第三章变分原理与有限元方法
有限元与变分原理
有限元与变分原理有限元方法和变分原理是结构力学和计算力学中常用的数值计算方法和理论基础。
本文将从概念、原理、应用和发展等方面介绍有限元方法和变分原理的相关知识。
一、有限元方法有限元方法是一种将连续物体离散化为有限个小区域的数值计算方法。
它将连续的物理问题转化为离散的代数问题，并通过求解代数方程组来获得物理问题的数值解。
有限元方法的基本思想是将复杂的连续介质分割成有限个简单的子域，即有限元，并在每个有限元上建立代数模型。
在建立完整的模型后，根据物理方程和边界条件，通过求解代数方程组，得到所求解的物理量。
有限元方法的优点在于能够处理复杂的几何形状和边界条件，适用于各种材料和结构力学问题。
二、变分原理变分原理是解决物理问题的一种重要数学工具。
它通过构造一个泛函，将物理问题转化为极值问题，通过求解泛函的极值问题来得到物理问题的解。
在结构力学和计算力学中，常用的变分原理包括极大势能原理、最小势能原理和最小总势原理。
这些变分原理的基本思想是，在满足一定边界条件的前提下，通过对位移场进行变分，使得系统的势能或总势能取得极值，从而得到系统的平衡位置和应力分布。
三、有限元方法与变分原理的应用有限元方法和变分原理在结构力学和计算力学中得到了广泛的应用。
它们可以用于求解各种结构的静力学、动力学和热力学问题。
在工程实践中，有限元方法常用于求解杆件、梁、板、壳和体等不同类型的结构。
通过将结构分割成有限个小单元，建立有限元模型，并利用变分原理进行求解，可以得到结构的应力、位移、变形等物理量的分布情况，从而评估结构的可靠性和安全性。
有限元方法还可以用于优化设计和参数优化，以满足结构的性能要求。
四、有限元方法与变分原理的发展有限元方法和变分原理的发展已经有几十年的历史。
随着计算机技术的进步和计算软件的不断发展，有限元方法已经成为结构力学和计算力学研究和工程实践中不可或缺的工具。
目前，有限元方法已经广泛应用于航空航天、汽车、船舶、建筑、能源等领域。
有限元与变分
有限元与变分有限元算法是利用微分方程与变分原理的形式一致性而提出的求解微分方程的算法。
其主要优势在于对边界条件的处理。
对一个微分方程的问题，其可以等价于一个变分问题，这其中有两种等价方案：Galerkin变分原理和Ritz变分原理。
Galerkin变分原理是在原微分方程两边同乘以一个检验函数，同时积分，左右分别几何含目标函数和不含目标函数的项，得到的等式变分原理。
Ritz变分原理是直接求解泛函的极值，得到微分方程的等价形式。
两种原理得到的结果是一样的。
强制边界条件与自然边界条件的处理方法不同，强制边界条件出现于容许空间和检验空间的构造中，自然边界条件出现于变分方程中。
解方程之前必须突出说明。
Galerkin变分原理和Ritz变分原理得到的解是弱解。
弱解的存在唯一性和弱解与古典解的关系由Lax-Milgrim定理保证。
数值求解方程的基本出发点是使用有限维空间逼近无限维的能量空间。
在取定的有限维有限元空间中取定基函数，令目标函数和检验函数均位于有限元空间中并被基函数线性表示，则由检验函数的任意性或者是极值的KKT条件得到一个线性方程组，即刚度矩阵。
刚度矩阵的对称正定性保证了解得存在唯一性，也给出了数值解用基函数表示的具体方法。
有限元算法的一个核心技巧在于基函数的构造方法，不是直接的节点构造，而是分片的构造方法。
基函数系有Lagrange型基函数系和Hermite型基函数系两种。
首先将求解空间划分为若干个元素，每个元素内构造独立的r阶外形函数，函数个数与元素内所有节点的自由度之和相同。
节点分为元素内部的内节点和元素边界的外节点。
对于每个节点，有所有包括这个节点的元素组成影响区域，由每个元素中在这个节点不为零的外形函数线性迭加得到这个节点的各阶基函数。
所有的节点都照此处理，得到基函数系。
有限元算法的另一个核心技巧在于整体刚度矩阵和单元刚度矩阵的关系。
由Galerkin-Ritz双线性函数的性质得到在积分式中，alfa和beta项的值完全取决于alfa和beta节点的共同影响区域中所有元素的外形函数的积分，由于交叉项为零，所以共同影响区域的刚度项完全取决于每个元素内的单元刚度矩阵的迭加。
变分原理与 元方法
L( y) d [ p(x) dy(x) ] q(x) y(x)
dx
dx
p(x)y' '(x) p'(x)y' (x) q(x)y(x)
其中 p(x) ， q(x) 为已知函数。
若 D 为 [a, b] 上连续函数空间 C[a, b] ，则 M 中的每一个元素 y （ y M ）, 对应于 D 中的一个
二式。这意味着 u(x, y) C 2 () ，且在边界上等于 p(x, y) 。
记算子（Laplace 算子） 2 2 x 2 y 2
则（3.1.2-1）写成算子方程 u f ， u M
其中微分算子 Βιβλιοθήκη 定义域 M 是所有在区域 二阶可微、在边界上等于 p(x, y) 的函数的集合，即：
由（3.1.1-1）式可以看出，两个函数的内积是一个实数，它由积分值所确定。
从内积的定义可以得到内积的如下性质：
设为 u(P) 、 v(P) 、 u1 (P) 、 u2 (P) 是定义域在 上的连续函数， 、 是任意实数，则 ① 对称性： u, v v, u ② 线性： (u1 u2 ), v u1 , v u2 , v ③ 非负性： u, u 0 ④ u, u 0 u(P) 0 ， P
§3.1 预备知识
为了叙述方便，先介绍几个基本概念。
§3.1.1 函数的内积
【定义】 定义域在 上的连续函数 u(P) 、 v(P) （ P ）乘积在 上的积分
u, v u(P)v(P)d
（3.1.1-1）
称为函数 u(P) ， v(P) 在区域 上的内积。
第14讲+有限元法+Finite-element+Method
(5-18-10)
wu 0
这就是最初的场(或位)变分原理。
(5-18-11)
Thomson原理的研究表明:积分泛函的变分(不等式) 和原支配微分方程(等式)存在着非常紧密的联系。 Euler(尤勒)方程即解决一大类典型的物理问题。
[例1] Euler泛函和Euler方程 [解] 写出Euler泛函中的一类十分普遍的泛函J(u)，称为 Euler积分泛函。u满足边界条件
试采用Ritz方法求解J(u)。
[解] 首先构造一组展开函数｛uk｝有
N
u uN kuk
(5-18-21)
k 1
其中 1, 2 , , N为待定系数。把式(5-18-21)代入式(5-18-
20)可知
NN
N
J (u) J (1, 2, , N )
F u
udx
F u
u
b
u
a
b
a
d dx
F u
udx
注意到任意函数u均满足相同的边界条件，也即
可写出
ua ub 0
J
u
b
a
F u
d dx
F u
udx
(5-18-14)
(5-18-29)
(5-18-30) (5-18-31)
在问题中μ0已知，故ω是μ1的一元函数。于是ωmin要求
容易解出
d
du1
2 u1
2 (u0
u1)(1)
0
(5-18-32)
这是位函数分布
第三章变分原理与有限元方法
第三章变分原理与有限元方法1.引言在工程实践中，我们经常面临解决微分方程的问题，如结构力学问题和热传导问题。
变分法和有限元方法是两种常用的数值方法，用于求解这些微分方程。
2.变分原理变分法是一种通过变分问题建立微分方程解的数值近似的方法。
变分法的基本思想是将要求解的微分方程问题转化为一个泛函极小化问题。
在这个问题中，泛函是一个函数，它以一些函数（称为试探函数）为自变量。
通过求取使泛函极小化的试探函数，可以得到微分方程的近似解。
3.最小作用量原理变分法的核心原理是最小作用量原理，也称为哈密顿原理。
该原理指出，真实的系统在任意的微小变分下，其作用量是不变的。
作用量是系统的能量和时间的乘积，用来描述系统的运动轨迹。
根据最小作用量原理，可以得到一个极小化问题，通过对试探函数进行变分，使得作用量取得极小值。
有限元方法是一种通过将实际问题离散化为一个有限个子区域，然后在每个子区域内建立适当的数学模型，并进行逼近求解的方法。
有限元方法的核心思想是将连续的物理问题转化为离散的代数问题，通过求解代数问题来得到连续问题的近似解。
5.有限元离散化有限元离散化是有限元方法的第一步，通过将连续的问题离散化为一组离散点上的代数问题。
这个过程中，将整个域划分为有限个子区域，即有限元，每个有限元内部的物理变量可以近似为一个简单的函数，比如常数或低阶多项式。
我们在每个有限元中引入一组基函数，将物理变量表示为这组基函数的线性组合。
6.有限元弱型表达有限元弱型表达是有限元方法的关键步骤，通过将原始的微分方程乘以一个试验函数并在整个域上积分，得到一个弱形式的表达式。
这个表达式中包含了未知函数及其导数的积分项，通过解这个弱形式的表达式，可以得到未知函数的近似解。
7.有限元方程组和边界条件通过离散化和弱型表达，可以得到一组线性代数方程组，其中未知数是有限元的节点上的物理变量。
这个方程组可以通过标准的数值方法求解。
边界条件是方程组的一部分，它指定了在边界上的物理变量的值。
有限元变分原理的通俗理解
有限元变分原理的通俗理解有限元变分原理，听起来高大上，其实一说起来，就像咱们日常生活中那些小道理，简单又有趣。
想象一下，咱们在家里做一块拼图，拼图上的每一片都是一小部分。
把这些拼图块合起来，才能看到整体的图案，对吧？有限元方法就像拼图，把一个复杂的问题拆分成很多简单的小块，逐个解决。
这些小块可以是小的三角形、四边形，甚至是更复杂的形状。
你看，问题被拆得稀巴烂，但其实每一块都有它的重要性。
再说了，变分原理就更好玩了。
它就像是一个聪明的数学家，告诉我们：嘿，想要找到最好的解决办法，不妨试试“最小化”这个方法。
听起来简单，可实际上就像是在赛跑，你要找到最短的路线，才能跑得快。
变分原理的核心就是找到一个最优解，这个解就好比是你在迷宫里找到的出口，让你顺利走出困境。
我们把这个过程形象化一下，就像是给每个拼图块都贴上了个标签，告诉它该怎么放，最终组成一个完整的图案。
说到这里，可能有人会问，这个原理到底有什么用呢？其实啊，它的应用广泛得很，建筑、机械、航空，甚至是咱们的手机设计，哪里没有它的影子？就好比你在家里修东西，有了工具箱，啥都能搞定。
比如说，你想设计一座大桥，必须考虑到风、雨、雪等各种因素。
有限元方法就像是一个精密的测量仪器，让你在设计的时候，能够计算出桥的每一部分该承受多大的力量，确保它安全可靠。
你知道吗？在这个过程中，计算机也成了我们的好帮手。
以前，咱们得靠手算，搞得头晕脑胀，现在一台电脑就能轻松搞定。
这就好比你去超市买东西，推着一辆购物车，电脑就是那个购物车，帮你把所有的“小块”都装进去，最后再把它们合并成一个“超市账单”。
所以，有限元变分原理不仅是一个理论，它还是一个实际操作的指南，教会我们如何处理复杂问题。
有限元方法可不是一成不变的，它可以根据不同的需求进行调整。
就像你炒菜，今天想吃辣，明天就可以清淡一些。
它能根据不同的情况，给出不同的解决方案，这让设计师们大开眼界，发挥创意。
比如，你想做个新型的跑车，有限元方法可以帮你测试车身在高速行驶时的稳定性，确保它在赛道上表现优异。
变分原理及有限元中的应用
变分原理及有限元中的应用变分原理是应用于数学和物理学中的一种数学工具，它可以用来求解最优化问题和微分方程的边界值问题。
有限元方法是一种数值计算方法，通过将连续问题离散化为有限个小区域，从而将问题转化为代数方程组的求解。
变分原理在有限元方法中有着广泛的应用。
下面，我将详细解释变分原理以及在有限元方法中的应用。
首先，我们来讨论变分原理。
变分原理主要涉及到函数的变分，即函数微小变化的概念。
对于一个函数，我们可以将其表示为变量的函数形式，例如y(x)代表函数y关于自变量x的函数。
对于光的最短路径问题，我们希望找到一条路径使得光在这条路径上的传播时间最短。
我们可以将这个问题表述为，对于给定的两点A和B，找到一条路径y(x)使得穿过A和B的光线传播时间的变分最小。
在变分原理中，我们通过引入泛函的概念来描述函数的变分。
泛函是一个从函数空间到实数集的映射，通常表示为J[y(x)]。
对于光的最短路径问题，我们可以将光线传播时间表示为一个泛函。
\[ J[y(x)] = \int_a^b f(x,y,y')\,dx \]其中，f(x,y,y')是一个关于x，y和y'的函数，y'表示y关于x的导数。
变分原理的核心思想是，找到这样的函数y(x)使得泛函J[y(x)]取得极值。
如果y(x)是J[y(x)]的一个极值点，那么对于任意变化率为零的函数δy(x)，即满足δy(a) = δy(b) = 0，有\[ J[y + \epsilon δy] - J[y] = 0 \]对于任意的\[\epsilon\]。
这个条件叫做变分原理的欧拉-拉格朗日方程。
有限元方法是一种将连续问题离散化的数值计算方法。
其主要思想是将问题的求解域划分为多个小区域（称为单元），然后在每个单元内构建近似函数（称为形函数），利用这些形函数对问题的解进行近似求解。
有限元方法在工程领域有着广泛的应用，例如结构力学、流体力学和电磁场等领域。
有限元法
变分原理
y x x y x x 0
1 2
于是，必要条件成为
J
x2
x1
F d F ydx 0 y dx y
由于上式对任意的y都成立，所以极值函数必须满足以 下微分方程
F d F 0 y dx y 这个方程就称为泛函的极值问题(变分问题)的尤拉方程。
确定泛函的方法
现在，我们考虑下式
L , [ ( )] *dV
V
应用第一标量格林定理及边界条件，上式变成
1 1 2 2 L , dV dS S2 2 2 V
假设和是非负的，且它们不同时为零，显然，当0
证明算符满足前述条件。根据内积的定义，有
L , [ ( )] *dV
V
对上式应用第一标量格林定理，得到
确定泛函的方法
* ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ * * L , [ ( )]dV S n n dS V
最速降线问题
J [ y ( x)] T [ y ( x)] T dt 0 2 x2 1 y dx min x1 2 gy y ( x1 ) 0, y ( x2 ) y2
变分原理
对于一般问题，可以给出下列对应于一个自变量x的
最简形式的泛函
这是Dirichlet问题，为了导出这个问题的泛函，我们作
确定泛函的方法
D
2 dD 0
注意到 (uV ) (u ) V u V 现在把u看作为 ，把V看作，则得
2
由Green定理 由此得
x2
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其中， K ( x, t ) 是矩形域 [a, b] [a, b] 中的二元连续函数。
T 就是一个积分算子。如果给定 f ( x) L2 [a, b] ，则 T ( y ) K ( x, t ) y ( x)dt f ( x)
a b
即为算子方程 T ( y ) f 。
2
④ 若 u ( P) 0 ， P ，则 u 2 ( P)d 0 。
1
第三章 变分原理与有限元方法
若 u , u
u 2 ( P )d 0 ，则应有 u ( P) 0 ， P 。否则，必有一点 P* ，在该
点 u ( P*) 0 。因 u ( P) 在 上连续，所以必存在 P * 的某个领域 G ，在该邻域上 u ( P) 0 ，从而
该微分方程的解 u ( x, y ) 在区域 内满足（3.1.2-1）的第一式，在边界 上满足（3.1.2-1）的第 二式。这意味着 u ( x, y ) C 2 () ，且在边界上等于 p( x, y ) 。 记算子（Laplace 算子）
2 2 x 2 y 2
则（3.1.2-1）写成算子方程
0 0ຫໍສະໝຸດ §3.1.2 算子
1. 算子的概念[1] 【定义】给定两个集合 M ， D 。若 M 中的每一个元素 u （ u M ）对应于 D 中的一个元素 L(u ) （ L(u ) D ） ，则称 L 为算子, 即 L : M D 。集合 M 称为算子 L 的定义域，集合 D 称为算子 L 的值 域。 算子 L 是将空间 M 转变为空间 D 的一种变换， M 与 D 可以相同也可以不同。 例[14] 微分算子 设 M 为二阶连续可微函数空间 C 2 [a, b] ，对于任意的 y ( x) M
u ( x ) 0 ， x [ x 0 , x1 ]
故 L 在 M 上是一个正定算子。
§3.1.3 对称正定算子方程的变分原理
对于一个正定算子方程，一定有一个与之等价的泛函极小值问题。 【定理】设 L 是对称正算子，若算子方程
L(u ) f ， u M
存在解 u u 0 ，则 u 0 所满足的充分必要条件是泛函
(u ' v) x1 u ' ( x 0 )v( x 0 ) u ' ( x1 )v ( x1 ) 0
0
x
从而
L(u ), v u ' v ' dx L(v), u u , L(v)
x0
x1
因此， L 在 M 上是一个对称算子。 4. 正定算子（正算子） 【定义】若 L 算子是对称算子，对于任何 u M ，恒有
L( y ) dy ( x) d [ p( x) ] q ( x) y ( x) dx dx p ( x) y ' ' ( x) p ' ( x) y ' ( x) q( x) y ( x)
其中 p( x) ， q( x) 为已知函数。 若 D 为 [a, b] 上连续函数空间 C[a, b] ，则 M 中的每一个元素 y （ y M ）, 对应于 D 中的一个 元素 L(u ) （ L(u ) D ） 。 L 就是一个微分算子，记 L : M D 为
变分理论与数值分析方法 教案
（第三章 变分原理与有限元方法）
蔡中义
变分理论与数值分析方法
第三章 变分原理与有限元方法
泛函的极值函数可以通过求解相应的 Euler 方程（微分方程的边值问题）来获得，另一方面， 也可以通过求解泛函的极值函数获得相应微分方程的解。这就是说，求解微分方程边值问题等价于 求解相应泛函极值问题，这种相关性通常叫做变分原理。把这一原理应用于各类物理问题就构成了 各种物理问题的变分原理，变分原理是以积分形式表达的物理定律，这种积分形式的泛函常常代表 能量，习惯上也把微分方程边值问题转化为泛函极值问题的求解方法叫做能量法，如力学中的最小 势能原理、虚功原理等。 实践告诉我们，微分方程边值问题的求解往往比较困难，而从泛函变分求微分方程近似解常常 容易些，可以采用 Ritz 方法、有限元法等。这种方法的关键问题是要找到以所给微分方程为其 Euler 方程的泛函，这一泛函如何构造？本章主要介绍典型的微分方程、偏微分方程的变分原理，并通过 微分方程的有限元求来说明有限元方法的基本思想。
J [u ] J [u0 ]
且等号当且仅当 u u 0 时才成立。这说明泛函 J [u ] 在 u u 0 时取极小值。 再证明充分性： 因为当 u u0 时，泛函 J [u ] 取极小值，从而 J 0 ，即
§3.1 预备知识
为了叙述方便，先介绍几个基本概念。
§3.1.1 函数的内积
【定义】 定义域在 上的连续函数 u ( P) 、 v( P) （ P ）乘积在 上的积分
u , v
u ( P ) v ( P ) d
（3.1.1-1）
称为函数 u ( P) ， v( P) 在区域 上的内积。 若 u, v 0 ，称 u 与 v 正交。 由（3.1.1-1）式可以看出，两个函数的内积是一个实数，它由积分值所确定。 从内积的定义可以得到内积的如下性质： 设为 u ( P) 、 v( P) 、 u1 ( P) 、 u 2 ( P) 是定义域在 上的连续函数， 、 是任意实数，则 ① 对称性： u , v v, u ② 线性： (u1 u 2 ), v u1 , v u 2 , v ③ 非负性： u, u 0 ④ u , u 0 u ( P ) 0 ， P 证 ① u , v u ( P)v( P)d v( P)u ( P)d v, u
L(u ), u 0
而且只有当 u 0 时上式为 0，则称算子 L 为正定算子（positive operator） 例 3 例 2 中已经证明算子 L（） 解 由于对任意 u , v M 有
L(u ), v
2 d （） 是对称算子，现证明其为正定算子 dx 2
（3.1.3-1）
J [u ] L(u ), u 2 f , u
（3.1.3-2）
4
变分理论与数值分析方法
在 u u0 处取极小值。 定理中的泛函 J [u ] ，一般称为算子方程的能量泛函。 证明 先证明必要性： 若 u u0 是算子方程（3.1.3-2）的解，则有
L(u0 ) f 0
L d d [ p( x) ] q ( x) dx dx
如果给定 f ( x) C[a, b] ，则 L( y ) f ( x) 是算子方程。 例 积分算子 对于任意的 y ( x) M （ M : L2 [a, b] ）
T ( y ) K ( x, t ) y ( x)dt
u , u u 2 ( P)d u 2 ( P)dG 0
G
这与假设矛盾。 例 1 u cos x ， v x 定义在 [0, ] 上，求 u, v 解
u , v x cos xdx ( x sin x) 0 sin xdx cos x 0 2
变分理论与数值分析方法
本课程只涉及微分算子，一般情况下，提到的算子都是指微分算子。 例 微分方程的边值问题可以写成微分算子方程的形式，如
2u 2u 2 2 f ( x, y ) y x u p( x, y )
( x, y )
为 的边界
（3.1.2-1）
x1
x0
u ' v' dx
成立。取 u v ，于是
L(u ), u
x1
x0
u ' 2 dx 0
当 L(u ), u 0 时，有
x1
x0
u ' 2 dx 0
因 u ' ( x) 在 [ x 0 , x1 ] 上连续，从而推知 u ' ( x) 0 ，即 u ( x ) 在 [ x 0 , x1 ] 上是常数。 由于 u M ， u ( x 0 ) 0 ， u ( x1 ) 0 ，于是
(u1 u 2 ), v
②
[u ( P) u ( P)]v( P)d u ( P ) v ( P ) d u ( P ) v ( P ) d
1 2
u 1 , v u 2 , v
1
2
③ u , u u 2 ( P ) d 0
3
第三章 变分原理与有限元方法
2 d （） 是对称算子 dx 2 解 事实上， L 是线性算子。对每一对 u, v M 构造内积并进行积分
证明算子 L（）
L(u ), v
x1
x0
u ' ' vdx (u ' v) x
0
x1
x1
x0
u ' v' dx
由于 v M ， v( x 0 ) 0 ， v( x1 ) 0 ，于是边界项
对于 M 中任意的 u u 0 ，应有
（3.1.3-3）
J [u ] J [u0 ] L(u0 ), u0 2 f , u0
因为 L 是对称正算子，根据内积的性质，上式可以展开
J [u ] L(u0 ), u0 L(u0 ), L( ), u0 L( ), 2 f , u0 2 f , （ L(u 0 ), L( ), u 0 ） L(u0 ), u0 2 f , u0 L( ), 2 L(u0 ), 2 f , J [u0 ] L( ), 2 L(u0 ) f ,