；（2）二次函数的图象经过点D、M、A，其对称轴上有一动点P，连接PD、PM，求△PDM的周长最小时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，当△PDM的周长最小时，抛物线上是否存在点Q，使S△QAM＝S△PDM？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图①，在平面直角坐标系中，点P（0，m2）（m＞0）在y轴正半轴上，过点P作平行于x轴的直线，分别交抛物线C1：y＝x2于点A、B，交抛物线C2：y＝x2于点C、D．原点O关于直线AB的对称点为点Q，分别连接OA，OB，QC和QD．【猜想与证明】填表：m123由上表猜想：对任意m（m＞0）均有＝．请证明你的猜想．【探究与应用】（1）利用上面的结论，可得△AOB与△CQD面积比为；（2）当△AOB和△CQD中有一个是等腰直角三角形时，求△CQD与△AOB面积之差；【联想与拓展】如图②过点A作y轴的平行线交抛物线C2于点E，过点D作y轴的平行线交抛物线C1于点F．在y轴上任取一点M，连接MA、ME、MD和MF，则△MAE与△MDF面积的比值为．12．如图．在平面直角坐标系中，边长为的正方形ABCD的顶点A、B在x轴上，连接OD、BD、△BOD的外心I在中线BF上，BF与AD交于点E．（1）求证：△OAD≌△EAB；（2）求过点O、E、B的抛物线所表示的二次函数解析式；（3）在（2）中的抛物线上是否存在点P，其关于直线BF的对称点在x轴上？若有，求出点P的坐标；（4）连接OE，若点M是直线BF上的一动点，且△BMD与△OED相似，求点M的坐标．13．如图1所示，已知直线y＝kx+m与x轴、y轴分别交于点A、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过A、C两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点，当x＝﹣时，y取最大值．（1）求抛物线和直线的解析式；（2）设点P是直线AC上一点，且S△ABP：S△BPC＝1：3，求点P的坐标；（3）直线y＝x+a与（1）中所求的抛物线交于点M、N，两点，问：①是否存在a的值，使得∠MON＝90°？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．②猜想当∠MON＞90°时，a的取值范围．（不写过程，直接写结论）（参考公式：在平面直角坐标系中，若M（x1，y1），N（x2，y2），则M、N两点之间的距离为|MN|＝）14．直线y＝x﹣2与x、y轴分别交于点A、C．抛物线的图象经过A、C和点B（1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线AC上方的抛物线上有一动点D，当D与直线AC的距离DE最大时，求出点D的坐标，并求出最大距离是多少？15．已知关于x的二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m的图象与关于x的函数y＝kx+1的图象交于两点A（x1，y1）、B（x2，y2）；（x1＜x2）（1）当k＝1，m＝0，1时，求AB的长；（2）当k＝1，m为任何值时，猜想AB的长是否不变？并证明你的猜想．（3）当m＝0，无论k为何值时，猜想△AOB的形状．证明你的猜想．（平面内两点间的距离公式）．16．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是梯形，其中A（6，0），B（3，），C （1，），动点P从点O以每秒2个单位的速度向点A运动，动点Q也同时从点B沿B→C→O的线路以每秒1个单位的速度向点O运动，当点P到达A点时，点Q也随之停止，设点P，Q运动的时间为t（秒）．（1）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；（2）当点Q在CO边上运动时，求△OPQ的面积S与时间t的函数关系式；（3）以O，P，Q顶点的三角形能构成直角三角形吗？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由；（4）经过A，B，C三点的抛物线的对称轴、直线OB和PQ能够交于一点吗？若能，请求出此时t的值（或范围），若不能，请说明理由）．17．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，0），（5，0），（3，﹣4）．（1）求该二次函数的解析式；（2）当y＞﹣3，写出x的取值范围；（3）A、B为直线y＝﹣2x﹣6上两动点，且距离为2，点C为二次函数图象上的动点，当点C运动到何处时△ABC的面积最小？求出此时点C的坐标及△ABC面积的最小值．18．如图1，过点A（0，4）的圆的圆心坐标为C（2，0），B是第一象限圆弧上的一点，且BC⊥AC，抛物线y＝x2+bx+c经过C、B两点，与x轴的另一交点为D．（1）点B的坐标为（，），抛物线的表达式为；（2）如图2，求证：BD∥AC；（3）如图3，点Q为线段BC上一点，且AQ＝5，直线AQ交⊙C于点P，求AP的长．19．已知△ABC中，边BC的长与BC边上的高的和为20．（1）写出△ABC的面积y与BC的长x之间的函数关系式，并求出面积为48时BC的长；（2）当BC多长时，△ABC的面积最大？最大面积是多少？（3）当△ABC面积最大时，是否存在其周长最小的情形？如果存在，请说出理由，并求出其最小周长；如果不存在，请给予说明．20．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下，与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0）．与y轴交于点C，顶点为D．（1）求顶点D的坐标．（用含a的代数式表示）；（2）若△ACD的面积为3．①求抛物线的解析式；②将抛物线向右平移，使得平移后的抛物线与原抛物线交于点P，且∠P AB＝∠DAC，求平移后抛物线的解析式．21．如图，四边形ABCD是等腰梯形，下底AB在x轴上，点D在y轴上，直线AC与y轴交于点E（0，1），点C的坐标为（2，3）．（1）求A、D两点的坐标；（2）求经过A、D、C三点的抛物线的函数关系式；（3）在y轴上是否在点P，使△ACP是等腰三角形？若存在，请求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．22．如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+（2k﹣1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；（3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB＝90°？若存在，求出点P的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．23．已知二次函数y＝a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）（a，m为常数，且a≠0）．（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点．（2）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，与y轴交于D点．①当△ABC的面积为1时，求a的值．②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值．24．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△P AC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．25．已知抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0，a≠c）过点A（1，0），顶点为B，且抛物线不经过第三象限．（1）使用a、c表示b；（2）判断点B所在象限，并说明理由；（3）若直线y2＝2x+m经过点B，且与该抛物线交于另一点C（），求当x≥1时y1的取值范围．26．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于点C，x1，x2是方程x2+4x﹣5＝0的两根．（1）若抛物线的顶点为D，求S△ABC：S△ACD的值；（2）若∠ADC＝90°，求二次函数的解析式．27．已知抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（1，4），它与直线y2＝x+1的一个交点的横坐标为2．（1）求抛物线的解析式；（2）在给出的坐标系中画出抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）及直线y2＝x+1的图象，并根据图象，直接写出使得y1≥y2的x的取值范围；（3）设抛物线与x轴的右边交点为A，过点A作x轴的垂线，交直线y2＝x+1于点B，点P在抛物线上，当S△P AB≤6时，求点P的横坐标x的取值范围．28．如图，在平面直角坐标系中有一矩形ABCO（O为原点），点A、C分别在x轴、y轴上，且C点坐标为（0，6），将△BCD沿BD折叠（D点在OC上），使C点落在OA边的E点上，并将△BAE沿BE折叠，恰好使点A落在BD边的F点上．（1）求BC的长，并求折痕BD所在直线的函数解析式；（2）过点F作FG⊥x轴，垂足为G，FG的中点为H，若抛物线y＝ax2+bx+c经过B、H、D三点，求抛物线解析式；（3）点P是矩形内部的点，且点P在（2）中的抛物线上运动（不含B、D点），过点P 作PN⊥BC，分别交BC和BD于点N、M，是否存在这样的点P，使S△BNM＝S△BPM？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．29．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（，0）和点B（1，），与x轴的另一个交点为C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D在对称轴的右侧，x轴上方的抛物线上，且∠BDA＝∠DAC，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，连接BD，交抛物线对称轴于点E，连接AE．①判断四边形OAEB的形状，并说明理由；②点F是OB的中点，点M是直线BD的一个动点，且点M与点B不重合，当∠BMF＝∠MFO时，请直接写出线段BM的长．30．在平面直角坐标系xOy中，过原点O及点A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC 的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒．（1）当点P移动到点D时，求出此时t的值；（2）当t为何值时，△PQB为直角三角形；（3）已知过O、P、Q三点的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣t）2+t（t＞0）．问是否存在某一时刻t，将△PQB绕某点旋转180°后，三个对应顶点恰好都落在上述抛物线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．沪科新版九年级（上）中考题同步试卷：21.4 二次函数的应用（18）参考答案一、填空题（共1小题）1．；二、解答题（共29小题）2．；3．；4．；5．；6．；7．；8．（m﹣1）2+1；（m﹣h）2﹣h+2；9．；10．；11．；；；12．；13．；14．；15．；16．；17．；18．6；2；y＝x2+x﹣7；19．；20．；21．；22．；23．；24．；25．；26．；27．；28．；29．；30．；。
沪科新版九年级(上) 中考题同步试卷：21.4 二次函数的应用(09)
沪科新版九年级（上）中考题同步试卷：21.4 二次函数的应用（09）一、选择题（共1小题）1．如图，已知抛物线y1＝﹣x2+1，直线y2＝﹣x+1，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1，y2．若y1≠y2，取y1，y2中的较小值记为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2．例如：当x＝2时，y1＝﹣3，y2＝﹣1，y1＜y2，此时M＝﹣3．下列判断中：①当x＜0时，M＝y1；②当x＞0时，M随x的增大而增大；③使得M大于1的x值不存在；④使得M＝的值是﹣或，其中正确的个数有（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（共1小题）2．如图，平行于x轴的直线AC分别交函数y1＝x2（x≥0）与y2＝（x≥0）的图象于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1的图象于点D，直线DE∥AC，交y2的图象于点E，则＝．三、解答题（共28小题）3．如图（1），在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于C（0，3），顶点为D（1，4），对称轴为DE．（1）抛物线的解析式是；（2）如图（2），点P是AD上一个动点，P′是P关于DE的对称点，连接PE，过P′作P′F∥PE交x轴于F．设S四边形EPP′F＝y，EF＝x，求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；（3）在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使△BCQ成为以BC为直角边的直角三角形？若存在，求出Q的坐标；若不存在．请说明理由．4．如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为M（﹣2，﹣4），与x轴交于A、B两点，且A （﹣6，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求△ABC的面积；（3）能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P，使△APC的面积最大？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．5．如图，2×2网格（每个小正方形的边长为1）中，有A，O，B，C，D，E，F，H，G九个格点．抛物线l的解析式为y＝x2+bx+c．（1）若l经过点O（0，0）和B（1，0），则b＝，c＝；它还经过的另一格点的坐标为．（2）若l经过点H（﹣1，1）和G（0，1），求它的解析式及顶点坐标；通过计算说明点D（1，2）是否在l上．（3）若l经过这九个格点中的三个，直接写出所有满足这样的抛物线的条数．6．如图，抛物线y＝ax2+bx+2与直线l交于点A、B两点，且A点为抛物线与y轴的交点，B（﹣2，﹣4），抛物线的对称轴是直线x＝2，过点A作AC⊥AB，交抛物线于点C、x 轴于点D．（1）求此抛物线的解析式；（2）求点D的坐标；（3）抛物线上是否存在点K，使得以AC为边的平行四边形ACKL的面积等于△ABC的面积？若存在，请直接写出点K的横坐标；若不存在，请说明理由．[提示：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝﹣，顶点坐标为（﹣，）]．7．如图，抛物线y＝x2﹣x﹣4与x轴交于点A和点B（点B在点A的左侧），与轴交于点C，⊙O′是△ABC的外接圆，AB是⊙O′的直径，过点C作⊙O′的切线与x轴交于点F，过点A作AD⊥CF于点D．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）试判断抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由；（3）在抛物线上是否存在一点P，使得S△ACP＝S△ACO？若存在，直接写出所有满足条件的点P坐标；若不存在，请说明理由．8．抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）两点，过点A的直线交抛物线于点C（2，m），交y轴于点D．（1）求抛物线及直线AC的解析式；（2）点P是线段AC上的一动点（点P与点A、C不重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求线段PE长度的最大值；（3）点M（m，﹣3）是抛物线上一点，问在直线AC上是否存在点F，使△CMF是等腰直角三角形？如果存在，请求出点F的坐标；如果不存在，请说明理由．9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，顶点A、C的坐标分别为（﹣1，2），（3，2），点B 在x轴上，点B的坐标为（3，0），抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、C两点．（1）求该抛物线所对应的函数关系式；（2）点P是抛物线上的一点，当S△P AB＝S△ABC时，求点P的坐标；（3）若点N由点B出发，以每秒个单位的速度沿边BC、CA向点A移动，秒后，点M也由点B出发，以每秒1个单位的速度沿线段BO向点O移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点N的移动时间为t秒，当MN⊥AB时，请直接写出t的值，不必写出解答过程．10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与坐标轴分别交于A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），D 是抛物线顶点，E是对称轴与x轴的交点（1）求抛物线解析式；（2）F是抛物线对称轴上一点，且tan∠AFE＝，求点O到直线AF的距离；（3）点P是x轴上的一个动点，过P作PQ∥OF交抛物线于点Q，是否存在以点O，F，P，Q为顶点的平行四边形？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，在△ABC中，AB＝AC，且点A的坐标为（﹣3，0），点C坐标为（0，），点B在y轴的负半轴上，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A和点C（1）求b，c的值；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△ACQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由（3）点P是线段AO上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交AB于点E，探究：当点P在什么位置时，四边形MEBC是平行四边形，此时，请判断四边形AECM的形状，并说明理由．12．如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4经过点D（2，4），且与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，CD，BC（1）直接写出该抛物线的解析式（2）点P是所求抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线l，l分别交x轴于点E，交直线AC于点M．设点P的横坐标为m．①当0≤m≤2时，过点M作MG∥BC，MG交x轴于点G，连接GC，则m为何值时，△GMC的面积取得最大值，并求出这个最大值②当﹣1≤m≤2时，试探求：是否存在实数m，使得以P，C，M为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出相应的m值；若不存在，请说明理由．13．如图，已知直线y＝﹣x与二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象交于点A、O，O是坐标原点，OA＝3，点P为二次函数图象的顶点，点B是AP的中点．（1）求点A的坐标和二次函数的解析式；（2）求线段OB的长；（3）射线OB上是否存在点M，使得△AOM与△AOP相似？若存在，请求点M的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D在抛物线上且横坐标为3．（1）求tan∠DBC的值；（2）点P为抛物线上一点，且∠DBP＝45°，求点P的坐标．15．如图，抛物线y＝ax2+2ax（a＜0）位于x轴上方的图象记为F1，它与x轴交于P1、O 两点，图象F2与F1关于原点O对称，F2与x轴的另一个交点为P2，将F1与F2同时沿x轴向右平移P1P2的长度即可得到F3与F4；再将F3与F4同时沿x轴向右平移P1P2的长度即可得到F5与F6；…；按这样的方式一直平移下去即可得到一系列图象F1，F2，…，F n．我们把这组图象称为“波浪抛物线”．（1）当a＝﹣1时，①求图象F1的顶点坐标；②点H（2014，﹣3）（填“在”或“不在”）该“波浪抛物线”上；若图象F n的顶点T n的横坐标为201，则图象F n对应的解析式为，其自变量x的取值范围为．（2）设图象F n、F n+1的顶点分别为T n、T n+1（n为正整数），x轴上一点Q的坐标为（12，0）．试探究：当a为何值时，以O、T n、T n+1、Q四点为顶点的四边形为矩形？并直接写出此时n的值．16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（4，0），抛物线的对称轴是直线x ＝．（1）求抛物线的解析式；（2）M为第一象限内的抛物线上的一个点，过点M作MG⊥x轴于点G，交AC于点H，当线段CM＝CH时，求点M的坐标；（3）在（2）的条件下，将线段MG绕点G顺时针旋转一个角α（0°＜α＜90°），在旋转过程中，设线段MG与抛物线交于点N，在线段GA上是否存在点P，使得以P、N、G为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．17．如图，抛物线y＝x2+mx+n与直线y＝﹣x+3交于A，B两点，交x轴于D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接P A，过点P作PQ⊥P A交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE 以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？18．如图1所示，已知抛物线y＝﹣x2+4x+5的顶点为D，与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，E为对称轴上的一点，连接CE，将线段CE绕点E按逆时针方向旋转90°后，点C的对应点C′恰好落在y轴上．（1）直接写出D点和E点的坐标；（2）点F为直线C′E与已知抛物线的一个交点，点H是抛物线上C与F之间的一个动点，若过点H作直线HG与y轴平行，且与直线C′E交于点G，设点H的横坐标为m（0＜m＜4），那么当m为何值时，S△HGF：S△BGF＝5：6？（3）图2所示的抛物线是由y＝﹣x2+4x+5向右平移1个单位后得到的，点T（5，y）在抛物线上，点P是抛物线上O与T之间的任意一点，在线段OT上是否存在一点Q，使△PQT是等腰直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．19．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝kx+1（k≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点C，过点C的抛物线y＝ax2﹣（6a﹣2）x+b（a≠0）与直线AC交于另一点B，点B坐标为（4，3）．（1）求a的值；（2）点P是射线CB上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为点Q，在x轴上点Q 的右侧取点M，使MQ＝，在QP的延长线上取点N，连接PM，AN，已知tan∠NAQ ﹣tan∠MPQ＝，求线段PN的长；（3）在（2）的条件下，过点C作CD⊥AB，使点D在直线AB下方，且CD＝AC，连接PD，NC，当以PN，PD，NC的长为三边长构成的三角形面积是时，在y轴左侧的抛物线上是否存在点E，连接NE，PE，使得△ENP与以PN，PD，NC的长为三边长的三角形全等？若存在，求出E点坐标；若不存在，请说明理由．20．抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）过点A（1，﹣1），B（5，﹣1），与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，连接CB，以CB为边作▱CBPQ，若点P在直线BC上方的抛物线上，Q 为坐标平面内的一点，且▱CBPQ的面积为30，求点P的坐标；（3）如图2，⊙O1过点A、B、C三点，AE为直径，点M为上的一动点（不与点A，E重合），∠MBN为直角，边BN与ME的延长线交于N，求线段BN长度的最大值．21．已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C，该抛物线的顶点为点D．（1）求该抛物线的解析式及点D的坐标；（2）连接AC，CD，BD，BC，设△AOC，△BOC，△BCD的面积分别为S1，S2和S3，用等式表示S1，S2，S3之间的数量关系，并说明理由；（3）点M是线段AB上一动点（不包括点A和点B），过点M作MN∥BC交AC于点N，连接MC，是否存在点M使∠AMN＝∠ACM？若存在，求出点M的坐标和此时刻直线MN的解析式；若不存在，请说明理由．22．已知，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图①所示，A点坐标为（﹣6，0），B点坐标为（4，0），点D为BC的中点，点E为线段AB上一动点，连接DE经过点A、B、C 三点的抛物线的解析式为y＝ax2+bx+8．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，将△BDE以DE为轴翻折，点B的对称点为点G，当点G恰好落在抛物线的对称轴上时，求G点的坐标；（3）如图②，当点E在线段AB上运动时，抛物线y＝ax2+bx+8的对称轴上是否存在点F，使得以C、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．23．已知抛物线经过A（﹣3，0），B（1，0），C（2，）三点，其对称轴交x轴于点H，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点C，与抛物线交于另一点D（点D在点C的左边），与抛物线的对称轴交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当S△EOC＝S△EAB时，求一次函数的解析式；（3）如图2，设∠CEH＝α，∠EAH＝β，当α＞β时，直接写出k的取值范围．24．如图1，一条抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且当x＝﹣1和x＝3时，y的值相等，直线y＝x﹣与抛物线有两个交点，其中一个交点的横坐标是6，另一个交点是这条抛物线的顶点M．（1）求这条抛物线的表达式．（2）动点P从原点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒2个单位长度的速度向点C运动，当一个点到达终点时，另一个点立即停止运动，设运动时间为t秒．①若使△BPQ为直角三角形，请求出所有符合条件的t值；②求t为何值时，四边形ACQP的面积有最小值，最小值是多少？（3）如图2，当动点P运动到OB的中点时，过点P作PD⊥x轴，交抛物线于点D，连接OD，OM，MD得△ODM，将△OPD沿x轴向左平移m个单位长度（0＜m＜2），将平移后的三角形与△ODM重叠部分的面积记为S，求S与m的函数关系式．25．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC，动点P以每秒1个单位长度的速度从A向B运动，动点Q以每秒个单位长度的速度从B向C运动，P、Q同时出发，连接PQ，当点Q到达C点时，P、Q 同时停止运动，设运动时间为t秒．（1）求二次函数的解析式；（2）如图1，当△BPQ为直角三角形时，求t的值；（3）如图2，当t＜2时，延长QP交y轴于点M，在抛物线上是否存在一点N，使得PQ 的中点恰为MN的中点？若存在，求出点N的坐标与t的值；若不存在，请说明理由．26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣1，0）和点B（4，0），且与y轴交于点C，点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点，连接CA，CD，PD，PB．（1）求该抛物线的解析式；（2）当△PDB的面积等于△CAD的面积时，求点P的坐标；（3）当m＞0，n＞0时，过点P作直线PE⊥y轴于点E交直线BC于点F，过点F作FG ⊥x轴于点G，连接EG，请直接写出随着点P的运动，线段EG的最小值．27．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l⊥y轴于点B（0，﹣2），A为OB的中点，以A为顶点的抛物线y＝ax2+c与x轴交于C、D两点，且CD＝4，点P为抛物线上的一个动点，以P为圆心，PO为半径画圆．（1）求抛物线的解析式；（2）若⊙P与y轴的另一交点为E，且OE＝2，求点P的坐标；（3）判断直线l与⊙P的位置关系，并说明理由．28．已知二次函数y＝x2+bx﹣4的图象与y轴的交点为C，与x轴正半轴的交点为A，且tan ∠ACO＝（1）求二次函数的解析式；（2）P为二次函数图象的顶点，Q为其对称轴上的一点，QC平分∠PQO，求Q点坐标；（3）是否存在实数x1、x2（x1＜x2），当x1≤x≤x2时，y的取值范围为≤y≤？若存在，直接写出x1，x2的值；若不存在，说明理由．29．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，∠AOC的平分线交AB于点D，E为BC的中点，已知A（0，4）、C（5，0），二次函数y＝x2+bx+c的图象抛物线经过A，C两点．（1）求该二次函数的表达式；（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接D、E、F、G构成四边形DEFG，求四边形DEFG周长的最小值；（3）抛物线上是否在点P，使△ODP的面积为12？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．30．如图，直线y＝x+2与抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求△P AC为直角三角形时点P的坐标．沪科新版九年级（上）中考题同步试卷：21.4 二次函数的应用（09）参考答案一、选择题（共1小题）1．C；二、填空题（共1小题）2．3﹣；三、解答题（共28小题）3．y＝﹣x2+2x+3；4．；5．﹣；0；（﹣1，1）；6．；7．；8．；9．；10．；11．；12．；13．；14．；15．不在；y＝（x﹣201）2﹣1；200≤x≤202；16．；17．；18．；19．；20．；21．；22．；23．；24．；25．；26．；27．；28．；29．；30．；。
沪教版九年级上册数学第二十六章 二次函数 含答案
沪教版九年级上册数学第二十六章二次函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、下列两个量之间的关系不属于二次函数的是（）A.速度一定时，汽车行使的路程与时间的关系B.质量一定时，物体具有的动能和速度的关系C.质量一定时，运动的物体所受到的阻力与运动速度的关系D.从高空自由降落的物体，下降的高度与下降的时间的关系2、若抛物线y=（m﹣1）x 开口向下，则m的取值是（）A.﹣1或2B.1或﹣2C.2D.﹣13、下列函数中，y一定是关于x的二次函数的是（）A.y=ax 2+bx+cB.y=C.y= x 2D.y=x 2+ +14、下列函数是二次函数的是（）A.y=x（x+1）B.x 2y=1C.y=2x 2-2（x-1）2D.y=x—0.55、下列函数中，不是二次函数的是（）A.y=1﹣x 2B.y=2（x﹣1）2+4C.y=D.y= （x ﹣1）（x+4）6、下列函数中，能表示y是x的二次函数的是（）A. B. C. D.7、下列各式中，是关于的二次函数的是（）．A. B. C. D.8、顶点在点M(﹣2，1)，且图象经过原点的二次函数解析式是( )A.y＝(x﹣2) 2+1B.y＝﹣(x+2) 2+1C.y＝(x+2) 2+1D.y＝(x﹣2) 2+19、下列函数中，属于二次函数的是( )A.y＝3x﹣1B.y＝C.y＝﹣x 2D.y＝10、一元二次方程3x2-2x-1=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）．A.3，2，1B.-3，2，1C.3，-2，-1D.-3，-2，-111、下列函数中，属于二次函数的是 ( )A. B. C. D.12、下列函数中属于二次函数的是( )A. B. C. D.13、下列函数中，属于二次函数的是( )A.y=2x-1B.y=x 2+C.y=x 2(x+3)D.y=x(x+1)14、下列函数中①y=3x+1；②y=4x2﹣3x；③y=+x2；④y=5﹣2x2，是二次函数的有（）A.②B.②③④C.②③D.②④15、已知函数是二次函数，则等于（）A.±2B.2C.-2D.±1二、填空题(共10题，共计30分)16、若函数y=（m﹣3）是二次函数，则m=________．17、若函数是关于x的二次函数，则m的值为________．18、若抛物线的对称轴是直线，则它的顶点坐标是________．19、若函数y=（m﹣2）x|m|+5x+1是关于x的二次函数，则m的值为________．20、已知二次函数y=ax|a﹣1|+3在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，则a=________．21、当m________ 时，y=（m﹣2）是二次函数．22、如果函数y=（m2﹣4）x m﹣1是二次函数，那么m的值是________23、在函数式①y= ，②y= ，③y=x2﹣，④y=（x﹣1）（x﹣3）中，二次函数是________（填序号）．24、如果函数y=（m﹣2）x2+2x+3（m为常数）是二次函数，那么m取值范围是________．25、若函数y=（m﹣3）是二次函数，则m=________．三、解答题(共5题，共计25分)26、一个二次函数y=（k﹣1）．求k值．27、已知两个变量x、y之间的关系为y=（m﹣2）+x﹣1，若x、y之间是二次函数关系，求m的值．28、若函数y=（a-1）x（b+1）+x2+1是二次函数，试讨论a、b的取值范围.29、用一根长为40cm的铁丝围成一个半径为r的扇形，求扇形的面积y与它的半径r之间的函数关系式，这个函数是二次函数吗？请写出半径r的取值范围．30、如图，已知点A（-4，8）和点B（2，n）在抛物线y=ax2上.求a的值及点B的坐标.参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、A2、D3、C4、A5、C6、C7、C9、D10、C11、A12、A13、D14、D15、B二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、28、29、。
2020年沪科版九年级数学上册第21章 二次函数与反比例函数单元测试题及答案
沪科版九年级数学上册《第21章二次函数与反比例函数单元试卷一、选择题（本大题共10小题，共50分）1.二次函数y=x2+4x−5的图象的对称轴为()A. x=4B. x=−4C. x=2D. x=−22.将抛物线y=x2−2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为()A. y=(x−1)2+4B. y=(x−4)2+4C. y=(x+2)2+6D. y=(x−4)2+63.在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是()A. B. C. D.4.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，点C在y轴的正半轴上，且OA=OC，则()A. ac+1=bB. ab+1=cC. bc+1=aD. 以上都不是5.下列关于二次函数y=ax2−2ax+1(a>1)的图象与x轴交点的判断，正确的是()A. 没有交点B. 只有一个交点，且它位于y轴右侧C. 有两个交点，且它们均位于y轴左侧D. 有两个交点，且它们均位于y轴右侧6.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为x=−12.下列结论中，正确的是()A. abc>0B. a +b =0C. 2b+c>0D. 4a+c<2b7.如图，A、B两点在双曲线y=4x上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S阴影=1，则S1+S2=()A. 3B. 4C. 5D. 68.函数y=kx+1与函数y=kx 在同一坐标系中的大致图象是()A. B. C. D.9.如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为(−3,4)，顶点C在x轴的负半轴上，函数y=kx(x<0)的图象经过顶点B，则k的值为()A. −12B. −27C. −32D. −3610.图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y=−1400(x−80)2+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴，若OA=10米，则桥面离水面的高度AC为()A. 16940米 B. 174米 C. 16740米 D. 154米二、填空题（本大题共4小题，共20分）11.设抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过A(0,2)，B(4,3)，C三点，其中点C在直线x=2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为．12.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为(−2,0)，抛物线的对称轴为直线x=2，则线段AB的长为______．13.如图，函数y=1x(x>0)和y=3x(x>0)的图象分别是l1和l2.设点P在l2上，PA//y轴，交l1于点A，PB//x轴，交l1于点B，则△PAB的面积为______ ．14.如图，点A(m,2)，B(5,n)在函数y=kx(k>0,x>0)的图象上，将该函数图象向上平移2个单位长度得到一条新的曲线，点A、B的对应点分别为A′、B′.图中阴影部分的面积为8，则k的值为______．三、计算题（本大题共2小题，共20分）15.如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE=8米，抛物线的顶点C到ED的距离是11米，以ED 所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．(1)求抛物线的解析式；(2)已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离ℎ(单位：米)随时间t(单位：时)的变化满足函数关系ℎ=−1128(t−19)2+8(0≤t≤40)，且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？16.如图，A(2,1)是矩形OCBD的对角线OB上的一点，点E在BC上，双曲线y=kx 经过点A，交BC于点E，交BD于点F，若CE=23．(1)求双曲线的解析式；(2)求点F的坐标；(3)连接EF、DC，求证：EF//DC．四、解答题（本大题共5小题，共60分）17.某商店进行促销活动，如果将进价为8元/件的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品的单价每涨1元，其销售量就要减少10件，问将售价定为多少元/件时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润．18.如图，四边形ABCD为正方形．点A的坐标为(0,2)，点B的坐标为(0,−3)，反比例函数y=kx的图象经过点C，一次函数y=ax+b的图象经过点A、C，(1)求反比例函数与一次函数的解析式；(2)求点P是反比例函数图象上的一点，△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求P点的坐标．19.小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x(单位：cm)的边与这条边上的高之和为40cm，这个三角形的面积S(单位：cm2)随x(单位：cm)的变化而变化．(1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；(2)当x是多少时，这个三角形面积S最大⋅最大面积是多少⋅20.已知二次函数y=x2−2mx+m2+3(m是常数)．(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？21.如图，反比例函数y1=m与一次函数y2=kx+b的图象交于两点xA(1,3)、B(n,−1)．(1)求这两个函数的解析式；(2)观察图象，请直接写出不等式kx+b>m的解集；x(3)点C为x轴正半轴上一点，连接AO、AC，且AO=AC，求△AOC的面积．答案和解析1.【答案】D【解析】解：二次函数y=x2+4x−5的图象的对称轴为：x=−b2a =−42×1=−2．故选：D．直接利用抛物线的对称轴公式代入求出即可．此题主要考查了二次函数的性质，正确记忆抛物线对称轴公式是解题关键．2.【答案】B【解析】解：将y=x2−2x+3化为顶点式，得y=(x−1)2+2．将抛物线y=x2−2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为y=(x−4)2+4，故选：B．根据函数图象向上平移加，向右平移减，可得函数解析式．本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象的平移规律是：左加右减，上加下减．3.【答案】C【解析】解：当a<0时，二次函数顶点在y轴负半轴，一次函数经过一、二、四象限；当a>0时，二次函数顶点在y轴正半轴，一次函数经过一、二、三象限．故选：C．根据一次函数和二次函数的解析式可得一次函数与y轴的交点为(0,2)，二次函数的开口向上，据此判断二次函数的图象．此题主要考查了二次函数及一次函数的图象的性质，用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标．4.【答案】A【解析】解：当x=0时，y=ax2+bx+c=c，则C(0,c)(c>0)，∵OA=OC，∴A(−c,0)，∴a⋅(−c)2+b⋅(−c)+c=0，∴ac−b+1=0，即ac+1=b．故选：A．根据图象易得C(0,c)且c>0，再利用OA=OC可得A(−c,0)，然后把A(−c,0)代入y=ax2+bx+c即可得到a、b、c的关系式．本题考查了二次项系数与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右．(简称：左同右异)；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于(0,c)；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2−4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．5.【答案】D【解析】解：当y=0时，ax2−2ax+1=0，∵a>1，∴△=(−2a)2−4a=4a(a−1)>0，ax2−2ax+1=0有两个根，函数与x轴有两个交点，x=2a±√4a(a−1)2a>0，故选：D．根据函数值为零，可得相应的方程，根据根的判别式，公式法求方程的根，可得答案．本题考查了抛物线与x轴的交点，利用了函数与方程的关系，方程的求根公式．6.【答案】D【解析】解：A、∵开口向上，∴a>0，∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c<0，∵对称轴在y轴左侧，∴−b2a<0，∴b>0，∴abc<0，故A选项错误；B、∵对称轴：x=−b2a=−12，∴a=b，故B选项错误；C、当x=1时，a+b+c=2b+c<0，故C选项错误；D、∵对称轴为x=−12，与x轴的一个交点的取值范围为x1>1，∴与x轴的另一个交点的取值范围为x2<−2，∴当x=−2时，4a−2b+c<0，即4a+c<2b，故D选项正确．故选：D．由二次函数的性质，即可确定a，b，c的符号，即可判定A是错误的；又由对称轴为x=−12，即可求得a=b；由当x=1时，a+b+c<0，即可判定C错误；然后由抛物线与x轴交点坐标的特点，判定D正确．此题考查了二次函数图象与系数的关系．此题难度适中，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的对称性．7.【答案】D【解析】解：∵点A、B是双曲线y=4x上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=4，∴S1+S2=4+4−1×2=6．故选：D．欲求S1+S2，只要求出过A、B两点向x轴、y轴作垂线段与坐标轴所形成的矩形的面积即可，而矩形面积为双曲线y=4x的系数k，由此即可求出S1+S2．本题主要考查了反比例函数的图象和性质及任一点坐标的意义，有一定的难度．8.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限．根据一次函数和反比例函数的特点，k≠0，所以分k>0和k<0两种情况讨论．当两函数系数k取相同符号值，两函数图象共存于同一坐标系内的即为正确答案．【解答】解：分两种情况讨论：①当k>0时，y=kx+1与y轴的交点在正半轴，过一、二、三象限，y=kx的图象在第一、三象限；②当k<0时，y=kx+1与y轴的交点在正半轴，过一、二、四象限，y=kx的图象在第二、四象限．故选A．9.【答案】C【解析】解：∵A(−3,4)，∴OA=√32+42=5，∵四边形OABC是菱形，∴AO=CB=OC=AB=5，则点B的横坐标为−3−5=−8，故B的坐标为：(−8,4)，将点B的坐标代入y=kx 得，4=k−8，解得：k=−32．故选：C．根据点C的坐标以及菱形的性质求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出k的值即可．本题考查了菱形的性质以及利用待定系数法求反比例函数解析式，解答本题的关键是根据菱形的性质求出点B的坐标．10.【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用有关知识，先确定C点的横坐标，然后根据抛物线上点的坐标特征求出C点的纵坐标，从而可得到AC的长．【解答】解：∵AC⊥x轴，OA=10米，∴点C的横坐标为−10，当x=−10时，y=−1400(x−80)2+16=−1400(−10−80)2+16=−174，∴C(−10,−174)，∴桥面离水面的高度AC为174m.故选B．11.【答案】y=18x2−14x+2或y=−18x2+34x+2【解析】【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，难点在于分情况确定出对称轴解析式并讨论求解．根据点C的位置分情况确定出对称轴解析式，然后设出抛物线解析式，再把点A、B的坐标代入求解即可．【解答】解：∵点C在直线x=2上，且到抛物线的对称轴的距离等于1，∴抛物线的对称轴为直线x=1或x=3，当对称轴为直线x=1时，设抛物线解析式为y=a(x−1)2+k，将A(0,2)，B(4,3)代入解析式，则{a+k=29a+k=3，解得{a=18k=158，所以，y=18(x−1)2+158=18x2−14x+2；当对称轴为直线x=3时，设抛物线解析式为y=a(x−3)2+k，将A(0,2)，B(4,3)代入解析式，则{9a+k=2a+k=3，解得{a=−18k=258，所以，y=−18(x−3)2+258=−18x2+34x+2，综上所述，抛物线的函数解析式为y=18x2−14x+2或y=−18x2+34x+2．故答案为y=18x2−14x+2或y=−18x2+34x+2．12.【答案】8【解析】解：∵对称轴为直线x=2的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于A、B两点，∴A、B两点关于直线x=2对称，∵点A的坐标为(−2,0)，∴点B的坐标为(6,0)，AB=6−(−2)=8．故答案为：8．由抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=2，交x轴于A、B两点，其中A点的坐标为(−2,0)，根据二次函数的对称性，求得B点的坐标，再求出AB的长度．此题考查了抛物线与x轴的交点．此题难度不大，解题的关键是求出B点的坐标．13.【答案】23【解析】【分析】本题考查了反比例函数的综合知识，题目中根据平行坐标轴的直线上的点的坐标特点表示出有关点的坐标是解答本题的关键，难度中等偏上．将点P(m,n)代入反比例函数y=3x(x>0)用m表示出n即可表示出点P的坐标，然后根据PB//x轴，得到B点的纵坐标为3m，然后将点B的纵坐标带人反比例函数的解析式y=1 x (x>0)即可得到点B的坐标，同理得到点A的坐标；根据PB=m−m3=2m3，PA=3m−1m=2m，利用S△PAB=12PA⋅PB即可得到答案．【解答】解：设点P(m,n)，∵P是反比例函数y=3x(x >0)图象上的点，∴n=3m，∴点P(m,3m)；∵PB//x轴，∴B点的纵坐标为3m，将点B的纵坐标代入反比例函数的解析式y=1x (x>0)得：x=m3，∴B(m3,3m)，同理可得：A(m,1m)；∵PB=m−m3=2m3，PA=3m−1m=2m，∴S△PAB=12PA⋅PB=12×2m3×2m=23．故答案为23．14.【答案】2【解析】解：可得：将该函数图象向上平移2个单位长度得到一条新的曲线，点A、B的对应点分别为A′、B′，图中阴影部分的面积等于平行四边形ABB′A′的面积为：2×4=8，则5−m=4，解得：m=1，则A(1,2)，故k=1×2=2．故答案为：2．利用平行四边形的面积公式得出M的值，进而利用反比例函数图象上点的性质得出k的值．此题主要考查了平移的性质和反比例函数系数k的几何意义，得出A点坐标是解题关键．15.【答案】解：(1)∵点C到ED的距离是11米，∴OC=11，设抛物线的解析式为y=ax2+11，由题意得B(8,8)，∴64a+11=8，解得a=−364，∴y=−364x2+11；(2)水面到顶点C的距离不大于5米时，即水面与河底ED的距离h至少为11−5=6(米)，∴6=−1128(t−19)2+8，∴(t−19)2=256，∴t−19=±16，解得t1=35，t2=3，∴35−3=32(小时)．答：需32小时禁止船只通行．【解析】(1)根据抛物线特点设出二次函数解析式，把B坐标代入即可求解；(2)水面到顶点C的距离不大于5米时，即水面与河底ED的距离h至少为6米，把6代入所给二次函数关系式，求得t的值，相减即可得到禁止船只通行的时间．考查二次函数的应用；判断出所求二次函数的形式是解决本题的关键；注意结合(1)得到h的最大高度．16.【答案】解：(1)把A(2,1)代入y=kx得k+1×2=2，所以双曲线解析式为y=2x；(2)设直线OB解析式为y=ax，把A(2,1)坐标代入得：1=2a，解得a=12，∴直线解析式为y=12x，∵四边形OCBD为矩形，CE=23，∴E点的纵坐标为23，当y=23时，2x=23，解得x=3，则E(3,23)，∴B的横坐标为3，当x=3时，y=12x=32，则B(3,32)，∴F的纵坐标为32，当y=32时，2x=32，解得x=43，∴F(43,32)；(3)∵B(3,32)，F(43,32)，E(3,23)，∴BD=3，BC=32，BF=3−43=53，BE=32−23=56，∴BFBD=59，BEBC=59，∴BFBD=BEBC，而∠FBE=∠DBC，∴△BFE∽△BDC，∴∠BFE=∠BDC，∴EF//CD ．【解析】(1)根据反比例函数图象上点的坐标特征，把A(2,1)代入y =kx 中可求出k 的值，从而得到双曲线解析式；(2)先利用待定系数法求出直线解析式为y =12x ，再利用E 点的纵坐标为23和反比例函数图象上点的坐标特征可确定E(3,23)，接着根据一次函数图象上点的坐标特征确定B(3,32)，则F 的纵坐标为32， 然后再利用反比例函数图象上点的坐标特征确定F 点坐标；(3)先得到BD =3，BC =32，BF =53，BE =56，再通过计算得到BFBD =BEBC =59，加上∠FBE =∠DBC ，则可判断△BFE∽△BDC ，所以∠BFE =∠BDC ，于是可判断EF//CD ．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了矩形的性质和相似三角形的判定与性质．17.【答案】解：设销售价每件定为x 元，则每件利润为(x −8)元，销售量为[100−10(x −10)]， 根据利润=每件利润×销售量，可得销售利润y =(x −8)⋅[100−10(x −10)]=−10x 2+280x −1600=−10(x −14)2+360， ∴当x =14时，y 的最大值为360元，∴应把销售价格定为每件14元，可使每天销售该商品所赚利润最大，最大利润为360元．【解析】确定每件利润、销售量，根据利润=每件利润×销售量，得出销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系，利用配方法确定函数的最值． 此题考查二次函数的性质及其应用，将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题，比较简单．18.【答案】解：(1)∵点A 的坐标为(0,2)，点B 的坐标为(0,−3)， ∴AB =5，∵四边形ABCD 为正方形， ∴点C 的坐标为(5,−3)．∵反比例函数y =kx 的图象经过点C ， ∴−3=k5，解得k =−15，∴反比例函数的解析式为y =−15x ； ∵一次函数y =ax +b 的图象经过点A ，C ， ∴{b =25a +b =−3，解得{a =−1b =2，∴一次函数的解析式为y =−x +2；(2)设P 点的坐标为(x,y)．∵△OAP 的面积恰好等于正方形ABCD 的面积， ∴12×OA ⋅|x|=52， ∴12×2⋅|x|=25，解得x =±25．当x =25时，y =−1525=−35； 当x =−25时，y =−15−25=35． ∴P 点的坐标为(25,−35)或(−25,35).【解析】(1)先根据正方形的性质求出点C 的坐标为(5,−3)，再将C 点坐标代入反比例函数y =kx 中，运用待定系数法求出反比例函数的解析式；同理，将点A ，C 的坐标代入一次函数y =ax +b 中，运用待定系数法求出一次函数函数的解析式；(2)设P 点的坐标为(x,y)，先由△OAP 的面积恰好等于正方形ABCD 的面积，列出关于x 的方程，解方程求出x 的值，再将x 的值代入y =−15x ，即可求出P 点的坐标．本题考查了正方形的性质，反比例函数与一次函数的交点问题，运用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，三角形的面积，难度适中．运用方程思想是解题的关键．19.【答案】解：(1)S =−12x 2+20x ；(2)∵−12<0， ∴S 有最大值，∴当x =−b 2a =−202×(−12)=20时，S 有最大值为4ac−b 24a=4×(−12)×0−2024×(−12)=200cm 2．∴当x 为20cm 时，三角形最大面积是200cm 2．【解析】(1)S =12x ×这边上的高，把相关数值代入化简即可； (2)结合(1)得到的关系式，利用公式法求得二次函数的最值即可． 考查二次函数的应用；掌握二次函数的顶点为(−b2a,4ac−b 24a)，是解决本题的关键．20.【答案】(1)证明：∵△=(−2m)2−4×1×(m 2+3)=4m 2−4m 2−12=−12<0，∴方程x 2−2mx +m 2+3=0没有实数解，即不论m 为何值，该函数的图象与x 轴没有公共点；(2)解：y =x 2−2mx +m 2+3=(x −m)2+3，把函数y =(x −m)2+3的图象沿y 轴向下平移3个单位长度后，得到函数y =(x −m)2的图象，它的顶点坐标是(m,0)，因此，这个函数的图象与x 轴只有一个公共点，所以，把函数y =x 2−2mx +m 2+3的图象沿y 轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x 轴只有一个公共点．【解析】(1)求出根的判别式，即可得出答案；(2)先化成顶点式，根据顶点坐标和平移的性质得出即可．本题考查了二次函数和x 轴的交点问题，根的判别式，平移的性质，二次函数的图象与几何变换的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，题目比较好，有一定的难度．21.【答案】解：(1)把A(1,3)的坐标代入y 1=mx ，得m =3，故反比例函数的解析式为y 1=3x ， 把B(n,−1)的坐标代入y 1=3x ，得−n =3，把A(1,3)和B(−3,−1)的坐标分别代入y 2=kx +b ，得{k +b =3−3k +b =−1，解得k =1，b =2．故一次函数的解析式为y 2=x +2； (2)x >1或−3<x <0；(3)过A 点作AD ⊥OC 于点D ， ∵AO =AC ， ∴OD =CD ，∵A(1,3)在双曲线y =3x 图象上， ∴OD ⋅AD =3， ∴12OC ⋅AD =3， ∴S △AOC =3．【解析】【分析】本题综合考查一次函数与反比例函数的图象交点，同时考查用待定系数法求函数解析式．本题需要注意无论是自变量的取值范围还是函数值的取值范围，都应该从交点入手思考；需注意反比例函数的自变量不能取0．(1)可先把A 代入反比例函数解析式，求得m 的值，进而求得n 的值，把A ，B 两点分别代入一次函数解析式即可；(2)根据图象结合A ，B 两点坐标即可求得；(3)过A 点作AD ⊥OC 于点D ，根据A 的坐标得出AD =3，OC =2，根据三角形面积就可求得． 【解答】解：(1)见答案；(2)由图象可知y2>y1的解集为x >1或−3<x <0； 故答案为x >1或−3<x <0； (3)见答案．1、天下兴亡，匹夫有责。