流变学第二章3
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高分子材料流变学
高分子科学与工程学院
青岛科技大学
2．2．2 计算高分子液体黏度的经验方程
Ostwald-de Wale幂律方程（power law） 幂律公式
K n
n 1 a K
流动指数或非牛顿指数
n d ln d ln
图8-15 几种聚合物熔体剪切应力与剪切速率的关系 （测试温度200℃）
第4章 剪切黏度的测量方法 4．1 毛细管流变仪测量表观剪切黏度 4．2 恒速式双毛细管流变仪简介 4．3 锥－板型转子流变仪简介 4．4 落球式黏度计的测量原理 第5章 高分子熔体流动不稳定性 5．1 挤出过程中的畸变和熔体破裂行为 5．2 纺丝成型过程中的拉伸共振现象 第6章 加工成型过程的流变分析 6.1压延工艺的流变分析 6.2挤出成型的流变分析 6.3 注射成型的流变分析
聚合物
聚丙烯
聚合物 天然橡胶 低压聚乙烯 聚氯乙烯 聚苯乙烯
流动温度/℃
126-160 170-200 165-190 ～170
流动温度/℃
200-220 190-250 250-270 170-190
聚甲基丙烯酸甲 酯
尼龙66 聚甲醛
流动机理 研究表明，黏流态下大分子流动的基本结构单元并不是分子整链，而是链 段，分子整链的运动是通过链段的相继运动实现的。 研究高分子黏流活化能时发现，当熔体分子量很低时，随分子量增大而增 大。分子量达到一定值后，值趋于恒定。与该恒定值对应的最低分子量相 当于由20-30个C原子组成的链段的大小，说明熔体流动的基本结构单元 是链段。
青岛科技大学
高分子材料流变学
Rheology of Polymer Materials
王新 杨文君
Qingdao University of Science and Technology Qingdao，2011
第2章流变学的基本概念
在变形很小的情况下，接近1。
=1+
=-1=(a’-a)/a=(b’-b)/b=(c’-
c)/c
1
是边长变化量与原始长度之比。>0， 试样膨胀；<0，试样被压缩。
体积的变化分数(V/V)， V是原始 体积， V是体积的变化量。
V/ V = 3-1=(1+ )3-1=3+32+ 3
第2章 流变学的基本概念
1. 应变(Strain) 1.1 各向同性的压缩和膨胀
在各向同性压缩和膨胀中，任何形状 的试样都变为几何形状相似但尺寸较大的 试样。
以一个立方柱体为例： 起始各边长为a,b,c;膨胀后各边长分 别为a’,b’,c’(如图2-1)。
y
x
z
图 2-1 各向同性膨胀
a’=a =a’/a b’=b =b’/b c’=c =c’/c 1, 试样膨胀；1,试样被压缩； 称为伸缩比； 3则可表示体积的变化。
设n是与分隔面垂直而且方向是向外的 一个单位矢量，这种各向同性的应力可表示
为:
tn=-np
式中：p为压力。各向同性的应力也叫静压 力。
讨论一个无限小的体积单元在x轴上的 力。作用在右侧面上的力fxr为:
fxl=-nrPA
图 2-8 各向同性压缩时力的平衡
式中，nr为单位矢量，方向与右侧面垂直。 作用在左侧面的力fxr为：
图 2-3 简单剪切实验
=w/l=tan 称为剪切应变。如应变很小，可近似认为
= 对液体而言：
d / dt
2. 应力(Stress) 单位面积上所受的力称之为应力。
t=df/ds 由于力是均匀的，应力可表示为t=f/s。
3. 应力的分量表示法和应力张量
流变学第二章 3
哈密尔顿算子是一个具有微分和矢量双重运算的算子。
哈密尔顿算子 表达式
i j k x y z
哈密尔顿算子在运算中既服从矢量代数和矢量分析中所有 法则；另一方面可按微分法则运算。
流动与变形的材料在某个几何空间中每个点，都对应着物理 量的一个确定值。对于这些标量和矢量确定的空间，即为标 量场和矢量场。
二阶张量用粗体字符或带大括号，或用双脚标表 示
a11 a a ai j a21 a 31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
流变学中的参量如：应力σij、应变εij、剪切应 力 、剪切速率 和应力速率等都是张量。
二、哈密尔顿算子
divv v1 v2 v3 v x y z
1i v2 j v3k
divν物理意义：单位时间单位 体积内所产生的流体质量
散度的基本运算法则为
(v u) v u
(v) v v
流变学中最常见的是速度矢量场的散度。对于速度 场散度divνi=0,具有不可压缩特性。
常用于表示速度散度
vi
vi (vi ) xi
(vi ) 常用于表示速度梯度
vi (vi ) x j
c.拉普拉斯算子
2 2 2 x y z
2
称为拉普拉斯算 子
如：
2 2 2 ( 2 2 2 ) 2 2 2 x y z x y z
第一节 张量初步知识
高聚物流变学的发展，与现代数学的应用密切相关。特别 是张量分析的数学概念。帮助建立矢量空间的思维能力， 以便更好的理解流变学基本方程，以及一些加工应用方程 的推导。全面学习和研究流变学，必须具有矢量代数、线 性代数和张量运算的数学基础。
第二章 流变学的基本概念
1. 简单实验
材料是均匀的，各向同性的， 而材料被施加的应力及发生的应变 也是均匀和各向同性的，即应力、 应变与坐标及其方向无关。
1.1 应变
1.1.1 各向同性的压缩和膨胀
y
c
x
b` b a c` a` 各向同性膨胀
z
a`=aα b`=bα c`=c α α-伸缩比
1
a`a b`b c`c 1 a b c 1
变化规律。
log
A t B a C
A：t 随 ↑ 而↑,
支化聚合物。如支化PE
B：t 与 无关: 聚合度低的线性高物:POM、PA-66 C：t 随 ↑而↓,
logŕ
高聚合度PP
拉伸流动中会发生链缠结, 拉伸黏度降低, 同时链伸展并沿 流动方向取向,分子间相互作用增加,流动阻力增加,伸展黏 度变大.拉伸黏度取决于这两个因素哪一个占优势.
t df / ds
df 为作用在表面上无限小面积ds上的力。在简单 实验中由于力是均匀的。 应力——材料单位面积受到的表面力作用
t f /s
1.2.1 应力的分量表示法和应力张量
应力的性质：应力的大小；方向；作用面。 应力的分量第1个下标表示作用面，第2个下 标表示应力的方向。 作用力的方向与作用面垂直，被称为应力的 法向分量, txx、 tyy 、 tzz。 作用力的方向与作用面平行，被称为应力的 切向分量，txy、 tyx 、 tzx、txz、tzy、tyz。
微晶的存在 起到交联的 作用
结晶性线形聚合物的拉伸模量与温度的关系 其形状与无定型聚合物类似，其区别是坪台区较宽，
且平台处的模量较高.
3.5 模量的分子量依赖性
低温时粘弹性主要决定于大分 子链的小链段的运动，而与大 分子链本身的尺寸基本上无关 。在高温时的粘弹性则涉及到 较大链段的复杂运动，以解开 缠绕并最后大分子链间相互滑 移 ，所以分子量对拉伸模量的 影响主要在高弹态和粘流态
最新流变学前三章
变形可逆并完全恢复
流变学的非线性弹性理论来描述此类橡胶弹性理论
2.取向态 在力场和温度场等作用下，分子链将沿着外场方 向进行排列，聚合物的取向现象包括分子量、链 段、晶片和晶粒等取向
基本特征： 一维或二维有序结晶 高分子材料的力学性能、热性能和光学性能 等呈现各向异性
3.液晶态 ：介于有序晶态和无序的液态之间的一种中间状
bc
体积的分数变化
△V/V＝[(1＋)(1－)2-1] 由于<<1，<<1，故
△V/V≈－2
拉伸时，>1，<1，>0，>0， 压缩时，<1，>1，<0，<0，即长度缩小，截面增大
2.2.3 简单剪切和简单剪切流动 （Simple shear and simple shearing flow）
＝w/l=tan 称为剪切应变（Shear strain） 如应变很小，即 <<1，可近似地认为＝
分散体
剪切速率较高时，假塑性非牛顿流体
在剪切速率不断提高时，膨胀性的非 牛顿流体 三维结构的凝胶体 ，宾汉流体
聚合物形态的转变 ——聚合物形态的热Байду номын сангаас变
发生相交
线弹性体
线性粘性流体
发生相交
图1.1比容－温度曲线 (a)低分子材料 (b)结晶性高聚物
并非每种无 定形高聚物都 有这三种状态
图1.2 无定形聚合物的变形-温度曲线 （恒定外力作用下）
(1)多样性
分子结构有线性结构、交联结构、网状结构等
分子链可以呈刚性或柔性
流变行为多种多样，固体高聚物的变形可呈 现线性弹性、橡胶弹性及粘弹性。聚合物溶液 和熔体的流动则可呈现线性粘性、非线性粘性 、塑性、触变性等
聚合物流变学第二章
第二章 基本物理量和高分子液体的基本流变性质1．引言经典弹性理论。
Hooke 定律记为：⎩⎨⎧=γεσG E （2-1） 式中ε、γ分别为拉伸形变和剪切形变，E 、G 分别称Yang's 氏模量和剪切模量，它们是不依赖于时间、形变量的材料常数。
经典流体力学理论。
Newton 粘性定律表述为dtd γηγησ00== （2-2） 式中γ 为剪切速率，0η为Newton 粘度，是与时间和剪切速率γ 无关的材料常数。
实际高分子液体流动时，表现出比上述两种情形复杂得多的性质。
一是体系受外力作用后，既有粘性流动，又有高弹形变，体系兼有液、固双重性质。
外力释去时，仅有弹性形变部分可以恢复，而粘性流动造成的永久形变不能恢复。
二是高分子液体流动中表现出的粘弹性，偏离由Hooke 定律和Newton粘性定律所描写的线性规律，模量和粘度均强烈地依赖于外力的作用速率，不是恒定的常数。
更重要的，应力与应变间的响应，不是瞬时响应，即粘性流动中的力学响应不唯一决定于形变速率的瞬时值，弹性形变中的力学响应也不唯一决定于形变量的瞬时值。
由于高分子的力学松弛行为，以往历史上的应力（或应变）对现时状态的应变（或应力）仍产生影响，材料自身表现出对形变的“记忆”能力。
实际上，高分子液体流动时，其内部的应力状态十分复杂，既存在剪切应力，还存在法向应力，各个不同法向上的应力值不等。
为此需要对这种复杂应力状态和我们不熟悉的大形变——有限形变的度量给出恰当定义和严格数学描述，由此才能正确描述高分子液体的非线性粘弹性质。
要定义的基本物理量有：应力张量、偏应力张量；形变张量、形变率张量、速度梯度张量；基本流变学函数有：剪切粘度，第一、二法向应力差函数，拉伸粘度等。
2．基本物理量2．1 应力与偏应力张量物体在外力或外力矩作用下会产生流动或（和）形变，同时为了抵抗外力的作用（流动或形变），物体内部产生相应的应力。
应力通常定义为材料内部单位面积上的响应力，单位为Pa （1Pa=1N/m 2）或MPa (1MPa = 106 Pa)。
第2章_聚合物的流变性质
刚性大和分子间作用力大，η对T的敏感性越强， 升高T有利于加工。
II.
聚合物中的支链 支链越长，支化度越高， η越大，流动性下降， 长支链还增大了对剪切速率的敏感性。当η一定时， 有支链的聚合物越易呈现非牛顿性流动的行为。
III. 侧基
侧基较大，自由体积增大，η降低， η对T和P 的敏感性增加，如PS、PMMA。
第一节
聚合物熔体的流变行为
定义：材料受力后产生的形变和尺寸改变称为应变γ。单位 时间内的应变称为应变速率(或速度梯度)，可以表示为：
d dt
应变方式和应变速率与所受外力的性质和位置有关，可 分为以下三种流动方式： 剪切流动：聚合物加工时受到剪切力作用 拉伸流动：聚合物在加工过程中受到拉伸应力作用 静压力的均匀压缩（主要影响粘度）
第二章 聚合物的流变性质
2.1 聚合物熔体的流变行为 2.2 影响聚合物流变行为的主要因素
流变学（Rheology) ：研究物质形变与流动的科学 熔融加工是最常见的加工形式，在加工过程
中，聚合物都要产生流动和形变。 聚合物的形变包括：弹性形变、塑性形变和 粘性形变 影响形变的因素：聚合物结构与性质、温度、 力(大小和方式、作用时间）和物料体系组成。
二、压力对粘度的影响
聚合物的聚集态并不如想象中那么紧密，实际上 存在很多微小空穴，即所谓“自由体积”，从而使聚 合物液体有可压缩性。
为了提高流量，不得不提高压力，自由体积减小，
粘度增大，同时设备损耗增加。因此不能单纯加压提
高产量。
当压力增加到700大气压时，体积变化可达5.5%， PS的粘度增加高达100倍。 在加工过程中通过改变压力或温度，都能获得同样 的粘度变化效应称为压力—温度等效性。 例如，对很多聚合物，压力增加到1000大气压时， 熔体粘度的变化相当于降低30~50℃温度的作用。
II.
聚合物中的支链 支链越长，支化度越高， η越大，流动性下降， 长支链还增大了对剪切速率的敏感性。当η一定时， 有支链的聚合物越易呈现非牛顿性流动的行为。
III. 侧基
侧基较大，自由体积增大，η降低， η对T和P 的敏感性增加，如PS、PMMA。
第一节
聚合物熔体的流变行为
定义：材料受力后产生的形变和尺寸改变称为应变γ。单位 时间内的应变称为应变速率(或速度梯度)，可以表示为：
d dt
应变方式和应变速率与所受外力的性质和位置有关，可 分为以下三种流动方式： 剪切流动：聚合物加工时受到剪切力作用 拉伸流动：聚合物在加工过程中受到拉伸应力作用 静压力的均匀压缩（主要影响粘度）
第二章 聚合物的流变性质
2.1 聚合物熔体的流变行为 2.2 影响聚合物流变行为的主要因素
流变学（Rheology) ：研究物质形变与流动的科学 熔融加工是最常见的加工形式，在加工过程
中，聚合物都要产生流动和形变。 聚合物的形变包括：弹性形变、塑性形变和 粘性形变 影响形变的因素：聚合物结构与性质、温度、 力(大小和方式、作用时间）和物料体系组成。
二、压力对粘度的影响
聚合物的聚集态并不如想象中那么紧密，实际上 存在很多微小空穴，即所谓“自由体积”，从而使聚 合物液体有可压缩性。
为了提高流量，不得不提高压力，自由体积减小，
粘度增大，同时设备损耗增加。因此不能单纯加压提
高产量。
当压力增加到700大气压时，体积变化可达5.5%， PS的粘度增加高达100倍。 在加工过程中通过改变压力或温度，都能获得同样 的粘度变化效应称为压力—温度等效性。 例如，对很多聚合物，压力增加到1000大气压时， 熔体粘度的变化相当于降低30~50℃温度的作用。
第二章 流变学的基本概念03
第二不变量
& & &i j
& & & & & & & & & & & & = exx exx + exy e yx + exz ezx + e yx exy + e yy e yy + e yz ezy & & & & & & + ezxexz + ezy e yz + ezz ezz
A0
u y u x u z exx = = e yy = = ezz = =ε x y z 1 u x u y exy = e yx = y + x = exz = ezx = e yz = ezy = 0 2
简单剪切simple shear
A0
F θ
F
1 u x u y 1 = γ exy = e yx = + y 2 2 x
v x v y & & = γ& exy = e yx = + y x
& = 2γ& 2 I2
2.4 本构方程和材料函数
连续性方程 运动方程 能量方程
本构方程 材料函数
作业
1. 何为应变张量？ 2. 何为应变速率张量？ 3. 推导三类基本类型流体的应变张量？
Strain (应变 应变) 应变
Shear strain
剪切应变
dx γ= dy
F
dx v+dv v A dy F
Shear rate
切变速率
dγ dv γ& = = dt dy
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一、标量、矢量和张量 标量——没有任何方向性的纯数值的量。 如：质量、体积、密度、温度、热导率、热扩散率、比定
压热容和能量。
矢量
矢量——既有方向，又有大小的量。 如：位移、速度和温度梯度等。
i、j、k是平行于x、y、z轴的单位矢量
矢量用粗体代号或一个脚码代号表达
ai=a=axi+ayj+azk
哈密尔顿算子 表达式
哈密尔顿算子在运算中既服从矢量代数和矢量分析中所有 法则；另一方面可按微分法则运算。
流动与变形的材料在某个几何空间中每个点，都对应着物理 量的一个确定值。对于这些标量和矢量确定的空间，即为标 量场和矢量场。
a.标量场的梯度 梯度是个矢量，它的大小则为φ最大变化率的数值。
第二章 基本物理量和高分 子液体的基本流变性质
第一节张量初步知识 第二节基本物理量 第三节粘度与法向应力差系数 第四节非牛顿型流体的分类 第五节关于剪切粘度的深入讨论 第六节关于“剪切变稀行为的说明 第七节高分子液体弹性效应的描述 第八节高分子液体的动态粘弹性
第一节 张量初步知识
高聚物流变学的发展，与现代数学的应用密切相关。特别 是张量分析的数学概念。帮助建立矢量空间的思维能力， 以便更好的理解流变学基本方程，以及一些加工应用方程 的推导。全面学习和研究流变学，必须具有矢量代数、线 性代数和张量运算的数学基础。
2
z 2
三、几个特殊的张量
a.单位张量 单位张量的表达式
1 0 0
0
1
0
i
j
0 0 1
称为克朗内克 符号
1
0
0
0 1 0
0
0
i j
1
1当i j 0当i j
b.对称张量
二阶张量的下标i与j互换后所代表分量不变， 称为二阶对称张量。即有σ ij=σ ji
若两个张量在某一笛卡尔坐标系中相等， 则它们在任意笛卡尔坐标系中也相等。
Aij Bij
笛卡尔坐标系
笛卡尔坐标系 (Cartesian coordinates) 就是直角坐标系和斜角坐标 系的统称。
相交于原点的两条数轴，构成了平面仿射坐标系。如两条数轴上的 度量单位相等，则称此仿射坐标系为笛卡尔坐标系。
a11 a12 a13
a
a
ai j
a21
a22
a23
a31 a32 a33
流变学中的参量如：应力σij、应变εij、剪切应 力 、剪切速率 和应力速率等都是张量。
二、哈密尔顿算子
哈密尔顿算子是一个具有微分和矢量双重运算的算子。
i j k x y z
两条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系，称为笛卡尔直角坐标系，否则 称为笛卡尔斜角坐标系。
仿射坐标系和笛卡尔坐标系平面向空间的推广
三个分量ax、ay、az是矢量在x、 y、z轴上的投影，常把x、y、z
写成1、2、3
张量是矢量的推广
张量物理学定义——在一点处不同方向面上具有各个矢量 值的物理量。流变学应用的是二阶张量，是“面量”。
张量数学定义——在笛卡尔坐标系上一组有3n个有序矢量 的集合。
指数n称为张量的阶数，二阶笛卡尔张量 n=2,标量是零阶张量，矢量是一阶张量
常用于表示速度散度 vi
(vi )
vi xi
(vi ) 常用于表示速度梯度
(vi
)
vi x j
c.拉普拉斯算子
2
x2
y 2
z 2
称为拉普拉斯算 子
如：
( x2
y 2
z 2
)
2
x2
2
y 2
它的方向为φ变化率最大的方向。
梯度是温度、浓度和密度等这些标量场不均匀的量
度，记为gradφ.
grad i j k 或
x y z
grad i j k
x1 x2 x3
梯度的基本运算法则有
(C) C
C为常数
(1 2 ) 1 2
(12 ) 12 21
F '() 为导函数
F() F '()
b.矢量场的散度
散度为矢量场中任一点(x,y,z)通过所包围界面的 通量（或流量），并除以此微元体积。例如：速 度散度记为divν,它是一标量。
0 p12 p13 0
p12 p13
pi j
p21
0
p23
p12
0
p23
p31 p32 0 p13 p23 0
任何一个二阶张量均可唯一的分解为一个二阶对称张 量和一个二阶反对称张量之和。
d.张量的代数运算
（1）张量相等 两个张量相等，则各分量一一对应相等。
在直角坐标系中，若 则 divv v1 v2 v3 v
x y z
1i v2 j v3k
divν物理意义：单位时间单位 体积内所产生的流体质量
散度的基本运算法则为
(v u) v u
(v) v v
流变学中最常见的是速度矢量场的散度。对于速度 场散度divνi=0,具有不可压缩特性。
二阶对称张量的矩阵表示形式中各元素关于对 角线对称。因而只有六个独立元素。有：
11 12 13 11 12 13
i j
21
22
23
Fra bibliotek2223
31 32 33 33
C 反对称张量
二阶反对称张量的分量满足pij=-pji 对角线各元素为零，从而只有三个独立分量，有
张量的特征：
①张量可以按定量关系在不同坐标系中转换， 可以从一个直角坐标系转换到另一个直角坐标 系中，还可以转换到柱面坐标系（r,θ,z)和 球面坐标系(r,θ,φ)中。
②张量分量可在各种坐标系中描述。 ③张量分量具有一定的空间分布。 ④张量具有可分解性和可加和性。
二阶张量用粗体字符或带大括号，或用双脚标表 示
压热容和能量。
矢量
矢量——既有方向，又有大小的量。 如：位移、速度和温度梯度等。
i、j、k是平行于x、y、z轴的单位矢量
矢量用粗体代号或一个脚码代号表达
ai=a=axi+ayj+azk
哈密尔顿算子 表达式
哈密尔顿算子在运算中既服从矢量代数和矢量分析中所有 法则；另一方面可按微分法则运算。
流动与变形的材料在某个几何空间中每个点，都对应着物理 量的一个确定值。对于这些标量和矢量确定的空间，即为标 量场和矢量场。
a.标量场的梯度 梯度是个矢量，它的大小则为φ最大变化率的数值。
第二章 基本物理量和高分 子液体的基本流变性质
第一节张量初步知识 第二节基本物理量 第三节粘度与法向应力差系数 第四节非牛顿型流体的分类 第五节关于剪切粘度的深入讨论 第六节关于“剪切变稀行为的说明 第七节高分子液体弹性效应的描述 第八节高分子液体的动态粘弹性
第一节 张量初步知识
高聚物流变学的发展，与现代数学的应用密切相关。特别 是张量分析的数学概念。帮助建立矢量空间的思维能力， 以便更好的理解流变学基本方程，以及一些加工应用方程 的推导。全面学习和研究流变学，必须具有矢量代数、线 性代数和张量运算的数学基础。
2
z 2
三、几个特殊的张量
a.单位张量 单位张量的表达式
1 0 0
0
1
0
i
j
0 0 1
称为克朗内克 符号
1
0
0
0 1 0
0
0
i j
1
1当i j 0当i j
b.对称张量
二阶张量的下标i与j互换后所代表分量不变， 称为二阶对称张量。即有σ ij=σ ji
若两个张量在某一笛卡尔坐标系中相等， 则它们在任意笛卡尔坐标系中也相等。
Aij Bij
笛卡尔坐标系
笛卡尔坐标系 (Cartesian coordinates) 就是直角坐标系和斜角坐标 系的统称。
相交于原点的两条数轴，构成了平面仿射坐标系。如两条数轴上的 度量单位相等，则称此仿射坐标系为笛卡尔坐标系。
a11 a12 a13
a
a
ai j
a21
a22
a23
a31 a32 a33
流变学中的参量如：应力σij、应变εij、剪切应 力 、剪切速率 和应力速率等都是张量。
二、哈密尔顿算子
哈密尔顿算子是一个具有微分和矢量双重运算的算子。
i j k x y z
两条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系，称为笛卡尔直角坐标系，否则 称为笛卡尔斜角坐标系。
仿射坐标系和笛卡尔坐标系平面向空间的推广
三个分量ax、ay、az是矢量在x、 y、z轴上的投影，常把x、y、z
写成1、2、3
张量是矢量的推广
张量物理学定义——在一点处不同方向面上具有各个矢量 值的物理量。流变学应用的是二阶张量，是“面量”。
张量数学定义——在笛卡尔坐标系上一组有3n个有序矢量 的集合。
指数n称为张量的阶数，二阶笛卡尔张量 n=2,标量是零阶张量，矢量是一阶张量
常用于表示速度散度 vi
(vi )
vi xi
(vi ) 常用于表示速度梯度
(vi
)
vi x j
c.拉普拉斯算子
2
x2
y 2
z 2
称为拉普拉斯算 子
如：
( x2
y 2
z 2
)
2
x2
2
y 2
它的方向为φ变化率最大的方向。
梯度是温度、浓度和密度等这些标量场不均匀的量
度，记为gradφ.
grad i j k 或
x y z
grad i j k
x1 x2 x3
梯度的基本运算法则有
(C) C
C为常数
(1 2 ) 1 2
(12 ) 12 21
F '() 为导函数
F() F '()
b.矢量场的散度
散度为矢量场中任一点(x,y,z)通过所包围界面的 通量（或流量），并除以此微元体积。例如：速 度散度记为divν,它是一标量。
0 p12 p13 0
p12 p13
pi j
p21
0
p23
p12
0
p23
p31 p32 0 p13 p23 0
任何一个二阶张量均可唯一的分解为一个二阶对称张 量和一个二阶反对称张量之和。
d.张量的代数运算
（1）张量相等 两个张量相等，则各分量一一对应相等。
在直角坐标系中，若 则 divv v1 v2 v3 v
x y z
1i v2 j v3k
divν物理意义：单位时间单位 体积内所产生的流体质量
散度的基本运算法则为
(v u) v u
(v) v v
流变学中最常见的是速度矢量场的散度。对于速度 场散度divνi=0,具有不可压缩特性。
二阶对称张量的矩阵表示形式中各元素关于对 角线对称。因而只有六个独立元素。有：
11 12 13 11 12 13
i j
21
22
23
Fra bibliotek2223
31 32 33 33
C 反对称张量
二阶反对称张量的分量满足pij=-pji 对角线各元素为零，从而只有三个独立分量，有
张量的特征：
①张量可以按定量关系在不同坐标系中转换， 可以从一个直角坐标系转换到另一个直角坐标 系中，还可以转换到柱面坐标系（r,θ,z)和 球面坐标系(r,θ,φ)中。
②张量分量可在各种坐标系中描述。 ③张量分量具有一定的空间分布。 ④张量具有可分解性和可加和性。
二阶张量用粗体字符或带大括号，或用双脚标表 示