北京市首师大附中2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)
北京市首师大附中2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共50.0分） 1. “sin x =12”是“x =π6”的( )条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要2. 已知√2|a ⃗ |=|b ⃗ |≠0，且a ⃗ ⊥(a ⃗ −b ⃗ )，则向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角大小为( )A. π2B. π3C. π4D. π63. 已知sinθ=45，sin θcos θ<0，则sin 2θ= ( )A. −2425B. −1225C. −45D. 24254. 下列既是偶函数，又在区间[−3,−1]上单调递增的是( )A. f(x)={√x,x ≥0,√−x,x <0B. f(x)=ln |x|C. f(x)=−x 4D. f(x)=−1x5. 已知偶函数f(x)在(−∞,0]上是增函数．若a =f(log 215)，b =f(log 123)，c =f(2−0.8)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a <b <cB. b <a <cC. c <b <aD. c <a <b6. 函数y =tanx (π4≤x ≤3π4且x ≠π2)的值域是( )A. [−1,1]B. (−∞,−1]∪[1,+∞)C. (−∞,1]D. [−1,+∞)7. 在平行四边形ABCD 中，点E 满足DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ=( ) A. 1 B. 2C. 32D. 48. 设函数f(x)=√2sin(ωx +ϕ+π4) (ω>0,|ϕ|<π2)的最小正周期为π，且f(−x)=f(x)，则( )A. f(x)在(0,π2)单调递减 B. f(x)在(π4,3π4)单调递减 C. f(x)在(0,π2)单调递增D. f(x)在(π4,3π4)单调递增9. 函数y =sinx 1−x的部分图像大致为( )A.B.C.D.10. 在ΔABC 中，M 为边BC 上的任意一点，点N 在线段AM 上，且满足AN =13NM ，若AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +u AC⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,u ∈R)，则λ+u 的值为( ) A. 14B. 13C. 1D. 4二、填空题（本大题共6小题，共30.0分） 11. 函数f(x)=11−x +lg(x +1)的定义域是________12. 在△ABC 中，已知sinA =23，cosB =12，则 cos C 的值为______ ． 13. 已知tanα=2，则cos2α+sin(π2+α)cos(3π2−α)= ______ ．14. 已知y =log a (2−ax)的图象在区间[0,1]上是单调递减的，则2a 的取值范围是_________． 15. 下列不等式：①lg(x 2+14)>lg x(x >0)； ②sin x +1sin x ≥2(x ≠kπ,k ∈Z)；③x 2+1≥2|x|(x ∈R)； ④1x 2+1<1(x ∈R)．其中一定成立的是________(填序号)．16. 若函数f(x)=(2−a)x 2+(a −1)x +3是偶函数，则函数f(2x +1)的值域为______________三、解答题（本大题共4小题，共40.0分）17. 已知向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−2)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,−1)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m,m +1)．(1)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求实数m 的值；(2)若△ABC 为直角三角形，求实数m 的值．18. 已知(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间(2)若关于x 的方程f(x)−k =0在区间上有解，求k 的取值范围19. 在某海域A 处正东方向相距80海里的B 处有一艘客轮遇险，在原地等待救援．信息中心立即把消息告知在其南偏西30∘，相距40海里的C 处的救援船，救援船立即朝北偏东θ角的方向沿直线CB 前往B 处救援．(1)若救援船的航行速度为60海里/小时，求救援船到达客轮遇险位置的时间；(2)求tanθ的值．20.设f(x)是定义在R上且以2为周期的函数，当x∈(−1,1)时，f(x)=x2.求x∈(1,3)时，f(x)的表达式．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合三角函数的公式是解决本题的关键． 解：当x =π6时，sinx =sin π6=12， 当x =5π6时，满足sinx =12，则x =π6不成立， 即“sin x =12”是“x =π6”的必要不充分条件． 故选B ．2.答案：C解析：本题考查了平面向量的数量积运算与两向量夹角的计算，是基础题． 通过向量的数量积运算与平面向量夹角的范围，即可求出夹角θ的大小． 解：设a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为θ，∵a ⃗ ⊥(a ⃗ −b⃗ )，即a ⃗ ·(a ⃗ −b ⃗ )=0， ，∴cosθ=|a ⃗ ||b⃗ |=√22， 由于θ∈[0,π]， ∴θ=π4．故选C ．3.答案：A解析：本题考查了二倍角公式及应用，先求余弦值，再代入公式，属于基础题． 解：∵sinθ=45，sinθcosθ<0， ∴cosθ=−√1−sin 2θ=−35， ∴sin2θ=2sinθcosθ=−2425．故选A ．4.答案：C解析：本题考查函数奇偶性以及单调性的判定，属于基础题． 利用函数的性质即可求解．解：f(x)={√x,x ≥0,√−x,x <0为偶函数，且在区间[−3,−1]上单调递减；f(x)=ln |x|为偶函数，且在区间[−3,−1]上单调递减； f(x)=−x 4为偶函数，且在区间[−3,−1]上单调递增； f(x)=−1x 为奇函数，且在区间[−3,−1]上单调递增； 故选C ．5.答案：A解析：解：∵偶函数f(x)在(−∞,0]上是增函数， ∴函数f(x)在[0,+∞)上是减函数， a =f(log 215)=f(−log 25)=f(log 25)，b =f(log 123)=f(−log 23)=f(log 23)，∵0<2−0.8<1<log 23<2<log 25， ∴f(2−0.8)>f(log 23)>f(log 25)， 即c >b >a ， 故选：A ．根据函数奇偶性和单调性的性质，以及对数和指数幂的性质进行转化求解即可．本题主要考查函数值的大小比较，结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化是解决本题的关键．6.答案：B解析：本题考查正切函数的单调性及运用：求值域，考查运算能力，属于基础题． 由正切函数的单调性可知，函数y =tanx 在上都是增函数，即可得到值域．解：函数y =tanx 在上都是增函数， 当时，y =1，当时，y =−1，则有y ≥1或y ≤−1． 则值域为(−∞,−1]∪[1,+∞)． 故选B ．7.答案：A解析：本题考查向量的加减运算，考查了平面向量的基本定理及其应用，考查运算能力，属于中档题． 解：在平行四边形ABCD 中，点E 满足DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， AE⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+μ(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(λ−μ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ+μ)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， (λ−μ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ+μ)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 可得λ+μ=1． 故选A ．8.答案：A解析：本题考查了函数y =Asin(ωx +φ)的图象和性质，属于中档题． 根据周期算出ω，然后根据f(−x)=f(x)求出ϕ． 解：由于f(x)=√2sin(ωx +ϕ+π4) (ω>0,|ϕ|<π2)， 由于该函数的最小正周期为π=2πω，得出ω=2，又根据f(−x)=f(x)，以及|ϕ|<π2，得出ϕ=π4． 因此，f(x)=√2sin(2x +π2)，若x ∈(0,π2)，则2x +π2∈(π2,3π2)，从而f(x)在(0,π2)单调递减， 若x ∈(π4,3π4)，则2x +π2∈(π,2π)， 此时函数f(x)不是单调的， 故B,C,D 都错， 故选A ．9.答案：B解析：本题考查函数图象及函数定义域，分析函数的定义域及特殊点的函数值即可求解.属基础题．解： 因为函数y =sinx 1−x的定义域为(−∞,1)∪(1,+∞)，所以排除A ，D ， 又当x =0时，y =0， 所以排除C ． 故选B ．10.答案：A解析：因为AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，又因为AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R)，所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +4μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由于三点B,M,C 共线，所以4λ+4μ=1，从而λ+μ的值为14，故选A ．11.答案：(−1,1)∪(1,+∞)解析：本题主要考查函数的定义域，以及对数函数的性质，根据题意列出关于x 的式子，解出即可得到结果．解：要使函数有意义，需满足：{1−x ≠0x +1>0，解得x >−1且x ≠1，∴函数的定义域为：(−1,1)∪(1,+∞)． 故答案为(−1,1)∪(1,+∞)．12.答案：2√3−√56解析：解：∵△ABC 中，sinA =23，cosB =12， ∴B =60°，假设A 为钝角，sinA =23>sin120°=√32，则A >120°，这与三角形的内角和为180°相矛盾，∴A 为锐角 ∴cosA =√53，sinB =√32， 当cosA =√53时，cosC =−cos(A +B)=−cosAcosB +sinAsinB =−√53×12+23×√32=2√3−√56，故答案为：2√3−√56利用同角三角函数的基本关系求出cos A ，sin B ，再由cosC =−cos(A +B)=−cosAcosB +sinAsinB 求出结果．本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的余弦公式的应用，属于中档题．13.答案：−1解析：解：由cos2α+sin(π2+α)cos(3π2−α)=cos 2α−sin 2α−cosαsinαsin 2α+cos 2α=1−tan 2α−tanαtan 2α+1，∵tanα=2，∴cos2α+sin(π2+α)cos(3π2−α)=1−4−24+1=−1．故答案为：−1．利用诱导公式和二倍角公式化简，构造tanα，可得答案．本题主要考察了同角三角函数关系式和诱导公式和二倍角公式化简应用，属于基本知识的考查．14.答案：(2,4)解析：【分析】本题考查对数函数，指数函数及复合函数的单调性，属于基础题．根据题意令u =2−ax(a >0)在[0,1]上是减函数，可知y =log a u 是增函数，即可得到a >1，结合2−a >0以及指数函数的性质，即可求解2a 的取值范围． 【解答】解：因为y =log a (2−ax)在[0,1]上单调递减， u =2−ax(a >0)在[0,1]上是减函数， 所以y =log a u 是增函数， 所以a >1，又2−a >0， 所以1<a <2， 2<2a <4． 故答案为(2,4)15.答案：③解析：本题考查了基本不等式的性质，考查了灵活解决问题的能力，属于基础题．解：对于①，lg(x 2+14)>lgx(x >0)等价于x 2+14>x ，即(x −12)2>0，故得x ≠12，而题设x >0，当x =12时不成立；对于②，sinx +1sinx ≥2(x ≠kπ,k ∈Z)当且仅当sin 2x =1时取等号，此时x =kπ2，与题设x ≠kπ2,k ∈Z 矛盾，所以不成立；对于③，x 2+1≥2|x|(x ∈R)等价于|x|+1|x|≥2，当且仅当x =±1时取等号，故成立； 对于④，1x 2+1<1(x ∈R)等价于x 2+1<1，即x 2<0，无解，故不成立． 故答案为③．16.答案：解析：本题考查函数单调性、奇偶性及函数值域，属于基础题.根据函数f(x)是偶函数，求出a 的值，在利用换元法即可求出函数值域．解：∵f(x)=(a −2)x 2+(a −1)x +3是偶函数，∴f(−x)=f(x)，则(a −2)x 2−(a −1)x +3=(a −2)x 2+(a −1)x +3，即a −1=0，解得a =1，所以f (x )=x 2+3，所以f (2x +1)=(2x +1)2+3=22x +2×2x +4，令2x =t(t >0)，则f(t)=t 2+2t +4，对称轴为t =−1，所以f(t)在(0,+∞)为增函数，最小值4， 故值域为故答案为．17.答案：解：(1)因为向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−2),OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,−1)， 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1)． 因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m,m +1)，所以3(m +1)−m =0．所以m =−32．(2)由(1)可知，AB⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m −1,m +3)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(m −4,m +2)．因为△ABC 为直角三角形，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 或AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ．当AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC⃗⃗⃗⃗⃗ 时，有3(m −1)+m +3=0，解得m =0； 当AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 时，有3(m −4)+m +2=0，解得m =52； 当AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 时，有(m −1)(m −4)+(m +3)(m +2)=0，解得m ∈⌀．所以实数m 的值为0或52．解析：(1)通过AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用平行的充要条件，列出关系式即可求实数m 的值；(2)利用三角形的直角的可能性，通过向量的数量积为0，求实数m 的值．本题考查向量的数量积的运算，向量的垂直与平行关系的应用，考查计算能力．18.答案：解：(1)由题意，．故f(x)的最小正周期为， 由，解得．故f(x)的单调递增区间为； (2)由(1)可知，， ，，， 此时． 又因为方程f(x)−k =0有解，故k ∈[0,3]．故实数k 的取值范围为[0,3]．解析：本题考查三角函数的恒等变形以及正弦，余弦函数的图象与性质，属于中档题.熟练掌握三角函数的两角和与差公式，二倍角公式是解题的关键．(1)通过三角函数的恒等变形，得出，可求出f(x)的最小正周期和单调递增区间； ，，，则可求得k 的取值范围． 19.答案：解：(1)在图中的△ABC 中，AB =80，AC =40，∠BAC =120°，由余弦定理可知：BC 2=AB 2+AC 2−2AB ·AC ·cos120°，即BC 2=802+402−2⋅80⋅40⋅(−12)=11200，故BC =40√7，故救援船到达客轮遇险位置所需时间为40√760=2√73小时． (2)在△ABC 中，由正弦定理可得AB sin∠ACB =BC sin∠BAC ⇒sin∠ACB =AB BC sin∠BAC =√217， 显然∠ACB 为锐角，故cos∠ACB=2√77，tan∠ACB=√32，而θ=∠ACB+30°.故tanθ=tan(∠ACB+30∘)=tan∠ACB+tan30∘1−tan30∘tan∠ACB =5√33．解析：本题主要考查解三角函数的应用问题．(1)直接利用余弦定理求出BC的值即可;(2)根据正弦定理以及同角三角函数关系求出∠BAC的正弦以及余弦，而θ=∠ACB+30°，再根据两角和与差的三角函数关系求值即可．20.答案：本题主要考查利用函数的周期推导函数的解析式．解：当x∈(1,3)时，x−2∈(−1,1)，又因为函数f(x)是定义在R上且以2为周期的函数，所以当x∈(1,3)时，f(x)=f(x−2)=(x−2)2．解析：本题考查了函数的基本性质(周期)的运用．属于基础题．。
北京市首都师范大学附属中学2019_2020学年高一数学上学期期末考试试题含解析
【解析】
【分析】
计算得到 ，再利用和差公式计算得到答案.
【详解】 ,则 .
.
故答案为： .
【点睛】本题考查了同角三角函数关系，和差公式，意在考查学生的计算能力.
13.已知tan（3π+α）＝2,则 _____。
【答案】2
【解析】
【分析】
计算 ,化简得到原式 ，计算得到答案。
【详解】 。
原式 .
中，根据余弦定理求得 ，
∴ ．
(Ⅱ)由已知可得 ,
∴ ．
中，由正弦定理可得 ,
∴ 分钟．
即海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛 ．
【点睛】本题考查了正余弦定理的实际应用,意在考查学生的建模能力,实际应用能力和计算能力.
20。f（x）是定义在D上的函数，若对任何实数α∈（0，1)以及D中的任意两数x1，x2，恒有f（αx1+（1﹣α)x2）≤αf（x1）+（1﹣α）f（x2),则称f（x）为定义在D上的C函数。
根据 和 之间能否推出的关系，得到答案。
【详解】由 可得 ，
由 ，得到 或 , ，不能得到 ,
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件,
故选A.
【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，属于简单题.
2。已知向量 , 在正方形网格中的位置如图所示，那么向量 , 的夹角为（ ）
A. 45°B. 60°C. 90°D. 135°
3。设 为第三象限角， ，则 （ ）
A. B. C。 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由同角关系求得 ，再由正弦的二倍角公式变形后求值．
【详解】∵设 为第三象限角， ,∴ ，
∴ ．
故选:D．
北京师大附中2019-2020学年高一数学上学期期末考试新人教A版
北京师大附中2019—2020学年度第一学期期末考试高一数学试卷第Ⅰ卷（模块卷）说明：1．本试卷分第I 卷（模块卷，100分）和第II 卷（综合卷，50分）两部分，共150分，考试时间120分钟．2．请将答案填写在答题纸上，考试结束后，监考人员只将答题纸收回．一、 选择题（4＇×10＝40分）：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填写在答题纸上．1．角α的终边上有一点)2,1(-，则αsin = （ ）A.55-B.552-C.55D.552 2．已知1sin ,tan 03αα= <，则cos α的值是 ( ）(A ) 13-(B )13(C ) 3-(D )33．已知向量a ＝（3,4），b ＝（sin α，cos α），且a //b ，则tan α＝ （ ）（A ）43 (B)－43 (C)34 (D) －344．如果奇函数)(x f 在区间[3，7]上是增函数且最大值为5，那么)(x f 在区间]3,7[--上是（ ）A. 增函数且最小值是5-B.增函数且最大值是5-C. 减函数且最大值是5-D.减函数且最小值是5- 5．已知函数)5sin(3π+=x y 的图像为C ，为了得到函数)5sin(3π-=x y 的图像，只需把C 上所有的点（ ）A ．向左平行移动5π个单位； B ．向右平行移动5π个单位 C ．向左平行移动52π个单位 D ．向右平行移动52π个单位6．已知扇形的周长是6cm ，面积是2cm 2，则扇形的中心角的弧度数是 （ ）A.1B.1或4；C.4D.2或4 7．函数sin()(0)62y x x ππ=+≤≤的值域是 ( )A.[1,1]-B. 1[,1]2C. 1[2D. 8．如图，□ABCD 中，＝，＝，则下列结论中正确的是 （ ）（A ）AB ＋BD ＝a －b （B ）BC ＋AC ＝b （C ）BD ＝a ＋b（D ）AD －BA ＝a ＋b9．下列说法：①若0,a b a c a b c ⋅=⋅≠=且则 ②若0,0,0a b a b ⋅===则或 ③△ABC 中，若AB BC 0⋅>，则△ABC 是锐角三角形 ④△ABC 中，若AB BC 0⋅=，则△ABC 是直角三角形其中正确的个数是 （ ） (A )0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) 3 10．函数x x f sin )(2=对于R x ∈，都有)()()(21x f x f x f ≤≤，则21x x -的最小值为（ ） A ．4π B ． 2πC ． πD ． π2 二、填空题（4＇×5＝20分）：请将答案填在答题纸上．11．设向量a 与b的夹角为θ，且)3,3(=a ，)2,1(b ，则=θcos ______．12．函数⎩⎨⎧->-≤+=)1(,)1(,2)(2x x x x x f ，则((2))f f -= ；()3,f x =则x= ___. 13．已知向量a =(2,0)， b =(1,)x ，且a 、b 的夹角为3π，则x =_______． 14．（1）计算：16cos()3π-=___________________； （2）已知1sin 2α=，]2,0[πα∈，则=α___________ 15．已知52cos()3sin()22tan 2,4sin(2)9cos()x x x x x ππππ--+= =-++则_________．北京师大附中2019——2020学年度第一学期期末考试高 一 数 学 试 卷（答题纸）班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______二、填空题11．______________________________ 12．______________；________________ 13．______________________________ 14．_______________；_______________ 15．______________________________三、解答题16. 已知向量b a ,满足：||1,||2||7a b a b = =＝，－．（1）求|2|;a b －（2）若(2)a b ka b +⊥)（－，求实数k 的值．17. 已知函数m x x f ++=)42sin(2)(π的图象经过点,24π⎛⎫⎪⎝⎭． （Ⅰ）求实数的m 值；（Ⅱ）求函数()f x 的最大值及此时x 的值的集合； （III ）求函数()f x 的单调区间.18. 已知函数()sin(3)(0,(,),0f x A x A x ϕϕπ=+>∈-∞+∞<<在12x π=时取得最大值4．(1) 求()f x 的最小正周期； (2) 求()f x 的解析式； (3) 若f (23α +12π)=125,求cos2α．北京师大附中2019——2020学年度第一学期期末考试高 一 数 学 试 卷第II 卷（综合卷）班级_______ 姓名_______ 学号_______一、填空题（5＇×2＝10分）1．函数]65,3[,3sin 2cos )(2ππ∈++=x x x x f 的最小值是_________．2．已知集合{}2log 2,(,)A x x B a =≤=-∞，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是 ．二、解答题（共40分）3．在平面直角坐标系xOy 中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。
2019-2020学年北京市首都师范大学附属中学高一第一学期期末考试数学试题及答案
2019-2020学年北京市首都师范大学附属中学高一第一学期期末考试数学试题及答案一、单选题 1．“6πθ=”是“1sin 2θ=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】根据6πθ=和1sin 2θ=之间能否推出的关系，得到答案. 【详解】 由6πθ=可得1sin 2θ=， 由1sin 2θ=，得到26k πθπ=+或526k πθπ=+，k ∈Z ，不能得到6πθ=，所以“6πθ=”是“1sin 2θ=”的充分不必要条件， 故选：A. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，属于简单题.2．已知向量a ，b 在正方形网格中的位置如图所示，那么向量a ，b 的夹角为（ ）A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°【答案】A【解析】根据向量的坐标表示，求得,a b 的坐标，再利用向量的夹角公式，即可求解． 【详解】由题意，可得()3,1a =，()1,2b =， 设向量a ，b 的夹角为θ，则32cos 29114a b a bθ⋅===+⋅+⋅，又因为0180θ︒≤≤︒，所以45θ=︒． 故选：A . 【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，以及向量夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的坐标表示，利用向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3．设θ为第三象限角，3sin 5θ=-，则sin 2θ=（ ） A ．725-B ．725C ．2425- D ．2425【答案】D【解析】由同角关系求得cos θ，再由正弦的二倍角公式变形后求值． 【详解】∵设θ为第三象限角，3sin 5θ=-，∴2234cos 1sin 1()55θθ=--=---=-，∴3424sin 22sin cos 2()()5525θθθ==⨯-⨯-=． 故选：D ． 【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查正弦的二倍角公式．在用同角间的三角函数关系求值时一定要确定角的范围，从而确定函数值的正负．4．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，设()4log 7a f =， 12log 3b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0.60.2c f -=，则,,a b c 的大小关系是 ( ) A ．c a b << B ．c b a << C ．b c a << D ．a b c <<【答案】B【解析】因为()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，所以()f x 在[0,)+∞上是减函数，又因为12log 3b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭0.60.624422=(log 3),log 7log 9log 3,0.252log 3f -==>，所以c b a <<，选B. 5．函数cos tan y x x =⋅（302x π≤<且2x π≠）的图像是下列图像中的（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】将函数表示为分段函数的形式，由此确定函数图像. 【详解】依题意，3sin ,0,22cos tan sin ,.2x x x y x x x x πππππ⎧≤<≤<⎪⎪=⋅=⎨⎪-<<⎪⎩或.由此判断出正确的选项为C. 故选C. 【点睛】本小题主要考查三角函数图像的识别，考查分段函数解析式的求法，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题. 6．如图，正方形ABCD 中,E 为DC 的中点,若AD AC AE λμ=+,则λμ-的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．3-【答案】D 【解析】【详解】因为E 是DC 的中点，所以1()2AE AC AD =+，∴2AD AC AE =-+，∴1,2λμ=-=，123λμ-=--=-． 【考点】平面向量的几何运算7．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0>ω，0ϕπ<<）的最小正周期是π，将函数()f x 的图象向左平移6π个单位长度后所得的函数图象过点()0,1P ，则函数()()sin f x x ωϕ=+（ ）A ．有一个对称中心,012π⎛⎫⎪⎝⎭B ．有一条对称轴6x π=C ．在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 【答案】B【解析】由题()()2sin 2f x x ωϕ==+，，平移后得到的函数是sin(2)3y x πϕ=++，其图象过点(0,1)P ,sin()13πϕ∴+=，因为0ϕπ<<，6πϕ∴=，()sin(2)6f x x π=+,故选B.点睛：本题考查的是sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象及性质.解决本题的关键有两点:一是图象向左平移变换时要弄清是加还是减，是x 加减，还是2x 加减，另一方面是根据图象过点()0,1P 确定ϕ的值时，要结合五点及0ϕπ<<确定其取值，得到函数的解析式，再判断其对称性和单调性. 8．对于函数f （x ），若存在区间M ＝[a ，b ]（a ＜b ）使得{y |y ＝f （x ），x ∈M }＝M ，则称区间M 为函数f （x ）的一个“稳定区间，给出下列四个函数： ①f （x ）221x x =+，②f （x ）＝x 3，③f （x ）＝cos 2πx ，④f（x ）＝tanx其中存在“稳定区间”的函数有（ ）A ．①②③B ．②③C ．③④D ．①④【答案】A【解析】根据函数的单调性依次计算每个函数对应的值域判断得到答案. 【详解】 ①f （x ）221xx =+，取[]0,1M =时，如图所示：函数在M 上单调递增，且()()00,11f f ==，故满足；②f （x ）＝x 3，函数单调递增，取[]0,1x M ∈=，[]30,1x M ∈=，故满足；③f （x ）＝cos 2πx ，函数在[]0,1M =上单调递减，()()01,10f f ==，故满足；④f （x ）＝tanx ，函数在每个周期内单调递增，tan x x =在每个周期内没有两个交点，如图所示，故不满足； 故选：A .【点睛】本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生的综合应用能力和理解能力.9．延长正方形CD AB 的边CD 至E ，使得D CD E =．若动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，若λμAP =AB +AE ，下列判断正确的是（ ）A ．满足2λμ+=的点P 必为CB 的中点 B ．满足1λμ+=的点P 有且只有一个C ．λμ+的最小值不存在D ．λμ+的最大值为3 【答案】D【解析】试题分析：设正方形的边长为1，建立如图所示直角坐标系，则,,,,A B C D E 的坐标为(0,0),(1,0),(1,1),(0,1),(1,1)-，则(1,0),(1,1)AB AE ==-设(,)AP a b =，由λμAP =AB +AE 得(,)(,)a b λμμ=-，所以{a b λμμ=-=，当P 在线段AB 上时，01,0a b ≤≤=，此时0,a μλ==，此时a λμ+=，所以01λμ≤+≤；当P 在线段BC 上时，，此时,1b a b μλμ==+=+，此时12b λμ+=+，所以13λμ≤+≤；当P 在线段CD 上时，，此时1,1a a μλμ==+=+，此时2a λμ+=+，所以13λμ≤+≤；当P 在线段DA 上时，0,01,a b =≤≤，此时,b a b μλμ==+=，此时2b λμ+=，所以02λμ≤+≤；由以上讨论可知，当2λμ+=时，P 可为BC 的中点，也可以是点D ，所以A 错；使1λμ+=的点有两个，分别为点B 与AD 中点，所以B 错，当P 运动到点A 时，λμ+有最小值0，故C 错，当P 运动到点C 时，λμ+有最大值3，所以D 正确，故选D ．【考点】向量的坐标运算．【名师点睛】本题考查平面向量线性运算，属中档题．平面向量是高考的必考内容，向量坐标化是联系图形与代数运算的渠道，通过构建直角坐标系，使得向量运算完全代数化，通过加、减、数乘的运算法则，实现了数形的紧密结合，同时将参数的取值范围问题转化为求目标函数的取值范围问题，在解题过程中，还常利用向量相等则坐标相同这一原则，通过列方程（组）求解，体现方程思想的应用．二、多选题10．下列函数既是偶函数，又在(),0-∞上单调递减的是（ ） A ．2xy =B ．23y x -=C ．1y xx =-D ．()2ln 1y x =+【答案】AD【解析】对选项逐一分析函数的奇偶性和在区间(),0-∞上的单调性，由此判断正确选项. 【详解】对于A 选项，2x y =为偶函数，且当0x <时，122x x y -==为减函数，符合题意.对于B 选项，23y x -=为偶函数，根据幂函数单调性可知23y x -=在(),0-∞上递增，不符合题意.对于C 选项，1y x x =-为奇函数，不符合题意. 对于D 选项，()2ln 1y x=+为偶函数，根据复合函数单调性同增异减可知，()2ln 1y x =+在区间(),0-∞上单调递减，符合题意. 故选：AD. 【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题.三、填空题 11．函数()()21log 3f x x =-的定义域为_________.【答案】()()3,44,⋃+∞【解析】根据对数真数大于零，分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数()f x 的定义域. 【详解】依题意有3031x x ->⎧⎨-≠⎩，解得()()3,44,x ∈⋃+∞.故答案为：()()3,44,⋃+∞ 【点睛】本小题主要考查具体函数定义域的求法，考查对数的性质，属于基础题.12．在△ABC 中，cosA 35=，cosB 45=，则cosC ＝_____. 【答案】0【解析】计算得到43sin ,sin 55A B ==，再利用和差公式计算得到答案. 【详解】34cos ,cos 55A B ==，则43sin ,sin 55A B ==.()()cos cos cos sin sin cos cos 0C A B A B A B A B π=--=-+=-=.故答案为：0. 【点睛】本题考查了同角三角函数关系，和差公式，意在考查学生的计算能力.13．已知tan （3π+α）＝2，则()()()()3222sin cos sin cos sin cos ππαππααααπα⎛⎫⎛⎫-+-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--++_____.【答案】2【解析】计算tan 2α=，化简得到原式tan tan 1αα=-，计算得到答案. 【详解】()tan 3tan 2παα+==.原式sin cos cos 2sin sin tan 2sin cos sin cos tan 1ααααααααααα--++====---.故答案为：2. 【点睛】本题考查了诱导公式化简，齐次式，意在考查学生的计算能力.14．若函数y ＝log a （2﹣ax ）在区间（0，1）上单调递减，则a 的取值范围为_____. 【答案】(]1,2【解析】确定函数2y ax =-单调递减，再根据复合函数单调性和定义域得到答案. 【详解】0a >，故函数2y ax =-单调递减，函数y ＝log a （2﹣ax ）在区间（0，1）上单调递. 故1a >，且满足20a -≥，故12a <≤. 故答案为：(]1,2. 【点睛】本题考查了根据函数的单调性求参数，忽略掉定义域的情况是容易发生的错误.15．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C （单位：mg /L ）随时间t （单位：h ）的变化关系为2204tC t =+，则经过_______h 后池水中药品的浓度达到最大. 【答案】2【解析】C ＝2202020444t t t t=≤++＝5当且仅当4t t =且t ＞0，即t ＝2时取等号【考点】基本不等式，实际应用 16．已知函数π()sin 2f x x=，任取t ∈R ，记函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值为,t M 最小值为 t m 记()t t h t M m =-. 则关于函数()h t有如下结论： ①函数()h t 为偶函数； ②函数()h t 的值域为2[1,1]2-；③函数()h t 的周期为2；④函数()h t 的单调增区间为13[2,2],22k k k ++∈Z.其中正确的结论有____________.（填上所有正确的结论序号） 【答案】③④.【解析】试题分析：因为44(4)t t h t M m +++=-，其中44t t M m ++、分别是指函数()f x 在区间[4,5]t t ++上的最大值、最小值，注意到函数π()sin 2f x x =是最小正周期为242ππ=的函数，所以()f x 在区间[4,5]t t ++的图像与在[,1]t t +的图像完全相同，所以44,t t t t M M m m ++==，所以(4)()t t h t M m h t +=-=，所以函数()h t 的一个周期为4，对该函数性质的研究，只须先探究[2,2]t ∈-的性质即可.根据π()sin 2f x x =的图像（如下图（1））与性质可知当2 1.5t -≤<-时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为1-，最大值为()sin2f t t π=，此时()sin12h t t π=+当 1.51t -≤<-时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为1-，最大值为(1)sin[(1)]cos 22f t t t ππ+=+=，此时()cos 12h t t π=+；当10t -≤<时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为()sin 2f t t π=，最大值为(1)sin[(1)]cos 22f t t t ππ+=+=，此时()cos sin 22h t t t ππ=-；当102t ≤<时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为()sin 2f t t π=，最大值为1，此时()1sin 2h t t π=-；当112t ≤<时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为(1)sin[(1)]cos 22f t t t ππ+=+=，最大值为1，此时()1cos 2h t t π=-；当12t ≤≤时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为(1)sin[(1)]cos 22f t t t ππ+=+=，最大值为()sin2f t tπ=，此时()sincos22h t t t ππ=-作出()h t 的图像，如下图（2）所示综上可知，该函数没有奇偶性，函数的值域为22[1,122-+，从图中可以看到函数的最小正周期为2，函数的单调递增区间为13[2,2],22k k k Z ++∈，故只有③④正确.【考点】1.三角函数的图像与性质；2.分段函数.四、解答题17．已知不共线向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝2，（2-a 3b ）•（2a b +）＝20. （1）求a •b ；（2）是否存在实数λ，使λa b +与-a 2b 共线？ （3）若（k a +2b ）⊥（-a kb ），求实数k 的值. 【答案】（1）1；（2）存在，12λ=-；（3）1k =-或2k = 【解析】（1）利用向量运算法则展开计算得到答案. （2）假设存在实数λ，使λa b +与-a 2b 共线，则()2a b m a bλ+=-，计算得到答案.（3）计算（k a +2b ）•（-a kb ）＝0，展开计算得到答案. 【详解】（1）向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝2，（2-a 3b ）•（2a b +）＝20，所以42-a 4a •b -32=b 4×9﹣4a •b -3×4＝20，解得a •b =1； （2）假设存在实数λ，使λa b +与-a 2b 共线，则()2a b m a bλ+=-，故,12m m λ==-，12λ=-. 即存在λ12=-，使得λa b +与-a 2b 共线；（3）若（k a +2b ）⊥（-a kb ），则（k a +2b ）•（-a kb ）＝0，即k 2+a （2﹣k 2）a •b -2k 2=b 0，所以9k +（2﹣k 2）×1﹣2k •4＝0，整理得k 2﹣k ﹣2＝0，解得k ＝﹣1或k ＝2. 【点睛】本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力.18．已知函数f （x ）＝cosx （acosx ﹣sinx ）a ∈R ），且f（3π）=（1）求a 的值；（2）求f （x ）的单调递增区间；（3）求f （x ）在区间[0，2π]上的最小值及对应的x 的值.【答案】（1）a =（2）511,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（3）512x π=时，取得最小值1-【解析】（1）代入数据计算得到答案.（2）化简得到()cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，计算2222,6k x k k πππππ+≤+≤+∈Z 得到答案.（3）计算2x 6π+∈[6π，76π]，再计算最值得到答案.【详解】（1）∵f （x ）＝cosx （acosx ﹣sinx ）a ∈R ），且f （3π）=∴f（3π）12=（12a -=解得a =（2）由（1）可得f （x ）＝cosxcosx ﹣sinx ）=2x﹣sinxcosx 12122cos x +=-sin 2x =cos （2x 6π+），令2k π+π≤2x 6π+≤2k π+2π，k ∈Z ，解得：k π512π+≤x ≤k π1112π+，k ∈Z ， 可得f （x ）的单调递增区间为：[k π512π+，k π1112π+]，k ∈Z ，（3）∵x ∈[0，2π]，可得：2x 6π+∈[6π，76π]，∴当2x 6π+=π，即x 512π=时，f （x ）＝cos （2x 6π+）取得最小值为﹣13-.2【点睛】本题考查了三角函数的求值，单调性和值域，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.19．如图所示，近日我渔船编队在岛A周围海域作业，在岛A的南偏西20°方向有一个海面观测站B，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与B相距31海里的C处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西40°方向，以40海里/小时的速度向岛A直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达D处，此时观测站测得,B D间的距离为21海里．(Ⅰ)求sin BDC∠的值；(Ⅱ)试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛A？【答案】（Ⅰ43；（Ⅱ）海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛A.【解析】(Ⅰ) 在BDC中，根据余弦定理求得余弦值，再求正弦值得到答案.(Ⅱ)首先利用和差公式计算sin ABD∠，ABD△中，由正弦定理可得AD 长度，最后得到时间. 【详解】(Ⅰ)由已知可得140202CD =⨯=， BDC 中，根据余弦定理求得2222120311cos 221207BDC +-∠==-⨯⨯，∴sin BDC ∠=．(Ⅱ)由已知可得204060BAD ∠=︒+︒=︒，∴116072721)4(sin ABD sin BDC ⎛⎫∠=∠-︒=--⨯= ⎪⎝⎭．ABD △中，由正弦定理可得sin 21sin 15sin sin BD ABD ABDAD BAD BAD ⨯∠⨯∠===∠∠，∴156022.540t =⨯=分钟． 即海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛A ． 【点睛】本题考查了正余弦定理的实际应用，意在考查学生的建模能力，实际应用能力和计算能力.20．f （x ）是定义在D 上的函数，若对任何实数α∈（0，1）以及D 中的任意两数x 1，x 2，恒有f （αx 1+（1﹣α）x 2）≤αf （x 1）+（1﹣α）f （x 2），则称f （x ）为定义在D 上的C 函数.（1）试判断函数f 1（x ）＝x 2，()()210f x x x =＜中哪些是各自定义域上的C 函数，并说明理由；（2）若f （x ）是定义域为R 的函数且最小正周期为T ，试证明f （x ）不是R 上的C 函数.【答案】（1）()21f x x =是C 函数，()()210f x x x =<不是C 函数，理由见解析；（2）见解析【解析】（1）根据函数的新定义证明f 1（x ）＝x 2是C 函数，再举反例得到()()210f x x x =＜不是C 函数，得到答案. （2）假设f （x ）是R 上的C 函数，若存在m ＜n 且m ，n ∈[0，T ），使得f （m ）≠f （n ，讨论f （m ）＜f （n ）和f （m ）＞f （n ）两种情况得到证明. 【详解】（1）对任意实数x 1，x 2及α∈（0，1），有f 1（αx 1+（1﹣α）x 2）﹣αf 1（x 1）﹣（1﹣α）f 1（x 2）＝（αx 1+（1﹣α）x 2）2﹣αx 12﹣（1﹣α）x 22＝﹣α（1﹣α）x 12﹣α（1﹣α）x 22+2α（1﹣α）x 1x 2＝﹣α（1﹣α）（x 1﹣x 2）2≤0，即f 1（αx 1+（1﹣α）x 2）≤αf 1（x 1）+（1﹣α）f 1（x 2）， ∴f 1（x ）＝x 2是C 函数；()()210f x x x=＜不是C 函数，说明如下（举反例）：取x 1＝﹣3，x 2＝﹣1，α12=， 则f 2（αx 1+（1﹣α）x 2）﹣αf 2（x 1）﹣（1﹣α）f 2（x 2）＝f 2（﹣2）12-f 2（﹣3）12-f 2（﹣1）111262=-++＞0， 即f 2（αx 1+（1﹣α）x 2）＞αf 2（x 1）+（1﹣α）f 2（x 2）， ∴()()210f x x x =＜不是C 函数；（2）假设f （x ）是R 上的C 函数，若存在m ＜n 且m ，n ∈[0，T ），使得f （m ）≠f （n ）. （i ）若f （m ）＜f （n ），记x 1＝m ，x 2＝m +T ，α＝1n mT--，则0＜α＜1，且n ＝αx 1+（1﹣α）x 2，那么f （n ）＝f （αx 1+（1﹣α）x 2）≤αf （x 1）+（1﹣α）f （x 2）＝αf （m ）+（1﹣α）f （m +T ）＝f （m ）， 这与f （m ）＜f （n ）矛盾； （ii ）若f （m ）＞f （n ）， 记x 1＝n ，x 2＝n ﹣T ，α＝1n mT--，同理也可得到矛盾； ∴f （x ）在[0，T ）上是常数函数， 又因为f （x ）是周期为T 的函数，所以f （x ）在R 上是常数函数，这与f （x ）的最小正周期为T 矛盾.所以f （x ）不是R 上的C 函数. 【点睛】本题考查了函数的新定义，意在考查学生的理解能力和综合应用能力.。
【精品高一数学试卷】2019北京高一(上)期末数学+答案
2019北京高一（上）期末数 学一、选择题（本大题共8小题，共40.0分） 1.若sinα=√33，0<α<π2，则cosα=( )A. −√63 B. −12 C. 12D. √632.集合M ={x|x =kπ2+π4,k ∈Z}，N ={x|x =kπ4,k ∈Z}，则( )A. M ⊆NB. N ⊆MC. M ∩N =⌀D. M ∪N =R3.下列命题中正确的是( )A. 共线向量都相等B. 单位向量都相等C. 平行向量不一定是共线向量D. 模为0的向量与任意一个向量平行 4.下列函数为奇函数，且在(−∞,0)上单调递减的是( ) A. f(x)=x −2 B. f(x)=x −1 C. f(x)=log 2 xD. f(x)=3x5.已知函数f(x)=sin(ωx +π4)(x ∈R,ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)=cosωx 的图象，只要将y =f(x)的图象( )A. 向左平移π8个单位长度B. 向右平移π8个单位长度 C. 向左平移π4个单位长度D. 向右平移π4个单位长度6.如图所示，函数y =cosx|tanx|(0≤x <3π2且x ≠π2)的图象是( )A. B.C. D.7.函数y =sinωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现10次最大值，则ω的最小值是( ) A. 10π B. 20π C.37π2D.39π28.设偶函数f(x)=log a |x −b|在(−∞,0)上是增函数，则f(a +1)与f(b +2)的大小关系是( ) A. f(a +1)=f(b +2) B . f(a +1)>f(b +2) C. f(a +1)<f(b +2) D . 不能确定 二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.求值：2log 214−(827) −23+lg 1100+(√2−1)lg1=______．10.已知向量a ⃗ =(1,1)，b ⃗ =(sinx,−cosx)，x ∈(0,π)，若a ⃗ //b⃗ ，则x 的值是______．11.若tanθ=3，则2sin 2θ−sinθcosθ−cos 2θ=______．12.若函数y =cos(ωx +π6)(ω∈N ∗)的一个对称中心是(π6,0)，则ω的最小值是______． 13.函数y =√sin(cosx)的值域是______．14.已知点O 为三角形ABC 内一点，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则S △ABC S △AOC=______． 三、解答题（本大题共5小题，共50.0分） 15.求值：tan150∘cos(−210∘)sin(−420∘)sin1050∘cos(−600∘)．16.已知函数f(x)=log a (1−x)+log a (x +3)，其中a >0且a ≠1．(1)求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)有最小值而无最大值，求f(x)的单调增区间．17.已知g(x)=−x 2−3，f(x)=ax 2+bx +c(a ≠0)，函数ℎ(x)=g(x)+f(x)是奇函数． (1)求a ，c 的值；(2)当x ∈[−1,2]时，f(x)的最小值是1，求f(x)的解析式．18.设函数f(x)=Asin(ωx +φ)(其中A >0，ω>0，−π<φ≤π)在x =π6处取得最大值2，其图象与x 轴的相邻两个交点的距离为π2． (1)求f(x)的解析式； (2)求函数g(x)=6cos 4x−sin 2x−1[f(x 2+π6)]2−2的值域．19.已知函数f(x)的定义域为(0,+∞)，若y =f(x)x在(0,+∞)上为增函数，则称f(x)为“一阶比增函数”；若y =f(x)x 2在(0,+∞)上为增函数，则称f(x)为“二阶比增函数”．我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为Ω1，所有“二阶比增函数”组成的集合记为Ω2． (1)已知函数f(x)=x 3−2ℎx 2−ℎx ，若f(x)∈Ω1且f(x)∉Ω2，求实数h 的取值范围；(2)已知0<a <b <c ，f(x)∈Ω1且f(x)的部分函数值由下表给出，求证：d(2d +t −4)>0；xab c a +b +c f(x) ddt4(3)2x ∈(0,+∞)，f(x)<k}，请问：是否存在常数M ，使得∀f(x)∈ψ，∀x ∈(0,+∞)，有f(x)<M 成立？若存在，求出M 的最小值；若不存在，说明理由．数学试题答案1. 【答案】D 【解析】解：∵sinα=√33，0<α<π2，∴cosα=√1−cos 2α=√1−(√33)2=√63． 故选：D ．由已知利用同角三角函数基本关系式即可计算得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题． 2. 【答案】A【解析】解：∵k ∈Z ； ∴k =2n 或2n +1，n ∈Z ；∴N ={x|x =nπ2,或x =nπ2+π4,n ∈Z}；又M ={x|x =kπ2+π4,k ∈Z}； ∴M ⊆N ． 故选：A ．根据k ∈Z 即可得出k =2n 或2n +1，n ∈Z ，从而得出N ={x|x =nπ2,或x =nπ2+π4,n ∈Z}，从而可得出M ⊆N ，从而选A ．考查描述法表示集合的定义，整数可分为奇数和偶数，奇数表示为x =2n +1，n ∈Z ，偶数表示为x =2n ，n ∈Z ． 3. 【答案】D【解析】解：对于A ，共线向量不一定相等，A 错误；对于B ，单位向量的模长相等，但方向不一定相同，B 错误； 对于C ，平行向量一定是共线向量，C 错误；对于D ，模为0的向量是零向量，它与任意一个向量是平行向量，D 正确． 故选：D ．根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行判断正误即可． 本题考查了平面向量的基本概念与应用问题，是基础题． 4. 【答案】B【解析】解：A.f(x)=x −2=1x 2是偶函数，不满足条件．B.f(x)=x −1=1x 是奇函数，则(−∞,0)上是减函数，满足条件．C.f(x)是非奇非偶函数，不满足条件．D.f(x)是非奇非偶函数，不满足条件． 故选：B ．根据函数奇偶性和单调性的性质进行判断即可．本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见的奇偶性和单调性.比较基础． 5.【答案】A【解析】解：由题知ω=2，所以f(x)=sin(2x +π4)=cos[π2−(2x +π4)]=cos(2x −π4)=cos2(x −π8)，故选：A ．由周期函数的周期计算公式：T =2πω，算得ω=2.接下来将f(x)的表达式转化成与g(x)同名的三角函数，再观察左右平移的长度即可．本题考点定位：本小题考查诱导公式，函数图象的变换，基础题． 6. 【答案】C【解析】解：∵y =cosx|tanx|={sinx,0≤x <π2−sinx,π2<x ≤πsinx,π<x <32π，∴函数y =cosx|tanx|(0≤x ≤3π2且x ≠π2)的图象是C ．故选：C ．根据x 的取值情况分类讨论，去掉|tanx|中的绝对值符号，转化为分段函数，再识图即可．本题考查正切函数与正弦函数的图象，确定绝对值符号是关键，考查分类讨论思想与识图能力，属于中档题． 7. 【答案】C【解析】解：函数y =sinωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现10次最大值，∴9T +T 4≤1<10T ，即9⋅2πω+14⋅2πω≤1<10⋅2πω，求得37π2≤ω<20π，故ω的最小值为37π2， 故选：C ．由题意利用正弦函数的图象和性质可得9T +T 4≤1<10T ，即9⋅2πω+14⋅2πω≤1<10⋅2πω，由此求得ω的最小值．本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题． 8. 【答案】B【解析】解：∵f(x)=log a |x −b|为偶函数，∴b =0 ∵f(x)=log a |x −b|在(−∞,0)上是增函数， ∴0<a <1∴f(x)=log a |x −b|在(0,+∞)上单调递减， ∴0<a +1<b +2 ∴f(a +1)>f(b +2)． 故选：B ．由f(x)=log a |x −b|为偶函数，求出b =0，由f(x)=log a |x −b|在(−∞,0)上是增函数，求出0<a <1，从而f(x)=log a |x −b|在(0,+∞)上单调递减，由此能判断f(a +1)与f(b +2)的大小关系．本题考查两个函数值的大小的判断，考查函数的单调性、函数的奇偶性等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题． 9. 【答案】−3【解析】解：2log 214−(827) −23+lg 1100+(√2−1)lg1=14−[(23)3] −23−2+(√2−1)0 =14−94−2+1 =−3．故答案为：−3．由已知条件利用对数函数、指数函数的性质和运算法则求解．本题考查对数式、指数式的化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数、指数的性质、运算法则的合理运用． 10. 【答案】3π4【解析】解：∵a ⃗ //b ⃗ ； −cosx −sinx =0； ∴sinx +cosx =0；∴(sinx +cosx)2=1+sin2x =0； ∴sin2x =−1； ∵x ∈(0,π)； ∴2x ∈(0,2π)；∴2x =3π2；∴x =3π4．故答案为：3π4． 根据a ⃗ //b ⃗ 即可得出sinx +cosx =0，两边平方即可得出1+sin2x =0，从而得出sin2x =−1，根据x 的范围即可求出2x 的范围，从而求出2x 的值，进而得出x 的值．考查平行向量的坐标关系，sin 2x +cos 2x =1，以及二倍角的正弦公式，已知三角函数值求角．11. 【答案】75【解析】解：∵tanθ=3，∴2sin 2θ−sinθcosθ−cos 2θ=2sin 2θ−sinθcosθ−cos 2θsin 2θ+cos 2θ=2tan 2θ−tanθ−1tan 2θ+1=75．故答案为：75．根据题意，将平方关系代入化为齐次式，再由商的关系将式子转化为关于tanθ式子，代入求值即可．本题考查了同角三角函数的基本关系的灵活应用，即“齐次化切”在求值中的应用，是常考的题型，注意总结． 12. 【答案】2【解析】解：∵函数y =cos(ωx +π6)(ω∈N ∗)的一个对称中心是(π6,0)， ∴ω⋅π6+π6=kπ+π2，k ∈z ，即∴ω=6k +2，故ω的最小值为2，故答案为：2．由题意根据余弦函数的对称性可得ω⋅π6+π6=kπ+π2，k ∈z ，由此ω的最小值．本题主要考查余弦函数的对称性，属于中档题． 13. 【答案】[0,√sin1]【解析】解：∵−1≤cosx ≤1，要使函数有意义则sin(cosx)≥0，则0≤cosx ≤1， 此时0≤sin(cosx)≤sin1， 则0≤√sin(cosx)≤√sin1， 即函数的值域为[0,√sin1]， 故答案为：[0,√sin1].根据根式的意义结合三角函数的有界性进行求解即可．本题主要考查函数的值域的计算，结合根式的应用以及三角函数的有界性是解决本题的关键． 14. 【答案】3【解析】解：如图，取BC 中点D ，AC 中点E ，连接OA ，OB ，OC ，OD ，OE ；OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+2(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +4OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ∴OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； ∴D ，O ，E 三点共线，即DE 为△ABC 的中位线；∴DE =32OE ，AB =2DE ； ∴AB =3OE ；∴S △ABC S △AOC=3．故答案为：3．可作出图形，取BC 的中点D ，AC 的中点E ，并连接OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，根据条件可以得到OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而得出DE 为△ABC 的中位线，这样即可得到AB =3OE ，从而便有S△ABC S △AOC=3．考查向量加法的平行四边形法则，共线向量基本定理，以及向量的数乘运算，向量数乘的几何意义，三角形中位线的定义及性质，三角形的面积公式．15. 【答案】解：由诱导公式可得：tan150∘=tan(180∘−30∘)=−tan30∘=−√33，cos(−210∘)=cos210∘=cos(180∘+30∘)=−cos30∘=−√32， sin(−420∘)=−sin420∘=−sin(360∘+60∘)=−sin60∘=−√32，sin1050∘=sin(3×360∘−30∘)=−sin30∘=−12，cos(−600∘)=cos600∘=cos(3×180∘+60∘)=−cos60∘=−12， ∴原式=−√33⋅(−√32)(−√32)(−12)(−12)=−√3414=−√3．【解析】由条件利用诱导公式求得tan15∘、cos210∘、sin420∘、sin1050∘、cos(−600∘)的值，可得要求式子的值． 本题主要考查诱导公式的应用，特殊角的三角函数值，属于基础题．16. 【答案】解：(1)要使函数有意义，则{x +3>01−x>0，得{x >−3x<1，得−3<x <1， 即函数的定义域为(−3,1)，(2)f (x)=log a (1−x)+log a (x +3)=log a (1−x)(x +3)=log a (−x 2−2x +3)=log a (−(x +1)2+4)，设t =−(x +1)2+4，当−3<x <1时，0<t ≤4，若函数f(x)有最小值而无最大值，则函数ylog a t 为减函数，则0<a <1，要求f(x)的单调增区间，则等价于求t =−(x +1)2+4，在−3<x <1时的减区间， ∵t =−(x +1)2+4的单调递减区间为[−1,1)， ∴f(x)的单调递减区间为[−1,1)．【解析】(1)根据对数函数的成立的条件建立不等式关系即可求出函数的定义域(2)根据复合函数单调性的性质确定0<a <1，结合复合函数单调性的关系进行求解即可． 本题主要考查对数函数的性质，结合复合函数单调性的关系求出a 的范围是解决本题的关键． 17. 【答案】解：(1)(法一)：f(x)+g(x)=(a −1)x 2+bx +c −3， 又f(x)+g(x)为奇函数， ∴ℎ(x)=−ℎ(−x)，∴(a −1)x 2−bx +c −3=−(a −1)x 2−bx −c +3对x ∈R 恒成立，∴{c −3=−c +3a−1=−a+1，解得{c =3a=1；(法二)：ℎ(x)=f(x)+g(x)=(a −1)x 2+bx +c −3， ∵ℎ(x)为奇函数，∴a −1=0，c −3=0， ∴a =1，c =3．(2)f(x)=x 2+bx +3，其图象对称轴为x =−b2， 当−b2≤−1，即b ≥2时，f(x)min =f(−1)=4−b =1，∴b =3；当−1<−b2≤2，即−4≤b <2时， f(x)min =f(−b2)=b 24−b 22+3=1，解得b =−2√2或b =2√2(舍)；当−b2>2，即b <−4时，f(x)min =f(2)=7+2b =1，∴b =−3(舍)， ∴f(x)=x 2+3x +3或∴f(x)=f 2−2√2x +3．【解析】(1)法一：化简ℎ(x)=g(x)+f(x)=(a −1)x 2+bx +c −3，由(a −1)x 2−bx +c −3=−(a −1)x 2−bx −c +3对x ∈R 恒成立得到{c −3=−c +3a−1=−a+1，从而求解，法二：化简ℎ(x)=g(x)+f(x)=(a −1)x 2+bx +c −3，由奇函数可得a −1=0，c −3=0，从而求解； (2)根据二次函数的性质，讨论对称轴所在的位置，从而确定f(x)的最小值在何时取得，从而求f(x)的解析式． 本题考查了函数的奇偶性的应用与及二次函数的最值的求法，属于基础题． 18. 【答案】解：(1)由题意可得：f(x)max =A =2，T 2=π2⇒T =π，于是ω=2πT=2ππ=2，故f(x)=2sin(2x +φ)，由f(x)在x =π6处取得最大值2可得：2×π6+φ=2kπ+π2⇒φ=2kπ+π6(k ∈Z)，又−π<φ<π，故φ=π6，因此f(x)的解析式为f(x)=2sin(2x +π6)．(2)由(1)可得：f(x2+π6)=2sin[2(x2+π6)+π6]=2sin(x +π2)=2cosx ， 故g(x)=6cos 4x−(1−cos 2x)−1(2cosx)2−2=6cos 4x +cos 2x −24cos 2x −2=(3cos 2x +2)(2cos 2x −1)2(2cos 2x −1)=3cos 2x +22=32cos 2x +1，(cos 2x ≠12)， 令t =cos 2x ，可知0≤t ≤1且t ≠12，即cos 2x ∈[0,12)∪(12,1]， 从而g(x)∈[1,74)∪(74,52]，因此，函数g(x)的值域为[1,74)∪(74,52]．【解析】(1)先确定函数的周期，可得ω的值，利用函数f(x)=Asin(ωx +φ)(其中A >0，ω>0，−π<φ<π)在x =π6处取得最大值2，即可求得f(x)的解析式；(2)由三角函数恒等变换的应用化简可得g(x)=32cos 2x +1，(cos 2x ≠12)，由cos 2x ∈[0,12)∪(12,1]，即可求得函数g(x)的值域．本题主要考查了由y =Asin(ωx +φ)的部分图象确定其解析式，考查三角函数恒等变换的应用，函数的单调性，考查了转化思想和计算能力，正确求函数的解析式是关键，属于中档题． 19. 【答案】(1)解：y =f(x)x=x 2−2ℎx −ℎ，若f(x)∈Ω1，则ℎ≤0；y =f(x)x 2=x −2ℎ−ℎx ，y′=x +ℎx 2，当ℎ≥0，x >0时，y′>0，此时f(x)∈Ω2，不符合题意，舍去；当ℎ<0时，y ′=x 3+ℎx 2，此时函数f(x)x 2在x ∈(0,+∞)有极值点，因此f(x)∉Ω2．综上可得：当ℎ<0时，f(x)∈Ω1且f(x)∉Ω2． 因此h 的取值范围是(−∞,0)．(2)证明：由f(x)∈Ω1，若取0<x 1<x 2， 则f(x 1)x 1<f(x 2)x 2<f(x 1+x 2)x 1+x 2．由表格可知：f(a)=d ，f(b)=d ，f(c)=t ，f(a +b +c)=4， ∵0<a <b <c <a +b +c ， ∴d a <d b <t c <4a+b+c ，∴d <0，d <4aa+b+c ，d <4ba+b+c ，t <4aa+b+c ，∴2d +t <4，∴d(2d +t −4)>0．(Ⅲ)∵集合合ψ={f(x)|f(x)∈Ω2，且存在常数k ，使得任取x ∈(0,+∞)，f(x)<k}， ∴存在f(x)∈ψ，存在常数k ，使得f(x)<k 对x ∈(0,+∞)成立． 我们先证明f(x)≤0对x ∈(0,+∞)成立．假设存在x0∈(0,+∞)，使得f(x0)>0，记f(x0)x02=m>0∵f(x)是二阶比增函数，即f(x)x2是增函数．∴当x>x0时，f(x)x2>f(x0)x02=m>0，∴f(x)>mx2，∴一定可以找到一个x1>x0，使得f(x1)>mx12>k，这与f(x)<k对x∈(0,+∞)成立矛盾．即f(x)≤0对x∈(0,+∞)成立．∴存在f(x)∈ψ，f(x)≤0对x∈(0,+∞)成立．下面我们证明f(x)=0在(0,+∞)上无解．假设存在x2>0，使得f(x2)=0，∵f(x)是二阶增函数，即f(x)x2是增函数．一定存在x3>x2>0，使f(x3)x32>f(x2)x22=0，这与上面证明的结果矛盾．∴f(x)=0在(0,+∞)上无解．综上，我们得到存在f(x)∈ψ，f(x)<0对x∈(0,+∞)成立．∴存在常数M≥0，使得存在f(x)∈ψ，∀x∈(0,+∞)，有f(x)<M成立．又令f(x)=−1x(x>0)，则f(x)<0对x∈(0,+∞)成立，又有f(x)x2=−1x3在(0,+∞)上是增函数，∴f(x)∈ψ，而任取常数k<0，总可以找到一个x n>0，使得x>x n时，有f(x)>k．∴M的最小值为0．【解析】(1)根据：f(x)∈Ω1且f(x)∉Ω2，可得y=f(x)x =x2−2ℎx−ℎ，利用二次函数的单调性可得−−2ℎ2=ℎ≤0；由y=f(f)x2=x−2ℎ−ℎx，y′=x+ℎx2，对h分类讨论可得：当ℎ≥0，此时f(x)∈Ω2；当ℎ<0时，y′=x3+ℎx2，函数f(x)x2在x∈(0,+∞)有极值点，可得f(x)∉Ω2.即可得出．(2)由f(x)∈Ω1，取0<x1<x2<x1+x2，可得f(x1)x1<f(x2)x2<f(x1+x2)x1+x2.由表格可知：f(a)=d，f(b)=d，f(c)=t，f(a+b+c)=4，0<a<b<c<a+b+c，利用“一阶比增函数”可得da <db<tc<4a+b+c，再利用不等式的性质即可得出．(3)根据“二阶比增函数”先证明f(x)≤0对x∈(0,+∞)成立.再证明f(x)=0在(0,+∞)上无解.即可得出．本题考查了函数的单调性、导数的几何意义，掌握导数法在确定函数单调性和最值时的答题步骤是解答的关键，考查了推理能力与计算能力，本题难度较大．。
首都师大附中2019-2020学年上学期高一数学期末考试卷附答案详析
首都师大附中2019-2020学年上学期期末考高一数学试卷一、单选题 1．“6πθ=”是“1sin 2θ=”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．已知向量a v ，b v 在正方形网格中的位置如图所示，那么向量a v ，b v的夹角为（ ）A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°3．设θ为第三象限角，3sin 5θ=-，则sin 2θ=（ ） A ．725-B ．725C ．2425-D ．24254．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，设()4log 7a f =， 12log 3b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0.60.2c f -=，则,,a b c 的大小关系是 ( )A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<5．函数cos tan y x x =⋅（302x π≤<且2x π≠）的图像是下列图像中的（ ） A ．B ．C ．D ．6．如图，正方形ABCD 中,E 为DC 的中点,若AD AC AE λμ=+u u u v u u u v u u u v,则λμ-的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．3-7．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0>ω，0ϕπ<<）的最小正周期是π，将函数()f x 的图象向左平移6π个单位长度后所得的函数图象过点()0,1P ，则函数()()sin f x x ωϕ=+（ ）A ．有一个对称中心,012π⎛⎫⎪⎝⎭B ．有一条对称轴6x π=C ．在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 8．对于函数f （x ），若存在区间M ＝[a ，b ]（a ＜b ）使得{y |y ＝f （x ），x ∈M }＝M ，则称区间M 为函数f （x ）的一个“稳定区间，给出下列四个函数： ∈f （x ）221x x =+，∈f （x ）＝x 3，∈f （x ）＝cos 2πx ，∈f （x ）＝tanx 其中存在“稳定区间”的函数有（ ） A ．∈∈∈B ．∈∈C ．∈∈D ．∈∈9．延长正方形CD AB 的边CD 至E ，使得D CD E =．若动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，若λμAP =AB +AE u u u r u u u r u u u r，下列判断正确的是（ ）A ．满足2λμ+=的点P 必为CB 的中点 B ．满足1λμ+=的点P 有且只有一个C ．λμ+的最小值不存在D ．λμ+的最大值为3 二、多选题10．下列函数既是偶函数，又在(),0-∞上单调递减的是（ ）A ．2xy = B ．23y x-= C ．1y x x=- D ．()2ln 1y x =+三、填空题 11．函数()()21log 3f x x =-的定义域为_________.12．在∈ABC 中，cosA 35=，cosB 45=，则cosC ＝_____.13．已知tan （3π+α）＝2，则()()()()3222sin cos sin cos sin cos ππαππααααπα⎛⎫⎛⎫-+-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--++_____.14．若函数y ＝log a （2﹣ax ）在区间（0，1）上单调递减，则a 的取值范围为_____.15．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C （单位：mg /L ）随时间t （单位：h ）的变化关系为2204tC t =+，则经过_______h 后池水中药品的浓度达到最大. 16．已知函数π()sin 2f x x=，任取t ∈R ，记函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值为,t M 最小值为 t m 记()t t h t M m =-. 则关于函数()h t 有如下结论：∈函数()h t 为偶函数； ∈函数()h t的值域为[12-；∈函数()h t 的周期为2； ∈函数()h t 的单调增区间为13[2,2],22k k k ++∈Z.其中正确的结论有____________.（填上所有正确的结论序号） 四、解答题17．已知不共线向量a r，b r满足|a r|＝3，|b r|＝2，（2-ra 3b r）•（2a b +rr）＝20. （1）求a r •b r；（2）是否存在实数λ，使λa b +rr与-ra 2b r共线？（3）若（k a +r 2b r ）∈（-r r a kb ），求实数k 的值.18．已知函数f （x ）＝cosx （acosx ﹣sinx）a ∈R ），且f （3π）= （1）求a 的值；（2）求f （x ）的单调递增区间； （3）求f （x ）在区间[0，2π]上的最小值及对应的x 的值.19．如图所示，近日我渔船编队在岛A 周围海域作业，在岛A 的南偏西20°方向有一个海面观测站B ，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与B 相距31海里的C 处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西40°方向，以40海里/小时的速度向岛A 直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达D 处，此时观测站测得,B D 间的距离为21海里．(∈)求sin BDC ∠的值；(∈)试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛A ？20．f （x ）是定义在D 上的函数，若对任何实数α∈（0，1）以及D 中的任意两数x 1，x 2，恒有f （αx 1+（1﹣α）x 2）≤αf （x 1）+（1﹣α）f （x 2），则称f （x ）为定义在D 上的C 函数. （1）试判断函数f 1（x ）＝x 2，()()210f x x x=＜中哪些是各自定义域上的C 函数，并说明理由； （2）若f （x ）是定义域为R 的函数且最小正周期为T ，试证明f （x ）不是R 上的C 函数.解析首都师大附中2019-2020学年上学期期末考高一数学试卷一、单选题 1．“6πθ=”是“1sin 2θ=”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】根据6πθ=和1sin 2θ=之间能否推出的关系，得到答案. 【详解】由6πθ=可得1sin 2θ=， 由1sin 2θ=，得到26k πθπ=+或526k πθπ=+，k ∈Z ，不能得到6πθ=， 所以“6πθ=”是“1sin 2θ=”的充分不必要条件， 故选：A. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，属于简单题.2．已知向量a v ，b v 在正方形网格中的位置如图所示，那么向量a v ，b v的夹角为（ ）A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°【答案】A【解析】根据向量的坐标表示，求得,a b r r的坐标，再利用向量的夹角公式，即可求解．【详解】由题意，可得()3,1a =r，()1,2b =r ，设向量a r ，b r的夹角为θ，则cos 2a b a bθ⋅===⋅r r r r ，又因为0180θ︒≤≤︒，所以45θ=︒．故选：A . 【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，以及向量夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的坐标表示，利用向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 3．设θ为第三象限角，3sin 5θ=-，则sin 2θ=（ ） A ．725-B ．725C ．2425-D ．2425【答案】D【解析】由同角关系求得cos θ，再由正弦的二倍角公式变形后求值． 【详解】∵设θ为第三象限角，3sin 5θ=-，∵4cos 5θ===-， ∵3424sin 22sin cos 2()()5525θθθ==⨯-⨯-=．故选：D ． 【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查正弦的二倍角公式．在用同角间的三角函数关系求值时一定要确定角的范围，从而确定函数值的正负．4．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，设()4log 7a f =， 12log 3b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0.60.2c f -=，则,,a b c 的大小关系是 ( )A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<【答案】B 【解析】因为()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，所以()f x 在[0,)+∞上是减函数，又因为12log 3b f ⎛⎫=⎪⎝⎭0.60.624422=(log 3),log 7log 9log 3,0.252log 3f -==>， 所以c b a <<，选B. 5．函数cos tan y x x =⋅（302x π≤<且2x π≠）的图像是下列图像中的（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】将函数表示为分段函数的形式，由此确定函数图像. 【详解】依题意，3sin ,0,22cos tan sin ,.2x x x y x x x x πππππ⎧≤<≤<⎪⎪=⋅=⎨⎪-<<⎪⎩或.由此判断出正确的选项为C.故选C. 【点睛】本小题主要考查三角函数图像的识别，考查分段函数解析式的求法，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.6．如图，正方形ABCD 中,E 为DC 的中点,若AD AC AE λμ=+u u u v u u u v u u u v,则λμ-的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．3-【答案】D 【详解】因为E 是DC 的中点，所以1()2AE AC AD u u u r u u u r u u u r =+，∵2AD AC AE =-+u u u r u u u r u u u r，∵1,2λμ=-=，123λμ-=--=-． 【考点】平面向量的几何运算 7．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0>ω，0ϕπ<<）的最小正周期是π，将函数()f x 的图象向左平移6π个单位长度后所得的函数图象过点()0,1P ，则函数()()sin f x x ωϕ=+（ ）A ．有一个对称中心,012π⎛⎫⎪⎝⎭B ．有一条对称轴6x π=C ．在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 【答案】B【解析】由题()()2sin 2fx x ωϕ==+，，平移后得到的函数是sin(2)3y x πϕ=++，其图象过点(0,1)P ,sin()13πϕ∴+=，因为0ϕπ<<，6πϕ∴=，()sin(2)6f x x π=+,故选B.点睛：本题考查的是sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象及性质.解决本题的关键有两点:一是图象向左平移变换时要弄清是加还是减，是x 加减，还是2x 加减，另一方面是根据图象过点()0,1P 确定ϕ的值时，要结合五点及0ϕπ<<确定其取值，得到函数的解析式，再判断其对称性和单调性.8．对于函数f （x ），若存在区间M ＝[a ，b ]（a ＜b ）使得{y |y ＝f （x ），x ∈M }＝M ，则称区间M 为函数f （x ）的一个“稳定区间，给出下列四个函数：∈f （x ）221x x =+，∈f （x ）＝x 3，∈f （x ）＝cos 2πx ，∈f （x ）＝tanx 其中存在“稳定区间”的函数有（ ） A ．∈∈∈ B ．∈∈C ．∈∈D ．∈∈【答案】A【解析】根据函数的单调性依次计算每个函数对应的值域判断得到答案. ∵f （x ）221xx =+，取[]0,1M =时，如图所示：函数在M 上单调递增，且()()00,11f f ==，故满足； ∵f （x ）＝x 3，函数单调递增，取[]0,1x M ∈=，[]30,1x M ∈=，故满足；∵f （x ）＝cos2πx ，函数在[]0,1M =上单调递减，()()01,10f f ==，故满足； ∵f （x ）＝tanx ，函数在每个周期内单调递增，tan x x =在每个周期内没有两个交点，如图所示，故不满足； 故选：A .【点睛】本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生的综合应用能力和理解能力.9．延长正方形CD AB 的边CD 至E ，使得D CD E =．若动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，若λμAP =AB +AE u u u r u u u r u u u r，下列判断正确的是（ ）A ．满足2λμ+=的点P 必为CB 的中点 B ．满足1λμ+=的点P 有且只有一个C ．λμ+的最小值不存在D ．λμ+的最大值为3 【答案】D【解析】试题分析：设正方形的边长为1，建立如图所示直角坐标系，则,,,,A B C D E 的坐标为(0,0),(1,0),(1,1),(0,1),(1,1)-，则(1,0),(1,1)AB AE ==-u u u r u u u r 设(,)AP a b =u u u r ，由λμAP =AB +AE u u u r u u u r u u u r得(,)(,)a b λμμ=-，所以{a b λμμ=-=，当P 在线段AB 上时，01,0a b ≤≤=，此时0,a μλ==，此时a λμ+=，所以01λμ≤+≤；当P 在线段BC 上时，，此时,1b a b μλμ==+=+，此时12b λμ+=+，所以13λμ≤+≤；当P 在线段CD 上时，，此时1,1a a μλμ==+=+，此时2a λμ+=+，所以13λμ≤+≤；当P 在线段DA 上时，0,01,a b =≤≤，此时,b a b μλμ==+=，此时2b λμ+=，所以02λμ≤+≤；由以上讨论可知，当2λμ+=时，P 可为BC 的中点，也可以是点D ，所以A 错；使1λμ+=的点有两个，分别为点B 与AD 中点，所以B 错，当P 运动到点A 时，λμ+有最小值0，故C 错，当P 运动到点C 时，λμ+有最大值3，所以D 正确，故选D ．【考点】向量的坐标运算．【名师点睛】本题考查平面向量线性运算，属中档题．平面向量是高考的必考内容，向量坐标化是联系图形与代数运算的渠道，通过构建直角坐标系，使得向量运算完全代数化，通过加、减、数乘的运算法则，实现了数形的紧密结合，同时将参数的取值范围问题转化为求目标函数的取值范围问题，在解题过程中，还常利用向量相等则坐标相同这一原则，通过列方程（组）求解，体现方程思想的应用． 二、多选题10．下列函数既是偶函数，又在(),0-∞上单调递减的是（ ）A ．2xy = B ．23y x-= C ．1y x x=- D ．()2ln 1y x =+【答案】AD【解析】对选项逐一分析函数的奇偶性和在区间(),0-∞上的单调性，由此判断正确选项.【详解】对于A 选项，2xy =为偶函数，且当0x <时，122xxy -==为减函数，符合题意. 对于B 选项，23y x-=为偶函数，根据幂函数单调性可知23y x -=在(),0-∞上递增，不符合题意.对于C 选项，1y x x=-为奇函数，不符合题意. 对于D 选项，()2ln1y x=+为偶函数，根据复合函数单调性同增异减可知，()2ln 1y x =+在区间(),0-∞上单调递减，符合题意.故选：AD. 【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题. 三、填空题 11．函数()()21log 3f x x =-的定义域为_________.【答案】()()3,44,⋃+∞【解析】根据对数真数大于零，分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数()f x 的定义域.【详解】依题意有3031x x ->⎧⎨-≠⎩，解得()()3,44,x ∈⋃+∞.故答案为：()()3,44,⋃+∞【点睛】本小题主要考查具体函数定义域的求法，考查对数的性质，属于基础题. 12．在∈ABC 中，cosA 35=，cosB 45=，则cosC ＝_____. 【答案】0【解析】计算得到43sin ,sin 55A B ==，再利用和差公式计算得到答案. 【详解】34cos ,cos 55A B ==，则43sin ,sin 55A B ==.()()cos cos cos sin sin cos cos 0C A B A B A B A B π=--=-+=-=.故答案为：0. 【点睛】本题考查了同角三角函数关系，和差公式，意在考查学生的计算能力.13．已知tan （3π+α）＝2，则()()()()3222sin cos sin cos sin cos ππαππααααπα⎛⎫⎛⎫-+-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--++_____.【答案】2【解析】计算tan 2α=，化简得到原式tan tan 1αα=-，计算得到答案.【详解】()tan 3tan 2παα+==.原式sin cos cos 2sin sin tan 2sin cos sin cos tan 1ααααααααααα--++====---.故答案为：2. 【点睛】本题考查了诱导公式化简，齐次式，意在考查学生的计算能力.14．若函数y ＝log a （2﹣ax ）在区间（0，1）上单调递减，则a 的取值范围为_____. 【答案】(]1,2【解析】确定函数2y ax =-单调递减，再根据复合函数单调性和定义域得到答案. 【详解】0a >，故函数2y ax =-单调递减，函数y ＝log a （2﹣ax ）在区间（0，1）上单调递.故1a >，且满足20a -≥，故12a <≤. 答案为：(]1,2.【点睛】本题考查了根据函数的单调性求参数，忽略掉定义域的情况是容易发生的错误.15．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C （单位：mg /L ）随时间t （单位：h ）的变化关系为2204tC t =+，则经过_______h 后池水中药品的浓度达到最大. 【答案】2【解析】C ＝2202020444t t t t=≤++＝5当且仅当4t t =且t ＞0，即t ＝2时取等号【考点】基本不等式，实际应用16．已知函数π()sin 2f x x=，任取t ∈R ，记函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值为,t M 最小值为 t m 记()t t h t M m =-. 则关于函数()h t 有如下结论：∈函数()h t 为偶函数； ∈函数()h t的值域为[1-；∈函数()h t 的周期为2； ∈函数()h t 的单调增区间为13[2,2],22k k k ++∈Z.其中正确的结论有____________.（填上所有正确的结论序号） 【答案】∵∵.【解析】试题分析：因为44(4)t t h t M m +++=-，其中44t t M m ++、分别是指函数()f x 在区间[4,5]t t ++上的最大值、最小值，注意到函数π()sin2f x x =是最小正周期为242ππ=的函数，所以()f x 在区间[4,5]t t ++的图像与在[,1]t t +的图像完全相同，所以44,t t t t M M m m ++==，所以(4)()t t h t M m h t +=-=，所以函数()h t 的一个周期为4，对该函数性质的研究，只须先探究[2,2]t ∈-的性质即可. 根据π()sin2f x x =的图像（如下图（1））与性质可知当2 1.5t -≤<-时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为1-，最大值为()sin2f t t π=，此时()sin12h t t π=+当 1.51t -≤<-时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为1-，最大值为(1)sin[(1)]cos 22f t t t ππ+=+=，此时()cos12h t t π=+；当10t -≤<时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为()sin 2f t t π=，最大值为(1)sin[(1)]cos 22f t t t ππ+=+=，此时()cossin22h t t t ππ=-；当102t ≤<时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为()sin 2f t t π=，最大值为1，此时()1sin 2h t t π=-； 当112t ≤<时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为(1)sin[(1)]cos 22f t t t ππ+=+=，最大值为1，此时()1cos2h t t π=-；当12t ≤≤时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为(1)sin[(1)]cos22f t t t ππ+=+=，最大值为()sin 2f t t π=，此时()sincos22h t t t ππ=-作出()h t 的图像，如下图（2）所示综上可知，该函数没有奇偶性，函数的值域为[122-+，从图中可以看到函数的最小正周期为2，函数的单调递增区间为13[2,2],22k k k Z ++∈，故只有∵∵正确. 【考点】1.三角函数的图像与性质；2.分段函数. 四、解答题17．已知不共线向量a r，b r满足|a r|＝3，|b r|＝2，（2-ra 3b r）•（2a b +rr）＝20. （1）求a r •b r；（2）是否存在实数λ，使λa b +r r与-r a 2b r 共线？（3）若（k a +r2b r）∈（-rra kb ），求实数k 的值. 【答案】（1）1；（2）存在，12λ=-；（3）1k =-或2k = 【解析】（1）利用向量运算法则展开计算得到答案.（2）假设存在实数λ，使λa b +r r与-r a 2b r 共线，则()2a b m a b λ+=-r r r r ，计算得到答案.（3）计算（k a +r 2b r ）•（-r r a kb ）＝0，展开计算得到答案.【详解】（1）向量a r，b r满足|a r|＝3，|b r|＝2，（2-ra 3b r）•（2a b +rr）＝20， 所以42-ra 4a r •b -r32=rb 4×9﹣4a r •b -r 3×4＝20，解得a r •b=r1；（2）假设存在实数λ，使λa b +r r与-r a 2b r 共线，则()2a b m a b λ+=-r r r r ，故,12m m λ==-，12λ=-.即存在λ12=-，使得λa b +r r 与-r a 2b r 共线；（3）若（k a +r 2b r ）∵（-r r a kb ），则（k a +r 2b r ）•（-r r a kb ）＝0，即k 2+r a （2﹣k 2）a r •b -r 2k 2=r b 0，所以9k +（2﹣k 2）×1﹣2k •4＝0，整理得k 2﹣k ﹣2＝0，解得k ＝﹣1或k ＝2.【点睛】本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力.18．已知函数f （x ）＝cosx （acosx ﹣sinx ）a ∈R ），且f （3π）= （1）求a 的值；（2）求f （x ）的单调递增区间； （3）求f （x ）在区间[0，2π]上的最小值及对应的x 的值.【答案】（1）a =（2）511,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（3）512x π=时，取得最小值1- 【解析】（1）代入数据计算得到答案.（2）化简得到()cos 26f x x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭，计算2222,6k x k k πππππ+≤+≤+∈Z 得到答案. （3）计算2x 6π+∵[6π，76π]，再计算最值得到答案. 【详解】（1）∵f （x ）＝cosx （acosx ﹣sinx ）a ∵R ），且f （3π）=∵f （3π）12=（12a -=解得a =（2）由（1）可得f （x ）＝cosx ﹣sinx ）=2x ﹣sinxcosx 12122cos x +=-sin 2x =cos （2x 6π+）， 令2k π+π≤2x 6π+≤2k π+2π，k ∵Z ，解得：k π512π+≤x ≤k π1112π+，k ∵Z ， 可得f （x ）的单调递增区间为：[k π512π+，k π1112π+]，k ∵Z ， （3）∵x ∵[0，2π]，可得：2x 6π+∵[6π，76π]，∵当2x 6π+=π，即x 512π=时，f （x ）＝cos （2x 6π+）取得最小值为﹣1. 【点睛】本题考查了三角函数的求值，单调性和值域，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.19．如图所示，近日我渔船编队在岛A 周围海域作业，在岛A 的南偏西20°方向有一个海面观测站B ，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与B 相距31海里的C 处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西40°方向，以40海里/小时的速度向岛A 直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达D 处，此时观测站测得,B D 间的距离为21海里．(∈)求sin BDC ∠的值；(∈)试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛A ？【答案】（∵）7； （∵）海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛A . 【解析】(∵) 在BDC V 中，根据余弦定理求得余弦值，再求正弦值得到答案.(∵)首先利用和差公式计算sin ABD ∠，ABD △中，由正弦定理可得AD 长度，最后得到时间. 【详解】(∵)由已知可得140202CD =⨯=， BDC V 中，根据余弦定理求得2222120311cos 221207BDC +-∠==-⨯⨯，∵sin 7BDC ∠=． (∵)由已知可得204060BAD ∠=︒+︒=︒，∵116072721)4(sin ABD sin BDC ⎛⎫∠=∠-︒=--⨯=⎪⎝⎭． ABD △中，由正弦定理可得sin 21sin 15sin sin BD ABD ABDAD BAD BAD⨯∠⨯∠===∠∠，∵156022.540t=⨯=分钟． 即海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛A ． 【点睛】本题考查了正余弦定理的实际应用，意在考查学生的建模能力，实际应用能力和计算能力.20．f （x ）是定义在D 上的函数，若对任何实数α∈（0，1）以及D 中的任意两数x 1，x 2，恒有f （αx 1+（1﹣α）x 2）≤αf （x 1）+（1﹣α）f （x 2），则称f （x ）为定义在D 上的C 函数. （1）试判断函数f 1（x ）＝x 2，()()210f x x x=＜中哪些是各自定义域上的C 函数，并说明理由； （2）若f （x ）是定义域为R 的函数且最小正周期为T ，试证明f （x ）不是R 上的C 函数. 【答案】（1）()21f x x =是C 函数，()()210f x x x=<不是C 函数，理由见解析；（2）见解析 【解析】（1）根据函数的新定义证明f 1（x ）＝x 2是C 函数，再举反例得到()()210f x x x=＜不是C 函数，得到答案.（2）假设f （x ）是R 上的C 函数，若存在m ＜n 且m ，n ∵[0，T ），使得f （m ）≠f （n ，讨论f （m ）＜f （n ）和f （m ）＞f （n ）两种情况得到证明. 【详解】（1）对任意实数x 1，x 2及α∵（0，1），有f 1（αx 1+（1﹣α）x 2）﹣αf 1（x 1）﹣（1﹣α）f 1（x 2）＝（αx 1+（1﹣α）x 2）2﹣αx 12﹣（1﹣α）x 22＝﹣α（1﹣α）x 12﹣α（1﹣α）x 22+2α（1﹣α）x 1x 2＝﹣α（1﹣α）（x 1﹣x 2）2≤0， 即f 1（αx 1+（1﹣α）x 2）≤αf 1（x 1）+（1﹣α）f 1（x 2）， ∵f 1（x ）＝x 2是C 函数；()()210f x x x=＜不是C 函数， 说明如下（举反例）：取x 1＝﹣3，x 2＝﹣1，α12=， 则f 2（αx 1+（1﹣α）x 2）﹣αf 2（x 1）﹣（1﹣α）f 2（x 2）＝f 2（﹣2）12-f 2（﹣3）12-f 2（﹣1）111262=-++＞0，即f 2（αx 1+（1﹣α）x 2）＞αf 2（x 1）+（1﹣α）f 2（x 2）， ∵()()210f x x x=＜不是C 函数； （2）假设f （x ）是R 上的C 函数，若存在m ＜n 且m ，n ∵[0，T ），使得f （m ）≠f （n ）. （i ）若f （m ）＜f （n ）， 记x 1＝m ，x 2＝m +T ，α＝1n mT--，则0＜α＜1，且n ＝αx 1+（1﹣α）x 2， 那么f （n ）＝f （αx 1+（1﹣α）x 2）≤αf （x 1）+（1﹣α）f （x 2）＝αf （m ）+（1﹣α）f （m +T ）＝f （m ）， 这与f （m ）＜f （n ）矛盾； （ii ）若f （m ）＞f （n ），记x1＝n，x2＝n﹣T，α＝1n mT--，同理也可得到矛盾；∵f（x）在[0，T）上是常数函数，又因为f（x）是周期为T的函数，所以f（x）在R上是常数函数，这与f（x）的最小正周期为T矛盾.所以f（x）不是R上的C函数.【点睛】本题考查了函数的新定义，意在考查学生的理解能力和综合应用能力.。
北京市首师大附中2019-2020学年高一上学期期中数学试题(B)(解析版)
2019-2020学年第一学期期中考试高一数学（B卷）一、单项选择题:认真审题，仔细想一想，然后选出唯一正确答案。
（共10小题，每小题5分，共50分.）1.已知集合A={x|x＞2}，B={x|（x-1）（x-3）＜0}，则A∩B=（）A. {x|x＞1}B. {x|2＜x＜3}C. {x|1＜x＜3}D. {x|x＞2或x＜3}【答案】B【解析】【分析】求出集合B，进而可求A∩B.【详解】解：由已知得B={x|1＜x＜3}，则A∩B={x|2＜x＜3}，故选：B.【点睛】本题考查集合的交集运算，是基础题.2.已知命题p：∃c＞0，方程x2-x+c=0有解，则¬p为（）A. ∀c＞0，方程x2-x+c=0无解B. ∀c≤0，方程x2-x+c=0有解C. ∃c＞0，方程x2-x+c=0无解D. ∃c≤0，方程x2-x+c=0有解【答案】A【解析】【分析】利用特称命题的否定是全称命题，可得结果.【详解】命题p：∃c＞0，方程x2-x+c=0有解，则¬p为∀c＞0，方程x2-x+c=0无解,故选：A.【点睛】本题考查特称命题的否定，是基础题.3.已知定义在R 上的函数f （x ）的图像是连续不断的，且有如下对应值表：那么函数f （x ）一定存在零点的区间是（ ） A. （-∞，1） B. （1，2） C. （2，3） D. （3，4）【答案】C 【解析】 【分析】由表中数据，结合零点存在性定理可得出结果.【详解】由表可知(1)(2)0,(2)(3)0,(3)(4)0f f f f f f ><>， 由零点存在性定理可知f （x ）一定存在零点的区间是（2，3）， 故选：C.【点睛】本题考查零点存在性定理，理解零点存在性定理是关键，是基础题. 4.下列函数中，在其定义域上既是偶函数，又在（0,+∞）上单调递减的（ ） A. y =x 2B. y =3xC. y =x +1D. y【答案】B 【解析】 【分析】运用函数的奇偶性和单调性对每个选项进行判断.【详解】对A. y =x 2在（0,+∞）上单调递增，故排除；对B. y =3x，其定义域上既是偶函数，又在（0,+∞）上单调递减； 对C. y =x +1，其为非奇非偶函数，故排除；对D. y ，其为非奇非偶函数，故排除， 故选：B .【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性的判断，是基础题. 5.若a ＞b ，则下列四个不等式中必成立的是（ ） A. ac ＞bc B. a c ＞b cC. a 2＞b 2D.21ac +＞21b c + 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，逐一分析选项是否恒成立. 【详解】A.当0c时，不等式不成立；B.当0c <时，不等式不成立；C.当1,2a b ==-时，不等式不成立；D.因为210c +>，故不等式必成立， 故选：D .【点睛】本题以命题的真假判断为载体，考查了不等式恒成立，不等式的基本性质，是基础题.6.函数f (x 的最大值为 （ ）A. 2 5B. 1 2C.2D. 1【答案】B 【解析】本小题主要考查均值定理．11()112f x x ==≤+=，即1x =时取等号．故选B ． 7.5a ≥是命题“[]1,2x ∀∈，20x a -≤”为真命题的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】“[]1,2x ∀∈，20x a -≤”等价于a 大于等于2x 的最大值，由x 的范围求得2x 的范围，可得a 的取值范围，然后结合充分条件、必要条件的定义可得结果．【详解】因为“[]1,2x ∀∈，20x a -≤”等价于a 大于等于2x 的最大值， 而[]x 1,2∀∈，有[]21,4x ∈，所以4a ≥，由5a ≥，可得4a ≥成立，即[]1,2x ∀∈，20x a -≤成立； 反之，[]1,2x ∀∈，20x a -≤成立，可得4a ≥，不能推出5a ≥．5a ∴≥是命题“[]1,2x ∀∈，20x a -≤”为真命题的充分而不必要条件，故选A ．【点睛】本题主要考查恒成立问题的求解方法，考查充分必要条件的判定，是基础题．判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理. 8.已知奇函数()y f x =的图像关于直线2x =对称，且()3f m =，则(4)f m -的值为（ ） A. 3 B. 0C. -3D.13【答案】C 【解析】 【分析】由函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，可得()(4)f m f m =-，再结合()y f x =为奇函数，求得(4)f m -的值.【详解】解：由函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，可得()(4)f m f m =-， 再结合()y f x =为奇函数，可得()(4)(4)3f m f m f m =-=--=， 求得(4)3f m -=-， 故选：C .【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的性质，函数的图象的对称性，属于基础题. 9.已知函数()2f x ax x =-,若对任意[)12,2,x x ∈+∞,且12x x ≠,不等式()()12120f x f x x x ->-恒成立,则实数a 的取值范围是A. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. 1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭D. 1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】 对不等式()()1212f x f x x x --进行化简，转化为a （x 1+x 2）﹣1＞0恒成立，再将不等式变形，得到a ＞121x x +恒成立，从而将恒成立问题转变成求121x x +的最大值，即可求出a 的取值范围．【详解】不妨设x 2＞x 1≥2，不等式()()1212f x f x x x --=22112212ax x ax x x x --+-=()()()12121212a x x x x x x x x -+---=a （x 1+x 2）﹣1，∵对任意x 1，x 2∈[2，+∞），且x 1≠x 2，不等式()()1212f x f x x x --＞0恒成立，∴x 2＞x 1≥2时，a （x 1+x 2）﹣1＞0，即a ＞121x x +恒成立∵x 2＞x 1≥2 ∴121x x +＜14∴a≥14，即a 的取值范围为[14，+∞）； 故选：D ．【点睛】本题考查了函数恒成立求参数取值范围，也是常考题型，本题以“任性函数”的形式考查函数恒成立求参数取值范围，一种方法，可以采用参变分离的方法，将恒成立转化为求函数的最大值和最小值，二种方法，将不等式整理为()0F x <的形式，即求()max 0F x < ，或是()0F x >的形式，即求()min 0F x < ，求参数取值.10.给定条件：①∃x 0∈R ，f （-x 0）=-f （x 0）；②∀x ∈R ，f （1-x ）=-f （1+x ）.下列三个函数：y =x 3，y =|x -1|，y =221,143,1x x x x x ⎧-<⎨-+≥⎩中，同时满足条件①②的函数个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】根据条件②得函数图象关于（1，0）对称，故可判断y =x 3；根据00110x x --+-=的解的情况，可判断y =|x -1|；最后验证y =221,143,1x x x x x ⎧-<⎨-+≥⎩满足①②.【详解】解：令()(1)g x f x =+，则()(1)(1)()g x f x f x g x -=-=+=， 所以()g x 为偶函数，关于(0,0)对称，将()(1)g x f x =+的图象向右平移一个单位可得()f x 的图象，故()f x 图象关于(1,0)对称，故可排除3y x =；若存在一个0x 使得0011x x --=--，即00110x x --+-=，该方程无解，故|1|y x =-不满足②，排除；对于221,143,1x x y x x x ⎧-<=⎨-+≥⎩，当1x =时，2(1)(1)10,(1)(143)0f f -=--=-=--+=，其满足①， 画出图象如下：由图象可知，满足②. 故选：B .【点睛】本题考查函数的基本性质，根据条件能判断出函数关于(1,0)对称是关键，属于中档题.二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）11.计算210.00013427--2327()8【答案】134【解析】 【分析】化小数为分数，化根式为分数指数幂，再由有理指数幂的运算性质化简求值.【详解】原式()()23123443339130.13109244-⎡⎤⎛⎫=-+=-+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故答案为：134. 【点睛】本题考查有理指数幂运算性质，是基础的计算题. 12.函数y 21x -11x -的定义域为____________. 【答案】[12，1）∪（1，+∞） 【解析】【分析】令被开方数大于等于0，同时分母非0，列出不等式组，求出x 的范围.【详解】解：要使函数有意义需要21010x x -≥⎧⎨-≠⎩解得12x ≥且1x ≠，故答案为：[12，1）∪（1，+∞）. 【点睛】求函数的定义域，要保证开偶次方根的被开方数大于等于0；分母非0；对数的底数大于0且不为1，真数大于0等方面考虑.13.若函数f （x ）=x 2-2x +1在区间[a ，a +2]上的最大值为4，则a 的值为____________. 【答案】-1或1 【解析】 【分析】对a 分类讨论，利用函数f （x ）=x 2-2x +1在区间[a ，a +2]上的最大值为4，建立方程，即可求得a 的值.【详解】解：由题意，当0a ≥时，(2)4f a +=，即22)2(2)4(1a a +-++=，2(1)4,1a a ∴+=∴=；当0a <时，()4f a =，即2214a a -+=，2(1)4,1a a ∴-=∴=-；综上知，a 的值为1或−1. 故答案为：1或−1.【点睛】本题考查二次函数在闭区间上的最值，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题.14.如果关于x 方程x 2+（m -1）x -m =0有两个大于12的正根，则实数m 的取值范围为____________. 【答案】（-∞，-12） 【解析】 【分析】方程有两个大于12的根，据此可以列出不等式组求得m 的取值范围即可. 【详解】解：根据题意，m 应当满足条件2(1)40112211(1)042m m m m m ⎧⎪∆=-+>⎪-⎪->⎨⎪⎪+-->⎪⎩即：2210012m m m m ⎧⎪++>⎪<⎨⎪⎪<-⎩，解得：12m <-， 实数m 的取值范围：（-∞，-12）. 故答案为：（-∞，-12）. 【点睛】本题考查根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是正确的运用判别式及韦达定理，是中档题. 15.能说明“若()()f x g x 对任意的[0,2]x ∈都成立，则()f x 在[0,2]上的最小值大于()g x 在[0,2]上的最大值”为假命题的一对函数可以是()f x =____，()g x =_______． 【答案】 (1). ()f x x = (2). ()1g x x =- 【解析】 【分析】由不等式恒成立可设()f x x =，()1g x x =-，结合单调性求出其在[]0,2上的最大值，即可得到符合题意．【详解】“若()()f x g x >对任意的[02]x ∈，都成立， 则()f x 在[]0,2上的最小值大于()g x 在[]0,2上的最大值”， 可设()f x x =，()1g x x =-，显然()()f x g x >恒成立，且()f x 在[]0,2的最小值为0，()g x 在[]0,2的最大值为1， 显然不成立，故答案为()f x x =，()1g x x =-．【点睛】本题主要考查了函数恒成立问题解法，注意运用函数的单调性，考查运算能力，熟练掌握初等函数的性质是解题的关键，属于基础题．16.已知函数22,(),x x x af x x x a ⎧-+≤=⎨>⎩.（1）当a =1时，函数()f x 的值域是___________；（2）若函数()f x 的图像与直线y a =只有一个公共点，则实数a 的取值范围是_______________.【答案】 (1). R (2). []0,1 【解析】 【分析】（1）根据分段函数单调性求值域，（2）先根据分段函数解析式关系确定讨论点，再结合图象确定满足条件的参数范围.【详解】（1）当a =1时，22,1(),1x x x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩当1x >时，()1f x x =>当1x ≤时，22()2(1)11f x x x x =-+=--+≤ 所以函数()f x 的值域是(1,)(,1]R +∞-∞=（2）因为当x a >时，()f x x a =>，所以只需函数2()2,()f x x x x a =-+≤的图像与直线y a =只有一个公共点，当22x x x -+≥，即01x ≤≤时，所以当01a ≤≤时，函数2()2,()f x x x x a =-+≤的图像与直线y a =只有一个公共点，当22x x x -+<，即1x >或0x <时，所以当1a >或0a <，即2a x x >-+，从而函数2()2,()f x x x x a =-+≤的图像与直线y a =无公共点， 因此实数a 的取值范围是[]0,1 故答案：(1). R (2). []0,1【点睛】本题考查分段函数值域以及根据函数图象交点个数求参数，考查综合分析判断与求解能力，属中档题.三、解答题（共4小题，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）17.设关于x 的不等式2x a -<的解集为A ，不等式2112x x -<+的解集为B ． （1）求集合A ，B ；（2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{}|22A x a x a =-<<+，{|23}B x x =-<<（2）[0]1，【解析】【分析】（1）解绝对值不等式和分式不等式得解；（2）由题得22a -≥-且23a +≤，解不等式得解.【详解】（1）||2x a -<22x a ∴-<-<{|22}A x a x a ∴=-<<+ ∵2112x x -<+ ∴302x x -<+ ∴(2)(3)0x x +-<∴23x -<<{|23}B x x ∴=-<<（2）∵A B ⊆22a ∴-≥-且23a +≤，01a ∴≤≤即a 取值范围为[0]1，【点睛】本题主要考查绝对值不等式和分式不等式的解法，考查集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18.已知函数()()223f x x bx b =-+∈R .⑴若函数()f x 的图象经过点()4,3，求实数b 的值.⑵当[]1,2x ∈-时，函数()y f x =的最小值为1，求当[]1,2x ∈-时，函数()y f x =最大值.【答案】⑴b ＝2；⑵见解析.【解析】【分析】（1）把点的坐标代入f （x ）计算；（2）对f（x）的对称轴与区间[﹣1，2]的关系进行分情况讨论，判断f（x）的单调性，利用单调性解出b，再求出最大值．【详解】解：（1）把（4，3）代入f（x）得16﹣8b+3＝3，∴b＝2．（2）f（x）的图象开口向上，对称轴为x＝b．①若b≤﹣1，则f（x）在[﹣1，2]上是增函数，∴f min（x）＝f（﹣1）＝4+2b＝1，解得b＝﹣32．∴f max（x）＝f（2）＝7﹣4b＝13．②若b≥2，则f（x）在[﹣1，2]上是减函数，∴f min（x）＝f（2）＝7﹣4b＝1，解得b＝32（舍）．③若﹣1＜b＜2，则f（x）在[﹣1，b]上是减函数，在（b，2]上增函数．∴f min（x）＝f（b）＝﹣b2+3＝1，解得b＝2或b＝﹣2（舍）．∴f max（x）＝f（﹣1）＝4+2b＝4+22．综上，当b≤﹣1时，f（x）的最大值为13，当﹣1＜b＜2时，f（x）最大值为4+22．【点睛】本题考查了二次函数的单调性与对称轴的关系，考查了分类讨论思想，属于中档题．19.如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在函数y=-120（1+k2）x2+kx（k＞0）表示的图像上，其中k是与发射方向有关的参数，炮的射程是指炮弹落地点到原点的距离．．．．．．．．．．．．．．．．．.（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它横坐标不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由.【答案】（1）10千米（2）当横坐标不超过6千米时，炮弹可以击中目标；详见解析【解析】【分析】（1）求炮的最大射程即求y=-120（1+k2）x2+kx（k＞0）与x轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解；（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解.【详解】（1）在y =-120（1+k 2）x 2+kx （k ＞0）中， 令y =0，得-120（1+k 2）x 2+kx =0， x 1=0（舍），x 2=2201k k +=201k k+≤202=10（当且仅当k =1时取“=”） ， ∴炮的最大射程是10千米；（2）设飞行物的横坐标为m ，由函数式得：-120（1+k 2）m 2+km =3.2（k ＞0） ⇒m 2k 2-20mk +（m 2+64）=0，∴△=400m 2-4m 2×（m 2+64）≥0，∴m ≤6，此时k =2202m m+＞0， ∴当m 不超过6千米时，炮弹可以击中目标.【点睛】本题考查函数模型的运用，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.20.如果f （x ）是定义在R 上的函数，且对任意的x ∈R ，均有f （-x ）≠-f （x ），则称该函数是“X —函数”. （1）分别判断下列函数：①y =211x +；②y =x +1；③y =x 2+2x -3是否为“X —函数”？（直接写出结论） （2）若函数f （x ）=x -x 2+a 是“X —函数”，求实数a 的取值范围； （3）设“X —函数”f （x ）=21,,x x A x x B ⎧+∈⎨∈⎩在R 上单调递增，求所有可能的集合A 与B . 【答案】（1）①②是“X —函数”，③不是“X —函数”.（2）（0，+∞）（3）A =[0，+∞），B =（-∞，0） 【解析】 【分析】 （1）直接利用信息判断结果； （2）利用信息的应用求出参数的取值范围； （3）利用函数的单调性的应用和应用的例证求出结果. 【详解】（1）①②是“X —函数”，③不是“X —函数”；（2）∵f（-x）=-x-x2+a，-f（x）=-x+x2-a，f（x）=x-x2+a是“X—函数”，∴f（-x）=-f（x）无实数解，即x2+a=0无实数解，∴a＞0，∴a的取值范围为（0，+∞）；（3）对任意的x≠0，若x∈A且-x∈A，则-x≠x，f（-x）=f（x），与f（x）在R上单调增矛盾，舍去；若x∈B且-x∈B，f（-x）=-f（x），与f（x）是“X—函数”矛盾，舍去；∴对任意的x≠0，x与-x恰有一个属于A，另一个属于B，∴（0，+∞）⊆A，（-∞，0）⊆B，假设0∈B，则f（-0）=-f（0），与f（x）是“X—函数”矛盾，舍去；∴0∈A，经检验，A=[0，+∞），B=（-∞，0）符合题意.【点睛】本题考查的知识要点：信息题型的应用，反证法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型.坚持希望一天，一个瞎子和一个瘸子结伴去寻找那种仙果，他们一直走呀走，途中他们翻山越岭。
北京首都医科大学附属中学2020年高一数学理上学期期末试题含解析
北京首都医科大学附属中学2020年高一数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在等比数列中，若，且则为（）A． B． C． D．或或参考答案：D 解析：，当时，；当时，；当时，；2. 设集合，，若,则的取值范围为（）A．B．C．D．参考答案：B3. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）A．15 B．105C．245 D．945参考答案：B运行程序框图中的程序，可得：第一次：，不满足条件，继续运行；第二次：，不满足条件，继续运行；第三次：．满足条件，停止运行，输出105．故选B．4. 方程的解的个数为……………（）A. 0个B. 1个C. 0个或1个D. 2个参考答案：D略5. 已知函数的最小正周期π，为了得到函数的图象，只要将的图象（）A.向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度参考答案：A6. 某几何体三视图及相关数据如右图所示，则该几何体的体积为（）A．16 B．16C．64+16 D． 16+参考答案：D略7. 已知全集A．｛３｝ B．｛２,３｝ C． D．｛２｝参考答案：A8.A． B． C． D．参考答案：B略9. 平面截球的截面所得圆的半径为，球心到平面的距离为，则此球的体积为（）A．π B．4π C．4π D．6π参考答案：B略10. 若那么下列各式中正确的是（）A． B. C. D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若f(x)＝，0<a<b<e，则f(a)、f(b)的大小关系为________．参考答案：f(a)<f(b)略12. 设集合A＝{－1,0,3}，B＝{a＋3,2a＋1}，A∩B＝{3}，则实数a的值为________．参考答案：a=0或a=1略13. 设集合则参考答案：{1，2，3，4}14. 函数在区间上的最小值为．参考答案：解析：15. 若，则=参考答案：116. 设函数，满足，则的值是__________。
北大附中2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题Word版含答案
北大附中2019-2020学年上学期期末考试高一数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知变量a b 、已被赋值，要交换a b 、的值，采用的算法是（ ）A ．a b =，b a =B ．a c =，b a =，c b =C ．a c =，b a = ，c a =D ．c a =，a b =，b c =2.从某年纪1000名学生中抽取125名学生进行体重的统计分析，就这个问题来说，下列说法正确的是（ ）A ．1000名学生是总体B ．每个被抽查的学生是个体C ．抽查的125名学生的体重是一个样本D ．抽取的125名学生的体重是样本容量3.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出s 的值为（ ）A ．-1B ．0C ．1D ． 34.一个年级有12个班,每个班有50名同学,随机编号1,2，…，50，为了了解他们在课外的兴趣，要求每班第40号同学留下来进行问卷调查,这里运用的抽样方法是（ ）A.抽签法B.有放回抽样C.随机抽样D.系统抽样5.下列抽样实验中,最适宜用系统抽样的是（ ）A.某市的4个区共有2000名学生,且4个区的学生人数之比为3: 2 :8 :2,从中抽取200人入样B 从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取5个入样C.从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取200个入样D.从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个入样6.某学院A B C 、、三个专业共有1200名学生,为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方祛抽取一个容量为120的样本,已知该学院的A 专业有380名学生,B 专业有420名学生，则在该学院的C 专业应抽取的学生人数为（ ）A ．30B ．40 C. 50 D ．607.当5x =，20y =-时，下边程序运行后输出的结果为（ ）A ．22，-22B ．22,22 C. 12，-12 D ．-12,128.现要完成下列3项抽样调查:①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查;②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈;③东方中学共有160名教职工，其中一般教师120名,行政人员16名,后勤人员24名,为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本。
北京市首师大附中2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)
北京市首师大附中2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共50.0分） 1. “sin x =12”是“x =π6”的( )条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要2. 已知√2|a ⃗ |=|b ⃗ |≠0，且a ⃗ ⊥(a ⃗ −b ⃗ )，则向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角大小为( )A. π2B. π3C. π4D. π63. 已知sinθ=45，sin θcos θ<0，则sin 2θ= ( )A. −2425B. −1225C. −45D. 24254. 下列既是偶函数，又在区间[−3,−1]上单调递增的是( )A. f(x)={√x,x ≥0,√−x,x <0B. f(x)=ln |x|C. f(x)=−x 4D. f(x)=−1x5. 已知偶函数f(x)在(−∞,0]上是增函数．若a =f(log 215)，b =f(log 123)，c =f(2−0.8)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a <b <cB. b <a <cC. c <b <aD. c <a <b6. 函数y =tanx (π4≤x ≤3π4且x ≠π2)的值域是( )A. [−1,1]B. (−∞,−1]∪[1,+∞)C. (−∞,1]D. [−1,+∞)7. 在平行四边形ABCD 中，点E 满足DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ=( ) A. 1 B. 2C. 32D. 48. 设函数f(x)=√2sin(ωx +ϕ+π4) (ω>0,|ϕ|<π2)的最小正周期为π，且f(−x)=f(x)，则( )A. f(x)在(0,π2)单调递减 B. f(x)在(π4,3π4)单调递减 C. f(x)在(0,π2)单调递增D. f(x)在(π4,3π4)单调递增9. 函数y =sinx 1−x的部分图像大致为( )A.B.C.D.10. 在ΔABC 中，M 为边BC 上的任意一点，点N 在线段AM 上，且满足AN =13NM ，若AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +u AC⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,u ∈R)，则λ+u 的值为( ) A. 14B. 13C. 1D. 4二、填空题（本大题共6小题，共30.0分） 11. 函数f(x)=11−x +lg(x +1)的定义域是________12. 在△ABC 中，已知sinA =23，cosB =12，则 cos C 的值为______ ． 13. 已知tanα=2，则cos2α+sin(π2+α)cos(3π2−α)= ______ ．14. 已知y =log a (2−ax)的图象在区间[0,1]上是单调递减的，则2a 的取值范围是_________． 15. 下列不等式：①lg(x 2+14)>lg x(x >0)； ②sin x +1sin x ≥2(x ≠kπ,k ∈Z)；③x 2+1≥2|x|(x ∈R)； ④1x 2+1<1(x ∈R)．其中一定成立的是________(填序号)．16. 若函数f(x)=(2−a)x 2+(a −1)x +3是偶函数，则函数f(2x +1)的值域为______________三、解答题（本大题共4小题，共40.0分）17. 已知向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−2)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,−1)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m,m +1)．(1)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求实数m 的值；(2)若△ABC 为直角三角形，求实数m 的值．18. 已知(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间(2)若关于x 的方程f(x)−k =0在区间上有解，求k 的取值范围19. 在某海域A 处正东方向相距80海里的B 处有一艘客轮遇险，在原地等待救援．信息中心立即把消息告知在其南偏西30∘，相距40海里的C 处的救援船，救援船立即朝北偏东θ角的方向沿直线CB 前往B 处救援．(1)若救援船的航行速度为60海里/小时，求救援船到达客轮遇险位置的时间；(2)求tanθ的值．20.设f(x)是定义在R上且以2为周期的函数，当x∈(−1,1)时，f(x)=x2.求x∈(1,3)时，f(x)的表达式．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合三角函数的公式是解决本题的关键． 解：当x =π6时，sinx =sin π6=12， 当x =5π6时，满足sinx =12，则x =π6不成立， 即“sin x =12”是“x =π6”的必要不充分条件． 故选B ．2.答案：C解析：本题考查了平面向量的数量积运算与两向量夹角的计算，是基础题． 通过向量的数量积运算与平面向量夹角的范围，即可求出夹角θ的大小． 解：设a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为θ，∵a ⃗ ⊥(a ⃗ −b⃗ )，即a ⃗ ·(a ⃗ −b ⃗ )=0， ，∴cosθ=|a ⃗ ||b⃗ |=√22， 由于θ∈[0,π]， ∴θ=π4．故选C ．3.答案：A解析：本题考查了二倍角公式及应用，先求余弦值，再代入公式，属于基础题． 解：∵sinθ=45，sinθcosθ<0， ∴cosθ=−√1−sin 2θ=−35， ∴sin2θ=2sinθcosθ=−2425．故选A ．4.答案：C解析：本题考查函数奇偶性以及单调性的判定，属于基础题． 利用函数的性质即可求解．解：f(x)={√x,x ≥0,√−x,x <0为偶函数，且在区间[−3,−1]上单调递减；f(x)=ln |x|为偶函数，且在区间[−3,−1]上单调递减； f(x)=−x 4为偶函数，且在区间[−3,−1]上单调递增； f(x)=−1x 为奇函数，且在区间[−3,−1]上单调递增； 故选C ．5.答案：A解析：解：∵偶函数f(x)在(−∞,0]上是增函数， ∴函数f(x)在[0,+∞)上是减函数， a =f(log 215)=f(−log 25)=f(log 25)，b =f(log 123)=f(−log 23)=f(log 23)，∵0<2−0.8<1<log 23<2<log 25， ∴f(2−0.8)>f(log 23)>f(log 25)， 即c >b >a ， 故选：A ．根据函数奇偶性和单调性的性质，以及对数和指数幂的性质进行转化求解即可．本题主要考查函数值的大小比较，结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化是解决本题的关键．6.答案：B解析：本题考查正切函数的单调性及运用：求值域，考查运算能力，属于基础题． 由正切函数的单调性可知，函数y =tanx 在上都是增函数，即可得到值域．解：函数y =tanx 在上都是增函数， 当时，y =1，当时，y =−1，则有y ≥1或y ≤−1． 则值域为(−∞,−1]∪[1,+∞)． 故选B ．7.答案：A解析：本题考查向量的加减运算，考查了平面向量的基本定理及其应用，考查运算能力，属于中档题． 解：在平行四边形ABCD 中，点E 满足DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， AE⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+μ(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(λ−μ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ+μ)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， (λ−μ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ+μ)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 可得λ+μ=1． 故选A ．8.答案：A解析：本题考查了函数y =Asin(ωx +φ)的图象和性质，属于中档题． 根据周期算出ω，然后根据f(−x)=f(x)求出ϕ． 解：由于f(x)=√2sin(ωx +ϕ+π4) (ω>0,|ϕ|<π2)， 由于该函数的最小正周期为π=2πω，得出ω=2，又根据f(−x)=f(x)，以及|ϕ|<π2，得出ϕ=π4． 因此，f(x)=√2sin(2x +π2)，若x ∈(0,π2)，则2x +π2∈(π2,3π2)，从而f(x)在(0,π2)单调递减， 若x ∈(π4,3π4)，则2x +π2∈(π,2π)， 此时函数f(x)不是单调的， 故B,C,D 都错， 故选A ．9.答案：B解析：本题考查函数图象及函数定义域，分析函数的定义域及特殊点的函数值即可求解.属基础题．解： 因为函数y =sinx 1−x的定义域为(−∞,1)∪(1,+∞)，所以排除A ，D ， 又当x =0时，y =0， 所以排除C ． 故选B ．10.答案：A解析：因为AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，又因为AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R)，所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +4μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由于三点B,M,C 共线，所以4λ+4μ=1，从而λ+μ的值为14，故选A ．11.答案：(−1,1)∪(1,+∞)解析：本题主要考查函数的定义域，以及对数函数的性质，根据题意列出关于x 的式子，解出即可得到结果．解：要使函数有意义，需满足：{1−x ≠0x +1>0，解得x >−1且x ≠1，∴函数的定义域为：(−1,1)∪(1,+∞)． 故答案为(−1,1)∪(1,+∞)．12.答案：2√3−√56解析：解：∵△ABC 中，sinA =23，cosB =12， ∴B =60°，假设A 为钝角，sinA =23>sin120°=√32，则A >120°，这与三角形的内角和为180°相矛盾，∴A 为锐角 ∴cosA =√53，sinB =√32， 当cosA =√53时，cosC =−cos(A +B)=−cosAcosB +sinAsinB =−√53×12+23×√32=2√3−√56，故答案为：2√3−√56利用同角三角函数的基本关系求出cos A ，sin B ，再由cosC =−cos(A +B)=−cosAcosB +sinAsinB 求出结果．本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的余弦公式的应用，属于中档题．13.答案：−1解析：解：由cos2α+sin(π2+α)cos(3π2−α)=cos 2α−sin 2α−cosαsinαsin 2α+cos 2α=1−tan 2α−tanαtan 2α+1，∵tanα=2，∴cos2α+sin(π2+α)cos(3π2−α)=1−4−24+1=−1．故答案为：−1．利用诱导公式和二倍角公式化简，构造tanα，可得答案．本题主要考察了同角三角函数关系式和诱导公式和二倍角公式化简应用，属于基本知识的考查．14.答案：(2,4)解析：【分析】本题考查对数函数，指数函数及复合函数的单调性，属于基础题．根据题意令u =2−ax(a >0)在[0,1]上是减函数，可知y =log a u 是增函数，即可得到a >1，结合2−a >0以及指数函数的性质，即可求解2a 的取值范围． 【解答】解：因为y =log a (2−ax)在[0,1]上单调递减， u =2−ax(a >0)在[0,1]上是减函数， 所以y =log a u 是增函数， 所以a >1，又2−a >0， 所以1<a <2， 2<2a <4． 故答案为(2,4)15.答案：③解析：本题考查了基本不等式的性质，考查了灵活解决问题的能力，属于基础题．解：对于①，lg(x 2+14)>lgx(x >0)等价于x 2+14>x ，即(x −12)2>0，故得x ≠12，而题设x >0，当x =12时不成立；对于②，sinx +1sinx ≥2(x ≠kπ,k ∈Z)当且仅当sin 2x =1时取等号，此时x =kπ2，与题设x ≠kπ2,k ∈Z 矛盾，所以不成立；对于③，x 2+1≥2|x|(x ∈R)等价于|x|+1|x|≥2，当且仅当x =±1时取等号，故成立； 对于④，1x 2+1<1(x ∈R)等价于x 2+1<1，即x 2<0，无解，故不成立． 故答案为③．16.答案：解析：本题考查函数单调性、奇偶性及函数值域，属于基础题.根据函数f(x)是偶函数，求出a 的值，在利用换元法即可求出函数值域．解：∵f(x)=(a −2)x 2+(a −1)x +3是偶函数，∴f(−x)=f(x)，则(a −2)x 2−(a −1)x +3=(a −2)x 2+(a −1)x +3，即a −1=0，解得a =1，所以f (x )=x 2+3，所以f (2x +1)=(2x +1)2+3=22x +2×2x +4，令2x =t(t >0)，则f(t)=t 2+2t +4，对称轴为t =−1，所以f(t)在(0,+∞)为增函数，最小值4， 故值域为故答案为．17.答案：解：(1)因为向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−2),OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,−1)， 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1)． 因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m,m +1)，所以3(m +1)−m =0．所以m =−32．(2)由(1)可知，AB⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m −1,m +3)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(m −4,m +2)．因为△ABC 为直角三角形，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 或AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ．当AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC⃗⃗⃗⃗⃗ 时，有3(m −1)+m +3=0，解得m =0； 当AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 时，有3(m −4)+m +2=0，解得m =52； 当AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 时，有(m −1)(m −4)+(m +3)(m +2)=0，解得m ∈⌀．所以实数m 的值为0或52．解析：(1)通过AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用平行的充要条件，列出关系式即可求实数m 的值；(2)利用三角形的直角的可能性，通过向量的数量积为0，求实数m 的值．本题考查向量的数量积的运算，向量的垂直与平行关系的应用，考查计算能力．18.答案：解：(1)由题意，．故f(x)的最小正周期为， 由，解得．故f(x)的单调递增区间为； (2)由(1)可知，， ，，， 此时． 又因为方程f(x)−k =0有解，故k ∈[0,3]．故实数k 的取值范围为[0,3]．解析：本题考查三角函数的恒等变形以及正弦，余弦函数的图象与性质，属于中档题.熟练掌握三角函数的两角和与差公式，二倍角公式是解题的关键．(1)通过三角函数的恒等变形，得出，可求出f(x)的最小正周期和单调递增区间； ，，，则可求得k 的取值范围． 19.答案：解：(1)在图中的△ABC 中，AB =80，AC =40，∠BAC =120°，由余弦定理可知：BC 2=AB 2+AC 2−2AB ·AC ·cos120°，即BC 2=802+402−2⋅80⋅40⋅(−12)=11200，故BC =40√7，故救援船到达客轮遇险位置所需时间为40√760=2√73小时． (2)在△ABC 中，由正弦定理可得AB sin∠ACB =BC sin∠BAC ⇒sin∠ACB =AB BC sin∠BAC =√217， 显然∠ACB 为锐角，故cos∠ACB=2√77，tan∠ACB=√32，而θ=∠ACB+30°.故tanθ=tan(∠ACB+30∘)=tan∠ACB+tan30∘1−tan30∘tan∠ACB =5√33．解析：本题主要考查解三角函数的应用问题．(1)直接利用余弦定理求出BC的值即可;(2)根据正弦定理以及同角三角函数关系求出∠BAC的正弦以及余弦，而θ=∠ACB+30°，再根据两角和与差的三角函数关系求值即可．20.答案：本题主要考查利用函数的周期推导函数的解析式．解：当x∈(1,3)时，x−2∈(−1,1)，又因为函数f(x)是定义在R上且以2为周期的函数，所以当x∈(1,3)时，f(x)=f(x−2)=(x−2)2．解析：本题考查了函数的基本性质(周期)的运用．属于基础题．。
首都师范大学附属中学2019-2020学年第一学期高一年级月考试卷数学及答案
2019-2020学年首师附第一学期高一年级月考试卷（数学）一、选择题（本大题共20小题，每小题3分，共60分）1．已知集合A={x|-2＜x ＜2}，B={-2，0，1，2}，则A∩B =A ．{0，1}B ．{-1，0，1}C ．{-2，0，1，2}D ．{-1，0，1，2}2．如果a ＜b ＜0，那么下列不等式成立的是A ．a 1＜b 1B ．ab ＜b 2C ．-ab ＜-a 2D ．-a 1＜-b1 3．若-1≤x ＜y ≤1，则x-y 的取值范围为A ．[-2，2]B ．[-2，0）C ．（0，2]D ．（-2，2）4．已知a+b ＞0，b ＜0，那么a ，b ，-a ，-b 的大小关系是A ．a ＞b ＞-b ＞-aB ．a ＞-b ＞-a ＞bC ．a ＞-b ＞b ＞-aD ．a ＞b ＞-a ＞-b5．“x ＞3”是“x 2-5x+6＞0”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知集合P={x|x 2≤1}，M={a}，若P ∪M=P ，则a 的取值范围是A ．（-∞，-1]B ．[1，+∞）C ．[-1，1]D ．（-∞，-1]∪[1，+∞）7．给出下列命题： ①∃x ∈Z ，使x 3＜1； ②∃x ∈Q ，使x 2=2；③∀x ∈N ，使x 3＞x 2； ④∀x ∈R ，使x 2+x+1＞0其中正确的命题是A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④8．已知集合A ，B ，C 中，A ⊆B ，A⊆C ，若B={0，1，2，3}，C={0，2，4}，则A 的子集最多有A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个9．如图所示，I 是全集，A ，B ，C 是I 的子集，则阴影部分表示的集合是A ．（A ∩B ）∩C B ．（A ∩C I B ）∩CC ．（A ∩B ）∩（C I C ）D ．（C I B ）∪A ∩C10．已知ab ≠0，则“a-b=1”是“a 3-b 3-ab-a 2-b 2=0”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件11．若0＜a 1＜a 2，0＜b 1＜b 2，且a 1+a 2=b 1+b 2=1，则下列代数式中值最大的是A ．a 1b 1+a 2b 2B ．a 1a 2+b 1b 2C ．a 1b 2+a 2b 1D ．21 12．用三个不等式a ＞b ，ab ＞0，a 1＜b1中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为A ．0B ．1C ．2D ．313．已知集合A={x|x=2m-1，m ∈Z }，B={x|x=2n ，n ∈Z }，且x 1，x 2∈A ，x 3∈B ，则下列说法不正确的是A ．x 1·x 2∈AB ．x 2·x 3∈BC ．x 1+x 2∈BD ．x 1+x 2+x 3∈A14．设集合A={x|-1≤x ＜2}，B={x|x ＜a}，若A ∩B ≠Φ，则a 的取值范围是A ．（-∞，2）B ．（2，+∞）C ．（-1，+∞）D ．（-1，2]15．由实数x ，-x ，|x|，2x ，-33x 所组成的集合最多含A ．2个元素B ．3个元素C ．4个元素D ．5个元素16．若集合A={x||x|≤1,x ∈R }，B={y|y=x 2,x ∈R }，则A ∩B=A ．{x|-1≤x ≤1}B ．{x|x ≥0}C ．{x|0≤x ≤1}D ．Φ17．不等式(x+1)(|x|-1)＞0成立的充分不必要条件可以是A ．x ∈（1，+∞）B ．x ∈（2，+∞）C ．x ∈（-∞，-1）∪（1，+∞）D ．x ∈（-∞，-1）18．设p ：函数y=3x 2+4x+m 的图像与x 轴无交点，q ：m ≥2-x 2对任意的x ∈R 恒成立，则p 是q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件19．关于x 的方程x 2+(m-3)x+7-m=0的两根都大于3，则m 的取值范围是A ．（-∞，1-25）∪（1+25，+∞）B ．（-27，1-25] C ．（-∞，-27）∪（1-25，+∞） D ．（-∞，1-25] 20．设计和S={A 0，A 1，A 2，A 3，A 4，A 5}，在S 上定义运算“⊕”为：A i ⊕A j =A k ，其中k 为i+j被4除的余数，i,j=0,1,2,3,4,5，则满足关系式(x ⊕x)⊕A 2=A 0的x （x ∈S ）的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4 二、填空题（本大题共20小题，每小题2分，共40分）21．命题“∃x ∈R ，x 2+x+1＞0”的否定是_______________________________。