01背包问题拉格朗日求解附程序
实验报告分支限界法01背包
实验报告分支限界法01背包实验报告：分支限界法解决01背包问题一、引言背包问题是数学和计算机科学中一个经典的问题。
背包问题通常分为01背包问题和完全背包问题两种情况。
本实验主要探讨的是分支限界法解决01背包问题，该算法常用于解决NP难问题。
分支限界法通过将问题分解为一系列子问题，并借助剪枝技术，逐步缩小问题的空间，从而找到最优解。
本实验将通过具体的案例来展示分支限界法的求解过程和原理，并对算法的时间复杂度和空间复杂度进行分析。
二、算法原理01背包问题的数学模型为：有n个物品，每个物品有一个重量wi和一个价值vi，在限定的背包容量为W的情况下，如何选择物品放入背包，使得背包中物品的总价值最大。
分支限界法的基本思想是：通过不断地分解问题为更小的子问题，并使用估算函数对子问题进行优先级排序，将优先级最高的子问题优先求解。
具体步骤如下：1.根节点：将背包容量W和物品序号0作为初始状态的根节点。
2.扩展节点：对于任意一个节点S，选择装入下一个物品或者不装入两种分支。
计算新节点的上界。
3.优先级队列：将扩展节点按照上界从大到小的顺序插入优先级队列。
4.剪枝条件：当扩展节点的上界小于当前已找到的最优解时，可以剪枝。
5.结束条件：当到叶节点或者队列为空时，结束。
若叶节点的上界高于当前最优解，更新最优解。
三、实验过程1.输入数据：给定一个物品序列，每个物品有重量和价值，以及一个背包的最大容量。
2.算法实现：根据算法原理，使用编程语言实现分支限界法的求解过程。
3.结果分析：比较算法求解得到的最优解和其他算法（如动态规划）得到的最优解之间的差异。
四、实验结果以一个具体的案例来说明分支限界法的求解过程。
假设有4个物品，其重量和价值分别为{2,3,4,5}和{3,4,5,6}，背包的最大容量为8、通过分支限界法求解，得到最优解为9，对应的物品选择为{2,3,5}。
通过与动态规划算法的结果比较，可以发现分支限界法的最优解与动态规划算法得到的最优解是一致的。
0-1背包问题详解二（完全背包问题）
0-1背包问题详解⼆（完全背包问题）问题描述给定n种物品和⼀个背包。
物品i的重量是w(i),其价值为v(i),背包的容量为c(即最多能够装c重量的物品)。
这n种物品可以重复放置(这是与普通背包问题的不同之处)。
输⼊n=5,c=6.物品容量和价值分别为：2 62 36 55 44 6最后输出时：18问题求解：f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k*c[i]<=v}似乎利⽤上⾯那个公式就可以很好的求出解。
这⾥给出另外⼀组公式，该公式和上⽂的公式是⼀样的，只是第⼆个for语句的倒过来。
for i=1..Nfor v=0..Vf[v]=max{f[v],f[v-cost]+weight}为什么这样⼀改就可⾏呢？⾸先想想为什么上⽂中要按照v=V..0的逆序来循环。
这是因为要保证第i次循环中的状态f[i][v]是由状态f[i-1][v-c[i]]递推⽽来。
换句话说，这正是为了保证每件物品只选⼀次，保证在考虑“选⼊第i件物品”这件策略时，依据的是⼀个绝⽆已经选⼊第i件物品的⼦结果f[i-1][v-c[i]]。
⽽现在完全背包的特点恰是每种物品可选⽆限件，所以在考虑“加选⼀件第i种物品”这种策略时，却正需要⼀个可能已选⼊第i种物品的⼦结果f[i][vc[i]]，所以就可以并且必须采⽤v=0..V的顺序循环。
这就是这个简单的程序为何成⽴的道理。
1void compelteKnapsack(){2int c,n;3 cout<<"请输⼊最⼤容量,⼩于100"<<endl;4 cin>>c;5 cout<<"请输⼊背包个数"<<endl;6 cin>>n;7 cout<<"请输⼊各个背包重量和价值"<<endl;8for(int i=1;i<=n;i++){9 cin>>w[i]>>v[i];10 }11for(int i=0;i<=n;i++)12 p[i]=0;13for(int i=1;i<=n;i++)14for(int j=w[i];j<=c;j++)15 p[j]=max(p[j],p[j-w[i]]+v[i]);16 cout<<"结果是"<<p[c]<<endl;17 }View Code版权所有，欢迎转载，但是转载请注明出处：。
分支界限方法01背包问题解题步骤
分支界限方法是一种用于解决优化问题的算法。
在动态规划算法中，分支界限方法被广泛应用于解决01背包问题。
01背包问题是一个经典的动态规划问题，其解题步骤如下：1. 确定问题：首先需要明确01背包问题的具体描述，即给定一组物品和一个背包，每个物品有自己的价值和重量，要求在不超过背包容量的情况下，选取尽可能多的物品放入背包，使得背包中物品的总价值最大。
2. 列出状态转移方程：对于01背包问题，可以通过列出状态转移方程来描述问题的求解过程。
假设dp[i][j]表示在前i个物品中，背包容量为j时能够获得的最大价值，则状态转移方程可以表示为：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]]+v[i])3. 初始化边界条件：在动态规划中，需要对状态转移方程进行初始化，一般情况下，dp数组的第一行和第一列需要单独处理。
对于01背包问题，可以初始化dp数组的第一行和第一列为0。
4. 利用分支界限方法优化：针对01背包问题，可以使用分支界限方法来优化动态规划算法的效率。
分支界限方法采用广度优先搜索的思想，在每一步选择最有希望的分支，从而减少搜索空间，提高算法的效率。
5. 实际解题步骤：根据上述步骤，实际解决01背包问题的步骤可以概括为：确定问题，列出状态转移方程，初始化边界条件，利用分支界限方法优化，最终得到问题的最优解。
分支界限方法在解决01背包问题时起到了重要的作用，通过合理的剪枝策略，可以有效地减少动态规划算法的时间复杂度，提高问题的求解效率。
分支界限方法也可以应用于其他优化问题的求解过程中，在算法设计和实现中具有重要的理论和实际意义。
在实际应用中，分支界限方法需要根据具体问题进行灵活选择和调整，结合动态规划和剪枝策略，以便更好地解决各类优化问题。
掌握分支界限方法对于解决复杂问题具有重要的意义，也是算法设计和优化的关键技术之一。
分支界限方法在解决01背包问题的过程中，具有重要的作用。
0_1背包问题的多种解法
、问题描述0/1背包问题：现有n种物品，对1<=i<=n，已知第i种物品的重量为正整数W,价值为正整数V，背包能承受的最大载重量为正整数V，现要求找出这n种物品的一个子集，使得子集中物品的总重量不超过W且总价值尽量大。
(注意：这里对每种物品或者全取或者一点都不取，不允许只取一部分)、算法分析根据问题描述，可以将其转化为如下的约束条件和目标函数：nw i x i Wi i ⑴X i {0,1(1 i n)nmax v i x (2)i 1于是，问题就归结为寻找一个满足约束条件( 1)，并使目标函数式(2)达到最大的解向量首先说明一下0-1背包问题拥有最优解假设(X1, X2,X3,……,X n)是所给的问题的一个最优解，则 (X2,X3,……,X n)是下面问题的一个最优解:nWi 2X i {0,1}(2W1X1 maxi n) inv i X。
如果不是的话，设(y2> y3>....2..,y n)是这个问题的一个最优解，则n nV i y i V i X ii 2 i 2，且 W1X1n nW i y i W。
因此，V1X1 V i y ii 2 i 2n nV1X1V j X VX i，这说明i 2 i 1(X1,y2,y3, ....... , y n)是所给的0-1背包问题比(X1,X2,X3, ............ , X n)更优的解，从而与假设矛盾穷举法:用穷举法解决0-1背包问题，需要考虑给定n个物品集合的所有子集，找出所有可能的子集(总重量不超过背包重量的子集)，计算每个子集的总重量，然后在他们中找到价值最大的子集。
由于精品(X1, X2,X3,……X n)。
程序过于简单，在这里就不再给出，用实例说明求解过程。
下面给出了4个物品和一个容量为10的背包，下图就是用穷举法求解0-1背包问题的过程。
(a)四个物品和一个容量为10的背包(b)用回溯法求解0-1背包问题的过程递归法：在利用递归法解决0-1背包问题时，我们可以先从第n个物品看起。
0_1背包问题的多种解法
、问题描述0/1背包问题：现有n种物品，对1<=i<=n，已知第i种物品的重量为正整数W,价值为正整数V，背包能承受的最大载重量为正整数V，现要求找出这n种物品的一个子集，使得子集中物品的总重量不超过W且总价值尽量大。
(注意：这里对每种物品或者全取或者一点都不取，不允许只取一部分)、算法分析根据问题描述，可以将其转化为如下的约束条件和目标函数：nw i x i Wi i ⑴X i {0,1(1 i n)nmax v i x (2)i 1于是，问题就归结为寻找一个满足约束条件( 1)，并使目标函数式(2)达到最大的解向量首先说明一下0-1背包问题拥有最优解假设(X1, X2,X3,……,X n)是所给的问题的一个最优解，则 (X2,X3,……,X n)是下面问题的一个最优解:nWi 2X i {0,1}(2W1X1 maxi n) inv i X。
如果不是的话，设(y2> y3>....2..,y n)是这个问题的一个最优解，则n nV i y i V i X ii 2 i 2，且 W1X1n nW i y i W。
因此，V1X1 V i y ii 2 i 2n nV1X1V j X VX i，这说明i 2 i 1(X1,y2,y3, ....... , y n)是所给的0-1背包问题比(X1,X2,X3, ............ , X n)更优的解，从而与假设矛盾穷举法:用穷举法解决0-1背包问题，需要考虑给定n个物品集合的所有子集，找出所有可能的子集(总重量不超过背包重量的子集)，计算每个子集的总重量，然后在他们中找到价值最大的子集。
由于精品(X1, X2,X3,……X n)。
程序过于简单，在这里就不再给出，用实例说明求解过程。
下面给出了4个物品和一个容量为10的背包，下图就是用穷举法求解0-1背包问题的过程。
(a)四个物品和一个容量为10的背包(b)用回溯法求解0-1背包问题的过程递归法：在利用递归法解决0-1背包问题时，我们可以先从第n个物品看起。
01背包问题的数学逻辑
01背包问题的数学逻辑1.引言1.1 概述01背包问题是一类经典的组合优化问题，它是数学逻辑中的一个重要问题之一。
在实际生活中，我们经常会面对资源有限的情况，而如何在有限的资源下做出最佳决策，已经成为一个重要的研究领域。
01背包问题就是在给定总容量和一组物品的情况下，选取其中的一些物品放入背包中，使得背包中物品的总价值最大化，而不超过背包的总容量。
这个问题由G. Dantzig在1957年首次提出，并且成为组合优化中的一个经典问题。
它的名字来源于背包只能放入0或1个同样特性的物品。
虽然问题看似简单，但由于问题的解空间庞大，是一个NP完全问题，因此求解过程通常使用一些近似算法。
1.2 目的本文的目的是探究01背包问题的数学逻辑，并介绍一些常用的求解方法。
通过深入研究01背包问题，我们可以更好地理解其数学模型，在实际应用中解决类似的优化问题。
具体目标包括：1. 分析01背包问题的数学模型，并介绍相关的定义和术语；2. 探讨01背包问题的求解方法，包括动态规划、贪心算法和近似算法等；3. 介绍优化问题的评价指标，包括背包的总价值、总重量和可行性等；4. 分析不同情况下的算法复杂性，讨论解决01背包问题的时间和空间复杂性；5. 举例说明01背包问题在实际生活中的应用，如旅行行李、采购决策等。
通过对01背包问题的研究，我们能够更好地理解和应用数学逻辑，提高问题求解的能力。
了解背包问题的求解方法和评价指标，对我们在实际生活中面对资源有限的情况下做出最佳决策具有重要意义。
无论是在物流管理、金融投资还是其他领域，都可以通过对01背包问题的研究，提高决策的效率和准确度。
在接下来的文章中，将会详细介绍01背包问题的数学逻辑，分析不同求解方法的优劣，并给出实际应用的例子，以便读者更好地理解和应用该问题。
2.正文2.1 01背包问题的定义和背景介绍01背包问题是运筹学中的一个经典问题，在算法和动态规划中有重要的应用。
该问题的核心是在给定的背包容量和一组物品的情况下，如何选择物品放入背包中，使得背包中的物品总价值最大化。
01背包问题的数学逻辑
01背包问题的数学逻辑摘要：一、背包问题概述二、背包问题的数学模型1.基本形式2.扩展形式3.多维背包问题三、求解背包问题的算法1.暴力枚举法2.动态规划法3.贪心算法4.回溯算法四、背包问题的应用1.运筹学2.物流管理3.投资决策五、提高背包问题求解效率的方法1.优化数据结构2.改进算法策略3.利用贪心策略正文：一、背包问题概述背包问题是一个经典的组合优化问题，起源于运筹学领域。
它描述了一个旅行者需要在有限的重量和容量限制下，从一系列物品中选择最有价值的物品装入背包的过程。
背包问题具有广泛的应用背景，如物流管理、投资决策等。
二、背包问题的数学模型1.基本形式背包问题基本形式可以用以下数学模型表示：给定一组物品，每种物品都有一定的重量和价值，求在背包重量限制下，如何选择物品使得背包内物品的总价值最大。
2.扩展形式在基本形式的基础上，背包问题还可以扩展为多个背包、有先后顺序的物品、有特殊约束条件等。
3.多维背包问题多维背包问题是在二维平面上的扩展，不仅需要考虑物品的重量和价值，还要考虑物品之间的相互依赖关系。
三、求解背包问题的算法1.暴力枚举法暴力枚举法是一种简单的求解背包问题的方法，通过遍历所有可能的物品组合，找到满足条件的最优解。
但该方法时间复杂度高，不适合处理大规模问题。
2.动态规划法动态规划法是将背包问题分解为子问题，通过递归的方式求解。
该方法具有较好的时间复杂度，但需要合理设计状态转移方程。
3.贪心算法贪心算法在每一步都选择当前最优的解，但不一定能得到全局最优解。
在背包问题中，贪心算法可以通过物品的价值与重量比来选择装入背包的物品。
4.回溯算法回溯算法是一种试探性的搜索算法，通过逐步尝试的方式寻找最优解。
在背包问题中，回溯算法可以通过剪枝策略减少搜索空间。
四、背包问题的应用1.运筹学背包问题是运筹学领域的一个典型例子，通过求解背包问题，可以优化物流、仓储等领域的运营管理。
2.物流管理在物流领域，背包问题可以用于优化路径规划、货物分拣等问题。
01背包问题多种解法
一、问题描绘0/1 背包问题 :现有 n 种物件，对1<=i<=n，已知第i 种物件的重量为正整数W i，价值为正整数V i，背包能蒙受的最大载重量为正整数W ，现要求找出这n 种物件的一个子集，使得子集中物品的总重量不超出W 且总价值尽量大。
（注意：这里对每种物件或许全取或许一点都不取，不一样意只取一部分）二、算法剖析依据问题描绘，能够将其转变为以下的拘束条件和目标函数：nw i x i W(1)i1x i{ 0,1}( 1i n)nmax v i x i (2)i1于是，问题就归纳为找寻一个知足拘束条件（ 1 ），并使目标函数式（ 2 ）达到最大的解向量 X(x1, x2 , x3 ,......, x n ) 。
第一说明一下0-1 背包问题拥有最优解。
假定 (x1, x2 , x3 ,......, x n ) 是所给的问题的一个最优解，则 (x2 , x3,......, x n ) 是下边问题的nw i x i W w1x1 maxn一个最优解：i 2v i x i。
假如不是的话，设( y2, y3 ,......, y n ) 是这x i{ 0,1}( 2i n)i 2n n n个问题的一个最优解，则v i y i v i x i，且 w1x1w i y i W 。
因此，i 2i 2i 2n n nv1x1v i y i v1 x1v i x i v i x i，这说明 (x1, y2 , y3 ,........, y n ) 是所给的0-1 背包问i 2i 2i 1题比 ( x1 , x2 , x3 ,........, x n ) 更优的解，进而与假定矛盾。
穷举法：用穷举法解决0-1 背包问题，需要考虑给定n 个物件会合的所有子集，找出所有可能的子集（总重量不超出背包重量的子集），计算每个子集的总重量，而后在他们中找到价值最大的子集。
因为程序过于简单，在这里就不再给出，用实例说明求解过程。
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Value_optP= i 1 ci
n
i 1 i
b B then
实验与分析
• 设背包大小B=1000，随机生成0-100的物品 价值参数和物品尺寸参数。 • 分别做物品数n=100,200,300,400,500的实验。 • 电脑配置：
实验与分析
• n=100
原问题最优值： Value_optP=2936
0
0.5
1 n
2
1.5
2
2.5 x 10
5
Further Work
• 关于λ的更多启发式计算
i 1 n i 1
n
0-1背包问题的拉格朗日对偶问题
• 构造拉格朗日函数如下： n n L( x, ) ci xi ( bi xi B)
L( x, ) (ci bi ) xi B
ci ci bi
i 1 i 1 n i 1
i 1
n
s2 B
步骤2：计算 v1 v2 / s2 s1 ，用的Dijkstra 算法最短路求解(P) 的拉格朗日松弛问题。设x是其对应最优解。 步骤3： v3 - i 1 ci xi s3 i 1 bi xi B，如果 s3 v3 s1 v1
-7000 1 2 3 4 5
物品价值
-3000
r
1
2
3
4
5
6 7 迭代次数
8
9
10
11
对偶解 原问题 6 7 迭代次数 8 9 10 11
实验与分析
• n=400
拉格朗日松弛解背包问题 0 -1000 对偶解 原问题
4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0
原问题最优值： -2000 Value_optP=4869
5
7
9
…………..
2n+1
2n+2
构造价值邻接矩阵D1，容积代价邻接矩阵D2
ci ci bi
D3=D1+ λ*D2
算法伪代码
If
n
Else pv=Shortestpath(D1) ps= Shortestpath(D2) While(true) do λ=*v(ps)-v(pv)]/[s(pv)-s(ps)] pλ= Shortestpath(D3) If L(pλ) = L(ps) then return ps; break; else if size(pλ)<=B then //可行化判断 ps=pλ else pv=pλ End if End if End while
物品价值
拉格朗日松弛解背包问题 0 对偶解 原问题
2.5
-500
-1000
2
1.5
物品总大小： -2000 997 λ=1.4286 -2500 算法运行时间： 4.310928 seconds. -3000
-3500 1 2 3 4
-1500
r
1
0.5
0
1
2
3
4
5 6 迭代次数
7
8
9
10
5 6 迭代次数
• 极小化L(x, λ)得P问题的拉格朗日松弛问题：
d ( ) min L( x, )
x X
• d(λ)为对偶函数，拉格朗日对偶问题(D)：
max d ( ) m
R
外逼近法求解
求解(D)问题的外逼近法步骤
步骤1： v1 -
c
i 1
n
i
s1 bi B v2 0
0.5
0
1
2
3
4
5 6 迭代次数
7
8
9
10
1
2345来自6 迭代次数78
9
10
实验与分析
• n=300
拉格朗日松弛解背包问题 0
4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0
-1000
原问题最优值： Value_optP=4153 -2000 物品总大小： -4000 978 λ=2.3871 -5000 算法运行时间： -6000 40.831066seconds.
-3000
物品总大小： -4000 995 -5000 λ=2.5714 -6000 算法运行时间： -7000 73.692048 seconds.
-8000 1 2 3 4 5
物品价值
r
1
2
3
4
5
6 7 迭代次数
8
9
10
11
6 7 迭代次数
8
9
10
11
实验与分析
拉格朗日松弛解背包问题
• n=500
7
8
9
10
实验与分析
拉格朗日松弛解背包问题
• n=200
原问题最优值： Value_optP=3823
物品价值
0 -500
2.5
对偶解 原问题
-1000
2
-1500 -2000
r
1.5
1
-2500 物品总大小： -3000 982 λ=1.8065 -3500 算法运行时间： -4000 16.593007 seconds. -4500
-10000 1 2 3 4 5 6 迭代次数 7 8
-5000
对偶解 原问题 9
10
算法时间性能
• 由于Dijkstra算法的时间复杂度为 O(n2 ) • 基于Dijkstra算法的拉格朗日松弛对偶方法 的时间复杂度与 n2 呈线性关系。
时间复杂度分析 120 100
80
运行时间
60
40
20
0
0 -1000 -2000
r
4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0
原问题最优值： -3000 Value_optP=5918
-4000
物品价值
1
2
3
4
5 6 迭代次数
7
8
9
10
物品总大小： -6000 998 -7000 λ=2.7429 算法运行时间： -8000 -9000 106.947516seconds.
n n
则λ是D的最优解，停止。否则，执行步骤4。 步骤4：如果 s3 0 ，则令 v1 v3 s1 s3 ，转步骤2；（可行化判断） 如果 s3 0 ，则令 v2 v3 s2 s3 ，转步骤2。
等价最短路问题
…………..
1
n
1
2
3
4
…………..
0
2
4
6
8
…………..
2n
1
3
0-1背包问题的拉格朗日松弛解法
（附程序，见上传者“我的文档”）
关键词：最短路，Dijkstra算法，拉格朗日松弛， 外部逼近法
0-1背包问题与建模
• 有n个物品，价值为ci ，尺寸为bi (i=1,2,…n)，背包 的大小为B。 • 原问题(P)模型：
min ci xi
s.t. bi xi B