人教版数学优化设计必修一答案
高中数学必修一《优化方案》答案 第一章
错误!1．1。
1集合的含义与表示［读教材·填要点]1．元素与集合(1)元素与集合的定义：一般地，把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）．(2)集合中元素的性质：①确定性：即给定的集合，它的元素是确定的．②互异性：即给定集合的元素是互不相同的．③无序性．（3）集合相等:只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．（4）元素与集合的关系：a是集合A的元素，记作a∈A,a不是集合A的元素,记作a∉A.2．集合的表示方法除了用自然语言表示集合外,还可以用列举法和描述法表示集合．(1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“｛}”括起来表示集合的方法．(2）描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法．3．常用数集及其记法1．著名数学家能否构成一个集合？提示：不能,没有一定的评定标准，故著名数学家是不确定的对象，所以不能构成集合．2．一个集合能表示成｛s，k，t，k}吗？提示:不能，集合中的元素是互不相同的，任何两个相同的对象在同一个集合中，只能算作这个集合的一个元素．3．集合{－5，－8｝和{（－5，－8)}是同一集合吗？提示:不是同一集合．集合｛－5,－8｝中元素有2个，为数．而集合{(－5，－8）}中有一个元素为坐标（－5，－8）．[例1］(1)某校2013年在校的所有高个子同学;(2）不超过20的非负数；（3)帅哥；(4)直角坐标系平面内第一象限的一些点;(5）错误!的近似值的全体．［自主解答]“高个子”没有明确的标准，因此（1）不能构成集合．（2)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数"，即“0≤x≤20”与“x>20或x〈0",两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；(3）“帅哥"没有一个明确的标准，不能构成集合;（4)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定,因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；（6)“错误!的近似值"不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以（5）不能构成集合．————————-—-——————-判断指定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．——--————-—————-—————————--——————-———————1．下列能构成集合的是()A．中央电视台著名节目主持人B．2013年沈阳全运会比赛的所有项目C．2010年上海世博园中所有漂亮的展馆D．世界上的高楼答案:B[例2］a的值．[自主解答］若a＋2＝1，则a＝－1,所以A＝｛1,0，1}，与集合中元素的互异性矛盾，应舍去;若（a＋1)2＝1,则a＝0或a＝－2，当a＝0时，A＝｛2，1,3},满足题意．当a＝－2时，A＝｛0，1,1｝，与集合中元素的互异性矛盾，舍去；若a2＋3a＋3＝1,则a＝－1或a＝－2(均舍去）．综上可知,a＝0。
高中数学必修一《优化方案》答案-第一章
1．1.1集合的含义与表示[读教材·填要点]1．元素与集合(1)元素与集合的定义：一般地，把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．(2)集合中元素的性质：①确定性：即给定的集合，它的元素是确定的．②互异性：即给定集合的元素是互不相同的．③无序性．(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．(4)元素与集合的关系：a是集合A的元素，记作a∈A，a不是集合A的元素，记作a∉A.2．集合的表示方法除了用自然语言表示集合外，还可以用列举法和描述法表示集合．(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法．(2)描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法．3．常用数集及其记法1．著名数学家能否构成一个集合？提示：不能，没有一定的评定标准，故著名数学家是不确定的对象，所以不能构成集合．2．一个集合能表示成{s，k，t，k}吗？提示：不能，集合中的元素是互不相同的，任何两个相同的对象在同一个集合中，只能算作这个集合的一个元素．3．集合{－5，－8}和{(－5，－8)}是同一集合吗？提示：不是同一集合．集合{－5，－8}中元素有2个，为数．而集合{(－5，－8)}中有一个元素为坐标(－5，－8)．[例1](1)某校2013年在校的所有高个子同学；(2)不超过20的非负数；(3)帅哥；(4)直角坐标系平面内第一象限的一些点；(5)3的近似值的全体．[自主解答]“高个子”没有明确的标准，因此(1)不能构成集合．(2)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x>20或x<0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；(3)“帅哥”没有一个明确的标准，不能构成集合；(4)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(6)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以(5)不能构成集合．——————————————————判断指定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．————————————————————————————————————————1．下列能构成集合的是()A．中央电视台著名节目主持人B．2013年沈阳全运会比赛的所有项目C．2010年上海世博园中所有漂亮的展馆D．世界上的高楼答案：B[例2]已知集合A＝{a[自主解答]若a＋2＝1，则a＝－1，所以A＝{1,0,1}，与集合中元素的互异性矛盾，应舍去；若(a＋1)2＝1，则a＝0或a＝－2，当a＝0时，A＝{2,1,3}，满足题意．当a＝－2时，A＝{0,1,1}，与集合中元素的互异性矛盾，舍去；若a2＋3a＋3＝1，则a＝－1或a＝－2(均舍去)．综上可知，a＝0.例2中1∈A改为4∈A，则结果如何？解：若a＋2＝4，则a＝2.∴A＝{4,9,13}满足题意．若(a＋1)2＝4，则a＝1或a＝－3.当a＝1时，A＝{3,4,7}，满足题意．当a＝－3时，A＝{－1,3,4，}满足题意．若a 2＋3a ＋3＝4，则a ＝－3±132，代入后都满足题意，故a 的值为a ＝1，a ＝2，或a ＝－3或a ＝－3±132.——————————————————1.这类问题既要用元素的确定性，又要利用互异性检验解的正确与否.初学者解题时易忽略元素的互异性，学习中要高度重视.另外，本类问题往往涉及分类讨论的数学思想.2.一个集合中，元素之间没有先后顺序，只要构成两个集合的元素是一样的，这两个集合就是同一个集合. ————————————————————————————————————————2．含有两个实数的集合A 可以表示为{a －3,2a －1}，求实数a 的取值范围． 解：∵A ＝{a －3,2a －1}，∴由集合中元素的互异性可得a －3≠2a －1. ∴a ≠－2.∴a 的取值范围为a ≠－2.[例3] (1)方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3x －y ＝5的解集；(2)不等式2x －3>5的解集．[自主解答] (1)集合用描述法表示为{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3x －y ＝5}．解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－1故集合用列举法表示为{(4，－1)}．(2)由2x －3>5可得x >4，所以不等式2x －3>5的解集为{x |x >4，x ∈R }． ——————————————————1．一个集合可以用不同的方法表示，需根据题意选择适当的方法，同时注意列举法和描述法的适用范围． 2．方程(或方程组)的解的个数较少，因此方程(或方程组)的解集一般用列举法表示；不等式(或不等式组)的解集一般用描述法表示．注意，当题目中要求求出“…的解集”或写出“…的集合”时，一定要将最终结果写成集合的形式．————————————————————————————————————————3．有下面六种表示方法①{x ＝－1，y ＝2} ②⎩⎨⎧(x ，y )⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ＝－1，y ＝2.③{－1,2} ④(－1,2) ⑤{(－1,2)} ⑥{x ，y |x ＝－1，或y ＝2}．其中，能正确表示方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，x －y ＋3＝0的解集的是________(把所有正确答案的序号填在空格上)．解析：[错解] ∵x 3∈A ，故x 3＝0或x 3＝1或x 3＝x ， 若x 3＝0，则x ＝0； 若x 3＝1，则x ＝1； 若x 3＝x ，则x ＝1或x ＝0. 综上所述：所求x 的值为0或1.[错因] 本题错误的原因有两个，一是没有考虑到元素的互异性，解出来的结果没有代入检验，得出了错误结果；二是解x 2＝x 时漏掉了x ＝－1这个答案，也导致了错误的结果．[正解] ∵x 3∈A ， ∴x 3是集合A 中的元素．又∵集合A 中含有3个元素，∴需分情况讨论：①若x 3＝0，则x ＝0，此时集合A 中有两个元素0，不符合集合中元素的互异性，舍去； ②若x 3＝1，则x ＝1，此时集合A 中有两个元素1，不符合集合中元素的互异性，舍去；③若x 3＝x ，则x ＝0、x ＝－1或x ＝1，当x ＝0、x ＝1时不符合集合中元素的互异性，都舍去．当x ＝－1时，此时集合A 中有三个元素1,0，－1，符合集合中元素的互异性；综上可知，x ＝－1. 1．有下列各组对象： ①接近于0的数的全体； ②比较小的正整数的全体；③平面上到点O 的距离等于1的点的全体； ④正三角形的全体．其中能构成集合的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：①不能构成集合，“接近”的概念模糊，无明确标准．②不能构成集合，“比较小”也是不明确的，多小算小没明确标准．③④均可构成集合，因为任取一个元素是否是此集合的元素有明确的标准可依．答案：A2．下面几个命题中正确命题的个数是( ) ①集合N *中最小的数是1； ②若－a ∉N *，则a ∈N *；③若a ∈N *，b ∈N *，则a ＋b 最小值是2； ④x 2＋4＝4x 的解集是{2,2}． A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：N *是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；当a ＝0时，－a ∉N *，且a ∉N *，故②错；若a ∈N *，则a 的最小值是1，又b ∈N *，b 的最小值也是1，当a 和b 都取最小值时，a ＋b 取最小值2，故③正确；由集合元素的互异性知④是错误的．故①③正确．答案：C3．已知集合M ＝{3，m ＋1}，且4∈M ，则实数m 等于( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1解析：∵4∈M ，∴4＝m ＋1，∴m ＝3. 答案：B4．已知①5∈R ②13∈Q ③0＝{0} ④0∉N⑤π∈Q ⑥－3∈Z .正确的个数为________． 解析：①②⑥是正确的；③④⑤是错误的． 答案：35．用适当的符号填空：已知A ＝{x |x ＝3k ＋2，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝6m －1，m ∈Z }，则有：17______A ；－5______A ；17________B .解析：令3k ＋2＝17得，k ＝5∈Z . 所以17∈A .令3k ＋2＝－5得，k ＝－73∉Z .所以－5∉A .令6m －1＝17得，m ＝3∈Z ， 所以17∈β. 答案：∈，∉，∈6．用适当的方法表示下列集合： (1)一年中有31天的月份的全体； (2)大于－3.5小于12.8的整数的全体； (3)梯形的全体构成的集合； (4)所有非负偶数的集合； (5)所有能被3整除的数的集合； (6)方程(x －1)(x －2)＝0的解集； (7)不等式2x －1>5的解集．解：(1){1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}． (2){－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}． (3){x |x 是梯形}或{梯形}． (4){0,2,4,6,8，…}． (5){x |x ＝3n ，n ∈Z }． (6){1,2}． (7){x |2x －1>5}． 一、选择题1．下列给出的对象中，能组成集合的是( ) A ．一切很大的数 B ．高中数学的所有难题 C ．美丽的小女孩D ．方程x 2－1＝0的实数根解析：选项A ，B ，C 中的对象都没有明确的判断标准，不满足集合中元素的确定性，故A ，B ，C 中的对象都不能组成集合．答案：D2．下列命题不．正确的有( )①很小的实数可以构成集合；②集合{y |y ＝x 2－1}与集合{(x ，y )|y ＝x 2－1}是同一个集合； ③1，32，64，⎪⎪⎪⎪－12，0.5这些数组成的集合有5个元素； ④集合{(x ，y )|xy ≤0，x ，y ∈R }是指第二和第四象限内的点集． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：①错的原因是元素不确定；②前者是数集，而后者是点集，种类不同；③32＝64，⎪⎪⎪⎪－12＝0.5，有重复的元素，应该是3个元素；④该集合还包括坐标轴上的点．答案：D3．已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为( ) A ．3 B ．6 C ．8D ．10解析：列举得集合B ＝{(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)}，共含有10个元素．答案：D4．定义集合运算：A *B ＝{z |z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }．设A ＝{1,2}，B ＝(0,2)，则集合A *B 的所有元素之和为( ) A ．0 B ．2 C ．3D ．6解析：依题意，A *B ＝{0,2,4}，其所有元素之和为6. 答案：D 二、填空题5．集合A ＝{(2，－2)，(2,2)}中含有________个元素． 解析：∵(2，－2)，(2,2)是两个点，∴有2个元素． 答案：26.已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝2x ＋1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋3}，a ∈A 且a ∈B ，则a 为________． 解析：∵a ∈A 且a ∈B ，∴a 是方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1y ＝x ＋3的解．解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝5，∴a 为(2,5)． 答案：(2,5)7．用描述法表示方程x <－x －3的解集为________． 解析：∵x <－x －3， ∴x <－32.∴解集为{x |x <－32}．答案：{x |x <－32}8．{(x ，y )|(x ＋2)2＋|y －3|＝0，x ，y ∈R }＝________.解析：由(x ＋2)2＋|y －3|＝0，又(x ＋2)2≥0，|y －3|≥0，所以(x ＋2)2＝0，|y －3|＝0，所以x ＝－2，y ＝3，所以{(x ，y )|(x ＋2)2＋|y －3|＝0，x ，y ∈R }＝{(－2，3)}．答案：{(－2,3)} 三、解答题9．已知集合A 含有两个元素a －3和2a －1， (1)若－3∈A ，试求实数a 的值． (2)若a ∈A ，试求实数a 的值． 解：(1)因为－3∈A ，所以－3＝a －3或－3＝2a －1. 若－3＝a －3，则a ＝0.此时集合A 含有两个元素－3，－1，符合题意． 若－3＝2a －1， 则a ＝－1.此时集合A 含有两个元素－4，－3，符合题意， 综上所述，满足题意的实数a 的值为0或－1. (2)因为a ∈A ，所以a ＝a －3或a ＝2a －1.当a ＝a －3时，有0＝－3，不成立．当a ＝2a －1时，有a ＝1，此时A 中有两个元素－2,1，符合题意．综上知a ＝1.10．已知集合A ＝{x |kx 2－8x ＋16＝0}只有一个元素，试求实数k 的值，并用列举法表示集合A . 解：当k ＝0时，原方程变为－8x ＋16＝0， 所以x ＝2，此时集合A ＝{2}；当k ≠0时，要使一元二次方程kx 2－8x ＋16＝0有两个相等实根，需Δ＝64－64k ＝0，即k ＝1.此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}．1．1.2集合间的基本关系[读教材·填要点]1．子集的概念2.A B(或B A)3.(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集．(2)用符号表示为：∅.(3)规定：空集是任何集合的子集．4．子集的有关性质(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.[小问题·大思维]1．若A B，则A⊆B且A≠B，对吗？提示：对．∵A B，首先A⊆B，其中B中至少有一个元素不属于A，即A≠B.2．任何集合都有真子集吗？提示：不是，空集∅就没有真子集．3．{0}和∅表示同一集合吗？它们之间有什么关系？提示：{0}和∅不是同一个集合．{0}表示含有一个元素0的集合，∅是不含任何元素的集合，且∅{0}．[例1]写出集合A＝[自主解答]由0个元素构成的子集：∅；由1个元素构成的子集：{1}，{2}，{3}；由2个元素构成的子集：{1,2}，{1,3}，{2,3}；由3个元素构成的子集：{1,2,3}．由此得集合A的所有子集为∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}．在上述子集中，除去集合A本身，即{1,2,3}，剩下的都是A的真子集．——————————————————1.求解有限集合的子集问题，关键有三点：(1)确定所求集合；(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身.2.一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个. ————————————————————————————————————————1．已知集合M满足{2,3}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，求集合M及其个数．解：当M中含有两个元素时，M为{2,3}；当M中含有三个元素时，M为{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}；当M中含有四个元素时，M为{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}；当M中含有五个元素时，M为{2,3,1,4,5}．所以满足条件的集合M为{2,3}，{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}，{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}，{2,3,1,4,5}，集合M的个数为8.[例2]下列各式正确的是(1){a}⊆{a}；(2){1,2,3}＝{3,1,2}；(3)0⊆{0}；(4){1}{x|x≤5}；(5){1,3}{3,4}．[自主解答]∵1<5，∴1∈{x|x≤5}．∴{1}⊆{x|x≤5}．又∵{1}≠{x|x≤5}，∴{1}{x|x≤5}．∵1∈{1,3}，但1∉{3,4}，∴{1,3}{3,4}．“”是“真包含于”的意思[——————————————————集合间关系的判定的步骤：首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A⊆B，否则A B；,其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B⊆A，否则B A；,最后，下结论：若A⊆B，B⊆A，则A ＝B ；若A ⊆B ，B A ，则A B ；若A B ，B ⊆A ，则B A ；若上述三种情况都不成立，则A B ，B A .[注意] 有时一个集合可以看成另一个集合的元素，如{1}可以看成集合{{1}，1，2，3}中的元素，也可以看成子集，因此{1}∈{{1}，1，2，3}与{1}⊆{{1}，1，2，3}都正确.————————————————————————————————————————2．集合M ＝{x |x 2＋x －6＝0}，N ＝{x |2x ＋7＞0}，试判断集合M 和N 的关系． 解：M ＝{－3,2}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >－72.∵－3>－72，2>－72，∴－3∈N,2∈N .∴M ⊆N . 又0∈N ，但0∉M ，∴M N .[例3] 已知集合A ＝{x |－3m 的取值范围． [自主解答] ∵B ⊆A ，(1)当B ＝∅时，m ＋1≤2m －1，解得m ≥2. (2)当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1解得－1≤m <2， 综上得m ≥－1. ——————————————————(1)利用集合之间的关系时，首先要分析、简化每个集合.(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实点表示，不含“＝”用虚点表示.(3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为非空集合而丢解，因此分类讨论是必须的.————————————————————————————————————————3．设集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且A ⊇B ，求a 的值． 解：∵A ⊇B ，而a 2－a ＋1∈B ，∴a 2－a ＋1∈A . ∴a 2－a ＋1＝3或a 2－a ＋1＝a . 当a 2－a ＋1＝3时，a ＝2或a ＝－1.(1)a ＝2时，A ＝{1,3,2}，B ＝{1,3}，这时满足条件A ⊇B ； (2)a ＝－1时，A ＝{1,3，－1}，B ＝{1,3}，这时也满足条件A ⊇B .当a 2－a ＋1＝a 时，a ＝1，此时A ＝{1,3,1}，B ＝{1,1}，根据集合中元素的互异性，故舍去a ＝1. ∴a 的值为2或－1.[错解] ∵M ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}，(1)当N ＝{1}时，有⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋1＝2，1×1＝a ，∴a ＝1.(2)当N ＝{2}时，有⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋2＝2，2×2＝a ，不成立．(3)当N ＝{1,2}时，有⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝2，1×2＝a ，不成立．所以，a ＝1.[错因] 空集是一个特殊的集合，是任何集合的子集，在解决集合关系问题时极易忽略∅，错解中没有考虑集合N 为∅的情况．[正解] ∵M ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}，又N ⊆M ，∴N ＝∅，或N ＝{1}，或N ＝{2}，或N ＝{1,2}． (1)当N ＝∅时，方程x 2－2x ＋a ＝0的判别式Δ＝4－4a <0，即a >1.(2)当N ＝{1}时，有⎩⎪⎨⎪⎧1＋1＝2，1×1＝a ，∴a ＝1.(3)当N ＝{2}时，有⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋2＝2，2×2＝a ，不成立．(4)当N ＝{1,2}时，有⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝2，1×2＝a ，不成立．综上可知实数a 的取值范围是a ≥1. 1．下列命题中，正确的有( ) ①空集是任何集合的真子集； ②若A B ，B C ，则A C ；③任何一个集合必有两个或两个以上的真子集； ④如果不属于B 的元素也不属于A ，则A ⊆B . A ．①② B ．②③ C ．②④D ．③④解析：①空集只是空集的子集而非真子集，故①错；②真子集具有传递性，故②正确；③若一个集合是空集，则没有真子集，故③错；④由韦恩(Venn)图易知④正确．答案：C2．设集合M ＝{x |x >－2}，则下列选项正确的是( ) A ．{0}⊆M B ．{0}∈M C ．∅∈MD ．0⊆M解析：选项B 、C 中均是集合之间的关系，符号错误；选项D 中是元素与集合之间的关系，符号错误． 答案：A3．已知集合A ＝{x |x 是平行四边形}，B ＝{x |x 是矩形}，C ＝{x |x 是正方形}，D ＝{x |x 是菱形}，则( ) A ．A ⊆B B ．C ⊆B C ．D ⊆CD ．A ⊆D解析：选项A 错，应当是B ⊆A .选项B 对，正方形一定是矩形，但矩形不一定是正方形．选项C 错，正方形一定是菱形，但菱形不一定是正方形．选项D 错，应当是D ⊆A .答案：B 4．已知∅{x |x 2－x ＋a ＝0}，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵∅{x |x 2－x ＋a ＝0}．∴{x |x 2－x ＋a ＝0}≠∅. 即x 2－x ＋a ＝0有实根． ∴Δ＝(－1)2－4a ≥0，得a ≤14.答案：a ≤145．若{a,0,1}＝{c ，1b ，－1}，则a ＝________，b ＝________，c ＝________.解析：∵1b ≠0，∴c ＝0，∴a ＝－1，1b ＝1.∴a ＝－1，b ＝1.答案：－1 1 06．已知集合A ＝{－1,3,2m －1}，集合B ＝{3，m 2}，若B ⊆A ，求实数m 的值．解：∵B ⊆A ，∴m 2＝－1，或m 2＝2m －1，当m 2＝－1时，显然无实数根；当m 2＝2m －1时，m ＝1.∴实数m ＝1.一、选择题1．已知集合M ＝{x ∈Z |－3<x ≤1}，则它的真子集的个数为( ) A ．12 B ．14 C ．15D ．16解析：∵M ＝{x ∈Z |－3<x ≤1}＝{－2，－1,0,1}共有4个元素，∴它的真子集共有24－1＝15个． 答案：C2．定义集合A *B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，若A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{2,4,5}，则A *B 的子集个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：由题意知A *B ＝{1,3}， ∴A *B 的子集个数为22＝4个． 答案：D3．已知集合M ＝{x |－5<x <3，x ∈Z }，则下列集合中为集合M 子集的是( ) A ．P ＝{－3,0,1} B ．Q ＝{－1,0,1,2}C ．R ＝{y |－π<y <－1，y ∈Z }D ．S ＝{x ||x |≤3，x ∈N }解析：先用列举法表示集合，再观察元素与集合的关系．集合M ＝{－2，－1,0,1}，集合R ＝{－3，－2}，S ＝{0,1}，不难发现集合P 中的元素－3∉M ，集合Q 中的元素2∉M ，集合R 中的元素－3∉M ，而S ＝{0,1}中的任意一个元素都在集合M 中，所以S ⊆M ，且S M .答案：D4．已知集合A ⊆{0,1,2}，且集合A 中至少含有一个偶数，则这样的集合A 的个数为( ) A ．6 B ．5 C ．4D ．3解析：集合{0,1,2}的子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，其中含有偶数的集合有6个．答案：A 二、填空题5．已知集合A ＝{x |a －1≤x ≤a ＋2}，B ＝{x |3<x <5}，则能使A ⊇B 成立的实数a 的取值范围是________．解析：∵A ⊇B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤3，a ＋2≥5，∴3≤a ≤4. 答案：3≤a ≤46．设a ，b ∈R ，集合{0，ba，b }＝{1，a ＋b ，a }，则b －a ＝________.解析：由题意可知a ≠0，则a ＋b ＝0，a ＝－b ，所以ba ＝－1，则a ＝－1，b ＝1，故b －a ＝2.答案：27．下列关系中正确的是________．①∅∈{0}； ②∅{0}； ③{0,1}⊆{(0,1)}； ④{(a ，b )}＝{(b ，a )}．解析：∵∅{0}，∴①错误；空集是任何非空集合的真子集，②正确，{(0,1)}是含有一个元素的点集，③错误；{(a ，b )}与{(b ，a )}是两个不等的点集，④错误，故正确的是②.答案：②8．已知集合P ＝{1,2}，那么满足Q ⊆P 的集合的个数是________． 解析：∵P ＝{1,2}，Q ⊆P ，∴集合Q 可以是∅或{1}或{2}或{1,2}． 答案：4 三、解答题9．由“2，a ，b ”三个元素构成的集合与由“2a,2，b 2”三个元素构成的集合是同一个集合，求a ，b 的值． 解：根据集合相等，有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2a ，b ＝b 2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b 2，b ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0或⎩⎨⎧a ＝14，b ＝12.再根据集合元素的互异性，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝14，b ＝12.10．设集合A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，B ＝{x |x 2－(2a ＋1)x ＋a 2＋a ＝0}，若B ⊆A ，求a 的值．解：法一：A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，由B ⊆A 得，B ＝∅，或B ＝{2}，或B ＝{3}，或B ＝{2,3}，由于Δ＝(2a ＋1)2－4a 2－4a ＝1>0，∴B ≠∅，且B 含有两个不同元素．∴B ＝{2,3}，需2a ＋1＝5和a 2＋a ＝6同时成立， ∴a ＝2.综上所述：a ＝2.法二：A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，B＝{x|x2－(2a＋1)x＋a2＋a＝0}＝{x|(x－a)·(x－a－1)＝0}＝{a，a＋1}，∵a≠a＋1，∴当B⊆A时，只有a＝2且a＋1＝3.∴a＝2.1．1.3集合的基本运算第一课时并集与交集[读教材·填要点]1．集合的并集与交集的定义21．若A＝{1,2,3}，B＝{3,4,5}，那么A∪B＝{1,2,3,3,4,5}对吗？如何表示A∪B和A∩B?提示：A∪B＝{1,2,3,3,4,5}是不对的，因为不符合元素的互异性；A∪B＝{1,2,3,4,5}，A∩B＝{3}．2．你认为并集概念中的“或”与我们日常生活中“或”意义一致吗？有什么区别？提示：并集中的“或”与生活中“或”是不一样的．生活用语中的“或”是“或此”“或彼”只取其一，如“老师让张明或李红去开会”，意思是张明去也可以，李红去也可以，但不包括张明和李红一起去这种情况；而并集中的“或”则是“或此”“或彼”“或彼此”．3．若集合A与集合B没有公共元素，能否说集合A与集合B没有关系？提示：当两集合A与B没有公共元素时，不能说集合A与B没有关系，而是A∩B＝∅.[例1] 已知集合A ＝{x |(x ∪B 是( ) A ．{－1,2,3} B ．{－1，－2,3} C ．{1，－2,3}D ．{1，－2，－3}[自主解答] A ＝{x |(x －1)(x ＋2)＝0}＝{1，－2}；B ＝{x |(x ＋2)(x －3)＝0}＝{－2,3}， ∴A ∪B ＝{1，－2}∪{－2,3}＝{－2,1,3}． [答案] C ——————————————————解决此类问题首先应看清集合中元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可以根据交集、并集的定义直接观察或用Venn 图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示.————————————————————————————————————————1．已知集合A ＝{x |－1＜x ≤3}，B ＝{x |x ≤0，或x ≥52}，求A ∩B ，A ∪B .解：∵A ＝{x |－1＜x ≤3}，B ＝{x |x ≤0，或x ≥52}，把集合A 与B 表示在数轴上，如图． ∴A ∩B ＝{x |－1＜x ≤3}∩{x |x ≤0或x ≥52}＝{x |－1＜x ≤0或52≤x ≤3}；A ∪B ＝{x |－1＜x ≤3}∪{x |x ≤0或x ≥52}＝R .[例2] 已知集合A ＝x 的值． [自主解答] ∵A ∪B ＝{1,3，x }，A ＝{1,3，x }，B ＝{1，x 2}， ∴A ∪B ＝A ，即B ⊆A ， ∴x 2＝3或x 2＝x .①当x 2＝3时，得x ＝±3.若x ＝3，则A ＝{1,3，3}，B ＝{1,3}，符合题意； 若x ＝－3，则A ＝{1,3，－3}，B ＝{1,3}，符合题意． ②当x 2＝x 时，则x ＝0或x ＝1.若x ＝0，则A ＝{1,3,0}，B ＝{1,0}，符合题意； 若x ＝1，则A ＝{1,3,1}，B ＝{1,1}，不成立，舍去；综上可知，x ＝±3或x ＝0. ——————————————————(1)在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B 等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝B ⇔A ⊆B 等，解答时应灵活处理.(2)对于含有参数的问题要分类讨论，同时要检验，利用好集合中元素的互异性. ————————————————————————————————————————2．已知集合A ＝{4,6}，B ＝{2，m }，A ∪B ＝{2,4,6}，则m 的值为________． 解析：∵A ＝{4,6}，B ＝{2，m }， 而A ∪B ＝{2,4,6}， ∴m ＝4或m ＝6. 答案：4或6(1) 若A ∩B ＝A ∪B ，求a 的值； (2)若∅A ∩B ，A ∩C ＝∅，求a 的值．[巧思] (1)A ∩B ＝A ∪B ⇔A ＝B ；(2)∅A ∩B ⇔A ∩B ≠∅. [妙解] 由已知，得B ＝{2,3}，C ＝{2，－4}．(1)∵A ∩B ＝A ∪B ，∴A ＝B .于是2,3是一元二次方程x 2－ax ＋a 2－19＝0的两个根，由根与系数之间的关系知：⎩⎪⎨⎪⎧2＋3＝a ，2×3＝a 2－19解之得a ＝5.(2)由A ∩B ∅⇒A ∩B ≠∅，又A ∩C ＝∅，得3∈A,2∉A ，－4∉A . 由3∈A 得32－3a ＋a 2－19＝0， 解得a ＝5或a ＝－2.当a ＝5时，A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，与2∉A 矛盾； 当a ＝－2时，A ＝{x |x 2＋2x －15＝0}＝{3，－5}，符合题意． ∴a ＝－2.1．已知集合M ＝{1,2,3,4}，N ＝{－2,2}，下列结论成立的是( ) A ．N ⊆M B ．M ∪N ＝M C ．M ∩N ＝ND ．M ∩N ＝{2}解析：因为－2∉M ，可排除A ；M ∪N ＝{－2,1,2,3,4}，可排除B ；M ∩N ＝{2}．答案：D2．设A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则如图中阴影部分表示的集合为()A．{2} B．{3}C．{－3,2} D．{－2,3}解析：注意到集合A中的元素为自然数，因此易知A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，而直接解集合B中的方程可知B＝{－3,2}，因此阴影部分显然表示的是A∩B＝{2}．答案：A3．设集合M＝{x|－3≤x<7}，N＝{x|2x＋k≤0}，若M∩N≠∅，则k的取值范围是()A．k≤3 B．k≥－3C．k>6 D．k≤6解析：因为N＝{x|2x＋k≤0}＝{x|x≤－k2}，且M∩N≠∅，所以－k2≥－3⇒k≤6.答案：D4．已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，则A∩B∩C＝________. 解析：∵A∩B＝{x|x是菱形}∴A∩B∩C＝{x|x是正方形}．答案：{x|x是正方形}5．已知集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，则集合M∩N＝________.解析：由M＝{0,1,2}，知N＝{0,2,4}，M∩N＝{0,2}．答案：{0,2}6．设集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3,2a－1，a2＋1}，A∩B＝{－3}，求实数a.解：∵A∩B＝{－3}，∴－3∈B.∵a2＋1≠－3，∴①若a－3＝－3，则a＝0，此时A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－1,1}，但由于A∩B＝{1，－3}与已知A∩B＝{－3}矛盾，∴a≠0.②若2a－1＝－3，则a＝－1，此时A＝{1,0，－3}，B＝{－4，－3,2}，A∩B＝{－3}，综上可知a＝－1.一、选择题1．已知集合A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |－1≤x ≤2}，则A ∪B ＝( ) A ．{x |x ≥－1} B ．{x |x ≤2} C ．{x |0<x ≤2}D ．{x |1≤x ≤2}解析：结合数轴得A ∪B ＝{x |x ≥－1}． 答案：A2．设集合M ＝{x |－3<x <2}，N ＝{x |1≤x ≤3}，则M ∩N ＝( ) A ．{x |1≤x <2} B ．{x |1≤x ≤2} C ．{x |2<x ≤3}D ．{x |2≤x ≤3} 解析：∵M ＝{x |－3<x <2}且N ＝{x |1≤x ≤3}， ∴M ∩N ＝{x |1≤x <2}． 答案：A3．设A ＝{x |－3≤x ≤3}，B ＝{y |y ＝－x 2＋t }．若A ∩B ＝∅，则实数t 的取值范围是( ) A ．t <－3 B ．t ≤－3 C ．t >3D ．t ≥3解析：B ＝{y |y ≤t }，结合数轴可知t <－3. 答案：A4．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，且B ≠∅，若A ∪B ＝A ，则( ) A ．－3≤m ≤4 B ．－3＜m ＜4 C ．2＜m ＜4D ．2＜m ≤4解析：∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .又B ≠∅， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7m ＋1＜2m －1即2＜m ≤4.答案：D 二、填空题5．已知集合A ＝{1,2,4}，B ＝{2,4,6}，则A ∪B ＝________. 解析：集合A ，B 都是以列举法的形式给出，易得A ∪B ＝{1,2,4,6}． 答案：{1,2,4,6}6．已知集合A ＝{x |x ≥5}，集合B ＝{x |x ≤m }，且A ∩B ＝{x |5≤x ≤6}，则实数m ＝________. 解析：用数轴表示集合A 、B 如图所示， 由于A ∩B ＝{x |5≤x ≤6}， 则m ＝6. 答案：67．已知集合A ＝{x |x ≤1}，B ＝{x |x ≥a }，且A ∪B ＝R ，则实数a 的取值范围是________． 解析：如图所示，若A ∪B ＝R ，则a ≤1. 答案：a ≤18．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝ax ＋3}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x ＋b }，A ∩B ＝{(2,5)}，则a ＝________，b ＝________. 解析：∵A ∩B ＝{(2,5)}． ∴5＝2a ＋3.∴a ＝1. ∴5＝6＋b .∴b ＝－1. 答案：1 －1 三、解答题9．已知集合A ＝{x |－1≤x ＜3}，B ＝{x |2x －4≥x －2}． (1)求A ∩B ；(2)若集合C ＝{x |2x ＋a ＞0}，满足B ∪C ＝C ，求实数a 的取值范围． 解：(1)∵B ＝{x |x ≥2}，A ＝{x |－1≤x ＜3}， ∴A ∩B ＝{x |2≤x ＜3}．(2)∵C ＝{x |x ＞－a2}，B ∪C ＝C ⇔B ⊆C ，∴a ＞－4.10．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ 3－x >0，3x ＋6>0，集合B ＝{m |3>2m －1}，求A ∩B ，A ∪B . 解：解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3－x >0，3x ＋6>0，得－2<x <3，则A ＝{x |－2<x <3}，解不等式3>2m －1，得m <2，则B ＝{m |m <2}． 用数轴表示集合A 和B ，如图所示， 则A ∩B ＝{x |－2<x <2}，A ∪B ＝{x |x <3}．第二课时 补集及集合运算综合问题[读教材·填要点]1．全集(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么称这个集合为全集． (2)符号表示：通常记作U . 2．补集1．已知集合A、∁U A(U为全集)，则A∩(∁U A)与A∪(∁U A)各有什么特点？提示：A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U.2．设U为全集，则∁U∅、∁U U、∁U(∁U A)分别表示什么集合？提示：∁U∅＝U，∁U U＝∅.∁U(∁U A)＝A.3．判断∁U(A∩B)＝(∁U A)∩∁U B，∁U(A∪B)＝(∁U A)∪(∁U B)是否正确．提示：不对．结合韦恩图可知∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)．[例1]设全集U＝{0,1,2,3}U m的值．[自主解答]如图，∵U＝{0,1,2,3}，∁U A＝{1,2}，∴A＝{0,3}．∴方程x2＋mx＝0的两根为x1＝0，x2＝3，∴0＋3＝－m.即m＝－3.——————————————————(1)根据补集定义，借助Venn图，可直观地求出全集，此类问题，当集合中元素离散时，可借助V enn图；当集合中元素连续时，可借助数轴，利用数轴分析法求解．(2)解题时要注意使用补集的几个性质：∁U U＝∅，∁U∅＝U，A∪(∁U A)＝U. ————————————————————————————————————————1．已知全集U，集合A＝{1,3,5,7,9}，∁U A＝{2,4,6,8}，∁U B＝{1,4,6,8,9}，求集合B.解：借助Venn，如右图所示，得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，∵∁U B＝{1,4,6,8,9}，∴B＝{2,3,5,7}.[例2]设U＝{x∈N|x(∁U A)∩(∁U B)，(∁U A)∪(∁U B)．[自主解答]∵U＝{x∈N|x<10}＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A＝{1,5,7,8}，B＝{3,4,5,6,9}，∴A∩B＝{1,5,7,8}∩{3,4,5,6,9}＝{5}，A ∪B ＝{1,5,7,8}∪{3,4,5,6,9}＝{1,3,4,5,6,7,8,9}． ∵∁U A ＝{0,2,3,4,6,9}，∁U B ＝{0,1,2,7,8}，∴(∁U A )∩(∁U B )＝{0,2}，(∁U A )∪(∁U B )＝{0,1,2,3,4,6,7,8,9}． ——————————————————1.解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，如求∁U (A ∪B )时，先求出A ∪B ，再求补集.2.当集合是用列举法表示时，如数集，可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合是用描述法表示时，如不等式形式表示的集合，则可借助数轴求解.————————————————————————————————————————2．已知U ＝R ，A ＝{x |x >0}，B ＝{x |x ≤－1}，则[A ∩(∁U B )]∪[B ∩(∁U A )]＝( ) A ．∅ B ．{x |x ≤0}C ．{x |x >－1}D ．{x |x >0，或x ≤－1}解析：∵B ＝{x |x ≤－1}，∴∁U B ＝{x |x >－1}． 又∵A ＝{x |x >0}，∴A ∩(∁U B )＝{x |x >0}． 又∵∁U A ＝{x |x ≤0}． ∴B ∩(∁U A )＝{x |x ≤－1}．∴[A ∩(∁U B )]∪[B ∩(∁U A )]＝{x |x >0，或x ≤－1}． 答案：D[例3] 设全集U ＝R ，U a 的取值范围． [自主解答]∁U P ＝{x |x ＜－2或x ＞1}， ∵M ∁U P ，∴分M ＝∅，M ≠∅，两种情况讨论． (1)M ≠∅时，如图可得或⎩⎪⎨⎪⎧3a ＜2a ＋5，3a ≥1，∴a ≤－72，或13≤a ＜5.(2)M ＝∅时，应有3a ≥2a ＋5⇒a ≥5. 综上可知，a ≤－72，或a ≥13.——————————————————1.M⊆N，一般分两种情况讨论：①M＝∅，②M≠∅.2.解用不等式表示的数集间的集合运算时，一般要借助于数轴求解，此法的特点是简单直观，同时要注意各个端点的画法. ————————————————————————————————————————3．已知集合A＝{x|－4≤x≤－2}，集合B＝{x|x－a≥0}．(1)若A⊆B，求a的取值范围；(2)若全集U＝R，且A⊆(∁U B)，求a的取值范围．解：∵A＝{x|－4≤x≤－2}，B＝{x|x≥a}，(1)由A⊆B，结合数轴(如图所示)可知a的范围为a≤－4.(2)∵U＝R，∴∁U B＝{x|x＜a}，要使A⊆∁U B，须a＞－2.动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．[巧思]先将文字语言转化为集合语言，设U为全班学生组成的集合，A、B分别表示喜爱篮球运动的学生组成的集合、喜爱乒乓球运动的学生组成的集合，再利用Venn图可直观得出答案．[妙解]设全集U＝{全班30名学生}，A＝{喜爱篮球运动的学生}，B＝{喜爱乒乓球运动的学生}，画出Venn图如图所示．设既喜欢篮球运动又喜欢乒乓球运动的人数为x，则(15－x)＋x＋(10－x)＝30－8，解得x＝3，所以喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为12.[答案]121．设全集为R，A＝{x|x<3，或x>5}，B＝{x|－3<x<3}，则()A．∁R(A∪B)＝R B．A∪(∁R B)＝RC．(∁R A)∪(∁R B)＝R D．A∪B＝R解析：∵∁R A＝{x|3≤x≤5}，∁R B＝{x|x≤－3，或x≥3}，逐个验证知B正确．答案：B2.(2013·临沂一模)已知全集U＝Z，集合A＝{0,1}，B＝{－1,0,1,2}，则图中阴影部分所表示的集合为()A．{－1,2} B．{－1,0}C．{0,1} D．{1,2}解析：图中阴影部分表示的集合为(∁U A)∩B，因为A＝{0,1}，B＝{－1,0,1,2}，所以(∁U A)∩B＝{－1,2}．答案：A3．已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{0,1,3,5,8}，集合B＝{2,4,5,6,8}，则(∁U A)∩(∁U B)＝() A．{5,8} B．{7,9}C．{0,1,3} D．{2,4,6}解析：因为A∪B＝{0,1,2,3,4,5,6,8}，所以(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)＝{7,9}．答案：B4．已知全集U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}，若∁U A＝{1}，则实数a的值是________．解析：∵U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}，∁U A＝{1}，∴a2－a－1＝1，即a2－a－2＝0，∴a＝－1或a＝2.答案：－1或25．已知集合A＝{x|0≤x≤5}，B＝{x|2≤x＜5}，则∁A B＝________.解析：如图：由数轴可知：∁A B＝{x|0≤x<2，或x＝5}．答案：{x|0≤x<2，或x＝5}6．设全集U＝{x|0<x<10，x∈N}，若A∩B＝{3}，A∩(∁U B)＝{1,5,7}，(∁U A)∩(∁U B)＝{9}，求集合A，B.解：U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，由题意画出Venn图，∴A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,4,6,8}．一、选择题1．设U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩(∁U B)＝()A．{x|0≤x<1} B．{x|0<x≤1}C．{x|x<0} D．{x|x>1}解析：画出数轴，如图所示，∁U B＝{x|x≤1}，则A∩(∁U B)＝{x|0<x≤1}．答案：B2．已知全集U＝A∪B中有m个元素，(∁U A)∪(∁U B)中有n个元素．若A∩B是非空集合，则A∩B的元素个数为()A．mn B．m＋nC．n－m D．m－n解析：画出Venn图，如图．∵U＝A∪B中有m个元素，(∁U A)∪(∁U B)＝∁U(A∩B)中有n个元素，∴A∩B中有m－n个元素．答案：D3．已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|x<2}，且A∪(∁R B)＝R，则a满足()A．a≥2 B．a>2C．a<2 D．a≤2解析：∁R B＝{x|x≥2}，则由A∪(∁R B)＝R得a≥2.答案：A4．设S为全集，则下列几种说法中，错误的个数是()①若A∩B＝∅，则(∁S A)∪(∁S B)＝S；②若A∪B＝S，则(∁S A)∩(∁S B)＝∅；③若A∪B＝∅，则A＝B.A．0 B．1C．2 D．3解析：①如图，(∁S A)∪(∁S B)＝S，正确．②若A∪B＝S，则(∁S A)∩(∁S B)＝∁S(A∪B)＝∅，故成立．③若A∪B＝∅，则A＝B＝∅.答案：A二、填空题5．已知集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，则A∩B＝________，A∩(∁N B)＝________.解析：因为集合A与集合B都有元素3和9，所以A∩B＝{3,9}，结合Venn图(如图所示)，易得A∩(∁N B)＝{1,5,7}．答案：{3,9}{1,5,7}6．设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(∁U A)∩B＝∅，则实数m的取值范围是________．解析：∵A＝{x|x≥－m}，∴∁U A＝{x|x<－m}．又∵(∁U A)∩B＝∅，－m≤－2.∴m≥2.答案：m≥27．设全集U＝{a，b，c，d}，集合A＝{a，b}，B＝{b，c，d}，则(∁U A)∪(∁U B)＝________.解析：依题意得知，∁U A＝{c，d}，∁U B＝{a}，(∁U A)∪(∁U B)＝{a，c，d}．答案：{a，c，d}8．已知全集U(U≠∅)和集合A、B、D，且A＝∁U B，B＝∁U D，则A与D的关系是________．解析：A＝∁U B＝∁U(∁U D)＝D.答案：A＝D三、解答题9．已知全集U＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0＜x≤3}，求∁U A，(∁U B)∩A.解：∵U＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0＜x≤3}，结合数轴(如图)．可知∁U A＝{x|1＜x≤4}，∁U B＝{x|3＜x≤4，或－1≤x≤0}．结合数轴(如图)．可知(∁U B)∩A＝{x|－1≤x≤0}．10．2011年8月世界大学生运动会在深圳举行，大运村的50名志愿者中，会讲英语的有36人，会讲日语的有20人，既会讲英语又会讲日语的有14人，问既不会讲英语又不会讲日语的有多少人？解：设全集U＝{50名志愿者}，A＝{会讲英语的志愿者}，B＝{会讲日语的志愿者}，A∩B＝{既会讲英语又会讲日语的志愿者}，画出Venn图，如图，则由Venn图知，既不会讲英语又不会讲日语的志愿者有50－22－14－6＝8(人)．1．2.1函数的概念[读教材·填要点]1．函数的概念(1)函数的定义：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域与值域：函数y＝f(x)中，x叫自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．2．区间概念(a，b为实数，且a＜b)3.1．从函数的定义看，它的定义域和值域能否为空集？提示：因为定义中的A、B是非空数集，所以函数的定义域和值域都不能为空集．2．所有的数集都能用区间表示吗？提示：区间是数集的另一种表示方法，但并不是所有数集都能用区间表示，如{1,2,3,4}就不能用区间表示．3．如何用区间表示下列数集？(1){x|x≥1}；(2){x|2＜x≤3}；(3){x|x＞1且x≠2}．提示：(1)[1，＋∞)(2)(2,3](3)(1,2)∪(2，＋∞)[例1]设M＝{x|0≤x≤2}M到集合N的函数关系的有()A．0个B．1个C．2个D．3个[自主解答][答案] B——————————————————判断所给对应是否是函数，首先观察两个集合A、B是否是非空数集，其次验证对应关系下，集合A中数x 的任意性，集合B中数y的唯一性. ————————————————————————————————————————1．图中(1)(2)(3)(4)四个图象各表示两个变量x，y的对应关系，其中表示y是x的函数关系的有________．解析：由函数定义可知，任意作一条直线x＝a，则与函数的图象至多有一个交点，对于本题而言，当－1≤a≤1时，直线x＝a与函数的图象仅有一个交点，当a>1或a<－1时，直线x＝a与函数的图象没有交点．从而表示y 是x的函数关系的有(2)(3)．答案：(2)(3)[例2](1)f (x )＝3x ＋2；(2)f (x )＝3－x1－x －1.[自主解答] (1)使根式3x ＋2有意义的实数x 的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥－23，从而函数f (x )＝3x ＋2的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥－23.(2)要使3－x1－x －1有意义，只要⎩⎨⎧x －1≥0，3－x ≥0，x ≠2.因此函数f (x )＝3－x1－x －1的定义域为{x |1≤x ≤3且x ≠2}． ——————————————————求函数定义域的方法及注意事项：(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y ＝x 0要求x ≠0.(2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．————————————————————————————————————————2．求下列函数的定义域： (1)y ＝(x ＋1)0|x |－x ；(2)y ＝2x ＋3－12－x ＋1x. 解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≠0，|x |－x ≠0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，|x |≠x ，∴x <0且x ≠－1，∴原函数的定义域为{x |x <0且x ≠－1}．(2)要使函数有意义，需⎩⎨⎧2x ＋3≥0，2－x >0，x ≠0.解得－32≤x <2且x ≠0，所以函数y ＝2x ＋3－12－x＋1x 的定义域为⎣⎡⎭⎫－32，0∪(0,2).[例3] (1)f (x )＝(x )2，g (x )＝x 2； (2)f (x )＝x 2－2x －1，g (t )＝t 2－2t －1.[自主解答] (1)由于函数f (x )＝(x )2的定义域为{x |x ≥0}，而g (x )＝x 2的定义域为{x |x ∈R }，它们的定义域不同，所以它们不表示同一函数．(2)两个函数的定义域和对应关系都相同，所以它们表示同一函数． ——————————————————判断两个函数f (x )和g (x )是否是相等函数的步骤是：①先求函数f (x )和g (x )的定义域，如果定义域不同，那么它们不相等，如果定义域相同，再执行下一步；②化简函数的解析式，如果化简后的函数解析式相同，那么它们相等，否则它们不相等.————————————————————————————————————————3．下列各组函数中，f (x )与g (x )表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝x －1与g (x )＝x 2－2x ＋1 B ．f (x )＝x 与g (x )＝x 2xC ．f (x )＝x 与g (x )＝3x 3 D ．f (x )＝x 2－4x －2与g (x )＝x ＋2解析：A 选项中，f (x )与g (x )的对应关系不同，它们不表示同一函数；B ，D 选项中，f (x )与g (x )的定义域不同，它们不表示同一函数．答案：C求函数y ＝(x －2)(x ＋1)(x －2)(x ＋3)的定义域．[错解] 要使函数y ＝(x －2)(x ＋1)(x －2)(x ＋3)＝x ＋1x ＋3有意义，则x ≠－3.故所求函数的定义域为{x |x ≠－3}．[错因] 约分扩大了自变量的取值范围．由于同时约去了函数中分子、分母的公因式“x －2”，使原函数变形为y ＝x ＋1x ＋3，从而改变了原函数的自变量x 的取值范围，也就是说，函数y ＝(x －2)(x ＋1)(x －2)(x ＋3)与函数y ＝x ＋1x ＋3不相等． [正解] 要使函数有意义，必须使(x －2)(x ＋3)≠0， 即x －2≠0且x ＋3≠0， 解得x ≠2且x ≠－3，。
高一优化设计参考答案
高一优化设计参考答案高一优化设计参考答案高一是学生们迈入高中阶段的重要一年，也是他们开始接触到更加深入的学科知识和学习方法的一年。
优化设计作为高中数学的一部分，是培养学生分析问题、解决问题的能力的重要环节。
本文将为大家提供一份高一优化设计的参考答案，希望能够帮助同学们更好地理解和掌握这一知识点。
优化设计题目一：求解最大值题目描述：一块铁板长100厘米，要制作一个无盖的长方体容器，使得容器的体积最大。
求容器的最大体积。
解题思路：假设长方体的底边长为x厘米，高为h厘米，则长为100-2x厘米。
根据体积公式V=xh(100-2x)，我们可以将体积的表达式化简为V=-2x^2+100x。
为了求解最大值，我们需要对体积的表达式进行求导。
V'=-4x+100。
令V'=0，解得x=25。
将x=25代入体积的表达式，得到V=6250。
因此，容器的最大体积为6250立方厘米。
优化设计题目二：求解最小值题目描述：一个矩形花坛的周长为20米，求解花坛的最小面积。
解题思路：假设矩形的长为x米，宽为y米，则根据周长的条件可得2x+2y=20。
将该条件代入面积公式S=xy，得到S=x(10-x)。
为了求解最小值，我们需要对面积的表达式进行求导。
S'=10-2x。
令S'=0，解得x=5。
将x=5代入面积的表达式，得到S=25。
因此，花坛的最小面积为25平方米。
优化设计题目三：求解最短路径题目描述：一只蚂蚁在一条长为10米的直线上，从点A出发，要爬到点B。
蚂蚁的爬行速度为1米/分钟，但在距离点C的5米范围内，蚂蚁的速度会减慢为0.5米/分钟。
求解蚂蚁从点A到点B所需的最短时间。
解题思路：假设蚂蚁从A点到C点的距离为x米，则从C点到B点的距离为(10-x)米。
根据速度和距离的关系，我们可以得到蚂蚁从A点到C点所需的时间t1=x分钟，从C点到B点所需的时间t2=(10-x)/0.5分钟。
因此，蚂蚁从A点到B点所需的总时间为T=t1+t2=x+(10-x)/0.5分钟。
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[A 基础达标]1．下列命题中正确的是( )A ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线B ．向量a ，b ，c 共面，即它们所在的直线共面C ．若两个非零空间向量AB→ 与CD → 满足AB → ＋CD → ＝0，则AB → ∥CD →D ．若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb解析：选C.A 中，若b ＝0，则a 与c 不一定共线；B 中，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面；C 中，因为AB → ＋CD → ＝0，所以AB → ＝－CD → ，所以AB → 与CD → 共线，故AB → ∥CD →正确；D 中，若b ＝0，a ≠0，则不存在λ，使a ＝λb .2．满足下列条件，能说明空间不重合的A ，B ，C 三点共线的是 ( ) A ．AB→ ＋BC → ＝AC → B ．AB→ －BC → ＝AC → C ．AB→ ＝BC → D ．|AB→ |＝|BC → | 解析：选C.对于空间中的任意向量，都有AB→ ＋BC → ＝AC → ，选项A 错误；若AB→ －BC → ＝AC → ，则AC → ＋BC → ＝AB → ，而AC → ＋CB → ＝AB → ，据此可知BC → ＝CB→ ，即B ，C 两点重合，选项B 错误；AB → ＝BC → ，则A ，B ，C 三点共线，选项C 正确；|AB → |＝|BC → |，则线段AB 的长度与线段BC 的长度相等，不一定有A ，B ，C 三点共线，选项D 错误．3．如果向量AB→ ，AC → ，BC → 满足|AB → |＝|AC → |＋|BC → |，则( )A ．AB→ ＝AC → ＋BC → B ．AB→ ＝－AC → －BC → C ．AC→ 与BC → 同向 D ．AC→ 与CB → 同向 解析：选D.因为|AB → |＝|AC → |＋|BC → |，所以A ，B ，C 共线且点C 在AB 之间，即AC → 与CB →同向．4.(多选)如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为向量BD 1的是( )A ．(A 1D 1→ －A 1A → )－AB →B ．(BC → ＋BB 1→ )－D 1C 1→ C ．(AD → －AB → )＋DD 1→ D ．(B 1D 1→ －A 1A → )－DD 1→解析：选ABC.对于选项A ，(A 1D 1→ －A 1A → )－AB → ＝AD 1→ －AB → ＝BD 1→ ；对于选项B ，(BC → ＋BB 1→ )－D 1C 1→ ＝BC 1→ ＋C 1D 1→ ＝BD 1→ ；对于选项C ，(AD → －AB → )＋DD 1→ ＝BD → ＋DD 1→ ＝BD 1→ ；对于选项D ，(B 1D 1→ －A 1A → )－DD 1→ ＝(B 1D 1→ －B 1B → )－DD 1→ ＝BD 1→ ＋D 1D → ＝BD → ，故选ABC.5．已知在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，A 1E → ＝14 A 1C 1→ ，若AE → ＝xAA 1→ ＋y (AB →＋AD→ )，则( ) A ．x ＝1，y ＝12 B ．x ＝12 ，y ＝1 C ．x ＝1，y ＝13D ．x ＝1，y ＝14解析：选 D.因为AE → ＝AA 1→ ＋A 1E → ＝AA 1→ ＋14 A 1C 1→ ＝AA 1→ ＋14 (AB → ＋AD→ )，所以x ＝1，y ＝14.6．已知空间中任意四个点A ，B ，C ，D ，则DA → ＋CD → －CB → ＝________．解析：方法一：DA → ＋CD → －CB → ＝(CD → ＋DA → )－CB → ＝CA → －CB → ＝BA →. 方法二：DA → ＋CD → －CB → ＝DA → ＋(CD → －CB → )＝DA → ＋BD → ＝BA → .答案：BA→7．如图所示，在三棱柱ABC -A ′B ′C ′中，AC → 与A ′C ′→ 是________向量，AB → 与B ′A ′→是________向量．(填“相等”或“相反”)解析：由相等向量与相反向量的定义知：AC → 与A ′C ′→ 是相等向量，AB → 与B ′A ′→是相反向量．答案：相等 相反8．设e 1，e 2是两个不共线的空间向量，若AB → ＝2e 1－k e 2，CB → ＝3e 1＋3e 2，CD → ＝k e 1＋e 2，且A ，B ，D 三点共线，则实数k 的值为________． 解析：因为A ，B ，D 三点共线，所以存在实数λ使得AB→ ＝λBD → .因为AB → ＝2e 1－k e 2，BD → ＝CD → －CB →＝(k －3)e 1－2e 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ（k －3），－k ＝－2λ， 所以k 2－3k－4＝0，解得k ＝－1或k ＝4.答案：4或－1 9.如图所示，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，M 是BB 1的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：(1)CB → ＋BA 1→ ；(2)AC → ＋CB →＋12 AA 1→ ； (3)AA 1→ －AC → －CB → . 解：(1)CB → ＋BA 1→ ＝CA 1→ ． (2)因为M 是BB 1的中点， 所以BM → ＝12BB 1→ ．又AA 1→ ＝BB 1→ ，所以AC → ＋CB → ＋12 AA 1→ ＝AB → ＋BM → ＝AM → . (3)AA 1→ －AC → －CB → ＝CA 1→ －CB → ＝BA 1→ ． 向量CA 1→ ，AM → ，BA 1→ 如图所示． 10．已知A ，B ，M 三点不共线，对于平面ABM 外的任意一点O ，判断在下列各条件下的点P 与点A ，B ，M 是否共面．(1)OB→ ＋OM → ＝3OP → －OA → ； (2)OP→ ＝4OA → －OB → －OM → . 解：方法一：(1)原式可变形为OP → ＝OM → ＋(OA → －OP → )＋(OB → －OP → )＝OM → ＋P A → ＋PB→ . 所以点P 与点A ，B ，M 共面．(2)原式可变形为OP → ＝2OA → ＋(OA → －OB → )＋(OA → －OM → )＝2OA → ＋BA → ＋MA→ . 因为点P 位于平面ABM 内的充要条件是OP → ＝OA → ＋xBA → ＋yMA → .而OP→ ＝2OA → ＋BA → ＋MA → ，所以点P 与点A ，B ，M 不共面．方法二：(1)原式可变形为OB → ＝3OP → －OA → －OM → .因为3＋(－1)＋(－1)＝1， 所以点B 与点P ，A ，M 共面， 即点P 与点A ，B ，M 共面．(2)由OP→ ＝4OA → －OB → －OM → ，得4＋(－1)＋(－1)＝2≠1， 所以点P 与点A ，B ，M 不共面．[B 能力提升]11．若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足OP → ＝mOA → ＋nOB →，其中m ＋n ＝1，则( )A ．P ∈ABB ．P ∉ABC ．点P 可能在直线AB 上D ．以上都不对解析：选A.因为m ＋n ＝1，所以m ＝1－n ， 所以OP→ ＝(1－n )OA → ＋nOB → ， 即OP→ －OA → ＝n (OB → －OA → )， 即AP→ ＝nAB → ，所以AP → 与AB → 共线． 又AP→ ，AB → 有公共起点A ， 所以P ，A ，B 三点在同一直线上， 即P ∈AB . 12.如图，O 为△ABC 所在平面外一点，M 为BC 的中点，若AG → ＝λAM → 与OG →＝12 OA → ＋14 OB → ＋14 OC → 同时成立，则实数λ的值为________．解析：OG→ ＝OA → ＋AG → ＝OA → ＋λAM → ＝OA → ＋λ2 (AB → ＋AC → )＝OA → ＋λ2(OB→ －OA → ＋OC → －OA → )＝(1－λ)OA → ＋λ2 OB → ＋λ2 OC → ，所以1－λ＝12 ，λ2 ＝14 ，解得λ＝12 .答案：1213．如图所示，在正六棱柱ABCDEF -A 1B 1C 1D 1E 1F 1中．(1)化简A 1F 1→ －EF → －BA → ＋FF 1→ ＋CD → ＋F 1A 1→＝________； (2)化简DE → ＋E 1F 1→ ＋FD → ＋BB 1→ ＋A 1E 1→ ＝________． 解析：(1)A 1F 1→ －EF → －BA → ＋FF 1→ ＋CD → ＋F 1A 1→ ＝AF → ＋FE → ＋AB → ＋BB 1→ ＋CD → ＋DC → ＝AE → ＋AB 1→ ＋0 ＝AE → ＋ED 1→ ＝AD 1→ ． (2)DE → ＋E 1F 1→ ＋FD → ＋BB 1→ ＋A 1E 1→ ＝DE → ＋EF → ＋FD → ＋BB 1→ ＋B 1D 1→ ＝DF → ＋FD → ＋BD 1→ ＝0＋BD 1→ ＝BD 1→ ．答案：(1)AD 1→ (2)BD 1→14．如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13 BB 1，DF ＝23 DD 1.(1)证明：A ，E ，C 1，F 四点共面； (2)试用AB → ，AD → ，AA 1→ 表示EF → .(1)证明：连接AC 1(图略).因为AC 1→ ＝AB → ＋AD → ＋AA 1→ ＝AB → ＋AD → ＋13 AA 1→ ＋23 AA 1→ ＝(AB → ＋13 AA 1→ )＋(AD → ＋23 AA 1→ )＝(AB → ＋BE → )＋(AD → ＋DF → )＝AE→ ＋AF → ，所以AC 1→ ，AE → ，AF → 共面． 又AC 1→ ，AE → ，AF → 过同一点A ， 所以A ，E ，C 1，F 四点共面．(2)解：EF → ＝AF → －AE → ＝AD → ＋DF → －(AB → ＋BE → )＝AD → ＋23 DD 1→ －AB → －13 BB 1→ ＝－AB → ＋AD →＋13 AA 1→ ．[C 拓展探究]15．对于空间任一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若有OP → ＝xOA → ＋yOB →＋zOC→ ，则“x ＋y ＋z ＝1”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.若x ＋y ＋z ＝1，则OP → ＝(1－y －z )·OA → ＋yOB → ＋zOC → ，即AP→ ＝yAB → ＋zAC → ，由共面向量的充要条件可知向量AP → ，AB → ，AC →共面，所以P ，A ，B ，C 四点共面；反之，若P ，A ，B ，C 四点共面，当点O 与点A 重合时，OA →＝0，x 可取任意值，不一定有x ＋y ＋z ＝1，故“x ＋y ＋z ＝1”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的充分不必要条件．16．有下列命题：①若AB → ∥CD → ，则A ，B ，C ，D 四点共线；②若AB → ∥AC → ，则A ，B ，C 三点共线；③若e 1，e 2为不共线的非零向量，a ＝4e 1－25 e 2，b ＝－e 1＋110 e 2，则a ∥b ；④若向量e 1，e 2，e 3是三个不共面的向量，且满足等式k 1e 1＋k 2e 2＋k 3e 3＝0，则k 1＝k 2＝k 3＝0.其中是真命题的是________．(填序号)解析：根据共线向量的定义，若AB→ ∥CD → ，则AB ∥CD 或A ，B ，C ，D 四点共线，故①错；AB → ∥AC → 且AB → ，AC → 有公共点A ，所以②正确；由于a ＝4e1－25 e 2＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫－e 1＋110e 2 ＝－4b ，所以a ∥b ，故③正确；易知④正确．答案：②③④。
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[A 基础达标]1．与向量a ＝(1，3，－2)平行的一个向量的坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1，1 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，－1 D ．(2 ，－3，－22 )解析：选B.对于B ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32，1 ＝－12 (1，3，－2)＝－12 a ，故选B.2．(2021·安徽六安舒城中学高二(下)统考)设A (3，3，1)，B (1，0，5)，C (0，1，0)，则AB 的中点M 到C 的距离为( )A.534 B ．532 C.532D ．132解析：选C.由题意，知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12，3＋02，1＋52 ，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，3 ，CM → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，3 －(0，1，0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，3 ，所以|CM→ |＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋32 ＝532 .故选C.3．(多选)若向量a ＝(1，2，0)，b ＝(－2，0，1)，则( ) A.cos 〈a ，b 〉＝－25 B ．a ⊥b C.a ∥bD ．|a |＝|b |解析：选AD.因为向量a ＝(1，2，0)，b ＝(－2，0，1)，所以|a |＝5 ，|b |＝5 ，a ·b ＝1×(－2)＋2×0＋0×1＝－2，cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b | ＝－25 ＝－25 .故A ，D 正确，B ，C 不正确．4．在△ABC 中，∠C ＝90°，A (1，2，－3k )，B (－2，1，0)，C (4，0，－2k )，则k 的值为( )A.10B ．－10C.25 D ．±10解析：选D.CB→ ＝(－6，1，2k )，CA → ＝(－3，2，－k )，则CB → ·CA → ＝(－6)×(－3)＋2＋2k ×(－k ) ＝－2k 2＋20＝0， 所以k ＝±10 .5．已知向量a ＝(1，2，3)，b ＝(－2，－4，－6)，|c |＝14 ，若(a ＋b )·c ＝7，则a 与c 的夹角为( )A.30° B ．60° C.120°D ．150°解析：选C.a ＋b ＝(－1，－2，－3)＝－a ，故(a ＋b )·c ＝－a ·c ＝7，得a ·c ＝－7，而|a |＝12＋22＋32 ＝14 ，所以cos 〈a ，c 〉＝a ·c |a ||c | ＝－12 .所以〈a ，c 〉＝120°.6．点P (1，2，－1)在Oxz 平面内的射影为B (x ，y ，z )，则x ＋y ＋z ＝________． 解析：点P (1，2，－1)在Oxz 平面内的射影为B (1，0，－1)，所以x ＝1，y ＝0，z ＝－1，所以x ＋y ＋z ＝1＋0－1＝0.答案：07．已知点A (λ＋1，μ－1，3)，B (2λ，μ，λ－2μ)，C (λ＋3，μ－3，9)三点共线，则实数λ＝________，μ＝________．解析：因为AB→ ＝(λ－1，1，λ－2μ－3)， AC → ＝(2，－2，6)，由A ，B ，C 三点共线，得AB → ∥AC →，即λ－12 ＝－12 ＝λ－2μ－36，解得λ＝0，μ＝0. 答案：0 08．已知A (3，5，－7)，B (－2，4，3)，则线段AB 在Oyz 平面上的射影长为________．解析：点A (3，5，－7)，B (－2，4，3)在Oyz 平面上的射影分别为A ′(0，5，－7)，B ′(0，4，3)，所以线段AB 在Oyz 平面上的射影长|A ′B ′|＝（0－0）2＋（4－5）2＋（3＋7）2 ＝101 . 答案：1019．已知a ＝(1，5，－1)，b ＝(－2，3，5). (1)当(λa ＋b )∥(a －3b )时，求实数λ的值； (2)当(a －3b )⊥(λa ＋b )时，求实数λ的值． 解：(1)因为a ＝(1，5，－1)，b ＝(－2，3，5)，所以a －3b ＝(1，5，－1)－3(－2，3，5)＝(1，5，－1)－(－6，9，15)＝(7，－4，－16)，λa ＋b ＝λ(1，5，－1)＋(－2，3，5)＝(λ，5λ，－λ)＋(－2，3，5)＝(λ－2，5λ＋3，－λ＋5).因为(λa ＋b )∥(a －3b )，所以λ－27 ＝5λ＋3－4 ＝－λ＋5－16 ，解得λ＝－13 .(2)因为(a －3b )⊥(λa ＋b )，所以(7，－4，－16)·(λ－2，5λ＋3，－λ＋5)＝0，即7(λ－2)－4(5λ＋3)－16(－λ＋5)＝0，解得λ＝1063 .10．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 1是上底面A 1B 1C 1D 1的中心，E 1在棱B 1C 1上，并且B 1E 1＝13 B 1C 1，求BE 1与CO 1所成的角的余弦值．解：不妨设AB ＝1，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AA 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，则B (1，0，0)，E 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1，13，1 ，C (1，1，0)，O 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1 ，BE 1→ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，1 ， CO 1→ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，1 ， BE 1→ ·CO 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，1 ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，1 ＝56 ，|BE 1→ |＝103 ，|CO 1→ |＝62 .所以cos 〈BE 1→ ，CO 1→ 〉＝56103×62 ＝156 .即BE 1与CO 1所成角的余弦值为156 .[B 能力提升]11．(多选)从点P (1，2，3)出发，沿着向量v ＝(－4，－1，8)的方向取点Q ，使|PQ |＝18，则Q 点的坐标为( )A.(－7，0，19) B ．(9，4，－13) C.(－1，－2，3)D ．(1，－2，－3)解析：选AB.设Q (x 0，y 0，z 0)，则PQ → ＝λv ，即(x 0－1，y 0－2，z 0－3)＝λ(－4，－1，8). 由|PQ |＝18得（－4λ）2＋（－λ）2＋（8λ）2 ＝18，所以λ＝±2，所以(x 0－1，y 0－2，z 0－3)＝±2(－4，－1，8)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－7，y 0＝0，z 0＝19或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝9，y 0＝4，z 0＝－13.12．(2021·广东省惠州一中月考)已知{a ，b ，c }是空间的一个单位正交基底，{a ＋b ，a －b ，3c }是空间的另一个基底，若向量m 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(3，5，9)，则m 在基底{a ＋b ，a －b ，3c }下的坐标为________．解析：由题意知，m ＝3a ＋5b ＋9c ，设m ＝x (a ＋b )＋y (a －b )＋3z c ，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝5，3z ＝9， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－1，z ＝3，故m 在基底{a ＋b ，a －b ，3c }下的坐标为(4，－1，3).答案：(4，－1，3)13．如图，PD 垂直于正方形ABCD 所在的平面，AB ＝2，E 为PB 的中点，cos 〈DP→ ，AE → 〉＝33 ，若以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为________．解析：设PD ＝a (a >0)，则D (0，0，0)，A (2，0，0)，B (2，2，0)，P (0，0，a )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，a 2 ，所以DP→ ＝(0，0，a )，AE → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1，a 2 . 由cos 〈DP→ ，AE → 〉＝33，得a 22a ·2＋a 24＝33 ， 所以a ＝2，所以E 的坐标为(1，1，1). 答案：(1，1，1) 14.如图所示，在四面体ABCD 中，O ，E 分别是BD ，BC 的中点，CA ＝CB ＝CD ＝BD ＝2，AB ＝AD ＝2 .(1)求线段AE 的长；(2)求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值． 解：(1)连接OC ，由题意知BO ＝DO ，AB ＝AD . 所以AO ⊥BD .又BO ＝DO ，BC ＝CD ，所以CO ⊥BD .又由已知得．AO ＝1，OC ＝3 ，AC ＝2，AO 2＋OC 2＝AC 2，所以AO ⊥CO .以O 为坐标原点建立空间直角坐标系，则B (1，0，0)，D (－1，0，0)，C (0，3 ，0)，A (0，0，1)， E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0 ，所以AE → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，－1 ， 所以|AE → | ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋（－1）2 ＝2 ， 所以线段AE 的长为2 .(2)因为BA → ＝(－1，0，1)，CD → ＝(－1，－3 ，0)，BA → ·CD → ＝1＋0＋0＝1，|BA → |＝（－1）2＋02＋（－1）2 ＝2 ， |CD→ |＝（－1）2＋（－3）2＋02 ＝2，所以cos 〈BA → ，CD →〉＝BA →·CD →|BA→||CD →| ＝24 .所以异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为24 .[C 拓展探究]15.如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，在四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AB ＋AD ＝4，CD ＝2 ，∠CDA ＝45°.设AB ＝AP ，在线段AD 上是否存在一个点G ，使得点G 到点P ，B ，C ，D 的距离都相等？说明理由．解：不存在．理由如下：因为P A ⊥平面ABCD ，且AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥AB ，P A ⊥AD .又AB ⊥AD ，所以AP ，AB ，AD 两两垂直．以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz .假设在线段AD 上存在一个点G ，使得点G 到点P ，B ，C ，D 的距离都相等．连接GB ，GC ，GP ，设AB ＝AP ＝t ，则B (t ，0，0)，G (0，m ，0)(其中0≤m ≤4－t )，P (0，0，t )，D (0，4－t ，0).因为∠CDA ＝45°，所以C (1，3－t ，0). 所以GC→ ＝(1，3－t －m ，0)，GD→ ＝(0，4－t －m ，0)，GP → ＝(0，－m ，t ). 由|GC→ |＝|GD → |， 得12＋(3－t －m )2＝(4－t －m )2， 即t ＝3－m .①由|GD→|＝|GP→|，得(4－t－m)2＝m2＋t2.②由①②消去t，化简得m2－3m＋4＝0.③由于方程③没有实数根，所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等．。
人教版数学必修一 优化练习：第二章 2.1 2.1.1 第1课时 根 式
[课时作业][A 组 基础巩固] 1.3－27等于( )A ．3 B.－3C ．±3D ．－27 解析：3－27＝3－3＝－3.答案：B2．若a －1＋3a －2有意义，则a 的取值范围是( )A ．0≤a B.a ≥1C ．a ≥2D ．a ∈R解析：⎩⎨⎧ a －1≥0，a －2∈R ，∴a ≥1.答案：B3．若x <13，则 1－6x ＋9x 2等于( )A ．3x －1 B.1－3xC ．(1－3x )2D ．非以上答案 解析：1－6x ＋9x 2＝－3x 2＝|1－3x |.∵x <13，∴1－3x >0，∴原式＝1－3x .答案：B4．若a ＝3－3，b ＝4－4，则a ＋b ＝() A ．1 B.5C ．－1D ．2π－5解析：∵a ＝3－3＝3－π，b ＝4－4＝π－2，∴a ＋b ＝3－π＋π－2＝1.答案：A5．当2－x 有意义时，化简x 2－4x ＋4－x 2－6x ＋9的结果为( )A ．2x －5B.－2x －1 C ．－1 D ．5－2x解析：因为2－x 有意义则x ≤2.原式＝x －2－x －2＝2－x －(3－x )＝2－3＝－1.答案：C6．计算下列各式的值： (1) 3－53＝________； (2)设b ＜0，(－b )2＝________.解析：(1) 3－53＝－353＝－5. (2)(－b )2＝－b .答案：(1)－5 (2)－b7．若a <3b 2，化简4a 2－12ab ＋9b 22＝_ _______. 解析：4a 2－12ab ＋9b 22＝4a －3b 4＝|2a －3b |∵a <3b 2，∴2a －3b <0∴原式＝3b －2a .答案：3b －2a8．计算： 5－26＋ 5＋2 6 解析：原式＝3－22＋ 3＋22 ＝3－2＋3＋2＝2 3.答案：2 39．计算： 3－22＋ 3－23＋ 4－24.解析：∵3－22＝(2)2－22＋1＝(2－1)2， ∴原式＝ －22＋ 3－23＋ 4－24＝|1－2|＋(1－2)＋|1－2| ＝2－1＋1－2＋2－1＝2－1；10．化简－a 2·41a －3. 解析：原式＝|1－a |·(a －1)34- ＝(a －1)(a －1)34-＝(a －1)14＝4a －1 [B 组 能力提升]1．若n a n ＋(n ＋1a )n ＋1＝0，a ≠0且n ∈N ＋，则( )A ．a >0且n 为偶数B.a <0且n 为偶数 C ．a >0且n 为奇数D ．a <0且n 为奇数 解析：由(n ＋1a )n ＋1＝a 得n a n ＝－a ，故n 为偶数且a <0. 答案：B2．三个数a ＝212，b ＝313，c ＝616的大小关系是( )A ．a <b <cB.b <a <c C ．c <a <bD ．c <b <a 解析：因为a 6＝(212)6＝23＝8，b 6＝(313)6＝32＝9，c 6＝(616)6＝6，所以c 6<a 6<b 6.而a 、b 、c 均为正数，所以c <a <b .选C.答案：C3．f (x )＝(x －5)0＋1x －2的定义域是________． 解析：要使f (x )有意义则⎩⎨⎧ x －x －2>0即x >2且x ≠5.答案：{x |2<x <5或x >5} 4．设f (x )＝x 2－4，若0＜a ≤1，则f (a ＋1a )＝________.解析：f (a ＋1a )＝a ＋1a 2－4＝a 2＋1a 2－2＝a －1a 2＝|a －1a |又∵0＜a ≤1，∴a ≤1a ，∴f (a ＋1a )＝1a －a .答案：1a －a5．计算：5＋26＋ 7－43－ 6－4 2. 解析：5＋26＋ 7－43－ 6－4 2 ＝32＋23·2＋22＋ 22－2×23＋32－22－2×22＋22 ＝ 3＋22＋ －32－ －22＝|3＋2|＋|2－3|－|2－2|＝3＋2＋2－3－2＋ 2＝2 2.6．若x >0，y >0，且x －xy －2y ＝0，求2x －xy y ＋2xy的值． 解析：∵x －xy －2y ＝0，x >0，y >0，∴(x )2－xy －2(y )2＝0，∴(x ＋y )(x －2y )＝0，由x >0，y >0得x ＋y >0，∴x －2y ＝0，∴x ＝4y ，∴2x －xy y ＋2xy ＝8y －2y y ＋4y ＝65.。
2021-2022优化方案数学 选择性必修 第一册
1．1 空间向量及其运算 1．1.1 空间向量及其线性运算学习指导核心素养1．经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念．2．掌握空间向量的线性运算． 1．数学抽象：空间向量的基本概念．2．直观想象、数学运算：空间向量的线性运算．3．逻辑推理：共线向量及共面向量的判定．1．空间向量的有关概念(1)定义：在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度：空间向量的大小叫做空间向量的长度或模．(3)表示法：⎩⎪⎨⎪⎧①几何表示法：空间向量用有向线段表示．②字母表示法：用字母表示，若向量a 的起点是A ，终点是B ，则向量a 也可以记作AB→，其模记为|a |或|AB →|．(4)几个特殊向量 特殊向量 定义 表示法 零向量 长度为0的向量 0单位向量 模为1的向量|a |＝1或|AB→ |＝1相反向量 与a 长度相等而方向相反的向量称为a 的相反向量－a相等向量 方向相同且模相等的向量 a ＝b 或AB → ＝CD →共线向量表示若干空间向量的有向线段所a ∥b 或AB→ ∥CD →或平行向量 在的直线互相平行或重合2．空间向量的线性运算 名称 代数形式几何形式运算律 加法OB→ ＝OA → ＋AB → ＝a ＋b交换律：a ＋b ＝b ＋a ；结合律：a ＋(b ＋c )＝(a ＋b )＋c 减法CA→ ＝OA → －OC → ＝a －b 数乘 当λ>0时，λa ＝λOA → ＝PQ→ ； 当λ<0时，λa ＝λOA → ＝MN→ ；当λ＝0时，λa ＝0 结合律：λ(μa )＝(λμ)a ；分配律：(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ，λ(a ＋b )＝λa ＋λb3．空间向量的共线与共面 (1)共线向量与共面向量平行(共线)向量 共面向量 定 义位置 关系 表示若干空间向量的有向线段所在的直线的位置关系：互相平行或重合平行于同一个平面的向量特征 方向相同或相反 特例零向量与任意向量共线充要 条件 对任意两个空间向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb向量p 与两个不共线向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b(2)直线l 的方向向量如图，O 是直线l 上一点，在直线l 上取非零向量a ，则对于直线l 上任意一点P ，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得OP→ ＝λa .我们把与向量a 平行的非零向量称为直线l 的方向向量．1．空间向量线性运算的结果还是向量吗？ 提示：是向量．2．对于空间向量a ，b ，c ，若a ∥b 且b ∥c ，是否可以得到a ∥c? 提示：不能．若b ＝0，则对任意向量a ，c 都有a ∥b 且b ∥c .3．已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，存在有序实数对(x ，y )，满足关系OP→ ＝OA → ＋xAB → ＋yAC → ，则点P 与点A ，B ，C 是否共面？提示：共面．由OP→ ＝OA → ＋xAB → ＋yAC → ，可得AP → ＝xAB → ＋yAC → ，所以向量AP→ 与向量AB → ，AC → 共面，故点P 与点A ，B ，C 共面．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |.( ) (2)在空间中，任意一个向量都可以进行平移．( )(3)向量AB → 与向量CD → 是共线向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上．( )答案：(1)√ (2)√ (3)×2．化简PM→ －PN → ＋MN → 所得的结果是( )A ．PM →B ．NP →C ．0D ．MN→ 答案：C3．(多选)下列各命题正确的是( )A ．向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反B ．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同C ．两个有公共终点的向量，不一定是共线向量D ．有向线段就是向量，向量就是有向线段 答案：BC4．非零向量e 1，e 2不共线，使k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线的k 的值是________． 答案：±1探究点1 空间向量的概念辨析 [问题探究]类比平面向量，理解空间向量的关键点是什么？ 提示：关键点是大小和方向．(多选)下列命题正确的是( ) A ．零向量没有确定的方向B ．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1→ ＝－C 1C → C ．向量a ，b 相等的充要条件是⎩⎨⎧|a |＝|b |，a ∥bD ．若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB → ＝DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件【解析】 A 正确；B 正确，因为AA 1→ 与C 1C →的大小相等方向相反，即互为相反向量，所以AA 1→ ＝－C 1C →；由a ∥b ，知a 与b 的方向相同或相反，故C 错误；因为AB→ ＝DC → ，所以|AB → |＝|DC → |且AB → ∥DC → .又A ，B ，C ，D 不共线，所以四边形ABCD 是平行四边形．反之，在▱ABCD 中，有AB → ＝DC → ，故D 正确．【答案】 ABD处理向量概念问题要关注的两个要素和两个关系(1)两个要素判断与向量有关的命题时，要抓住向量的两个主要要素，即大小与方向，两者缺一不可．(2)两个关系①模相等与向量相等的关系：两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件．②向量的模与向量大小的关系：由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的．但向量的模是可以比较大小的．1．下列命题中正确的是( ) A ．单位向量都相等B ．任一向量与它的相反向量不相等C ．若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同D ．模为0是一个向量方向不确定的充要条件解析：选D.A 不正确，单位向量的模均相等且为1，但方向并不一定相同．B 不正确，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的．C 不正确，两个空间向量相等，只需方向相同且模相等，与起点位置无关；D 正确．2.如图所示，以长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中：(1)试写出与AB→ 相等的所有向量； (2)试写出AA 1→ 的所有相反向量．解：(1)与向量AB → 相等的所有向量(除它自身之外)有A 1B 1→ ，DC → 及D 1C 1共3个．(2)向量AA 1→ 的相反向量为AA 1→ ，B 1B → ，C 1C → ，D 1D → ． 探究点2 空间向量的线性运算已知平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量：(1)AB→ ＋AD → ＋AA → ′； (2)DD→ ′－AB → ＋BC → ； (3)AB→ ＋AD → ＋12(DD → ′－BC → ). 【解】 (1)AB→ ＋AD → ＋AA → ′＝AB → ＋BC → ＋CC → ′＝AC → ′.(2)DD → ′－AB → ＋BC → ＝DD → ′－(AB → －AD → )＝DD → ′－DB → ＝BD → ′. (3)AB→ ＋AD → ＋12 (DD → ′－BC → )＝AC → ＋12 (CC ′→ ＋CB → )＝AC → ＋12CB → ′.设M 是线段CB ′的中点，则AB→ ＋AD → ＋12 (DD → ′－BC → )＝AC → ＋CM → ＝AM → .向量AC→ ′，BD → ′，AM → 如图所示．(变问法)若本例条件不变，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量： (1)DC → ＋A ′D ′→ ＋12 CC ′→ ； (2)AA′→ ＋12 AB → ＋12AD → . 解：(1)DC → ＋A ′D ′→ ＋12 CC ′→ ＝DC→ －DA → ＋12 CC ′→ ＝AC → ＋12CC ′→ ，设P 是线段CC ′的中点，则DC → ＋A ′D ′→ ＋12 CC ′→ ＝AC → ＋CP → ＝AP → .(2)AA′→ ＋12 AB → ＋12 AD → ＝AA ′→ ＋12 (AB → ＋AD → )＝AA ′→ ＋12 A ′C ′→ ，设Q 是线段A ′C ′的中点，则AA ′→ ＋12 AB → ＋12 AD → ＝AA ′→ ＋12 A ′C ′→ ＝AA ′→ ＋A ′Q → ＝AQ→ .向量AP→ ，AQ → 如图所示．利用线性运算进行向量化简的技巧(1)数形结合：利用线性运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量用已知向量表示．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙利用中点坐标公式． [注意] (1)向量减法是加法的逆运算，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．(2)首尾相连的若干向量构成封闭图形时，它们的和向量为零向量．1．(多选)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为向量AC 1→ 的有( )A ．(AB → ＋BC → )＋CC 1→ B ．(AA 1→ ＋A 1D 1→ )＋D 1C 1→ C ．(AB → ＋BB 1→ )＋B 1C 1→ D ．(AA 1→ ＋A 1B 1→ )＋B 1C 1→解析：选ABCD.对A ，(AB → ＋BC → )＋CC 1→ ＝AC → ＋CC 1→ ＝AC 1→ ；对B ，(AA 1→＋A 1D 1→ )＋D 1C 1→ ＝AD 1→ ＋D 1C 1→ ＝AC 1→ ；对C ，(AB → ＋BB 1→ )＋B 1C 1→ ＝AB 1→ ＋B 1C 1→ ＝AC 1→ ；对D ，(AA 1→ ＋A 1B 1→ )＋B 1C 1→ ＝AB 1→ ＋B 1C 1→ ＝AC 1→．2.如图，设O 为▱ABCD 所在平面外任意一点，E 为OC 的中点，若AE→ ＝12 OD →＋xOB→ ＋yOA → ，求x ，y 的值． 解：方法一：因为AE→ ＝OE → －OA →＝12 OC → －OA→ ＝12 (OB → ＋BC → )－OA → ＝12 (OB → ＋OD → －OA → )－OA → ＝－32 OA → ＋12 OB → ＋12 OD → ， 所以x ＝12 ，y ＝－32 .方法二：因为AE→ ＝AB → ＋BC → ＋CE →＝OB → －OA → ＋OC → －OB → －12 OC → ＝－OA →＋12 OC → ＝－OA→ ＋12 (OD → ＋DC → )＝－OA → ＋12 (OD → ＋AB → ) ＝－OA→ ＋12 OD → ＋12 (OB → －OA → )＝－32 OA → ＋12 OD → ＋12 OB →， 所以x ＝12 ，y ＝－32 .探究点3 空间向量的共线问题 [问题探究]空间中，怎样利用向量共线证明A ，B ，C 三点共线？ 提示：只需证明向量AB→ ，BC → (不唯一)共线即可．如图所示，已知四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形且不共面，M ，N 分别是AC ，BF 的中点，判断CE→ 与MN → 是否共线．【解】 CE → 与MN →共线，理由如下：因为M ，N 分别是AC ，BF 的中点，且四边形ABCD ，四边形ABEF 都是平行四边形，所以MN → ＝MA → ＋AF → ＋FN → ＝12 CA → ＋AF → ＋12FB → . 又因为MN → ＝MC → ＋CE → ＋EB → ＋BN → ＝－12 CA → ＋CE → －AF →－12 FB → ， 以上两式相加得CE → ＝2MN → ，所以CE → ∥MN → ，即CE → 与MN →共线．(1)判断向量共线的方法判断向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使a ＝λb (b ≠0)成立，同时要充分运用空间向量的运算法则，结合空间图形，化简得出a ＝λb (b ≠0)，从而得出a ∥b .(2)证明空间三点P ，A ，B 共线的方法 ①P A → ＝λPB→ (λ∈R ). ②对空间任一点O ，OP→ ＝OA → ＋tAB → (t ∈R ). ③对空间任一点O ，OP→ ＝xOA → ＋yOB → (x ＋y ＝1).1．已知空间向量a ，b ，且AB → ＝a ＋2b ，BC → ＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，DD ．A ，C ，D解析：选A.由题意可得BD→ ＝BC → ＋CD → ＝2a ＋4b ，则BD → ＝2AB → ，则A ，B ，D 三点共线；AC → ＝AB → ＋BC → ＝－4a ＋8b ，不存在实数λ满足AB → ＝λAC → ，则A ，B ，C 三点不共线；不存在实数λ满足BC→ ＝λCD → ，则B ，C ，D 三点不共线；AC → ＝－4a ＋8b ，不存在实数λ满足CD → ＝λAC → ，则A ，C ，D 三点不共线．故选A.2．已知A ，B ，C 三点共线，O 为直线外空间任意一点，若OC → ＝mOA → ＋nOB→ ，则m ＋n ＝________． 解析：由于A ，B ，C 三点共线，所以存在实数λ，使得AC → ＝λAB → ，即OC →－OA → ＝λ(OB → －OA → )，所以OC → ＝(1－λ)OA → ＋λOB → ，所以m ＝1－λ，n ＝λ，所以m ＋n ＝1.答案：1探究点4 空间向量的共面问题已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外的任意一点．若OP →＝13(OA → ＋OB → ＋OC → )，试判断向量P A → ，PB → ，PC →是否共面，并判断点P 是否在平面ABC 内．【解】 向量P A → ，PB → ，PC → 共面且点P 在平面ABC 内．理由如下：因为OA → ＋OB → ＋OC → ＝3OP → ，所以OA → －OP → ＝(OP → －OB → )＋(OP → －OC → )＝BP→ ＋CP → .即P A → ＝BP → ＋CP → ＝－PB → －PC → . 所以向量P A → ，PB→ ，PC → 共面．因为P A → ，PB → ，PC → 有共同的起点P ，且A ，B ，C 三点不共线， 所以P ，A ，B ，C 共面， 即点P 在平面ABC 内．证明空间三向量共面或四点共面的方法(1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个不共线向量的线性组合，即若p ＝x a ＋y b ，则向量p ，a ，b 共面．(2)若存在有序实数组(x ，y ，z )使得对于空间任一点O ，有OP → ＝xOA → ＋yOB → ＋zOC→ 且x ＋y ＋z ＝1成立，则P ，A ，B ，C 四点共面．如图所示，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在的平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且BM ＝13 BD ，AN ＝13 AE .求证：向量MN → ，CD → ，DE→ 共面． 证明：因为M 在BD 上， 且BM ＝13 BD ，所以MB→ ＝13 DB → ＝13 DA → ＋13 AB → . 同理AN→ ＝13 AD → ＋13 DE → .所以MN→ ＝MB → ＋BA → ＋AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13DA →＋13AB → ＋BA →＋(13 AD → ＋13 DE → ) ＝23 BA → ＋13 DE → ＝23 CD → ＋13 DE → .又CD → 与DE → 不共线，根据向量共面的充要条件可知MN → ，CD → ，DE → 共面．1．已知λ∈R ，则下列命题正确的是( ) A ．|λa |＝λ|a | B ．|λa |＝|λ|a C ．|λa |＝|λ||a | D ．|λa |>0答案：C2．下列说法正确的是( ) A ．若|a |<|b |，则a <bB ．若a ，b 为相反向量，则a ＋b ＝0C ．空间内两平行向量相等D ．四边形ABCD 中，AB→ －AD → ＝DB → 解析：选D.向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小，A 错；相反向量的和为0，不是0，B 错；相等向量满足模相等，方向相同两个条件，平行向量不一定具备，C 错；D 正确．3．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO → ＋OB → ＝DO → ＋OC → ，则四边形ABCD 是( )A ．空间四边形B ．平行四边形C ．等腰梯形D ．矩形 解析：选B.因为AO → ＋OB → ＝AB → ，DO → ＋OC → ＝DC → ，所以AB → ＝DC →，所以线段AB ，DC 平行且相等，所以四边形ABCD 是平行四边形．4．(多选)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的中心为O ，则下列结论中正确的有( )A ．OA → ＋OD → 与OB 1→ ＋OC 1→是一对相反向量 B ．OB → －OC → 与OA 1→ －OD 1→ 是一对相反向量 C ．OA → ＋OB → ＋OC → ＋OD → 与OA 1→ ＋OB 1→ ＋OC 1→ ＋OD 1→ 是一对相反向量 D ．OA 1→ －OA → 与OC → －OC 1→ 是一对相反向量 解析：选ACD.因为O 为正方体的中心，所以OA → ＝－OC 1→ ，OD → ＝－OB 1→ ，故OA → ＋OD → ＝－(OB 1→ ＋OC 1→ )，同理可得OB → ＋OC → ＝－(OA 1→ ＋OD 1→ )，故OA → ＋OB → ＋OC → ＋OD → ＝－(OA 1→ ＋OB 1→ ＋OC 1→ ＋OD 1→ )，所以A 、C 正确；因为OB → －OC → ＝CB → ，OA 1→ －OD 1→ ＝D 1A 1→ ，所以OB → －OC → 与OA 1→ －OD 1→ 是两个相等的向量，所以B 不正确；因为OA 1→ －OA → ＝AA 1→ ，OC → －OC 1→ ＝C 1C → ＝－AA 1→ ，所以OA 1→ －OA → ＝－(OC → －OC 1→ )，所以D 正确． 5．如图，已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，E ，F ，G 分别是BC ，CD ，DB 的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简的结果．(1)AB→ ＋BC → －DC → ；(2)AB → －DG → －CE → . 解：(1)AB→ ＋BC → －DC → ＝AB → ＋BC → ＋CD → ＝AC → ＋CD → ＝AD → ，如图中向量AD → .(2)AB→ －DG → －CE → ＝AB → ＋GD → ＋EC → ＝AB → ＋BG → ＋EC → ＝AG → ＋GF → ＝AF→ ，如图中向量AF → .[A 基础达标]1．下列命题中正确的是( )A ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线B ．向量a ，b ，c 共面，即它们所在的直线共面C ．若两个非零空间向量AB→ 与CD → 满足AB → ＋CD → ＝0，则AB → ∥CD →D ．若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb解析：选C.A 中，若b ＝0，则a 与c 不一定共线；B 中，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面；C 中，因为AB→ ＋CD → ＝0，所以AB → ＝－CD → ，所以AB → 与CD → 共线，故AB → ∥CD →正确；D 中，若b ＝0，a ≠0，则不存在λ，使a ＝λb .2．满足下列条件，能说明空间不重合的A ，B ，C 三点共线的是 ( ) A ．AB→ ＋BC → ＝AC → B ．AB→ －BC → ＝AC → C ．AB→ ＝BC → D ．|AB→ |＝|BC → | 解析：选C.对于空间中的任意向量，都有AB→ ＋BC → ＝AC → ，选项A 错误；若AB→ －BC → ＝AC → ，则AC → ＋BC → ＝AB → ，而AC → ＋CB → ＝AB → ，据此可知BC → ＝CB→ ，即B ，C 两点重合，选项B 错误；AB → ＝BC → ，则A ，B ，C 三点共线，选项C 正确；|AB → |＝|BC → |，则线段AB 的长度与线段BC 的长度相等，不一定有A ，B ，C 三点共线，选项D 错误．3．如果向量AB→ ，AC → ，BC → 满足|AB → |＝|AC → |＋|BC → |，则( )A ．AB → ＝AC → ＋BC →B ．AB → ＝－AC → －BC → C ．AC→ 与BC → 同向 D ．AC→ 与CB → 同向 解析：选D.因为|AB → |＝|AC → |＋|BC → |，所以A ，B ，C 共线且点C 在AB 之间，即AC→ 与CB → 同向． 4.(多选)如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为向量BD 1的是( )A ．(A 1D 1→ －A 1A → )－AB →B ．(BC → ＋BB 1→ )－D 1C 1→ C ．(AD → －AB → )＋DD 1→ D ．(B 1D 1→ －A 1A → )－DD 1→解析：选ABC.对于选项A ，(A 1D 1→ －A 1A → )－AB → ＝AD 1→ －AB → ＝BD 1→ ；对于选项B ，(BC → ＋BB 1→ )－D 1C 1→ ＝BC 1→ ＋C 1D 1→ ＝BD 1→ ；对于选项C ，(AD → －AB → )＋DD 1→ ＝BD → ＋DD 1→ ＝BD 1→ ；对于选项D ，(B 1D 1→ －A 1A → )－DD 1→ ＝(B 1D 1→ －B 1B → )－DD 1→ ＝BD 1→ ＋D 1D → ＝BD → ，故选ABC.5．已知在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，A 1E → ＝14 A 1C 1→ ，若AE → ＝xAA 1→ ＋y (AB →＋AD→ )，则( ) A ．x ＝1，y ＝12 B ．x ＝12 ，y ＝1 C ．x ＝1，y ＝13D ．x ＝1，y ＝14解析：选 D.因为AE → ＝AA 1→ ＋A 1E → ＝AA 1→ ＋14 A 1C 1→ ＝AA 1→＋14(AB → ＋AD →)，所以x ＝1，y ＝14 .6．已知空间中任意四个点A ，B ，C ，D ，则DA → ＋CD → －CB → ＝________．解析：方法一：DA→ ＋CD → －CB → ＝(CD → ＋DA → )－CB → ＝CA → －CB → ＝BA → . 方法二：DA → ＋CD → －CB → ＝DA → ＋(CD → －CB → )＝DA → ＋BD → ＝BA → .答案：BA→7．如图所示，在三棱柱ABC -A ′B ′C ′中，AC → 与A ′C ′→ 是________向量，AB → 与B ′A ′→是________向量．(填“相等”或“相反”)解析：由相等向量与相反向量的定义知：AC → 与A ′C ′→ 是相等向量，AB → 与B ′A ′→是相反向量．答案：相等 相反8．设e 1，e 2是两个不共线的空间向量，若AB → ＝2e 1－k e 2，CB →＝3e 1＋3e 2，CD → ＝k e 1＋e 2，且A ，B ，D 三点共线，则实数k 的值为________． 解析：因为A ，B ，D 三点共线，所以存在实数λ使得AB→ ＝λBD → .因为AB → ＝2e 1－k e 2，BD → ＝CD → －CB →＝(k －3)e 1－2e 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ（k －3），－k ＝－2λ， 所以k 2－3k－4＝0，解得k ＝－1或k ＝4.答案：4或－1 9.如图所示，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，M 是BB 1的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：(1)CB → ＋BA 1→ ； (2)AC → ＋CB → ＋12 AA 1→ ； (3)AA 1→ －AC → －CB → . 解：(1)CB → ＋BA 1→ ＝CA 1→ ． (2)因为M 是BB 1的中点， 所以BM → ＝12BB 1→ ．又AA 1→ ＝BB 1→ ，所以AC → ＋CB → ＋12 AA 1→ ＝AB → ＋BM → ＝AM → . (3)AA 1→ －AC → －CB → ＝CA 1→ －CB → ＝BA 1→ ． 向量CA 1→ ，AM → ，BA 1→ 如图所示． 10．已知A ，B ，M 三点不共线，对于平面ABM 外的任意一点O ，判断在下列各条件下的点P 与点A ，B ，M 是否共面．(1)OB→ ＋OM → ＝3OP → －OA → ； (2)OP→ ＝4OA → －OB → －OM → . 解：方法一：(1)原式可变形为OP → ＝OM → ＋(OA → －OP → )＋(OB → －OP → )＝OM → ＋P A → ＋PB→ . 所以点P 与点A ，B ，M 共面．(2)原式可变形为OP → ＝2OA → ＋(OA → －OB → )＋(OA → －OM → )＝2OA → ＋BA → ＋MA→ .因为点P 位于平面ABM 内的充要条件是OP → ＝OA → ＋xBA → ＋yMA →. 而OP→ ＝2OA → ＋BA → ＋MA → ， 所以点P 与点A ，B ，M 不共面．方法二：(1)原式可变形为OB → ＝3OP → －OA → －OM → .因为3＋(－1)＋(－1)＝1， 所以点B 与点P ，A ，M 共面， 即点P 与点A ，B ，M 共面．(2)由OP→ ＝4OA → －OB → －OM → ，得4＋(－1)＋(－1)＝2≠1， 所以点P 与点A ，B ，M 不共面．[B 能力提升]11．若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足OP → ＝mOA → ＋nOB → ，其中m ＋n＝1，则( )A ．P ∈ABB ．P ∉ABC ．点P 可能在直线AB 上D ．以上都不对解析：选A.因为m ＋n ＝1，所以m ＝1－n ， 所以OP→ ＝(1－n )OA → ＋nOB → ， 即OP→ －OA → ＝n (OB → －OA → )， 即AP→ ＝nAB → ，所以AP → 与AB → 共线． 又AP→ ，AB → 有公共起点A ， 所以P ，A ，B 三点在同一直线上， 即P ∈AB . 12.如图，O 为△ABC 所在平面外一点，M 为BC 的中点，若AG → ＝λAM → 与OG →＝12 OA → ＋14 OB → ＋14 OC → 同时成立，则实数λ的值为________．解析：OG→ ＝OA → ＋AG → ＝OA → ＋λAM → ＝OA → ＋λ2 (AB → ＋AC → )＝OA → ＋λ2(OB→ －OA → ＋OC → －OA → )＝(1－λ)OA → ＋λ2 OB → ＋λ2 OC → ，所以1－λ＝12 ，λ2 ＝14 ，解得λ＝12 .答案：1213．如图所示，在正六棱柱ABCDEF -A 1B 1C 1D 1E 1F 1中．(1)化简A 1F 1→ －EF → －BA → ＋FF 1→ ＋CD → ＋F 1A 1→＝________； (2)化简DE → ＋E 1F 1→ ＋FD → ＋BB 1→ ＋A 1E 1→ ＝________． 解析：(1)A 1F 1→ －EF → －BA → ＋FF 1→ ＋CD → ＋F 1A 1→ ＝AF → ＋FE → ＋AB → ＋BB 1→ ＋CD → ＋DC → ＝AE → ＋AB 1→ ＋0 ＝AE → ＋ED 1→ ＝AD 1→ ． (2)DE → ＋E 1F 1→ ＋FD → ＋BB 1→ ＋A 1E 1→ ＝DE → ＋EF → ＋FD → ＋BB 1→ ＋B 1D 1→＝DF → ＋FD → ＋BD 1→ ＝0＋BD 1→ ＝BD 1→ ． 答案：(1)AD 1→ (2)BD 1→ 14．如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13 BB 1，DF ＝23 DD 1.(1)证明：A ，E ，C 1，F 四点共面； (2)试用AB → ，AD → ，AA 1→ 表示EF → .(1)证明：连接AC 1(图略).因为AC 1→ ＝AB → ＋AD → ＋AA 1→ ＝AB → ＋AD → ＋13 AA 1→ ＋23 AA 1→ ＝(AB → ＋13 AA 1→ )＋(AD → ＋23 AA 1→ )＝(AB → ＋BE → )＋(AD → ＋DF → )＝AE→ ＋AF → ，所以AC 1→ ，AE → ，AF → 共面． 又AC 1→ ，AE → ，AF → 过同一点A ， 所以A ，E ，C 1，F 四点共面．(2)解：EF → ＝AF → －AE → ＝AD → ＋DF → －(AB → ＋BE → )＝AD → ＋23 DD 1→ －AB → －13 BB 1→ ＝－AB → ＋AD → ＋13AA 1→ ． [C 拓展探究]15．对于空间任一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若有OP → ＝xOA → ＋yOB → ＋zOC→ ，则“x ＋y ＋z ＝1”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.若x ＋y ＋z ＝1，则OP → ＝(1－y －z )·OA → ＋yOB → ＋zOC → ，即AP→ ＝yAB→ ＋zAC → ，由共面向量的充要条件可知向量AP → ，AB → ，AC → 共面，所以P ，A ，B ，C 四点共面；反之，若P ，A ，B ，C 四点共面，当点O 与点A 重合时，OA→ ＝0，x 可取任意值，不一定有x ＋y ＋z ＝1，故“x ＋y ＋z ＝1”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的充分不必要条件．16．有下列命题：①若AB → ∥CD → ，则A ，B ，C ，D 四点共线；②若AB→ ∥AC → ，则A ，B ，C 三点共线；③若e 1，e 2为不共线的非零向量，a ＝4e 1－25 e 2，b ＝－e 1＋110 e 2，则a ∥b ；④若向量e 1，e 2，e 3是三个不共面的向量，且满足等式k 1e 1＋k 2e 2＋k 3e 3＝0，则k 1＝k 2＝k 3＝0.其中是真命题的是________．(填序号)解析：根据共线向量的定义，若AB→ ∥CD → ，则AB ∥CD 或A ，B ，C ，D 四点共线，故①错；AB → ∥AC → 且AB → ，AC → 有公共点A ，所以②正确；由于a ＝4e 1－25 e 2＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫－e 1＋110e 2 ＝－4b ，所以a ∥b ，故③正确；易知④正确． 答案：②③④。
12021-2022优化方案数学 选择性必修 第一册
[A 基础达标]1．若异面直线l 1的方向向量与l 2的方向向量的夹角为150°，则l 1与l 2所成的角为( )A ．30°B ．150°C ．30°或150°D ．以上均不对解析：选A.直线l 1与l 2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且异面直线所成角的范围为(0，90°].应选A.2．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝2，DD 1＝3，则AC 与BD 1所成角的余弦值为( )A ．0B ．37070C ．－37070 D ．7070解析：选A.以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则D 1(0，0，3)，B (2，2，0)，A (2，0，0)，C (0，2，0).所以BD 1→ ＝(－2，－2，3)，AC → ＝(－2，2，0).所以cos 〈BD 1→ ，AC → 〉＝BD 1→ ·AC →| BD 1→ ||AC →|＝0. 3．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( )A ．63 B ．265 C ．155 D ．105解析：选D.如图所示，以D 为原点，建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，A (2，0，0)，B (2，2，0)，C (0，2，0)，C 1(0，2，1)，所以BC 1→ ＝(－2，0，1).连接AC ，易证AC ⊥平面BB 1D 1D ，所以平面BB 1D 1D 的一个法向量为a ＝AC → ＝(－2，2，0).所以所求角的正弦值为|cos 〈a ，BC 1→〉|＝|a ·BC 1→ ||a ||BC 1→ | ＝48×5 ＝105 .4．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，B 1C 和C 1D 与底面所成角分别为60°和45°，则异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为( )A ．64 B ．104 C ．32 D ．34解析：选A.以A 1为原点建立如图所示的空间直角坐标系，可知∠CB 1C 1＝60°，∠DC 1D 1＝45°，设B 1C 1＝1，则CC 1＝3 ＝DD 1.所以C 1D 1＝3 ，则有B 1(3 ，0，0)，C (3 ，1，3 )，C 1(3 ，1，0)，D (0，1，3 ).所以B 1C → ＝(0，1，3 )，C 1D →＝(－3 ，0，3 ). 所以cos 〈B 1C → ，C 1D →〉＝B 1C → ·C 1D → |B 1C → ||C 1D → | ＝326 ＝64 .5．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1和DD 1的中点，则平面ECF 与平面ABCD 所成的角的余弦值为( )A ．33B ．63C ．13 D ．23解析：选B.以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则A (0，0，0)，E (2，0，1)，F (0，2，1)，C (2，2，0)，所以CE→ ＝(0，－2，1)，CF→ ＝(－2，0，1).所以平面ECF 的一个法向量为n ＝(1，1，2).设平面ECF 与平面ABCD 的夹角为θ.因为m ＝(0，0，1)是平面ABCD 的一个法向量，所以cos θ＝|cos 〈m ，n 〉|＝63 .6．若直线l 的方向向量a ＝(－2，3，1)，平面α的一个法向量n ＝(4，0，1)，则直线l 与平面α所成角的正弦值为________．解析：由题意，得直线l 与平面α所成角的正弦值为|a ·n ||a ||n | ＝714×17＝23834 .答案：238347．如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝2，E ，F 分别是BC ，A 1C 1的中点．设D 是线段B 1C 1(包括两个端点)上的动点，若直线BD 与EF 所成角的余弦值为104 ，则线段BD 的长为________．解析：以E 为原点，EA ，EC 所在直线分别为x ，y 轴，平面BCC 1B 1内垂直于BC 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图．则E (0，0，0)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，2 ，B (0，－1，0)，设D (0，t ，2)(－1≤t ≤1)，则EF→ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，2 ，BD → ＝(0，t ＋1，2)， 设直线BD 与EF 所成的角为θ，则cos θ＝|EF →·BD →||EF →||BD →| ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t ＋12＋45·（t ＋1）2＋4 ＝104 ，解得t ＝1或t ＝－3723 (舍去)，所以|BD → |＝22＋22 ＝22 .答案：22 8.如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，且PD ＝AB ＝1，G 为△ABC 的重心，则PG 与底面ABCD 所成的角θ的余弦值为________．解析：以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则P (0，0，1)，A (1，0，0)，B (1，1，0)，C (0，1，0)，所以G ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，0 ，PG → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，－1 . 易知平面ABCD 的一个法向量为n ＝(0，0，1)， 则cos 〈PG→ ，n 〉＝－1⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋（－1）2 ＝－31717 ，所以PG 与平面ABCD 所成角的余弦值为1－⎝⎛⎭⎪⎫317172＝23417 . 答案：234179．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，求二面角A -BD 1C 的大小．解：连接AD 1，CD 1，以点D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 设正方体的棱长为1，则D (0，0，0)，A 1(1，0，1)，C 1(0，1，1).由题意知DA 1→ 是平面ABD 1的一个法向量，且DA 1→＝(1，0，1)； DC 1→ 是平面BCD 1的一个法向量，且DC 1→ ＝(0，1，1)， 所以cos 〈DA 1→ ，DC 1→〉＝DC 1→ ·DA 1→|DC 1→ ||DA 1→ | ＝12 .所以〈DA 1→ ，DC 1→ 〉＝60°. 结合图形知二面角A -BD 1C 为钝角，所以二面角A -BD 1C 的大小为120°. 10.如图所示，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，点F 1是A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝2，CC 1＝1.(1)求异面直线AF 1与CB 1所成角的余弦值； (2)求直线AF 1与平面BCC 1B 1所成的角．解：(1)如图所示，分别以C 为原点，CA ，CB ，CC 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，由BC ＝CA ＝2，CC 1＝1，得A (2，0，0)，B (0，2，0)，C 1(0，0，1)，A 1(2，0，1)，B 1(0，2，1). 因为F 1为A 1C 1的中点， 所以F 1(1，0，1).所以CB 1→ ＝(0，2，1)，AF 1→ ＝(－1，0，1).所以cos 〈CB 1→ ，AF 1→〉＝CB 1→ ·AF 1→ |CB 1→ ||AF 1→ |＝（0，2，1）·（－1，0，1）5×2 ＝1010 ，即异面直线AF 1与CB 1所成角的余弦值为1010 . (2)因为在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中， BB 1⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， 所以BB 1⊥AC . 因为∠BCA ＝90°， 所以BC ⊥AC .因为BC ∩BB 1＝B ，BC ，BB 1⊂平面BCC 1B 1， 所以AC ⊥平面BCC 1B 1.所以CA →＝(2，0，0)是平面BCC 1B 1的一个法向量． 设直线AF 1与平面BCC 1B 1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈AF 1→ ，CA → 〉|＝222 ＝22 ，所以θ＝π4 ，所以直线AF 1与平面BCC 1B 1所成的角为π4 .[B 能力提升]11.如图所示，已知点P 为菱形ABCD 外一点，且P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD ＝AC ，点F 为PC 的中点，则二面角C -BF -D 的正切值为( )64C ．33 D ．233解析：选D.如图，连接BD 交AC 于点O ，连接OF ，因为四边形ABCD 为菱形，所以O 为AC 的中点，AC ⊥BD .因为F 为PC 的中点，所以OF ∥P A ，因为P A ⊥平面ABCD ，所以OF ⊥平面ABCD .以O 为原点，OB ，OC ，OF 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ，设P A ＝AD ＝AC ＝1，则BD ＝3 ，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0 ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12 ，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0 ，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，0 ，结合图形可知，OC→ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0 ，且OC → 为平面BDF 的一个法向量．由BC → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，0 ，FB → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，－12 ，可求得平面BCF 的一个法向量n ＝(1，3 ，3 ).所以cos 〈n ，OC→ 〉＝217 ，sin 〈n ，OC → 〉＝277 ，所以tan 〈n ，OC→ 〉＝233.12.如图，已知矩形ABCD 与矩形ABEF 全等，二面角D -AB -E 为直二面角，M 为AB 的中点，FM 与BD 所成的角为θ，且cos θ＝39 ，则ABBC ＝( )A ．1B ．222解析：选C.不妨设BC ＝1，AB ＝λ，则AB BC ＝λ.记AF→ ＝a ，AB → ＝b ，AD → ＝c ，则FM → ＝12b －a ，BD → ＝c －b ，根据题意，|a |＝|c |＝1，|b |＝λ，a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0，所以FM → ·BD→ ＝－12 b 2＝－12 λ2， 而|FM→ |＝14λ2＋1 ，|BD → |＝λ2＋1 ，所以|cos 〈FM → ，BD → 〉|＝|FM →·BD →||FM →|·|BD →| ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12λ214λ2＋1·λ2＋1 ＝39 ，得λ＝22 .故选C.13．(2021·北京市朝阳区模拟)已知在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱BB 1，DD 1上的动点，且BE ＝D 1F ＝λ(0<λ≤12 ).设EF 与AB 所成的角为α，EF 与BC 所成的角为β，则α＋β的最小值为( )A ．不存在B ．π3C ．π2D ．2π3解析：选C.以点D 为坐标原点建立空间直角坐标系(图略)，则A (1，0，0)，B (1，1，0)，C (0，1，0)，E (1，1，λ)，F (0，0，1－λ)，则EF→ ＝(－1，－1，1－2λ)，AB → ＝(0，1，0)，BC →＝(－1，0，0)，所以cos α＝|EF →·AB →||EF →||AB →| ＝12＋（1－2λ）2，cos β＝|EF →·BC→||EF →||BC →|＝12＋（1－2λ）2，所以α＝β.又当λ＝12时，12＋（1－2λ）2 取得最大值22 ，所以αmin ＝βmin ＝π4 ，所以(α＋β)min ＝π2 .14.在平面四边形ABCD 中，AB ＝BD ＝CD ＝1，AB ⊥BD ，CD ⊥BD .将△ABD 沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图．(1)求证：AB ⊥CD ；(2)若M 为AD 的中点，求直线AD 与平面MBC 所成的角的正弦值． (1)证明：因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，AB ⊂平面ABD ，AB ⊥BD ，所以AB ⊥平面BCD .又因为CD ⊂平面BCD ，所以AB ⊥CD . (2)解：过点B 在平面BCD 内作BE ⊥BD ，如图．由(1)知AB ⊥平面BCD ，因为BE ⊂平面BCD ，所以AB ⊥BE .以点B 为坐标原点建立空间直角坐标系，依题意得B (0，0，0)，C (1，1，0)，D (0，1，0)，A (0，0，1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12 ，则BC → ＝(1，1，0)，BM → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12 ，AD → ＝(0，1，－1). 设平面MBC 的法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)， 则⎩⎨⎧n ·BC →＝0，n ·BM →＝0，即⎩⎨⎧x 0＋y 0＝0，12y 0＋12z 0＝0.取z 0＝1，得平面MBC 的一个法向量n ＝(1，－1，1).设直线AD 与平面MBC 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，AD → 〉|＝|n ·AD →||n ||AD →|＝63 .故直线AD 与平面MBC 所成的角的正弦值为63 .[C 拓展探究]15.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD (及其内部)以AB 边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G 是DF 的中点．(1)设P 是CE 上的一点，且AP ⊥BE ，求∠CBP 的大小；(2)当AB ＝3，AD ＝2时，求平面AGE 与平面ACG 所成角的大小． 解：(1)因为AP ⊥BE ，AB ⊥BE ，AB ，AP ⊂平面ABP ，AB ∩AP ＝A ，所以BE ⊥平面ABP .又BP ⊂平面ABP ，所以BE ⊥BP .又∠EBC ＝120°，因此∠CBP ＝30°.(2)以B 为坐标原点，分别以BE ，BP ，BA 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由题意得A (0，0，3)，E (2，0，0)，G (1, 3 ，3)，C (－1, 3 ，0)，故AE→ ＝(2，0，－3)，AG→ ＝(1，3 ，0)，CG → ＝(2，0，3)， 设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面AEG 的一个法向量．由⎩⎨⎧m ·AE →＝0，m ·AG →＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧2x 1－3z 1＝0，x 1＋3y 1＝0.取z 1＝2，可得平面AEG 的一个法向量m ＝(3，－3 ，2). 设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面ACG 的一个法向量．由⎩⎨⎧n ·AG →＝0，n ·CG →＝0， 可得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝0，2x 2＋3z 2＝0. 取z 2＝－2，可得平面ACG 的一个法向量n ＝(3，－3 ，－2).所以cos 〈m ·n 〉＝m ·n |m |·|n | ＝12 .因此平面AGE 与平面ACG 所成的角为60°.。
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高中数学必修一是学好高中数学的基础，基础简单变式却很多，又能和其他几本必修结合。
所以基础务必打好。
须知，万丈高楼平地起。
为大家整理的相关的人教版数学优化设计必修一答案，供大家参考选择。
人教版数学优化设计必修一答案
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
解析此题不需要计算，同学如果熟知对数函数性质，知道同底数的对数函数图像关于x 轴对称，那么无论0<a<1，还是a>1，对应的函数值都有小于1的可能，则答案必定包含大于0小于1的一个和大于1的一个，答案D。
解析a,c属于指数函数赋值形式，b属于对数函数赋值形式。
b<0很容易通过图像或函数增减性判断。
a,b均通过图像与1比较大小即可，a小于1大于0，c大于。
正确答案C。
解析抛物线最好画，所以我们先判断BC选项，考试时优先选择排除容易确定的选项也会节省时间。
很容易发现C在x大于0时是减函数。
解析对于这种图像判断题，我们分两次假设进行，假设0<a<1和a>1两种情况分别画出草图比较，注意题中给出的对数函数的负号，画出图像要延x轴翻折。
B中指数函数图像表示0<a<1，而对数函数图像应该过2,4象限递增。
C答案如B中解释。
D指数函数图像表示a>1，对数函数图像应沿着x轴翻折才是正确的。
解析只有②一个正确的，任何不是0的数的0次幂都等于②中的关于a的二次方程通过我们计算永远大于0. ①中n为偶数a为负数时不成立。
解析定义是R上的奇函数，则一定有f(x)=0，且f(-x)=-f(x)，图像关于y轴对称。
所以f(-2)=-f(2)，将f(2)由已知函数计算得出，那么f(-2)就很容易了。
怎么样，奇函数的应用你了解了么欢迎留言讨论。
解析基础题，保证对数函数有意义，真数大于0.x>
每道大题都有相应的考察知识点，你要学会先从题干中找出考察点，然后回顾，从而破题。
下面先来道简单的计算，复习下基本公式。
注不要忽略N是空集的情况。
注第一问中求定义域，使得对数函数有意义即真数大于0.第二问求奇偶性注意先判断定义域关于原点对称，在用定义法证明奇偶性。
注奇偶性用定义法证明，注意先确定定义域。
不等式考察对数函数的图像性质。
有了上面几道题，大家可以练习下下面这道题，完全考察函数奇偶性及单调性应用。
人教版数学优化设计必修一答案
高中学习要学会分析解题思路，对于解题思路中不懂的部分，同学记得一定要去复习相关章节的知识点
解析给出了全集，我们先求出集合B的补集，在找所求的交集。
解析考察同一个函数具有同样的函数形式及定义域。
解析考察奇函数定义，
解析对于给出的已知条件，我们可以转化成函数定义域判断函数单调性来确定。
通过判断函数是增函数，那么给出的分段函数在x=1处连续并且单调递增。
10.【答案】C.
解析注意去掉根号为正数。
解析由奇函数得f(2)=-f(-2)带入已知函数解析式即可，f(2)=-
解析(1)代入已知点求出未知数即可，定义域x≠0.
(2)第一问已经确定定义域关于原点对称，只要证明f(-x)=-f(x)即可。
解析图像同学自己画，这里说下画法。
确定开口方向，确定与y轴交点，与x轴交点，对称轴及顶点，连线即可。
解析(1)要保证分式有意义即x+1≠0，保证对数函数有意义即要真数大于0.综合解出定义域为-1<x< 奇偶性用定义法证明f(-x)=-f(x)为奇函数或f(-x)=f(x)为偶函数。
此题通过证明我们知道f(-x)=-f(x)。
(2)证明单调性，用教材中定义证明设3<x1<x2，计算f(x1)-f(x2)判断正负即可。
此题我们通过计算可证出，f(x1)-f(x2)>0，g(x)为单调递减函数。
解析(1)通过计算我们知道对称轴为x=k，这时我们要讨论k的范围，围绕给出的定义域讨论k在那一段区间。
人教版数学优化设计必修一答案
高中数学必修一常见题型解析老师所用题型均从历年考试题中抽取出来作为解析用，比较有代表意义。
题型一集合交集并集补集的求法
解析我们首先要求出集合A和集合B。
然后在数轴上表示出A和B，和容易就求出A∩B 了。
集合A:1<x<3，集合 B:x>3/所以所求交集3/2<x<3。
解析求不等式的解集，此题同学求出令分子分母同时为零的在数轴上的两个点为x=-2，x=1，求不等式大于0，则解集为大于大的(1)小于小的(-2)即可。
解集(-∞，-2)∪(1，∞)。
解析求并集我们画出数轴即可。
求集合A的补集我们需要先画出数轴，表示出集合A，然后在数轴上画出它的补集，在画出集合B，找公共部分既是交集。
第二问若集合A与集合C交集不是，则在数轴上表示出来时，两者必有公共部分，从而确定a的范围。
题型二奇偶函数求法题型
解析确定奇偶函数前提示先看定义域，定义域关于原点对称，之后才判断是否符合奇偶函数定义，f(-x)=f(x)为偶，f(-x)=-f(x)为奇函数。
从定义域判断，发现定义域都关于原点对称，所以下一步我们要用定义法判断，A是奇函数，C是偶函数，D是偶函数。
只有B答案非奇非偶函数。
解析奇函数满足f(-x)=-f(x)，所以此题最简算法f(-2)=-f(2)，我们直接计算出f(2)就能得出所求。
将x=2带入已知函数得f(2)=10-b，此时b为未知数，怎么办这时我们要熟知奇函数另外一个性质，如果奇函数在原点处有定义f(0)=0，已知函数得b=f(2)=10-1=9，f(-2)=-f(2)=-
题型三过定点的函数类型题
解析首先我们确定指数函数过定点(0,1)，令x-1=0，则x=1，此时f(x)=这个函数恒过定点(1,3)，如果给出的复合函数中包括对数函数呢，对数函数恒过定点(1,0)。
题型四求定义域值域类型题
解析此题求定义域，要满足对数函数有意即真数x大于0，同时要保证整个根号有意义，即根号下式子大于或等于0，解出x范围取交集。
解根号得x≥4，正确答案B。
解析求值域问题，我们常用的几种方法直接观察法，分离常数法，换元法，代数法。
此题用观察法即可，观察分母最小值为1，则整个分式必定≤1，且大于0.答案选B。
题型五函数单调性的应用
解析此函数为二次函数，图像是抛物线，开口向上。
在抛物线对称轴左侧为单调递减区间，则区间右临界值4必定小于等于对称轴横坐标，由此我们列出不等式求解。
答案D
解析考察对数函数基本性质及二次函数基本性质的复合函数，记住复合函数单调区间与基本函数单调区间的关系同增异减。
让我们找整个函数的减区间，则我们分别找出两个基本函数相异的区间。
对数函数在(0，+∞)单调递增，而首先我们要保证二次函数大于0，即对数函数真数有意义，此时2<x或x<-1，在找到二次函数的减区间即可，即x<-答案A。
解析先保证指数函数有意义，即a>0且不等于1，排除BC.因为是增函数，所以a>1，同时所以在x=1处，指数复合函数的函数值必大于或等于二次函数的函数值，代入x=1求解。
然后保证二次函数在(0，+∞)上的单调性，即对称轴应≤0，取交集。
正确答案A。
解析判断单调性，我们用定义法，设两个在定义域内的任意不相等函数值，带入解析式做差比较。
第二问求极值是在第一问基础上，即判断出单调性以后求极值。
解析此题两个条件其实就是考查同时满足条件一函数是偶函数，条件二函数在(0，+∞)是减函数。
所以我们根据偶函数和减函数定义依此判断给出的四个函数即可。
2,3两个函数满足条件。
正确答案C
题型六函数求值问题
解析套用函数求值，直接带入x=1/4，求出函数值，判断函数值正负情况再次带入即可。
此题中包含了考查对数函数运算的知识。
正确答案C。
解析求函数的最小值，我们先判断定义域x>0.然后化简对数函数，令以2为底x的对数为t转换成关于t的二次函数求极值。
正确答案C。
解析(1)由函数值相等，则真数相等，转化为一元一次方程求解问题。
(2)根据对数函数单调性找出真数之间的关系，此时要讨论a的值。
解析可以令2^x=t,t>0，转化成二次函数求出t在求x。
第二问将函数解析式带入，再根据t的范围整理解出m。
题型七指数对数函数比较大小
解析都是指数函数，我们尽量化成同底数形式比较，通过观察我们很容易找到关系，底数都可以化再根据底数3的指数函数的单调性比较。
题型八求函数解析式
解析换元法。
令x+1=t得x=t-1，带入原解析式整理得出f(t)的解析式，即为我们要求的解析式。
f(x)=x^2+1
题型九利用函数相关性质求常数范围
解析不等式通过变形可看出一个二次函数和一个对数函数，画出图像，二次函数在已知定义域内恒小于对数函数，从而求取a的取值范围。
[1/27,1)。
题型十计算题
熟练应用指数对数函数公式即可。
题型十一综合性题。