测量误差理论
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第5章 误差理论
49 8
多次观测中寻找偶然误差的规律：
对358个三角形在相同的观测条件下观测了全部内角, 三角形内角之和的真值为180°，观测值为三个内角之和 (i +i+ i)，因此其真误差(三角形闭合差)为：
i = 180°– ( i + i+ i)
观测数据统计结果列于 表5-1,据此分析三角形 内角和的真误差 i 的 分布规律。
算术平均值为何是该量最可靠的数值？可以用偶然 误差的特性来证明：
49 19
证明算术平均值是最或然值
按真值计算各个 观测值的真误差： 将上列等式相加， 并除以n,得到：
[] X [l ] n n 根据偶然误差特性： [ ] 0 lim n n
[l ] X lim n n
49
10
偶然误差的特性
1.有界性：在有限次观测
中，偶然误差不超过一定 数值； 2.趋向性：误差绝对值小 的出现的频率大，误差绝 对值大的出现的频率小； 3.对称性：绝对值相等的 正负误差频率大致相等； 4.抵偿性：当观测次数无 限增大时，由于正负相消， 偶然误差的平均值趋近于 零。用公式表示为：
按观测值的改正值计算中误差
Δ 9 4 4 16 1 0 16 9 4 9 72
2
第一组观测 观测值 l Δ -3 180°00ˊ03" -2 180°00ˊ02" +2 179°59ˊ58" +4 179°59ˊ56" -1 180°00ˊ01" 180°00ˊ00" 180°00ˊ04" 179°59ˊ57"
2
lim
n
Δ12 Δ22 Δn2 n
多次观测中寻找偶然误差的规律：
对358个三角形在相同的观测条件下观测了全部内角, 三角形内角之和的真值为180°，观测值为三个内角之和 (i +i+ i)，因此其真误差(三角形闭合差)为：
i = 180°– ( i + i+ i)
观测数据统计结果列于 表5-1,据此分析三角形 内角和的真误差 i 的 分布规律。
算术平均值为何是该量最可靠的数值？可以用偶然 误差的特性来证明：
49 19
证明算术平均值是最或然值
按真值计算各个 观测值的真误差： 将上列等式相加， 并除以n,得到：
[] X [l ] n n 根据偶然误差特性： [ ] 0 lim n n
[l ] X lim n n
49
10
偶然误差的特性
1.有界性：在有限次观测
中，偶然误差不超过一定 数值； 2.趋向性：误差绝对值小 的出现的频率大，误差绝 对值大的出现的频率小； 3.对称性：绝对值相等的 正负误差频率大致相等； 4.抵偿性：当观测次数无 限增大时，由于正负相消， 偶然误差的平均值趋近于 零。用公式表示为：
按观测值的改正值计算中误差
Δ 9 4 4 16 1 0 16 9 4 9 72
2
第一组观测 观测值 l Δ -3 180°00ˊ03" -2 180°00ˊ02" +2 179°59ˊ58" +4 179°59ˊ56" -1 180°00ˊ01" 180°00ˊ00" 180°00ˊ04" 179°59ˊ57"
2
lim
n
Δ12 Δ22 Δn2 n
第2章 测量误差理论
e x xcon.true
绝对误差: 测量误差=测量结果-被测量的约定真值
20
（五） 相对误差
1) 定义: 测量误差与被测量真值的比值。
由于真值不可知，所以用误差估算值表示。
x xcon.true 100% 2) 定义式为：rx xcon.true
绝对误差 相对误差 100% 约定真值
2
人们在对自然界的各种现象进行测量和研究，由 于受到认识能力、测量仪器的性能、实验方法的不 完善等 因素的影响，测量的数据与被测量的真值之 间存在着差异，这些差异在数值上即表现为误差。 误差存在的必然性和普遍性已为大量实践所证明:
任何测量均有误差，为了认识并 减小误差，必须 对测量过程和科学实验中的误差进行研究。
第二章 测量误差理论
1
在工程实践和科学实验中提出的检测任务是正确 及时地掌握各种信息, 大多数情况下是要获取被测对 象信息的大小, 即被测量的大小。这样，信息采集的 主要含义就是测量, 取得测量数据。 为了更好地掌握传感器, 需要对测量的基本概念; 测量系统的特性; 测量误差及数据处理等方面的理论 及工程方法进行学习和研究, 只有了解和掌握了这些 基本理论, 才能更有效地完成检测任务。
相对误差： 对于单个测量结果，一般用绝对误差衡量测量的 准确性，但在比较不同被测对象测量结果的准确性 时，用绝对误差就无法判别了。 21
【例2-1】用一个4位多量程数字频率计，测量标准频 率信号源输出100kHz时的频率， 量程选择为0～ 10MHz，频率计测量值为101kHz，求频率计在该 点的绝对误差和相对误差。
测量结果可用一定的数值表示, 也可以用一条曲线 或某种图形表示。 但无论其表现形式如何, 测量结果应包括两部分： 比值和测量单位。如：
第5章 测量误差理论的基础知识
第五章 测量误差理论的基本知识
5.1 测量误差概述 5.2 衡量精度的指标 5.3 误差传播定律及其应用 5.4 等精度直接观测平差 5.5 不等精度观测的最或然值及其中误差
§5.1 测量误差概述
大量实践表明，当对某一未知量进行多次 观测时，无论观测仪器多么精密，观测进行得
多么仔细，观测值之间总是存在着差异。例如，
2 2 2 2 mZ A12 m12 A2 m2 An mn
§5.3.2 误差传播定律的应用
例1 量得某圆形建筑物得直径 D=34.50m, 其中误差mD 0.01m,
求建筑物得圆周长及其中误差。
解：圆周长：
P D 3.1416 34.50 108.38 中误差：
将以上各式两边平方、取平均，可得
Z 2 x12 x22 xn 2 n f2 f 2 ... f 2 xi x j 1 fi f j k 1 2 n k k k k i, j
i j
因 x 的观测值 l 彼此独立，则 xi x j 在 i j 时亦为偶 i i 然误差。根据偶然误差第4特性，上式末项当 k 时趋近于 零，故：
测量某一平面三角形的三个内角，其观测值之
和常常不等于理论值180°。这说明测量结果
不可避免地存在误差。
§5.1.1 测量误差的来源
测量工作是在一定条件下进行的，外界环境、观 测者的技术水平和仪器本身构造的不完善等原因，都 可能导致测量误差的产生。通常把测量仪器、观测者 的技术水平和外界环境三个方面综合起来，称为观测 条件。观测条件不理想和不断变化，是产生测量误差 的根本原因。通常把观测条件相同的各次观测，称为 等精度观测；观测条件不同的各次观测，称为不等精 度观测。
5.1 测量误差概述 5.2 衡量精度的指标 5.3 误差传播定律及其应用 5.4 等精度直接观测平差 5.5 不等精度观测的最或然值及其中误差
§5.1 测量误差概述
大量实践表明，当对某一未知量进行多次 观测时，无论观测仪器多么精密，观测进行得
多么仔细，观测值之间总是存在着差异。例如，
2 2 2 2 mZ A12 m12 A2 m2 An mn
§5.3.2 误差传播定律的应用
例1 量得某圆形建筑物得直径 D=34.50m, 其中误差mD 0.01m,
求建筑物得圆周长及其中误差。
解：圆周长：
P D 3.1416 34.50 108.38 中误差：
将以上各式两边平方、取平均，可得
Z 2 x12 x22 xn 2 n f2 f 2 ... f 2 xi x j 1 fi f j k 1 2 n k k k k i, j
i j
因 x 的观测值 l 彼此独立，则 xi x j 在 i j 时亦为偶 i i 然误差。根据偶然误差第4特性，上式末项当 k 时趋近于 零，故：
测量某一平面三角形的三个内角，其观测值之
和常常不等于理论值180°。这说明测量结果
不可避免地存在误差。
§5.1.1 测量误差的来源
测量工作是在一定条件下进行的，外界环境、观 测者的技术水平和仪器本身构造的不完善等原因，都 可能导致测量误差的产生。通常把测量仪器、观测者 的技术水平和外界环境三个方面综合起来，称为观测 条件。观测条件不理想和不断变化，是产生测量误差 的根本原因。通常把观测条件相同的各次观测，称为 等精度观测；观测条件不同的各次观测，称为不等精 度观测。
测量误差理论
偶然误差
在同一条件下获得的观测列中，其数值、符号不定，表面看没 有规律性，实际上是服从一定的统计规律的。
粗差
是一些不确定因素引起的误差，主要有几类：一类是将粗差看 用与偶然误差具有相同的方差，但期望值不同；另一类是将粗 差看作与偶然误差具有相同的期望值，但其方差十分巨大；还 有一类是认为偶然误差与粗差具有相同的统计性质，但有正态 与病态的不同。
因此：
2
2 2
1)
e
2
2
2
0
1 0
-σ
+σ
§6-3 评定精度的指标
平均误差
偶然误差绝对值的数学期望称为平均误差
E ( ) lim
n
ˆ n
n
§6-3 评定精度的指标
极限误差
偶然误差的绝对值不会超过 一定的限值
第6章 测量误差理论
峨眉校区
§6-1 测量误差
在实际的测量工作中发现：当对某个确定 的量进行多次观测时或各观测值与其理论 值之间往往存在着一些差异
A B A α β γ DAB C α +β +γ ≠180°
B
492.359 …… 492.363，492.361，492.360，
§6-1 测量误差
§6-5 算术平均值及其中误差
设在相同的观测条件下对某量进行了n次等 精度观测，观测值为L1、L2、…、Ln，其真 值为X，真误差为Δ1、Δ2、…、Δn。
i Li X
[] [ L] nX
X
[ L] [ ] [ ] x n n n
n
测量误差理论基本知识及事例
（2）对流层折射
对流层的高度为40km 以下的大气底层,其大气密度比电离层更大,大气状态也更复杂。对流层与地面接触并从地面得到辐射热能,其温度随高度的增加而降低。GPS 信号通过对流层时,也使传播的路径发生弯曲,从而使测量距离产生偏差,这种现象称为对流层折射。减弱对流层折射的影响主要有3 种措施: ①采用对流层模型加以改正,其气象参数在测站直接测定。②引入描述对流层影响的附加待估参数,在数据处理中一并求得。③利用同步观测量求差。
4、GPS的主要误差源
GPS 测量是通过地面接收设备接收卫星传送来的信息，计算同一时刻地面接收设备到多颗卫星之间的伪距离，采用空间距离后方交会方法，来确定地面点的三维坐标。因此，对于GPS卫星、卫星信号传播过程和地面接收设备都会对GPS 测量产生误差。主要误差来源可分为:
4.1、与GPS卫星有关的误差;
1.2、误差
测量结果与被测量真值之差叫误差
1.3、精度
观测结果、计算值或估计值与真值（或被认为是真值）之间的接近程度。
1.4、中误差
带权残差平方和的平均数的平方根，作为在一定条件下衡量测量精度的一种数值指标。 为同精度观测误差。
中误差与观测值的比值来评定精度叫相对中误差， ，经常用到的有边长相对中误差。
（1）卫星星历误差
卫星星历误差是指卫星星历给出的卫星空间位置与卫控系统根据卫星测轨结果计算求得的,所以又称为卫星轨道误差。它是一种起始数据误差,其大小取决于卫星跟踪站的数量及空间分布、观测值的数量及精度、轨道计算时所用的轨道模型及定轨软件的完善程度等。星历误差是GPS 测量的重要误差来源.
5.2、外界条件引起的误差
外界条件引起的误差主要包括温度变化的影响、仪器和水准尺沉降的影响、大气垂直折光的影响等。温度变化的影响主要通过测前取出仪器一段时间，尽量使用太阳伞，相邻测站使用相反的观测程序等方法来消除或减弱这方面的影响。仪器和水准尺沉降的影响可以通过选择立尺和设置仪器的土壤，或采用尺垫的方法来减弱。大气折光影响可以通过观测时前后视距尽量相等、视线离开地面一定高度、选择有利观测时间等办法来减弱折光影响。在高精度水准测量时，严格按照相应的规范要求执行，采取的观测程序和方法就可以减弱这方面的影响。
对流层的高度为40km 以下的大气底层,其大气密度比电离层更大,大气状态也更复杂。对流层与地面接触并从地面得到辐射热能,其温度随高度的增加而降低。GPS 信号通过对流层时,也使传播的路径发生弯曲,从而使测量距离产生偏差,这种现象称为对流层折射。减弱对流层折射的影响主要有3 种措施: ①采用对流层模型加以改正,其气象参数在测站直接测定。②引入描述对流层影响的附加待估参数,在数据处理中一并求得。③利用同步观测量求差。
4、GPS的主要误差源
GPS 测量是通过地面接收设备接收卫星传送来的信息，计算同一时刻地面接收设备到多颗卫星之间的伪距离，采用空间距离后方交会方法，来确定地面点的三维坐标。因此，对于GPS卫星、卫星信号传播过程和地面接收设备都会对GPS 测量产生误差。主要误差来源可分为:
4.1、与GPS卫星有关的误差;
1.2、误差
测量结果与被测量真值之差叫误差
1.3、精度
观测结果、计算值或估计值与真值（或被认为是真值）之间的接近程度。
1.4、中误差
带权残差平方和的平均数的平方根，作为在一定条件下衡量测量精度的一种数值指标。 为同精度观测误差。
中误差与观测值的比值来评定精度叫相对中误差， ，经常用到的有边长相对中误差。
（1）卫星星历误差
卫星星历误差是指卫星星历给出的卫星空间位置与卫控系统根据卫星测轨结果计算求得的,所以又称为卫星轨道误差。它是一种起始数据误差,其大小取决于卫星跟踪站的数量及空间分布、观测值的数量及精度、轨道计算时所用的轨道模型及定轨软件的完善程度等。星历误差是GPS 测量的重要误差来源.
5.2、外界条件引起的误差
外界条件引起的误差主要包括温度变化的影响、仪器和水准尺沉降的影响、大气垂直折光的影响等。温度变化的影响主要通过测前取出仪器一段时间，尽量使用太阳伞，相邻测站使用相反的观测程序等方法来消除或减弱这方面的影响。仪器和水准尺沉降的影响可以通过选择立尺和设置仪器的土壤，或采用尺垫的方法来减弱。大气折光影响可以通过观测时前后视距尽量相等、视线离开地面一定高度、选择有利观测时间等办法来减弱折光影响。在高精度水准测量时，严格按照相应的规范要求执行，采取的观测程序和方法就可以减弱这方面的影响。
测绘技术中的误差理论与精度评定
测绘技术中的误差理论与精度评定导言：测绘技术在现代社会中拥有广泛的应用，它不仅用于地图制作、土地测量等领域，还用于构建数字地球、导航系统以及智慧城市等方面。
然而，测绘数据的准确性和精度一直是测绘科学研究的重要问题之一。
误差理论与精度评定是解决这些问题的重要理论基础和方法。
一、误差理论1.1 测量误差的概念在测绘过程中，由于仪器、环境以及操作人员等原因，所得数据很难完全准确。
这种准确度不可避免的影响称为测量误差。
测量误差可以分为系统误差和随机误差两类。
1.2 系统误差系统误差是指在一系列测量中，由于仪器或环境等原因所导致的测量结果偏离真实值的一种可预见的偏差。
通常情况下，可以通过仪器校准、环境调整等手段来减小或消除系统误差。
1.3 随机误差随机误差是指在一系列测量中，由于测量的无规律性因素所导致的结果波动。
这种误差通常是不可避免的，并且可以通过多次重复测量来求得误差的分布规律。
二、测量精度评定2.1 精度和精度指标精度是指测量结果与真实值之间的接近程度。
在测绘中，精度是评价测量结果质量的重要指标。
通常情况下，精度可以通过准确性、精确性和可靠性等方面进行评估。
2.2 准确性评定方法准确性是指测量结果与真实值之间的差异。
为了评价准确性，需要进行误差检测和精度评定。
其中，误差检测可以利用重复测量、对比测量以及辅助测量等方式来进行。
而精度评定则需要利用误差理论与统计学原理进行分析和计算。
2.3 精确性评定方法精确性是指测量结果的稳定程度和一致性。
为了评定精确性，需要进行多次重复测量，并计算其测量结果的均值、方差以及标准差等统计数据。
通过统计分析，可以评估测量数据的分布特征以及稳定性程度。
2.4 可靠性评定方法可靠性是指测量结果的可信程度和可重复性。
为了评定可靠性，需要进行不同人员、仪器和环境等条件下的测量实验，并对测量结果进行对比分析。
通过比较不同实验组的测量结果，可以评估可靠性的高低。
三、误差理论在测绘技术中的应用3.1 测绘数据的处理与解算误差理论为测绘数据的处理和解算提供了重要的方法与技术支持。
误差理论及其在测量系统中的应用
误差理论及其在测量系统中的应用测量是科学研究和生产质量管理中非常重要的一部分，而误差是测量中不可避免的问题。
误差理论是测量领域中的一个重要理论，它可以帮助我们更好地了解误差的来源和表现，从而提高测量的精度和可靠性。
本文将探讨误差理论的基本概念、误差的分类及其在测量系统中的应用。
误差理论的基本概念误差是指测量结果与真实值之间的差异，误差的来源包括仪器本身的误差、操作人员的误差以及测试环境的误差等。
误差理论是指研究误差的产生、传递和处理规律的学科，它主要包括误差理论的基本概念、误差的分类和测量误差的处理方法等内容。
误差的分类误差可以分为系统误差和随机误差两类。
系统误差是指存在固定的偏差，对于所有测量结果都是相同的，例如仪器本身的漂移误差。
随机误差是指存在无规律的波动，对于每次的测量结果都是不同的，例如人的手抖动、测量环境的影响等。
除此之外，还有常数误差、偏斜误差等不同的误差类型。
测量系统中的误差在测量系统中，误差可以通过重复测量、校准和比较等方法来进行评估和处理。
例如，对于一个普通的温度计，我们可以将它放在一个恒温器中多次测量同一个温度值，来估计它的精度和偏差。
此外，还可以通过同样的方法来比较不同的测量系统，从而选择出最为准确和可靠的系统。
误差理论在测量系统中的应用误差理论在测量系统中的应用非常广泛，其中最为重要的是精度评估和不确定度分析。
精度评估是指根据误差理论，对测量系统的精度进行评价和比较，从而选择出最为准确和可靠的系统。
而不确定度分析则是指通过误差理论计算出测量结果与真实值之间的可能偏差范围，从而对结果进行量化的分析和判断。
总结误差理论是测量领域中非常重要的理论，它可以帮助我们更好地了解误差的产生和表现，从而提高测量的精度和可靠性。
本文从误差理论的基本概念、误差的分类和测量系统中的应用等方面进行了简单的介绍。
在进行测量时，我们要牢记误差的存在，并结合误差理论进行合理评估和处理，以保证测量结果的准确性和可靠性。
误差理论
误差理论
P31-32
一.概念
1.误差 测量结果减去被测量的真值。 δ=x-a （1-1） 其中： δ—测量误差 x —测量结果（由测量工具得到） a—被测量的真值（客观存在）
2.真值 与给定的特定量的定义一致的值。 任何量在特定的条件下都有客观的实际值， 即真值。
3.约定真值
真值无法得到，常采用约定真值。 有时把多次测量结果去掉明显的偏离数值后， 取平均值当作约定真值。Fra bibliotek岗位分类
粮油及制品检验（包括粮食加工品、食用油、 油脂及制品）； 糕点糖果检验（包括糕点、糖果制品、水果 制品、方便食品、饼干、速冻食品、薯类和 膨化食品）； 乳及乳制品检验；
白酒果酒黄酒检验（含葡萄酒、其他酒）； 啤酒检验； 饮料检验；瓶（桶）装饮用水类；碳酸饮料 （汽水）类；茶饮料类；果汁及蔬菜汁类； 蛋白饮料类；固体饮料类、其他饮料类。 罐头食品检验； 肉蛋及制品检验（包括肉制品、蛋制品）；
调味品、酱腌制品检验（含食糖、蔬菜制 品）； 茶叶检验； 冷冻饮品； 炒货食品及坚果制品；
水产制品（干制.盐渍.鱼糜.水产调味品、水 生动物油脂及制品、风味鱼制品、生食水产 品、水产深加工品 ) 淀粉及淀粉制品； 豆制品； 蜂产品。
三.误差的分类
根据特点和性质分为： 系统误差 随机误差 粗大误差
1.系统误差 概念 具有确定性规律
2.随机误差 概念 无确定性规律
3.粗大误差 概念 一般由粗心大意造成。
标准溶液配制用水 教材上“二级水”应为“三级水”
标定标准滴定溶液的浓度时，须两人进行实 验，分别各做四平行，每人四平行测定结果 极差的相对值，不得大于重复性临界极差 [C,Rss(4 ) 」的相对值0.15%，两人共八平行 测定结果极差的相对值不得大于重复性临界 极差[C.Rs5(8)」的相对值0.18%。取两人八 平行测定结果的平均值为测定结果。
P31-32
一.概念
1.误差 测量结果减去被测量的真值。 δ=x-a （1-1） 其中： δ—测量误差 x —测量结果（由测量工具得到） a—被测量的真值（客观存在）
2.真值 与给定的特定量的定义一致的值。 任何量在特定的条件下都有客观的实际值， 即真值。
3.约定真值
真值无法得到，常采用约定真值。 有时把多次测量结果去掉明显的偏离数值后， 取平均值当作约定真值。Fra bibliotek岗位分类
粮油及制品检验（包括粮食加工品、食用油、 油脂及制品）； 糕点糖果检验（包括糕点、糖果制品、水果 制品、方便食品、饼干、速冻食品、薯类和 膨化食品）； 乳及乳制品检验；
白酒果酒黄酒检验（含葡萄酒、其他酒）； 啤酒检验； 饮料检验；瓶（桶）装饮用水类；碳酸饮料 （汽水）类；茶饮料类；果汁及蔬菜汁类； 蛋白饮料类；固体饮料类、其他饮料类。 罐头食品检验； 肉蛋及制品检验（包括肉制品、蛋制品）；
调味品、酱腌制品检验（含食糖、蔬菜制 品）； 茶叶检验； 冷冻饮品； 炒货食品及坚果制品；
水产制品（干制.盐渍.鱼糜.水产调味品、水 生动物油脂及制品、风味鱼制品、生食水产 品、水产深加工品 ) 淀粉及淀粉制品； 豆制品； 蜂产品。
三.误差的分类
根据特点和性质分为： 系统误差 随机误差 粗大误差
1.系统误差 概念 具有确定性规律
2.随机误差 概念 无确定性规律
3.粗大误差 概念 一般由粗心大意造成。
标准溶液配制用水 教材上“二级水”应为“三级水”
标定标准滴定溶液的浓度时，须两人进行实 验，分别各做四平行，每人四平行测定结果 极差的相对值，不得大于重复性临界极差 [C,Rss(4 ) 」的相对值0.15%，两人共八平行 测定结果极差的相对值不得大于重复性临界 极差[C.Rs5(8)」的相对值0.18%。取两人八 平行测定结果的平均值为测定结果。
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闭合差
频数/d
0.630
频数/d
0.475
-0.8-0.6-0.4 00.40.6 0.8
闭合差
提示：观测值定了其 分布也就确定了，因 此一组观测值对应相 同的分布。不同的观 测序列，分布不同。 但其极限分布均是正 态分布。
目录
1
测量误差理论
2
测量平差原理
3
条件平差
4
间接平差
5
误差椭圆
第一章 测量误差理论
误差公理
1
2
误差分类
3
偶然误差统计特性
4
精度指标
1 误差公理-观测量
1.研究对象：带有误差的观测值； 2.观测值： 是指用一定的仪器、工具、传感器或其它手段获 取的地球与其它实体的空间分布有关信息的数据. 3.观测向量：若观测值有 L1, L2 ,, Ln 个，可将 它们表示成一个向量 L (L1, L2 ,, Ln )T ，称为 观测向量。
误差 区间
0.00~0.20 0.20~0.40 0.40~0.60 0.60~0.80 0.80~1.00 1.00~1.20
……
2.40~2.60 >2.60
和
个数K 40 34 31 25 20 16
…… 1 0
210
—△ 频率K/n 0.095 0.081 0.074 0.059 0.048 0.038
0 0.501
(K/n)/d 0.△440 0.425 0.345 0.320 0.215 0.200 …… 0.0025
0
用直方图表示: (K/n)/d△
面积= [(K/n)/d△]* d△=
K/n
概率密度函数曲线
-0.8 -0.6 -0.4
0 0.4 0.6 0.8
所有面积之和=k1/n+k2/n+…..=1
三者综合起来为观测条件
2 误差分类
1.系统误差：
在相同的观测条件下进行的一系列观测，如果误 差在大小、符号上表现出系统性，或者按一定的 规律变化，这种误差称为系统误差。 系统误差的存在必然影响观测结果。 削弱方法：采用一定的观测程序、改正、附加参数
2 误差分类
2.偶然误差：
在相同的观测条件下进行的一系列观测,如果误 差在大小、符号上都表现出偶然性,从单个误差 上看没有任何规律,但从大量误差上看有一定的 统计规律，这种误差称为偶然误差. 不可避免，测量平差研究的内容。
…… 0.002
0 0.499
(K/n)/d△
0.475 0.405 0.370 0.295 0.240 0.190 ……. 0.010
0
个数K 46 41 33 21 16 13 …… 2 0 211
+△ 频率K/n
0.088 0.085 0.069 0.064 0.043 0.040 …… 0.005
误差 区间
0.00~0.20 0.20~0.40 0.40~0.60 0.60~0.80 0.80~1.00 1.00~1.20 1.20~1.40 1.40~1.60
>1.60
和
个数K 45 40 33 23 17 13 6 4 0 181
—△ 频率K/n 0.126 0.112 0.092 0.064 0.047 0.036 0.017 0.011
0 0.495
(K/n)/d△ 0.640 0.575 0.460 0.295 0.225 0.180 0.070 0.030 0
例2：在相同的条件下独立观测了421个三角形的全部内角，每个三角 形内角之和应等于180度，但由于误差的影响往往不等于180度，计 算各内角和的真误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计。
1 误差公理-观测值函数
2. 观测值的线性化; 设观测值 的函数的一般形式为：
Z f (X1, X 2,, X n )
如果是非线性函数,要将其化成线性函数式：
Z k1 X1 k2 X 2 kn X n k0 KX k
全微分式为：
dZ
f ( X1 )0 dX1
f ( X 2
)0 dX 2
2 误差分类
3.粗差：
粗差就是测量中出现的错误，含有粗差的观测值 都不能采用.
采用3准则、必要的重复观测和多余观测避免。
2 误差分类-测量平差任务
1.对一系列带有观测误差的观测值，运用概 率统计的方法来消除他们之间的不符值， 求出未知量的最可靠值。
2.评定测量成果的精度。3 偶Leabharlann 误差的统计性质~L
n ,1
L2
~
Ln
n ,1
~
L1
~
L2
~
Ln
L1
L2
Ln
则有： =L~ L
E(L) E(L1) E(L2 ) ... E(Ln )T L~1 L~2 ... L~n T L~
E(L) L
误差分布表
• 例1：在相同的条件下独立观测了358个三角形的全部内角，每个三角 形内角之和应等于180度，但由于误差的影响往往不等于180度，计 算各内角和的真误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计。
f ( X n
)0 dX n
Kd
1 误差公理
3. 真值:任何一个被观测的量，客观上总是存在着 代表其真正大小的数值。
4.测量（观测）误差：每次测量所得的观测值与 该量的真值之间的差值；
测量误差（△）=真值-观测值
2 误差分类-误差来源
测量仪器：i角误差、2c误差 观测者：人的分辨力限制 外界条件：温度、气压、大气折光等
几个概念 真值：观测量客观上存在的一个能代表其真正大
~
小的数值，L一般用 表示。
观测值：对该量观测所得的值，一般用Li表示 。 真误差：观测值与真值之差， 一般用 i L~i L
表示。
观测向量：若进行n次观测，观测值：L1、
L2……Ln可表示为：
L1
L
n ,1
L2
Ln
~
L1
~
0 0.505
(K/n)/d 0.△630 0.560 0.460 0.320 0.235 0.180 0.085 0.055
0
个数K 46 41 33 21 16 13 5 2 0 177
+△ 频率K/n 0.128 0.115 0.092 0.059 0.045 0.036 0.014 0.006
1 误差公理-观测值函数
1. 按测量方式:分为直接观测值和间接观测值; 直接观测值： 是指直接从仪器或量具上读出待测量的数值。
例如:钢尺量距读数、经纬仪或全站仪测度盘读数…
间接观测值： 某未知量往往不能直接测得，而需要由其它的直 接观测值按一定的函数关系计算出来。
例如:水准测量中,高差 就是关于直接观测值的函数，这 里的高差就是间接观测值,书中图1中的P点坐标…