《弧长与扇形面积》课件1

如果∠AOB=n°，你能求出
︵ AB
的长吗？
我们知道圆周长的计算公式为C=2πr， 其中r是圆的半径，即360°的圆心角所对 的弧长就是圆周长C.
在同一个圆中，如果圆心角相等，那么
它们所对的弧相等. 而一个圆的圆心角为360°，
因此：1°的圆心角所对的弧长为
1· 360
2πr，
n°的圆心角所对的弧长l为
OC=12m，C D 的长度为9πm，求圆弧形弯道 的面积.
解 设∠AOB=n°， ∵ OC=12m，C︵D 的长度为9πm，
∴ 9π=n1π8012,
解得n=135°，即圆心角∠COD=135°.
∴ S 扇 形 O A B =1 3 5 3 π 6 0 2 0 2= 1 5 0 π ( m 2 ) .
S 扇 形 O C D = 1 2 lr = 1 2 9 π 1 2 = 5 4 π ( m 2 ) .
∴ S S - S 弯道ACDB = 扇形OAB
扇形OCD
= 150π- 54π
=96π(m2).
答：这条圆弧形弯道的面积为 96π m2.
中考 试题
如图，直角三角形ABC的斜边AB=35， 点O在AB边上，OB=20，一个以O为圆
心 E两的点圆，，求分D别︵E切的两长直度角. 边BC，AC于D、
连接OE、OD， ∵⊙O切BC、AC于点D、E， ∴OD⊥BC，OE⊥AC. ∵∠C=90°，
∴四边形OECD为矩形， ∠EOD=90°， OE=OD.
设⊙O的半径为r，即OE=OD=r.
∵∠A+∠B=90°，∠DOB+∠B=90°.
例2 如图所示，一个边长为10cm的等边 三角形木板ABC在水平桌面上绕顶点C 按顺时针方向旋转到△A′B′C的位置， 求顶点A从开始到结束所经过的路程为
多少.
解 由图可知，由于∠A′CB′ =60°，则等边
三角形木板绕点C按顺时针方向旋转了120°，
即∠ACA′ =120°，这说明顶点A经过的
扇形能够互相重合，从而圆心角为1°的扇形的
面积等于圆面积的
1 360
，即
πr2 360
.
因此，圆心角为n°的扇形的面积为
n

π 3
r 6
2
0
.
结论
由此得到： 半径为r的圆中，圆心角为n°的扇形的 面积S为
S扇形 =n3π6r02 .
又因为扇形的弧长
l
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=
nπr 180
，
因此
S扇形 =n3π6r02
=12
∴ ∠A=∠DOB.
又∵ ∠AEO=∠ODB=90°，
∴△AEO∽△ODB.
∴
OE BD
=
AO OB
，
∴400r-r2=352-020 ，
∴ r =12，
∴
︵ DE
的长度=
901π8×012=6π .
结束
路程长等于
︵
AA
'
的长.
∵ 等边三角形ABC的边长为10cm， ︵
∴ A A ' 所在圆的半径为10cm.
∴
l︵
AA
= ' 120 18 π 0 10=2 3 0π (cm ) .
答：顶点A从开始到结束时所经过的 路程为 230π cm.
圆的一条弧和经过这条弧的端点的 两条半径所围成的图形叫作扇形.
弧长与扇形面积
动脑筋
如图是某市的摩天轮的示意图. 点O是圆 心，半径r为15m，点A，B是圆上的两︵ 点，圆 心角∠AOB=120°. 你能想办法求出 A B 的长度 吗？说说你的理由.
的因长为是∠圆AO周B长=1的2013°，，因所此以A︵BA︵的B 长为
1 3
× 2π × 15 = 10π (m).
如图，阴影部分是一个扇形， 记作扇形OAB.
我们可以发现，扇形面积与组成扇形的 圆心角的大小有关，在同一个圆中，圆心角 越大，扇形面积也越大.
探究
如何求半径为r，圆心角为n° 的扇形的面积呢？
我们可以把圆看作是圆心角为360°的扇形，
它的面积即圆面积 S=πr2.因为圆绕圆心旋转任
意角度，都能与自身重合，所以圆心角为1°的
nπr 180
r
=12lr .
例3 如图，圆O的半径为1.5cm，圆心角 ∠AOB=58°，求扇形OAB的面积.(精确0.1cm2).
解 因为r=1.5cm，n=58，
所以扇形OAB的面积为
S
=
5 8×
π× 1.52 360
≈ 58× 3.14× 1.5 2 360
≈ 1.1(cm 2).
例4 如下图是一︵条圆弧形弯道，已知OA=20m，
l =n·3160· 2πr.
结论
由此得出以下结论： 半径为r的圆中，n°的圆心角所对的弧长 l为
l=n·2 π r=n π r. 3 6 0 1 8 0
例1 已知圆O的半径为30cm，求40°的圆心角 所对的弧长(精确到0.1cm)
解l=40·π·30 180
≈40×3.14×30 180
≈ 20.9(cm ).